Lingkaran

 $\color{blue}\textrm{A. Definisi Lingkaran}$.

Secara definisi lingkaran adalah tempat kedudukam titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Selanjutnya titik tertentu disebut sebagai pusat lingkaran sedangkan jarak yang salalu sama terhadapa titik tertentu tersebut disebut sebagai jari-jari atau radius (r).

Sebagai ilustrasi berikut diberikan gambar berkaitan kedudukan titik-titik tersebut

$\color{blue}\textrm{B. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) }$.

Persamaan sebuah lingkaran dengan dengan jari-jari  $r$  dan berpusat di titik pusat koordinat dapat dilustrasikan sebagai berikut

Misalkan sebuah titik  $\textrm{P}(x,y)$  terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0). Dan titik $\textrm{P}'(x,0)$ adalah proyeksi titik  P  pada sumbu-X sehingga  $\bigtriangleup \textrm{OP}'\textrm{P}$   berupa sebuah segitiga siku-siku di $\textrm{P}'$. Dengan rumus Pythagoras kita mendapatkan

$\begin{aligned}&OP^{2}=(OP')^{2}+(PP')^{2}\\ &\Leftrightarrow \: r^{2}=x^{2}+y^{2}\\ &\Leftrightarrow r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{aligned}$

Untuk lebih memudahkan pemahaman Anda, perhatikanlah ilustrasi berikut

Sehingga dapat disimpulkan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah:

$\begin{array}{|ccc|}\hline &&\\ &\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}&\\ &&\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan persamaan lingkaran yang }\\ & \textrm{berpusat di O dan berjari-jari}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui pusat lingkaran di O}\\ &\textrm{dengan jarijari}\: \: r=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}\\ &\textrm{Persamaan lingkarannya adalah}:\\ &\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10} \right )^{2}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{10}{4},\quad \textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{5}{2}\\ &\textrm{Jadi, persamaan lingkarannya}\\ &\textrm{adalah}\: \: \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{5}{2} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran}\\ & \textrm{yang memenuhi persamaan}\: \: \\ &x^{2}+y^{2}=6\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &\: \: x^{2}+y^{2}=6\\ &\textrm{maka }\\ &\bullet \: \: \textrm{pusat lingkaran adalah O}\\ &\qquad\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \: \: \textrm{dengan jari-jarinya adalah}\\ &\qquad r^{2}=6\Rightarrow \color{red}r=\sqrt{6}\\ &\textrm{Jadi, pusat lingkaran di O dengan}\\ &\textrm{jari-jari sebesar}\: \: r=\sqrt{6} \end{aligned} \end{array}$.