Persamaan Garis Singgung Lingkaran (Lanjutan)

 A. Pendahuluan

Kita sebelumnya telah membahasas kedudukan suatu lingkaran terhadap suatu garis. Terkait dengan garis singgung lingkaran suatu lingkaran dapat memiliki sekian banyak garis singgung dan tentunya lebih dari satu garis singgung jika ingin dibuat. Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Masih ingat kembali kedudukan suatu garis terhadap lingkaran saat nilai  D=b24ac=0, dari sanalah akhir dari penyelesaian masalah yang terkait dengan ini. 

B. Garis Singgung Melalui Sebuah Titik pada Lingkaran

Misalkan suatu titik P(x1,y1) terdapat pada (keliling) lingkaran x2+y2=r2, maka berakibat akan memiliki gradien dari garis OP berupa mP=y1x1.

Perhatikan dua ilustrasi berikut


Ilustrasi berikutnya menjadi seperti berikut

Perhatikan tiga ilustrasi di atas, jika titik P adalah titik sinngung lingkaran x2+y2=r2, maka gradien garis singgung lingkarannya, misal kita namakan ml adalah ml=x1y1, sehingga persamaan garis singgungnya yang melalui titik P tersebut dan bergradien ml=x1y1 adalah:

yy1=x1y1(xx1)y1yy12=x1x+x12x1x+y1y=x12+y12x1x+y1y=r2Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:x1x+y1y=r2.

CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di pangkal koordinat danmenyinggungk2x+y5=0Jawab:Perhatikan ilustrasi berikut.


menjadi


.Diketahuibahwa titikOke gariskadalahr=OA=|ax1+by1+ca2+b2|=|2(0)+(0)522+12|=|55|=|5|=(5)=5(ingat, nilai mutlak bilangan negatif adalah bilngan positif)Sehingga persamaan lingkarannya adalah:Lx2+y2=r2x2+y2=5.

2.Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat diA(2,1)dan menginggunggaris4y+3x12=0di titikPJawab:Perhatikan ilustrasi berikut.
.Sehinggar=AP=|3(2)+4(1)1232+42|=|105|=|2|=2Sehingga persamaan lingkarannya adalah L(x2)2+(y+1)2=4.

3.Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaranx2+y2=169dan melalui titikQ(5,12)Jawab:Alternatif 1DiketahuiLx2+y2=169atauLx2+y2169=0danQ(5,12)kuasa titik A (posisi titik Q) adalah:=52+(12)2169=0Sehingga titik Q pada lingkaran denganpersamaanx1x+y1y=r25x12y=169Alternatif 2Persamaan lingkaranLx2+y2=169...................(1)Persamaan garis singgunggmelaluiQ(5,12)adalah:gy+12=m(x5)y=mx5m12....(2)Dari persamaan (1) dan (2)x2+(mx5m12)2=169x2+m2x2+25m2+14410m224mx+120m=169(1+m2)x2(10m2+24m)x+25m2+120m25=0Syarat menyinggungD=b24ac=0(10m2+24m)24(1+m2)(25m2+120m25)=0144m2120m+25=0(12m5)2=0m=512.......(3)Jika (1) disebstitusikan ke (2), makay+12=512(x5)y=512x16912atau5x12y=169.

.Berikut ilustrasi lingkaran dan garis singgungnya

4.Tentukan persamaan garis singgung dititikR(2,4)pada lingkaran(x2)2+(y+1)2=25Jawab:Kita cek sebentar posisi/kedudukan titikRKR=K(2,4)(22)2+(4+1)22516+925=0Sehingga posisi titikRpada keliling lingkaranAlternatif 1(x1a)(xa)+(y1b)(yb)=r2maka(x12)(x2)+(y1+1)(y+1)=25Untuk titikR(2,4),maka garis singgungnya(22)(x2)+(4+1)(x+1)=25(4)(x2)+(3)(x+1)=254x+83x3=254x+3y+20=0Jadi, garis singgungnya adalah:4x+3y+20=0Alternatif 2(x2)2+(y+1)2=25x24x+4+y2+2y+1=25x2+y24x+2y20=0Selanjutnya untuk garis sinngunglingkaran di titikR(2,4)adalah:x1x+y1y+12A(x1+x)+12B(y1+y)+C=0(2)x+(4)y2(2+x)+(4+y)20=02x4y+42x4+y20=04x3y20=04x+3y+20=0Jadi, garis singgungnya adalah:4x+3y+20=0.



C. Garis Singgung Melalui Sebuah Titik di Luar Lingkaran

Perhatikan ilustrasi berikut

Titik T(x1,y1) berada di luar lingkaran L. Garis  g1  dan  g2 melalui T dan menyinggung lingkaran L di titik Q dan R.
Ada dua alternatif minimal untuk mencari persamaan garis dinggung g1  dan  g2 pada lingkaran L.
  1. menentukan gradien garis g1  dan  g2, kemudian menentukan garis singgungnya
  2. menentukan titik singgung Q dan R dengan cara menentukan garis kutub dati titik T, kemudian menentukan perpotongan dengan lingkaran L. Sealanjutnya menentukan persamaan garis singgung di titik Q dan R.

CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaranx2+y2=25dan melalui titikP(7,0)Jawab:Diketahui persamaan lingkaranx2+y2=25Kedudukan titikT(7,0):72+02=49>25Sehingga T berada di luar lingkaran LCara 1Persamaan garis singgung lingkaran (PGSL)melalui titik T(7,0)adalah:y=m(xx1)+y1=m(x7)+0=mx7mSelanjutnya hasil di atas kita substitusikanlingkaran L, yaitu:x2+(mx7m)2=25x2+m2x214m2x+49m225=0(1+m2)x214m2x+49m225=0Selanjutnya, syarat menyinggung,D=b24ac=0(14m2)24.(m2+1)(49m225)=0(dibagi 4)49m4(49m425m2+49m225)=024m225=0m2=2524m=±5126Sehingga persamaan garis singgungnyay1=512x635126dany2=512x6+35126Cara 2Persmaan garis kutubnya dari titik T(7,0)x1x+y1y=257x=25x=257Hasilnya kita substitusikan ke persamaan lingkaran L, yaitu:x2+y2=25(257)2+y2=52y2=52(257)2y=±(5+257)(5257)y=±607×107=±1076{y1=1076y2=1076Sehingga diperoleh titik singgungnya yaitu:(257,1076)dan(257,1076)dan garis singgungnya adalah:257x+107y6=25dan257x107y6=25atau57x+27y6=5dan57x27y6=557x+27y6=5dan57x27y6=55x+2y6=35dan5x2y6=352y6=5x+35dan2y6=5x35y=5x+3526dany=5x3526y=5x+3526×66dany=5x3526×66y=5x6+35612dany=5x635612y=512x6+35126atauy=512x635126.

Berikut ilustrasi gambarnya



2.Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaranx2+y2=12dan melalui titikP(0,4)Jawab:Diketahui persamaan lingkaranx2+y2=12Persamaan garis kutub lingkaranmelalui titik(x1,y1)adalah:x2+y2=12xx+yy=12x1x+y1y=12garis ini melaluititikP(0,4),makax1.0+y1.4=12y1=3......(1)Karena titik(x1,y1)pada lingkaranmaka,x12+y12=12......(2)Selanjutnya dari persamaan(1)&(2)akan diperolehx12+y12=12y1=3x12+(3)2=12x12+9=12x12=3x1=±3Sehingga persamaan garis singgungnya(x1x+y1y=12)adalah:{di titik(x1,y1)=(3,3)3x+3y=12di titik(x1,y1)=(3,3)3x+3y=12
Berikut ilustrasi gambarnya


DAFTAR PUSTAKA
  1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
  2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
  3. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 2. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
  4. Wirodikromo, S. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: ERLANGGA.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Informasi