Lanjutan Contoh Soal 5 Distribusi Normal

21.Pada suatu kelas seorang guru matematikamenyatakan bahwa nilai ulangan mapel yang diampunya tidak kurang dari68Untuk menentukan uji tersebut, maka guruyang bersangkutan memilih 10 anak secaraacak untuk ditanyai nilai hasil ulangannyaHipotesisH0danH1yang tepat dari kondisikondisi di atas adalah....a.H0:μ=68H1:μ68b.H0:μ=68H1:μ>68c.H0:μ68H1:μ<68d.H0:μ68H1:μ>q68e.H0:μ>68H1:μ68Jawab:cCukup jelasDan ini contoh uji satu pihak, yaitu kiri.

22.Untuk menguji hipotesis{H0:μ=800H1:μ800Jika dalam penelitian didapatkanx=795dann=100serta simpangan bakupopulasi55,maka perhitungan nilaistatistik ujinya adalah....a.z=1,10b.z=0,91c.t=0,91d.t=0,91e.z=0,91Jawab:bHipotesisH0:μ=800H0:μ800dengan,n=100,x=795,σ=55,makaz=(xμσ)n=79580055100=(555)×10=0,91.

23.Pada soal no.22 di atas, jika taraf nyata5%,maka kesimpulannya adalah...a.H0ditolakb.H0diterimac.H1diterimad.H1ditolake.tidak dapat ditarik kesimpulanJawab:bKasus uji dua pihakHipotesisH0:μ=800H0:μ800denganα=5%=0,05z12(10,05)=z0,475=1,96.

24.Untuk menguji hipotesis{H0:μ=20H1:μ<20Jika dalam penelitian terhadap sampeln=21diperolehx=19,8dengan simpangan baku0,4,maka perhitungan nilai statistik ujinyaadalah....a.z=2,29b.t=2,29c.z=2,29d.t=2,29e.z=2,99Jawab:bHipotesis (penelitian sampel)H0:μ=20H0:μ<20dengan,n=21,x=19,8,s=0,4,makat=(xμs)n=19,8200,421=(0,20,4)×4,5828=2,29.

25.Pada soal no.24 di atas, jika taraf nyata0,01,maka kesimpulannya adalah...a.H0ditolakb.H0diterimac.H1diterimad.H1ditolake.tidak dapat ditarik kesimpulanJawab:bKasus uji satu pihakHipotesisH0:μ=20H0:μ<20denganα=0,01=1%t0,99=2,53Kriteria pengambilan keputusan:TolakH0jikat2,53.


Lanjutan Contoh Soal 4 Distribusi Normal

16.Dalam pengujian hipotesis dapat terjadi kesalahanJika kita menerima hipotesis yang seharusnya kitatolak. Kejadian ini merupakan kekeliruan, yaitu....a.kekeliruan tipe Ib.kekeliruan tipe IIc.kekeliruan tipe IIId.kekeliruan samplinge.kekeliruan non samplingJawab:bCukup jelas.

17.Pengertian dari taraf signifikansi1%adalah....a.sekitar95%kesimpulan benar telah diambilb.kurang lebih 5 dari 100 kesimpulan yang seharusnya hipotesisnya diterima kita tolakc.kurang lebih 1 dari 100 kesimpulan yang seharusnya hipotesisnya ditolak kita terimad.kurang lebih 1 dari 100 kesimpulan yang seharusnya hipotesisnya diterima kita tolake.kurang lebih 5 dari 100 kesimpulan yang seharusnya hipotesisnya ditolak kita terimaJawab:dCukup jelas.

18.Dalam pengujian hipotesis, penggunaan statistiktketika penghitungan....a.simpsngsn baku saat sampel tidak diketahuib.rata-rata sampel tidak diketahuic.simpangan baku populasi tidak diketahuid.rata-rata populasi tidak diketahuie.simpangan baku populasi diketahuiJawab:cCukup jelas.

19.Penggunaan kriteria pada uji pihak kiri jikadiketahuidadalah nilai yang diperoleh daridaftar distribusi yang bersangkutan denganpeluang yang ditentukan olehαadalah....a.tolakH0jika nilai statistik uji lebih darid,dalam hal lainnyaH0diterimab.tolakH0jika nilai statistik uji kurang darid,dalam hal lainnyaH0diterimac.terimaH0jika nilai statistik uji kurang darid,dalam hal lainnyaH0diterimad.terimaH0jika nilai statistik uji lebih darid,dalam hal lainnyaH0ditolake.terimaH0jika nilai statistik uji lebih dariatau sama dengand,dalam hal lainnyaH0ditolakJawab:bCukup jelas.

20.Hipotesis nol adalah....a.hipotesis yang nilai statistik ujinyabernilai nolb.hipotesis yang perumusannys mrngandungpengertian yang tidak memiliki perbedaanc.hipotesis yang perumusannya terkandungpengertian yang tidak samad.hipotesis yang perumusannya mengandungpengertian lebih darie.hipotesis yang perumusannya mengandungpengertian kurang dariJawab:bCukup jelas.



Lanjutan Contoh Soal 3 Distribusi Normal

11.Perhatikan ilustrasi berikut.....

.Jika luas yang diarsir adalah 0,90 dann=21,maka nilaitadalah....a.1,32b.1,72c.2,08d.2,09e.2,53Jawab:Luas arsiran (distribusi student) adalah:=10,90=0,10,karena luas kedua ujungsama, mulai daritke kanan=0,102=0,05Sehingga luas daritke kiri=10,05=0,95Dari ini diketahui luas arsirannya=p=0,95Dengandk=n1=211=20,makat=±1,72.

12.Misalkan luas daritke kiri=0,05,dengandk=15.Nilaitadalah....a.1,76b.1,75c.1,74d.1,75e.1,76Jawab:Diketahui dari soal di atasdaritke kiri=0,05,makaluas arsiran=p=10,05=0,95t=1,75(lihat tabel).

13.Transformasi Zscoredikaitan dengandata dimaksudkan agar dataterdistribusi secara....a.tak normalb.binomialc.Chisquared.Poisone.normalJawab:Cukup jelas.

14.Perhatikan ilustrasi berikut.....

.Jika kurva normal di atas memiliki simpanganbakunya12,maka luar daerah arsiran adalah....a.0,4821b.0,4966c.0,4999d.0,5934e.0,6921Jawab:Diketahui,μ=60,σ=12,x1=50,x2=70dengan nilaiz=xμσ, makaz1=x1μσ=506012=1012=0.83z2=x2μσ=706012=1012=0.83Luas=P(zZz)=2×P(0Zz)=2×(0,2967)=0,5934.

15.Perhatikan ilustrasi berikut.....

.Jika kurva normal di atas memiliki simpanganbakunya5,maka luar daerah arsiran adalah....a.0,1585b.0,1815c.0,3413d.0,8172e.0,8185Jawab:Diketahui,μ=40,σ=5,x1=30,x2=45dengan nilaiz=xμσ, makaz1=x1μσ=30405=105=2z2=x2μσ=45405=55=1Luas=P(z1Zz2)=P(0Zz1)+P(0Zz2)=P(0Z2)+P(0Z1)=0,3413+0,4772=0,8185.


Distribusi Student (Uji t)

Uji "t"

Dalam pengujian hipotesis kita mengenal 2 rumus pengujian yaitu rumus z (distribusi normal standar) dan rumus t (distribusi student). Rumus z digunakan manakala simpangan baku pada populasi diketahui, sedangkan rumus t digunakan ketika simpangan baku pada populasi tidak diketahui. Ketika simpangan baku setiap populasi jarang diketahui, maka biasanya alternatifnya adalah digunakan simpangan baku sampel dan selanjutnya digunakanlah uji t.

t=x¯μ0snataut=x¯μ0snDimanat=nilaityang dihitungx¯=rata-rata sampelμ=rata-rata populasiatau nilai yang dihipotesiskans=simpangan baku sampeln=jumlah anggota sampel.

Selanjutnya untuk perhitungan simpangan baku s digunakan rumus berikut

s=(xix¯)2n1Dimanax¯=rata-rata sampeln1=derajat kebebasan.

Sebagai catatan dalam pemilihan statistik uji dan penghitungan statistik uji

  • Jika ukuran sampel  n30, statistik uji yang digunakan adalah z (rumus z di atas), ZN(0,1).
  • Jika ukuran sampel  n<30, statistik uji yang digunakan adalah t, dengan derajat kebebasan dk=n1.

CONTOH SOAL.

1.Sebuah perusahaan X mengatakan bahwaperformance pegawainya rata-rata nilaiskornya adalah8,5.Untuk membuktikanpernyataan tersebut diambillah secara random 16 orang pegawai untuk dites danhasilnya tersaji berikut7,88,28,47,88,99,18,57,78,57,99,17,89,28,98,88,3Pada taraf1%,apakah pernyataanperusahaan tersebut benarJawab:Misalkan rata-rata skor performanceberdistribusi studentRumusan hipotesisH0danH1H0:μ=8,5H1:μ8,5Daerah kritisUji dua pihak/hipotesis dua arah denganα=1%t112(0,01)=t0,995.Dengan dk=161=15diperoleh nilait=2,95(tabel distribusi student)TerimaH0,jika:2,95<t<2,95TolakH0,jika:t<2,95ataut>2,95Berikut disajikan tabeldistribusi studentdkt0,995t0,99t0,975t0,95163,6631,8212,716,3129,926,964,32,9235,844,543,182,3544,63,752,782,1354,033,362,572,02152,952,602,131,75991,991202,622,361,981,662,562,331,961,645Nilai statistik ujix¯=7,5+8,2+8,4++8,8+8,316,=8,4125s=(7,58,4125)2++(8,38,4125)2161=0,308=0,555n=100,t=x¯μ0snt=(8,41258,5)0,55516=0,63Penentuan keputusan ujiKarena:2,95<0,63<2,95,H0diterimaKesimpulanDengan taraf nyata 1%rata-rata skorperforman pegawai adalah8,5.



2.Sebuah sampel acak 100 catatan kematiandi negara A selama 1 tahun yang kemarenmenunjukkan umur rata-rata 58,8 tahundengan simpangan baku 7,8 tahun. Apakahhal itu menunjukkan bahwa harapan umurrata-rata sekarang minimal 60 tahun?Jelaskan pernyataan tersebut dengan tingkatsignifikansi5%Jawab:Misalkan umur rata-rata sekarang60tahunberdistribusi studentRumusan hipotesisH0danH1H0:μ60H1:μ<60Daerah kritisUji satu pihak/hipotesis pihak kiri denganα=5%t1(0,05)=t0,995.Dengan dk=1001=99diperoleh nilait=2,63(tabel distribusi student)TerimaH0,jika:t>2,63TolakH0,jika:t2,63Nilai statistik ujiμ=58,8,s=7,8tahunn=100,t=x¯μ0snt=(58,860)7,8100=1,54Penentuan keputusan ujiKarena:t1,54,H0diterimaKesimpulanDengan taraf nyata 5%umur rata-ratasekarang minimal60tahun.



DAFTAR PUSTAKA
  1. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
  2. Sembiring, S., Zulkifli. M., Marsito, Rusdi. I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
  3. Sugiyono. 2013. Statistika untuk Penelitan. Bandung: ALFABETA

Lanjutan Contoh Soal 2 Distribusi Normal

 6.Luas daerah yang diarsir di bawahkurva normal baku berikut adalah....a.0,4861b.0,4878c.0,4881d.0,4938e.0,4946.

.Jawab:Perhatikan tabeldistribusi normalberikutz01234567892,20,4878Sehingga nilaiz=2,25luasnya=0,4878.

7.Luas daerah yang diarsir di bawahkurva normal baku berikut adalah....a.0,1138b.0,3810c.0,3862d.0,4948e.0,5000.
.Jawab:Perhatikan tabeldistribusi normalberikutz01234567891,10,38102,50,4948Sehingga nilaiz=1,18luasnya=0,3810Dan nilaiz=2,56luasnya=0,4948maka luas arsiran=P(1,18<Z<2,56)=P(0<Z<2,56)P(0<Z<1,18)=0,49480,3810=0,1138.

8.Luas daerah yang diarsir pada gambardi bawah adalah 0,9332, maka nilaiz=.....
.a.1,05b.1,06c.1,16d.1,50e.1,60Jawab:Luas arsiran adalah=P(Z<z)=0,9332=0,5+0,4332=0,5+P(0<Z<z)lihat/konfirmasi ke tabelz=1,50Perhatikan tabeldistribusi normalberikutz01234567891,50,4332Sehingga luasnya=0,4878,batas z=1,50.

9.Luas daerah yang diarsir pada gambardi bawah adalah=.....
.a.0,9750b.0,5000c.0,4750d.0,0250e.0,0200Jawab:Luas arsiran adalah=P(0Z)P(0Z1,96)=0,50,4750=0,0250.

10.Misalkan tinggi siswa kelas XII berdistribusinormal dengan rata-rata 167,5 cm dengansimpangan baku 4,6 cm. Jika jumlah siswayang diteliti sebanyak 10.000 siswa, maka jumlah siswa yang memiliki tinggi lebihdari 160 cm sebanyak....a.16.300b.9.484c.5.516d.4.484e.4.474Jawab:Diketahui dari soal di atasn=10.000,μ=167,5cm,σ=4,6z=xμσ=160167,54,6=1,63P(X>160)=P(Z>1,63)=P(0Z1,63)+P(0Z)=0,4484+0,5=0,9484Sehingga total siswa yang dimaksudsebanyak:0,9484×10.000=9.484.



Penarikan Kesimpulan

F. Uji Hipotesis

F. 1 Pengertian

Dalam suatu penyelidikan berkaitan suatu permasalahan untuk penarikan suatu kesimpulan diperlukan adanya dugaan atau dalam bahasa matematika dinamakan istilah hipotesis. Hipotesis berasal dari bahasa Yunani Hupo yang berarti sementara dan Thesis yang berarti pernyataan atau dugaan. Sehingga secara bahasa memiliki arti dugaan sementara. Selanjutnya, karena hipotesis ini masih berupa jawaban sementara, maka hipotesis ini harus diuji kebenaranya dan prosesnya dinamakan uji hipotesis. Uji hipotesis yang dibahasa di sini adalah pengujian berkaitan dengan rata-rata  μ pada sebuah sampel. Jika hasil yang didapatkan dalam penelitian nantinya, jauh berbeda dengan yang diharapkan berdasarkan hipotesis, maka hipotesis ditolak, demikian sebaliknya jika sesuai, maka hipotesis diterima.

F. 2 Jenis-Jenis Hipotesis

Ada dua jenis hipotetsis yaitu:

  • Hipotesis nol (H0) yang terkandung makna tidak memiliki perbedaan
  • Hipotesis alternatif  (H1) dengan pengertian terdapat tidak sama atau ada perbedaan.

F. 3 Langkah-Langkah Pengujian Hipotesis.

Berikut prosedur pengujian hipotesis

.MerumuskanH0danH1Menentukan daerah kritis(taraf signifikansi/kepercayaan)Menentukan nilai statistik ujiMenentukan keputusan ujiPenarikan kesimpulan.

Sebagai tambahannya, dalam melakukan pengujian hipotesis, ada 2 jenis kekeliruan yang bisa terjadi

  • Kekeliruan tipe I, yaitu kita menolak hipotesis yang seharusnya diterima
  • Kekeliruan tipe II, yaitu kita menerima hipotesis yang seharusnya kita tolak
Keputusan ujiH0benarH0salahMenerimaH0Benar(1α)Kesalahantipe II(β)MenolakH0Kesalahantipe I(α)Benar(1β).

Untuk meminimalkan kesalahan:
  • dalam pengujian hipotesis diinginkan  α (dibaca alfa) dan  β  (dibaca beta) kecil atau (1β) besar.
  • tetapi hal di atas adalah sulit karena jika α makin kecil, maka nilai  β semakin besar.
  • dari 2 hal tersebut di atas, maka dipilihlah salah satu, dalam hal ini biasanya α. dan α yang digunakan bisanya pula adalah 10%, 5%, dan atau 1% tergantung kebutuhgannya dalam bidang apa mau diterapkan. Misal dalam bidang pengobatan diambillah α yang 1%.
  • α dalam hal ini selanjutnya disebut taraf signifikansi atau taraf arti atau taraf nyata.

F.4 Bentuk Pengujian Hipotesis

Ada 3 macam, yaitu, uji dua pihak, uji pihak kanan, dan uji pihak kiri.

F. 4. 1 Uji dua Pihak

.
JikaσdiketahuiJikaσtidak diketahuiUntuk menguji pasangan hipotesis{H0:μ=μ0H1:μμ0di mana nilaiz=(x¯μ0σ)nDan untukzberdistribusi normalbaku. Pengambilan kesimpulanH0diterima jika:z12(1α)<z<z12(1α)dan daerah ini disebutdaerah tidak nyataataudaerah penerimaanH0Untuk menguji pasangan hipotesis{H0:μ=μ0H1:μμ0Gunakandistribusi studentdengan rumust=(x¯μ0s)ndi manasadalah simpangan bakudan dihitung  dengan rumuss=(xix¯)2n1Dan untuktberdsitribusi studentpada pengambilan kesimpulan,H0diterima jika:t(112α)<t<t(112α)dan daerah ini disebutdaerah tidak nyataataudaerah penerimaanH0dengandK=n1.

CONTOH SOAL.

1.Seorang pengusaha lampu merk X mengatakanbahwa lampunya memiliki masa pakai rata-rata900. Untuk menguji pernyataan tersebut, makadiuji sebanyak 100 lampu dan ternyata rata-ratamasa pakainya 890 jam dengan simpangan baku-nya 60 jam. Selidikilah dengan tingkat signifikansi5%,apakah kualitas lampu itu sudah berubahatau belumJawab:Misalkan masa hidup lampu berdistribusi normalRumusan hipotesisH0danH1H0:μ=900jam (masa pakai masih 900 jam)H1:μ900jam (masa berubah dan)900jamDaerah kritisUji dua pihak/hipotesis dua arah denganα=5%z12(10,05)=z0,475=1,96(lihat tabel)TerimaH0,jika:1,96<z<1,96TolakH0,jika:z<1,96atauz>1,96Nilai statistik ujix¯=890,n=100,z=x¯μ0σnz=(890900)60100=10×1060=1,67Penentuan keputusan ujiKarena:1,96<1,67<1,96,H0diterimaKesimpulanDengan taraf nyata 5%masa pakai lampubelum berubah dan masih sekitar 900 jam.

2.Jika pada soal nomor 1 di atas, simpangan baku(σ)tidak diketahui, tetapi dari sampel diperolehs=55 jam. Selidikilah apakah kualitas lampu itu sudah berubah atau belumJawab:Misalkan masa hidup lampu berdistribusi studentRumusan hipotesisH0danH1H0:μ=900jam (masa pakai masih 900 jam)H1:μ900jam (masa berubah dan)900jamDaerah kritisUji dua pihak/hipotesis dua arah denganα=5%t112(0,05)=t0,975.Dengan dk=1001=99diperoleh nilait=1,99(tabel distribusi student)TerimaH0,jika:1,99<t<1,99TolakH0,jika:t<1,99ataut>1,99Berikut disajikan tabeldistribusi studentdkt0,995t0,99t0,975t0,95163,6631,8212,716,3129,926,964,32,9235,844,543,182,3544,63,752,782,1354,033,362,572,02602,662,392,001,67991,991202,622,361,981,662,562,331,961,645Nilai statistik ujix¯=890,s=55jam,n=100,t=x¯μ0snt=(890900)55100=10×1055=1,82Penentuan keputusan ujiKarena:1,99<1,82<1,99,H0diterimaKesimpulanDengan taraf nyata 5%masa pakai lampubelum berubah dan masih sekitar 900 jam.

F. 4. 2 Uji Satu Pihak

a) Uji Pihak Kanan

JikaH1:μ>μ0Daerah kritis berada di ujung kanan kurva .

CONTOH SOAL.

1.Seorang petugas menyatakan bahwa pendapatanpenjual mainan X tidak lebih dariRp20.000perhari. Untuk menyangkal pernyataan tersebutpihak kantor melakukan penelitian terhadaptingkat pendapatan penjual mainan itu. Pihakkantor memilih 150 penjual secara acak, ternyatadiperoleh data rata-rata pendapatan merekaRp21.000dengan simpangan bakuRp5.000Denganα=5%cukup beralasankah pernyataanpetugas tersebutJawab:Misalkan pendapatan penjual berdistribusi normaldengan hasil tidak lebihRp20.000perhariRumusan hipotesisH0danH1H0:μ20.000H1:μ>20.000 Daerah kritisUji satu pihak, daerah kritis kanan denganα=5%z0,05=1,64(lihat tabel normal baku)TerimaH0,jika:z<1,64TolakH0,jika:z1,64Nilai statistik ujix¯=21.000,μ0=20.000jam,n=150,σ=5.000,dengan rumusz=x¯μ0σnz=(21.00020.000)5000150=1.000×12,2475.000=2,45Penentuan keputusan ujiKarena:2,451,64,H0ditolakKesimpulanDengan taraf nyata 5%rata-rata pendapatanpenjual lebih dariRp20.000perhari.


b) Uji Pihak Kiri

JikaH1:μ<μ0Daerah kritis berada di ujung kiri kurva .

CONTOH SOAL.

2.Seorang petugas menyatakan bahwa pendapatanpenjual mainan X tidak kurang dariRp21.000perhari. Pihak kantor ingin menguji terhadaptingkat pendapatan penjual mainan itu. Pihakkantor memilih 150 penjual secara acak, ternyatadiperoleh data rata-rata pendapatan merekaRp20.000dengan simpangan bakuRp5.000Denganα=5%cukup beralasankah pernyataanpetugas tersebutJawab:Misalkan pendapatan penjual berdistribusi normaldengan hasil tidak kurang dariRp21.000perhariRumusan hipotesisH0danH1H0:μ21.000H1:μ<21.000 Daerah kritisUji satu pihak, daerah kritis kiri denganα=5%z0,05=1,64(lihat tabel normal baku)TerimaH0,jika:z>1,64TolakH0,jika:z1,64Nilai statistik ujix¯=20.000,μ0=21.000jam,n=150,σ=5.000,dengan rumusz=x¯μ0σnz=(20.00021.000)5000150=1.000×12,2475.000=2,45Penentuan keputusan ujiKarena:2,451,64,H0ditolakKesimpulanDengan taraf nyata 5%rata-rata pendapatanpenjual kurang dariRp21.000perhari.

DAFTAR PUSTAKA
  1. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
  2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
  3. Sembiring, S., Zulkifli. M., Marsito, Rusdi. I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.



Contoh Soal Distribusi Normal

 1.Fungsi distribusi normal variabel acak Xdenganμ=8danσ=2adalah....a.f(x)=12πe.(x8)22b.f(x)=12πe.(x8)24c.f(x)=12πe.(x8)22d.f(x)=18πe.(x8)24e.f(x)=18πe.(x8)28Jawab:ef(x)=1σ2πe.12(xμσ)2,dengan{μ=8σ=2=122πe.12(x82)2=18πe.(x8)28.

2.Jika variabel acakZberdistribusi normalN(0,1),nilaiP(Z<2)adalah....a.0212πe.12z2dzb.212πe.12z2dzc.212πe.12z2dzd.021σ2πe.12(xμσ)2dze.021σ2πe.12(xμσ)2dzJawab:cP(Z<2),ZN(0,1)=P(<Z<0)+P(0<Z<2)=212πe.12z2dz.

3.Jika luas daerah di bawah kurvaberdistribusi normal pada intervalZ>zadalahL,nilaiP(z<Z<z)adalah....a.0,5+Lb.0,5Lc.1Ld.12Le.2LJawab:dP(z<Z<z)=0,5L+0,5L=12LBerikut ilustrasi kurva beserta luasnya.

4.DiketahuiXN(20,4)danZN(0,1)JikaP(0<Z<1)=0,3413,maka nilaiP(X<24)adalah....a.0,1587b.0,3174c.0,3413d.0,6826e.0,8413Jawab:eDiketahui bahwaXN(20,4){μ=20σ=4Dan diketahui pulaP(0<Z<1)=0,3413JikaZN(0,1),maka untukP(X<24)transformasix=24menjadiz=xμσ=24204=44=1SelanjutnyaP(X<24)=P(Z<1)=0,5+P(0<Z<1)=0,5+0,3413=0,8413.

5.Nilai kuartil atas dari databerdistribusi normal baku=qPernyataan berikut yang tepat adalah....a.Luas daerah pada(Z<q)=0,25b.Luas daerah pada(Z>q)=0,25c.Luas daerah pada(0<Z<q)=0,25d.Luas daerah pada(Z<0,25)=qe.Luas daerah pada(0<Z<0,25)=qJawab:aPembahasan diserahkan kepada pembacayang budiman.




Lanjutan 2 Distribusi Normal

D. Menentukan nilai k (batas interval)

Penentuan batas ini adalah kebalikan dari pencarian nilai luasan di bawah kurva

CONTOH SOAL.

1.Dengan bantuan tabel distribusi normaltentukan nilaikpadaP(Zk)=0,9834Jawab:P(Zk)=P(Z0)+P(0Zk)=0,9834>0,50,9834=0,5+P(0Zk)P(0Zk)=0,98340,5=0,4834=P(0Z2,13)k=2,13.

2.Dengan bantuan tabel distribusi normaltentukan nilaikpadaP(Zk)=0,3669Jawab:P(0Z)=P(0Zk)+P(kZ)0,5=P(0Zk)+0,3669P(0Zk)=0,50,3669=0,1331=P(0Z0,34)k=0,34.

3.Dengan tabel distribusi normal, tentukannilaikpadaP(kZk)=0,9854Jawab:P(kZk)=P(kZ0)+P(0Zk)=2×P(0Zk)0,9854=2×P(0Zk)P(0Zk)=0,98542=0,4972=P(0Z2,77)k=2,77.

E. Pendekatan distribusi binomial dengan distribusi normal

Pada kasus distribusi binomial (distribusi Bernoulli) terdapat jumlah sampel yang besar, misalkan untuk n=60, maka penghitungan dengan menggunakan metode ini akan memakan waktu yang lama. Penghitungan yang lebih ringkas dengan tingkat ketelitian hasil yang baik adalah dapat kita gunakan penghitungan dengan distribusi normal (distibusi Gauss) dengan syarat  Np5  dan  N(1p)5.

NotasiDibacaIstilahRumusμmurata-rataμ=Npσ2Variansiσ2=Npqσsigmasimpangan bakuσ=Npq.

Dengan

Dengan rumus distribusi binomialP(X=x)=b(x;n;p)=n!x!.(nx)!.px.qnx=(nx)..px.qnxDengan rumus distribusi normalnilaiZscore, untuk x adalah:Z=xμσ.

CONTOH SOAL.

1.Dari 64 kali percobaan melempar sebuahuang logam peubah acakXmenyatakanbanyak kemunculan sisi angka, tentukana.meanb.standar deviasi atau simpangan bakuJawab:Misalp=peluang kejadian muncul angkap=12,makaq=1p=112=12denganN=64makaa.μ=N.p=64×12=32b.σ=N.p.q=64×12×12=16=4.

2.Tentukan probabilitas perolehan 5 sisi angkapada pelemparan sebuah uang logam sebanyak 12 kaliJawab:Dengan rumus distribusi binomialDiketahuin=12,x=5,danp=12,q=1pP(X=x)=b(x;n;p)=n!x!.(nx)!.px.qnx=(nx)..px.qnxP(x=5)=b(5;12;12)=(125).(12)5.(112)125=12!5!.7!.(12)12=7924048=0,1934(Pembulatan 4D)Dengan rumus distribusi normalμ=n.p=12.(12)=6σ=npq=12.(12)(112)=3=1,7321nilaiZscore, untuk x di antara4,5dan5,5Z1=x1μσ=4,561,7321=0,87P(Z=0,87)=0,3078Z2=x2μσ=5,561,7321=0,29P(Z=0,29)=0,1141Luasan4,5hingga5,5=0,30780,1141=0,1937Perbedaan selisihnya adalah=0,19370,1934=0,0003 .

3.Pada soal nomor 1 di atas, carilah probabilitasmendapatakan 2 sisi angka dan probabilitasmendapatkan sisi angka kurang dari 50Jawab:untukx=2,n=64,danp=12,q=1pP(X=x)=b(x;n;p)=n!x!.(nx)!.px.qnx=(nx)..px.qnxmakaP(X=2)=P(x=2)P(x=2)=(642)(12)2(12)642=64×632×(12)64=4032265Alternatif 1P(X<50)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+...+P(x=49)Alternatif 2Diketahuiμ=32,σ=4,danx=50z=xμσ=50324=184=4,5maka nilaiP(x<50)=P(z<4,5)=P(z0)+P(0z<4,5)=0,5+0,4999=0,9999.


DAFTAR PUSTAKA
  1. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
  2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
  3. Sari, B.-------. Pendekatan Binomial untuk Kasus Distribusi Normal. pada https://dosen.yai.ac.id/v5/dokumen/materi/030013/103_20211207093237_Pertemuan%2010_Pendekatan%20Binomial%20Untuk%20Kasus%20Distribusi%20Normal.pdf 


Lanjutan 1 Distribusi Normal

 B. Pengertian Distribusi Normal

Distribusi normal adalah salah satu distribusi model variabel acak kontinue yang sangat penting dalam probabilitas.

Distribusi normal yang juga dikenal dengan distribusi Gaussian ini memiliki grafik berbentuk bel/lonceng yang selanjutnya juga dikenal dengan kurva normal karena bentuk kurvanya seperti lonceng. Persamaan kurva  tersebut dinamakan dengan fungsi distribusi normal. Adapun fungsi distribusi normal untuk variabel acak kontinue X atau XN(μ,σ2) didefinisikan dengan.

f(x)=1σ2π.e.12(xμσ)2Denganσ:parameter untuk standar deviasiμ:parameter untuk rata-rata (mean)e:Kontanta alam (2,718...)Dengan domain fungsif<x<.

 B. Pengertian Distribusi Normal Standar (Baku)

Jika pada fungsi distribusi probabilitas memilii nilai μ=0  dan  σ=1, maka aan didapatkan bentu distribusi normal standar.  Variabel acak z yang berdistribusi normal satndar dinotasian dengan ZN(0,1). Adapun untuk gambar kurva normalnya N(0,1)  adalah sebagai berikut

Untuk variabel acak X berdistribusi normal dilambangkan dengan XN(μ,σ2). Selanjutnya jika μ=0 dan σ=1, maka akan diperoleh distribusi normal standar (baku) yaitu N(0,1) seperti keterangan di atas. Dan rumus fungsi variabel acak Z yang berdistribusi normal  baku adalahh: f(z)=12πe.12Z2.

Karena kurva di atas adalah kurva dari grafik fungsi peluang, maka luas yang dibatasi adalah garfik fungsi dan sumbu mendatarnya adalah berharga 1, atau dapat juga dituliskan
f(z)dz=12πe.12Z2dz=1.
Karena grafik simetris terhadap garis μ=0, maka luas di kiri dan kanan garis μ=0 bernilai 0,5 atau
0f(z)dz=012πe.12Z2dz=0,5 dan 0f(z)dz=012πe.12Z2dz=0,5.



C. Penghitungan luas di Bawah Kurva Distribusi Normal Standar

C. 1 Penghitungan luasan di bawah kurva Normal Standar

Penentuan luas wilayah ini sangatlah tidak mudah karena melibatkan banyak aspek, tetapi ada cara lain dalam penentuan luas daerah di bawah kurva normal standar, yaitu dengan bantuan tabel distribusi Z sebagaimana tabel sederhana berikut
Sumber dari gambar di atas adalah dari screenshot dari youtube Channel Ari Susanti  

Probabilitas variabel acak XN(μ,σ2) luasan di bawah kurvanya akan senilai dengan luasan di bawah kurva normal standar ZN(0,1) dengan cara mentransformasikan dari variabel acak normal X menjadi variabel acak Z dengan rumus:
Z=Xμσ.

CONTOH SOAL.

1.DiketahuiXN(28,169).TentukannilaiP(15,8x56,6)Jawab:XN(μ,σ2)XN(28,169)μ=28,σ2=169σ=169=13Penentuan nilaiP(15,8<x<56,6)adalah:Untukx=15,8x1=15,8z1=x1μσ=15,82813=0,94Untukx=56,6x2=56,6z1=x2μσ=56,62813=2,2maka nilaiP(15,8x56,6)=P(0,94z2,2)=P(0z0,94)+P(0z2,2)=0,3264+0,4861=0,8125.

2.TentukanP(78<x<116)jika meanμ=104dan simpangan bakuσ=10Jawab:Diketahu bahwaμ=104,σ=10Penentuan nilaiP(78<x<116)adalah:Untukx=78x1=78z1=x1μσ=7810410=2610=2,6Untukx=116x2=116z1=x2μσ=11610410=1210=1,2maka nilaiP(78<x<116)=P(78x116)=P(2,6z1,2)=P(0z2,6)+P(0z1,2)=0,4953+0,3849=0,8802.

3.Sebuah mesin memproduksi baut denganbahan logam. Panjang baut yang diproduksiberdistribusi normal dengan mean19,8cmdan standar deviasi0,3cm.Jika diambil bautsecara acak, tentuan terambil baut denganpanjang antara 19,7 cm dan 20 cmJawab:μ=19,8cm,σ=0,3cmPenentuan panjangP(19,7<x<20)adalah:Untukx=19,7x1=19,7z1=x1μσ=19,719,80,3=0,33Untukx=20x2=20z1=x2μσ=2019,80,3=0,67maka nilaiP(19,7x20)=P(0,33z0,67)=P(0z0,33)+P(0z0,67)=0,1293+0,2486=0,3779.

C. 2 Penghitungan luasan di bawah dengan Interval  Tertentu

Luasan daerah dibawah kurva normal baku pada interval  z1<Z<z2 dapat dituliskan sebagai  P(z1<Z<z2)=z1z212πe.12Z2dz.
Perhatikanlah ilustrasi berikut ini


CONTOH SOAL.



1.Perhatikanlahdaerah berarsir pada kurva normalberikut untuk interval0<Z<1,25.

.a.Nyatakan dengan bentuk integral yang menyatakanluas daerah yang terarsirb.Tentukan luas daerah yang diarsir dengan bantuantabel distribusi normal bakuJawab:a.Diketahui fungsi normal baku dalam variabelzadalah:f(z)=12πe.12Z2maka daerah yang diarsir pada interval0<Z<1,25Yaitu:L=01,25f(z)dz=01,2512πe.12Z2dzb.Adapaun cara tabel adalah sebagai berikutLihat gambar di atas, yaitu:0,3944.

2.Pada interval berikut, tentukanlah luasdaerah dibawah kurva normbal bakua.Z>0,96b.0,72<Z<2,08Jawab:a.Karena luas daerah di kanan garisz=0maka luas:0,96<Z<zz600,90,3315Jadi, luasnya=0,50,3315=0,1685b.Karena luas daerah di kiri dan kanan garisz=0maka luas:0,72<Z<2,08atauP(0,72<Z<2,08)Untuk:0,72<Z<0=0<Z<0,72zz200,70,2642Sedangkan untuk:0<Z<2,08zz802,00,4812Jadi, luasnya=0,2642+0,4812=0,7454Berikut ilustrasinya.


3.Tentukanlah besar peluang dari variabelvariabel acak Z berdistribusi normal bakua.P(Z<1,2)b.P(0,32<Z<1,5)Jawab:3. a. Perhatikan ilustrasi berikut ini.

.Karena luas daerah di kiri dan kanan garisz=0maka luas:P(Z<1,2)=P(<Z<1,2)zz001,20,3849Jadi, luasnya=0,5+0,3315=0,8849.

.3.bUntukP(0,32<Z<1,5)Perhatikan ilsutrasi berikut.
.Karena luas daerah di kanan garisz=0maka luas:0,32<Z<1,5Untuk:0<Z<0,32zz200,30,1255Sedangkan untuk:0<Z<1,5zz001,50,4332Jadi, luasnya=0,43320,1255=0,3077 .

DAFTAR PUSTAKA
  1. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
  2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.



Distribusi Normal

A. Fungsi Probabilitas Kontinu

Jika pada distribusi peluang diskrit nilai  x diperjelas lagi menjadi nilai eksak atau kontinue, maka distribusi peluangnya akan berubah menjadi distribusi peluang kontinu.
Luas seluruh daerah di dalam kurva memiliki luas 1. Luas daerah pada wilayah yang diarsi (warna kuning) yang terletak antara X=a  dan X=b dapat dinyatakan dengan :  P(aXb)=abf(x)dx.
Sehingga peluang untu semua nilai x yang berada pada selang  (a,b) adalah sama dengan luas kerapatan di bawah kurva antara batas  x=a  dan  x=b.
  • 0f(x)1 untuk setiap nilai x.
  • f(x)dx=1
  • P(axb)=abf(x)dx.

CONTOH SOAL

1.Fungsi peluang lama bicara seorangoperator sebagai berikutf(x)={kxuntuk0k5k(10x)untuk5k100untukxyang lainTentukanlaha.Nilaikb.Peluang operator telpon berbicaralebih dari 8 menitPeluang operator telpon berbicara2 sampai 4 menitJawab:a.Karenaf(x)adalah fungsi peluang, maka05kxdx+510k(10x)dx=1[12kx2]05+[10kx12kx2]510=112k(5202)+(10k(105)12k(10252))=112k(25)+10k(5)12k(10025)=1252k+50k752k=150k25k=125k=1k=125b.Misalkan sajaX=lama operator telpon bicaraPeluang operator berbicara lebihdari 8 menit=P(X>8),P(X>8)=P(8<X10)=810k(10x)dx=810125(10x)dx=125[10x12x2]810=125(10(108)12(10282))=125(10.(2)12(10064))=125(2012(36))=125(2018)=125(2)=225=0,08c.Peluang operator telpon berbicaraP(2X4)=24kxdx=24125xdx=125[12x2]24=125×12(4222)=150(164)=1250=0,24.

2.Diketahuixadalah variabel acak kontinuyang nilanya berada pada rentang 2 dan 6dengan fungsi kepekatannyaf(x)=120(x+1).Tunjukkan bahwaP(2<x<6)=1Jawab:Alternatif 1P(2<x<6)=26f(x)dx=26120(x+1)dx=12026(x+1)dx=120(x22+x)|26=120(622+6)120(222+2)=120(18+6)120(2+2)=120(244)=2020=1(terbukti)Alternatif 2P(2<x<6)=26f(x)dx=11=26120(x+1)dx1=12026(x+1)dx20=26(x+1)dx20=(x22+x)|2620=(622+6)(222+2)20=(18+6)(2+2)20=20(terbukti).

Sifat-sifat fungsi probabilitas kontinu adalah sebagai berikut

  • Modusnya berupa nilai x tertinggi pada interval [a,b]
  • Median (m) adalah hasil dari persamaan yang melibatan  amf(x)dx=12.
  • Mean (μ) dirumuskan dengan μ=abxf(x)dx.
  • Varian dirumuskan dengan  var(X)=abx2f(x)dxμ2.

CONTOH SOAL

3.Diketahui suatu fungsi probabilitasf(x)={112x,pada[0,2]0,padaxyang laina.Buktian pernyataan di atas benarb.Carilah mean, modus, dan mediannyaJawab:a.Akan ditunjukkan02f(x)dx=102f(x)dx=02(112x)dx=(x14x2)|02=(214.22)(014.02)=(21)(00)=1(Terbukti)b.(1)Mean=μ=abxf(x)dx=02x(112x)dx=02(x12x2)dx=(12x216x3)|02=(2126)(0)=23b.(2)Medus=nilai maksimum darif(x)f(x)=112x,akan maksimum saatx=0maka,f(0)=112.0=10=1b.(3)Median=nilaimpada0mf(x)dx=12maka12=0m(112x)dx=(x14x2)|0m12=(m14m2)0m24m+2=0m1,2=4±164(1)(2)2=4±222=2±2m1=2+2(tidak memenuhi)lihat batas interval tertutup[0,2]m2=22(memenuhi).

4.Diberikan fungsif(x)={3x2,pada[1,2]0,padaxyang lainSelidikilah apakah fungsi tersebutfungsi probabilitas atau bukanBukti:Kita selidiki apakah0f(x)1f(0)=0,f(1)=3,f(2)=323=38Karena terdapatf(1)=31,makatelah ditunjuan bahwa fungsif(x)tersebut bukanfungsi distribusiprobabilitas.

DAFTAR PUSTAKA
  1. Kurnia, N., dkk. 2018. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: YUDHISTIRA.
  2. Tasari. Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.