Hubungan Dua Lingkaran (Lanjutan)

 Hubungan Dua Buah Lingkaran

Coba perhatikan ilustrasi beberapa lingkaran berikut

Sebagai penjelasan dari kondisi di atas adalah:

$\begin{array}{|c|c|l|}\hline \textbf{Kedudukan}&\textbf{Ilustrasi}&\qquad\qquad\: \textbf{Keterangan}\\\hline \left | L_{1}L_{2} \right |>r_{1}+r_{2}&\textbf{Gambar 1}&\begin{aligned}&\textrm{kedua lingkaran tidak berpotongan}\\ &\textrm{dan tidak pula bersinggungan}\\ &\textrm{dan saling lepas} \end{aligned}\\\hline \left | L_{1}L_{2} \right |=0&\textbf{Gambar 5}&\textrm{Dikarenakan sepusat}\\\hline \left | L_{1}L_{2} \right |\leq r_{1}+r_{2}&\textbf{Gambar 6}&\textrm{Terletak di dalam lingkaran}\: \: L_{1} \\\hline \left | L_{1}L_{2} \right |=r_{1}+r_{2}&\textbf{Gambar 2}&\begin{aligned}&\textrm{kedua lingkaran tidak berpotongan}\\ &\textrm{tetapi bersinggungan di luar} \end{aligned}\\\hline \left | L_{1}L_{2} \right |=r_{1}-r_{2}&\textbf{Gambar 3}&\begin{aligned}&\textrm{kedua lingkaran tidak berpotongan}\\ &\textrm{tetapi bersinggungan di dalam} \end{aligned}\\\hline \begin{cases} \left | L_{1}L_{2} \right | > r_{1}-r_{2} \\ \left | L_{1}L_{2} \right | < r_{1}+r_{2} \end{cases}&\textbf{Gambar 4}&\begin{aligned}&\textrm{kedua lingkaran berpotongan} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\begin{aligned}&\textbf{Kuasa}\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Lingkaran}&\textrm{Posisi sebuah titik terhadap lingkaran}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Titik dua}\\ & \textrm{lingkaran} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Tempat kedudukan titik-titik yang memiliki}\\ &\textrm{kuasa yang sama terhadap dua lingkaran} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Garis tiga}\\ & \textrm{lingkaran} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Tempat kedudukan titik yang memiliki}\\ &\textrm{kuasa yang sama terhadap tiga buah lingkaran} \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\textbf{Berkas Lingkaran}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{Istilah}&\textrm{Posisi}&\qquad\qquad\textrm{Keterangan}\\\hline   \begin{aligned}&\textrm{Berkas}\\ &\textrm{Lingkaran} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Pada garis}\\ &\textrm{busur} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sejumlah lingkaran yang dapat }\\  &\textrm{dibuat melalui titik-titik potong }\\ &\textrm{kedua lingakaran itu}\end{aligned} \\\hline  \end{array} \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\textbf{Tali Busur Sekutu}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{Istilah}&\textrm{Posisi}&\qquad\qquad\textrm{Keterangan}\\\hline   \begin{aligned}&\textrm{Tali Busur}\\ &\textrm{Sekutu}\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Kedua}\\ &\textrm{lingkaran}\\ &\textrm{yang}\\ & \textrm{berpotongan} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Ruas garis yang menghubungkan  }\\ &\textrm{titik-titik potong irisan irisan }\\ &\textrm{kedua lingkaran tersebut}\\ & \end{aligned} \\\hline  \end{array}\\ &\bullet \: \: \textrm{Persamaan Tali Busur Sekutunya adalah}:\: \color{blue}L_{1}-L_{2}=0\\ &\bullet \: \: \textrm{Persamaan yang melalui titik potong dan lingkaran (berkas)}\\ &\: \: \quad \textrm{itu adalah}:\: L_{3}=L_{1}+\color{red}p\color{black}(L_{1}-L_{2}),\: \: \textrm{atau}\: \: L_{3}=L_{1}+\color{red}p\color{black}L_{2}\\ &\: \: \quad \textrm{dengan}\: \: \color{red}p\: \: \color{black}\textrm{adalah suatu parameter (suatu patokan nilai)}\\ &\bullet \: \: \textrm{Luas daerah irisan}:\: (\theta _{1}r_{1}^{2}+\theta _{2}r_{2}^{2})-\displaystyle \frac{1}{2}(r_{1}^{2}\sin \theta _{1}+r_{2}^{2}\sin \theta _{2}) \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah kedudukan untuk dua buah lingkaran}\\ & L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\\ &\textrm{dan}\: \: L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-4x-2y-1=0.\\ & \textrm{Jika kedua lingkaran tersebut bersinggungan}\\ &\textrm{atau berpotongan, tentukanlah titik singgung atau potongnya} \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline L_{1}&L_{2}\\\hline x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0&x^{2}+y^{2}-4x-2y-1=0\\\hline \begin{cases} P_{1} & :\left ( - \displaystyle \frac{1}{2}(-2),-\frac{1}{2}(-4) \right )=(1,2) \\ r &=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( (-2)^{2}+(-4^{2}) \right )-1}\\ &=2 \end{cases}&\begin{cases} P_{2} & :\left ( - \displaystyle \frac{1}{2}(-4),-\frac{1}{2}(-2) \right )=(2,1) \\ r &= \sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( (-4)^{2}+(-2^{2}) \right )-(-1)}\\ &=\sqrt{6} \end{cases}\\\hline \end{array}\\ &\begin{aligned}\textrm{Jarak ke}&\textrm{dua pusat lingkarannya adalah}\: \: P_{1}P_{2}\: \: \textrm{yaitu}:\\ P_{1}P_{2}&=\sqrt{(2-1)^{2}+(1-2)^{2}}\\ &=\sqrt{2}\\ \textrm{Karena n}&\textrm{ilai}\: \: P_{1}P_{2}=\sqrt{2}\: \: \textrm{dan nilai}\: \: P_{1}+P_{2}=2+\sqrt{6},\\ \textrm{sehingga}\: &P_{1}P_{2}<P_{1}+P_{2}\: \: \textrm{maka kedua lingkaran }\\ \textrm{itu berpo}&\textrm{tongan} \end{aligned}  \end{array}$.

$.\qquad \begin{aligned}x^{2}+y^{2}-2x-4y+1&=0\: ..................(1)\\ x^{2}+y^{2}-4x-2y-1&=0\: ..................(2)\\ ----------&---\: ^{-}\\ 2x-2y+2&=0\\ y&=x+1\: ........................(3)\\ \textrm{persamaan}\: \: (3)\rightarrow (1)&\\ x^{2}+(x+1)^{2}-2x-&4(x+1)+1=0\\ x^{2}+x^{2}+2x+1-2x&-4x-4+1=0\\ 2x^{2}-4x-2&=0\Leftrightarrow x^{2}-2x-1=0\\ x_{1,2}&=\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^{2}-4.1(-1)}}{2}\\ &=\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\displaystyle \frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}\begin{cases} x_{1} & =1+\sqrt{2}\: .........(4)\: \: \textbf{atau} \\ x_{2} & =1-\sqrt{2}\: .........(5) \end{cases}\\ \textrm{persamaan}\: \: (4)\rightarrow (3)&,\: y_{1}=1+\sqrt{2}+1=2+\sqrt{2}\\ \textrm{persamaan}\: \: (5)\rightarrow (3)&,\: y_{1}=1-\sqrt{2}+1=2-\sqrt{2}\\ \textrm{Sehingga titik poton}&\textrm{gnya ada 2 yaitu}:\\ &\color{red}\begin{cases} \left ( 1+\sqrt{2},2+\sqrt{2} \right )\: \: \textrm{dan} \\ \left ( 1-\sqrt{2},2-\sqrt{2} \right ) \end{cases}& \\\textrm{Berikut ilustrasinya} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2&\textrm{Dari contoh soal no.1, tentukanlah persamaan lingkaran }\\ &\textrm{yang melalui titik potong kedua lingkaran itu serta }\\ &\textrm{melalui titik pusat koordinat}\: \: O(0,0)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Pada jawaban soal no.1 didapatkan persamaan }\\ &\textbf{tali busur}:L_{1}-L_{2}\equiv x-y+1=0\\ &\textrm{Sehingga persamaan }\\ &\textbf{berkas lingkaran}\textrm{nya adalah}:L_{3}=L_{1}+p\left (L_{1}-L_{2} \right )=0\\ &\, \, \: \qquad \Leftrightarrow L_{3}= \left (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1 \right )+p(x-y+1)=0\\ &\textrm{Karena melalui titik asal}\: \: O(0,0),\: \textrm{maka}\\ &\, \, \: \qquad \Leftrightarrow (0+0-0-0+1)+p(0-0+1)=0\Leftrightarrow p=-1\\ &\textrm{Selanjutnya persamaan berkas lingkarannya akan menjadi}\\ &\, \, \: \qquad L_{3}\equiv x^{2}+y^{2}-2x-4y+1 -(x-y+1)=0\\ &\textrm{Jadi},\: L_{3}\equiv x^{2}+y^{2}-3x-3y=0 \\\\ &\textrm{Dan gambar berikut sebagai ilustrasinya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3&\textrm{Diketahuin dua buah lingkaran}\\ & L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}-15y+32=0\quad \: \textrm{dan}\\ & L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-18x+2y+32=0\\ &\textrm{Tunjukkan bahwa kedua lingkaran}\\ &\textrm{bersinggungan di luar dan tentukan}\\ &\textrm{titik singgungnya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textrm{Akan ditunjukkan kedua lingkaran saling}\\ &\textrm{bersinggungan di luar, yaitu:}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}-15y+32=0&\begin{cases} P_{1} &=(0,8) \\  r_{1} & = 4\sqrt{2} \end{cases}\\\hline L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-18x+2y+32=0&\begin{cases} P_{2} &=(9,-1) \\  r_{2} & = 5\sqrt{2} \end{cases}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Hitungan jarak kedua pusat}&\textrm{Sebagai bandingan}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Pusat 1 lingkaran}\: P_{1}=(0,8)\\ &\textrm{Pusat 2 lingkaran}\: P_{2}=(9,-1)\\ &\textrm{maka jarak}\: \: \: P_{1}P_{2}\: \: \textrm{adalah}\\ &=\sqrt{(9-0)^{2}+(-1-8)^{2}}\\ &=\sqrt{9^{2}+9^{2}}=\sqrt{2\times 9^{2}}=\color{red}9\sqrt{2} \end{aligned}&\begin{aligned}P_{1}P_{2}&=r_{1}+r_{2}\\&=4\sqrt{2}+5\sqrt{2}\\&=\color{red}9\sqrt{2}\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\color{blue}\textrm{Adapun koordinat titik singgungnya}:\\ &\begin{aligned}\begin{pmatrix} x\\  y \end{pmatrix}&=\displaystyle \frac{5\begin{pmatrix} 0\\ 8 \end{pmatrix}+4\begin{pmatrix} 9\\  -1 \end{pmatrix}}{5+4}=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 5\times 0+4\times 9\\  5\times 8+4\times (-1) \end{pmatrix}}{9}\\ &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 36\\  36 \end{pmatrix}}{9}=\begin{pmatrix} 4\\  4 \end{pmatrix} \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga koordinat titik potongnya adalah}:\: (4,4)\\ &\textbf{Sebagai gambaran perhatikan ilustrasi berikut} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
4. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.