Lanjutan Bilangan Kompleks: Operasi Aljabar Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

D. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textbf{No}&\textbf{Jenis Operasi}&\qquad\qquad\qquad\textbf{Keterangan}\\\hline 1.&\textrm{Penjumlahan}&\begin{aligned}&\textrm{Jumlahkan dua bilangan kompleks}\\ &\textrm{dengan cara bagian riil dan tidak riil}\\ &\textrm{(khayal murni) dilakukan secara}\\ &\textrm{terpisah}\\ &\textbf{Misalkan}\\ &\textrm{z}_{1}=a+ib,\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{z}_{2}=c+id,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{z}_{1}+\textrm{z}_{2}=(a+c)+(b+d)i \end{aligned}\\\hline 2.&\textrm{Pengurangan}&\begin{aligned}&\textrm{Pengurangan dua bilangan kompleks}\\ &\textrm{dengan cara bagian riil dan tidak riil}\\ &\textrm{(khayal murni) dilakukan secara}\\ &\textrm{terpisah}\\ &\textbf{Misalkan}\\ &\textrm{z}_{1}=a+ib,\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{z}_{2}=c+id,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{z}_{1}-\textrm{z}_{2}=(a-c)+(b-d)i \end{aligned}\\\hline 3.&\textrm{Perkalian}&\begin{aligned}&\textrm{Cara mengalikan dua bilangan }\\ &\textrm{kompleks yaitu lakukan dengan cara }\\ &\textrm{seperti binomial biasa dan ganti}\\ &i^{2}\: \: \textrm{dengan}\: \: \sqrt{-1}\\ &\textrm{Misalkan}\\ &\textrm{z}_{1}=a+ib,\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{z}_{2}=c+id,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{z}_{1}\times \textrm{z}_{2}=(a+ib)\times (c+id)\\ &\qquad\quad =ac+adi+bci+bdi^{2}\\ &\qquad\quad =ac+bdi^{2}+(ad+bc)i\\ &\qquad\quad =ac-bd+(ad+bc)i\\ &\textbf{Untuk perkalian dengan skalar}\\ &\textrm{kalikan masing-masing bagian dengan}\\ &\textrm{skalarnya saja}\end{aligned}\\\hline 4.&\textrm{Pembagian}&\begin{aligned}&\textrm{cara membagi dua bilangan kompleks}\\ &\textrm{kalikan pembilang dan penyebut dengan}\\ &\textrm{sekawan dari penyebutnya serta ganti}\\ &\textrm{hasilnya yang mengandung} \: \: i^{2}\: \: \textrm{dengan}\\ &-1\\ &\textrm{Misalkan diketahui penyebutnya berupa}\\ &a+ib,\: \: \textrm{maka sekawannya adalah}:a-ib\\ &\textrm{atau}\\ &\displaystyle \frac{\textup{z}_{1}}{\textrm{z}_{2}}=\textrm{z}_{1}\textrm{z}_{2}^{-1}\: \: \textrm{dengan}\: \: \textrm{z}_{2}\neq 0\\ &\textrm{Jika}\: \: \textup{z}_{2}=a+ib,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{z}_{2}^{-1}=\displaystyle \frac{a}{a^{2}+b^{2}}-i\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: \textrm{z}_{1}=2+3i\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{z}_{2}=6-9i,\: \: \textrm{tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}_{1}+\textrm{z}_{2}\qquad\qquad \textrm{c}.\quad \textrm{z}_{1}\times \textrm{z}_{2}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}_{1}-\textrm{z}_{2}\qquad\qquad \textrm{d}.\quad \textrm{z}_{1}: \textrm{z}_{2}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|l|}\hline \textbf{No}&\textbf{Uraian jawaban}\\\hline &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\left\{\begin{matrix} \textrm{z}_{1}=2+3i\\ \textrm{z}_{2}=6-9i \end{matrix}\right. \end{aligned}\\\hline 1.&\begin{aligned}\textrm{z}_{1}+\textrm{z}_{2}&=(2+3i)+(6-9i)\\ &=(2+6)+(3-9)i\\ &=\color{red}8-6i \end{aligned}\\\hline 2.&\begin{aligned}\textrm{z}_{1}-\textrm{z}_{2}&=(2+3i)-(6-9i)\\ &=(2-6)+(3+9)i\\ &=\color{red}-8+12i \end{aligned}\\\hline 3.&\begin{aligned}\textrm{z}_{1}\times \textrm{z}_{2}&=(2+3i)\times (6-9i)\\ &=(2\times 6-3\times (-9))+(2\times (-9)+3\times 6)i\\ &=(12+27)+(-18+18)i\\ &=\color{red}39 \end{aligned}\\\hline  4.&\begin{aligned}\textrm{z}_{1}:\textrm{z}_{2}&=\displaystyle \frac{\textrm{z}_{1}}{\textrm{z}_{2}}\\ &=\displaystyle \frac{2+3i}{6-9i}\times \frac{6+9i}{6+9i}\\ &=\displaystyle \frac{12+18i+18i+27i^{2}}{6^{2}+9^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{12-27+(18+18)i}{36+81}\\ &=\displaystyle \frac{-15}{117}+\frac{36}{117}i=\color{red}-\displaystyle \frac{5}{39}+\frac{4}{13}i\\ \textbf{atau}&\: \: \textrm{Anda dapat menggunakan invers}\\ &\textrm{hasilnyapun akan sama dengan yang}\\ &\textrm{di atas, yaitu}\\ &\textrm{z}_{2}^{-1}=\displaystyle \frac{6+9i}{6^{2}+9^{2}},\: \: \textrm{maka}\\ &=\textrm{z}_{1}\times \textrm{z}_{2}^{-1}\\ &=(2+3i)\times \displaystyle \frac{6+9i}{6^{2}+9^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{12+18i+18i+27i^{2}}{36+81}\\ &=\displaystyle \frac{12-27+(18+18)i}{117}\\ &=\displaystyle \frac{-15}{117}+\frac{36}{117}i=\color{red}-\frac{5}{39}+\frac{4}{13}i \end{aligned}\\\hline \end{array}  \end{array}$.