Kedudukan Garis terhadap Lingkaran (Lanjutan)

 $\text{E. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran }$.

Posisi garis terhadap lingkaran tergantung nilai Diskriminan (D) hasil substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran.

$\{\begin{array}{ll}\bullet & \text{memotong lingkaran di dua titik}(D>0)\\ & \text{ada garis dan titik polar}\\ \bullet & \text{menyinggung lingkaran}(D=0)\\ \bullet & \text{tidak memotong ataupun menyinggung}(D<0)\end{array}$.

Berikut Ilustrasi gambarnya

$\text{F. Jarak Garis ke Pusat Lingkaran}$.

$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Jarak titik}M(p,q)\text{terhadap pusat}& \\ \text{lingkaran}N(a,b)& \left|MN\right|=r\\ r=\left|{\displaystyle \frac{Ap+Bq+C}{\sqrt{A^2+B^2}}}\right|& \\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah nilai}p\text{supaya lingkaran}\\ & x^2+y^2-px-10y+4=0\\ & \text{a}.\text{menyinggung sumbu x}\\ & \text{b}.\text{memotong sumbu x di dua titik}\\ & \text{c}.\text{tidak memotong dan tidak menyinggung }\\ & \text{sumbu x}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{r}\\ & \text{Persamaan lingkaran}:\\ & x^2+y^2-px-10y+4=0\\ & \text{saat menyinggung}\text{sumbu x},\text{maka}y=0\\ & \text{adalah gar}\text{is yang sejajar sumbu x, maka}\\ & y=0\Rightarrow x^2+y^2-px-10y+4=0\\ & \iff x^2+0^2-px-0+4=0\\ & \iff x^2-px+4\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline \text{Menyinggung}& \text{memotong}& \text{Tidak keduanya}\\ \begin{array}{rl}D& =b^2-4ac=0\\ & \iff p^2-4.1.4=0\\ & \iff p^2=16\\ & \iff p=\pm 4\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}D& >0\\ & \iff b^2-4ac>0\\ & \iff p^2-16>0\\ & \iff (p+4)(p-4)>0\\ & \therefore p<-4\text{atau}p>4\end{array}& \begin{array}{rl}D& <0\\ & \iff b^2-4ac<0\\ & \iff p^2-16<0\\ & \iff (p+4)(p-4)<0\\ & \therefore -4<p<4\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah nilai}a\text{supaya lingkaran}\\ & x^2+y^2=1\text{dan garis}y=ax+2\\ & \text{a}.\text{bersinggungan}\\ & \text{b}.\text{berpotongan}\\ & \text{c}.\text{tidak berpotongan maupun bersinggungan}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Di sini yang kita bahas adalah yang poin b, }\\ & \text{yaitu untuk}y=ax+2,\text{maka}\\ & x^2+y^2=1\\ & x^2+(ax+2{)}^2=1\\ & x^2+a^2{x}^2+4ax+4=1\\ & (1+a^2)x^2+4ax+3=0\\ & \text{syarat berpotongan}D=b^2-4ac\ge 0\\ & (\text{artinya bersinggungan sekaligus berpotongan di 2 titik})\\ & (4a{)}^2-4(1+a^2)(3)\ge 0\\ & 16a^2-12a^2-12\ge 0\\ & 4a^2-12\ge 0\\ & a^2-3\ge 0\\ & (a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})\ge 0\\ & \therefore a\le -\sqrt{3}\text{atau}a\ge \sqrt{3}\end{array}\end{array}$.