Persamaan Garis Singgung Lingkaran (Lanjutan)

 A. Pendahuluan

Kita sebelumnya telah membahasas kedudukan suatu lingkaran terhadap suatu garis. Terkait dengan garis singgung lingkaran suatu lingkaran dapat memiliki sekian banyak garis singgung dan tentunya lebih dari satu garis singgung jika ingin dibuat. Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Masih ingat kembali kedudukan suatu garis terhadap lingkaran saat nilai  $D=b^{2}-4ac=0$, dari sanalah akhir dari penyelesaian masalah yang terkait dengan ini. 

B. Garis Singgung Melalui Sebuah Titik pada Lingkaran

Misalkan suatu titik $P(x_{1},y_{1})$ terdapat pada (keliling) lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, maka berakibat akan memiliki gradien dari garis OP berupa $m_{\textrm{P}}=\displaystyle \frac{y_{1}}{x_{1}}$.

Perhatikan dua ilustrasi berikut

Ilustrasi berikutnya menjadi seperti berikut

Perhatikan tiga ilustrasi di atas, jika titik P adalah titik sinngung lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, maka gradien garis singgung lingkarannya, misal kita namakan $m_{l}$ adalah $m_{l}=-\displaystyle \frac{x_{1}}{y_{1}}$, sehingga persamaan garis singgungnya yang melalui titik P tersebut dan bergradien $m_{l}=-\displaystyle \frac{x_{1}}{y_{1}}$ adalah:

$\begin{aligned}y-y_{1}&=-\displaystyle \frac{x_{1}}{y_{1}}\left ( x-x_{1} \right )\\ \Leftrightarrow y_{1}y-&y_{1}^{2}=-x_{1}x+x_{1}^{2}\\ \Leftrightarrow x_{1}x+&y_{1}y=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\\ \Leftrightarrow x_{1}x+&y_{1}y=r^{2}\\\\ \textrm{Jadi, per}&\textrm{samaan garis singgungnya adalah}:\\ &\quad \LARGE\boxed{x_{1}x+y_{1}y=r^{2}} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang }\\ &\textrm{berpusat di pangkal koordinat dan}\\ &\textrm{menyinggung}\: \: k\equiv 2x+y-5=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi berikut} \end{array}$.

menjadi

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \textrm{bahwa titik}\: \: O\: \: \textrm{ke garis}\: \: k\: \: \textrm{adalah}\\ &r=OA=\displaystyle \left |\frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |\\ &=\displaystyle \left | \frac{2(0)+(0)-5}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}} \right |\\ &=\displaystyle \left | \frac{-5}{\sqrt{5}} \right |\\ &=\left | -\sqrt{5} \right |\\ &=-(-\sqrt{5})=\sqrt{5}\\ &\textrm{(ingat, nilai mutlak bilangan negatif adalah bilngan positif)}\\ &\textrm{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}:\\ &\qquad L\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}=5\end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang }\\ &\textrm{berpusat di}\: \: A(2,-1)\: \: \textrm{dan menginggung}\\ &\textrm{garis}\: \: 4y+3x-12=0\: \: \textrm{di titik}\: \: P\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi berikut} \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Sehingga}\\ &r=AP=\left | \frac{3(2)+4(1)-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right |\\ &\: \: =\left | \frac{-10}{5} \right |=\left | -2 \right |=2\\ &\textrm{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}\\\ &L\equiv (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\color{red}4 \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}=169\: \: \textrm{dan melalui titik}\: \: Q(5,-12)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{red}\textrm{Alternatif 1}\\ &\textrm{Diketahui}\: \: L\equiv x^{2}+y^{2}=169\: \: \color{blue}\textrm{atau}\\ &L\equiv x^{2}+y^{2}-169=0\: \: \textrm{dan}\: \: Q(5,-12)\\ &\textrm{kuasa titik A (posisi titik Q) adalah}:\\ &=5^{2}+(-12)^{2}-169=0\\ &\textrm{Sehingga titik Q pada lingkaran dengan}\\ &\textrm{persamaan}\\ &\qquad x_{1}x+y_{1}y=r^{2}\Rightarrow \color{red}5x-12y=169\\ &\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Alternatif 2}\\ &\textrm{Persamaan lingkaran}\\& L\equiv x^{2}+y^{2}=169\: ...................(1)\\ &\textrm{Persamaan garis singgung}\: \: g\: \: \textrm{melalui}\\ &Q(5,-12)\: \: \textrm{adalah}:\\ &g\equiv y+12=m(x-5)\\ &\Leftrightarrow \: \: \qquad y=mx-5m-12\: ....(2)\\ &\textrm{Dari persamaan (1) dan (2)}\\ &x^{2}+(mx-5m-12)^{2}=169\\ &\Leftrightarrow x^{2}+m^{2}x^{2}+25m^{2}+144-10m^{2}-24mx+120m=169\\ &\Leftrightarrow (1+m^{2})x^{2}-(10m^{2}+24m)x+25m^{2}+120m-25=0\\ &\textrm{Syarat menyinggung}\: \: \color{blue}D\color{black}=\color{blue}b^{2}-4ac\color{black}=0\\ &(10m^{2}+24m)^{2}-4(1+m^{2})(25m^{2}+120m-25)=0\\ &\Leftrightarrow 144m^{2}-120m+25=0\\ &\Leftrightarrow (12m-5)^{2}=0\\ &\Leftrightarrow m=\displaystyle \frac{5}{12}\: .......(3)\\ &\textrm{Jika (1) disebstitusikan ke (2), maka}\\ &y+12=\displaystyle \frac{5}{12}(x-5)\\ &\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{5}{12}x-\frac{169}{12}\: \: \textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow \color{red}5x-12y=169  \end{aligned}   \end{array}$.

$.\qquad\textrm{Berikut ilustrasi lingkaran dan garis singgungnya}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan persamaan garis singgung di}\\ &\textrm{titik}\: \: R(-2,-4)\: \: \textrm{pada lingkaran}\\ &(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Kita cek sebentar posisi/kedudukan titik}\: \: R\\ &K_{R}=K_{(-2,-4)}\equiv (-2-2)^{2}+(-4+1)^{2}-\color{blue}25\\ &\: \: \: \qquad\qquad\qquad \equiv 16+9-\color{blue}25\color{black}=\color{red}0\\ &\textrm{Sehingga posisi titik}\: \: R\: \: \textrm{pada keliling lingkaran}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}\\ &\textrm{maka}\\ &(x_{1}-2)(x-2)+(y_{1}+1)(y+1)=25\\ &\textrm{Untuk titik}\: \: R(-2,-4),\: \textrm{maka garis singgungnya}\\ &(-2-2)(x-2)+(-4+1)(x+1)=25\\ &\Leftrightarrow (-4)(x-2)+(-3)(x+1)=25\\ &\Leftrightarrow -4x+8-3x-3=25\\ &\Leftrightarrow 4x+3y+20=0\\ &\textrm{Jadi, garis singgungnya adalah}:\: 4x+3y+20=0\\ &\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25\\ &\Leftrightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}+2y+1=25\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ &\textrm{Selanjutnya untuk garis sinngung}\\ &\textrm{lingkaran di titik}\: \: R(-2,-4)\: \: \textrm{adalah}:\\ &x_{1}x+y_{1}y+\displaystyle \frac{1}{2}A(x_{1}+x)+\displaystyle \frac{1}{2}B(y_{1}+y)+C=0\\ &\Leftrightarrow (-2)x+(-4)y-2(-2+x)+(-4+y)-20=0\\ &\Leftrightarrow -2x-4y+4-2x-4+y-20=0\\ &\Leftrightarrow -4x-3y-20=0\\ &\Leftrightarrow 4x+3y+20=0\\ &\textrm{Jadi, garis singgungnya adalah}:\: 4x+3y+20=0 \end{aligned} \end{array}$.

C. Garis Singgung Melalui Sebuah Titik di Luar Lingkaran

Perhatikan ilustrasi berikut

Titik $\textrm{T}(x_{1},y_{1})$ berada di luar lingkaran $L$. Garis  $\textrm{g}_{1}$  dan  $\textrm{g}_{2}$ melalui T dan menyinggung lingkaran L di titik Q dan R.

Ada dua alternatif minimal untuk mencari persamaan garis dinggung $\textrm{g}_{1}$  dan  $\textrm{g}_{2}$ pada lingkaran L.

1. menentukan gradien garis $\textrm{g}_{1}$  dan  $\textrm{g}_{2}$, kemudian menentukan garis singgungnya
2. menentukan titik singgung Q dan R dengan cara menentukan garis kutub dati titik T, kemudian menentukan perpotongan dengan lingkaran L. Sealanjutnya menentukan persamaan garis singgung di titik Q dan R.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}=25\: \: \textrm{dan melalui titik}\: \: P(7,0)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}=25\\ &\textrm{Kedudukan titik}\: \: \textrm{T}(7,0):7^{2}+0^{2}=49>25\\ &\textrm{Sehingga T berada di luar lingkaran L}\\&\color{blue}\textbf{Cara 1}\\ &\textrm{Persamaan garis singgung lingkaran (PGSL)}\\ &\textrm{melalui titik T}(7,0)\: \: \textrm{adalah}:\\ &\begin{aligned}y&=m(x-x_{1})+y_{1}\\ &=m(x-7)+0=\color{red}mx-7m\end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya hasil di atas kita substitusikan}\\ &\textrm{lingkaran L, yaitu}:\\ &x^{2}+(mx-7m)^{2}=25\\ &\Leftrightarrow x^{2}+m^{2}x^{2}-14m^{2}x+49m^{2}-25=0\\ &(1+m^{2})x^{2}-14m^{2}x+49m^{2}-25=0  \end{aligned} \\ &\begin{aligned}&\textrm{Selanjutnya, syarat menyinggung}\: ,\: \textrm{D}=b^{2}-4ac=0\\ & (-14m^{2})^{2}-4.(m^{2}+1)(49m^{2}-25)=0\: \: \textrm{(dibagi 4)}\\ &\Leftrightarrow 49m^{4}-(49m^{4}-25m^{2}+49m^{2}-25)=0\\ &\Leftrightarrow 24m^{2}-25=0\Leftrightarrow m^{2}=\displaystyle \frac{25}{24}\Leftrightarrow m=\pm \displaystyle \frac{5}{12}\sqrt{6}\\ & \textrm{Sehingga persa}\textrm{maan garis singgungnya}\\ &y_{1}= \displaystyle \frac{5}{12}x\sqrt{6}- \displaystyle \frac{35}{12}\sqrt{6}\: \: \textrm{dan}\\ &y_{2}=- \displaystyle \frac{5}{12}x\sqrt{6}+ \displaystyle \frac{35}{12}\sqrt{6} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Cara 2}\\ &\textrm{Persmaan garis kutubnya dari titik T}(7,0)\\ &x_{1}x+y_{1}y=25\Leftrightarrow 7x=25\Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{25}{7}\\ &\textrm{Hasilnya kita substitusikan ke persamaan }\\ &\textrm{lingkaran L, yaitu}:x^{2}+y^{2}=25\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \frac{25}{7} \right )^{2}+y^{2}=5^{2}\Leftrightarrow y^{2}=5^{2}-\left ( \displaystyle \frac{25}{7} \right )^{2}\\ &\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{\left ( 5+\displaystyle \frac{25}{7} \right )\left ( 5-\displaystyle \frac{25}{7} \right )}\\ &\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{\displaystyle \frac{60}{7}\times \frac{10}{7}}=\pm \displaystyle \frac{10}{7}\sqrt{6}\\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y_{1}=\displaystyle \frac{10}{7}\sqrt{6}\\ y_{2}=-\displaystyle \frac{10}{7}\sqrt{6} \end{matrix}\right.\\ &\textrm{Sehingga diperoleh titik singgungnya yaitu}:\\ &\left ( \displaystyle \frac{25}{7},\frac{10}{7}\sqrt{6} \right )\: \: \textrm{dan}\: \: \left ( \displaystyle \frac{25}{7},-\frac{10}{7}\sqrt{6} \right )\\ &\textrm{dan garis singgungnya adalah}:\\ &\displaystyle \frac{25}{7}x+\frac{10}{7}y\sqrt{6}=25\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{25}{7}x-\frac{10}{7}y\sqrt{6}=25\\ &\textrm{atau}\\ &\color{red}\displaystyle \frac{5}{7}x+\frac{2}{7}y\sqrt{6}=5\color{black}\: \: \textrm{dan}\: \: \color{red}\displaystyle \frac{5}{7}x-\frac{2}{7}y\sqrt{6}=5\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{5}{7}x+\frac{2}{7}y\sqrt{6}=5\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{5}{7}x-\frac{2}{7}y\sqrt{6}=5\\ &\Leftrightarrow \displaystyle 5x+2y\sqrt{6}=35\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle 5x-2y\sqrt{6}=35\\ &\Leftrightarrow 2y\sqrt{6}=-5x+35\: \: \textrm{dan}\: \: 2y\sqrt{6}=5x-35\\ &\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{-5x+35}{2\sqrt{6}}\: \: \textrm{dan}\: \:  y=\displaystyle \frac{5x-35}{2\sqrt{6}}\\ &\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{-5x+35}{2\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\: \: \textrm{dan}\: \:  y=\displaystyle \frac{5x-35}{2\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\\ &\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{-5x\sqrt{6}+35\sqrt{6}}{12}\: \: \textrm{dan}\: \:  y=\displaystyle \frac{5x\sqrt{6}-35\sqrt{6}}{12}\\ &\Leftrightarrow \color{red}y=-\displaystyle \frac{5}{12}x\sqrt{6}+\displaystyle \frac{35}{12}\sqrt{6}\: \: \color{black}\textrm{atau}\: \:  \color{red}y=\displaystyle \frac{5}{12}x\sqrt{6}-\displaystyle \frac{35}{12}\sqrt{6}   \end{aligned} \end{array}$.

Berikut ilustrasi gambarnya

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}=12\: \: \textrm{dan melalui titik}\: \: P(0,4)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}=12\\ &\textrm{Persamaan garis kutub lingkaran}\\ &\textrm{melalui titik}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{adalah}:\\ &\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=12\\ xx+yy&=12\\ x_{1}x+y_{1}y&=12\\ \textrm{garis ini melalui}&\: \: \textrm{titik}\\ P(0,4)&, \textrm{maka}\\ x_{1}.0+y_{1}.4&=12\\ y_{1}&=3\: ......(1)\end{aligned}\\ &\textrm{Karena titik}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{pada lingkaran}\\ &\textrm{maka},\\ &x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=12\: ......(2)\\ &\textrm{Selanjutnya dari persamaan}\: \: (1)\: \&\: (2)\\ &\textrm{akan diperoleh}\\ &\begin{aligned}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=12\\ y_{1}=3\Rightarrow \: \: &x_{1}^{2}+(3)^{2}=12\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}^{2}+9=12\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}^{2}=3\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}=\pm \sqrt{3}\end{aligned}\\ &\begin{aligned}& \textrm{Sehingga persa}\textrm{maan garis singgungnya}\\ &\left ( x_{1}x+y_{1}y=12 \right )\: \: \textrm{adalah}:\\ &\begin{cases} \textrm{di titik} & (x_{1},y_{1})=(\sqrt{3},3)\: \: \, \, \Rightarrow \color{red}\sqrt{3}x+3y=12\\ \textrm{di titik} & (x_{1},y_{1})=(-\sqrt{3},3)\Rightarrow \color{red}-\sqrt{3}x+3y=12 \end{cases}\\ &\end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

Berikut ilustrasi gambarnya

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 2. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
4. Wirodikromo, S. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: ERLANGGA.