PAS MATEMATIKA BLOG

Lanjutan Contoh Soal 5 Distribusi Normal

$\begin{array}{ll}\\ 21.&\textrm{Pada suatu kelas seorang guru matematika}\\ &\textrm{menyatakan bahwa nilai ulangan mapel }\\ & \textrm{yang diampunya tidak kurang dari}\: \:68\\ &\textrm{Untuk menentukan uji tersebut, maka guru}\\ &\textrm{yang bersangkutan memilih 10 anak secara}\\ &\textrm{acak untuk ditanyai nilai hasil ulangannya}\\ &\textrm{Hipotesis}\: \: \textrm{H}_{0}\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{H}_{1}\: \: \textrm{yang tepat dari kondisi}\\ &\textrm{kondisi di atas adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \begin{matrix} \textrm{H}_{0}:\mu =68\\ \textrm{H}_{1}:\mu \neq 68 \end{matrix}\\ &\textrm{b}.\quad \begin{matrix} \textrm{H}_{0}:\mu =68\\ \textrm{H}_{1}:\mu > 68 \end{matrix}\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}\begin{matrix} \textrm{H}_{0}:\mu \geq 68\\ \textrm{H}_{1}:\mu < 68 \end{matrix}\\ &\textrm{d}.\quad \begin{matrix} \textrm{H}_{0}:\mu \leq 68\\ \textrm{H}_{1}:\mu >q 68 \end{matrix}\\ &\textrm{e}.\quad \begin{matrix} \textrm{H}_{0}:\mu >68\\ \textrm{H}_{1}:\mu \neq 68 \end{matrix}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\textrm{Cukup jelas}\\ &\textrm{Dan ini contoh uji satu pihak, yaitu kiri} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 22.&\textrm{Untuk menguji hipotesis}\\ &\begin{cases} H_{0} &: \mu =800 \\ H_{1} &: \mu \neq 800 \end{cases}\\ &\textrm{Jika dalam penelitian didapatkan}\: \overline{\textrm{x}}=795\\ &\textrm{dan}\: \: n=100\: \: \textrm{serta simpangan baku}\\ &\textrm{populasi}\: \: 55,\: \textrm{maka perhitungan nilai}\\ &\textrm{statistik ujinya adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad z=-1,10\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}z=-0,91\\ &\textrm{c}.\quad t=-0,91\\ &\textrm{d}.\quad t=0,91\\ &\textrm{e}.\quad z=0,91\\\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}&\underline{\textrm{Hipotesis}}\\ &\textrm{H}_{0}:\mu =800\\ &\textrm{H}_{0}:\mu \neq 800\\ &\textrm{dengan},\: n=100,\: \overline{\textrm{x}}=795,\: \sigma =55,\: \textrm{maka}\\ &\: \textrm{z}\: \: =\left (\displaystyle \frac{\overline{\textrm{x}}-\mu }{\sigma } \right )\sqrt{n}=\displaystyle \frac{795-800}{55}\sqrt{100}\\&\quad =\left (\displaystyle \frac{-5}{55} \right )\times 10=\color{red}-0,91 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 23.&\textrm{Pada soal no.22 di atas, jika taraf nyata}\\ &5\%,\: \textrm{maka kesimpulannya adalah}\: ...\\ &\textrm{a}.\quad H_{0}\: \: \textrm{ditolak}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}H_{0}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textrm{c}.\quad H_{1}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textrm{d}.\quad H_{1}\: \: \textrm{ditolak}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{tidak dapat ditarik kesimpulan}\\\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\textrm{Kasus uji dua pihak}\\ &\begin{aligned}&\underline{\textrm{Hipotesis}}\\ &\textrm{H}_{0}:\mu =800\\ &\textrm{H}_{0}:\mu \neq 800\\ &\textrm{dengan}\: \alpha =5\%=0,05\Rightarrow z_{\frac{1}{2}(1-0,05)}\\ &\quad =z_{0,475}=1,96 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 24.&\textrm{Untuk menguji hipotesis}\\ &\begin{cases} H_{0} &: \mu =20 \\ H_{1} &: \mu <20 \end{cases}\\ &\textrm{Jika dalam penelitian terhadap sampel}\: n=21\\ &\textrm{diperoleh}\: \: \overline{\textrm{x}}=19,8\: \: \textrm{dengan simpangan baku}\\ &0,4,\: \textrm{maka perhitungan nilai statistik ujinya}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad z=-2,29\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}t=-2,29\\ &\textrm{c}.\quad z=2,29\\ &\textrm{d}.\quad t=2,29\\ &\textrm{e}.\quad z=2,99\\\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}&\underline{\textrm{Hipotesis (penelitian sampel)}}\\ &\textrm{H}_{0}:\mu =20\\ &\textrm{H}_{0}:\mu <20\\ &\textrm{dengan},\: n=21,\: \overline{\textrm{x}}=19,8,\: s =0,4,\: \textrm{maka}\\ &\: \textrm{t}\: \: =\left (\displaystyle \frac{\overline{\textrm{x}}-\mu }{s} \right )\sqrt{n}=\displaystyle \frac{19,8-20}{0,4}\sqrt{21}\\&\quad =\left (\displaystyle \frac{-0,2}{0,4} \right )\times 4,5828=\color{red}-2,29 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 25.&\textrm{Pada soal no.24 di atas, jika taraf nyata}\\ &0,01,\: \textrm{maka kesimpulannya adalah}\: ...\\ &\textrm{a}.\quad H_{0}\: \: \textrm{ditolak}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}H_{0}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textrm{c}.\quad H_{1}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textrm{d}.\quad H_{1}\: \: \textrm{ditolak}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{tidak dapat ditarik kesimpulan}\\\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\textrm{Kasus uji satu pihak}\\ &\begin{aligned}&\underline{\textrm{Hipotesis}}\\ &\textrm{H}_{0}:\mu =20\\ &\textrm{H}_{0}:\mu < 20\\ &\textrm{dengan}\: \alpha =0,01=1\%\Rightarrow t_{0,99}=2,53\\ &\textrm{Kriteria pengambilan keputusan}:\\ &\textrm{Tolak}\: \: H_{0}\: \: \textrm{jika}\: \: t\leq \color{red}-2,53 \end{aligned} \end{array}$.

Lanjutan Contoh Soal 4 Distribusi Normal

$\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Dalam pengujian hipotesis dapat terjadi kesalahan}\\ &\textrm{Jika kita menerima hipotesis yang seharusnya kita}\\ &\textrm{tolak. Kejadian ini merupakan kekeliruan, yaitu}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{kekeliruan tipe I}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}\textrm{kekeliruan tipe II}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{kekeliruan tipe III}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{kekeliruan sampling}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{kekeliruan non sampling}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ & \textrm{Cukup jelas} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Pengertian dari taraf signifikansi}\: \: 1\%\: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{sekitar}\: \: 95\%\: \textrm{kesimpulan benar telah diambil}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{kurang lebih 5 dari 100 kesimpulan yang }\\ &\qquad\textrm{seharusnya hipotesisnya diterima kita tolak}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{kurang lebih 1 dari 100 kesimpulan yang }\\ &\qquad\textrm{seharusnya hipotesisnya ditolak kita terima}\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}\textrm{kurang lebih 1 dari 100 kesimpulan yang }\\ &\qquad\color{red}\textrm{seharusnya hipotesisnya diterima kita tolak}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{kurang lebih 5 dari 100 kesimpulan yang }\\ &\qquad\textrm{seharusnya hipotesisnya ditolak kita terima}\\\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ & \textrm{Cukup jelas} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Dalam pengujian hipotesis, penggunaan statistik}\\ &t\: \: \textrm{ketika penghitungan}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{simpsngsn baku saat sampel tidak diketahui}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{rata-rata sampel tidak diketahui}\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}\textrm{simpangan baku populasi tidak diketahui}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{rata-rata populasi tidak diketahui}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{simpangan baku populasi diketahui}\\\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ & \textrm{Cukup jelas} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Penggunaan kriteria pada uji pihak kiri jika}\\ &\textrm{diketahui}\: \: d\: \: \textrm{adalah nilai yang diperoleh dari}\\ &\textrm{daftar distribusi yang bersangkutan dengan}\\ &\textrm{peluang yang ditentukan oleh}\: \: \alpha \: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{tolak}\: H_{0}\: \textrm{jika nilai statistik uji lebih dari}\\ &\qquad d\: ,\: \textrm{dalam hal lainnya}\: \: H_{0}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}\textrm{tolak}\: H_{0}\: \textrm{jika nilai statistik uji kurang dari}\\ &\qquad d\: ,\: \textrm{dalam hal lainnya}\: \: H_{0}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{terima}\: H_{0}\: \textrm{jika nilai statistik uji kurang dari}\\ &\qquad d\: ,\: \textrm{dalam hal lainnya}\: \: H_{0}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{terima}\: H_{0}\: \textrm{jika nilai statistik uji lebih dari}\\ &\qquad d\: ,\: \textrm{dalam hal lainnya}\: \: H_{0}\: \: \textrm{ditolak}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{terima}\: H_{0}\: \textrm{jika nilai statistik uji lebih dari}\\ &\qquad\textrm{atau sama dengan}\: d\: ,\: \textrm{dalam hal lainnya}\\ &\qquad H_{0}\: \: \textrm{ditolak}\\\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ & \textrm{Cukup jelas} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Hipotesis nol adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{hipotesis yang nilai statistik ujinya}\\ &\qquad \textrm{bernilai nol}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}\textrm{hipotesis yang perumusannys mrngandung}\\ &\qquad \textrm{pengertian yang tidak memiliki perbedaan}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{hipotesis yang perumusannya terkandung}\\ &\qquad \textrm{pengertian yang tidak sama}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{hipotesis yang perumusannya mengandung}\\ &\qquad \textrm{pengertian lebih dari}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{hipotesis yang perumusannya mengandung}\\ &\qquad \textrm{pengertian kurang dari}\\\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ & \textrm{Cukup jelas} \end{array}$.

Lanjutan Contoh Soal 3 Distribusi Normal

$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Perhatikan ilustrasi berikut}\: ....\\ \end{array}$.

$.\qquad\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Jika luas yang diarsir adalah 0,90 dan}\: \: n=21,\\ &\textrm{maka nilai}\: \: t\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad1,32\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}1,72\\&\textrm{c}.\quad 2,08\\ &\textrm{d}.\quad 2,09\\ &\textrm{e}.\quad 2,53\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Luas arsiran (distribusi student) adalah}:\\ &=1-0,90=0,10,\: \textrm{karena luas kedua ujung}\\ &\textrm{sama, mulai dari}\: t\: \textrm{ke kanan}=\displaystyle \frac{0,10}{2}=0,05\\ &\textrm{Sehingga luas dari}\: t\: \textrm{ke kiri}=1-0,05=0,95\\ &\textrm{Dari ini diketahui luas arsirannya}=p=\color{red}0,95\\ &\textrm{Dengan}\: dk=n-1=21-1=20,\: \textrm{maka}\\ &t=\color{red}\pm 1,72 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Misalkan luas dari}\: t\: \textrm{ke kiri}=0,05,\\ &\textrm{dengan}\: \: dk=15.\: \textrm{Nilai}\: \: t\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad -1,76\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}-1,75\\&\textrm{c}.\quad -1,74\\ &\textrm{d}.\quad 1,75\\ &\textrm{e}.\quad 1,76\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui dari soal di atas}\\ &\textrm{dari}\: \: t\: \: \textrm{ke kiri}=0,05,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{luas arsiran}=p=1-0,05=0,95\\ &t=\color{red}-1,75 \: \: (\textrm{lihat tabel})\end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Transformasi Z}-score\: \: \textrm{dikaitan dengan}\\ &\textrm{data dimaksudkan agar data}\\ &\textrm{terdistribusi secara}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{tak normal}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{binomial}\\&\textrm{c}.\quad Chi-square\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{Poison}\\ &\textrm{e}.\quad \color{red}\textrm{normal}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned} &\color{red}\textrm{Cukup jelas} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Perhatikan ilustrasi berikut}\: ....\\ \end{array}$.

$.\qquad\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Jika kurva normal di atas memiliki simpangan}\\ &\textrm{bakunya}\: \: 12,\: \textrm{maka luar daerah arsiran adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 0,4821\\ &\textrm{b}.\quad 0,4966\\&\textrm{c}.\quad 0,4999\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}0,5934\\ &\textrm{e}.\quad 0,6921\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui},\: \mu =60,\sigma =12,\textrm{x}_{1}=50,\textrm{x}_{2}=70\\ &\textrm{dengan nilai}\: \: z=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma },\: \:\textrm{ maka}\\ &\begin{aligned}\textrm{z}_{1}&=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{1}-\mu }{\sigma }=\frac{50-60}{12}=\frac{-10}{12}=-0.83\\ \textrm{z}_{2}&=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{2}-\mu }{\sigma }=\frac{70-60}{12}=\frac{10}{12}=0.83 \end{aligned}\\ &\textrm{Luas}=P(-z\leq Z\leq z)=2\times P(0\leq Z\leq z)\\ &\qquad\, \: =2\times (0,2967)=\color{red}0,5934 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Perhatikan ilustrasi berikut}\: ....\\ \end{array}$.

$.\qquad\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Jika kurva normal di atas memiliki simpangan}\\ &\textrm{bakunya}\: \: 5,\: \textrm{maka luar daerah arsiran adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 0,1585\\ &\textrm{b}.\quad 0,1815\\&\textrm{c}.\quad 0,3413\\ &\textrm{d}.\quad 0,8172\\ &\textrm{e}.\quad \color{red}0,8185\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui},\: \mu =40,\sigma =5,\textrm{x}_{1}=30,\textrm{x}_{2}=45\\ &\textrm{dengan nilai}\: \: z=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma },\: \:\textrm{ maka}\\ &\begin{aligned}\textrm{z}_{1}&=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{1}-\mu }{\sigma }=\frac{30-40}{5}=\frac{-10}{5}=-2\\ \textrm{z}_{2}&=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{2}-\mu }{\sigma }=\frac{45-40}{5}=\frac{5}{5}=1 \end{aligned}\\ &\textrm{Luas}=P(z_{1}\leq Z\leq z_{2})= P(0\leq Z\leq z_{1})\\ &\qquad\: \: +P(0\leq Z\leq z_{2})\\ &\qquad\, \: =P(0\leq Z\leq 2)+P(0\leq Z\leq 1)\\ &\qquad\, \: =0,3413+0,4772=\color{red}0,8185 \end{array}$.

Distribusi Student (Uji t)

Uji "t"

Dalam pengujian hipotesis kita mengenal 2 rumus pengujian yaitu rumus z (distribusi normal standar) dan rumus t (distribusi student). Rumus z digunakan manakala simpangan baku pada populasi diketahui, sedangkan rumus t digunakan ketika simpangan baku pada populasi tidak diketahui. Ketika simpangan baku setiap populasi jarang diketahui, maka biasanya alternatifnya adalah digunakan simpangan baku sampel dan selanjutnya digunakanlah uji t.

$\begin{aligned}t&=\color{red}\displaystyle \frac{\bar{\textrm{x}}-\mu _{0}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\: \: \color{black}\textrm{atau}\: \: t=\color{red}\displaystyle \frac{\bar{\textrm{x}}-\mu _{0}}{s}\sqrt{n}\\ &\textrm{Dimana}\\ &t=\textrm{nilai}\: \: t\: \: \textrm{yang dihitung}\\ &\bar{\textrm{x}}=\textrm{rata-rata sampel}\\ &\mu =\textrm{rata-rata populasi}\\ &\qquad \textrm{atau nilai yang dihipotesiskan}\\ &s=\textrm{simpangan baku sampel}\\ &n=\textrm{jumlah anggota sampel} \end{aligned}$.

Selanjutnya untuk perhitungan simpangan baku s digunakan rumus berikut

$\begin{aligned}s&=\color{red}\sqrt{\displaystyle \frac{\sum (\textrm{x}_{i}-\bar{\textrm{x}})^{2}}{n-1}}\\ &\textrm{Dimana}\\ &\bar{\textrm{x}}=\textrm{rata-rata sampel}\\ &n-1=\textrm{derajat kebebasan} \end{aligned}$.

Sebagai catatan dalam pemilihan statistik uji dan penghitungan statistik uji

Jika ukuran sampel $n\geq 30$, statistik uji yang digunakan adalah z (rumus z di atas), $Z\sim N(0,1)$.
Jika ukuran sampel $n< 30$, statistik uji yang digunakan adalah t, dengan derajat kebebasan $dk=n-1$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah perusahaan X mengatakan bahwa}\\ &\textrm{performance pegawainya rata-rata nilai}\\ &\textrm{skornya adalah}\: 8,5.\: \textrm{Untuk membuktikan}\\ &\textrm{pernyataan tersebut diambillah secara }\\ &\textrm{random 16 orang pegawai untuk dites dan}\\ &\textrm{hasilnya tersaji berikut}\\ &7,8\: \: \: 8,2\: \: \: 8,4\: \: \: 7,8\: \: \: 8,9\: \: \: 9,1\: \: \: 8,5\: \: \: 7,7\\ &8,5\: \: \: 7,9\: \: \: 9,1\: \: \: 7,8\: \: \: 9,2\: \: \: 8,9\: \: \: 8,8\: \: \: 8,3\\ &\textrm{Pada taraf}\: 1\%,\: \textrm{apakah pernyataan}\\ &\textrm{perusahaan tersebut benar}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan rata-rata skor performance}\\ &\textrm{berdistribusi student}\\ &\textbf{Rumusan hipotesis}\: \: H_{0}\: \textrm{dan}\: H_{1}\\ &H_{0}:\mu =8,5\\ &H_{1}:\mu \neq 8,5\\ &\textbf{Daerah kritis}\\ &\textrm{Uji dua pihak/hipotesis dua arah dengan}\: \alpha =1\%\\ &t_{1-\frac{1}{2}(0,01)}=t_{0,995}.\: \textrm{Dengan dk}=16-1=15\\ &\textrm{diperoleh nilai}\: \: t=\color{red}2,95\: \: \color{black}(\textrm{tabel distribusi student})\\ &\bullet \: \: \textrm{Terima}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}-2,95< t< 2,95\\ &\bullet \: \: \textrm{Tolak}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}t<-2,95\: \: \textrm{atau}\: \: t> 2,95\\ &\textrm{Berikut disajikan tabel}\: \textbf{distribusi student}\\ &\qquad\qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline dk&\color{blue}t_{0,995}&t_{0,99}&t_{0,975}&t_{0,95}\\\hline 1&63,66&31,82&12,71&6,31\\\hline 2&9,92&6,96&4,3&2,92\\\hline 3&5,84&4,54&3,18&2,35\\\hline 4&4,6&3,75&2,78&2,13\\\hline 5&4,03&3,36&2,57&2,02\\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline \color{blue}15&\color{red}2,95&2,60&2,13&1,75\\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline 99&\cdots &\cdots &1,99&\cdots \\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline 120&2,62&2,36&1,98&1,66\\\hline \infty &2,56&2,33&1,96&1,645\\\hline \end{array}\\ &\textbf{Nilai statistik uji}\\ &\bar{x}=\displaystyle \frac{7,5+8,2+8,4+\cdots +8,8+8,3}{16},\\ &\quad =8,4125\\ &s=\sqrt{\displaystyle \frac{(7,5-8,4125)^{2}+\cdots +(8,3-8,4125)^{2}}{\color{red}16-1}}\\ &\quad =\sqrt{0,308}=0,555\\ &n=100,\: \: \color{red}t\color{black}=\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{s}\sqrt{n}\\ &\Leftrightarrow \color{red}t\color{black}=\displaystyle \frac{(8,4125-8,5)}{0,555}\sqrt{16}=\color{red}-0,63\\ &\textbf{Penentuan keputusan uji}\\ &\textrm{Karena}\: :\: -2,95< \color{red}-0,63\color{black}< 2,95\: ,\: H_{0}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textbf{Kesimpulan}\\ &\textrm{Dengan taraf nyata 1}\%\: \: \textrm{rata-rata skor}\\ &\textrm{performan pegawai adalah}\: \: 8,5 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Sebuah sampel acak 100 catatan kematian}\\ &\textrm{di negara A selama 1 tahun yang kemaren}\\ &\textrm{menunjukkan umur rata-rata 58,8 tahun}\\ &\textrm{dengan simpangan baku 7,8 tahun. Apakah}\\ &\textrm{hal itu menunjukkan bahwa harapan umur}\\ & \textrm{rata-rata sekarang minimal 60 tahun}?\\ &\textrm{Jelaskan pernyataan tersebut dengan tingkat}\\ &\textrm{signifikansi}\: \: 5\%\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan umur rata-rata sekarang}\geq 60\: \: \textrm{tahun}\\ &\textrm{berdistribusi student}\\ &\textbf{Rumusan hipotesis}\: \: H_{0}\: \textrm{dan}\: H_{1}\\ &H_{0}:\mu \geq 60\\ &H_{1}:\mu < 60\\ &\textbf{Daerah kritis}\\ &\textrm{Uji satu pihak/hipotesis pihak kiri dengan}\: \alpha =5\%\\ &t_{1-(0,05)}=t_{0,995}.\: \textrm{Dengan dk}=100-1=99\\ &\textrm{diperoleh nilai}\: \: t=\color{red}2,63\: \: \color{black}(\textrm{tabel distribusi student})\\ &\bullet \: \: \textrm{Terima}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue} t> -2,63\\ &\bullet \: \: \textrm{Tolak}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}t\leq - 2,63\\ &\textbf{Nilai statistik uji}\\ &\mu =58,8,\: s=7,8\: \: \textrm{tahun}\\ &n=100,\: \: \color{red}t\color{black}=\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{s}\sqrt{n}\\ &\Leftrightarrow \color{red}t\color{black}=\displaystyle \frac{(58,8-60)}{7,8}\sqrt{100}=\color{red}-1,54\\ &\textbf{Penentuan keputusan uji}\\ &\textrm{Karena}\: :\: t\leq \color{red}-1,54,\: \color{black}H_{0}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textbf{Kesimpulan}\\ &\textrm{Dengan taraf nyata 5}\%\: \: \textrm{umur rata-rata}\\ &\textrm{sekarang minimal}\: \: 60\: \: \textrm{tahun} \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
Sembiring, S., Zulkifli. M., Marsito, Rusdi. I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
Sugiyono. 2013. Statistika untuk Penelitan. Bandung: ALFABETA

Lanjutan Contoh Soal 2 Distribusi Normal

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Luas daerah yang diarsir di bawah}\\ &\textrm{kurva normal baku berikut adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 0,4861\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}0,4878\\&\textrm{c}.\quad 0,4881\\ &\textrm{d}.\quad 0,4938\\ &\textrm{e}.\quad 0,4946\\\\ \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Luas daerah yang diarsir di bawah}\\ &\textrm{kurva normal baku berikut adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}0,1138\\ &\textrm{b}.\quad 0,3810\\&\textrm{c}.\quad 0,3862\\ &\textrm{d}.\quad 0,4948\\ &\textrm{e}.\quad 0,5000\\\\ \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan tabel}\: \color{blue}\textrm{distribusi normal}\: \color{black}\textrm{berikut}\\&\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \textrm{z} &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline \vdots &&&&&&&\downarrow &&\downarrow&\\ \vdots &&&&&&&&&&\\ 1,1 &&&&&&&\downarrow&&\color{red}0,3810&\\ \vdots &&&&&&&&&&\\ 2,5&&&&&&&\color{red}0,4948&&&\\ \vdots &&&&&&&&&&\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Sehingga nilai}\: \: \textrm{z}=1,18\: \: \textrm{luasnya}=0,3810\\ &\textrm{Dan nilai}\: \: \textrm{z}=2,56\: \: \textrm{luasnya}=0,4948\\ &\textrm{maka luas arsiran}\\ &=P(1,18<Z<2,56)\\ &=P(0<Z<2,56)-P(0<Z<1,18)\\ &=0,4948-0,3810\\ &=\color{red}0,1138 \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Luas daerah yang diarsir pada gambar}\\ &\textrm{di bawah adalah 0,9332, maka nilai}\: \: \textrm{z}=\: ....\\ \end{array}$.

$.\qquad\begin{array}{ll}\\ &\textrm{a}.\quad 1,05\\ &\textrm{b}.\quad 1,06\\&\textrm{c}.\quad 1,16\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}1,50\\ &\textrm{e}.\quad 1,60\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Luas arsiran adalah}\\ &=P(Z<z)=0,9332\\ &=\color{blue}0,5\color{black}+0,4332\\ &=0,5+P(0<Z<z)\\ &\textrm{lihat/konfirmasi ke tabel}\\ &\textrm{z}=\color{red}1,50\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan tabel}\: \color{blue}\textrm{distribusi normal}\: \color{black}\textrm{berikut}\\&\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \textrm{z} &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline \vdots &\downarrow &&&&&&&&&\\ \vdots &&&&&&&&&&\\ 1,5 &\color{red}0,4332&&&&&&&&&\\ \vdots &&&&&&&&&&\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Sehingga luasnya}=0,4878,\: \: \textrm{batas z}=1,50 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Luas daerah yang diarsir pada gambar}\\ &\textrm{di bawah adalah}=\: ....\\ \end{array}$.

$.\qquad\begin{array}{ll}\\ &\textrm{a}.\quad 0,9750\\ &\textrm{b}.\quad 0,5000\\&\textrm{c}.\quad 0,4750\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}0,0250\\ &\textrm{e}.\quad 0,0200\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Luas arsiran adalah}\\ &=P(0\leq Z\leq \infty )-P(0\leq Z\leq 1,96)\\ &=\color{blue}0,5\color{black}-0,4750\\ &=\color{red}0,0250 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Misalkan tinggi siswa kelas XII berdistribusi}\\ &\textrm{normal dengan rata-rata 167,5 cm dengan}\\ &\textrm{simpangan baku 4,6 cm. Jika jumlah siswa}\\ &\textrm{yang diteliti sebanyak 10.000 siswa, maka }\\ &\textrm{jumlah siswa yang memiliki tinggi lebih}\\ &\textrm{dari 160 cm sebanyak}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 16.300\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}9.484\\&\textrm{c}.\quad 5.516\\ &\textrm{d}.\quad 4.484\\ &\textrm{e}.\quad 4.474\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui dari soal di atas}\\ &n=10.000,\: \mu =167,5\: \textrm{cm},\: \sigma =4,6\\ &z=\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{160-167,5}{4,6}=\color{red}-1,63\\ &\begin{aligned}P(X> 160)&=P(Z> -1,63)\\ &=P(0\leq Z\leq 1,63)\\ &\qquad\qquad+P(0\leq Z\leq \infty )\\ &=0,4484+0,5\\ &=0,9484 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga total siswa yang dimaksud}\\ &\textrm{sebanyak}:0,9484\times 10.000=\color{red}9.484 \end{aligned} \end{array}$.

Penarikan Kesimpulan

F. Uji Hipotesis

F. 1 Pengertian

Dalam suatu penyelidikan berkaitan suatu permasalahan untuk penarikan suatu kesimpulan diperlukan adanya dugaan atau dalam bahasa matematika dinamakan istilah hipotesis. Hipotesis berasal dari bahasa Yunani Hupo yang berarti sementara dan Thesis yang berarti pernyataan atau dugaan. Sehingga secara bahasa memiliki arti dugaan sementara. Selanjutnya, karena hipotesis ini masih berupa jawaban sementara, maka hipotesis ini harus diuji kebenaranya dan prosesnya dinamakan uji hipotesis. Uji hipotesis yang dibahasa di sini adalah pengujian berkaitan dengan rata-rata $\mu$ pada sebuah sampel. Jika hasil yang didapatkan dalam penelitian nantinya, jauh berbeda dengan yang diharapkan berdasarkan hipotesis, maka hipotesis ditolak, demikian sebaliknya jika sesuai, maka hipotesis diterima.

F. 2 Jenis-Jenis Hipotesis

Ada dua jenis hipotetsis yaitu:

Hipotesis nol ($H_{0}$) yang terkandung makna tidak memiliki perbedaan
Hipotesis alternatif ($H_{1}$) dengan pengertian terdapat tidak sama atau ada perbedaan.

F. 3 Langkah-Langkah Pengujian Hipotesis.

Berikut prosedur pengujian hipotesis

$.\qquad\quad\color{red}\begin{aligned}&\textrm{Merumuskan}\: H_{0}\: \: \textrm{dan}\: \: H_{1}\\ &\qquad\qquad\color{blue}\Downarrow\\ &\textrm{Menentukan daerah kritis}\\ &(\textrm{taraf signifikansi/kepercayaan})\\ &\qquad\qquad\color{blue}\Downarrow\\ &\textrm{Menentukan nilai statistik uji}\\ &\qquad\qquad\color{blue}\Downarrow\\ &\textrm{Menentukan keputusan uji}\\ &\qquad\qquad\color{blue}\Downarrow\\ &\textrm{Penarikan kesimpulan} \end{aligned}$.

Sebagai tambahannya, dalam melakukan pengujian hipotesis, ada 2 jenis kekeliruan yang bisa terjadi

Kekeliruan tipe I, yaitu kita menolak hipotesis yang seharusnya diterima
Kekeliruan tipe II, yaitu kita menerima hipotesis yang seharusnya kita tolak

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \textrm{Keputusan uji}&H_{0}\: \: \textrm{benar}&H_{0}\: \: \textrm{salah}\\\hline \textrm{Menerima}\: \: H_{0}&\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Benar}\\ &(1-\alpha )\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Kesalahan}\\ &\textrm{tipe II}\: \: (\beta ) \end{aligned}\\\hline \textrm{Menolak}\: \: H_{0}&\begin{aligned}&\textrm{Kesalahan}\\ &\textrm{tipe I}\: \: (\alpha ) \end{aligned}&\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Benar}\\ &(1-\beta )\end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Untuk meminimalkan kesalahan:

dalam pengujian hipotesis diinginkan $\alpha $ (dibaca alfa) dan $\beta $ (dibaca beta) kecil atau $(1-\beta )$ besar.
tetapi hal di atas adalah sulit karena jika $\alpha $ makin kecil, maka nilai $\beta $ semakin besar.
dari 2 hal tersebut di atas, maka dipilihlah salah satu, dalam hal ini biasanya $\alpha $. dan $\alpha $ yang digunakan bisanya pula adalah 10%, 5%, dan atau 1% tergantung kebutuhgannya dalam bidang apa mau diterapkan. Misal dalam bidang pengobatan diambillah $\alpha $ yang 1%.
$\alpha $ dalam hal ini selanjutnya disebut taraf signifikansi atau taraf arti atau taraf nyata.

F.4 Bentuk Pengujian Hipotesis

Ada 3 macam, yaitu, uji dua pihak, uji pihak kanan, dan uji pihak kiri.

F. 4. 1 Uji dua Pihak

$\begin{array}{|l|l|}\hline \color{red}\textbf{Jika}\: \: \sigma \: \: \textrm{diketahui}&\color{red}\textbf{Jika}\: \: \sigma \: \: \textrm{tidak diketahui}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Untuk menguji pasangan hipotesis}\\ &\qquad \begin{cases} H_{0} & : \mu =\mu _{0} \\ H_{1} & : \mu \neq \mu _{0} \end{cases}\\ &\textrm{di mana nilai}\: \: z=\left (\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{\sigma } \right )\sqrt{n}\\ &\textrm{Dan untuk}\: \: z\: \: \textrm{berdistribusi normal}\\ &\textrm{baku. Pengambilan kesimpulan}\\ &H_{0}\: \: \textrm{diterima jika}:\\ &-z_{\frac{1}{2}(1-\alpha )}<z<z_{\frac{1}{2}(1-\alpha )}\\ &\textrm{dan daerah ini disebut}\\ &\textbf{daerah tidak nyata}\: \: \textrm{atau}\\ &\textbf{daerah penerimaan}\: \: H_{0} \\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Untuk menguji pasangan hipotesis}\\ &\qquad \begin{cases} H_{0} & : \mu =\mu _{0} \\ H_{1} & : \mu \neq \mu _{0} \end{cases}\\ &\textrm{Gunakan}\: \: \textbf{distribusi student}\\ &\textrm{dengan rumus}\: \: t=\left (\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{s } \right )\sqrt{n}\\ &\textrm{di mana}\: \: s\: \: \textrm{adalah simpangan baku}\\ &\textrm{dan dihitung dengan rumus}\\ &\qquad\qquad s=\sqrt{\displaystyle \frac{\sum (x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}}\\ &\textrm{Dan untuk}\: \: t\: \: \textrm{berdsitribusi student}\\ &\textrm{pada pengambilan kesimpulan},\: \: H_{0}\\ &\textrm{diterima jika}:-t_{(1-\frac{1}{2}\alpha )}<t<t_{(1-\frac{1}{2}\alpha )}\\ &\textrm{dan daerah ini disebut}\\ &\textbf{daerah tidak nyata}\: \: \textrm{atau}\\ &\textbf{daerah penerimaan}\: \: H_{0}\\ &\textrm{dengan}\: \: dK=n-1 \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Seorang pengusaha lampu merk X mengatakan}\\ &\textrm{bahwa lampunya memiliki masa pakai rata-rata}\\ &\textrm{900. Untuk menguji pernyataan tersebut, maka}\\ &\textrm{diuji sebanyak 100 lampu dan ternyata rata-rata}\\ &\textrm{masa pakainya 890 jam dengan simpangan baku-}\\ &\textrm{nya 60 jam. Selidikilah dengan tingkat signifikansi}\\ &5\%,\: \textrm{apakah kualitas lampu itu sudah berubah}\\ &\textrm{atau belum}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan masa hidup lampu berdistribusi normal}\\ &\textbf{Rumusan hipotesis}\: \: H_{0}\: \textrm{dan}\: H_{1}\\ &H_{0}:\mu =900\: \: \textrm{jam (masa pakai masih 900 jam)}\\ &H_{1}:\mu \neq 900\: \: \textrm{jam (masa berubah dan)}\neq 900\: \textrm{jam}\\ &\textbf{Daerah kritis}\\ &\textrm{Uji dua pihak/hipotesis dua arah dengan}\: \alpha =5\%\\ &z_{\frac{1}{2}(1-0,05)}=z_{0,475}=1,96\: \: (\textrm{lihat tabel})\\ &\bullet \: \: \textrm{Terima}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}-1,96< z< 1,96\\ &\bullet \: \: \textrm{Tolak}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}z<-1,96\: \: \textrm{atau}\: \: z> 1,96\\ &\textbf{Nilai statistik uji}\\ &\bar{x}=890,\: n=100,\: \: \color{red}z\color{black}=\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{\sigma }\sqrt{n}\\ &\Leftrightarrow \color{red}z\color{black}=\displaystyle \frac{(890-900)}{60}\sqrt{100}=\displaystyle \frac{-10\times 10}{60}=\color{red}-1,67\\ &\textbf{Penentuan keputusan uji}\\ &\textrm{Karena}\: :\: -1,96< \color{red}-1,67\color{black}< 1,96\: ,\: H_{0}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textbf{Kesimpulan}\\ &\textrm{Dengan taraf nyata 5}\%\: \: \textrm{masa pakai lampu}\\ &\textrm{belum berubah dan masih sekitar 900 jam} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika pada soal nomor 1 di atas, simpangan baku}\\ &(\sigma )\: \textrm{tidak diketahui, tetapi dari sampel diperoleh}\\ &s=\textrm{55 jam. Selidikilah apakah kualitas lampu itu }\\ &\textrm{sudah berubah atau belum}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan masa hidup lampu berdistribusi student}\\ &\textbf{Rumusan hipotesis}\: \: H_{0}\: \textrm{dan}\: H_{1}\\ &H_{0}:\mu =900\: \: \textrm{jam (masa pakai masih 900 jam)}\\ &H_{1}:\mu \neq 900\: \: \textrm{jam (masa berubah dan)}\neq 900\: \textrm{jam}\\ &\textbf{Daerah kritis}\\ &\textrm{Uji dua pihak/hipotesis dua arah dengan}\: \alpha =5\%\\ &t_{1-\frac{1}{2}(0,05)}=t_{0,975}.\: \textrm{Dengan dk}=100-1=99\\ &\textrm{diperoleh nilai}\: \: t=\color{red}1,99\: \: \color{black}(\textrm{tabel distribusi student})\\ &\bullet \: \: \textrm{Terima}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}-1,99< t< 1,99\\ &\bullet \: \: \textrm{Tolak}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}t<-1,99\: \: \textrm{atau}\: \: t> 1,99\\ &\textrm{Berikut disajikan tabel}\: \textbf{distribusi student}\\ &\qquad\qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline dk&t_{0,995}&t_{0,99}&\color{blue}t_{0,975}&t_{0,95}\\\hline 1&63,66&31,82&12,71&6,31\\\hline 2&9,92&6,96&4,3&2,92\\\hline 3&5,84&4,54&3,18&2,35\\\hline 4&4,6&3,75&2,78&2,13\\\hline 5&4,03&3,36&2,57&2,02\\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline 60&2,66&2,39&2,00&1,67\\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline \color{blue}99&\cdots &\cdots &\color{red}1,99&\cdots \\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline 120&2,62&2,36&1,98&1,66\\\hline \infty &2,56&2,33&1,96&1,645\\\hline \end{array}\\ &\textbf{Nilai statistik uji}\\ &\bar{x}=890,\: s=55\: \textrm{jam},\: n=100,\: \: \color{red}t\color{black}=\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{s}\sqrt{n}\\ &\Leftrightarrow \color{red}t\color{black}=\displaystyle \frac{(890-900)}{55}\sqrt{100}=\displaystyle \frac{-10\times 10}{55}=\color{red}-1,82\\ &\textbf{Penentuan keputusan uji}\\ &\textrm{Karena}\: :\: -1,99< \color{red}-1,82\color{black}< 1,99\: ,\: H_{0}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textbf{Kesimpulan}\\ &\textrm{Dengan taraf nyata 5}\%\: \: \textrm{masa pakai lampu}\\ &\textrm{belum berubah dan masih sekitar 900 jam} \end{aligned} \end{array}$.

F. 4. 2 Uji Satu Pihak

a) Uji Pihak Kanan

$\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: H_{1}:\mu > \mu _{0}\\ &\textrm{Daerah kritis berada di ujung kanan kurva }\end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Seorang petugas menyatakan bahwa pendapatan}\\ &\textrm{penjual mainan X tidak lebih dari}\: \: Rp20.000\\ &\textrm{perhari. Untuk menyangkal pernyataan tersebut}\\ &\textrm{pihak kantor melakukan penelitian terhadap}\\ &\textrm{tingkat pendapatan penjual mainan itu. Pihak}\\ &\textrm{kantor memilih 150 penjual secara acak, ternyata}\\ &\textrm{diperoleh data rata-rata pendapatan mereka}\\ &Rp21.000\: \: \textrm{dengan simpangan baku}\: \: Rp5.000\\ &\textrm{Dengan}\: \: \alpha =5\%\: \: \textrm{cukup beralasankah pernyataan}\\ &\textrm{petugas tersebut}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan pendapatan penjual berdistribusi normal}\\ &\textrm{dengan hasil tidak lebih}\: Rp20.000\: \: \textrm{perhari}\\ &\textbf{Rumusan hipotesis}\: \: H_{0}\: \textrm{dan}\: H_{1}\\ &H_{0}:\mu \leq 20.000\\ &H_{1}:\mu > 20.000\\\ &\textbf{Daerah kritis}\\ &\textrm{Uji satu pihak, daerah kritis kanan dengan}\: \alpha =5\%\\ &z_{0,05}=\color{red}1,64\: \: \color{black}(\textrm{lihat tabel normal baku})\\ &\bullet \: \: \textrm{Terima}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue} z< 1,64\\ &\bullet \: \: \textrm{Tolak}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}z\geq 1,64\\ &\textbf{Nilai statistik uji}\\ &\bar{x}=21.000,\: \mu _{0}=20.000\: \textrm{jam},\: n=150,\\ &\sigma =5.000,\: \textrm{dengan rumus}\: \: \color{red}z\color{black}=\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{\sigma }\sqrt{n}\\ &\Leftrightarrow \color{red}z\color{black}=\displaystyle \frac{(21.000-20.000)}{5000}\sqrt{150}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{1.000\times 12,247}{5.000}=\color{red}2,45\\ &\textbf{Penentuan keputusan uji}\\ &\textrm{Karena}\: :\: \color{red}2,45\color{black}\geq 1,64\: ,\: H_{0}\: \: \textrm{ditolak}\\ &\textbf{Kesimpulan}\\ &\textrm{Dengan taraf nyata 5}\%\: \: \textrm{rata-rata pendapatan}\\ &\textrm{penjual lebih dari}\: \: Rp20.000\: \: \textrm{perhari} \end{aligned} \end{array}$.

b) Uji Pihak Kiri

$\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: H_{1}:\mu < \mu _{0}\\ &\textrm{Daerah kritis berada di ujung kiri kurva }\end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Seorang petugas menyatakan bahwa pendapatan}\\ &\textrm{penjual mainan X tidak kurang dari}\: \: Rp21.000\\ &\textrm{perhari. Pihak kantor ingin menguji terhadap}\\ &\textrm{tingkat pendapatan penjual mainan itu. Pihak}\\ &\textrm{kantor memilih 150 penjual secara acak, ternyata}\\ &\textrm{diperoleh data rata-rata pendapatan mereka}\\ &Rp20.000\: \: \textrm{dengan simpangan baku}\: \: Rp5.000\\ &\textrm{Dengan}\: \: \alpha =5\%\: \: \textrm{cukup beralasankah pernyataan}\\ &\textrm{petugas tersebut}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan pendapatan penjual berdistribusi normal}\\ &\textrm{dengan hasil tidak kurang dari}\: Rp21.000\: \: \textrm{perhari}\\ &\textbf{Rumusan hipotesis}\: \: H_{0}\: \textrm{dan}\: H_{1}\\ &H_{0}:\mu \geq 21.000\\ &H_{1}:\mu < 21.000\\\ &\textbf{Daerah kritis}\\ &\textrm{Uji satu pihak, daerah kritis kiri dengan}\: \alpha =5\%\\ &z_{0,05}=-\color{red}1,64\: \: \color{black}(\textrm{lihat tabel normal baku})\\ &\bullet \: \: \textrm{Terima}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue} z> -1,64\\ &\bullet \: \: \textrm{Tolak}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}z\leq - 1,64\\ &\textbf{Nilai statistik uji}\\ &\bar{x}=20.000,\: \mu _{0}=21.000\: \textrm{jam},\: n=150,\\ &\sigma =5.000,\: \textrm{dengan rumus}\: \: \color{red}z\color{black}=\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{\sigma }\sqrt{n}\\ &\Leftrightarrow \color{red}z\color{black}=\displaystyle \frac{(20.000-21.000)}{5000}\sqrt{150}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{1.000\times 12,247}{5.000}=\color{red}-2,45\\ &\textbf{Penentuan keputusan uji}\\ &\textrm{Karena}\: :\: \color{red}-2,45\color{black}\leq - 1,64\: ,\: H_{0}\: \: \textrm{ditolak}\\ &\textbf{Kesimpulan}\\ &\textrm{Dengan taraf nyata 5}\%\: \: \textrm{rata-rata pendapatan}\\ &\textrm{penjual kurang dari}\: \: Rp21.000\: \: \textrm{perhari} \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
Sembiring, S., Zulkifli. M., Marsito, Rusdi. I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.

Contoh Soal Distribusi Normal

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Fungsi distribusi normal variabel acak X}\\ &\textrm{dengan}\: \: \mu =8\: \: \textrm{dan}\: \: \sigma =2\: \: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\frac{(x-8)^{2}}{2}}}\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\frac{(x-8)^{2}}{4}}}\\&\textrm{c}.\quad \displaystyle f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\frac{(x-8)^{2}}{2}}}\\&\textrm{d}.\quad \displaystyle f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8\pi }}e^{.^{-\frac{(x-8)^{2}}{4}}}\\&\textrm{e}.\quad \color{red}\displaystyle f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8\pi }}e^{.^{-\frac{(x-8)^{2}}{8}}}\\\\&\textbf{Jawab}:\quad \textbf{e}\\&\begin{aligned}\displaystyle f(x)&=\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\left (\frac{x-\mu}{\sigma } \right )^{2}}},\: \: \textrm{dengan}\: \: \left\{\begin{matrix} \mu =8\\ \sigma =2 \end{matrix}\right.\\&=\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\left (\frac{x-8}{2 } \right )^{2}}}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{(x-8)^{2}}{8}}} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika variabel acak}\: \: Z\: \: \textrm{berdistribusi normal}\\ &\textrm{N}(0,1),\: \textrm{nilai}\: \: \textrm{P}(Z< 2)\: \: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \int_{0}^{2}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle z^{2}}}\: dz\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \int_{2}^{\infty }\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle z^{2}}}\: dz\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}\displaystyle \int_{-\infty }^{2}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle z^{2}}}\: dz\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \int_{0}^{2}\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma } \right )^{2}}}\: dz\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \int_{0}^{2}\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma } \right )^{2}}}\: dz\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\begin{aligned}&P(\textrm{Z}<2)\: ,\qquad \textrm{Z}\sim \textrm{N}(0,1)\\ &=P(-\infty <\textrm{Z}<0)+P(0<\textrm{Z}<2)\\ &=\color{red}\displaystyle \int_{-\infty }^{2}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle z^{2}}}\: dz \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Jika luas daerah di bawah kurva}\\ &\textrm{berdistribusi normal pada interval}\: \: \textrm{Z}>z\\ &\textrm{adalah}\: \: L,\: \: \textrm{nilai}\: \: \textrm{P}(-z<Z< z)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle 0,5+L\\ &\textrm{b}.\quad 0,5-L\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle 1-L\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}\displaystyle 1-2L\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle 2L\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}P&(-z<Z<z)\\ &=0,5-L+0,5-L\\ &=\color{red}1-2L\\ &\textrm{Berikut ilustrasi kurva beserta luasnya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui}\: \: \textrm{X}\: \: \sim \textrm{N}(20,4)\: \: \textrm{dan}\: \: Z\sim N(0,1)\\ &\textrm{Jika}\: \: P(0<Z<1)=0,3413,\: \: \textrm{maka nilai}\\ &P(X<24)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle 0,1587\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle 0,3174\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle 0,3413\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle 0,6826\\ &\textrm{e}.\quad \color{red}\displaystyle 0,8413\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{e}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: X\sim N(20,4)\begin{cases} \mu & =20 \\ \sigma & =4 \end{cases}\\ &\textrm{Dan diketahui pula}\: \: P(0<Z<1)=0,3413\\ &\textrm{Jika}\: \: Z\sim N(0,1),\: \: \textrm{maka untuk}\: P(X<24)\\ &\textrm{transformasi}\: \: \textrm{x}=24\: \: \textrm{menjadi}\\ &\textrm{z}=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma }=\frac{24-20}{4}=\frac{4}{4}=1\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned}P(X<24)&=P(Z<1)\\ &=0,5+P(0<Z<1)\\ &=0,5+0,3413\\ &=\color{red}0,8413 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Nilai kuartil atas dari data}\\ &\textrm{berdistribusi normal baku}=q\\ & \textrm{Pernyataan berikut yang tepat adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}\textrm{Luas daerah pada}\: (Z<q)=0,25\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Luas daerah pada}\: (Z>q)=0,25\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Luas daerah pada}\: (0<Z<q)=0,25\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{Luas daerah pada}\: (Z<-0,25)=q\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{Luas daerah pada}\: (0<Z<0,25)=q\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\textrm{Pembahasan diserahkan kepada pembaca}\\ &\textrm{yang budiman} \end{array}$.

Lanjutan 2 Distribusi Normal

D. Menentukan nilai k (batas interval)

Penentuan batas ini adalah kebalikan dari pencarian nilai luasan di bawah kurva

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Dengan bantuan tabel distribusi normal}\\ &\textrm{tentukan nilai}\: \: k\: \: \textrm{pada}\: \: P(Z\leq k)=0,9834\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}P(Z\leq k)&=P(Z\leq 0)+P(0\leq Z\leq k)\\ &=0,9834> 0,5\\ 0,9834&=0,5+P(0\leq Z\leq k)\\ P(0\leq Z\leq k)&=0,9834-0,5=0,4834\\ &=P(0\leq Z\leq \color{red}2,13\color{black})\\ \therefore \quad k&=\color{red}2,13 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Dengan bantuan tabel distribusi normal}\\ &\textrm{tentukan nilai}\: \: k\: \: \textrm{pada}\: \: P(Z\geq k)=0,3669\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}P(0\leq Z\leq \infty )&=P(0\leq Z\leq k)+P(k\leq Z\leq \infty )\\ 0,5&=P(0\leq Z\leq k)+0,3669\\ P(0\leq Z\leq k)&=0,5-0,3669=0,1331\\ &=P(0\leq Z\leq \color{red}0,34\color{black})\\ \therefore \quad k&=\color{red}0,34 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Dengan tabel distribusi normal, tentukan}\\ &\textrm{nilai}\: \: k\: \: \textrm{pada}\: \: P(-k\leq Z\leq k)=0,9854\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}P(-k\leq Z\leq k)&=P(-k\leq Z\leq 0)+P(0\leq Z\leq k)\\ &=2\times P(0\leq Z\leq k)\\ 0,9854&=2\times P(0\leq Z\leq k)\\ P(0\leq Z\leq k)&=\displaystyle \frac{0,9854}{2}=0,4972\\ &=P(0\leq Z\leq \color{red}2,77\color{black})\\ \therefore \quad k&=\color{red}2,77 \end{aligned} \end{array}$.

E. Pendekatan distribusi binomial dengan distribusi normal

Pada kasus distribusi binomial (distribusi Bernoulli) terdapat jumlah sampel yang besar, misalkan untuk $n=\color{red}60$, maka penghitungan dengan menggunakan metode ini akan memakan waktu yang lama. Penghitungan yang lebih ringkas dengan tingkat ketelitian hasil yang baik adalah dapat kita gunakan penghitungan dengan distribusi normal (distibusi Gauss) dengan syarat $Np\geq 5$ dan $N(1-p)\geq 5$.

$\begin{array}{|c|c|l|l|}\hline \textrm{Notasi}&\textrm{Dibaca}&\textrm{Istilah}&\textrm{Rumus}\\\hline \mu &\textrm{mu}&\textrm{rata-rata}&\mu =Np\\\hline \sigma ^{2}&&\textrm{Variansi}&\sigma ^{2}=Npq\\\hline \sigma &\textrm{sigma}&\textrm{simpangan baku}&\sigma =\sqrt{Npq}\\\hline \end{array}$.

Dengan

$\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Dengan rumus distribusi binomial}\\ &P(X=\textrm{x})=b(\textrm{x};n;p)\\ &\qquad\qquad\: =\displaystyle \frac{n!}{\textrm{x}!.(n-\textrm{x})!}.p^{\textrm{x}}.q^{n-\textrm{x}}=\begin{pmatrix} n\\ \textrm{x} \end{pmatrix}..p^{\textrm{x}}.q^{n-\textrm{x}}\\ &\color{red}\textrm{Dengan rumus distribusi normal}\\ &\textrm{nilai}\: \: Z-\textrm{score, untuk x adalah}\: :\: Z=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma } \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Dari 64 kali percobaan melempar sebuah}\\ &\textrm{uang logam peubah acak}\: \: X\: \: \textrm{menyatakan}\\ &\textrm{banyak kemunculan sisi angka, tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{mean}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{standar deviasi atau simpangan baku}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misal}\: p=\textrm{peluang kejadian muncul angka}\\ &p=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\color{black},\: \: \textrm{maka}\: \: q=1-p=1-\displaystyle \frac{1}{2}=\color{blue}\frac{1}{2}\\ &\textrm{dengan}\: \: N=64\\ &\textrm{maka}\\ &\textrm{a}.\quad\mu =N.p=64\times \displaystyle \frac{1}{2}=\color{red}32\\ &\textrm{b}.\quad \sigma =\sqrt{N.p.q}=\sqrt{64\times \displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}=\sqrt{16}\\ &\qquad\: \: =\color{red}4 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan probabilitas perolehan 5 sisi angka}\\&\textrm{pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak }\\ &\textrm{12 kali}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Dengan rumus distribusi binomial}\\ &\textrm{Diketahui}\: \: n=12,\: \textrm{x}=5,\: \textrm{dan}\: \: p=\displaystyle \frac{1}{2},\: q=1-p\\ &P(X=\textrm{x})=b(\textrm{x};n;p)\\ &\qquad\qquad\: =\displaystyle \frac{n!}{\textrm{x}!.(n-\textrm{x})!}.p^{\textrm{x}}.q^{n-\textrm{x}}=\begin{pmatrix} n\\ \textrm{x} \end{pmatrix}..p^{\textrm{x}}.q^{n-\textrm{x}}\\ &P(\textrm{x}=5)=b(5;12;\displaystyle \frac{1}{2})\\ &\qquad\qquad\: =\begin{pmatrix} 12\\ 5 \end{pmatrix}.\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{5}.\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2} \right )^{12-5}\\ &\qquad\qquad\: =\displaystyle \frac{12!}{5!.7!}.\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{12}\\ &\qquad\qquad \: =\displaystyle \frac{792}{4048}=\color{red}0,1934\quad \color{black}(\textrm{Pembulatan 4D}) \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Dengan rumus distribusi normal}\\ &\mu =n.p=12.\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )=6\\ &\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{12.\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2} \right )}=\sqrt{3}\\ &\: \: \: =1,7321\\ &\textrm{nilai}\: \: Z-\textrm{score, untuk x di antara}\\ &4,5\: \: \textrm{dan}\: \: 5,5\\ &Z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{1}-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{4,5-6}{1,7321}=-0,87\\ &\Rightarrow P(Z=0,87)=0,3078\\ &Z_{2}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{2}-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{5,5-6}{1,7321}=-0,29\\ &\Rightarrow P(Z=0,29)=0,1141\\ &\textrm{Luasan}\: \: 4,5\: \: \textrm{hingga}\: \: 5,5\\ &=0,3078-0,1141=\color{red}0,1937 \end{aligned}\\ &\color{blue}\textrm{Perbedaan selisihnya adalah}\\ &=0,1937-0,1934=\color{red}0,0003 \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Pada soal nomor 1 di atas, carilah probabilitas}\\&\textrm{mendapatakan 2 sisi angka dan probabilitas}\\ &\textrm{mendapatkan sisi angka kurang dari 50}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned} &\bullet \quad \textrm{untuk}\: \: x=2,\: n=64,\: \textrm{dan}\: \: p=\displaystyle \frac{1}{2},\: q=1-p\\ &P(X=\textrm{x})=b(\textrm{x};n;p)\\ &\qquad\qquad\: =\displaystyle \frac{n!}{\textrm{x}!.(n-\textrm{x})!}.p^{\textrm{x}}.q^{n-\textrm{x}}=\begin{pmatrix} n\\ \textrm{x} \end{pmatrix}..p^{\textrm{x}}.q^{n-\textrm{x}}\\ &\qquad \textrm{maka}\: \: P(X=2)=P(x=2)\\ &\qquad P(x=2)=\begin{pmatrix} 64\\ 2 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{64-2}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{64\times 63}{2}\times \left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{64}=\displaystyle \frac{4032}{2^{65}}\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\bullet \quad P(X< 50)=P(x=0)+P(x=1)\\ &\qquad +P(x=2)+P(x=3)+...+P(x=49)\\ \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\textrm{Diketahui}\: \: \mu =32,\: \: \sigma =4,\: \: \textrm{dan}\: \: x=50\\ &z=\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }=\frac{50-32}{4}=\frac{18}{4}=4,5\\ &\textrm{maka nilai}\\ &P(x< 50)=P(z< 4,5)\\ &\qquad\: \: \qquad =P(z\leq 0)+P(0\leq z< 4,5)\\ &\qquad\: \: \qquad =0,5+0,4999\\ &\qquad\: \: \qquad =\color{red}0,9999 \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
Sari, B.-------. Pendekatan Binomial untuk Kasus Distribusi Normal. pada https://dosen.yai.ac.id/v5/dokumen/materi/030013/103_20211207093237_Pertemuan%2010_Pendekatan%20Binomial%20Untuk%20Kasus%20Distribusi%20Normal.pdf

Lanjutan 1 Distribusi Normal

B. Pengertian Distribusi Normal

Distribusi normal adalah salah satu distribusi model variabel acak kontinue yang sangat penting dalam probabilitas.

Distribusi normal yang juga dikenal dengan distribusi Gaussian ini memiliki grafik berbentuk bel/lonceng yang selanjutnya juga dikenal dengan kurva normal karena bentuk kurvanya seperti lonceng. Persamaan kurva tersebut dinamakan dengan fungsi distribusi normal. Adapun fungsi distribusi normal untuk variabel acak kontinue X atau $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ didefinisikan dengan.

$\begin{aligned}&f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}.e^{.^{-\frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{x -\mu }{\sigma } \right )^{2}}}\\ &\textrm{Dengan}\\ &\sigma :\: \textrm{parameter untuk standar deviasi}\\ &\mu :\: \textrm{parameter untuk rata-rata (mean)}\\ &e:\: \textrm{Kontanta alam (2,718...)}\\ &\textrm{Dengan domain fungsi}\: \: f\: \: -\infty < x< \infty\\ \end{aligned}$.

B. Pengertian Distribusi Normal Standar (Baku)

Jika pada fungsi distribusi probabilitas memilii nilai $\mu =0$ dan $\sigma =1$, maka aan didapatkan bentu distribusi normal standar. Variabel acak z yang berdistribusi normal satndar dinotasian dengan $Z\sim N(0,1)$. Adapun untuk gambar kurva normalnya $\textrm{N}(0,1)$ adalah sebagai berikut

Untuk variabel acak X berdistribusi normal dilambangkan dengan $\textrm{X}\sim \textrm{N}(\mu,\sigma^{2})$. Selanjutnya jika $\mu=0$ dan $\sigma=1$, maka akan diperoleh distribusi normal standar (baku) yaitu $\textrm{N}(0,1)$ seperti keterangan di atas. Dan rumus fungsi variabel acak Z yang berdistribusi normal baku adalahh: $f(z)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}$.

Karena kurva di atas adalah kurva dari grafik fungsi peluang, maka luas yang dibatasi adalah garfik fungsi dan sumbu mendatarnya adalah berharga 1, atau dapat juga dituliskan

$\int_{-\infty }^{\infty }f(z)dz=\int_{-\infty }^{\infty }\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz=1$.

Karena grafik simetris terhadap garis $\mu=0$, maka luas di kiri dan kanan garis $\mu=0$ bernilai $0,5$ atau

$\int_{-\infty }^{0 }f(z)dz=\int_{-\infty }^{0 }\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz=0,5$ dan $\int_{0 }^{\infty }f(z)dz=\int_{0}^{\infty }\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz=0,5$.

C. Penghitungan luas di Bawah Kurva Distribusi Normal Standar

C. 1 Penghitungan luasan di bawah kurva Normal Standar

Penentuan luas wilayah ini sangatlah tidak mudah karena melibatkan banyak aspek, tetapi ada cara lain dalam penentuan luas daerah di bawah kurva normal standar, yaitu dengan bantuan tabel distribusi $\textrm{Z}$ sebagaimana tabel sederhana berikut

Sumber dari gambar di atas adalah dari screenshot dari youtube Channel Ari Susanti

Probabilitas variabel acak $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ luasan di bawah kurvanya akan senilai dengan luasan di bawah kurva normal standar $Z\sim N(0,1)$ dengan cara mentransformasikan dari variabel acak normal $X$ menjadi variabel acak $Z$ dengan rumus:

$Z=\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui}\: \: X\sim N(28,169).\: \textrm{Tentukan}\\ &\textrm{nilai}\: \: P(15,8\leq \textrm{x}\leq 56,6)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\Leftrightarrow X\sim N(28,169)\\ &\mu =28,\: \: \sigma ^{2}=169\Rightarrow \sigma =\sqrt{169}=13\\ &\textrm{Penentuan nilai}\: \: P(15,8<x<56,6)\: \: \textrm{adalah}:\\ &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{x}=\color{red}15,8\\ &\bullet \quad\textrm{x}_{1}=15,8\Rightarrow z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{1}-\mu }{\sigma }\\ &\: \: \: \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\displaystyle \frac{15,8-28}{13}=-0,94\\ &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{x}=\color{red}56,6\\ &\bullet \quad\textrm{x}_{2}=56,6\Rightarrow z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{2}-\mu }{\sigma }\\ &\: \: \: \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\displaystyle \frac{56,6-28}{13}=2,2\\ &\textrm{maka nilai}\\ &P(15,8\leq \textrm{x}\leq 56,6)\\ &=P(-0,94\leq z\leq 2,2)\\ &=P(0\leq z\leq 0,94)+P(0\leq z\leq 2,2)\\ &=0,3264+0,4861\\ &=\color{red}0,8125 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan}\: \: P(78<x<116)\: \: \textrm{jika mean}\: \: \mu =104\\ &\textrm{dan simpangan baku}\: \: \sigma =10\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned} &\textrm{Diketahu bahwa}\: \: \: \color{blue}\mu =104\color{black},\: \: \color{blue}\sigma =10\\ &\textrm{Penentuan nilai}\: \: P(78<x<116)\: \: \textrm{adalah}:\\ &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{x}=\color{red}78\\ &\bullet \quad\textrm{x}_{1}=78\Rightarrow z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{1}-\mu }{\sigma }\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\displaystyle \frac{78-104}{10}=\frac{26}{10}=-2,6\\ &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{x}=\color{red}116\\ &\bullet \quad\textrm{x}_{2}=116\Rightarrow z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{2}-\mu }{\sigma }\\ &\: \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\displaystyle \frac{116-104}{10}=\frac{12}{10}=1,2\\ &\textrm{maka nilai}\\ &P(78<x<116)=P(78\leq \textrm{x}\leq 116)\\ &=P(-2,6\leq z\leq 1,2)\\ &=P(0\leq z\leq 2,6)+P(0\leq z\leq 1,2)\\ &=0,4953+0,3849\\ &=\color{red}0,8802 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Sebuah mesin memproduksi baut dengan}\\ &\textrm{bahan logam. Panjang baut yang diproduksi}\\ &\textrm{berdistribusi normal dengan mean}\: 19,8\: \: \textrm{cm}\\ &\textrm{dan standar deviasi}\: 0,3\: \: \textrm{cm}.\: \textrm{Jika diambil baut}\\ &\textrm{secara acak, tentuan terambil baut dengan}\\ &\textrm{panjang antara 19,7 cm dan 20 cm}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\mu =19,8\: \: \textrm{cm},\: \: \sigma =0,3\: \: \textrm{cm}\\ &\textrm{Penentuan panjang}\: \: P(19,7<x<20)\: \: \textrm{adalah}:\\ &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{x}=\color{red}19,7\\ &\bullet \quad\textrm{x}_{1}=19,7\Rightarrow z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{1}-\mu }{\sigma }\\ &\: \: \: \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\displaystyle \frac{19,7-19,8}{0,3}=-0,33\\ &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{x}=\color{red}20\\ &\bullet \quad\textrm{x}_{2}=20\Rightarrow z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{2}-\mu }{\sigma }\\ &\: \: \: \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\displaystyle \frac{20-19,8}{0,3}=0,67\\ &\textrm{maka nilai}\\ &P(19,7\leq \textrm{x}\leq 20)\\ &=P(-0,33\leq z\leq 0,67)\\ &=P(0\leq z\leq 0,33)+P(0\leq z\leq 0,67)\\ &=0,1293+0,2486\\ &=\color{red}0,3779 \end{aligned} \end{array}$.

C. 2 Penghitungan luasan di bawah dengan Interval Tertentu

Luasan daerah dibawah kurva normal baku pada interval $z_{1}<\textrm{Z}<z_{2}$ dapat dituliskan sebagai $P(z_{1}<\textrm{Z}<z_{2})=\displaystyle \int_{z_{1}}^{z_{2}}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Perhatikanlahdaerah berarsir pada kurva normal}\\ &\textrm{berikut untuk interval}\: \: 0<\textrm{Z}<1,25 \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{a}.\quad \textrm{Nyatakan dengan bentuk integral yang menyatakan}\\ &\: \: \: \, \quad \textrm{luas daerah yang terarsir}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Tentukan luas daerah yang diarsir dengan bantuan}\\ &\: \: \: \, \quad \textrm{tabel distribusi normal baku}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{Diketahui fungsi normal baku dalam variabel}\: z\: \: \textrm{adalah}:\\ &f(z)=\color{purple}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}\\ &\textrm{maka daerah yang diarsir pada interval}\: \: 0<\textrm{Z}<1,25\\ &\textrm{Yaitu}:\\ &L=\displaystyle \int_{0}^{1,25}f(z)dz=\color{red}\displaystyle \int_{0}^{1,25}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Adapaun cara tabel adalah sebagai berikut}\\ &\textrm{Lihat gambar di atas, yaitu}:\: \color{blue}0,3944 \end{aligned} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada interval berikut, tentukanlah luas}\\ &\textrm{daerah dibawah kurva normbal baku}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Z}>0,96\\ &\textrm{b}.\quad -0,72<\textrm{Z}<2,08\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Karena luas daerah di kanan garis}\: z=0\\ &\textrm{maka luas}:\: 0,96<\textrm{Z}<\infty \\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}6\\ \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}0,9\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,3315\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, luasnya}=0,5-0,3315=0,1685 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Karena luas daerah di kiri dan kanan garis}\: z=0\\ &\textrm{maka luas}:\: -0,72<\textrm{Z}<2,08\: \textrm{atau}\: \: \textrm{P}(-0,72<\textrm{Z}<2,08)\\ &\underline{\textrm{Untuk}}\: :\: -0,72<\textrm{Z}<0=0<\textrm{Z}<0,72\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}2\\ \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}0,7\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,2642\\\hline \end{array}\\ &\underline{\textrm{Sedangkan untuk}}\: :\: 0<\textrm{Z}<2,08\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}8\\ \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}2,0\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,4812\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, luasnya}=\color{blue}0,2642\color{black}+\color{blue}0,4812\color{black}=\color{blue}0,7454\\ &\textrm{Berikut ilustrasinya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah besar peluang dari variabel}\\ &\textrm{variabel acak Z berdistribusi normal baku}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{P}(\textrm{Z}<1,2)\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{P}(0,32<\textrm{Z}<1,5)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{3. a. Perhatikan ilustrasi berikut ini} \end{array}$.

$.\: \qquad\begin{aligned}&\textrm{Karena luas daerah di kiri dan kanan garis}\: z=0\\ &\textrm{maka luas}:\: \textrm{P}(\textrm{Z}<1,2)=\textrm{P}(-\infty <\textrm{Z}<1,2) \\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}0\\ \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}1,2\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,3849\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, luasnya}=0,5+0,3315=0,8849 \end{aligned}$.

$.\quad\begin{aligned}3.b\: \: &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{P}(0,32<\textrm{Z}<1,5)\\ &\textrm{Perhatikan ilsutrasi berikut} \end{aligned}$.

$.\: \: \qquad\begin{aligned}&\textrm{Karena luas daerah di kanan garis}\: z=0\\ &\textrm{maka luas}:\: 0,32<\textrm{Z}<1,5\\ &\underline{\textrm{Untuk}}\: :\: 0<\textrm{Z}<0,32\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}2\\ \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}0,3\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,1255\\\hline \end{array}\\&\underline{\textrm{Sedangkan untuk}}\: :\: 0<\textrm{Z}<1,5\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}0\\ \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}1,5\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,4332\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, luasnya}=\color{blue}0,4332\color{black}-\color{blue}0,1255\color{black}=\color{blue}0,3077\\ \end{aligned}$ .

DAFTAR PUSTAKA

Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Distribusi Normal

A. Fungsi Probabilitas Kontinu

Jika pada distribusi peluang diskrit nilai x diperjelas lagi menjadi nilai eksak atau kontinue, maka distribusi peluangnya akan berubah menjadi distribusi peluang kontinu.

Luas seluruh daerah di dalam kurva memiliki luas 1. Luas daerah pada wilayah yang diarsi (warna kuning) yang terletak antara X=a dan X=b dapat dinyatakan dengan : $P(a\leq X\leq b)=\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: \: dx$.

Sehingga peluang untu semua nilai x yang berada pada selang $(a,b)$ adalah sama dengan luas kerapatan di bawah kurva antara batas $x=a$ dan $x=b$.

$0\leq f(x)\leq 1$ untuk setiap nilai $x$.
$\int_{-\infty }^{\infty }\displaystyle f(x)\: dx=1$
$P(a\leq x\leq b)=\int_{a}^{b}\displaystyle f(x)\: dx$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Fungsi peluang lama bicara seorang}\\ &\textrm{operator sebagai berikut}\\ &f(x)=\begin{cases} kx &\textrm{untuk}\: \: 0\leq k\leq 5 \\ k(10-x)&\textrm{untuk}\: \: 5\leq k\leq 10\\ \qquad 0 &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{cases}\\ &\textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Nilai}\: \: k\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Peluang operator telpon berbicara}\\ &\qquad \textrm{lebih dari 8 menit}\\ &\qquad \textrm{Peluang operator telpon berbicara}\\ &\qquad \textrm{2 sampai 4 menit}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Karena}\: \: f(x)\: \: \textrm{adalah fungsi peluang, maka}\\ &\displaystyle \int_{0}^{5}kx\: dx+\int_{5}^{10}k(10-x)\: dx=1\\ &\Leftrightarrow \left [ \displaystyle \frac{1}{2}kx^{2} \right ]_{0}^{5}+\left [ 10kx-\displaystyle \frac{1}{2}kx^{2} \right ]_{5}^{10}=1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}k(5^{2}-0^{2})+\left ( 10k(10-5)-\displaystyle \frac{1}{2}k(10^{2}-5^{2}) \right )=1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}k(25)+10k(5)-\displaystyle \frac{1}{2}k(100-25)=1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{25}{2}k+50k-\displaystyle \frac{75}{2}k=1\\ &\Leftrightarrow 50k-25k=1\\ &\Leftrightarrow 25k=1\\ &\Leftrightarrow k=\color{red}\displaystyle \frac{1}{25}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Misalkan saja}\\ &X=\textrm{lama operator telpon bicara}\\ &\textrm{Peluang operator berbicara lebih}\\ &\textrm{dari 8 menit}=P(X>8),\\ &P(X>8)=P(8<X\leq 10)\\ &\quad\qquad =\displaystyle \int_{8}^{10}k(10-x)\: dx\\ &\quad\qquad =\displaystyle \int_{8}^{10}\frac{1}{25}(10-x)\: dx\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}\left [ 10x-\displaystyle \frac{1}{2}x^{2} \right ]_{8}^{10}\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}\left ( 10(10-8)-\displaystyle \frac{1}{2}(10^{2}-8^{2}) \right )\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}\left ( 10.(2)-\displaystyle \frac{1}{2}(100-64) \right )\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}\left ( 20-\displaystyle \frac{1}{2}(36) \right )\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}(20-18)\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}(2)=\color{red}\frac{2}{25}=0,08\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Peluang operator telpon berbicara}\\ &P(2\leq X\leq 4)\\ &=\displaystyle \int_{2}^{4}kx\: dx\\ &=\displaystyle \int_{2}^{4}\displaystyle \frac{1}{25}x\: dx\\ &=\displaystyle \frac{1}{25}\left [ \displaystyle \frac{1}{2}x^{2} \right ]_{2}^{4}\\ &=\displaystyle \frac{1}{25}\times \frac{1}{2}(4^{2}-2^{2})\\ &=\displaystyle \frac{1}{50}(16-4)\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{12}{50}=0,24 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: x\: \: \textrm{adalah variabel acak kontinu}\\ &\textrm{yang nilanya berada pada rentang 2 dan 6}\\ &\textrm{dengan fungsi kepekatannya}\: \: f(x)=\displaystyle \frac{1}{20}(x+1).\\ &\textrm{Tunjukkan bahwa}\: \: \: P(2< x< 6)=\textbf{1}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}P(2<x<6)&=\int_{2}^{6}\displaystyle f(x)\: dx\\ &=\int_{2}^{6}\displaystyle \frac{1}{20}(x+1)\: dx\\ &=\displaystyle \frac{1}{20}\int_{2}^{6}\displaystyle (x+1)\: dx\\ &=\displaystyle \frac{1}{20}\left (\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+x \right )|_{2}^{6}\\ &=\displaystyle \frac{1}{20}\left (\displaystyle \frac{6^{2}}{2}+6 \right )-\displaystyle \frac{1}{20}\left (\displaystyle \frac{2^{2}}{2}+2 \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{20}(18+6)-\displaystyle \frac{1}{20}(2+2)\\ &=\displaystyle \frac{1}{20}(24-4)\\ &=\displaystyle \frac{20}{20}\\ &=1\: \: \quad (\textbf{terbukti}) \end{aligned}\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}P(2<x<6)&=\int_{2}^{6}\displaystyle f(x)\: dx=1\\ 1&=\int_{2}^{6}\displaystyle \frac{1}{20}(x+1)\: dx\\ 1&=\displaystyle \frac{1}{20}\int_{2}^{6}\displaystyle (x+1)\: dx\\ 20&=\int_{2}^{6}\displaystyle (x+1)\: dx\\ 20&=\left (\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+x \right )|_{2}^{6}\\ 20&=\left (\displaystyle \frac{6^{2}}{2}+6 \right )-\left (\displaystyle \frac{2^{2}}{2}+2 \right )\\ 20&=(18+6)-(2+2)\\ 20&=20\: \: \quad (\textbf{terbukti}) \end{aligned} \end{array}$.

Sifat-sifat fungsi probabilitas kontinu adalah sebagai berikut

Modusnya berupa nilai x tertinggi pada interval [a,b]
Median ($m $) adalah hasil dari persamaan yang melibatan $\int_{a}^{m}\displaystyle f(x)dx=\displaystyle \frac{1}{2}$.
Mean ($\mu $) dirumuskan dengan $\mu =\int_{a}^{b}\displaystyle xf(x)\: dx$.
Varian dirumuskan dengan $var\: (X)=\int_{a}^{b}x^{2}f(x)\: dx-\mu ^{2}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui suatu fungsi probabilitas}\\ &f(x)=\left\{\begin{matrix}1-\displaystyle \frac{1}{2}x\: ,\: \textrm{pada}\: \: [0,2]\\ \\ 0,\: \: \textrm{pada}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{matrix}\right.\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Buktian pernyataan di atas benar}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Carilah mean, modus, dan mediannya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{Akan ditunjukkan}\: \: \int_{0}^{2}\displaystyle f(x)\: dx=1\\ &\int_{0}^{2}\displaystyle f(x)\: dx=\int_{0}^{2}\displaystyle \left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2}x \right )\: dx\\ &=\left (x-\displaystyle \frac{1}{4}x^{2} \right )|_{0}^{2}\\ &=\left ( 2-\displaystyle \frac{1}{4}.2^{2} \right )-(0-\displaystyle \frac{1}{4}.0^{2})\\ &=(2-1)-(0-0)=1\: \: (\textbf{Terbukti}) \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad (1)\: &\textrm{Mean}=\mu =\: \: \int_{a}^{b}x\displaystyle f(x)\: dx\\ &=\int_{0}^{2}x\displaystyle \left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2}x \right )\: dx=\int_{0}^{2}\displaystyle \left (x-\displaystyle \frac{1}{2}x^{2} \right )dx\\ &=\left (\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{1}{6}x^{3} \right )|_{0}^{2}\\ &=\left ( 2-1\displaystyle \frac{2}{6} \right )-(0)\\ &=\displaystyle \frac{2}{3} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad (2)\: &\textrm{Medus}=\textrm{nilai maksimum dari}\: \: f(x)\\ &f(x)=1-\displaystyle \frac{1}{2}x,\: \: \textrm{akan maksimum saat}\: x=0\\&\textrm{maka},\: \: f(0)=1-\displaystyle \frac{1}{2}.0=1-0=1 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad (3)\: &\textrm{Median}=\textrm{nilai}\: \: m\: \: \textrm{pada}\: \: \int_{0}^{m}\displaystyle f(x)dx=\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{1}{2}=\int_{0}^{m}\displaystyle \left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2}x \right )dx=\left ( x-\displaystyle \frac{1}{4}x^{2} \right )|_{0}^{m}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}=\left ( m-\displaystyle \frac{1}{4}m^{2} \right )-0\\ &\Leftrightarrow m^{2}-4m+2=0\\&\Leftrightarrow m_{1,2}=\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-4(1)(2)}}{2}\\ &\Leftrightarrow \: \, \quad\quad =\displaystyle \frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}=2\pm \sqrt{2}\\ &\Leftrightarrow \quad m_{1}=2+\sqrt{2}\: \: (\textrm{tidak memenuhi})\\ &\quad\qquad\qquad\textrm{lihat batas interval tertutup}\: [0,2]\\ &\Leftrightarrow \quad m_{2}=2-\sqrt{2}\: \: (\textbf{memenuhi}) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diberikan fungsi}\\ &f(x)=\left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{3}{x^{2}}\: ,\: \textrm{pada}\: \: [1,2]\\ \\ 0,\: \: \textrm{pada}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{matrix}\right.\\ &\textrm{Selidikilah apakah fungsi tersebut}\\ &\textrm{fungsi probabilitas atau bukan}\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kita selidiki apakah}\: \: 0\leq f(x)\leq 1\\ &f(0)=0,\: f(1)=3,\: f(2)=\displaystyle \frac{3}{2^{3}}=\frac{3}{8}\\ &\textrm{Karena terdapat}\: f(1)=3\geq 1,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{telah ditunjuan bahwa fungsi}\: \: f(x)\\ &\textrm{tersebut bukan}\: \textbf{fungsi distribusi}\\ &\textbf{probabilitas} \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Kurnia, N., dkk. 2018. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: YUDHISTIRA.
Tasari. Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.