PAS MATEMATIKA BLOG: Complex Numbers

Tampilkan postingan dengan label Complex Numbers. Tampilkan semua postingan

Lanjutan Bilangan Kompleks: Operasi Aljabar Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

D. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{cll} No & Jenis Operasi & Keterangan \\ 1. & Penjumlahan & \begin{aligned} Jumlahkan dua bilangan kompleks \\ dengan cara bagian riil dan tidak riil \\ (khayal murni) dilakukan secara \\ terpisah \\ Misalkan \\ z_{1} = a + i b, dan z_{2} = c + i d, maka \\ z_{1} + z_{2} = (a + c) + (b + d) i \end{aligned} \\ 2. & Pengurangan & \begin{aligned} Pengurangan dua bilangan kompleks \\ dengan cara bagian riil dan tidak riil \\ (khayal murni) dilakukan secara \\ terpisah \\ Misalkan \\ z_{1} = a + i b, dan z_{2} = c + i d, maka \\ z_{1} - z_{2} = (a - c) + (b - d) i \end{aligned} \\ 3. & Perkalian & \begin{aligned} Cara mengalikan dua bilangan \\ kompleks yaitu lakukan dengan cara \\ seperti binomial biasa dan ganti \\ i^{2} dengan \sqrt{- 1} \\ Misalkan \\ z_{1} = a + i b, dan z_{2} = c + i d, maka \\ z_{1} \times z_{2} = (a + i b) \times (c + i d) \\ = a c + a d i + b c i + b d i^{2} \\ = a c + b d i^{2} + (a d + b c) i \\ = a c - b d + (a d + b c) i \\ Untuk perkalian dengan skalar \\ kalikan masing-masing bagian dengan \\ skalarnya saja \end{aligned} \\ 4. & Pembagian & \begin{aligned} cara membagi dua bilangan kompleks \\ kalikan pembilang dan penyebut dengan \\ sekawan dari penyebutnya serta ganti \\ hasilnya yang mengandung i^{2} dengan \\ - 1 \\ Misalkan diketahui penyebutnya berupa \\ a + i b, maka sekawannya adalah : a - i b \\ atau \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = z_{1} z_{2}^{- 1} dengan z_{2} \neq 0 \\ Jika z_{2} = a + i b, maka \\ z_{2}^{- 1} = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} - i \frac{b}{a^{2} + b^{2}} \end{aligned} \end{array}$ .

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1. & Diketahui bahwa z_{1} = 2 + 3 i dan \\ z_{2} = 6 - 9 i, tentukan \\ a . z_{1} + z_{2} c . z_{1} \times z_{2} \\ b . z_{1} - z_{2} d . z_{1} : z_{2} \\ Jawab : \\ \begin{array}{cl} No & Uraian jawaban \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa \\ {\begin{array}{c} z_{1} = 2 + 3 i \\ z_{2} = 6 - 9 i \end{array} \end{aligned} \\ 1. & \begin{aligned} z_{1} + z_{2} & = (2 + 3 i) + (6 - 9 i) \\ = (2 + 6) + (3 - 9) i \\ = 8 - 6 i \end{aligned} \\ 2. & \begin{aligned} z_{1} - z_{2} & = (2 + 3 i) - (6 - 9 i) \\ = (2 - 6) + (3 + 9) i \\ = - 8 + 12 i \end{aligned} \\ 3. & \begin{aligned} z_{1} \times z_{2} & = (2 + 3 i) \times (6 - 9 i) \\ = (2 \times 6 - 3 \times (- 9)) + (2 \times (- 9) + 3 \times 6) i \\ = (12 + 27) + (- 18 + 18) i \\ = 39 \end{aligned} \\ 4. & \begin{aligned} z_{1} : z_{2} & = \frac{z_{1}}{z_{2}} \\ = \frac{2 + 3 i}{6 - 9 i} \times \frac{6 + 9 i}{6 + 9 i} \\ = \frac{12 + 18 i + 18 i + 27 i^{2}}{6^{2} + 9^{2}} \\ = \frac{12 - 27 + (18 + 18) i}{36 + 81} \\ = \frac{- 15}{117} + \frac{36}{117} i = - \frac{5}{39} + \frac{4}{13} i \\ atau & Anda dapat menggunakan invers \\ hasilnyapun akan sama dengan yang \\ di atas, yaitu \\ z_{2}^{- 1} = \frac{6 + 9 i}{6^{2} + 9^{2}}, maka \\ = z_{1} \times z_{2}^{- 1} \\ = (2 + 3 i) \times \frac{6 + 9 i}{6^{2} + 9^{2}} \\ = \frac{12 + 18 i + 18 i + 27 i^{2}}{36 + 81} \\ = \frac{12 - 27 + (18 + 18) i}{117} \\ = \frac{- 15}{117} + \frac{36}{117} i = - \frac{5}{39} + \frac{4}{13} i \end{aligned} \end{array} \end{array}$ .

Lanjutan Bilangan Kompleks: Kesamaan Dua Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

C. Kesamaan Dua Bilangan Kompleks

Dua buah bilangan kompleks $z_{1} = a_{1} + i b_{1}$ dan $z_{2} = a_{2} + i b_{2}$ dikatakan $z_{1} = z_{2}$ jika dan hanya jika $a_{1} = a_{2}$ dan $b_{1} = b_{2}$ .

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1. & Diketahui z_{1} = 1 + 3 \sqrt{2} i dan z_{2} = 1 + \sqrt{- 18} \\ apakah z_{1} = z_{2} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui z_{1} = 1 + 3 \sqrt{2} i dan z_{2} = 1 + \sqrt{- 18} \\ Untuk \\ z_{2} = 1 + \sqrt{- 18} = 1 + \sqrt{18} \sqrt{- 1} = 1 + 3 \sqrt{2} i \\ Karena a_{1} = a_{2} = 1, dan b_{1} = b_{2} = 3 \sqrt{2}, \\ maka dapat dikatakan bahwa z_{1} = z_{2} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 2. & Diketahui x - y i = i - 3 \sqrt{2} tentukan nilai \\ dari x dan y \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui x - y i = i - 3 \sqrt{2}, maka \\ x - y i = - 3 \sqrt{2} + i, ini artinya \\ {\begin{array}{c} x = - 3 \sqrt{2} . \\ - y = 1 \Rightarrow y = - 1 \end{array} \\ Jadi, nilai x = - 3 \sqrt{2} dan y = - 1 \end{aligned} \end{array}$ .

Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

A. Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri atas bagian riil (nyata) dan bagian tidak riil / imajiner (khayal) dan dituliskan dengan $\begin{array}{r} z = a + i b \end{array}$ atau $\begin{array}{r} z = a + b i \end{array}$ . Bagian riil dari bilangan kompleks adalah bagian yang berupa bilangan riil, sementara untukbagian tidak riil dari bilangan kompleks adalah bagian yang berupa bilangan imajiner

1. Satuan Bilangan Imajiner / Khayal

Dalam hal ini, satuan bilangan khayal adalah $\begin{array}{r} i \end{array}$ dengan $\begin{array}{r} i = \sqrt{- 1} \end{array}$ .

2. Bilangan Kompleks

Dinyatakan dengan $\begin{array}{r} z = a + i b \end{array}$ atau $\begin{array}{r} z = a + b i \end{array}$ , dengan

$\begin{array}{r} {\begin{cases} a & = Re (z) = bagian riil \\ b & = Im (z) = bagian imajiner /khayal \end{cases} \end{array}$ .

Jika $\begin{array}{r} a = 0 \end{array}$ , maka bilangan kompleks disebut khayal murni dan jika $\begin{array}{r} b = 0 \end{array}$ , maka bilangan kompleks menjadi bilangan riil. Sehingga semua bilangan nyata dan semua bilangan khayal murni semuanya termasuk bilangan kompleks.

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1. & Bilangan \sqrt{- 4} jika dinyatakan dalam \\ i = \sqrt{- 1} adalah \\ \begin{aligned} \sqrt{- 4} & = \sqrt{(4) . (- 1)} = \sqrt{4} . \sqrt{- 1} = 2 i \end{aligned} \\ 2. & i^{3} = i^{2} . i = (- 1) i = - i \\ 3. & i^{4} = (i^{2})^{2} = (- 1)^{2} = 1 \\ 4. & z = 1 - \sqrt{3} i \\ Re (z) = 1 atau bagian riilnya adalah 1, dan \\ Im (z) = - \sqrt{3} atau bagian imajinernya adalah - \sqrt{3} \\ 5. & z = 2 + \sqrt{5} i \\ Re (z) = 2 atau bagian riilnya adalah 2, dan \\ Im (z) = \sqrt{5} atau bagian imajinernya adalah \sqrt{5} \end{array}$ .

B. Bentuk Bilangan Kompleks

1. Bentuk Diagram.

Bentuk diagram pada bidang gambar bilangan kompleks dinamakan bidang Argand, sesuai nama penemunya Jean Robert Argand.

Titik (x,y) pada bidang Argand

2. Bentuk Polar

Bilangan kompleks $\begin{array}{r} z = a + i b \end{array}$ dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu menjadi

$. \begin{aligned} z & = r (\cos θ + i \sin θ) \\ d & engan \\ r & = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ x & = r \cos θ, \\ y & = r \sin θ, dan \\ θ & = dibaca t h e t a \end{aligned}$ .

3. Bentuk Eksponen

Dengan rumus Euler berupa $\begin{array}{r} e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ \end{array}$ , bentuk pangkat dari bilangan ini adalah :

$\begin{aligned} Diketahui & bahwa z = r (\cos θ + i \sin θ) \\ dengan & \cos θ + i \sin θ = e^{i θ}, maka \\ z & = r e^{i θ} \end{aligned}$

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1. & Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks \\ berikut \\ a . z = \sqrt{2} \\ b . z = - \sqrt{3} i \\ c . z = - 1 + \sqrt{5} i \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & z = \sqrt{2} = \sqrt{2} + 0 i \\ Re(z) = \sqrt{2} \\ Im(z) = 0 \\ b . & z = - \sqrt{3} i = 0 + (- \sqrt{3}) i \\ Re(z) = 0 \\ Im(z) = - \sqrt{3} \\ c . & z = - 1 + \sqrt{5} i \\ Re(z) = - 1 \\ Im(z) = \sqrt{5} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 2. & Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks \\ berikut \\ a . z = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i \\ b . z = 1 - \sqrt{3} i \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & z = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i, dengan x = - \sqrt{2}, y = \sqrt{2} \\ r = \sqrt{(- \sqrt{2})^{2} + {\sqrt{2}}^{2}} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \\ \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \sin 45^{0} \Rightarrow θ = 45^{0} \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- \sqrt{2}}{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ Karena titiknya (- x, y), maka titik berada di \\ kuadran II, sehingga θ = 180^{0} - 45^{0} = 135^{0} \\ Selanjutnya \\ z = r (\cos θ + i \sin θ) \\ = 2 (\cos 135^{0} + i \sin 135^{0}) \\ Jadi, bentuk polar dari \\ z = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i = 2 (\cos 135^{0} + i \sin 135^{0}) \\ b . & z = 1 - \sqrt{3} i, dengan x = 1, y = - \sqrt{3} \\ r = \sqrt{1^{2} + (- \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \\ \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- \sqrt{3}}{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{1}{2} = \cos 60^{0} \Rightarrow θ = 60^{0} \\ Karena titiknya (x, - y), maka titik berada di \\ kuadran IV, sehingga θ = 360^{0} - 60^{0} = 300^{0} \\ Selanjutnya \\ z = r (\cos θ + i \sin θ) \\ = 2 (\cos 300^{0} + i \sin 300^{0}) \\ Jadi, bentuk polar dari \\ z = 1 - \sqrt{3} i = 2 (\cos 300^{0} + i \sin 300^{0}) \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 3. & Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks \\ berikut \\ a . z = \sqrt{2} + \sqrt{2} i \\ b . z = - 1 - \sqrt{3} i \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & z = \sqrt{2} + \sqrt{2} i, dengan x = \sqrt{2}, y = \sqrt{2} \\ r = \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{2}} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \\ \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \sin 45^{0} \Rightarrow θ = 45^{0} \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ Karena titiknya (x, y), maka titik berada di \\ kuadran I, sehingga tetap utuh θ = 45^{0} \\ Selanjutnya \\ z = r (\cos θ + i \sin θ) \\ = 2 (\cos 45^{0} + i \sin 45^{0}) \\ Jadi, bentuk polar dari \\ z = \sqrt{2} + \sqrt{2} i = 2 (\cos 45^{0} + i \sin 45^{0}) \\ b . & z = - 1 - \sqrt{3} i, dengan x = - 1, y = - \sqrt{3} \\ r = \sqrt{(- 1)^{2} + (- \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \\ \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- \sqrt{3}}{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{3} = - \sin 60^{0} \Rightarrow θ = 60^{0} \\ tanda negatif hanya menunjukkan posisi kuadran \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 1}{2} \\ Karena titiknya (- x, - y), maka titik berada di \\ kuadran III, sehingga θ = 180^{0} + 60^{0} = 240^{0} \\ Selanjutnya \\ z = r (\cos θ + i \sin θ) \\ = 2 (\cos 240^{0} + i \sin 240^{0}) \\ Jadi, bentuk polar dari \\ z = - 1 - \sqrt{3} i = 2 (\cos 240^{0} + i \sin 240^{0}) \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 4. & Ubahlah bilangan kompleks berikut dalam \\ bentuk eksponen \\ a . z = 2 (\cos 45^{0} + i \sin 45^{0}) \\ b . z = - 1 - \sqrt{3} i \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & z = 2 (\cos 45^{0} + i \sin 45^{0}), dengan \\ r = 2 dan θ = 45^{0} . Sehingga \\ z = r e^{i θ} = 2 e^{i 45^{0}} \\ b . & z = - 1 - \sqrt{3} i, dengan \\ r = \sqrt{(- 1)^{2} + (- \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1 + 3} \\ = \sqrt{4} = 2 dan θ = 45^{0} . Sehingga \\ \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- \sqrt{3}}{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{3} = - \sin 60^{0} \Rightarrow θ = 60^{0} \\ tanda negatif hanya menunjukkan posisi kuadran \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 1}{2} \\ Karena titiknya (- x, - y), maka titik berada di \\ kuadran III, sehingga θ = 180^{0} + 60^{0} = 240^{0} \\ z = r e^{i θ} = 2 e^{i 240^{0}} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{aligned} Cata & tan \\ Anda & juga bisa menggunakan nilai \tan θ \\ untu & k menentukan besar sudut θ - nya, yaitu : \\ \tan θ & = \frac{y}{x} \\ Perh & atikan Contoh Soal pada nomor 3a dan 3b \\ \begin{array}{cc} 3 a & 3 b \\ z = (- \sqrt{2}, \sqrt{2}) & z = (1, - \sqrt{3}) \\ Kuadran II & kuadran IV \\ (180^{0} - θ) & (360^{0} - θ) \\ \begin{aligned} \tan θ & = \frac{\sqrt{2}}{- \sqrt{2}} = - 1 \\ \tan θ & = - \tan 45^{0} \\ = \tan (180^{0} - 45^{0}) \\ = \tan 135^{0} \\ θ & = 135^{0} \end{aligned} & \begin{aligned} \tan θ & = \frac{- \sqrt{3}}{1} = - \sqrt{3} \\ θ & = - \tan 60^{0} \\ = \tan (360^{0} - 60^{0}) \\ = \tan 300^{0} \\ θ & = 300^{0} \end{aligned} \end{array} \end{aligned}$ .

DAFTAR PUSTAKA

Ngapiningsih, Suparno. 2023. Matematika Tingkat Lanjut untuk SMA/MA Kelas 11A. Yogyakarta: INTAN PARIWARA
Purwosetiyono, Didik. 2012. Pengantar Analisis Kompleks. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press
Spiegel, Murray, S., Iskandar, K. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-Soal Matematika Dasar. Jakarta: ERLANGGA
Thohir, Ahmad. 2013. Materi Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika MA/SMA. Grobogan