Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m (Lanjutan)

 D. Garis Singgung dengan Gradien m

Perhatikan ilustrasi berikut

Jika ada 2 garis yang saling sejajar dan keduanya atau salah satunya menyinggung lingkaran dengan kondisi garis singgungnya hanya diketahui garadiennya saja tanpa diketahui persamaannya, maka bagaimana kita menentukan persamaanya garis singgung tersebut? 

Coba perhatikan lagi ilustrasi gambar di atas dengan tambahan beberapa keterangan

 

Berikut uraiannya

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan diketahui}\\ &\bullet \quad\textrm{Persamaan lingkarannya}:\: x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \quad\textrm{Persamaan garisnya}:\: y=\color{blue}m\color{black}x+c\\ &\textrm{Jika kita substitusikan persamaan garis}\\ &\textrm{ke persamaan lingkaran, maka hasilnya} \\ &x^{2}+(\color{blue}m\color{black}x+c)^{2}=r^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}+\color{blue}m^{2}\color{black}x^{2}+2\color{blue}m\color{black}cx+c^{2}-r^{2}=0\\ &\Leftrightarrow (1+\color{blue}m^{2}\color{black})x^{2}+2\color{blue}m\color{black}ck+c^{2}-r^{2}=0\\ &\textrm{Syarat garis menyinggung lingkaran},\: D=0\\ &D=b^{2}-4ac=0\\ &\Leftrightarrow (2mc)^{2}-4(1+m^{2})(c^{2}-r^{2})=0\\ &\Leftrightarrow 4m^{2}c^{2}-4(c^{2}+m^{2}c^{2}-r^{2}-m^{2}r^{2})=0\\ &\Leftrightarrow m^{2}c^{2}-c^{2}-m^{2}c^{2}+r^{2}+m^{2}r^{2}=0\\ &\Leftrightarrow c^{2}=r^{2}+m^{2}r^{2}=r^{2}(1+m^{2})\\ &\Leftrightarrow c=\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ &\textrm{Sehingga persamaan garis singgungnya}\\ &\textrm{berubah menjadi bentuk}\\ &y=\color{blue}m\color{black}x+c\\ &\Leftrightarrow y=\color{blue}m\color{black}x\pm r\sqrt{1+\color{blue}m^{2}}  \end{aligned}$.

Catatan:

Untuk lingkaran berpusat di (a,b), maka persamaan garis singgungnya adalah:

$(y-b)=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}$.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan persamaan garis singgung}\\ &\textrm{lingkaran yang bergradien}\: \: m=\displaystyle \frac{3}{4}\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{persamaan lingkaran singgungnya}\\ &x^{2}+y^{2}=25\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui lingkaran}\: \begin{cases} x^{2}+y^{2}& =25 \\ r& =5 \end{cases}\\ &\textrm{maka persamaan garis singgung lingkarannya}\\ &y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ &\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{3}{4}x\pm 5\sqrt{1+\left ( \displaystyle \frac{3}{4} \right )^{2}}=\displaystyle \frac{3}{4}x\pm 5\sqrt{1+\displaystyle \frac{9}{16}}\\ &\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{3}{4}x\pm 5\sqrt{\displaystyle \frac{25}{16}}=\displaystyle \frac{3}{4}x\pm \displaystyle \frac{25}{4}\\ &\Leftrightarrow 4y=3x\pm 25\\ &\Leftrightarrow 3x-4y\pm 25=0\\ &\textrm{Jadi, persamaan garis singgungnya adalah}\\ &\color{red}3x-4y+25=0\: \: \color{black}\textrm{dan}\: \: \color{red}3x-4y-25=0 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan persamaan garis singgung}\\ &\textrm{lingkaran yang bergradien}\: \: -\displaystyle \frac{4}{3}\: \: \textrm{dengan}\\ &\textrm{persamaan lingkaran singgungnya}\\ &(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui lingkaran}\: \begin{cases} (x-1)^{2}+(y-2)^{2}& =25 \\ r& =5 \end{cases}\\ &\textrm{Persamaan garis singgungnya adalah}:\\ &y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ &\Leftrightarrow y-2=-\displaystyle \frac{4}{3}(x-1)\pm  5\sqrt{1+\left (-\displaystyle \frac{4}{3}  \right )^{2}} \\ &\Leftrightarrow y-2=-\displaystyle \frac{4}{3}(x-1)\pm  5\sqrt{1+\displaystyle \frac{16}{9}}\\ &\Leftrightarrow y-2=-\displaystyle \frac{4}{3}(x-1)\pm  5\sqrt{\displaystyle \frac{25}{9}} \\ &\Leftrightarrow y-2=-\displaystyle \frac{4}{3}(x-1)\pm \displaystyle \frac{25}{3}\\ &\Leftrightarrow 3y-6=-4x+4\pm 25\\ &\Leftrightarrow 4x+3y-10\pm 25=0\\ &\textrm{Jadi, persamaan garis singgungnya adalah}\\ &4x+3y+15=0\: \: \textrm{dan}\: \: 4x+3y-35=0 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan persamaan garis singgung yang}\\ &\textrm{sejajar dengan garis}\: \: y=2x+5\: \: \textrm{pada}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=16\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui lingkaran L}:x^{2}+y^{2}=16\\ &\textrm{dengan pusat}\: \: (0,0)\: \: \textrm{dan}\: \: r=\sqrt{16}=4\\ &\textrm{Sedangkan garis singgung yang sejajar }\\ &\textrm{dengan}\: \: y=2x+5\: \: \textrm{mempunyai gradien}\: \: \color{red}2\color{black},\\ &\textrm{yaitu sama dengan gradien garis}\: \: y=2x+5\\ &\textrm{Persamaan garis singgung bergradien}\: \:  m\\&y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\  &\Leftrightarrow y=2x\pm 4\sqrt{1+2^{2}}\\ &\Leftrightarrow y=\color{red}2x\pm 4\sqrt{5} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan persamaan garis singgung yang}\\ &\textrm{tegak lurus dengan garis}\: \: x+2y-4=0\\ &\textrm{pada lingkaran}\: \: (x-4)^{2}+(y-2)^{2}=25\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui garis}\: \: x+2y-4=0\: \: \textrm{dengan gradien}\\ &2y=-x+4\Rightarrow y=-\displaystyle \frac{1}{2}x+2\Rightarrow m_{1}=-\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{tegak lurus dengan garis yang menyinggung}\\ &\textrm{lingkaran. Misalkan garis singgung yang }\\ &\textrm{menyinggung lingkaran tersebut adalah}\\ &\textrm{bergradien}\: \: m_{2},\: \textrm{maka syarat dua garis}\\ &\textrm{berpotongan saling tegak lurus adalah}\\ &\: \: m_{1}\times m_{2}=-1\Leftrightarrow  m_{2}=-\displaystyle \frac{1}{m_{1}}=-\displaystyle \frac{1}{\left ( -\displaystyle \frac{1}{2} \right )}\\ &\Leftrightarrow m_{2}=2. \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dan diketahui pula lingkaran}\\ &(x-4)^{2}+(y-2)^{2}=25\\ &\textrm{pusatnya}\: \: (4,2),\: \textrm{dan}\: \: r=5\\ &\textrm{maka PGSL-nya ini adalah}\\ &y=m_{2}(x-a)+b\pm r\sqrt{1+m_{2}^{2}}\\ &\: \: \, =2(x-4)+2\pm 5\sqrt{1+2^{2}}\\ &\: \: \, =2x-8+2\pm 5\sqrt{1+4}\\ &\: \: \, =\color{red}2x-6\pm 5\sqrt{5} \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.