Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m (Lanjutan)

 D. Garis Singgung dengan Gradien m

Perhatikan ilustrasi berikut

Jika ada 2 garis yang saling sejajar dan keduanya atau salah satunya menyinggung lingkaran dengan kondisi garis singgungnya hanya diketahui garadiennya saja tanpa diketahui persamaannya, maka bagaimana kita menentukan persamaanya garis singgung tersebut? 
Coba perhatikan lagi ilustrasi gambar di atas dengan tambahan beberapa keterangan
 

Berikut uraiannya
Misalkan diketahuiPersamaan lingkarannya:x2+y2=r2Persamaan garisnya:y=mx+cJika kita substitusikan persamaan gariske persamaan lingkaran, maka hasilnyax2+(mx+c)2=r2x2+m2x2+2mcx+c2r2=0(1+m2)x2+2mck+c2r2=0Syarat garis menyinggung lingkaran,D=0D=b24ac=0(2mc)24(1+m2)(c2r2)=04m2c24(c2+m2c2r2m2r2)=0m2c2c2m2c2+r2+m2r2=0c2=r2+m2r2=r2(1+m2)c=±r1+m2Sehingga persamaan garis singgungnyaberubah menjadi bentuky=mx+cy=mx±r1+m2.

Catatan:
Untuk lingkaran berpusat di (a,b), maka persamaan garis singgungnya adalah:
(yb)=m(xa)±r1+m2.

CONTOH SOAL.

1.Tentukan persamaan garis singgunglingkaran yang bergradienm=34danpersamaan lingkaran singgungnyax2+y2=25Jawab:Diketahui lingkaran{x2+y2=25r=5maka persamaan garis singgung lingkarannyay=mx±r1+m2y=34x±51+(34)2=34x±51+916y=34x±52516=34x±2544y=3x±253x4y±25=0Jadi, persamaan garis singgungnya adalah3x4y+25=0dan3x4y25=0.

2.Tentukan persamaan garis singgunglingkaran yang bergradien43denganpersamaan lingkaran singgungnya(x1)2+(y2)2=25Jawab:Diketahui lingkaran{(x1)2+(y2)2=25r=5Persamaan garis singgungnya adalah:yb=m(xa)±r1+m2y2=43(x1)±51+(43)2y2=43(x1)±51+169y2=43(x1)±5259y2=43(x1)±2533y6=4x+4±254x+3y10±25=0Jadi, persamaan garis singgungnya adalah4x+3y+15=0dan4x+3y35=0.

3.Tentukan persamaan garis singgung yangsejajar dengan garisy=2x+5padalingkaranx2+y2=16Jawab:Diketahui lingkaran L:x2+y2=16dengan pusat(0,0)danr=16=4Sedangkan garis singgung yang sejajar dengany=2x+5mempunyai gradien2,yaitu sama dengan gradien garisy=2x+5Persamaan garis singgung bergradienmy=mx±r1+m2y=2x±41+22y=2x±45.

4.Tentukan persamaan garis singgung yangtegak lurus dengan garisx+2y4=0pada lingkaran(x4)2+(y2)2=25Jawab:Diketahui garisx+2y4=0dengan gradien2y=x+4y=12x+2m1=12tegak lurus dengan garis yang menyinggunglingkaran. Misalkan garis singgung yang menyinggung lingkaran tersebut adalahbergradienm2,maka syarat dua garisberpotongan saling tegak lurus adalahm1×m2=1m2=1m1=1(12)m2=2.Dan diketahui pula lingkaran(x4)2+(y2)2=25pusatnya(4,2),danr=5maka PGSL-nya ini adalahy=m2(xa)+b±r1+m22=2(x4)+2±51+22=2x8+2±51+4=2x6±55.



DAFTAR PUSTAKA
  1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
  2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
  3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.





Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Informasi