PAS MATEMATIKA BLOG: Lanjutan Distribusi Binomial

$\begin{aligned} D . & Binomial Newton \end{aligned}$

$\begin{aligned} D. 1 . & Binomial Newton \end{aligned}$

$\begin{aligned} Perhatikanlah susunan bilangan berikut \\ \begin{array}{cl} 1 = C_{0}^{1} 1 = C_{1}^{1} & (a + b)^{1} \\ 1 = C_{0}^{2} 2 = C_{1}^{2} 1 = C_{2}^{2} & (a + b)^{2} \\ 1 = C_{0}^{3} 3 = C_{1}^{3} 3 = C_{2}^{3} 1 = C_{3}^{3} & (a + b)^{3} \\ 1 = C_{0}^{4} 4 = C_{1}^{4} 6 = C_{2}^{4} 4 = C_{3}^{4} 1 = C_{4}^{4} & (a + b)^{4} \\ ⋮ & ⋮ \\ d s t & (a + b)^{\dots} \\ ⋮ & ⋮ \\ (a + b)^{n} \end{array} \\ Susunan bilangan-bilangan di atas selanjutnya \\ dinamakan Segitiga Pascal \end{aligned}$

$\begin{aligned} Bilangan C_{r}^{n} = (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) merupakan koefisien \\ dari binomial (a + b)^{n} \\ Selanjutnya perhatikanlah bahwa untuk \\ n = 1, 2, 3, 4, \dots berlaku \\ \begin{aligned} (a + b)^{n} = & C_{0}^{n} a^{n} b^{0} + C_{1}^{n} a^{n - 1} b^{1} + C_{2}^{n} a^{n - 2} b^{2} \\ + C_{3}^{n} a^{n - 3} b^{3} + \dots + C_{n - 3}^{n} a^{3} b^{n - 3} \\ + C_{n - 2}^{n} a^{2} b^{n - 2} + C_{n - 1}^{n} a^{1} b^{n - 1} + C_{n}^{n} a^{0} b^{n} \\ = \sum_{r = 0}^{n} C_{r}^{n} a^{n - r} b^{r} \end{aligned} \end{aligned}$

$D. 2 Perluasan Binomial Newton$

$\begin{aligned} Untuk bilangan real n dan bilangan \\ non negatif r, serta | A | < 1, berlaku : \\ (1 + A)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} C_{r}^{n} A^{r} \end{aligned}$

$D. 3 Teorema Multinomial$

Pada bentuk multinomial dengan ekspresi $(x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{r})^{n}$ dengan n dan r bilangan bulat positif, maka koefisien dari $x_{1}^{n_{1}} x_{2}^{n_{2}} x_{3}^{n_{3}} \dots x_{r}^{n_{r}}$ adalah $\frac{n!}{n_{1}! n_{2}! n_{3}! \dots n_{r}!}$ dinotasikan dengan $(\begin{matrix} n \\ n_{1}, n_{2}, n_{3}, \dots, n_{r} \end{matrix})$

$CONTOH SOAL$

$\begin{array}{ll} 1. & Misalkan untuk n bilangan bulat \\ Positif. Tunjukklan bahwa \\ a . (1 + x)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} C_{r}^{n} x^{r} = \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) x^{r} \\ b . (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) = 2^{n} \\ Bukti \\ \begin{aligned} a . (1 + x) & ^{n} \\ = & C_{0}^{n} 1^{n} x^{0} + C_{1}^{n} 1^{n - 1} x^{1} + C_{2}^{n} 1^{n - 2} x^{2} \\ + C_{3}^{n} 1^{n - 3} x^{3} + \dots + C_{n - 3}^{n} 1^{3} x^{n - 3} \\ + C_{n - 2}^{n} 1^{2} x^{n - 2} + C_{n - 1}^{n} 1^{1} x^{n - 1} + C_{n}^{n} 1^{0} x^{n} \\ = & C_{0}^{n} + C_{1}^{n} x + C_{2}^{n} x^{2} + C_{3}^{n} x^{3} + \dots \\ + C_{n - 3}^{n} x^{n - 3} + C_{n - 2}^{n} x^{n - 2} + C_{n - 1}^{n} x^{n - 1} \\ + C_{n}^{n} x^{n} \\ atau & dengan bentuk lain \\ = & (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) x + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) x^{2} + (\begin{array}{c} n \\ 3 \end{array}) x^{3} \\ + \dots + (\begin{array}{c} n \\ n - 3 \end{array}) x^{n - 3} + (\begin{array}{c} n \\ n - 2 \end{array}) x^{n - 2} \\ + (\begin{array}{c} n \\ n - 1 \end{array}) x^{n - 1} + (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) x^{n} \\ = & \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) x^{r} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . (1 + x) & ^{n} lihat jawaban poin a, saat x = 1 \\ (1 + 1) & ^{n} = (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) 1 + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) 1^{2} + (\begin{array}{c} n \\ 3 \end{array}) 1^{3} \\ + \dots + (\begin{array}{c} n \\ n - 3 \end{array}) 1^{n - 3} + (\begin{array}{c} n \\ n - 2 \end{array}) 1^{n - 2} \\ + (\begin{array}{c} n \\ n - 1 \end{array}) 1^{n - 1} + (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) 1^{n} \\ (2) & ^{n} = (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 3 \end{array}) \\ + \dots + (\begin{array}{c} n \\ n - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) \\ = & \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) \\ Sehing & ga \\ 2^{n} & = \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 2. & Misalkan untuk n bilangan bulat \\ Positif. Tunjukklan bahwa \\ (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) - \dots + (- 1)^{n} (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) = 0 \\ Bukti \\ Sebelumnya diketahui bahwa \\ \begin{aligned} (a + b)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) a^{n - r} b^{r} \\ atau \\ \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) a^{n - r} b^{r} = (a + b)^{n} \\ ⧫ saat a = b = 1, maka \\ \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) 1^{n - r} 1^{r} = (1 + 1)^{n} \\ \Leftrightarrow \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = 2^{n} . . . (bukti no. 1.b) \\ ⧫ saat a = 1 & b = - 1 maka \\ \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) 1^{n - r} (- 1)^{r} = (1 - 1)^{n} = 0 \\ Sehingga \\ (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) - \dots + (- 1)^{n} (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) = 0 ◼ \end{aligned} \end{array}$

$\begin{aligned} E . & Distribusi Binomial \end{aligned}$

Perhatikan materi Binomial Newton di atas berkaitan dengan distribusi binomial. Misalkan suatu kejadian yang hanya memberikan dua hasil saja $a$ dan $b$ saja seperti melambungkan sebuah uang koin yang akan menghasilkan 2 hasil saja yang mungkin, yaitu antara sisi gambar $G$ atau muncul sisi angka $A$ atau pada contoh lainnya adalah ketika seseorang yang menunggu hasil hasil ujian yang jelas hasilnya kemungkinannya cuma dua, yaitu lulus atau tidak lulus.

Percobaan acak yang hanya memberikan 2 hasil saja disebut percobaan $B e r n o u l l i$ . Selanjujtnya percobaan Bernoulli yang dilakukan sebanyak $n$ kali dinamakan dengan $percobaan Binomial$ .

Variabel acak $X$ yanmg mana nilai-nilainya ditentukan oleh hasil dari percobaan binomial disebut sebagai Variabel Acak Binomial.

Berikut ciri-ciri percobaan binomial

Percobaan dilakukan secara berulang sebanyak $n$ kali, dengan $n$ bilangan bulat positif
Setiap percobaan memiliki dua macam hasil saja dan saling berkomplemen, yaitu kejadian yang diharapkan (disebut sukses) dan kejadian yang tidak diharapkan (disebut tidak sukses)
Peluang setiap kejadian bersifat tetap untuk setiap percobaan dan jumlah peluangnya baik sukses maupun yang tidak sukses sama dengan 1. Misalkan peluang suksesny adalah $p$ , maka peluang gagalnya adalah $q = 1 - p$
Setiap percobaan bebas $(i n d e p e n d e n t)$ satu sama lainnya, artinya hasil percobaan yang satu tidak mempengaruhi percobaan yang lain.

Secara umum rumus fungsi $distribusi binomial$ adalah:

$\begin{aligned} f (x) = P (x; n; p) = C (n, x) p^{x} q^{n - x} = (\begin{array}{c} n \\ x \end{array}) p^{x} q^{n - x} \\ Keterangan : \\ ∙ C (n, x) = (\begin{array}{c} n \\ x \end{array}) = koefisien bibonial \\ ∙ x = banyak kejadian yang diharapkan, \\ dengan nilai x = 0, 1, 2, 3, \dots, n \\ ∙ p = peluang kejadian yang diharapkan \\ ∙ q = peluang kejadian yang tidak diharapkan \end{aligned}$

Jika rumus dari fungsi peluang di atas dijabarkan akan menjadi berupa bentuk penjumlahan, maka

$\begin{aligned} F (t) & = P (X \leq t) \\ = \sum_{x = 0}^{x = t} (\begin{array}{c} n \\ x \end{array}) p^{x} q^{n - x} \\ = (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) p^{0} q^{n - 0} + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + p^{1} q^{n - 1} + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) p^{2} q^{n - 2} + \dots + (\begin{array}{c} n \\ t \end{array}) p^{t} q^{n - t} \end{aligned}$

Dan rumus di atas karena tidak sepenuhnya sampai $n$ , maka akan diperoleh fungsi binomial. kumulatif.

Hasil perhitungan $f (x) = P (x; n; p)$ juga dapat dilihat dalam tabel distribusi binomial. Sebagai contohnya adalah $P (2; 4; 0, 05)$ yang berarti $x = 2$ , $n = 4$ , dan $p = 0, 05$ berikut tabelnya:

(Sumber: Buku Siswa Matematika Kelas XII, penulis Tasari, dkk, 2016; hal :126, PT.INTAN PARIWARA)

Sedangkan untuk mencari nilai fungsi peluang distribusi binomial kumulatif, misalkan diberikan

F (2) = P (X \leq 2)

dari

P (2; 4; 0, 05)

perhatikanlah tabel distribusi untuk distribusi peluang kumulatif dari sumber buku yang sama tetapi terdapat pada halaman berikutnya dengan melihat kolom

p = 0, 05

, lalu perhatikan baris

x = 2

untuk

n = 2

. Berikut tabelnya

$CONTOH SOAL$

$\begin{array}{ll} 1. & Dari sebuah survei didapatkan bahwa \\ 1 dari 5 orang berkata bah dia telah \\ mengunjungi dokter dalam sembarang \\ bulan. Jika 10 orang dipilih secara acak \\ maka peluang 3 orang telah berkunjung \\ ke dokter pada bulan kemaren adalah . . . . \\ Jawab : \\ \begin{aligned} n = 10, x = 3, p = \frac{1}{5}, q = \frac{4}{5} \\ maka \\ P (3; 10; \frac{1}{5}) = (\begin{array}{c} 10 \\ 3 \end{array}) {(\frac{1}{5})}^{3} {(\frac{4}{5})}^{7} \end{aligned} \\ = 0, 201 \end{array}$

$TAMBAHAN$

$\begin{aligned} E . & Dsitribusi Poisson \end{aligned}$

Perhatikanlah rumus ditribusi binomial berikut

$\begin{aligned} f (x) = P (x; n; p) \\ = C (n, x) p^{x} q^{n - x} = (\begin{array}{c} n \\ x \end{array}) p^{x} q^{n - x} \end{aligned}$

Saat harga $p$ sebagai lmabang sukses tersebut sangat kecil atau kecil sekali dapat juga dikatakan $p \to 0$ , dan percobaan dilakukan banyak sekali atau $n \to \infty$ , maka penggunaan formula binomial akan terasa sulit. Dan untuk tetap mendapatkan nilai seperti hasil pada perhitungan dengan rumus binomial tersebut, maka digunakan pendekatan nilai dengan menggunkan rumus Distribusi Poisson berikut:

$f (x) = P (X = x) = P (x; λ) = \frac{λ^{x}}{x!} . e^{- λ}$

$CONTOH SOAL$

$\begin{array}{ll} 2. & Pada tiap 100 lembarkertas produksi \\ suatu pabrikdiperkirakan terdapat 1 \\ lembar yang rusak. Tentukanlah \\ kemungkinan mendapat selembar kertas \\ dari 20 lembar yang diambil secara acak \\ dari hasil produksi tersebut! \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & n = 10, x = 1, p = \frac{1}{100}, q = \frac{99}{100} \\ maka penghitungan dengan \\ rumus Distribusi Binomial \\ P (1; 20; \frac{1}{100}) = (\begin{array}{c} 20 \\ 1 \end{array}) {(\frac{1}{100})}^{1} {(\frac{99}{100})}^{19} \\ = \dots \\ b . & Dengan rumus Distribusi poisson \\ ∙ n = 20 \to terlalu besar, dan \\ ∙ p = \frac{1}{100} \to terlalu kecil, maka \\ dengan λ = n p = 20 \times \frac{1}{100} = 0, 2 \\ dan e = 2, 7183 (bilangan Euler) \\ f (x) = P (X = x) = \frac{λ^{x}}{x!} . e^{- λ} \\ f (1) = \frac{(0, 2)^{1} . e^{- 0, 2}}{1!} \\ = 0, 2 \times 0, 409 \\ = 0, 0818 \end{aligned} \end{array}$ .

Sebagai tambahan penjelasannya bahwa jika nilai-nilai dari variabel acak binomial dan peluangnya ditampilkan dalam bentuk tabel atau grafik, maka diperolah distribusi peluang variabel acak binomial yang selanjutnya dapat disebut juga dengan distribusi binomial dan peluang suatu nilai variabel acak binomial dapat disebut sebagai peluang binomial.

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1. & Misalkan X menyatakan sisi angka (A) \\ pada pelambungan 3 uang koin, tentukanlah peluang \\ setiap nilai X yang mungkin \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Perhatikanlah ilustrasi berikut \\ \begin{aligned} Mula & (1) (2) (3) Ruang sampel Nilai \\ Mulai & {\begin{array}{c} A {\begin{matrix} A {\begin{matrix} A \to (A, A, A) \to\to\to X = 3 \\ G \to (A, A, G) \to\to\to X = 2 \end{matrix} \\ G {\begin{matrix} A \to (A, G, A) \to\to\to X = 2 \\ G \to (A, G, G) \to\to\to X = 1 \end{matrix} \end{matrix} \\ G {\begin{matrix} A {\begin{matrix} A \to (G, A, A) \to\to\to X = 2 \\ G \to (G, A, G) \to\to\to X = 1 \end{matrix} \\ G {\begin{matrix} A \to (G, G, A) \to\to\to X = 1 \\ G \to (G, G, G) \to\to\to X = 0 \end{matrix} \end{matrix} \end{array} \end{aligned} \\ Dengan nilai X = 0, 1, 2, atau 3 \end{aligned} \\ \begin{aligned} f (0) & = P (X = 0) = \frac{1}{8} \\ f (1) & = P (X = 1) = \frac{3}{8} \\ f (2) & = P (X = 2) = \frac{3}{8}, serta \\ f (3) & = P (X = 3) = \frac{1}{8} \\ f (4) & = P (X = 4) = 0 \\ f (5) & = P (X = 5) = 0 \\ f (6) & = P (X = 6) = 0 \\ f (7) & = P (X = 7) = 0 \\ f (8) & = P (X = 8) = 0 \\ dan begitu seterusnya \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 2. & Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 6 bola \\ kuning. Pada percobaan pengambilan sebuah \\ bola dalam kotak kemdian dikembalikan lagi \\ dengan X menyatakan banyak bola merah \\ yang diinginkan, tentukan nilai peluang masing \\ -masing variabel acak X jika pengambilan \\ diulang sebanyak n kali \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Total bola = 4 + 6 = 10 bola \\ P (M) = peluang terambil 1 bola merah \\ = \frac{4}{10} = 0, 4 \\ P (K) = peluang terambil 1 bola tidak merah \\ = 1 - P (M) = 1 - 0, 4 = 0, 6 \end{aligned} \\ \begin{aligned} Percobaan pengambilan diulang 2 kali \\ maka n = 2, sehingga X = 0, 1, 2 \\ f (0) = P (X = 0) = P (K K) \\ = P (K) \times P (K) \\ = (0, 6) \times (0, 6) atau bisa ditulis juga \\ = 1 \times (0, 4)^{0} (0, 6)^{2} \\ =_{2} C_{0} (0, 4)^{0} (0, 6)^{2} \\ f (1) = P (X = 1) = P (K M) atau P (M K) \\ = P (M K) + P (M K) \\ = P (M) \times P (K) + P (K) \times P (M) \\ = (0, 4) \times (0, 6) + (0, 6) \times (0, 4) \\ = 2 \times (0, 4)^{1} \times (0, 6)^{1} \\ =_{2} C_{1} (0, 4)^{1} (0, 6)^{1} \\ f (2) = P (X = 2) = P (M M) \\ = P (M) \times P (M) \\ = (0, 4) \times (0, 4) atau bisa ditulis juga \\ =_{2} C_{2} (0, 4)^{2} (0, 6)^{0} \end{aligned} \\ \begin{aligned} Percobaan pengambilan diulang 3 kali \\ maka n = 3, sehingga X = 0, 1, 2, 3 \\ f (0) = P (X = 0) = P (K K K) \\ = P (K) \times P (K) \times P (K) \\ = (0, 6) \times (0, 6) \times (0, 6) \\ = 1 \times (0, 4)^{0} (0, 6)^{3} \\ =_{3} C_{0} (0, 4)^{0} (0, 6)^{3} \\ f (1) = P (X = 1) \\ = P (M K K atau K M K atau K K M) \\ = \dots \\ = 3 \times (0, 4)^{1} \times (0, 6)^{2} \\ =_{3} C_{1} (0, 4)^{1} (0, 6)^{2} \\ f (2) = P (X = 2) \\ = P (M M K atau M K M atau K M M) \\ = \dots \\ = 3 \times (0, 4)^{2} \times (0, 6)^{1} \\ =_{3} C_{2} (0, 4)^{2} (0, 6)^{1} \\ f (3) = P (X = 3) = P (M M M) \\ = P (M) \times P (M) \times P (M) \\ = (0, 4) \times (0, 4) \times (0, 4) \\ = 1 \times (0, 4)^{3} \times (0, 6)^{0} \\ =_{3} C_{3} \times (0, 4)^{3} \times (0, 6)^{0} \end{aligned} \\ \begin{aligned} dst. Sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk \\ kasus di atas rumusnya adalah \\ f (x) = P (x; n; p) =_{n} C_{x} p^{x} q^{n - x} \end{aligned} \end{array}$ .

DAFTAR PUSTAKA

Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung: SEWU.
Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.
Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
Tasari, Sksin, N., Miyanto, & Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: PT. INTAN PARIWARA.
Yuliatun. 2019. Matematika IPA Kelas XII SMA/MA Semester Genap. Solo: INDONESIA JAYA

PAS MATEMATIKA BLOG

Lanjutan Distribusi Binomial

Tidak ada komentar:

Posting Komentar