$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Diketahui}\: \: x_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: x_{2}\: \: \textrm{akar-akar dari persamaan}\\ &x^{2}-3x-4=0\: .\: \textrm{Persamaan kuadrat baru yang}\\ &\textrm{memiliki akar-akar}\: \: 2x_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: 2x_{2}\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lllllllll}\textrm{A}.&\displaystyle 2x^{2}+6x-16=0&&&&&\textrm{D}.&\color{red}\displaystyle x^{2}-6x-16=0\\ \textrm{B}.&\displaystyle 2x^{2}-6x-16=0&&&&&\textrm{E}.&\displaystyle x^{2}+6x-16=0\\ \textrm{C}.&x^{2}+6x+16=0&& \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\textbf{D}\\ &\textrm{Diketahui bahwa PK}:x^{2}-3x-4=0\\ &\textrm{dengan}\: \: a=1,\: b=-3,\: \: \textrm{dan}\: \: c=-4\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\textrm{Misalkan Persamaan Kuadrat baru dengan}\\ &\textrm{akar-akar}\: \: \alpha=2x_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: \beta =2x_{2},\: \textrm{adalah}\\ &\color{red}x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-(2x_{1}+2x_{2})x+2x_{1}\times 2x_{2}=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-2(x_{1}+x_{2})x+4x_{1}x_{2}=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-2\left (\displaystyle -\frac{b}{a} \right )x+4\left ( \displaystyle \frac{c}{a} \right )=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-2(3)x+4(-4)=0\Leftrightarrow \color{red}x^{2}-6x-16=0\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}&\textrm{PK lama}:x^{2}-3x-4=0\\ &\qquad\qquad\textrm{dengan}\: \: x_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: x_{2}\\ &\textrm{PK baru dengan}\: \: 2x_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: 2x_{2}\\ &\textrm{PK baru}:x^{2}-3(\color{red}2\color{black})x-4(\color{red}2^{2}\color{black})=0\\ &\qquad\qquad\Leftrightarrow \color{red}x^{2}-6x-16=0\\ &\textrm{Formula tersebut dapat digunakan},\\ &\textrm{syaratnya koefisien dari}\: \: x^{2}=1\\ \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Diketahui}\: \: x_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: x_{2}\: \: \textrm{akar-akar dari persamaan}\\ &2x^{2}-3x+4=0\: .\: \textrm{Persamaan kuadrat baru yang}\\ &\textrm{memiliki akar-akar}\: \: 2x_{1}-1\: \: \textrm{dan}\: \: 2x_{2}-1\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lllllllll}\textrm{A}.&\displaystyle 2x^{2}+x-6=0&&&&&\textrm{D}.&\color{red}\displaystyle x^{2}+x-6=0\\ \textrm{B}.&\displaystyle x^{2}+5x+6=0&&&&&\textrm{E}.&\displaystyle x^{2}-x+6=0\\ \textrm{C}.&x^{2}-5x+6=0&& \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\textbf{D}\\ &\textrm{Diketahui bahwa PK}:2x^{2}-3x+4=0\\ &\textrm{dengan}\: \: a=2,\: b=-3,\: \: \textrm{dan}\: \: c=4\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan Persamaan Kuadrat baru dengan}\\ &\textrm{akar-akar}\: \: \alpha=2x_{1}-1\: \: \textrm{dan}\: \: \beta =2x_{2}-1,\: \textrm{adalah}\\ &\color{red}x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-(2x_{1}-1+2x_{2}-1)x+(2x_{1}-1)\times (2x_{2}-1)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-\left (2(x_{1}+x_{2})-2 \right )x+4x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+1=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-\left (2\left (\displaystyle -\frac{b}{a} \right )-2 \right )x+4\left ( \displaystyle \frac{c}{a} \right )-2\left ( -\displaystyle \frac{b}{a} \right )+1=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-(2(3/2)-2)x+4(4/2)-2(3/2)+1=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-x+(8-3+1)=0\Leftrightarrow \color{red}x^{2}-x+6=0 \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Misalkan Persamaan Kuadrat baru dengan}\\ &\left ( \displaystyle \frac{a+b}{2} \right )\: \textrm{adalah 6 dan rata-rata geometri}\\ & \sqrt{ab}\: \: \textrm{dari kedua bilangan tersebut adalah 10}\\ &\textrm{Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kedua}\\ &\textrm{kedua bilangan tersebut adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lllllllll}\textrm{A}.&\displaystyle x^{2}+12x-100=0&&&&&\textrm{D}.&\color{red}\displaystyle x^{2}-12x+100=0\\ \textrm{B}.&\displaystyle x^{2}+6x+100=0&&&&&\textrm{E}.&\displaystyle x^{2}-6x+100=0\\ \textrm{C}.&x^{2}-12x-10=0&& \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\textbf{D}\\ &\textrm{Formula PK}:x^{2}-(a+b)x+ab=0\\ &\textrm{dengan}\: \: \left\{\begin{matrix} \left ( \displaystyle \frac{a+b}{2} \right )\Rightarrow a+b=12\\ \sqrt{ab}=10\Rightarrow ab=100 \end{matrix}\right.\\ &\textrm{PK yang diinginkan}:\color{red}x^{2}-12x+100=0 \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Akar-akar dari persamaan}\: \: x^{2}+(m-1)x-5=0\\ &\textrm{adalah}\: \: x_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: x_{2}.\: \textrm{Jika}\: \: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=8m,\\ &\textrm{maka nilai}\: \: m\: \: \textrm{ adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lllllllll}\textrm{A}.&\displaystyle -6\: \: \textrm{atau}\: \: -14&&&&&\textrm{D}.&\color{red}\displaystyle 3\: \: \textrm{atau}\: \: 7\\ \textrm{B}.&\displaystyle 6\: \: \textrm{atau}\: \: 14&&&&&\textrm{E}.&\displaystyle -3\: \: \textrm{atau}\: \: -7\\ \textrm{C}.&3\: \: \textrm{atau}\: \: -7&& \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\textbf{D}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui} \: \: x^{2}+(m-1)x-5=0\\ &\textrm{dengan akar-akar}\: \: x_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: x_{2}\: \left\{\begin{matrix} x_{1}+ x_{2}=1-m\\ x_{1}\times x_{2}=-5\: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right.\\ &\textrm{Selanjutnya},\\ &x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=8m\\ &\Leftrightarrow \left ( x_{1}+ x_{2} \right )^{2}-4x_{1}x_{2}=8\Leftrightarrow (1-m)^{2}-4(-5)=8m\\ &\Leftrightarrow 1-2m+m^{}+20-8m=0\\ &\Leftrightarrow m^{2}-10m+21=0\Leftrightarrow (m-3)(m-7)=0\\ &\Leftrightarrow m=3\: \: atau\: \: m=7 \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Agus dan Budi dapat menyelesaikan pengecatan }\\ &\textrm{secara bersama-sama dalam 8 hari. Jika bekerja }\\ &\textrm{sendiri, Budi membutuhkan waktu 12 hari lebih}\\ &\textrm{lama dari Agus. Waktu yang Agus jika ia bekerja}\\ &\textrm{sendiri mengecat rumah tersebut adalah}\: ...\: \textrm{hari}\\ &\begin{array}{lllllllll}\textrm{A}.&\displaystyle 10&&&&&\textrm{D}.&\displaystyle 16\\ \textrm{B}.&\color{red}\displaystyle 12&&\textrm{C}.&\displaystyle 14&&\textrm{E}.&18 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\textbf{B}\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Waktu yang dibutuhkan}\\ &\bullet \: \textrm{Waktu yang dibutuhkan Agus}=x\: \: \textrm{hari}\\ &\bullet \: \textrm{Waktu yang dibutuhkan Budi}=x+12\: \: \textrm{hari, dan}\\ &\bullet \: \textrm{Waktu yang dibutuhkan Agus dan Budi}=8\: \: \textrm{hari}\\ &\color{blue}\textrm{Hasil pekerjaan pengecatan rumah dalam sehari}\\ &\bullet \: \textrm{Agus dalam 8 hari}=\displaystyle \frac{8}{x}\: \: \textrm{bagian}\\ &\bullet \: \textrm{Budi dalam 8 hari}=\displaystyle \frac{8}{x+12}\: \: \textrm{bagian, dan}\\ &\bullet \: \textrm{Bagian Agus dan Budi dalam 8 hari}\\&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle \frac{8}{x}+\frac{8}{x+12}=1\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\displaystyle \frac{8}{x}+\frac{8}{x+12}=1\Leftrightarrow \frac{8(x+12)+8(x)}{x(x+12)}-1=0\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{8x+96+8x-x(x+12)}{x(x+12)}=0\\ &=\Leftrightarrow -x^{2}+4x+96=0\Leftrightarrow x^{2}-4x-96=0\\ &\Leftrightarrow (x-12)(x+8)=0\\ &x=12\: (\textrm{solusi})\: \: \textrm{atau}\: \: x=-8\: (\textrm{bukan}) \end{aligned} \\ &\textrm{Jadi, waktu yang dibutuhkan Agus adalah}\: \: \color{red}\displaystyle 12\: \: \textrm{hari} \end{array}$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Informasi