Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

A. Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri atas bagian riil (nyata) dan bagian tidak riil / imajiner (khayal) dan dituliskan dengan $\begin{array}{r}\text{z}=a+ib\end{array}$  atau $\begin{array}{r}\text{z}=a+bi\end{array}$. Bagian riil dari bilangan kompleks adalah bagian yang berupa bilangan riil, sementara untukbagian tidak riil dari bilangan kompleks adalah bagian yang berupa bilangan imajiner

1. Satuan Bilangan Imajiner / Khayal

Dalam hal ini, satuan bilangan khayal adalah $\begin{array}{r}i\end{array}$ dengan  $\begin{array}{r}i=\sqrt{-1}\end{array}$.

2. Bilangan Kompleks

Dinyatakan dengan  $\begin{array}{r}\text{z}=a+ib\end{array}$  atau  $\begin{array}{r}\text{z}=a+bi\end{array}$, dengan

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}a& =\text{Re}(\text{z})=\text{bagian riil}\\ b& =\text{Im}(\text{z})=\text{ bagian imajiner /khayal}\end{array}\end{array}$.

Jika  $\begin{array}{r}a=0\end{array}$, maka bilangan kompleks disebut khayal murni dan jika $\begin{array}{r}b=0\end{array}$, maka bilangan kompleks menjadi bilangan riil. Sehingga semua bilangan nyata dan semua bilangan khayal murni semuanya termasuk bilangan kompleks.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Bilangan}\sqrt{-4}\text{jika dinyatakan dalam}\\ & i=\sqrt{-1}\text{adalah}\\ & \begin{array}{rl}\sqrt{-4}& =\sqrt{(4).(-1)}=\sqrt{4}.\sqrt{-1}=2i\end{array}\\ 2.& i^3=i^2.i=(-1)i=-i\\ 3.& i^4=(i^2{)}^2=(-1{)}^2=1\\ 4.& \text{z}=1-\sqrt{3}i\\ & \text{Re}(\text{z})=1\text{atau bagian riilnya adalah 1, dan}\\ & \text{Im}(\text{z})=-\sqrt{3}\text{atau bagian imajinernya adalah}-\sqrt{3}\\ 5.& \text{z}=2+\sqrt{5}i\\ & \text{Re}(\text{z})=2\text{atau bagian riilnya adalah 2, dan}\\ & \text{Im}(\text{z})=\sqrt{5}\text{atau bagian imajinernya adalah}\sqrt{5}\end{array}$.

B. Bentuk Bilangan Kompleks

1. Bentuk Diagram. 

Bentuk diagram pada bidang gambar bilangan kompleks dinamakan bidang Argand, sesuai nama penemunya Jean Robert Argand.

Titik (x,y) pada bidang Argand

2. Bentuk Polar

Bilangan kompleks  $\begin{array}{r}\text{z}=a+ib\end{array}$  dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu menjadi  

$.\begin{array}{rl}\text{z}& =r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ \text{d}& \text{engan}\\ r& =\sqrt{x^2+y^2}\\ x& =r\cos \theta ,\\ y& =r\sin \theta ,\text{dan}\\ \theta & =\text{dibaca}theta\end{array}$.

3. Bentuk Eksponen 

Dengan rumus Euler berupa $\begin{array}{r}{e}^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \end{array}$, bentuk pangkat dari bilangan ini adalah :  

$\begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \text{bahwa}\text{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ \text{dengan}& \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta },\text{maka}\\ \text{z}& =r{e}^{i\theta }\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ & \text{berikut}\\ & \text{a}.\text{z}=\sqrt{2}\\ & \text{b}.\text{z}=-\sqrt{3}i\\ & \text{c}.\text{z}=-1+\sqrt{5}i\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{z}=\sqrt{2}=\sqrt{2}+0i\\ & \text{Re(z)}=\sqrt{2}\\ & \text{Im(z)}=0\\ \text{b}.& \text{z}=-\sqrt{3}i=0+(-\sqrt{3})i\\ & \text{Re(z)}=0\\ & \text{Im(z)}=-\sqrt{3}\\ \text{c}.& \text{z}=-1+\sqrt{5}i\\ & \text{Re(z)}=-1\\ & \text{Im(z)}=\sqrt{5}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ & \text{berikut}\\ & \text{a}.\text{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i\\ & \text{b}.\text{z}=1-\sqrt{3}i\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i,\text{dengan}x=-\sqrt{2},y=\sqrt{2}\\ & r=\sqrt{(-\sqrt{2}{)}^2+{\sqrt{2}}^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ & \sin \theta ={\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sin {45}^0\Rightarrow \theta ={45}^0}\\ & \cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\ & \text{Karena titiknya}(-x,y),\text{maka titik berada di}\\ & \text{kuadran II, sehingga}\theta ={180}^0-{45}^0={135}^0\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \text{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =2(\cos {135}^0+i\sin {135}^0)\\ & \text{Jadi, bentuk polar dari}\\ & \text{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i=2(\cos {135}^0+i\sin {135}^0)\\ \text{b}.& \text{z}=1-\sqrt{3}i,\text{dengan}x=1,y=-\sqrt{3}\\ & r=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\\ & \sin \theta ={\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}}\\ & \cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{1}{2}=\cos {60}^0\Rightarrow \theta ={60}^0}\\ & \text{Karena titiknya}(x,-y),\text{maka titik berada di}\\ & \text{kuadran IV, sehingga}\theta ={360}^0-{60}^0={300}^0\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \text{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =2(\cos {300}^0+i\sin {300}^0)\\ & \text{Jadi, bentuk polar dari}\\ & \text{z}=1-\sqrt{3}i=2(\cos {300}^0+i\sin {300}^0)\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ & \text{berikut}\\ & \text{a}.\text{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\\ & \text{b}.\text{z}=-1-\sqrt{3}i\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i,\text{dengan}x=\sqrt{2},y=\sqrt{2}\\ & r=\sqrt{{\sqrt{2}}^2+{\sqrt{2}}^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ & \sin \theta ={\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sin {45}^0\Rightarrow \theta ={45}^0}\\ & \cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\ & \text{Karena titiknya}(x,y),\text{maka titik berada di}\\ & \text{kuadran I, sehingga tetap utuh}\theta ={45}^0\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \text{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =2(\cos {45}^0+i\sin {45}^0)\\ & \text{Jadi, bentuk polar dari}\\ & \text{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i=2(\cos {45}^0+i\sin {45}^0)\\ \text{b}.& \text{z}=-1-\sqrt{3}i,\text{dengan}x=-1,y=-\sqrt{3}\\ & r=\sqrt{(-1{)}^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\\ & \sin \theta ={\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}=-\sin {60}^0\Rightarrow \theta ={60}^0}\\ & \text{tanda negatif hanya menunjukkan posisi kuadran}\\ & \cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-1}{2}}\\ & \text{Karena titiknya}(-x,-y),\text{maka titik berada di}\\ & \text{kuadran III, sehingga}\theta ={180}^0+{60}^0={240}^0\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \text{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =2(\cos {240}^0+i\sin {240}^0)\\ & \text{Jadi, bentuk polar dari}\\ & \text{z}=-1-\sqrt{3}i=2(\cos {240}^0+i\sin {240}^0)\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Ubahlah bilangan kompleks berikut dalam}\\ & \text{bentuk eksponen}\\ & \text{a}.\text{z}=2(\cos {45}^0+i\sin {45}^0)\\ & \text{b}.\text{z}=-1-\sqrt{3}i\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{z}=2(\cos {45}^0+i\sin {45}^0),\text{dengan}\\ & r=2\text{dan}\theta ={45}^0.\text{Sehingga}\\ & \text{z}=r{e}^{i\theta }=2e^{i{45}^0}\\ \text{b}.& \text{z}=-1-\sqrt{3}i,\text{dengan}\\ & r=\sqrt{(-1{)}^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}\\ & =\sqrt{4}=2\text{dan}\theta ={45}^0.\text{Sehingga}\\ & \sin \theta ={\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}=-\sin {60}^0\Rightarrow \theta ={60}^0}\\ & \text{tanda negatif hanya menunjukkan posisi kuadran}\\ & \cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-1}{2}}\\ & \text{Karena titiknya}(-x,-y),\text{maka titik berada di}\\ & \text{kuadran III, sehingga}\theta ={180}^0+{60}^0={240}^0\\ & \text{z}=r{e}^{i\theta }=2e^{i{240}^0}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}\mathbf{\text{Cata}}& \mathbf{\text{tan}}\\ \text{Anda}& \text{juga bisa menggunakan nilai}\tan \theta \\ \text{untu}& \text{k menentukan besar sudut}\theta -\text{nya, yaitu}:\\ \tan \theta & ={\displaystyle \frac{y}{x}}\\ \text{Perh}& \text{atikan}\text{Contoh Soal pada nomor 3a dan 3b}\\ & \begin{array}{|cc|}\hline 3\mathbf{\text{a}}& 3\mathbf{\text{b}}\\ \text{z}=(-\sqrt{2},\sqrt{2})& \text{z}=(1,-\sqrt{3})\\ \text{Kuadran II}& \text{kuadran IV}\\ ({180}^0-\theta )& ({360}^0-\theta )\\ \begin{array}{rl}\tan \theta & ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=-1}\\ \tan \theta & =-\tan {45}^0\\ & =\tan ({180}^0-{45}^0)\\ & =\tan {135}^0\\ \theta & ={135}^0\end{array}& \begin{array}{rl}\tan \theta & ={\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}}\\ \theta & =-\tan {60}^0\\ & =\tan ({360}^0-{60}^0)\\ & =\tan {300}^0\\ \theta & ={300}^0\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Ngapiningsih, Suparno. 2023. Matematika Tingkat Lanjut untuk SMA/MA Kelas 11A. Yogyakarta: INTAN PARIWARA
2. Purwosetiyono, Didik. 2012. Pengantar Analisis Kompleks. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press
3. Spiegel, Murray, S., Iskandar, K. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-Soal Matematika Dasar. Jakarta: ERLANGGA
4. Thohir, Ahmad. 2013. Materi Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika MA/SMA. Grobogan