Contoh Soal 2 Persamaan Kuadrat (Kelas X/Fase E Semester Genap) Tahun 2024

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Diketahui}{x}_1\text{dan}{x}_2\text{akar-akar dari persamaan}\\ & x^2-3x-4=0.\text{Persamaan kuadrat baru yang}\\ & \text{memiliki akar-akar}2x_1\text{dan}2x_2\text{adalah}....\\ & \begin{array}{llllllll}\text{A}.& {\displaystyle 2x^2+6x-16=0}& & & & & \text{D}.& {\displaystyle x^2-6x-16=0}\\ \text{B}.& {\displaystyle 2x^2-6x-16=0}& & & & & \text{E}.& {\displaystyle x^2+6x-16=0}\\ \text{C}.& x^2+6x+16=0& & \end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\mathbf{\text{D}}\\ & \text{Diketahui bahwa PK}:x^2-3x-4=0\\ & \text{dengan}a=1,b=-3,\text{dan}c=-4\\ & \text{Alternatif 1}\\ & \text{Misalkan Persamaan Kuadrat baru dengan}\\ & \text{akar-akar}\alpha =2x_1\text{dan}\beta =2x_2,\text{adalah}\\ & x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0\\ & \iff x^2-(2x_1+2x_2)x+2x_1\times 2x_2=0\\ & \iff x^2-2(x_1+x_2)x+4x_1{x}_2=0\\ & \iff x^2-2\left({\displaystyle -\frac{b}{a}}\right)x+4\left({\displaystyle \frac{c}{a}}\right)=0\\ & \iff x^2-2(3)x+4(-4)=0\iff x^2-6x-16=0\\ & \text{Alternatif 2}\\ & \begin{array}{rl}& \text{PK lama}:x^2-3x-4=0\\ & \text{dengan}{x}_1\text{dan}{x}_2\\ & \text{PK baru dengan}2x_1\text{dan}2x_2\\ & \text{PK baru}:x^2-3(2)x-4(2^2)=0\\ & \iff x^2-6x-16=0\\ & \text{Formula tersebut dapat digunakan},\\ & \text{syaratnya koefisien dari}{x}^2=1\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Diketahui}{x}_1\text{dan}{x}_2\text{akar-akar dari persamaan}\\ & 2x^2-3x+4=0.\text{Persamaan kuadrat baru yang}\\ & \text{memiliki akar-akar}2x_1-1\text{dan}2x_2-1\text{adalah}....\\ & \begin{array}{llllllll}\text{A}.& {\displaystyle 2x^2+x-6=0}& & & & & \text{D}.& {\displaystyle x^2+x-6=0}\\ \text{B}.& {\displaystyle x^2+5x+6=0}& & & & & \text{E}.& {\displaystyle x^2-x+6=0}\\ \text{C}.& x^2-5x+6=0& & \end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\mathbf{\text{D}}\\ & \text{Diketahui bahwa PK}:2x^2-3x+4=0\\ & \text{dengan}a=2,b=-3,\text{dan}c=4\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan Persamaan Kuadrat baru dengan}\\ & \text{akar-akar}\alpha =2x_1-1\text{dan}\beta =2x_2-1,\text{adalah}\\ & x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0\\ & \iff x^2-(2x_1-1+2x_2-1)x+(2x_1-1)\times (2x_2-1)=0\\ & \iff x^2-(2(x_1+x_2)-2)x+4x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+1=0\\ & \iff x^2-(2\left({\displaystyle -\frac{b}{a}}\right)-2)x+4\left({\displaystyle \frac{c}{a}}\right)-2(-{\displaystyle \frac{b}{a}})+1=0\\ & \iff x^2-(2(3/2)-2)x+4(4/2)-2(3/2)+1=0\\ & \iff x^2-x+(8-3+1)=0\iff x^2-x+6=0\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Misalkan Persamaan Kuadrat baru dengan}\\ & \left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)\text{adalah 6 dan rata-rata geometri}\\ & \sqrt{ab}\text{dari kedua bilangan tersebut adalah 10}\\ & \text{Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kedua}\\ & \text{kedua bilangan tersebut adalah}....\\ & \begin{array}{llllllll}\text{A}.& {\displaystyle x^2+12x-100=0}& & & & & \text{D}.& {\displaystyle x^2-12x+100=0}\\ \text{B}.& {\displaystyle x^2+6x+100=0}& & & & & \text{E}.& {\displaystyle x^2-6x+100=0}\\ \text{C}.& x^2-12x-10=0& & \end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\mathbf{\text{D}}\\ & \text{Formula PK}:x^2-(a+b)x+ab=0\\ & \text{dengan}\{\begin{array}{c}\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)\Rightarrow a+b=12\\ \sqrt{ab}=10\Rightarrow ab=100\end{array}\\ & \text{PK yang diinginkan}:x^2-12x+100=0\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Akar-akar dari persamaan}{x}^2+(m-1)x-5=0\\ & \text{adalah}{x}_1\text{dan}{x}_2.\text{Jika}{x}_1^2+x_2^2-2x_1{x}_2=8m,\\ & \text{maka nilai}m\text{ adalah}....\\ & \begin{array}{llllllll}\text{A}.& {\displaystyle -6\text{atau}-14}& & & & & \text{D}.& {\displaystyle 3\text{atau}7}\\ \text{B}.& {\displaystyle 6\text{atau}14}& & & & & \text{E}.& {\displaystyle -3\text{atau}-7}\\ \text{C}.& 3\text{atau}-7& & \end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\mathbf{\text{D}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}{x}^2+(m-1)x-5=0\\ & \text{dengan akar-akar}{x}_1\text{dan}{x}_2\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=1-m\\ x_1\times x_2=-5\end{array}\\ & \text{Selanjutnya},\\ & x_1^2+x_2^2-2x_1{x}_2=8m\\ & \iff {(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2=8\iff (1-m{)}^2-4(-5)=8m\\ & \iff 1-2m+m^{}+20-8m=0\\ & \iff m^2-10m+21=0\iff (m-3)(m-7)=0\\ & \iff m=3ataum=7\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Agus dan Budi dapat menyelesaikan pengecatan }\\ & \text{secara bersama-sama dalam 8 hari. Jika bekerja }\\ & \text{sendiri, Budi membutuhkan waktu 12 hari lebih}\\ & \text{lama dari Agus. Waktu yang Agus jika ia bekerja}\\ & \text{sendiri mengecat rumah tersebut adalah}...\text{hari}\\ & \begin{array}{llllllll}\text{A}.& {\displaystyle 10}& & & & & \text{D}.& {\displaystyle 16}\\ \text{B}.& {\displaystyle 12}& & \text{C}.& {\displaystyle 14}& & \text{E}.& 18\end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\mathbf{\text{B}}\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Waktu yang dibutuhkan}\\ & \bullet \text{Waktu yang dibutuhkan Agus}=x\text{hari}\\ & \bullet \text{Waktu yang dibutuhkan Budi}=x+12\text{hari, dan}\\ & \bullet \text{Waktu yang dibutuhkan Agus dan Budi}=8\text{hari}\\ & \text{Hasil pekerjaan pengecatan rumah dalam sehari}\\ & \bullet \text{Agus dalam 8 hari}={\displaystyle \frac{8}{x}\text{bagian}}\\ & \bullet \text{Budi dalam 8 hari}={\displaystyle \frac{8}{x+12}\text{bagian, dan}}\\ & \bullet \text{Bagian Agus dan Budi dalam 8 hari}\\ & {\displaystyle \frac{8}{x}+\frac{8}{x+12}=1}\\ & \text{Sehingga}\\ & {\displaystyle \frac{8}{x}+\frac{8}{x+12}=1\iff \frac{8(x+12)+8(x)}{x(x+12)}-1=0}\\ & \iff {\displaystyle \frac{8x+96+8x-x(x+12)}{x(x+12)}=0}\\ & =\iff -x^2+4x+96=0\iff x^2-4x-96=0\\ & \iff (x-12)(x+8)=0\\ & x=12(\text{solusi})\text{atau}x=-8(\text{bukan})\end{array}\\ & \text{Jadi, waktu yang dibutuhkan Agus adalah}{\displaystyle 12\text{hari}}\end{array}$