PAS MATEMATIKA BLOG

Contoh Soal Bangun Ruang Dimensi Tiga (Matematika Wajib Kelas XII)

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk}\: \: 8\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}\\ &\textrm{Perhatkanlah pernyataan-pernyataan berikut berkaitan kubus di atas}!\\ &(\textrm{i})\quad \textrm{Jarak titik A ke titik C adalah 16 cm}\\ &(\textrm{ii})\: \: \: \textrm{Jarak titik A ke titik G adalah 16 cm}\\ &(\textrm{iii})\: \: \textrm{Jarak titik A ke garis CD adalah}\: \: 8\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}\\ &(\textrm{iv})\: \: \textrm{Jarak titik A ke garis BC adalah}\: \: 8\sqrt{3}\: \: \textrm{cm}\\ &\textrm{Pernyataan yang tepat dari pernyataan-pernyataan di atas ditunjukkan oleh}....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{ii})&&&\textrm{d}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv})\\ \textrm{b}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})&\textrm{c}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})&\textrm{e}.&(\textrm{iii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv})\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\textrm{Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut}! \end{array}$

$.\qquad \: \begin{array}{|c|c|l|c|c|}\hline \textrm{No}&\textrm{Pilihan}&\textrm{Keterangan}&\textrm{Opsi}&\textrm{Simpulan}\\\hline 1&(\textrm{i})&\begin{aligned}AC&=a\sqrt{2}\\ &=\left ( 8\sqrt{2} \right )\sqrt{2}=16\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&16\: \: \textrm{cm}&\textrm{Benar}\\\hline 2&(\textrm{ii})&\begin{aligned}AG&=a\sqrt{3}\\ &=\left ( 8\sqrt{2} \right )\sqrt{3}=8\sqrt{6}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&16\: \: \textrm{cm}&\textrm{Salah}\\\hline 3&(\textrm{iii})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke garis}\: \: CD\: \: \textrm{sama dengan}\\ A&\: \: \textrm{ke}\: \: D,\: \textrm{sama dengan sisi kubus}\\ \textrm{y}&\textrm{aitu}\: \: AD=a=8\sqrt{2}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&8\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}&\textrm{Benar}\\\hline 4&(\textrm{iv})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke garis}\: \: BG\: \: \textrm{sama dengan}\\ A&\: \: \textrm{ke}\: \: B,\: \textrm{sama dengan sisi kubus}\\ \textrm{y}&\textrm{aitu}\: \: AB=a=8\sqrt{2}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&8\sqrt{3}\: \: \textrm{cm}&\textrm{Salah}\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Misalkan diketahui sebuah balok ABCD.EFGH}\\ &\textrm{sebagaimana ilustrasi berikut} \end{array}$

$.\quad \, \begin{array}{ll}\\ &(\textrm{i})\quad \textrm{Jarak titik A ke titik B adalah 16 cm}\\ &(\textrm{ii})\: \: \: \textrm{Jarak titik A ke titik C adalah}\: \: 4\sqrt{41}\: \: \textrm{cm}\\ &(\textrm{iii})\: \: \textrm{Jarak titik A ke garis CD adalah}\: \: 16\: \: \textrm{cm}\\ &(\textrm{iv})\: \: \textrm{Jarak titik A ke bidang BFGC adalah}\: \: 12\: \: \textrm{cm}\\ &\\ &\textrm{Pernyataan di atas yang tepat ditunjukkan oleh}....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{ii})&&&\textrm{d}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv})\\ \textrm{b}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})&\textrm{c}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})&\textrm{e}.&(\textrm{iii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv})\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ & \end{array}$

$.\qquad \: \, \begin{array}{|c|c|l|c|c|}\hline \textrm{No}&\textrm{Pilihan}&\qquad\qquad\textrm{Keterangan}&\textrm{Opsi}&\textrm{Keterangan}\\\hline 1&(\textrm{i})&\begin{aligned}AB&=20\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&16\: \: \textrm{cm}&\textrm{Salah}\\\hline 2&(\textrm{ii})&\begin{aligned}AC&=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}\\ &=\sqrt{20^{2}+16^{2}}\\ &=\sqrt{400+256}=\sqrt{656}\\ &=4\sqrt{41}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&4\sqrt{41}\: \: \textrm{cm}&\color{blue}\textrm{Benar}\\\hline 3&(\textrm{iii})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke garis}\: \: CD=\: A\: \textrm{ke}\: \: D\\ =&AD=16\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&16\: \: \textrm{cm}&\color{blue}\textrm{Benar}\\\hline 4&(\textrm{iv})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke bidang}\: \: BCGF\\ =&\: \textrm{jarak}\: \: A\: \: \textrm{ke}\: \: B\\ =&AB=20\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&12\: \: \textrm{cm}&\textrm{Salah}\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Jarak bidang ACH dengan EGB pada kubus ABCD.EFGH}\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&4\sqrt{3}&&&\textrm{d}.&6\\ \textrm{b}.&2\sqrt{3}\qquad&\textrm{c}.&4\qquad&\textrm{e}.&12\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}\textrm{Luas}&\: \textrm{jajar genjang BQHP = luas jajar genjang BQHP}\\ \textrm{alas}&\times \textrm{tinggi}=\textrm{alas}\times \color{blue}tinggi\\ \textrm{HP}&\times \textrm{PQ}=\textrm{HQ}\times \color{blue}tinggi\: \: (\textbf{jarak garis HQ ke garis PB})\\ \textrm{Jarak}&\times \textrm{HQ}=\textrm{HP}\times \textrm{PQ}\\ \textrm{Jarak}&=\displaystyle \frac{HP\times PQ}{HQ}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{2}\times a}{\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{6}}=\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{6}},\qquad \textrm{diketahui}\: \: a=\textrm{sisi}=6\sqrt{3}\: \: \textrm{cm}\\ &=\displaystyle \frac{\left ( 6\sqrt{3}\: \: \textrm{cm} \right )\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=6\: \: \textrm{cm} \end{aligned} \end{array}$

Sebagai tambahan penjelasan berikut diilustrasikan panjang beberapa unsur dalam kubus

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk}\: \: 3\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}\\ &\textrm{dan diberikan pernyataan-pernyataan berikut}\\ &(\textrm{i})\quad \textrm{Jarak titik A ke titik G adalah 6 cm}\\ &(\textrm{ii})\: \: \: \textrm{Jarak titik A ke garis CD adalah}\: \: 3\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}\\ &(\textrm{iii})\: \: \textrm{Jarak titik A ke garis CG adalah 6 cm}\\ &(\textrm{iv})\: \: \textrm{Jarak titik A ke titik E adalah 6 cm}\\\\ &\textrm{Pernyataan yang tepat dari pernyataan-pernyataan}\\ & \textrm{di atas ditunjukkan oleh}....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{ii})&&&\textrm{d}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv})\\ \textrm{b}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})&\textrm{c}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})&\textrm{e}.&(\textrm{iii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv})\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ & \end{array}$

$.\qquad \begin{array}{|c|c|l|c|c|}\hline \textrm{No}&\textrm{Pilihan}&\textrm{Keterangan}&\textrm{Opsi}&\textrm{Simpulan}\\\hline 1&(\textrm{i})&\begin{aligned}AG&=a\sqrt{3}=\left ( 3\sqrt{2} \right )\sqrt{3}\\ &=3\sqrt{6}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&6\: \: \textrm{cm}&\textrm{Salah}\\\hline 2&(\textrm{ii})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke garis}\: \: CD=\overline{AD}.\\ &=3\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}\\ \end{aligned}&3\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}&\color{blue}\textrm{Benar}\\\hline 3&(\textrm{iii})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke garis}\: \: CG=\overline{AC}.\\ &\overline{AC}=a\sqrt{2}\\ &\overline{AC}=\left ( 3\sqrt{2} \right )\sqrt{2}=6 \end{aligned}&6\: \: \textrm{cm}&\color{blue}\textrm{Benar}\\\hline 4&(\textrm{iv})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke titik}\: \: E=\overline{AE}=3\sqrt{2} \end{aligned}&6\: \: \textrm{cm}&\textrm{Salah}\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk}\: \: a\: \: \textrm{cm}\\ &\textrm{Jarak titik A ke diagonal HB adalah}....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{2}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{6}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{3}\qquad&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{5}\qquad&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{7}\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ & \end{array}$

$.\quad\: \color{blue}\textrm{Perhatikanlah ilustrasi berikut ini}$

dan

$.\qquad\begin{aligned}\textbf{Luas}\Delta \textrm{AHB}&=\textbf{luas}\Delta \textrm{AHB}\\ \displaystyle \frac{1}{2}\times \textrm{alas}\times \color{blue}\textrm{tinggi}&=\displaystyle \frac{1}{2}\times \textrm{alas}\times \textrm{tinggi}\\ \textrm{HB}\times \color{blue}\textrm{t}&=\textrm{AB}\times \textrm{AH}\\ \color{blue}\textrm{t}&=\displaystyle \frac{\textrm{AB}\times \textrm{AH}}{\textrm{HB}}\\ &=\displaystyle \frac{a\times a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ &=\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}\\ &=\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{6} \end{aligned}$

Persamaan Nilai Mutlak

$\LARGE{\textrm{A. Pendahuluan}}$

Nilai Mutlak suatu bilangan adalah sebuah jarak yang pengukurannya dimulai dati titik O pada suatu garis bilangan.

\begin{array}{cccc|cccc}\\ &&&&&&\\ &&&&&&\\ \left | x \right |=-x&&&&&&&\left | x \right |=x\\\hline \color{red}x<0&&&\color{blue}O&&&&\color{magenta}x>0\\ &&&&&&\\ \end{array}

Selanjutnya nilai mutlak disimbokan dengan |x|, dengan

$\left | x \right |=\begin{cases} x,\quad \textrm{untuk}\: \: x> 0\\ 0,\quad \textrm{untuk}\: \: x=0 \\ -x,\quad \textrm{untuk}\: \: x< 0 \end{cases}$

Sebagai contohnya adalah:

|2020| = 2020 dan |-2020| = - (-2020) = 2020

Sebagai catatan sebuah bilangan diposisi paling depan dalam perhitungan dalam matematika tanda bilangannya jika tidak dituliskan selalu bertanda positif.

$\color{blue}\LARGE{\textrm{Contoh Soal}}$

Coba perhatikan

$\begin{aligned}2-\left | -3 \right |+\left | 10 \right |-\left | 5 \right |+9-7&=2-\color{red}3\color{black}+10-5+9-7\\ &=+2+10+9-3-5-7\\ &=+(2+10+9)-(3+5+7)\\ &=+21-15\\ &=+6\\ &=6 \end{aligned}$

Selanjutnya cara model pengerjaan di atas cukup dituliskan dengan

\begin{aligned}2-\left | -3 \right |+\left | 10 \right |-\left | 5 \right |+9-7&=2-\color{red}3\color{black}+10-5+9=6 \end{aligned}

$\LARGE{\textrm{B. Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak}}$

$\LARGE{\textrm{a. Bentuk}}$ $\left | f(x) \right |=a\: \: \textrm{dengan}\: \: a\geq 0$

Solusi dari bentuk di atas adalah $f(x)=\pm a$

Perhatikan contoh berikut ini

$\begin{array}{l}\\ \textrm{Tentukanlah penyelesaian berikut}\\ \left | x-2020 \right |+2=2021\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \left | x-2020 \right |+2=2021\\ \left | x-2020 \right |=2021-2\\ \left | x-2020 \right |=2019\\ x-2020=\pm 2019\\ \begin{array}{ll}\\ \color{red}\textrm{Bentuk 1}&\color{blue}\textrm{Bentuk 2}\\ x-2020=2019&x-2020=-2019\\ x=2019+2020&x=-2019+2020\\ x=4039&x=1 \end{array} \end{array}$

$\LARGE{\textrm{b. Bentuk}}$ $\left | f(x) \right |=g(x)$

Penyelesaian bentuk di atas sama persis dengan kasus di poin a di atas tetapi bedanya, hasil yang telah didapatkan harus diuji dulu apakah masuk wilayah daerah penyelesaian tang dimasud atau bukan. Andai hasil yang didapatkan termasuk pada wilayah yang diharapkan, maka hasil tersebut merupakan penyelesaian persamaan model ini dan andai kata tidak memenuhi, maka hasil yang didapat bukan termasuk penyelesaian.

Coba perhatikanlah contoh soal berikut

$\begin{array}{l}\\ \textrm{Tentukanlah nilai}\: \: x\: \: \textrm{jika}\: \: \left | x+2 \right |=3x-4 \end{array}$

Jawab:

Perhatikanlah langkah berikut

$\begin{aligned}\textrm{untuk}\: \: \left | x+2 \right |&=3x-4\: \: \begin{cases} x\geq -2 & \text{maka } \Rightarrow x+2=+(3x-4)\\ x< -2& \text{maka } \Rightarrow x+2 =-(3x-4) \end{cases} \end{aligned}$

$\begin{array}{|c|c|}\hline x\geq -2&x< -2\\\hline \begin{aligned}x+2&=+(3x-4)\\ x+2&=3x-4\\ x-3x&=-4-2\\ -2x&=-6\\ x&=3 \end{aligned}&\begin{aligned}x+2&=-(3x-4)\\ x+2&=-3x+4\\ x+3x&=4-2\\ 4x&=2\\ x&=\displaystyle \frac{1}{2} \end{aligned}\\\hline \color{blue}\textrm{memenuhi}&\color{red}\textrm{tidak memenuhi}\\\hline \end{array}$

Jadi yang memenuhi persamaan di atas cuma x = 3 saja

$\LARGE{\textrm{c. Bentuk}}$ $\left | f(x) \right |=\left | g(x) \right |+a$

Penyelesaian bentuk ini adalah dengan menggunakan definisi mutlak. Selanjutnya perbagian dikondisikan sesuai dengan posisinya beraitan dengan pertidaksamaan yang nanti timbul sebagai batas wilayah daerah penyelesaian.

berikut ini diberikan contoh soalnya

$\LARGE\fbox{Contoh Soal}$

Lanjutan Limit Fungsi Trigonometri

B. Definisi Limit

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\\ \textbf{Definisi}&\: \: \textbf{Limit}\\\\ \textrm{Misalkan}&\: \: f\: \: \textrm{sebuah fungsi}\: \: f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\: \: \textrm{dan}\: \: L,c\in \mathbb{R}\\ 1.\quad&\textrm{Limit fungsi trigonometri};\: \: \underset{x\rightarrow c}{\textrm{lim}}\: f(x)=L\: \: \: \textbf{ada} \\ &\textrm{untuk semua nilai}\: \: x\: \: \textrm{mendekati}\: \: c,\\ &\textrm{jika dan hanya jika nilai}\: \: f(x)\: \: \textrm{mendekati}\: \: L\\ 2.\quad&\underset{x\rightarrow c}{\textrm{lim}}\: f(x)=L\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow c^{-}}{\textrm{lim}}\: f(x)=\underset{x\rightarrow c^{+}}{\textrm{lim}}\: f(x)=L\\ &\textrm{limit kiri}\, =\, \textrm{limit kanan} \end{aligned}\\\hline \end{array}$

CONTOH

Tentukanlah nilai dari limit

$\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}$

JAWAB:

Saat kita diberikan $f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}$ , bagaimana saat nilai x mendekati 2,

Perhatikanlah tabel berikut!

$\color{blue}\begin{array}{|l|l|r|r|}\hline x\rightarrow 2^{-}&\multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}&\\ &\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}\\ & \end{aligned}}&x\rightarrow 2^{+}\\\hline 1,7&3,7&4,2&2,2\\\hline 1,8&3,8&4,1&2,1\\\hline 1,99&3,99&4,01&2,01\\\hline 1,999&3,999&4,001&2,001\\\hline \: \: \: \: \downarrow &\: \: \: \: \downarrow &\downarrow \: \: \: \: &\downarrow \: \: \: \: \\ \: \: \: \: 2^{-}&\: \: \: \: 4&4\: \: \: \: &2^{+}\: \: \\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\underset{x\rightarrow 2^{-}}{\textrm{lim}}\: f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{\textrm{lim}}\: f(x)}\\\hline \end{array}$

Karena dari kiri dan dari kanan menunjukkan hasil yang sama yaitu 4 (hasilnya), maka dapat disimpulkan bahwa nilai

$\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}=4$

Sebagai gambarannya dapat kita gambarkan hasil di atas sebagai berikut

Sebagai pengingat Kekontinuan suatu fungsi

Definisi

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\\ \textbf{Definisi}&\: \: \textbf{Kekontinuan Fungsi}\\\\ \textrm{Suatu}&\: \textrm{fungsi}\: \: y=f(x)\: \: \textrm{dikatakan kontinu di}\: \: x=c\: \: \textbf{jika}\\ 1.\quad&f(c)\: \: \textrm{terdefinisi}\\ 2.\quad&\underset{x\rightarrow c}{\textrm{lim}}\: f(x)\: \: \textrm{ada}\\ 3.\quad&\underset{x\rightarrow c}{\textrm{lim}}\: f(x)=f(c) \end{aligned}\\\hline \end{array}$

CONTOH

Selidikilah apakah fungsi

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2},\quad x\neq 2\\\\\\ 4,\qquad x=2 \end{matrix}\right.$

kontinu di x = 2

JAWAB:

$\begin{aligned}(1)\quad&\textrm{untuk}\: \: c=2\: \: \textrm{maka}\: \: f(c)=f(2)=4,\: f(c)\: \: \textbf{ada/terdefinisi}\\ (2)\quad&\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: f(x)\: \: \textbf{ada},\\ &\underset{x\rightarrow 2^{-}}{\textrm{lim}}\: f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{\textrm{lim}}\: f(x)=\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: (x+2)=4\\ (3)\quad&\textrm{dari 2 poin di atas didapatkan}\: \: \underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: f(x)=f(2)=4 \end{aligned}$

Daftar Pustaka

1. Noormandiri. 2017. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam untuk SMA/MA Kelas XII. Jakarta: ERLANGGA.

LIMIT FUNGSI

A. Pengertian Limit

Definisi:

Limit suatu fungsi f(x) ketika x mendekati a akan sama dengan L selanjutnya dituliskan dengan

$\color{blue}{\lim_{x \to a}\: f(x)=L}$

jika nilai fungsi f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L dengan cara mengkondisikan nilai x sedekat mungkin dengan a tetapi tidak sama dengan a.

Selanjutnya limit suatu fungsi f(x) itu ada jika nilai limit (harga batas) tersebut memiliki kiri dan limit kanan yang bernilai sama

Coba perhatikanlah contoh berikut

Jika kita ilustrasikan lewat grafik akan didapatkan

Contoh Soal Mid Semester Genap Kelas X Matematika Wajib Materi Fungsi

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui himpunan pasangan bilangan berurutan dari sebuah relasi}\\ &\left \{ (2,3).(1,4),(2,5),(3,5) \right \}.\: \textrm{Daerah kawandari relasi tersebut adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \left \{ 1,2,3 \right \}\\ &\textrm{B}.\quad \left \{ 3,4,5 \right \}\\ &\textrm{C}.\quad \left \{ 1,2,3,4,5 \right \}\\ &\textrm{D}.\quad \textrm{himpunan bilangan bulat}\\ &\textrm{E}.\quad \textrm{himpunan bilangan asli}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{B}\\ &\begin{aligned}\textrm{Daerah kawan}&=\textrm{daerah kodomain fungsi}\\ K_{f}&=\left \{ 3,4,5 \right \} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui dua buah himpunan yaitu}\: A=\left \{ -4,-2,0,2,4 \right \}\\ &\textrm{dan}\: \: B=\left \{ -3,-2,-1,0,1,2,3 \right \}.\: \textrm{Himpunan pasangan terurut}\\ &\textrm{yang menunjukkan relasi \textbf{dua kali dari} adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \left \{ (-4,-3),(-2,-2),(0,0),(2,2),(4,3) \right \}\\ &\textrm{B}.\quad \left \{ (-4,-2),(-2,2),(0,0),(2,2),(4,2) \right \}\\ &\textrm{C}.\quad \left \{ (-4,-2),(-2,-1),(0,0),(2,1),(4,2) \right \}\\ &\textrm{D}.\quad \left \{ (-4,-2),(-2,-1),(2,1),(4,2) \right \}\\ &\textrm{E}.\quad \left \{ (-4,-2),(-2,-1),(0,1),(2,1),(4,-2) \right \}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{C}\\ &\begin{aligned}\textrm{Daerah Asal}&=\textrm{daerah domain fungsi}\\ D_{f}&=\left \{ -4,-2,0,2,4 \right \} &\textrm{cukup jelas} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Himpunan pasangan berurutan yang ditunjukkan oleh fungsi}\\ &f:x\rightarrow 2-(x+1)^{2} \: \: \textrm{dari domain}\: \: \left \{ -1,0,1,2 \right \}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \left \{ (-1,2),(0,3),(1,5),(2,7) \right \}\\ &\textrm{B}.\quad \left \{ (-1,2),(0,1),(1,-2),(2,-7) \right \}\\ &\textrm{C}.\quad \left \{ (-1,1),(0,-1),(1,-4),(2,7) \right \}\\ &\textrm{D}.\quad \left \{ (-1,0),(0,3),(1,-2),(2,7) \right \}\\ &\textrm{E}.\quad \left \{ (-1,0),(0,-4),(1,5),(2,-7) \right \}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{B}\\ &\begin{aligned}f:x\rightarrow &2-(x+1)^{2},\quad \textrm{ini artinya}\: \: f(x)=2-(x+1)^{2}\\ \textrm{untuk}&\\ f(x)&=2-(x+1)^{2}\\ \textrm{maka}&\\ f(-1)&=2-(-1+1)^{2}=2-0=2\\ f(0)&=2-(0+1)^{2}=2-1=1\\ f(1)&=2-(1+1)^{2}=2-4=-2\\ f(2)&=2-(2+1)^{2}=2-9=-7 \end{aligned} \end{array}$

LANJUTAN 2 CONTOH SOAL MID SEMESTER GENAP KELAS X MATERI VEKTOR

LANJUTAN CONTOH SOAL MID SEMESTER GENAP KELAS X MATERI VEKTOR

LATIHAN TENGAH SEMESTER GENAP KELAS X (VEKTOR)

$\color{blue}\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Panjang vektor}\: \: \vec{g}=\begin{pmatrix} -4\\ -8 \end{pmatrix}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle \sqrt{4}\\ &\textrm{B}.\quad \sqrt{12}\\ &\textrm{C}.\quad \sqrt{20}\\ &\textrm{D}.\quad \displaystyle \sqrt{80}\\ &\textrm{E}.\quad \sqrt{100}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{D}\\ &\begin{aligned}\vec{p}&=\begin{pmatrix} -4\\ -8 \end{pmatrix},\: \: \textrm{maka besar dari vektor}\: \: \vec{p}\: \: \textrm{adalah}=\left | \vec{p} \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ &\textrm{Yaitu}\\ \left | \vec{p} \right |&=\sqrt{(-4)^{2}+(-8)^{2}}\\ &=\sqrt{16+64}=\sqrt{80} \end{aligned} \end{array}$
$\color{blue}\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Vektor satuan dari}\: \: \vec{a}=3\vec{i}-4\vec{j}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle \frac{4}{5}\vec{i}-\frac{3}{5}\vec{j}\\ &\textrm{B}.\quad \displaystyle \frac{3}{5}\vec{i}-\frac{4}{5}\vec{j}\\ &\textrm{C}.\quad 3\vec{i}-4\vec{j}\\ &\textrm{D}.\quad 4\vec{i}-3\vec{j}\\ &\textrm{E}.\quad 15\vec{i}-20\vec{j}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{B}\\ &\begin{aligned}\vec{a}&=3\vec{i}-4\vec{j}\\ &\textrm{Vektor satuan dari vektor}\: \: \vec{a}\: \: \textrm{adalah}\: :\: \hat{e}_{_{\vec{a}}}=\displaystyle \frac{1}{\left | \vec{a} \right |}. \vec{a}\\ &\textrm{Sehingga}\\ \hat{e}_{_{\vec{a}}}&=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}.\begin{pmatrix} 3\\ -4 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3\\ -4 \end{pmatrix}\\ &\textrm{atau dalam vektor basis}\\ &=\displaystyle \frac{3}{5}\vec{i}-\frac{4}{5}\vec{j} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Vektor berikut yang memiliki panjang}\: \: \sqrt{1013}\: \: \textrm{satuan adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle 18\vec{i}-19\vec{j}\\ &\textrm{B}.\quad \displaystyle 19\vec{i}-20\vec{j}\\ &\textrm{C}.\quad 20\vec{i}-21\vec{j}\\ &\textrm{D}.\quad 21\vec{i}-22\vec{j}\\ &\textrm{E}.\quad 22\vec{i}-23\vec{j}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{E}\\ &\begin{aligned}\textrm{yang}&\: \: \textrm{paling mungkin adalah}\: : \: \\ &=\sqrt{22^{2}+23^{2}}=\sqrt{484+529}=\sqrt{1013}\end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Jika vektor}\: \: \vec{a}=\begin{pmatrix} 8\\ 7 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=\begin{pmatrix} -3\\ 9 \end{pmatrix}\: \: \textrm{Hasil dari}\: \: \vec{a}+\vec{b}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \begin{pmatrix} 6\\ 14 \end{pmatrix}\\ &\textrm{B}.\quad \begin{pmatrix} 6\\ 13 \end{pmatrix}\\ &\textrm{C}.\quad \begin{pmatrix} 6\\ 15 \end{pmatrix}\\ &\textrm{D}.\quad \begin{pmatrix} 5\\ 16 \end{pmatrix}\\ &\textrm{E}.\quad \begin{pmatrix} 5\\ 48 \end{pmatrix}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{D}\\ &\begin{aligned}\vec{a}+\vec{b}&=\begin{pmatrix} 8\\ 7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3\\ 9 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 8-3\\ 7+9 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5\\ 16 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Jika vektor}\: \: \vec{u}=\begin{pmatrix} ^{2}\log 32\\ -\, ^{5}\log \displaystyle \frac{1}{625} \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{v}=\begin{pmatrix} -9\\ -21 \end{pmatrix}\: \: \textrm{Hasil dari}\: \: \vec{u}+\vec{v}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \begin{pmatrix} 6\\ 17 \end{pmatrix}\\ &\textrm{B}.\quad \begin{pmatrix} -6\\ -17 \end{pmatrix}\\ &\textrm{C}.\quad \begin{pmatrix} 4\\ 17 \end{pmatrix}\\ &\textrm{D}.\quad \begin{pmatrix} -4\\ -17 \end{pmatrix}\\ &\textrm{E}.\quad \begin{pmatrix} 5\\ -16 \end{pmatrix}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{D}\\ &\begin{aligned}\vec{u}+\vec{v}&=\begin{pmatrix} ^{2}\log 32\\ -\, ^{5}\log \displaystyle \frac{1}{625} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -9\\ -21 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5-9\\ 4-21 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -4\\ -17 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$