Tampilkan postingan dengan label Quadratic equation. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Quadratic equation. Tampilkan semua postingan

Contoh Soal 4 Persamaan Kuadrat (Kelas X/Fase E Semester Genap) Tahun 2024

16.Terdapat dua bilangan bulat positif yang akandisusun di antara 3 dan 9 sehingga tiga bilanganpertama membentuk barisan geometri, sedangkantiga barisan terakhir membentuk barisan aritmetika.Jumlah dari dua bilangan tersebut adalah....A.1312D.10B.1114C.1012E.912Jawab:BMisalkan bilangan yang dimaksud adalah:3,x,y,9makaMembentuk barisan geometri:3,x,yx2=3yMembentuk barisan aritmetika:x,y,92y=x+9Selanjutnyax2=3y=3(x+92)2x23x27=0x1,2=3±32+4.2.272.2=3±154Pilihx=3+154=92y=92+92=274,maka nilaix+y=92+274=18+274=454=1114

Contoh Soal 3 Persamaan Kuadrat (Kelas X/Fase E Semester Genap) Tahun 2024

 11.Jumlah kuadrat dari penyelesaian persamaankuadratx2+2hx=3adalah 10. Nilai mutlakdarihadalah....A.1D.2B.12C.32E.Salah semuaJawab:AMisalkan penyelesaian dari PK:x2+2hx3=0αdanβ,makaα2+β2=10(α+β)22αβ=10(ba)22(ca)=10(2h)22(3)=104h2=106=4h2=1|h|=1h=±1Jadi, nilai yang memenuhi adalahh=1.

12.Jikax2+2|x|8=0,maka nilaixyang memenuhi adalah....A.4D.0B.2C.1E.4Jawab:Bx2+2|x|8=0(|x|+4)(|x|2)=0|x|=4(bukan solusi)atau|x|=2(solusi)Pilih|x|=2x=±2.

13.Jikaαdanβakar-akar dari persamaanx22x=|x1|+5,maka nilai α+βadalah....A.2D.1B.1C.0E.2Jawab:Ex22x=|x1|+5x22x5=|x1|Untukx1,persamaan akan menjadix22x5=x1x22xx5+1=0x23x4=0(x4)(x+1)=0x=4(memenuhi)ataux=1(tidak)Untukx<1,persamaan akan menjadix22x5=1xx22x+x51=0x2x6=0(x3)(x+2)=0x=3(tidak)ataux=2(memenuhi)Pilihα=4,danβ=2,makaα+β=4+(2)=2.

14.Persamaan kuadratx22x+m=0mempunyai akar-akar yang rasional, maka nilaimyangmungkin adalah....A.1k24untukk=0,1,2,B.1+k24untukk=0,1,2,C.k24untukk=0,1,2,D.k214untukk=0,1,2,E.1k4untukk=0,1,2,Jawab:AAkar-akar dari PK:x22x+m=0x1,2=b±b24ac2a=2±44m2Agar nilaimrasional, maka44m=k24m=4k2m=1k24.

15.Penyelesaian terbesar dikurangi penyelesaianterkecil dari persamaan kuadrat(7+43)x2+(2+3)x2=0adalah....A.2+33D.633B.23C.6+33E.33+2Jawab:DMisalkanαdanβadalah akar-akarnya, makaαβ=|Da|=b24aca=|(2+3)24(7+43)(2)7+43|=|4+3+43+56+3237+43|=|63+3637+43|=|9(7+43)7+43|=37+43=3(2+3)2=32+3=32+32323=3(23)=633.

Contoh Soal 2 Persamaan Kuadrat (Kelas X/Fase E Semester Genap) Tahun 2024

6.Diketahuix1danx2akar-akar dari persamaanx23x4=0.Persamaan kuadrat baru yangmemiliki akar-akar2x1dan2x2adalah....A.2x2+6x16=0D.x26x16=0B.2x26x16=0E.x2+6x16=0C.x2+6x+16=0Jawab:DDiketahui bahwa PK:x23x4=0dengana=1,b=3,danc=4Alternatif 1Misalkan Persamaan Kuadrat baru denganakar-akarα=2x1danβ=2x2,adalahx2(α+β)x+αβ=0x2(2x1+2x2)x+2x1×2x2=0x22(x1+x2)x+4x1x2=0x22(ba)x+4(ca)=0x22(3)x+4(4)=0x26x16=0Alternatif 2PK lama:x23x4=0denganx1danx2PK baru dengan2x1dan2x2PK baru:x23(2)x4(22)=0x26x16=0Formula tersebut dapat digunakan,syaratnya koefisien darix2=1.

7.Diketahuix1danx2akar-akar dari persamaan2x23x+4=0.Persamaan kuadrat baru yangmemiliki akar-akar2x11dan2x21adalah....A.2x2+x6=0D.x2+x6=0B.x2+5x+6=0E.x2x+6=0C.x25x+6=0Jawab:DDiketahui bahwa PK:2x23x+4=0dengana=2,b=3,danc=4Misalkan Persamaan Kuadrat baru denganakar-akarα=2x11danβ=2x21,adalahx2(α+β)x+αβ=0x2(2x11+2x21)x+(2x11)×(2x21)=0x2(2(x1+x2)2)x+4x1x22(x1+x2)+1=0x2(2(ba)2)x+4(ca)2(ba)+1=0x2(2(3/2)2)x+4(4/2)2(3/2)+1=0x2x+(83+1)=0x2x+6=0.

8.Misalkan Persamaan Kuadrat baru dengan(a+b2)adalah 6 dan rata-rata geometriabdari kedua bilangan tersebut adalah 10Persamaan kuadrat yang akar-akarnya keduakedua bilangan tersebut adalah....A.x2+12x100=0D.x212x+100=0B.x2+6x+100=0E.x26x+100=0C.x212x10=0Jawab:DFormula PK:x2(a+b)x+ab=0dengan{(a+b2)a+b=12ab=10ab=100PK yang diinginkan:x212x+100=0.

9.Akar-akar dari persamaanx2+(m1)x5=0adalahx1danx2.Jikax12+x222x1x2=8m,maka nilaim adalah....A.6atau14D.3atau7B.6atau14E.3atau7C.3atau7Jawab:DDiketahuix2+(m1)x5=0dengan akar-akarx1danx2{x1+x2=1mx1×x2=5Selanjutnya,x12+x222x1x2=8m(x1+x2)24x1x2=8(1m)24(5)=8m12m+m+208m=0m210m+21=0(m3)(m7)=0m=3ataum=7.

10.Agus dan Budi dapat menyelesaikan pengecatan secara bersama-sama dalam 8 hari. Jika bekerja sendiri, Budi membutuhkan waktu 12 hari lebihlama dari Agus. Waktu yang Agus jika ia bekerjasendiri mengecat rumah tersebut adalah...hariA.10D.16B.12C.14E.18Jawab:BDiketahui bahwaWaktu yang dibutuhkanWaktu yang dibutuhkan Agus=xhariWaktu yang dibutuhkan Budi=x+12hari, danWaktu yang dibutuhkan Agus dan Budi=8hariHasil pekerjaan pengecatan rumah dalam sehariAgus dalam 8 hari=8xbagianBudi dalam 8 hari=8x+12bagian, danBagian Agus dan Budi dalam 8 hari8x+8x+12=1Sehingga8x+8x+12=18(x+12)+8(x)x(x+12)1=08x+96+8xx(x+12)x(x+12)=0=⇔x2+4x+96=0x24x96=0(x12)(x+8)=0x=12(solusi)ataux=8(bukan)Jadi, waktu yang dibutuhkan Agus adalah12hari

Contoh Soal 1 Persamaan Kuadrat (Kelas X/Fase E Semester Genap) Tahun 2024

1.Penyelesaian terkecil dari persamaan kuadrat(x34)(x34)+(x34)(x12)=0adalah....A.34D.34B.12C.58E.1Jawab:C(x34)(x34)+(x34)(x12)=0(x34)(x34+x12)=0(x34)(2x54)=0x34=0atau2x54=0x=34atau2x=54x=68ataux=58Jadi, nilai terkecilnya adalah58.

2.Jikamdannadalah penyelesaian daripersamaan kuadratx2+mx+n=0,denganm0dann0jumlah keduapenyelesaian tersebut adalah....A.12D.1B.1C.12E.tidak dapat ditentukanJawab:BDiketahui bahwa PK:x2+mx+n=0dengana=1,b=m,danc=nx1+x2=bam+n=m1x1×x2=camn=n1m=1Dari persamaan pertama akan diperolehm+n=m=1Jadi, nilai m+n adalah1.

3.Jika persamaan2x23x14=0mempunyaiakar-akarx1danx2denganx1>x2,maka2x1+3x2adalah....A.2D.2B.1C.1E.5Jawab:BDiketahui bahwa PK:2x23x14=02x23x14=0(2x7)(2x+4)2=0(2x7)(x+2)=02x7=0ataux+2=0x=72ataux=2Karena nilai darix1>x2,makax1=72danx2=2Sehingga nilai2x1+3x2=272+3(2)=76=1.

4.Jikax1danx2adalah akar-akar daripersamaan kuadratx2+6x+2=0,nilai darix12+x224x1x2adalah....A.28D.18B.26C.24E.16Jawab:CDiketahui bahwa PK:x2+6x+2=0dengana=1,b=6,danc=2Alternatif 1x12+x224x1x2=(x1+x2)22x1x24x1x2=(x1+x2)26x1x2=(ba)26(ca)=(6)26(2)=3612=24Alternatif 2x2+6x+2=0x2=6x2x=x1x12=6x12x=x2x22=6x22___________________________________+x12+x22=6(x1+x2)4x12+x224x1x2=6(x1+x2)4x1x24=6(ba)4(ca)4=6(6)4(2)4=3684=24Jadi, nilai yang dimaksud adalah24.

5.Diketahui akar-akar dari persamaan7x=4x2+3adalahαdanβ.Nilaiαβ+βα=....A.2512D.1625B.2412C.2025E.1225Jawab:ADiketahui bahwa PK:4x27x+3=0dengana=4,b=7,danc=3αβ+βα=α2+β2αβ=(α+β)22αβαβ=(ba)22(ca)ca=(74)22(34)34=49166434=49241634=251634=2516×43=2512.



Sumber Referensi:
  1. Budhi, Wono S. 2014. Bupena Matematika Kelompok Wajib untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: ERLANGGA.

Persamaan Kuadrat (Kelas X/Fase E Semester 2)

  Semester Genap

  • Persamaan dan Fungsi Kuadrat
  • Statistika
  • Aturan Pencacahan dan Peluang
A. Persamaan dan Fungsi Kuadrat

A. 1  Bentuk umum persamaan kuadrat

ax2+bx+c=0dengana,b,cR,a0.

Adapun cara penyelesaian persamaan kuadrat, jika x1danx2 sebagai akar-akarya adalah:

PemfaktoranMelengkapkanRumus ABCkuadrat sempurna(1)(2)(3)ax2+bx+c=0(xx1)(xx2)=0Jika koefisienx2lebih dari 1, makaubahlah ke bentuk1a(axx1)(axx2)ax2+bx+c=0x2+bax+ca=0x2+bax=caselanjutnyax2+bax+(b2a)2=ca+(b2a)2(x+b2a)2=b24ac4a2Dari bentuk 2, kitaakan mendapatkan(x+b2a)2=b24ac4a2xb2a=±b24ac4a2x=b2a±b24ac4a2x=b±b24ac2a.

A. 2.  Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Pada kondisi ini, akar-akar dari persamaan kuadrat tergantung pada nilai di bawah tanda akar yang selanjutnya dikenal dengan nilai Diskriminan yang selanjutnya disingkat dengan huruf D, dengan nilai D=b24ac.
NoJenis nilaiDPenjelasan nilaiD1D>0Persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil danberbeda2D=0Persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil dansama3D<0Persamaan kuadrat mempunyai dua akar tidak riil danberbeda.

A. 3  Jumlah dan Hasil Kali serta Selisih Akar-Akar Persamaan Kuadrat

NoKondisi akar-akarx1&x2Dari posisiax2+bx+c=01x1+x2=baakar-akarnya tidak harusx1&x2terkadang dituliskan denganαdanβ2x1×x2=caBaik rumus jumlah maupun hasil kaliAnda juga dapat melihat dari jenis akarnya3x1x2=|Da|Ingat nilaiD=b24ac.

A. 4.  Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1danx2  dapat disusun dengan rumus:
x2(x1+x2)x+x1×x2=0.



CONTOH SOAL.

1.Tentukan kar-akar dari persamaan kuadrat(a)x22x8=0(b)2x23x5=0Jawab:(a)(b)x22x8=0(x4)(x+2)=0x4=0ataux+2=0x=4ataux=22x23x5=0(2x5)(2x+2)2=0(2x5)(x+1)=02x5=0ataux+1=02x=5ataux=1x=52ataux=1.

2.Penyelesaian terkecil dari persamaan kuadrat(x34)(x34)+(x34)(x12)=0Jawab:(x34)(x34)+(x34)(x12)=0(x34)(x34+x12)=0(x34)(2x54)=0x34=0atau2x54=0x=34atau2x=54x=68ataux=58Jadi, nilai terkecilnya adalah58.

3.Jika persamaan2x23x14=0mempunyaiakar-akarx1danx2denganx1>x2,maka2x1+3x2adalah....Jawab:Diketahui bahwa PK:2x23x14=02x23x14=0(2x7)(2x+4)2=0(2x7)(x+2)=02x7=0ataux+2=0x=72ataux=2Karena nilai darix1>x2,makax1=72danx2=2Sehingga nilai2x1+3x2=272+3(2)=76=1.

4.Diketahuiαdanβadalah akar-akar dari persamaan kuadratx2x2=0,tentukanlah nilai untuka.α+βdanαβe.α2+β2b.(αβ)2f.α2β2c.αβ+βαg.1β2+1α2d.1β+1αh.αβ2+βα2Jawab:Diketahuibahwax2x2=0{αβdan{a=1b=1c=2a.α+β=ba=(1)1=1αβ=ca=(2)1=2e.α2+β2=(α+β)22αβ=122(2)=1+4=5b.(αβ)2=Da2=b24aca2=(1)24.(1).(2)(1)2=1+8=9f.α2β2=(α+β)(αβ)=(1).(9)=9c.αβ+βα=α2+β2αβ=52=52g.1β2+1α2=(α2)+(β2)(α2).(β2)=α+β4αβ2(α+β)+4=(1)4(2)2(1)+4=52+2+4=54d.1β+1α=α+βαβ=(1)(2)=12h.αβ2+βα2=α3+β3(αβ)2=(α+β)33αβ(α+β)(αβ)2=.....

5.Diketahuipdanqadalah akar-akar dari persamaan kuadratx2+2x5=0,tentukanlah nilai untuka.p2+q2e.(p3)2+(q3)2b.pq+qpf.p2q+pq2c.p3+q3g.(p+q)2(pq)2d.p3q3h.(p3+q3)(p3q3)Jawab:Diketahuibahwax2+2x5=0{pqdan{a=1b=2c=5a.p2+q2=(p+q)22pq=(ba)22(ca)=(21)22((5)1)=4+10=14e.(p3)2+(q3)2=p26p+9+q26q+9=p2+q26(p+q)+18=146(2)+18=14+12+18=44b.pq+qp=p2+q2pq=145=145f.p2q+pq2=pq(p+q)=(5)(2)=10c.p3+q3=(p+q)33pq(p+q)=(ba)33(ca)(ba)=(21)33((5)1)(21)=830=38d.p3q3=(pq)3+3pq(pq)=(b24aca)3+3(ca)(b24aca)=(224.1.(5)1)3+3(51)....=.....

6.Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat dengan rumus kuadrata.x22=0f.2p25p12=0b.x2+3x1=0g.3q211q+10=0c.x2+2x3=0h.4x2+11x+6=0d.x2+5x6=0i.5z2z4=0e.x27x8=0j.6x2+17x+7=0Jawab:a.x22=0{a=1b=0c=2x1,2=b±b24ac2ax1,2=0±024.1.(2)2.1=±82=±4.22=±222=±2x1=2ataux2=2i.5z2z4=0{a=5b=1c=4z1,2=b±b24ac2az1,2=(1)±(1)24.5.(4)2.5=1±1+8010=1±8110=1±910z1=1+910=1atauz2=1910=810=45.

7.Tunjukkan bahwa untukmrasional,maka kedua akar persamaana.x2+(m+2)x+2m=0,adalah rasional jugab.2x2+(m+4)x+(m1)=0,selalu memiliki dua akar real yang berlainanc.x2+(m+4)x2m2m+3=0,selalu memiliki dua akar real dan rasionalBukti:x2+(m+2)x+2m=02x2+(m+4)x+(m1)=0x2+(m+4)x2m2m+3=0a=1,b=(m+2),c=2ma=2,b=m+4,c=m1a=1,b=m+4,c=2m2m+3D=(m+2)24.1.(2m)=m2+4m+48m=m24m+4=(m2)2D=(m+4)24.2.(m1)=m2+8m+168m+8=m2+24D=(m+4)24.1.(2m2m+3)=m2+8m+16+8m2+4m12=9m2+12m+4=(3m+2)22 akar rasional2 akar real dan berbeda2 akar rasional

8.Carilah nilaixyang memenuhi persamaan1x210x29+1x210x452x210x69=0Jawab:1x210x29+1x210x45=2x210x691(x210x37)+8+1(x210x37)8=2(x210x37)32Misalkanx210x37=p,maka1p+8+1p8=2p32p8+p+8(p+8)(p8)=2p322p(p+8)(p8)=2p32pp264=1p32p232p=p264p=6432p=2,kita kembali ke bentuk semulax210x37=2x210x39=0(x13)(x+3)=0x=13ataux=3Jadi,x=13.

9.Diketahui akar-akar persamaan kuadratx2+x3=0adalahαdanβ.Tentukanlah nilai dariα34β2+19Jawab:Diketahuix2+x3=0α2+α3=0α2=3α.....(1)β2+β3=0β2=3β.....(2){α+β=ba=1αβ=ca=3α3+α23α=0α3=3αα2.....(3)β3+β23β=0β3=3ββ2.....(4)α34β2+19=(3αα2)4(3β)+19,perhatikan persamaan(3)dan(2)=3α(3α)12+4β+19=4α+4β3+7=4(α+β)+4=4(1)+4=0.

10.Akar real terbesar untuk persamaan3x3+5x5+17x17+19x19=x211x4adalahp+q+r,denganp,q,danradalah bilangan-bilangan asli.Carilah hasilp+q+rJawab:3x3+5x5+17x17+19x19=x211x43x3+1+5x5+1+17x17+1+19x19+1=x211x3+(x3)x3+5+(x5)x5+17+(x17)x17+19+(x19)x19=x211xxx3+xx5+xx17+xx19=x211xx(x19)+x(x3)(x3)(x19)+x(x17)+x(x5)(x5)(x17)=x211x2x222xx222x+57+2x222x222x+85=x211x(x211x)(2x222x+57+2x222x+85)=x211x,misalt=x222x(2t+57+2t+85)=x211xx211x=12(t+85)+2(t+57)=(t+57)(t+85)2t+170+2t+114=t2+142t+48450=t2+138t+4731t2+138t+4731=0{a=1b=138c=4731t1,2=b±b24ac2at1,2=138±13824.1.47312=138±19044189242=138±1202=138±2302=69±30Selanjutnyat1,2=69±30x222x=69±30x222x+69±30=0x222x+69+30=0ataux222x+6930dengan cara yangsemisal diatasx1,2=22±2224(69+30)2ataux3,4=22±2224(6930)2x1,2=22±4842764302ataux3,4=22±484276+4302x1,2=22±2084302ataux3,4=22±208+4302x1,2=22±252302ataux3,4=22±252+302x1,2=11±5230ataux3,4=11±52+30Maka,{x1=11+5230x2=115230atau{x3=11+52+30x4=1152+30Selanjutnya nilaiyang paling pas sesuai soal adalahx3=11+52+30=p+q+rSehingga nilaip+q+r=11+52+30=93




Sumber Referensi:
  1. Budhi, Wono S. 2014. Bupena Matematika Kelompok Wajib untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: ERLANGGA.
  2. Idris, M., Rusdi, 1. 2015. Langkah Awal Meraih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Bandung: YRAMA WIDYA. 
  3. Kurnianingsih, Sri, Kuntarti & Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semester 1. Jakarta: ESIS.
  4. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: YUDISTIRA.
  5. Sobirin. 2005. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 1. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.