Lingkaran

 $\text{A. Definisi Lingkaran}$.

Secara definisi lingkaran adalah tempat kedudukam titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Selanjutnya titik tertentu disebut sebagai pusat lingkaran sedangkan jarak yang salalu sama terhadapa titik tertentu tersebut disebut sebagai jari-jari atau radius (r).

Sebagai ilustrasi berikut diberikan gambar berkaitan kedudukan titik-titik tersebut

$\text{B. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) }$.

Persamaan sebuah lingkaran dengan dengan jari-jari  $r$  dan berpusat di titik pusat koordinat dapat dilustrasikan sebagai berikut

Misalkan sebuah titik  $\text{P}(x,y)$  terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0). Dan titik ${\text{P}}^{\prime }(x,0)$ adalah proyeksi titik  P  pada sumbu-X sehingga  $△{\text{OP}}^{\prime }\text{P}$   berupa sebuah segitiga siku-siku di ${\text{P}}^{\prime }$. Dengan rumus Pythagoras kita mendapatkan

$\begin{array}{rl}& O{P}^2=(O{P}^{\prime }{)}^2+(P{P}^{\prime }{)}^2\\ & \iff r^2=x^2+y^2\\ & \iff r=\sqrt{x^2+y^2}\end{array}$

Untuk lebih memudahkan pemahaman Anda, perhatikanlah ilustrasi berikut

Sehingga dapat disimpulkan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah:

$\begin{array}{|ccc|}\hline & & \\ & x^2+y^2=r^2& \\ & & \\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan persamaan lingkaran yang }\\ & \text{berpusat di O dan berjari-jari}{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui pusat lingkaran di O}\\ & \text{dengan jarijari}r={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}}\\ & \text{Persamaan lingkarannya adalah}:\\ & x^2+y^2=r^2\\ & \iff x^2+y^2={\left({\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}}\right)}^2\\ & \iff x^2+y^2={\displaystyle \frac{10}{4},\text{atau}}\\ & \iff x^2+y^2={\displaystyle \frac{5}{2}}\\ & \text{Jadi, persamaan lingkarannya}\\ & \text{adalah}{x}^2+y^2={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran}\\ & \text{yang memenuhi persamaan}\\ & x^2+y^2=6\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & x^2+y^2=6\\ & \text{maka }\\ & \bullet \text{pusat lingkaran adalah O}\\ & x^2+y^2=r^2\\ & \bullet \text{dengan jari-jarinya adalah}\\ & r^2=6\Rightarrow r=\sqrt{6}\\ & \text{Jadi, pusat lingkaran di O dengan}\\ & \text{jari-jari sebesar}r=\sqrt{6}\end{array}\end{array}$.