A. Pengertian Bilangan Kompleks
Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri atas bagian riil (nyata) dan bagian tidak riil / imajiner (khayal) dan dituliskan dengan $\begin{aligned}\textrm{z}=a+ib \end{aligned}$ atau $\begin{aligned}\textrm{z}=a+bi \end{aligned}$. Bagian riil dari bilangan kompleks adalah bagian yang berupa bilangan riil, sementara untukbagian tidak riil dari bilangan kompleks adalah bagian yang berupa bilangan imajiner
1. Satuan Bilangan Imajiner / Khayal
Dalam hal ini, satuan bilangan khayal adalah $\begin{aligned}i \end{aligned}$ dengan $\begin{aligned}i=\sqrt{-1} \end{aligned}$.
2. Bilangan Kompleks
Dinyatakan dengan $\begin{aligned}\textrm{z}=a+ib \end{aligned}$ atau $\begin{aligned}\textrm{z}=a+bi \end{aligned}$, dengan
$\begin{aligned}\begin{cases} a & =\textrm{Re}(\textrm{z})=\textrm{bagian riil} \\ b & =\textrm{Im}(\textrm{z})= \textrm{ bagian imajiner /khayal} \end{cases} \end{aligned}$.
Jika $\begin{aligned}a=0 \end{aligned}$, maka bilangan kompleks disebut khayal murni dan jika $\begin{aligned}b=0 \end{aligned}$, maka bilangan kompleks menjadi bilangan riil. Sehingga semua bilangan nyata dan semua bilangan khayal murni semuanya termasuk bilangan kompleks.
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.
$\begin{array}{ll}\\ 1. &\textrm{Bilangan}\: \: \sqrt{-4}\: \: \textrm{jika dinyatakan dalam}\\ &i=\sqrt{-1}\: \: \textrm{adalah}\\ &\begin{aligned}\sqrt{-4}&=\sqrt{(4).(-1)}=\sqrt{4}.\sqrt{-1}=2i \end{aligned}\\ 2.&i^{3}=i^{2}.i=(-1)i=-i\\ 3.&i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1\\ 4.&\textrm{z}=1-\sqrt{3}i\\ &\textrm{Re}(\textrm{z})=1\: \: \textrm{atau bagian riilnya adalah 1, dan}\\ &\textrm{Im}(\textrm{z})=-\sqrt{3}\: \: \textrm{atau bagian imajinernya adalah}\: \: -\sqrt{3}\\ 5.&\textrm{z}=2+\sqrt{5}i\\ &\textrm{Re}(\textrm{z})=2\: \:\textrm{atau bagian riilnya adalah 2, dan}\\ &\textrm{Im}(\textrm{z})=\sqrt{5}\: \: \textrm{atau bagian imajinernya adalah}\: \: \sqrt{5} \end{array}$.
B. Bentuk Bilangan Kompleks
1. Bentuk Diagram.
Bentuk diagram pada bidang gambar bilangan kompleks dinamakan bidang Argand, sesuai nama penemunya Jean Robert Argand.
2. Bentuk Polar
Bilangan kompleks $\begin{aligned}\textrm{z}=a+ib \end{aligned}$ dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu menjadi
$.\qquad\qquad\begin{aligned}\textrm{z}&=r(\cos \theta +i\sin \theta)\\ \textrm{d}&\textrm{engan}\\ r&=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ x&=r\cos \theta ,\\ y&=r\sin \theta , \: \: \textrm{dan}\\ \theta &=\textrm{dibaca}\: \: \: theta \end{aligned}$.
3. Bentuk Eksponen
Dengan rumus Euler berupa $\begin{aligned}e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \end{aligned}$, bentuk pangkat dari bilangan ini adalah :
$\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \: \textrm{bahwa}\quad\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta)\\ \textrm{dengan}\quad &\cos \theta +i\sin \theta=e^{i\theta},\: \: \textrm{maka}\\ \textrm{z}&=\color{red}re^{i\theta } \end{aligned}$
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ &\textrm{berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}=\sqrt{2}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}=-\sqrt{3}i\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{z}=-1+\sqrt{5}i\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{z}=\sqrt{2}=\sqrt{2}+0i\\ &\textrm{Re(z)}=\sqrt{2}\\ &\textrm{Im(z)}=0\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{z}=-\sqrt{3}i=0+(-\sqrt{3})i\\ &\textrm{Re(z)}=0\\ &\textrm{Im(z)}=-\sqrt{3}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{z}=-1+\sqrt{5}i\\ &\textrm{Re(z)}=-1\\ &\textrm{Im(z)}=\sqrt{5} \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ &\textrm{berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}=1-\sqrt{3}i\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i,\: \: \textrm{dengan}\: \: x=-\sqrt{2},\: y=\sqrt{2}\\ &r=\sqrt{(-\sqrt{2})^{2}+\sqrt{2}^{2}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sin 45^{0}\Rightarrow \theta =45^{0}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (-x,y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran II, sehingga}\: \: \theta =180^{0}-45^{0}=135^{0}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ &\quad =2(\cos 135^{0} +i\sin 135^{0} )\\ &\textrm{Jadi, bentuk polar dari}\\ &\textrm{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i=\color{red}2(\cos 135^{0} +i\sin 135^{0} )\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{z}=1-\sqrt{3}i,\: \: \textrm{dengan}\: \: x=1,\: y=-\sqrt{3}\\ &r=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{1}{2}=\cos 60^{0}\Rightarrow \theta =60^{0}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (x,-y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran IV, sehingga}\: \: \theta =360^{0}-60^{0}=300^{0}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ &\quad =2(\cos 300^{0} +i\sin 300^{0} )\\ &\textrm{Jadi, bentuk polar dari}\\ &\textrm{z}=1-\sqrt{3}i=\color{red}2(\cos 300^{0} +i\sin 300^{0} ) \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ &\textrm{berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}=-1-\sqrt{3}i\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i,\: \: \textrm{dengan}\: \: x=\sqrt{2},\: y=\sqrt{2}\\ &r=\sqrt{\sqrt{2}^{2}+\sqrt{2}^{2}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sin 45^{0}\Rightarrow \theta =45^{0}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (x,y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran I, sehingga tetap utuh}\: \: \theta =45^{0}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ &\quad =2(\cos 45^{0} +i\sin 45^{0} )\\ &\textrm{Jadi, bentuk polar dari}\\ &\textrm{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i=\color{red}2(\cos 45^{0} +i\sin 45^{0} )\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{z}=-1-\sqrt{3}i,\: \: \textrm{dengan}\: \: x=-1,\: y=-\sqrt{3}\\ &r=\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}=-\sin 60^{0}\Rightarrow \theta =60^{0}\\ &\color{blue}\textrm{tanda negatif hanya menunjukkan posisi kuadran}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-1}{2}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (-x,-y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran III, sehingga}\: \: \theta =180^{0}+60^{0}=240^{0}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ &\quad =2(\cos 240^{0} +i\sin 240^{0} )\\ &\textrm{Jadi, bentuk polar dari}\\ &\textrm{z}=-1-\sqrt{3}i=\color{red}2(\cos 240^{0} +i\sin 240^{0} ) \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Ubahlah bilangan kompleks berikut dalam}\\ &\textrm{bentuk eksponen}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}=2(\cos 45^{0} +i\sin 45^{0} )\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}=-1-\sqrt{3}i\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{z}=2(\cos 45^{0} +i\sin 45^{0} ),\: \: \textrm{dengan}\\ &r=2\: \: \textrm{dan}\: \: \theta =45^{0}.\quad \textrm{Sehingga}\\ &\textrm{z}=re^{i\theta }=2e^{i45^{0}}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{z}=-1-\sqrt{3}i,\: \: \textrm{dengan}\\ &r=\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}\\ &\: \: =\sqrt{4}=2\: \: \textrm{dan}\: \: \theta =45^{0}.\quad \textrm{Sehingga}\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}=-\sin 60^{0}\Rightarrow \theta =60^{0}\\ &\color{blue}\textrm{tanda negatif hanya menunjukkan posisi kuadran}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-1}{2}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (-x,-y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran III, sehingga}\: \: \theta =180^{0}+60^{0}=240^{0}\\ &\textrm{z}=re^{i\theta }=2e^{i240^{0}} \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{aligned}\textbf{Cata}&\textbf{tan} \\\hline \textrm{Anda}&\: \textrm{juga bisa menggunakan nilai}\: \: \tan\theta \\ \textrm{untu}&\textrm{k menentukan besar sudut}\: \: \theta -\textrm{nya, yaitu}:\\ \tan \theta &=\displaystyle \frac{y}{x}\\ \textrm{Perh}&\textrm{atikan}\: \: \color{red}\textrm{Contoh Soal pada nomor 3a dan 3b}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline 3\textbf{a}&3\textbf{b}\\\hline \textrm{z}=(-\sqrt{2},\sqrt{2})&\textrm{z}=(1,-\sqrt{3})\\ \textrm{Kuadran II}&\textrm{kuadran IV}\\ \left ( 180^{0}-\theta \right )&\left ( 360^{0}-\theta \right )\\ \begin{aligned}\tan \theta &=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=-1\\ \tan \theta &=-\tan 45^{0}\\ &=\tan (180^{0}-45^{0})\\ &=\tan 135^{0}\\ \theta &=135^{0} \end{aligned}&\begin{aligned}\tan \theta &=\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}\\ \theta &=-\tan 60^{0}\\ &=\tan (360^{0}-60^{0})\\ &=\tan 300^{0}\\ \theta &=300^{0} \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{aligned}$.
DAFTAR PUSTAKA
- Ngapiningsih, Suparno. 2023. Matematika Tingkat Lanjut untuk SMA/MA Kelas 11A. Yogyakarta: INTAN PARIWARA
- Purwosetiyono, Didik. 2012. Pengantar Analisis Kompleks. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press
- Spiegel, Murray, S., Iskandar, K. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-Soal Matematika Dasar. Jakarta: ERLANGGA
- Thohir, Ahmad. 2013. Materi Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika MA/SMA. Grobogan
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Informasi