Fungsi Kuadrat (Kelas X/Fase E Semester 2)

 B. Fungsi Kuadrat

B. 1 Fungsi

Silahkan lihat materi sebelumnya, cari di blog ini

di sini 1, dan di sini 2

B. 2 Fungsi Kuadrat

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Pengertian}& \begin{array}{rl}& \text{Suatu fungsi yang berbentuk}\\ & f(x)=a{x}^2+bx+c\\ & a,b,c,\in \mathbb{R},a\ne 0\end{array}\\ \text{Grafik Fungsi}& \text{Keterangan}\\ \text{Titik potong sumbu x}& \text{Jika ada}\\ & \begin{array}{rl}& \text{untuk titik potong}\\ & \text{terhadap sumbu x }\\ & \text{Jika y = 0 maka }\\ & a{x}^2+bx+c=0\\ & \text{Selanjutnya tinggal}\\ & \text{menentukan nilai D}\\ & D=b^2-4ac\text{adalah}\\ & \text{nilai diskriminan}.\\ & \text{Jika}D>0\\ & \text{maka grafik}\\ & \text{memotong sumbu x}\\ & \text{di dua tempat berbeda}\\ & \text{yaitu di}(x_1,0)\text{dan}(x_2,0).\\ & \text{dan jika D = 0}\\ & \text{maka grafik}\\ & \text{ hanya menyinggung}\\ & \text{sumbu x di satu titik}\\ & \text{yaitu di }(x_1,0)\\ & \text{dan jika}D<0\\ & \text{maka grafik}\\ & \text{tidak memotong}\\ & \text{atau menyinggung sumbu x}\end{array}\\ \text{Titik potong sumbu y}& \begin{array}{rl}& \text{titik potong terhadap}\\ & \text{sumbu y, jika x = 0}\\ & y=f(x)=a{x}^2+bx+c\\ & y=f(0)=a(0{)}^2+b(0)+c\\ & y=c\end{array}\\ \text{Sumbu Simetri (SS)}& x={\displaystyle \frac{-b}{2a}}\\ \text{Titik Puncak}& \left({\displaystyle \frac{-b}{2a},{\displaystyle \frac{D}{-4a}}}\right)\\ \text{Posisi grafik}& \text{Jika}a>0\text{maka}\\ & \text{grafik terbuka ke atas}\\ & \text{Dan jika nilai}a<0\text{maka}\\ & \text{grafik terbuka ke bawah}\\ \hline\end{array}$.

Selanjutnya cara membuat grafik fungsi kudratnya adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Jika memotong sumbu}-\text{X}& \text{Jika menyinggung sumbu}-\text{X}\\ \text{di titik}(x_1,0)\text{dan}(x_2,0)& \text{di titik}(x_1,0)\text{dan melalui}\\ \text{dan melalui sebuah titik lain}& \text{sebuah titik lain}\\ & \\ y=f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)& y=f(x)=a{(x-x_1)}^2\\ & \\ \text{Jika grafik fungsi itu melalui}& \text{Jika grafik fungsi itu melalui}\\ \text{Titik puncak}P(x_p,y_p)\text{dan}& \text{tiga buah titik yaitu}(x_1,y_1)\\ \text{sebuah titik lain}& (x_2,y_2)\text{dan}(x_3,y_3)\\ & \\ y=f(x)=a{(x-x_p)}^2+y_p& y=f(x)=a{x}^2+bx+c\\ & \\ \hline\end{array}$.

B. 3 Masalah yang Melibatkan Fungsi Kuadrat

$\begin{array}{rl}& y=f(x)=a{x}^2+bx+c\\ & \text{dengan}a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0\end{array}$.

B.3.1 Titik Stasioner

$\begin{array}{rl}& y_{ekstrim}=-{\displaystyle \frac{D}{4a}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{y}_{\text{minimum}},\text{jika}a>0\\ y_{\text{maksimum}},\text{jika}a<0\end{array}}\\ & y_{\text{ekstrim}}\text{tercapai saat}x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}\\ & \mathbf{\text{Sehingga titik stasionernya adalah}}\\ & =(x_{ss},y_{ss})=(-{\displaystyle \frac{b}{2a},-{\displaystyle \frac{D}{4a}}})\end{array}$.

B.3.2 Definit Positif dan Definit Negatif

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}D<0\text{dan}\{\begin{array}{c}a>0,\text{maka}y\text{akan selalu positif}\\ a<0,\text{maka}y\text{akan selalu negatif}\end{array}\\ & \text{untuk setiap nilai}x\end{array}$.

Perhatikan tambahan penjelasan berikut

$\begin{array}{rl}& \text{Tentang definit positif dan negatif}\\ & \begin{array}{c}\\ a>0.D<0& \text{Gambar}& \cup & \mathbf{\text{Sumbu-X}}\\ a<0,D<0& \text{Gambar}& \cap & \\ & \end{array}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika}f\text{adalah fungsi linear dengan}\\ & f(2)-f(-2)=8,\\ & \text{maka nilai dari}f(4)-f(-2)\text{adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}:\\ & f(x)=ax+b\\ & f(2)-f(-2)\\ & =(a(2)+b)-(a(-2)+b)=8\\ & 8=2a+2a\\ & 8=4a\\ & 2=a\\ & f(x)=2x+b,\text{dengan}b\text{konstan}\\ & \text{Sehingga nilai}\\ & f(4)-f(-2)=(2(4)+b)-(2(-2)+b)\\ & =8+b+4-b\\ & =12\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Ubahlah}8-6x-x^2\text{ke dalam bentuk}\\ & a-(x+b{)}^2,\text{selanjutnya tentukan}\\ & \text{daerah hasil dari}f(x)=8-6x-x^2\\ & \text{untuk}x\text{bilangan real}\\ & (\mathit{\text{NTU Entrance Examination AO-level}})\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{|cl|}\hline 1.& \text{Diketahui}\\ & \begin{array}{rl}\text{Misal}& \\ 8-6x-x^2& =f(x)\\ f(x)& =-x^2-6x+8\\ & =-(x^2+6x-8)\\ & =-(x^2+6x+9-17)\\ & =-((x+3{)}^2-17)\\ & =-(x+3{)}^2+17\\ & \end{array}\\ 2.& \text{Mencari koordinat}(x_{SS},y_{SS})\\ & \begin{array}{rl}f(x)& =-x^2-6x+8\{\begin{array}{c}a=-1\\ b=-6\\ c=8\end{array}\\ \text{Maka}& \\ x_{SS}& =\frac{-b}{2a}={\displaystyle \frac{-(-6)}{2(-1)}}\\ & =-3\\ y_{SS}& =f(-3)=-{(-3+3)}^2+17=17\\ \therefore & (x_{SS},y_{SS})=(-3,17)\end{array}\\ 3.& \text{Nilai fungsi}\\ & \begin{array}{rl}\text{Karena}& a=-1<0\\ \text{maka f}& \text{ungsi menghadap}\\ \mathbf{\text{ke ba}}& \mathbf{\text{wah}},\text{sehingga}\\ \text{daerah}& \text{hasilnya}\left(R_f\right)\\ \text{adalah}& :\\ & \{-\mathrm{\infty }<y\le 17\}\\ & \\ & \text{Berikut ilustrasinya}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Jika}\alpha \text{dan}\beta \text{adalah akar-akar dari }\\ & \text{persamaan kuadrat}{x}^2+mx+m=0,\\ & \text{maka nilai}m\text{yang menyebabkan }\\ & \text{jumlah kuadrat akar-akar mencapai}\\ & \text{minimum adalah}....\\ & \mathbf{\text{(UM UNDIP 2014 Mat Das)}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}{x}^2+mx+m=0\\ & \mathbf{\text{persamaan kuadrat}}\text{dalam}x,\\ & \text{maka}\\ & x^2+mx+m=x^2-(\alpha +\beta )x+(\alpha \beta )=0\\ & \{\begin{array}{ll}\alpha +\beta & =-m\\ & \\ \alpha \beta & =m\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & {\alpha }^2+{\beta }^2={(\alpha +\beta )}^2-2\alpha \beta \\ & =(-m{)}^2-2m\text{dan dapat kita tuliskan sebagai}\\ & f(m)=m^2-2m\{\begin{array}{ll}a& =1\\ b& =-2\\ c& =0\end{array}\\ & \text{fungsi kuadrat dalam}m,\\ & \text{sehingga kita perlu mencari titik}(m_{SS},f\left(m_{SS}\right)),\\ & \text{tetapi yang kita perlukan}\\ & \text{cuma}m-\text{nya saja, yaitu}:m=m_{SS},\\ & \text{dengan}{m}_{SS}={\displaystyle \frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2.1}=1}\end{array}\end{array}$.

Sumber Referensi:

1. Budhi, Wono S. 2014. Bupena Matematika Kelompok Wajib untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: ERLANGGA.
2. Kurnianingsih, Sri, Kuntarti & Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semester 1. Jakarta: ESIS.
3. Noormandiri. 2022. Matematika untuk SMA/MA Kelas X.Jakarta: ERLANGGA
4. Sobirin. 2005. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 1. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.