Contoh Soal 3 Distribusi Binomial

 $\begin{array}{l}\\ 11.& \text{Suatu tes dengan pilihan jawaban }\\ & \text{benar-salah berjumlah 8 soal}\\ & \text{Supaya lulus tes, peserta diharuskan }\\ & \text{menjawab benar minimal 50}\mathrm{\%}\\ & \text{Peluang seseorang dianggap lulus tes }\\ & \text{adalah}....\\ & \text{a}.{\displaystyle 0,2188\text{d}.0,6367}\\ & \text{b}.{\displaystyle 0,2734\text{c}.0,3633\text{e}.0,7266}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& p=\mathbf{\text{Peluang benar}}={\displaystyle \frac{1}{2},\text{dan}}\\ & q=\mathbf{\text{Peluang Salah}}=1-{\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\\ & f(x)=P(X=x)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x.q^{n-x}\\ & \text{maka}\\ & P(X=50\mathrm{\%}(8)=4)=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{8-4}\\ & ={\displaystyle \frac{8!}{4!\times 4!}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{4+4}}\\ & =70\times {\displaystyle \frac{1}{256}}\\ & =0,2734\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 12.& \text{Sebuah kotak berisi 20 bola dengan }\\ & \text{rincian 12 boal berwarna kuning dan }\\ & \text{sisanya berwarna hijau. Dari kotak}\\ & \text{diambil 6 bola secara acak. Peluang}\\ & \text{terambil 4 bola hijau adalah}....\\ & \text{a}.{\displaystyle 0,1238\text{d}.0,8132}\\ & \text{b}.{\displaystyle 0,1382\text{c}.0,3110\text{e}.0,9590}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& p=\mathbf{\text{Peluang bola kuning}}\\ & ={\displaystyle \frac{C_1^{12}}{C_1^{20}}={\displaystyle \frac{12}{20}=\frac{3}{5},}}\\ & q=\mathbf{\text{Peluang bola hijau}}=1-{\displaystyle \frac{3}{5}=\frac{2}{5}}\\ & f(x)=P(X=x)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x.q^{n-x}\\ & \text{maka}\\ & f(4)=\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\times {\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^4\times {\left(\frac{3}{5}\right)}^{6-4}\\ & ={\displaystyle \frac{6!}{2!\times 4!}\left({\displaystyle \frac{16}{625}}\right)\times \left({\displaystyle \frac{9}{25}}\right)}\\ & =15\times {\displaystyle \frac{144}{15625}=\frac{2160}{15625}}\\ & =0,1382\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 13.& \text{Dua dadu dilambungkan 5 kali}\\ & \text{Peluang muncul pasangan mata dadu}\\ & \text{berjumlah 4 sampai dengan 7 }\\ & \text{sebanyak 4 kali adalah}....\\ & \text{a}.{\displaystyle 0,1503\text{d}.0,1583}\\ & \text{b}.{\displaystyle 0,1553\text{c}.0,1563\text{e}.0,1593}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& p=\mathbf{\text{Peluang mata dadu berjumlah 4 sampai 7}}\\ & ={\displaystyle \frac{18}{36}=\frac{1}{2},\text{dan}}\\ & q=\mathbf{\text{Peluang bola hijau}}=1-{\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\\ & f(x)=P(X=x)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x.q^{n-x}\\ & f(4)=P(X=4)=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5-4}\\ & ={\displaystyle \frac{5!}{1!\times 4!}\left({\displaystyle \frac{1}{16}}\right)\times \left(\frac{1}{2}\right)}\\ & =5\times {\displaystyle \frac{1}{32}=\frac{5}{32}}\\ & =0,1563\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 14.& \text{Peluang seseorang sembih dari }\\ & \text{penyakit jantung adalah 0,6}\\ & \text{Jika 7 orang penderita ini menjalani }\\ & \text{operasi, maka peluang 3 sampai}\\ & \text{6 orang sembuh adalah}....\\ & \text{a}.{\displaystyle 0,0629\text{d}.0,6822}\\ & \text{b}.{\displaystyle 0,2613\text{c}.0,2898\text{e}.0,9720}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& p=\mathbf{\text{Peluang sembuh}}=0,6,\text{maka}\\ & q=\mathbf{\text{Peluang tidak sembuh}}=1-0,6=0,4\\ & f(x)=P(X=x)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x.q^{n-x}\\ & \text{maka}\\ & P(3\le X\le 6)=P(X\le 6)-P(X\le 3)\\ & =C_4^7(0,6{)}^4(0,4{)}^3+C_5^7(0,6{)}^5(0,4{)}^2+C_6^7(0,6{)}^6(0,4{)}^1\\ & =35\times 0,0082944+21\times 0,0124416+7\times 0,0186624\\ & =0,290304+0,2612736+0,1306368\\ & =0,6822144\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 15.& \text{Peluang seseorang mendapatkan reaksi }\\ & \text{buruk setelah disuntik adalah 0,0005}\\ & \text{Dari 4000 orang yang disuntik, maka }\\ & \text{peluang seseorang mendapatkan reaksi}\\ & \text{ada 2 orang adalah}.....\\ & \text{a}.{\displaystyle \frac{1}{2}{e}^{-2}}\\ & \text{b}.e^{-2}\\ & \text{c}.2e^{-2}\\ & \text{d}.{\displaystyle \frac{1}{2}{e}^2}\\ & \text{e}.2e^2\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Di atas adalah contoh kasus }\\ & \text{permasalahan}\mathbf{\text{Distribusi Poisson}}\\ & P(X=x)=f(x)=\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{e^{-\lambda }.{\lambda }^x}{x!},x=0,1,2,3,\cdots }\\ 0,\text{untuk}x\text{yang lain}\end{array}\\ & P(X=2)={\displaystyle \frac{e^{-np}.(np{)}^2}{2!}}\\ & ={\displaystyle \frac{e^{-(4000.0,0005)}.(4000.0,0005{)}^2}{2!}}\\ & ={\displaystyle \frac{e^{-2}{.2}^2}{2}}\\ & =2e^{-2}\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 2 Distribusi Binomial

 $\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Pengundian terhadap mata uang }\\ & \text{yang homogen sebanyak 10 kali}\\ & \text{Peluang untuk mendapatkan 6 }\\ & \text{muka angka adalah}....\\ & \text{a}.0,1172\\ & \text{b}.0,2051\\ & \text{c}.0,2461\\ & \text{d}.0,2651\\ & \text{e}.0,2852\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& p=\mathbf{\text{Peluang Angka}}={\displaystyle \frac{1}{2},\text{dan}}\\ & q=\mathbf{\text{Bukan Angka}}\\ & =\mathbf{\text{Peluang Gambar}}=1-{\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\\ & f(x)=P(x;n;p)=P(X=x)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}\\ & \text{maka}\\ & f(x)=P(X=x)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x.q^{n-x}\\ & f(6)=P(X=6)=\left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right)\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^6\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{10-6}\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{6!\times 4!}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{6+4}}\\ & =210\times {\displaystyle \frac{1}{1024}}\\ & =0,2051\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Pada pengundian terhadap mata uang identik},\\ & \text{sebanyak 10 kali, peluang distribusi binomial}\\ & \text{untuk mendapatkan 7 muka gambar adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.{\displaystyle 0,2653}& & \text{d}.{\displaystyle 0,7522}\\ \text{b}.{\displaystyle 0,1172}& \text{c}.{\displaystyle 0,2653}& \text{e}.0,2422\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Uraian berikut sekaligus tambahan}\\ & \text{penjelasan pada uraian jawaban}\\ & \text{soal no. 6 di atas}\\ & \begin{array}{rl}f(x)& =P(x;n;p)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}\\ & \text{Ingat sebuah koin ada 2 muka}\\ & \text{yaitu muka gambar (G) dan angka (A)}\\ & \text{misalkan}\\ & A=\text{kejadian muncul muka gambar}\\ & \text{maka peluangnya adalah}{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \text{Selanjutnya di sini disimbolkan dengan}p={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \text{Demikian juga misalkan}\\ & B=\text{kejadian muncul muka angka}\\ & \text{maka peluang juga}{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \text{Di sini dituliskan dengan}q={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ f(7)& =\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^7{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{10-7}\\ & =\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^7{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{7!\times (10-7)!}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{7+3}}\\ & ={\displaystyle \frac{10.9.8.\text{⧸}7!}{\text{⧸}7!.3.2.1}\left({\displaystyle \frac{1}{1024}}\right)}\\ & =0,1172\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Sebuah uang logam dilempar sebanyak 8}\\ & \text{kali. Peluang muncul gambar sebanyak}\\ & \text{5 kali adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{3}{32}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{7}{32}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{4}{32}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{5}{32}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{9}{32}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}f(x)& =P(x;n;p)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}\\ f(5)& =\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^5{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{8-5}\\ & =\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^5{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3\\ & ={\displaystyle \frac{8!}{5!\times (8-5)!}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{5+3}}\\ & ={\displaystyle \frac{8.7.6.5!}{5!.3.2.1}\left({\displaystyle \frac{1}{256}}\right)}\\ & ={\displaystyle \frac{8.7}{256}}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{32}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Pada pelemparan sebuah koin sebanyak 4 kali}\\ & \text{Peluang didapatkannya dua angka pada}\\ & \text{pelemparan tersebut adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.{\displaystyle 0,123}& & \text{d}.{\displaystyle 0,232}\\ \text{b}.{\displaystyle 0,135}& \text{c}.{\displaystyle 0,154}& \text{e}.0,375\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}f(x)& =P(x;n;p)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}\\ f(2)& =\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{4-2}\\ & =\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2\\ & ={\displaystyle \frac{4!}{2!\times (4-2)!}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2+2}}\\ & ={\displaystyle \frac{4.3.2!}{2!.2.1}\left({\displaystyle \frac{1}{16}}\right)}\\ & =0,375\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Dari data survei didapatkan bahwa}\\ & \text{satu dari lima orang telah berkunjung}\\ & \text{ke dokter dalam sembarang bulan yang}\\ & \text{ditanyakan. Jika 10 orang dipilih secara}\\ & \text{acak, peluang 3 orang telah berkunjung}\\ & \text{ke dokter bulan lalu adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 0,125}& & & \text{d}.& {\displaystyle 0,201}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 0,174}& \text{c}.& {\displaystyle 0,182}& \text{e}.& {\displaystyle 0,423}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}f(x)& =P(x;n;p)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}\\ f(3)& =\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^{10-3}\\ & =\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^7\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{3!\times 7!}\left({\displaystyle \frac{1}{125}}\right)\left({\displaystyle \frac{4^7}{5^7}}\right)}\\ & =\cdots \\ & ={\displaystyle 0,201}\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 1 Distribusi Binomial

 $\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Manakah yang merupakan data diskrit dari pernyataan berikut}\\ & \text{a}.\text{Suhu Badan Anton ketika sakit mencapai}{40}^{\circ }C\\ & \text{b}.\text{Kecepatan mobil yang sedang melaju adalah}100km/jam\\ & \text{c}.\text{Tinggi tiang bendaera di madrasah Budi adalah 4 m}\\ & \text{d}.\text{Jumlah guru yang mengajar di MA Futuhiyah }\\ & \text{sebanyak 30 orang}\\ & \text{e}.\text{Berat bayi yang baru lahir adalah 3.500 gram}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Alasannya dikarena hasil mencacah}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika Anda mengumpulkan nilai raport}\\ & \text{teman-teman sekelas Anda untuk pelajaran}\\ & \text{ matematika, maka data yang Anda peroleh }\\ & \text{adalah}....\\ & \text{a}.\text{data diskrit}\\ & \text{b}.\text{data kontinu}\\ & \text{c}.\text{data kualitatif}\\ & \text{d}.\text{Populasi}\\ & \text{e}.\text{Sampel}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Dengan catatan nilainya cacah}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Ukuran yang dihitung dari seluruh data }\\ & \text{dalam populasi adalah}....\\ & \text{a}.\text{data kuantitatif}\\ & \text{b}.\text{data kualitatif}\\ & \text{c}.\text{Statistik}\\ & \text{d}.\text{Statistika}\\ & \text{e}.\text{Parameter}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Parameter adalah ukuran dari }\\ & \text{seluruh data atau populasi}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Diketahui distribusi peluang suatu }\\ & \text{variabel acak diskrit sebagai berikut}\\ & \begin{array}{|ccccc|}\hline x& 0& 1& 2& 3\\ f(x)& m& 0,26& 3m& 0,42\\ \hline\end{array}\\ & \text{Peluang nilai X minimal berharga 2 adalah}\\ & \text{a}.0,24\\ & \text{b}.0,34\\ & \text{c}.0,42\\ & \text{d}.0,58\\ & \text{e}.0,66\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}X\text{adalah variabel }\\ & \text{acak diskrit, maka}\sum f(x)=1\\ & F(c)=P(X\le c)={\displaystyle \sum _{x=0}^{x=c}f(x)}\\ & =f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(c)=1\\ & \text{dalam hal soal}\text{di atas, maka kita tentukan}\\ & \text{nilai}m\text{dulu}\\ & F(3)=P(X\le 3)={\displaystyle \sum _{x=0}^{x=3}f(x)}\\ & =f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=1\\ & 1=m+0,26+3m+0,42=4m+0,68\\ & 4m=1-0.68=0,32\\ & m=0.08,\text{sehingga}\\ & P(2\le X\le 3)=f(2)+f(3)=3m+0,42\\ & =3(0,08)+0,42=0,24+0,42=0,66\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Diketahui fungsi peluang suatu }\\ & \text{variabel acak kontinu adalah}\\ & f(y)=\{\begin{array}{c}0,\text{untuk textit{y} yang lain}\\ \\ {\displaystyle \frac{2y+k}{50},\text{untuk}0\le y\le 5}\end{array}\\ & \text{Nilai}P(|Y-1|\le 2)\text{adalah}....\\ & \text{a}.{\displaystyle \frac{7}{25}\text{d}.\frac{14}{25}}\\ \\ & \text{b}.{\displaystyle \frac{9}{25}\text{c}.\frac{12}{25}\text{e}.\frac{18}{25}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& {\int }_0^5{\displaystyle \frac{2y+k}{50}dy=1}\\ & 1={\int }_0^5{\displaystyle \frac{2y+k}{50}dy}\\ & 50={\int }_0^5(2y+k)dy\\ & 50=y^2+ky{|}_0^5=5^2+5k=25+5k\\ & k=5\\ & P(|Y-1|\le 2)=P(-2\le Y-1\le 2)\\ & =P(-1\le Y\le 3)\\ & =f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)\\ & ={\int }_0^3\left({\displaystyle \frac{2y+5}{50}}\right)dy\\ & ={\displaystyle \frac{1}{50}(y^2+5y){|}_0^3}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{50}(9+15)={\displaystyle \frac{24}{50}=\frac{12}{25}}}\end{array}\end{array}$

Lanjutan Distribusi Binomial

 $\begin{array}{rl}\text{D}.& \text{Binomial Newton}\end{array}$

 $\begin{array}{rl}\text{D. 1}.& \text{Binomial Newton}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah susunan bilangan berikut}\\ \\ & \begin{array}{|cl|}\hline & \\ 1=C_0^{1}1=C_1^1& (a+b{)}^1\\ & \\ 1=C_0^{2}2=C_1^{2}1=C_2^2& (a+b{)}^2\\ & \\ 1=C_0^{3}3=C_1^{3}3=C_2^{3}1=C_3^3& (a+b{)}^3\\ & \\ 1=C_0^{4}4=C_1^{4}6=C_2^{4}4=C_3^{4}1=C_4^4& (a+b{)}^4\\ ⋮& ⋮\\ dst& (a+b{)}^{\cdots }\\ & \\ ⋮& ⋮\\ & (a+b{)}^n\\ \hline\end{array}\\ \\ & \text{Susunan bilangan-bilangan di atas selanjutnya}\\ & \text{dinamakan}\mathbf{\text{Segitiga Pascal}}\\ & \end{array}$

$\begin{array}{rl}& \text{Bilangan}{C}_r^n=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)\text{merupakan koefisien}\\ & \text{dari binomial}(a+b{)}^n\\ & \text{Selanjutnya perhatikanlah bahwa untuk}\\ & n=1,2,3,4,\cdots \text{berlaku}\\ & \begin{array}{rl}(a+b{)}^n=& C_0^n{a}^n{b}^0+C_1^n{a}^{n-1}{b}^1+C_2^n{a}^{n-2}{b}^2\\ & +C_3^n{a}^{n-3}{b}^3+\cdots +C_{n-3}^n{a}^3{b}^{n-3}\\ & +C_{n-2}^n{a}^2{b}^{n-2}+C_{n-1}^n{a}^1{b}^{n-1}+C_n^n{a}^0{b}^n\\ & ={\displaystyle \sum _{r=0}^n{C}_r^n{a}^{n-r}{b}^r}\end{array}\\ & \end{array}$

$\text{D. 2 Perluasan Binomial Newton}$

$\begin{array}{rl}& \text{Untuk bilangan real}n\text{dan bilangan}\\ & \text{non negatif}r,\text{serta}\left|A\right|<1,\text{berlaku}:\\ & (1+A{)}^n={\displaystyle \sum _{r=0}^n{C}_r^n{A}^r}\end{array}$

$\text{D. 3 Teorema Multinomial}$

Pada bentuk multinomial dengan ekspresi  $(x_1+x_2+x_3+\cdots +x_r{)}^n$  dengan n dan r bilangan bulat positif, maka koefisien dari  $x_1^{n_1}{x}_2^{n_2}{x}_3^{n_3}\cdots x_r^{n_r}$   adalah  ${\displaystyle \frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\cdots n_r!}}$  dinotasikan dengan  $\left(\begin{array}{c}n\\ \\ n_1,n_2,n_3,\cdots ,n_r\end{array}\right)$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Misalkan untuk}n\text{bilangan bulat}\\ & \text{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ & \text{a}.(1+x{)}^n={\displaystyle \sum _{r=0}^n{C}_r^n{x}^r={\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)x^r}}\\ & \text{b}.\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)+\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=2^n\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.(1+x)& {}^n\\ =& C_0^n{1}^n{x}^0+C_1^n{1}^{n-1}{x}^1+C_2^n{1}^{n-2}{x}^2\\ & +C_3^n{1}^{n-3}{x}^3+\cdots +C_{n-3}^n{1}^3{x}^{n-3}\\ & +C_{n-2}^n{1}^2{x}^{n-2}+C_{n-1}^n{1}^1{x}^{n-1}+C_n^n{1}^0{x}^n\\ =& C_0^n+C_1^{n}x+C_2^n{x}^2+C_3^n{x}^3+\cdots \\ & +C_{n-3}^n{x}^{n-3}+C_{n-2}^n{x}^{n-2}+C_{n-1}^n{x}^{n-1}\\ & +C_n^n{x}^n\\ \text{atau}& \text{dengan bentuk lain}\\ =& \left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^2+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)x^3\\ & +\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-3\end{array}\right)x^{n-3}+\left(\begin{array}{c}n\\ n-2\end{array}\right)x^{n-2}\\ & +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)x^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)x^n\\ =& {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)x^r}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{b}.(1+x)& {}^n\text{lihat jawaban poin}a,\text{saat}x=1\\ (1+1)& {}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)1+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)1^2+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)1^3\\ & +\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-3\end{array}\right)1^{n-3}+\left(\begin{array}{c}n\\ n-2\end{array}\right)1^{n-2}\\ & +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)1^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)1^n\\ (2)& {}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)\\ & +\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)\\ =& {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)}\\ \text{Sehing}& \text{ga}\\ 2^n& ={\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Misalkan untuk}n\text{bilangan bulat}\\ & \text{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ & \left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)-\cdots +(-1{)}^n\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=0\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \text{Sebelumnya diketahui bahwa}\\ & \begin{array}{rl}& (a+b{)}^n={\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)a^{n-r}{b}^r}\\ & \text{atau}\\ & {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)a^{n-r}{b}^r=(a+b{)}^n}\\ & ⧫\text{saat}a=b=1,\text{maka}\\ & {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)1^{n-r}{1}^r=(1+1{)}^n}\\ & \iff {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=2^n...(\text{bukti no. 1.b})}\\ & ⧫\text{saat}a=1\mathrm{\&}b=-1\text{maka}\\ & {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)1^{n-r}(-1{)}^r=(1-1{)}^n=0}\\ & \text{Sehingga}\\ & \left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)-\cdots +(-1{)}^n\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=0◼\end{array}\end{array}$

 $\begin{array}{rl}\text{E}.& \text{Distribusi Binomial}\end{array}$

Perhatikan materi Binomial Newton di atas berkaitan dengan distribusi binomial. Misalkan suatu kejadian yang hanya memberikan dua hasil saja  $a$  dan  $b$ saja seperti melambungkan sebuah uang koin yang akan menghasilkan 2 hasil saja yang mungkin, yaitu antara sisi gambar $G$ atau muncul sisi angka $A$ atau pada contoh lainnya adalah ketika seseorang yang menunggu hasil hasil ujian yang jelas hasilnya kemungkinannya cuma dua, yaitu lulus atau tidak lulus.

Percobaan acak yang hanya memberikan 2 hasil saja disebut percobaan $Bernoulli$. Selanjujtnya percobaan Bernoulli yang dilakukan sebanyak $n$ kali dinamakan dengan  $\text{percobaan}\text{Binomial}$.

Variabel acak $X$ yanmg mana nilai-nilainya ditentukan oleh hasil dari percobaan binomial disebut sebagai  Variabel Acak Binomial. 

Berikut ciri-ciri percobaan binomial

• Percobaan dilakukan secara berulang sebanyak  $n$  kali, dengan  $n$ bilangan bulat positif
• Setiap percobaan memiliki dua macam hasil saja dan saling berkomplemen, yaitu kejadian yang diharapkan (disebut sukses) dan kejadian yang tidak diharapkan (disebut tidak sukses)
• Peluang setiap kejadian bersifat tetap untuk setiap percobaan dan jumlah peluangnya baik sukses maupun yang tidak sukses  sama dengan 1. Misalkan peluang suksesny adalah  $p$, maka peluang gagalnya adalah  $q=1-p$
• Setiap percobaan bebas $(independent)$ satu sama lainnya, artinya hasil percobaan yang satu tidak mempengaruhi percobaan yang lain.

Secara umum rumus fungsi  $\text{distribusi binomial}$ adalah:

$\begin{array}{rl}& f(x)=P(x;n;p)=C(n,x)p^x{q}^{n-x}=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}\\ & \mathbf{\text{Keterangan}}:\\ & \bullet C(n,x)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)=\text{koefisien bibonial}\\ & \bullet x=\text{banyak kejadian yang diharapkan},\\ & \text{dengan nilai}x=0,1,2,3,\cdots ,n\\ & \bullet p=\text{peluang kejadian yang diharapkan}\\ & \bullet q=\text{peluang kejadian yang tidak diharapkan}\end{array}$

Jika rumus dari fungsi peluang di atas dijabarkan akan menjadi berupa bentuk penjumlahan, maka

$\begin{array}{rl}F(t)& =P(X\le t)\\ & ={\displaystyle \sum _{x=0}^{x=t}\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}}\\ & =\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)p^0{q}^{n-0}+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+p^1{q}^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)p^2{q}^{n-2}+\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ t\end{array}\right)p^t{q}^{n-t}\end{array}$

Dan rumus di atas karena tidak sepenuhnya sampai  $n$ , maka akan diperoleh fungsi binomial. kumulatif.

Hasil perhitungan $f(x)=P(x;n;p)$  juga dapat dilihat dalam tabel distribusi binomial. Sebagai contohnya adalah $P(2;4;0,05)$ yang berarti  $x=2$, $n=4$,  dan  $p=0,05$ berikut tabelnya:

(Sumber: Buku Siswa Matematika Kelas XII, penulis Tasari, dkk, 2016; hal :126, PT.INTAN PARIWARA)

Sedangkan untuk mencari nilai fungsi peluang distribusi binomial kumulatif, misalkan diberikan  $F(2)=P(X\le 2)$  dari  $P(2;4;0,05)$  perhatikanlah tabel distribusi untuk distribusi peluang kumulatif dari sumber buku yang sama tetapi terdapat pada halaman berikutnya dengan melihat kolom  $p=0,05$  , lalu perhatikan baris  $x=2$  untuk  $n=2$. Berikut tabelnya

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Dari sebuah survei didapatkan bahwa}\\ & \text{1 dari 5 orang berkata bah dia telah}\\ & \text{mengunjungi dokter dalam sembarang}\\ & \text{bulan. Jika 10 orang dipilih secara acak}\\ & \text{maka peluang 3 orang telah berkunjung}\\ & \text{ke dokter pada bulan kemaren adalah}....\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& n=10,x=3,p={\displaystyle \frac{1}{5},q=\frac{4}{5}}\\ & \text{maka}\\ & P(3;10;{\displaystyle \frac{1}{5})=\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^7}\end{array}\\ & =0,201\end{array}$

$\text{TAMBAHAN}$

$\begin{array}{rl}\text{E}.& \text{Dsitribusi Poisson}\end{array}$

Perhatikanlah rumus ditribusi binomial berikut

$\begin{array}{rl}& f(x)=P(x;n;p)\\ & =C(n,x)p^x{q}^{n-x}=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}\end{array}$

Saat harga  $p$ sebagai lmabang sukses tersebut sangat kecil atau kecil sekali dapat juga dikatakan  $p\to 0$, dan percobaan dilakukan banyak sekali atau  $n\to \mathrm{\infty }$ , maka penggunaan formula binomial akan terasa sulit. Dan untuk tetap mendapatkan nilai seperti hasil pada perhitungan dengan rumus binomial tersebut, maka digunakan pendekatan nilai dengan menggunkan rumus Distribusi Poisson berikut:

$f(x)=P(X=x)=P(x;\lambda )={\displaystyle \frac{{\lambda }^x}{x!}.e^{-\lambda }}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Pada tiap 100 lembarkertas produksi}\\ & \text{suatu pabrikdiperkirakan terdapat 1}\\ & \text{lembar yang rusak. Tentukanlah}\\ & \text{kemungkinan mendapat selembar kertas}\\ & \text{dari 20 lembar yang diambil secara acak}\\ & \text{dari hasil produksi tersebut}!\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& n=10,x=1,p={\displaystyle \frac{1}{100},q=\frac{99}{100}}\\ & \text{maka penghitungan dengan}\\ & \text{rumus}\mathbf{\text{Distribusi Binomial}}\\ & P(1;20;{\displaystyle \frac{1}{100})=\left(\begin{array}{c}20\\ 1\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{100}}\right)}^1{\left({\displaystyle \frac{99}{100}}\right)}^{19}}\\ & =\cdots \\ \text{b}.& \text{Dengan rumus}\mathbf{\text{Distribusi poisson}}\\ & \bullet n=20\to \text{terlalu besar, dan}\\ & \bullet p={\displaystyle \frac{1}{100}\to \text{terlalu kecil, maka}}\\ & \text{dengan}\lambda =np=20\times {\displaystyle \frac{1}{100}=0,2}\\ & \text{dan}e=2,7183(\text{bilangan Euler})\\ & f(x)=P(X=x)={\displaystyle \frac{{\lambda }^x}{x!}.e^{-\lambda }}\\ & f(1)={\displaystyle \frac{(0,2{)}^1.e^{-0,2}}{1!}}\\ & =0,2\times 0,409\\ & =0,0818\end{array}\end{array}$.

Sebagai tambahan penjelasannya bahwa jika nilai-nilai dari variabel acak binomial dan peluangnya ditampilkan dalam bentuk tabel atau grafik, maka diperolah distribusi peluang variabel acak binomial yang selanjutnya dapat disebut juga dengan distribusi binomial dan peluang suatu nilai variabel acak binomial dapat disebut sebagai peluang binomial.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Misalkan}X\text{menyatakan sisi angka (A)}\\ & \text{pada pelambungan 3 uang koin, tentukanlah peluang}\\ & \text{setiap nilai}X\text{yang mungkin}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah ilustrasi berikut}\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\mathbf{\text{Nilai}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\to \to \to X=3\\ G\to (A,A,G)\to \to \to X=2\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\to \to \to X=2\\ G\to (A,G,G)\to \to \to X=1\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\to \to \to X=2\\ G\to (G,A,G)\to \to \to X=1\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\to \to \to X=1\\ G\to (G,G,G)\to \to \to X=0\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\\ & \text{Dengan nilai}X=0,1,2,\text{atau}3\end{array}\\ & \begin{array}{rl}f(0)& =P(X=0)={\displaystyle \frac{1}{8}}\\ f(1)& =P(X=1)={\displaystyle \frac{3}{8}}\\ f(2)& =P(X=2)={\displaystyle \frac{3}{8},\text{serta}}\\ f(3)& =P(X=3)={\displaystyle \frac{1}{8}}\\ f(4)& =P(X=4)=0\\ f(5)& =P(X=5)=0\\ f(6)& =P(X=6)=0\\ f(7)& =P(X=7)=0\\ f(8)& =P(X=8)=0\\ & \text{dan begitu seterusnya}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 6 bola}\\ & \text{kuning. Pada percobaan pengambilan sebuah}\\ & \text{bola dalam kotak kemdian dikembalikan lagi}\\ & \text{dengan}X\text{menyatakan banyak bola merah}\\ & \text{yang diinginkan, tentukan nilai peluang masing}\\ & \text{-masing variabel acak}X\text{jika pengambilan}\\ & \text{diulang sebanyak}n\text{kali}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Total bola}=4+6=10\text{bola}\\ & P(M)=\text{peluang terambil 1 bola merah}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{10}=0,4}\\ & P(K)=\text{peluang terambil 1 bola tidak merah}\\ & =1-P(M)=1-0,4=0,6\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Percobaan pengambilan diulang 2 kali}\\ & \text{maka}n=2,\text{sehingga}X=0,1,2\\ & f(0)=P(X=0)=P(KK)\\ & =P(K)\times P(K)\\ & =(0,6)\times (0,6)\text{atau bisa ditulis juga}\\ & =1\times (0,4{)}^0(0,6{)}^2\\ & ={}_2{C}_0(0,4{)}^0(0,6{)}^2\\ & f(1)=P(X=1)=P(KM)\text{atau}P(MK)\\ & =P(MK)+P(MK)\\ & =P(M)\times P(K)+P(K)\times P(M)\\ & =(0,4)\times (0,6)+(0,6)\times (0,4)\\ & =2\times (0,4{)}^1\times (0,6{)}^1\\ & ={}_2{C}_1(0,4{)}^1(0,6{)}^1\\ & f(2)=P(X=2)=P(MM)\\ & =P(M)\times P(M)\\ & =(0,4)\times (0,4)\text{atau bisa ditulis juga}\\ & ={}_2{C}_2(0,4{)}^2(0,6{)}^0\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Percobaan pengambilan diulang 3 kali}\\ & \text{maka}n=3,\text{sehingga}X=0,1,2,3\\ & f(0)=P(X=0)=P(KKK)\\ & =P(K)\times P(K)\times P(K)\\ & =(0,6)\times (0,6)\times (0,6)\\ & =1\times (0,4{)}^0(0,6{)}^3\\ & ={}_3{C}_0(0,4{)}^0(0,6{)}^3\\ & f(1)=P(X=1)\\ & =P(MKK\text{atau}KMK\text{atau}KKM)\\ & =\cdots \\ & =3\times (0,4{)}^1\times (0,6{)}^2\\ & ={}_3{C}_1(0,4{)}^1(0,6{)}^2\\ & f(2)=P(X=2)\\ & =P(MMK\text{atau}MKM\text{atau}KMM)\\ & =\cdots \\ & =3\times (0,4{)}^2\times (0,6{)}^1\\ & ={}_3{C}_2(0,4{)}^2(0,6{)}^1\\ & f(3)=P(X=3)=P(MMM)\\ & =P(M)\times P(M)\times P(M)\\ & =(0,4)\times (0,4)\times (0,4)\\ & =1\times (0,4{)}^3\times (0,6{)}^0\\ & {=}_3{C}_3\times (0,4{)}^3\times (0,6{)}^0\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{dst. Sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk}\\ & \text{kasus di atas rumusnya adalah}\\ & f(x)=P(x;n;p)={}_n{C}_x{p}^x{q}^{n-x}\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
2. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung: SEWU.
3. Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.
4. Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
5. Tasari, Sksin, N., Miyanto, & Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: PT. INTAN PARIWARA.
6. Yuliatun. 2019. Matematika IPA Kelas XII SMA/MA Semester Genap. Solo: INDONESIA JAYA

Distribusi Binomial

 $\text{A. Pendahuluan}$

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}(1)\text{Review}\{\begin{array}{l}\text{Peluang}\{\begin{array}{l}\text{Populasi}\\ \text{Sampel}\{\begin{array}{l}\text{Acak}\\ \text{Bukan Acak}.\end{array}\end{array}\\ \text{Kombiasi}& \end{array}\\ (2)\text{Variabel Acak}\{\begin{array}{ll}\text{Diskrit}& .\\ \text{Kontinue}& \end{array}\\ (3)\text{Distribusi}\{\begin{array}{ll}\text{Distribusi Peluang Variabel Acak}& \\ \text{Fungsi Distribusi Kumulatif}& \\ \text{Variabel Acak Binomial}& \\ \text{Distribusi Binomial}\end{array}\end{array}\end{array}$

$\text{Penjelasan}$

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Penjelasan}\\ 1& \text{Statistika}& \text{Ilmu tentang pengumpulan, pengolahan},\\ & & \text{penganalisaan serta penarikan kesimpulan}\\ & & \text{data. Selanjutnya akan dibagi dua yaitu}\\ & & \text{deskriptif dan inferensia}\\ 2& \text{Statistik}& \text{Kumpulan data/ukuran sampel}\\ 3& \text{Parameter}& \text{Ukuran populasi}\\ 4& \text{Populasi}& \text{Keseluruhan/semua anggota objek/data}\\ 5& \text{Sampel}& \text{Subjek/Objek yang mewakili populasi}\\ 6& \text{Sensus}& \text{Penelitian seluruh data (populasi)}\\ 7& \text{Teknik}& \text{Cara pengambilan data terbatas pada}\\ & \text{Sampling}& \text{sebagian saja dari populasi yang diteliti}\\ \hline\end{array}$

$\text{lanjutan}$

$\begin{array}{|lll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Penjelasan}\\ 8& \text{Cara}& \text{atau radom}.\text{yaitu setiap elemen populasi}\\ & \text{Acak}& \text{memiliki kesempatan yang yang sama}\\ & & \text{sehingga bersifat objektif}\\ 9& \text{Ruang}& \text{Himpunan dari semua hasil yang mungkin}\\ & \text{Sampel}& \text{dari sebuah percobaan}\\ 10& \text{Variabel}& \text{Suatu fungsi (aturan) yang memetakan }\\ & \text{Acak}& \text{setiap anggota ruang sampel dengan}\\ & (\text{VA})& \text{sebuah bilangan riil. Biasanya dinotasikan}\\ & & \text{dengan huruf besar, sedangkan nilai}\\ & & \text{variabel acaknya dinotasikan dengan}\\ & & \text{huruf kecil}\\ 11& (\text{VA})& \text{Jika VA tersebut memiliki sejumlah nilai}\\ & \text{Diskrit}& \text{yang dapat dihitung(berupa bilangan}\\ & & \text{bulat positif)}\\ 12& \text{VA}& \text{Sebaliknya yaitu berupa bilangan yang}\\ & \text{Kontinu}& \text{tidak bulat}\\ \hline\end{array}$

$\text{Sebagai contoh}$

$\begin{array}{rl}\mathbf{\text{a}}& \text{Variabel Acak Diskrit (Bilangan bulat positif)}\\ & \bullet \text{Jumlah siswa kelas XII MIA MA FUTUHIYAH}\\ & \text{JEKETRO GUBUG}\\ & \bullet \text{Jumlah guru laki-laki di MA FUTUHIYAH}\\ & \text{JEKETRO GUBUG}\\ & \bullet \text{Jumlah guru dan siswa di MA FUTUHIYAH}\\ & \text{JEKETRO GUBUG yang tidak terpapar}\\ & \text{COVID-19}\\ & \bullet \text{Jumlah motor yang terjual dalam sebulan}\\ \mathbf{\text{b}}& \text{Variabel Acak Kontinu (Bukan bilangan bulat)}\\ & \bullet \text{Jumlah miyak yang tumpah di suatu lantai}\\ & \bullet \text{Ketinggian permukaan air di sebuah waduk}\end{array}$

$\text{B. Variabel Acak}$

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Definisi}\\ 13& \text{Variabel}& \text{Suatu variabel}X\text{adalah variabel acak jika}\\ & \text{Acak}& \text{nilai-nilai yang dimiliki oleh}X\text{merupakan}\\ & & \text{suatu kemungkinan atau peristiwa acak}.\\ & & \text{Selanjutnya variabel acak dibedakan}\\ & & \text{menjadi dua, yaitu variabel acak diskrit dan}\\ & & \text{variabel acak kontinu sebagaimana pada}\\ & & \text{penjelasan sebelumnya di atas}\\ \hline\end{array}$

$\text{C. Distribusi Peluang}$

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Definisi}\\ 14& \text{Distribusi}& \text{Sebuah daftar yang berisi seluruh hasil}\\ & \text{Peluang}& \text{yang mungkin dari suatu percobaan dan}\\ & (\text{Probabilitas})& \text{probabilitas yang berkaitan dengan setiap}\\ & & \text{hasil tersebut}.\\ & & \text{Nilai probabilitas berada di antara 0 dan 1}\\ & & \text{Jumlah dari seluruh probabilitas hasil harus}\\ & & \text{harus sama dengan 1}\\ \hline\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah koin dilempar sebanyak tiga kali}\\ & \text{a}.\text{tentukan semua titik sampelnya}\\ & \text{b}.\text{tentukan peluang mendapatkan tepat}\\ & \text{dua gambar}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Sebuah koin hanya memiliki dua muka,}\\ & \text{yaitu muka gambar (G) dan muka angka (A)}\\ & \text{sehingga setiap pelemparan hanya memiliki}\\ & \text{dua kemungkinan, yaitu muncul sisi A atau G}\\ & \text{maka ruang sampelnya adalah}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\\ G\to (A,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\\ G\to (A,G,G)\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\\ G\to (G,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\\ G\to (G,G,G)\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\\ & \text{Jadi, banyaknya ruang sampel adalah }8\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{b}.& \text{Dari ruang sampel yang tepat}\\ & \text{ada 2 sisi gambar : AGG,GAG,GGA}\\ & \text{sehingga peluangnya}={\displaystyle \frac{3}{\text{total ruang sampel}}=\frac{3}{8}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Misalkan}X\text{menyatakan sisi angka (A)}\\ & \text{pada soal No.1 di atas, tentukanlah nilai}\\ & X\text{yang mungkin}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah ilustrasi berikut}\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\mathbf{\text{Nilai}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\to \to \to X=3\\ G\to (A,A,G)\to \to \to X=2\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\to \to \to X=2\\ G\to (A,G,G)\to \to \to X=1\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\to \to \to X=2\\ G\to (G,A,G)\to \to \to X=1\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\to \to \to X=1\\ G\to (G,G,G)\to \to \to X=0\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\\ & \text{Jadi, nilai}X\text{yang mungkin}=0,1,2,\text{atau}3\end{array}\end{array}$

Perhatikanlah contoh pada No.2 di atas, nilai  X  ternyata tidak memiliki nilai tunggal. Karena  X  tidak memiliki nilai tunggal, maka  X  selanjutnya disebut dengan variabel. Dan variabel seperti ini yang nilainya ditentukan oleh percobaan sehingga akan mendapatkan beberapa kemungkinan selanjutnya disebut dengan variabel acak. Sehingga  X  pada No.2 di atas adalah salah satu contoh untuk variabel acak. 

Nilai Peluang

Contoh 3 Soal dan Pembahasan Materi Peluang (Faktorial, Permutasi dan Kombinasi)

 $\begin{array}{l}\\ 11.& \text{Dalam suatu rapat mengelilingi meja bundar}\\ & \text{yang dihadiri sebanyak 7 orang}\\ & \text{a}.\text{ada berapa susunan yang terjadi}?\\ & \text{b}.\text{Jika A dan B bagian dari 7 orang ini}\\ & \text{duduknya selalu berdampingan, maka}\\ & \text{posisi duduk yang terbentuk sejumlah}?\\ & \text{c}.\text{Jika seperti poin b, tetapi yang}\\ & \text{duduk berdampingan atau saling berdekatan}\\ & \text{adalah A, B, dan C}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}n=7\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Posisi duduk melingkarnya}\\ & =(7-1)!=6!=720\\ & \mathbf{\text{atau}}\\ & n=r=7\text{orang, maka}\\ & ={\displaystyle \frac{P(7,7)}{7}=6!=720}\\ \text{b}.& \text{Ada syarat A dan B berdampingan, maka}\\ & \text{A dan B dihitung 1 objek dulu, sehingga total}\\ & \text{objek ada 1 objek ditambah sisanya = 6 objek}.\\ & \text{Dari 6 objek ini yang dianggap duduk melingkar}\\ & \text{dengan 2 orang (A dan B) bisa gantian posisi}.\\ & \text{sehingga}\\ & (6-1)!\times 2!=5!\times 2!=240\\ & \mathbf{\text{atau}}\\ & ={\displaystyle \frac{P(6,6)}{6}\times P(2,2)}\\ & =5!\times 2!=120\times 2=240\\ \text{b}.& \text{3 orang (A, B, dan C) dianggap 1 objek}\\ & \text{dulu sehigga yang duduk posisi melingkar}\\ & \text{dianggap 5 orang, sehingga perhitungannya}\\ & ={\displaystyle \frac{P(5,5)}{5}\times P(3,3)}\\ & =24\times 6=144\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 12.& \text{Suatu kelompok yang terdiri dari 20 remaja}\\ & \text{a}.\text{Jika mereka saling berjabat tangan}\\ & \text{seseorang dengan lainnya hanya satu kali}\\ & \text{maka banyak jabat tangan yang terjadi}?\\ & \text{b}.\text{Jika mereka membentuk regu voly, maka}\\ & \text{berapa banyak regu voly yang terbentuk}?\\ & \text{c}.\text{Jika mereka membentuk regu sepak bola},\\ & \text{maka banyak regu sepak bola yang terbentuk}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}n=20\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Karena jabat tangan dilakukan hanya hanya}\\ & \text{pada dua remaja yang berbeda dan urutan}\\ & \text{tidak diperlukan, maka hal ini persoalan}\\ & \text{kombinasi. Sehingga banyaknya jabat tangan}\\ & \left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ & \iff \left(\begin{array}{c}20\\ 2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20!}{2!(20-2)!}=\frac{20!}{2!\times 18!}}\\ & \iff \left(\begin{array}{c}20\\ 2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20.19.\text{⧸}18!}{2.\text{⧸}18!}=190}\\ \text{b}.& \text{Karena satu regu voli ada 6 orang, maka}\\ & \left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20!}{6!(20-6)!}}\\ & \iff \left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20!}{6!\times 14!}}\\ & \iff \left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20.19.18.17.16.15.\text{⧸}14!}{720\times \text{⧸}14!}}\\ \text{c}.& \text{Karena satu regu terdiri dari 11 orang},\\ & \text{maka}\\ & \left(\begin{array}{c}20\\ 11\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20!}{11!(20-11)!}=\frac{20!}{11!\times 9!}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 13.& \text{Jajargenjang yang dapat dibuat oleh}\\ & \text{himpunan empat garis sejajar yang}\\ & \text{berpotongan dengan garis yang terhimpun}\\ & \text{dalam 7 garis sejajar adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa kombinasi dari dua himpunan}\\ & \text{garis sejajar yang masing-masing berjumlah}\\ & \text{4 dan 7 garis, maka}\text{banyak jajar genjang}\\ & \begin{array}{rl}& =\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{4!}{2!(4-2)!}\times \frac{7!}{2!\times (7-2)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{4\times 3\times \text{⧸}2!}{2\times \text{⧸}2!}\times \frac{7\times 6\times \text{⧸}5!}{2\times \text{⧸}5!}}\\ & =6\times 21\\ & =126\text{jajar genjang}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 14.& \text{Diketahui segi enam beraturan. Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{Banyak diagonal dapat dibentuk}?\\ & \text{b}.\text{Banyak segi tiga di dalamnya}?\\ & \text{c}.\text{Banyak perpotongan diagonal-diagonal}\\ & \text{jika tidak ada titik-titik perpotongan}\\ & \text{yang sama}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui segi}-n\text{dengan}n=6\\ & \text{Dan perlu diingat bahwa di sini tidak diperlukan}\\ & \text{urutan mana yang perlu didahulukan, maka}\\ & \text{rumus kombinasi yang perlu digunakan, yaitu}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Banyak diagonalnya adalah}:\\ & \left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)-n={\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}}\\ & \iff ={\displaystyle \frac{6.(6-3)}{2}=\frac{6.3}{2}=9}\\ \text{b}.& \text{Banyaknya segi tiga, berarti melibatkan}\\ & \text{tiga garis, maka}\\ & \left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{6!}{3!\times (6-3)!}=\frac{6\times 5\times 4\times \text{⧸}3!}{6\times \text{⧸}3!}=20}\\ \text{c}.& \text{Satu buah titik potong dapat dibentuk}\\ & \text{dengan dua garis ekuivalen dengan empat}\\ & \text{buah titik sudut, maka banyaknya titik}\\ & \text{potong adalah}:\\ & \left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)={\displaystyle \frac{6!}{4!\times (6-4)!}=\frac{6!}{4!\times 2!}=15}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 15.& \text{Perhatikalah dua ilustrasi gambar berikut}\end{array}$

Gambar (1)

Gambar (2)

$\begin{array}{l}\\ .& \text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{jalur terpendek dari titik A ke B}\\ & \text{pada gambar (1)}\\ & \text{b}.\text{jalur terpendek dari titik P ke Q}\\ & \text{pada gambar (2)}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Perhatikanlah bahwa langkah dari titik A}\\ & \text{ke titik B harus terdiri dari 8 langkah, yaitu}\\ & \text{3 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atas}\\ & \text{Karena yang diinginkan lintasan terpendek}\\ & \text{dan tidak ada kekhususn harus dimulai dari}\\ & \text{mana, maka banyaknya langkah berbdeda}\\ & \text{dan terpendek adalah}:\\ & \left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)\text{atau}\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right).\text{Misal kita hitung salah}\\ & \text{satunya saja}:\\ & \left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{8!}{3!(8-5)!}=\frac{8!}{3!\times 5!}=\frac{8.7.6.\text{⧸}5!}{6.\text{⧸}5!}=56}\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}\text{b}.& \text{Untuk poin b, perhatikanlah ilustrasi}\\ & \text{gambar berikut(untuk memudahkan}\\ & \text{perhitungan). Tempatkan titik-titik}\\ & \text{bantu A, B, C, D, E, dan F seperti}\\ & \text{pada gambar berikut}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}.& \text{Perhatikanlah untuk setiap lintasan}\\ & \text{terpendek dari titik P ke titik Q}\\ & \text{dapat dipastikan akan melewati}\\ & \text{titik A, B, C, dan D. Sehingga dari}\\ & \text{keempat titik itulah akan diperoleh}\\ & \text{rute PAQ, PBQ, PCQ, dan PDQ}.\\ & \text{Sehingga banyak rute terpendek dari}\\ & \text{titik P ke Q yang selanjutnya kita}\\ & \text{simbolkan dengan}\mathrm{\#}PQ\text{adalah}:\\ & \begin{array}{rl}\mathrm{\#}PQ& =\mathrm{\#}PAQ+\mathrm{\#}PBQ+\mathrm{\#}PCQ+\mathrm{\#}PDQ\\ & =\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{\#}PECQ+\mathrm{\#}PFCQ+\mathrm{\#}PFDQ\\ & =1.1+4.5+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\\ & =1+20+3.1.3+3.3.3+3.1.1\\ & =1+20+9+27+3\\ & =60\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
2. Ibrahim, Mussafi, N, S, M. 2013. Pengantar Kombinatorika dan Teori Graf. Yogyakarta: GRAHA ILMU.
3. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
4. Sobirin. 2006. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika (SMA Kelas XI IPA). Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
5. Sukino. 2011. Maestro Olimpiade Matematika SMP Seri B. Jakarta: ERLANGGA.
6. Susyanto, N, 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA.
7. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 2 Kelas 2 Berdasarkan Kurikulum 1994 Suplemen CBPP 1999. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh 2 Soal dan Pembahasan Materi Peluang (Faktorial, Permutasi dan Kombinasi)

 $\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Dari angka-angka 2,3,5,6,7, dan 9 dibuat}\\ & \text{susunan bilangan}\\ & \text{a. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4}\\ & \text{angka berlainan}\\ & \text{b. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4}\\ & \text{angka boleh berulang}\\ & \text{c. berapa banyak bilangan ganjil yang terdiri}\\ & \text{dari 4 angka berlainan}\\ & \text{d. berapa banyak bilangan genap yang terdiri}\\ & \text{dari 4 angka berlainan}\\ & \text{e. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4}\\ & \text{angka berlainan yang lebih dari 2023}\\ & \text{f. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4}\\ & \text{angka boleh berulang yang lebih dari 2023}\\ & \text{g. berapa banyak bilangan genap yang terdiri}\\ & \text{dari 4 angka berlainan yang lebih dari 2023}\\ & \text{h. berapa banyak bilangan ganjil yang terdiri}\\ & \text{dari 4 angka berlainan yang lebih dari 2023}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\end{array}$

$.\begin{array}{rl}\text{a}.& P(6,4)={\displaystyle \frac{6!}{(6-2)!}=\frac{6!}{2!}=6.5.4.3=360}\\ \text{b}.& P(6,1{)}^4=6^4=1296\\ \text{c}.& \text{Untuk digit satuan ditentukan dulu, yaitu}\\ & \text{karena digit ganjil ada 4, maka ada 4 pilihan}\\ & \text{sisanya disebar ke slot ribuan sampai puluhan}\\ & \text{maka}\\ & \begin{array}{|cccc|}\hline \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}\\ 1& 2& 3& 4\\ \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}\\ \text{ribuan}& \text{ratusan}& \text{puluhan}& \text{satuan}\\ P(5,1)& P(4,1)& P(3,1)& P(4,1)\\ \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Sehingga banyak bilangan yg terjadi}\\ & P(5,1).P(4,1).P(3,1).P(4,1)=5.4.3.4=240\\ \text{d}.& \mathbf{\text{Cara pertama}}\\ & \text{Semisal dengan jawaban poin c, Karena}\\ & \text{digit genap ada 2, maka digit satuan ada}\\ & \text{2 pilihan, sisanya disebar, yaitu}\\ & \begin{array}{|cccc|}\hline \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}\\ 1& 2& 3& 4\\ \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}\\ \text{ribuan}& \text{ratusan}& \text{puluhan}& \text{satuan}\\ P(5,1)& P(4,1)& P(3,1)& P(2,1)\\ \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Sehingga banyak bilangan yg terjadi}\\ & P(5,1).P(4,1).P(3,1).P(2,1)=5.4.3.2=120\\ & \mathbf{\text{Cara kedua}}\\ & \text{Jawaban poin a dikurangi poin c, yaitu}\\ & 360-240=120\end{array}$

$.\begin{array}{rl}\text{e}.& \mathbf{\text{Cara Pertama}}\\ & \text{Karena digit pilihannya, 2,3,5,6,7, dan 9}\\ & \text{disusun bagaimanapun bilangan 4 digit}\\ & \text{yang diambilkan dari bilangan di atas}\\ & \text{pasti semunya akan lebih besar dari 2023}\\ & \text{maka banyaknya bilangan yang terjadi}\\ & \text{adalah}:\\ & \begin{array}{|cccc|}\hline \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}\\ 1& 2& 3& 4\\ \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}\\ \text{ribuan}& \text{ratusan}& \text{puluhan}& \text{satuan}\\ P(6,1)& P(5,1)& P(4,1)& P(3,1)\\ \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}\\ \hline\end{array}>2023\\ & \text{Sehingga totalnya banyaknya}\\ & P(6,1)\times P(5,1)\times P(4,1)\times P(3,1)\\ & =6.5.4.3=360\\ & \mathbf{\text{Cara Kedua}}\\ & \text{Sama seperti jawaban pada poin a}\\ \text{f}.& \text{Sama persis jawaban poin b, yaitu}\\ & P(6,1{)}^4=6^4=1296\\ & \text{Jika diuraikan adalah sebagai berikut}\\ & \begin{array}{|cccc|}\hline \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}\\ 1& 2& 3& 4\\ \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}\\ \text{ribuan}& \text{ratusan}& \text{puluhan}& \text{satuan}\\ P(6,1)& P(6,1)& P(6,1)& P(6,1)\\ \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}\\ \hline\end{array}>2023\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Andi akan mengambil 4 buah bola dari}\\ & \text{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ & \text{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ & \text{oleh Andi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}n=10& \text{dan}r=4\\ C(n,r)& ={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ C(10,4)& ={\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}}\\ & =420\text{kombinasi warna bola berbeda}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ & \text{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ & \text{kelompok, jika}\\ & \text{a. tanpa perlakuan khusus}\\ & \text{b. salah seorang harus terpilih}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tanpa perlakuan}\\ & \text{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ & C(10,3)={\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=120}\\ \text{b}.& \text{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ & (\text{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ & \text{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ & C(9,2)={\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=36}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ & \text{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ & \text{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ & \text{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ & \text{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Banyak}& \text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}}\\ & =3675375\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Banyak susunan huruf yang berbeda}\\ & \text{pada satu baris yang dapat dibentuk}\\ & \text{dari huruf-huruf pada kata "MATEMATIKA"}\\ & \text{adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \{\begin{array}{ll}\text{Jumlah huruf}& n=10\\ \text{Penyusunnya},& \text{ yaitu }:\{\begin{array}{ll}M& \text{ jumlah }=2\\ A& \text{ jumlah }=3\\ T& \text{ jumlah }=2\\ E& \text{ banyak }=1\\ I& \text{ banyak }=1\\ K& \text{ banyak }=1\end{array}\end{array}\\ & \text{Sehingga}\\ & \begin{array}{rl}P(10;2,3,2,1,1,1)& ={\displaystyle \frac{10!}{2!.3!.2!.1!.1!.1!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4}{4}}\\ & =10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\\ & =151200\end{array}\end{array}$

Contoh 1 Soal dan Pembahasan Materi Peluang (Faktorial, Permutasi dan Kombinasi)

 $\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Bentuk sederhana dari}\\ & \text{a}.{\displaystyle 5!+6!+7!}\\ & \text{b}.{\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!}}\\ & \text{c}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}}\\ & \text{d}.{\displaystyle \frac{(n-2)!}{(n+1)!}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& 5!+6!+7!=5!+6.5!+7.6.5!\\ & =(1+6+42).5!\\ & =49.5!=49.120=5880\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}}\\ & =(n+1)n=n^2+n\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+1)(n+1)n!}{n!}}\\ & =(n+2)(n+1)\\ & =n^2+3n+2\\ \text{d}.& {\displaystyle \frac{(n-2)!}{(n+1)!}=\frac{(n-2)!}{(n+1)n(n-1)(n-2)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{(n+1)n(n-1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{n^3-n}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah nilai}n\text{yang memenuhi}\\ & \text{persamaan berikut}\\ & \text{a}.{\displaystyle \frac{n!3!}{6!(n-3)!}=\frac{33}{4}}\\ & \text{b}.{\displaystyle \frac{3}{8!}-\frac{2}{7!}+\frac{1}{6!}=\frac{5n+3}{8!}}\\ & \text{c}.{\displaystyle \frac{7!}{5!2!}:\frac{10!}{5!5!}=1:4n}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& {\displaystyle \frac{n!3!}{6!(n-3)!}=\frac{33}{4}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)\text{⧸}(n-3)!.\text{⧸}3!}{6.5.\text{⧸}4.\text{⧸}3!\text{⧸}(n-3)!}=\frac{33}{\text{⧸}4}}\\ & \iff n(n-1)(n-2)=33.6.5=11.10.9\\ & \iff n(n-1)(n-2)=11.(11-1).(11-2)\\ & \iff n=11\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{3}{8!}-\frac{2}{7!}+\frac{1}{6!}=\frac{5n+3}{8!}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{3-2.8+56}{8!}=\frac{5n+3}{8!}}\\ & \iff \frac{43}{8!}=\frac{5n+3}{8!}\\ & \iff 43=5n+3\iff 5n=40\iff n=8\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{7!}{5!2!}:\frac{10!}{5!5!}=1:4n}\\ & \iff 4n={\displaystyle \frac{5!2!10!}{7!5!5!}}\\ & \iff 4n={\displaystyle \frac{\text{⧸}5!2!10.9.8.\text{⧸}7!}{\text{⧸}7!5!\text{⧸}5!}}\\ & \iff n=3\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah nilai}n\text{yang memenuhi}\\ & \text{persamaan berikut}\\ & \text{a}.P(n,2)=42\\ & \text{b}.7.P(n,3)=6.P(n+1,3)\\ & \text{c}.3.P(n,4)=P(n-1,5)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& P(n,2)=42\\ & \iff {\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}=42}\\ & \iff {\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}={\displaystyle \frac{n\times (n-1)\times (n-2)!}{(n-2)!}=42}}\\ & \iff {\displaystyle n\times (n-1)=7.6=7.(7-1)}\\ & \iff n=7\\ \text{b}.& 7.P(n,3)=6.P(n+1,3)\\ & {\displaystyle \frac{7.n!}{(n-3)!}=\frac{6(n+1)!}{(n+1-3)!}}\\ & {\displaystyle \frac{7\text{⧸}n!}{(n-3)!}=\frac{6.(n+1).\text{⧸}n!}{(n-2)!}}\\ & \iff \frac{7}{\text{⧸}(n-3)!}=\frac{6n+6}{(n-1)\text{⧸}(n-3)!}\\ & \iff 7(n-2)=6n+6\\ & \iff 7n-6n=6+14\iff n=20\\ \text{c}.& 3.P(n,4)=P(n-1,5)\\ & \iff {\displaystyle \frac{3.n!}{(n-4)!}=\frac{(n-1)!}{(n-1-5)!}}\\ & \iff \frac{3.n.\text{⧸}(n-1)!}{(n-4)!}=\frac{\text{⧸}(n-1)!}{(n-6)!}\\ & \iff \frac{3n}{(n-4)(n-5).\text{⧸}(n-6)!}=\frac{1}{\text{⧸}(n-6)!}\\ & \iff 3n=(n-4)(n-5)\\ & \iff 3n=n^2-9n+20\\ & \iff n^2-12n+20=0\\ & \iff (n-2)(n-10)=0\\ & \iff n=2\text{tidak memenuhi}\text{atau}n=10\\ & \text{jadi},n=10\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Jika 10 siswa akan dipilih 4 orang untuk}\\ & \text{menjadi ketua kelas, wakil, sekretaris dan}\\ & \text{seorang bendahara, maka banyak susunan}\\ & \text{terjadi adalah}....\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Penyusunan memerlukan urutan}\\ & \text{maka perlu digunakan permutasi, yaitu}:\\ & P(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}\\ & \iff P(10,4)={\displaystyle \frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}}\\ & \iff ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times \text{⧸}6!}{\text{⧸}6!}}\\ & \iff =5040\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Jika dari kota A ke kota B terdapat 3 jalur.}\\ & \text{Dan dari kota B ke kota C terdapat 4 jalur,}\\ & \text{serta dari kota C sampai ke kota D ada 5 jalur}\\ & \text{Banyak jalan dari kota A ke kota D adalah}....\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Jalur yang ada semuanya berbeda}\\ & \text{maka perlu digunakan permutasi, yaitu}:\\ & P(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}& \text{dari A ke B ada 3 jalur cukup pilih satu, maka}\\ & \bullet P(3,1)={\displaystyle \frac{3!}{(3-1)!}=\frac{3!}{2!}=3}\\ \text{b}& \text{dari B ke C ada 4 jalur cukup pilih satu, maka}\\ & \bullet P(4,1)={\displaystyle \frac{4!}{(4-1)!}=\frac{4!}{3!}=4}\\ \text{c}& \text{dari C ke D ada 5 jalur cukup pilih satu, maka}\\ & \bullet P(5,1)={\displaystyle \frac{5!}{(5-1)!}=\frac{5!}{4!}=5}\end{array}\\ & \text{Jadi, total jalur yang dapat di lalui dari A sampai D adalah}:\\ & P(3,1)\times P(4,1)\times P(5,1)=3\times 4\times 5=60\end{array}$

Permutasi dan Kombinasi (Lanjutan Materi Peluang)

 $\text{C. Faktorial}$

Perhatikanlah tabel berikut yang berisi perkalian bilangan terurut pada bilangan asli

$\begin{array}{|c|}\hline n!=1\times 2\times 3\times 4\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\\ \mathbf{\text{atau}}\\ n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 4\times 3\times 2\times 1\\ \text{dengan}\\ (n+1)!=(n+1)\times n!\text{untuk}n\ge 1,n\in \mathbb{N}\\ \text{serta didefinisikan bahwa}\\ 0!=1!=1\\ \text{CONTOH}\\ 0!=1\\ 1!=1\\ 2!=2\times 1=2\\ 3!=3\times 2\times 1=6\\ 4!=4\times 3\times 2\times 1=24\\ 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\\ 6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720\\ \\ ⋮\\ \\ n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 4\times 3\times 2\times 1\\ \hline\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah nilai}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.3!& \text{e}.{\displaystyle \frac{6!}{4!}}& \text{i}.{\displaystyle \frac{2!}{0!}+\frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}}\\ \text{b}.5!& \text{f}.{\displaystyle \frac{10!}{6!}}& \text{j}.{\displaystyle \frac{2!}{0!}\times \frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}}\\ \text{c}.0!+1!+2!+3!& \text{g}.{\displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}}& \text{k}.{\displaystyle \frac{3\times 4!}{3!(5!-5!)}}\\ \text{d}.(2!)!+(3!)!& \text{h}.{\displaystyle \frac{13!}{12!+12!}}& \text{l}.{\displaystyle \frac{3!+5!+7!}{4!+6!}}\end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ \\ & \begin{array}{c}\\ \text{a}.3!=3.2.1=6\\ \text{b}.5!=5.4.3.2.1=120\\ \begin{array}{rl}\text{c}.0!+1!+2!+3!& =1+1+2+6\\ & =10\end{array}\\ \begin{array}{rl}\text{d}.(2!)!+(3!)!& =2!+6!\\ & =2+720\\ & =722\end{array}\\ \text{e}.{\displaystyle \frac{6!}{4!}=\frac{720}{24}=30\text{atau}{\displaystyle \frac{6!}{4!}={\displaystyle \frac{6.5.\text{⧸}4.\text{⧸}3.\text{⧸}2.\text{⧸}1}{\text{⧸}4.\text{⧸}3.\text{⧸}2.\text{⧸}1}=6.5=30}}}\\ \text{f}.{\displaystyle \frac{10!}{6!}=\frac{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1}{6.5.4.3.2.1}=....(\text{silahkan diselesaikan sendiri})}\\ \text{g}.{\displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}=\frac{7.6.5.4.3.2.1}{(3.2.1)\times (4.3.2.1)}=....(\text{silahkan juga diselesaikan sendiri})}\\ ⋮\\ (\text{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri})\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Sederhanakanlah}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.{\displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}}& \text{e}.{\displaystyle \frac{1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}-\frac{1}{(n-1)!}}\\ \text{b}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}}& \text{f}.{\displaystyle \frac{(4n)!}{(4n+1)!}+\frac{(4n)!}{(4n-1)!}}\\ \text{c}.{\displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}}& \text{g}.{\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{n!}{(n-1).(n-2)!}}\\ \text{d}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n^2+3n+2)}}& \text{h}.1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ \\ & \begin{array}{c}\\ \text{a}.{\displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!}=n}\\ \text{b}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}=\frac{(n+2).(n+1)!}{(n+1)!}=n+2}\\ \text{c}.{\displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}=\frac{(2n)!}{(2n+1).(2n)!}=\frac{1}{2n+1}}\\ \text{d}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{n^2+3n+2}=\frac{(n+2)!}{(n+2).(n+1)}=\frac{(n+2).(n+1).n!}{(n+2).(n+1)}=n!}\\ ⋮\\ (\text{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri sebagai latihan})\\ ⋮\\ \begin{array}{rl}\text{h}.& 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\\ & =(2-1).1!+(3-1).2!+(4-1).3!+(5-1).4!+...+(n+1-1).n!\\ & =2.1!+3.2!+4.3!+5.4!+...+(n+1).n!-1!-2!-3!-4!-...-n!\\ & =2!+3!+4!+5!+...+(n+1)!-(1!+2!+3!+4!+...+n!)\\ & =(n+1)!-1\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Sederhanakanlah bentuk penjumlahan berikut}\\ & {\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots +{\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ \\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan}\text{bahwa}\\ & {\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{3}{1+2+6}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\times \frac{2}{2}=\frac{2}{1\times 2\times 3}=\frac{2}{3!}}\\ & \iff \frac{2}{3!}=\frac{3-1}{3!}=\frac{3}{3!}-\frac{1}{3!}=\frac{3}{2!\times 3}-\frac{1}{3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ & \text{sehingga}\\ & \frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ & {\displaystyle \frac{4}{2!+3!+4!}=\cdots =\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}}\\ & {\displaystyle \frac{5}{3!+4!+5!}=\cdots =\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}}\\ & ⋮\\ & {\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}=\cdots =\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}}\\ & ---------------------------\\ & =\frac{1}{2!}-\frac{1}{100!}\end{array}\end{array}$.

$\text{D. Permutasi dan Kombinasi}$

$\begin{array}{|lll|}\hline \text{Istilah}& \text{Permutasi}& \text{Kombinasi}\\ \text{Definisi}& \begin{array}{rl}& \text{Permutasi r unsur dari n unsur adalah}\\ & \text{banyaknya kemungkinan urutan r buah}\\ & \text{unsur yang dipilih dari n unsur}\\ & \text{yang tersedia}.\text{Tiap unsur berbeda dan}\\ & r\le n\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Kombinasi r unsur dan n unsur adalah}\\ & \text{banyaknya kemungkinan tidak terurut}\\ & \text{dalam pemilihan r unsur yang diambil}\\ & \text{dari n unsur yang tersedia}.\text{Tiap unsur}\\ & \text{berbeda dan}r\le n\end{array}\\ \text{Tipe}& \text{Bentuk khusus kaidah perkalian}& \text{Bentuk khusus permutasi}\\ \text{Notasi}& {}_n{P}_r,P_n^r,\text{atau}P(n,k)& {}_n{C}_r,C_r^n,(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}),\text{atau}C(n,r)\\ \text{Rumus}& P(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=C(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ \hline\end{array}$

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Permutasi}& \text{Permutasi}\\ \text{dengan unsur yang sama}& \text{Siklis}\\ \begin{array}{rl}& P(n;n_1,n_2,n_3,...,n_k)\\ & ={\displaystyle \frac{P(n,n)}{n_1!n_2!n_3!...n_k!}}\\ & ={\displaystyle \frac{n!}{n_1!n_2!n_3!...n_k!}}\end{array}& \begin{array}{rl}& \{\begin{array}{ll}\text{Siklis}& =(n-1)!\\ \\ \text{Kalung}& ={\displaystyle \frac{(n-1)!}{2}}\end{array}\end{array}\\ \hline\end{array}$

dan

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Kombinasi}& \text{Kombinasi dalam}\\ \text{dengan pengulangan}& \text{Binom Newton}\\ \begin{array}{rl}& C(n+r-1,r)\\ & =C(n+r-1,n-1)\\ & (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r})\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{n-1})\end{array}& \begin{array}{rl}& (x+y{)}^n\\ & =\sum _{k=o}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^{n-k}{y}^k\\ \\ & \text{Koefisien untuk}\\ & x^{n-k}{y}^k,\text{yaitu}\\ & \text{suku ke}-(k+1)\\ & \text{adalah}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})\end{array}\\ \hline\end{array}$

serta

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika di suatu kelas terdapat 4 orang akan dipilih 3 orang }\\ & \text{untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara}.\\ & \text{Tentukanlah banyak cara memilih 3 orang tersebut?}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Karena ada 4 orang, misal A, B, C, dan D yang}\\ & \text{akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi}\\ & \text{ketua, sekretaris, dan bendahara, maka kita tinggal}\\ & \text{buat permutasinya, yaitu posisi ketua dapat dipilih }\\ & \text{dengan 4 cara, sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara},\\ & \text{dan bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. atau}\\ & P(4,3)={\displaystyle \frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4!}{1!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=24\text{cara}}\\ & \text{Berikut ilustrasinya dengan diagram pohon}\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \{\begin{array}{ll}C& \to ABC\\ D& \to ABD\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}B& \to ACB\\ D& \to ACD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}B& \to ADB\\ C& \to ADC\end{array}\end{array}\\ \\ B& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}C& \to BAC\\ D& \to BAD\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}A& \to BCA\\ D& \to BCD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}A& \to BDA\\ C& \to BDC\end{array}\end{array}\\ \\ C& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \to CAB\\ D& \to CAD\end{array}\\ B& \{\begin{array}{ll}A& \to CBA\\ D& \to CBD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}A& \to CDA\\ B& \to CDB\end{array}\end{array}\\ \\ D& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \to DAB\\ C& \to DAC\end{array}\\ B& \{\begin{array}{ll}A& \to DBA\\ C& \to DBC\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}A& \to DCA\\ B& \to DCB\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Seorang anak akan mengambil 4 buah bola dari}\\ & \text{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ & \text{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ & \text{oleh Andi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}n=10& \text{dan}r=4\\ C(n,r)& ={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ C(10,4)& ={\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}}\\ & =420\text{kombinasi warna bola berbeda}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ & \text{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ & \text{kelompok, jika}\\ & \text{a. tanpa perlakuan khusus}\\ & \text{b. salah seorang harus terpilih}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tanpa perlakuan}\\ & \text{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ & C(10,3)={\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=120}\\ \text{b}.& \text{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ & (\text{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ & \text{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ & C(9,2)={\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=36}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ & \text{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ & \text{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ & \text{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ & \text{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Banyak}& \text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}}\\ & =3675375\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Johnaes, Kastolan, & Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial KBK 2004. Jakarta: YUDHISTIRA.
2. Kartini, Suprapto, Subandi, & Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
3. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.

Lingkaran

Aturan Pencacahan (Materi Peluang)

 $\text{A. Pendahuluan}$

$\text{A. 1 Kombinatorial}$

Dalam matematika ada cabang ilmu yang mengkhususkan mempelajari tentang pengaturan objek-objek. Cabang matematika ini selanjutnya dinamakan Kombinatorial. Hasil dari mempelajari bagian ini adalah diperoleh jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya. 

Sebagai contoh nomor plat mobil di negara X terdiri atas 4 angka diikuti dengan 2 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat dibuat?

Sebagai contoh yang lain sandi-lewat (password) sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter sendiri boleh berupa angka atau huruf, dengan huruf besar maupun huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak sandi-lewat (password) yang dapat dibuat?

$\text{A. 2 Percobaan}$

Hasil dari Kombinatorial ini diperoleh dari percobaan(experiment). Percobaan dalam pengertian di sini adalah Proses yang berupa tindakan yang dapat diamati. Sebagai misal dalam percobaan melempar sebuah dadu, maka hasil yang mungkin adalah munculnya salah satu muka dadu yang enam, yaitu: 1,2,3,4,5, dan 6. Setiap kali kita melempar dapat dipastikan salah satu muka dadu akan muncul

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Pada saat melempar sebuah koin, maka akan}\\ & \text{didapatkan 2 kemungkinan, yaitu muka}\\ & \text{gambar (G) atau muka angka (A)}\\ 2.& \text{Ketika melempar dua koin sekaligus, maka }\\ & \text{akan didapatkan kemungkinan 4 muka koin}\\ & \text{4 kemungkinan itu yaitu: AA, AG, GA, dan GG}\\ 3.& \text{Selanjutnya saat kita melempar 3 koin sekaligus}\\ & \text{maka kita akan mendapatkan 8 kemungkinan}\\ & \text{muka koin, yaitu}:\\ & \text{AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA,}\\ & \text{dan GGG}\\ 4.& \text{Contoh yang lain saat kita melempar dua buah}\\ & \text{dadu, maka kita akan mendapatkan 36 kemungkinan}\\ & \text{muka dadu}\end{array}$

Untuk uraian contoh pada no.3 dan 4 disertakan tabel berikut

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{3}& \text{4}\\ \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{cc}A& =AAA\\ \\ G& =AAG\end{array}\\ \\ G\{\begin{array}{cc}A& =AGA\\ \\ G& =AGG\end{array}\end{array}\\ \\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{cc}A& =GAA\\ \\ G& =GAG\end{array}\\ \\ G\{\begin{array}{cc}A& =GGA\\ \\ G& =GGG\end{array}\end{array}\end{array}& \begin{array}{|ccccccc|}\hline \setminus & 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& (1,1)& (1,2)& (1,3)& (1,4)& (1,5)& (1,6)\\ 2& (2,1)& (2,2)& (2,3)& (2,4)& (2,5)& (2,6)\\ 3& (3,1)& (3,2)& (3,3)& (3,4)& (3,5)& (3,6)\\ 4& (4,1)& (4,2)& (4,3)& (4,4)& (4,5)& (4,6)\\ 5& (5,1)& (5,2)& (5,3)& (5,4)& (5,5)& (5,6)\\ 6& (6,1)& (6,2)& (6,3)& (6,4)& (6,5)& (6,6)\\ \hline\end{array}\\ \text{n}(\text{S})=8& \text{n}(\text{S})=36\\ \hline\end{array}$

Sebagai catatan kemungkinan-kemungkinan yang muncul dalam setaip tindakan pada 4 contoh di atas selanjutnya akan disebut sebagai titik sampel.

$\text{B. Kaidah Pencacahan}$

Dalam kombinatorial kita harus melakukan perhitungan (counting) untuk mendapatkan semua kemungkinan dari pengaturan objekgar hasilnya didaptkan valid. Dua kaidah dasar yang digunakan dalam hal ini adalah adalah kaidah perkalian (rule of product) dan kaidah penjumlahan (rule of sum). Kedua kaidah tersebut nantinya akan selalu digunakan secara terpisah atau secara gabungan tergantung kondisi yang diinginkan dalam penentuan aturan pengisian tempat.

 $\text{B. 1 Kaidah Perkalian}$

$\{\begin{array}{ll}\Rightarrow & \begin{array}{|c|}\hline \text{Kaidah Perkalian}\\ \begin{array}{rl}& \text{Jika percobaan 1 mendapat hasil}m,\\ & \text{percobaan 2 mendapatkan hasil}n,\\ & \text{maka jika percobaan 1 dan 2 dilakukan},\\ & \text{maka akan mendapatkan hasil}m\times n\\ & \text{kemungkinan}\end{array}\\ \hline\end{array}\\ \\ \\ \Rightarrow & \begin{array}{|c|}\hline \text{Kaidah Penjumlah}\\ \begin{array}{rl}& \text{Jika percobaan 1 mendapat hasil}m,\\ & \text{percobaan 2 mendapatkan hasil}n,\\ & \text{maka jika hanya}\mathbf{\text{satu percobaan}}\text{saja}\\ & \text{yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2)},\\ & \text{maka akan mendapatkan hasil}m+n\\ & \text{kemungkinan}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra}\\ & \text{dan 4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih}\\ & \text{satu orang wakil siswa dan satu orang wakil siswi}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa}\\ & \text{dan ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi}.\\ & \text{Jika 2 orang wakil harus dipilih yang terdiri}\\ & \text{dari 1 siswa dan 1 siswi, maka jumlah}\\ & \text{kemungkinan perwakilan tersebut adalah yang}\\ & \text{dapat dipilih adalah 5 x 4 = 20 cara}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah ruang sampel dan banyaknya}\\ & \text{anggota untuk percobaan}\\ & \text{a}.\text{melambungkan sebuah koin sebanyak 3 kali}\\ & \text{b}.\text{melambungkan dua buah dadu sebanyak sekali}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Jika S adalah ruang sampel dan n(S) adalah}\\ & \text{banyak anggota ruang sampel, maka}\\ & \text{a}.\text{karena muka koin ada 2, maka n(S)}\\ & n(S)=2\times 2\times 2=2^3=8\\ & \text{b}.\text{karena muka dadu ada 6, maka n(S)}\\ & n(S)=6\times 6=6^2=36\\ & \text{Dan berikut ilustrasi untuk seluruh ruang}\\ & \text{sampelnya untuk kedua kasus di atas}\\ & \begin{array}{|cc|}\hline \text{a}& \text{b}\\ \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{cc}A& =AAA\\ \\ G& =AAG\end{array}\\ \\ G\{\begin{array}{cc}A& =AGA\\ \\ G& =AGG\end{array}\end{array}\\ \\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{cc}A& =GAA\\ \\ G& =GAG\end{array}\\ \\ G\{\begin{array}{cc}A& =GGA\\ \\ G& =GGG\end{array}\end{array}\end{array}& \begin{array}{|ccccccc|}\hline \setminus & 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& (1,1)& (1,2)& (1,3)& (1,4)& (1,5)& (1,6)\\ 2& (2,1)& (2,2)& (2,3)& (2,4)& (2,5)& (2,6)\\ 3& (3,1)& (3,2)& (3,3)& (3,4)& (3,5)& (3,6)\\ 4& (4,1)& (4,2)& (4,3)& (4,4)& (4,5)& (4,6)\\ 5& (5,1)& (5,2)& (5,3)& (5,4)& (5,5)& (5,6)\\ 6& (6,1)& (6,2)& (6,3)& (6,4)& (6,5)& (6,6)\\ \hline\end{array}\\ \text{n}(\text{S})=8& \text{n}(\text{S})=36\\ \hline\end{array}\end{array}$

Catatan :

Sebuah koin di lempar 3 kali sama dengan hasilnya untuk ruang sampel 3 buah koin dilempar sekali. Demikian juga sebuah dadu diundi 2 kali akan sama hasilnya dengan 2 buah dadi diundi sekali.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra dan}\\ & \text{4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih satu}\\ & \text{orang wakil pelajar tersebut(tidak masalah putra atau putri)}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa dan}\\ & \text{ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi. Jika}\\ & \text{hanya 1 orang wakil yang harus dipilih}\\ & \text{(tidak peduli putra atau putri)},\\ & \text{maka banyak cara memilih adalah 5 + 4 = 9 cara}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Pada suatu rak baca pada suatu ruangan terdapat }\\ & \text{4 buku, 2 koran, dan 10 majalah. Tentukan banyak }\\ & \text{cara seseorang di ruangan tersebut mengambil}\\ & \text{salah satu bacaan yang ada}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{ada 4 kemungkinan memilih buku dan}\\ & \text{ada 2 kemungkinan memilih koran serta}\\ & \text{ada 10 kemungkinan memilih majalah}\\ & \text{Jika hanya 1 bacaan yang bisa dipilih},\\ & \text{maka banyak cara memilih bacaan tersebut}\\ & \text{adalah 4 + 2 + 10 = 16 cara}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Seseorang hendap bepergian dengan menggunakan}\\ & \text{kendaraanya. Ia memiliki 1 mobil, 3 sepeda motor, }\\ & \text{dan 5 sepeda. Tentukan ada berapa banyak cara }\\ & \text{seseorang itu menggunakan kendaraanya}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{hanya ada 1 kemungkinan memilih mobil dan}\\ & \text{ada 3 kemungkinan memilih sepeda motor serta}\\ & \text{ada 5 kemungkinan ia mengunakan sepeda}\\ & \text{Jika hanya 1 kendaraan saja yang dipilih},\\ & \text{maka banyak cara memilih kendaraan tersebut}\\ & \text{adalah 1 + 3 + 5 = 9 cara}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Sebuah bilangan dibentuk dari angka-angka}\\ & \text{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Jika pengulangan}\\ & \text{tidak diperbolehkan, tentukan banyaknya bilangan}\\ & \text{a}.\text{yang terdiri dari 1 angka dan kurang dari 5}\\ & \text{b}.\text{yang terdiri dari 2 angka dan kurang dari 50}\\ & \text{c}.\text{yang terdiri dari 3 angka dan kurang dari 500}\\ & \text{d}.\text{yang terdiri dari 4 angka dan kurang dari 5000}\\ & \text{e}.\text{yang terdiri dari 5 angka dan kurang dari 50000}\\ & \text{f}.\text{yang terdiri dari 6 angka dan kurang dari 500000 dan habis dibagi 5}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{a}.\text{jelas ada 4 angka yang memenuhi, yaitu: 1, 2, 3, dan 4}\\ & \text{b}.\text{2 angka misalkan AB, posisi A dapat diisi dengan 4 cara dan posisi B dapat}\\ & \text{diisi dengan 8 cara, karena setelah diisikan ke A angka tinggal 8 buah dan}\\ & \text{semuanya memiliki kesempatan yang sama untuk diisikan ke B}.\\ & \text{sehingga AB dapat diisi dengan 4 x 8 = 32 cara}.\\ & \text{c}.\text{3 angka misalkan ABC, posisi A dapat diisi dengan 4 cara, posisi B dapat}\\ & \text{diisi dengan 8 cara, dan posisi C dapat diisi dengan 7 cara}.\\ & \text{sehingga ABC dapat diisi dengan 4 x 8 x 7 = 224 cara}.\\ & \\ & \text{Untuk jawaban d, e, dan f silahkan dicoba sendiri sebagai latihan}\end{array}$.

Perhatikan gambar berikut untuk menjawab soal no. 7 dan 8

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Perhatikan gambar di atas. Jika dari kota A}\\ & \text{ke kota B terdapat 4 jalur yang dapat ditempuh}\\ & \text{dan dari kota B ke kota C terdapat 3 jalur yang}\\ & \text{ada, maka banyak jalur yang bisa dilalui seseorang }\\ & \text{dari kota A ke kota C dengan melalui kota B }?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Dari kota A ke B ada 4 jalur}\\ & \text{dari kota B ke C ada 3 jalur}\\ & \text{maka banyak jalur dari kota A ke C melalui B}\\ & \text{adalah 4 x 3 = 12 jalur}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Perhatikan soal no, 7 di atas. Jika orang tersebut}\\ & \text{pulang ke kota A dan melalui B dengan melalui}\\ & \text{jalur yang berbeda dengan saat ia pergi, maka}\\ & \text{banyak jalur yang bisa dilalui orang tersebut}\\ & \text{adalah}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Saat pergi dari kota A ke kota C melalui B}\\ & \text{dari kota A ke B ada 4 pilihan jalur (dipilih 1)}\\ & \text{dari kota B ke C ada 3 pilihan jalur (dipilih 1)}\\ & \text{maka banyak jalur dari kota A ke C melalui B}\\ & \text{adalah 4 x 3 = 12 jalur}\\ & \text{Saat pulang dari kota C ke kota A melalui B}\\ & \text{dari kota C ke B ada 2 pilihan jalur }\\ & (\text{1 jalur sudah digunakan sebelumnya saat pergi})\\ & \text{dari kota B ke A ada 3 pilihan jalur}\\ & (\text{1 jalur sudah digunakan sebelumnya saat pergi})\\ & \text{maka banyak jalur pulang dari kota C ke A melalui B}\\ & \text{adalah 2 x 3 = 6 jalur}\\ & \text{Sehingga total jalur pergi-pulang}\\ & \text{terdapat sebanyak 12 x 6 = 72 jalur berbeda}\\ & \text{yang bisa dilalui orang tersebut}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: IMFORMATIKA.