Persiapan Memasuki Tahun Ajaran Baru - Mapel Matematika 2022

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan sistem persamaan (Bagian 3)

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan sistem persamaan (Bagian 2)

 Masih soal seputar sistem persamaan, di sini saya sodorkan soal mencari penyelesaian berupa solusi real. Berikut soalnya

$\begin{aligned}&\textrm{Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan bilangan real}\\ &\textrm{berikut}\\ &\begin{cases}x+y+z=4\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=14\\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=34\end{cases}\end{aligned}$.

Untuk menuju solusi, langkah awalnya kita menggunakan Teorema Vieta, yaitu:

$\begin{aligned}&\bullet \quad \textrm{Menentukan}\quad  e_{2},\:\: (\textrm{jumlah perkalian dua variabel})\:\textrm{untuk hal ini}\\ &\qquad\textrm{kita dapat menggunakan identitas aljabar berikut}:\\ &\qquad (x+y+z)^{\displaystyle 2}=x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}+2(xy+xz+yz)\\ &\qquad \Leftrightarrow 4^{2}=14+2(xy+xz+yz)\Leftrightarrow (xy+xz+yz)=1\\&\bullet \quad \textrm{Menentukan}\quad  e_{3},\:\: (\textrm{hasilkali tiga variabel})\:\textrm{untuk hal tersebut }\\ &\qquad\textrm{kita dapat menggunakan identitas aljabar berikut}:\\ &\qquad x^{\displaystyle 3}+y^{\displaystyle 3}+z^{\displaystyle 3}-3xyz=(x+y+z)(x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}-(xy+xz+yz))\\ &\qquad \Leftrightarrow 34-3xyz=4(14-1)\Leftrightarrow 34-3xyz=52\Leftrightarrow xyz=-6\\ &\bullet \quad \textrm{Gunakan polinomial monik}\\ &\qquad \textrm{Berdasarkan teorema Vieta, nilai}\quad x,y,z\quad \textrm{merupakan nilai dari}\\ &\qquad \textrm{persamaan kubik dengan koefisien berderjat 3-nya adalah 1, yaitu}:\\ &\qquad t^{\displaystyle 3}-e_{1}t^{2}+e_{2}t-  e_{3}=0,\\ &\qquad \textrm{dengan}\\ &\qquad \begin{cases}e_{1}=x+y+z=4\\e_{2}=xy+xz+yz=1\\ e_{3}=xyz=-6\end{cases} \\ &\bullet \quad \textrm{Sehingga persamaan polinomial moniknya}:t^{\displaystyle 3}-4t^{2}+t+6=0\\ &\bullet \quad \textrm{Dengan teorema faktor, maka faktor yang mungkin adalah}:\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\\ &\bullet \quad \textrm{Dengan Sintesis Horner, kita coba menentukan faktornyanya, yaitu}:\\ &\qquad \textrm{percobaan pertama}\\ &\qquad \begin{array}{c|cccl}\\ t=1&1&-4&1&6&\\ &&1&-3&-2&+\\\hline &1&-3&-2&4\\ &&&&\uparrow & \text{hal ini artinya saat polinom dibagi 1 akan besisa 4}\end{array}\\&\qquad \textrm{percobaan kedua}\\ &\quad \begin{array}{c|cccl}\\ t=-1&1&-4&1&6&\\ &&-1&5&-6&+\\\hline &1&-5&6&0\\ &&&&\uparrow & \textrm{hal ini artinya saat polinom dibagi -1 tanpa sisa}\\ &&&&& \textrm{maksudnya -1 adalah salah satu faktornya}\\ &&&&& \textrm{dan faktor lainnya adalah (lihat koefisien akhir)}\\ &&&&& t^{2}-5t+6=(t-2)(t-3) \end{array}  \end{aligned}$.

Sekarang kita tinggal menentukan faktor polinomila moniknya dulu, yaitu:

$\begin{aligned}&t^{\displaystyle 3}-4t^{2}+t+6=(t+1)(t-2)(t-3)=0\\ &\textrm{Sehingga diperoleh nilai}\quad t_{1}=-1,\: t_{2}=2,\: t_{3}=3\end{aligned}$.

Jadi, seluruh soalusi realnya ada 6 buah , yaitu:

$\begin{aligned}&(x,y,z)\in \left\{ (-1,2,3),(-1,3,2),(2,-1,3),(3,-1,2),(2,3,-1),(3,2,-1) \right\}\end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA:

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA

Contoh Soal Polinom (Bagian 9)

 $\begin{array}{ll}\\ 41.&\textbf{Mat OSN-Kab 2019}\\ &\textrm{Semua bilangan bulat}\: \: n\: \: \textrm{sehingga}\\ &n^{4}+16n^{3}+71n^{2}+56n\: \: \textrm{merupakan}\\ &\textrm{bilangan kadrat tidak nol adalah}\: ....\\\\      \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Sembiring. S. 2002. Olimpiade Matematika untuk SMU. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Pemintan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
4. Sukino. 2016. Matematika Jilid 2 untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Pemintan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal Polinom (Bagian 8)

$\begin{array}{ll}\\ 36.&(\textbf{Soal Seleksi OM Af-Sel 1983})\\ &\textrm{Jika diketahui}\: \: a^{3}-a-1=0\: \: \textrm{maka}\\ & a^{4}+a^{3}-a^{2}-2a+1\: =\:  ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 0&&\textrm{d}.\quad 1\\ \textrm{b}.\quad  a+1&\qquad&\textrm{e}.\quad a^{3}+a+1\\ \textrm{c}.\quad  \color{red}2\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Lihat pembahasan no}.35\\ &\textrm{Cukup jelas }   \end{aligned}   \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 37.&\textrm{Tentukanlah suku banyak}\: \: f(x)\: \: \textrm{sedemikian}\\ &\textrm{sehingga}\: \: f(x)\: \: \textrm{terbagi oleh}\: \: x^{2}+1,\\ &\textrm{sedangkan}\: \: f(x)+1\: \: \textrm{terbagi oleh}\: \: x^{3}+x^{2}+1\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(x)&=\left ( x^{2}+1 \right ).h_{1}x\\ f(x)+1&=\left ( x^{2}+1 \right ).h_{1}x+1\\ \textrm{supaya}\: \: \: &f(x)+1\: \: \textrm{terbagi habis oleh}\: \: x^{3}+x^{2}+1 ,\\ & \textrm{maka akan ada bilangan bulat}\: \: k,\: \: \left ( k\neq 0 \right )\\ k&=\displaystyle \frac{f(x)+1}{x^{3}+x^{2}+1}\\ &=\displaystyle \frac{\left ( x^{2}+1 \right ).h_{1}x+1}{x^{3}+x^{2}+1}\\ k=1\Rightarrow &1=\displaystyle \frac{\left ( x^{2}+1 \right ).h_{1}x+1}{x^{3}+x^{2}+1}\: \: \textrm{maka}\: \: h_{1}x=x\\ \textrm{sehingga}&\: \: f(x)=\color{red}x^{3}+x^{2}\\ \textrm{untuk ni}&\textrm{lai}\: \: k\: \: \textrm{yang lain, tak ditemukan} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 38.&\color{blue}(\textrm{KSM 2015})\color{black}\textrm{Diketahui}\: \: f(x)\: \: \textrm{adalah polinom}\\ & (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})(x-x_{5})\\ &\textrm{dengan}\: \: \: x_{1},\: x_{2},\: x_{3},\: x_{4},\: \: \textrm{dan}\: \: x_{5}\: \: \textrm{adalah}\\ &\textrm{bilangan bulat berbeda}.\: \textrm{Jika}\: \: f(104)=2012,\\ &\textrm{maka nilai} \: \: \: x_{1}+ x_{2}+ x_{3}+ x_{4}+x_{5}\: \: \textrm{sama dengan}....\\ &\textrm{a}.\quad 13\\ &\textrm{b}.\quad 14\\ &\textrm{c}.\quad 16\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}17\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketa}&\textrm{hui bahwa}:\\ f(x)&=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})(x-x_{5})\\ f(104)&=(104-x_{1})(104-x_{2})(104-x_{3})(104-x_{4})(104-x_{5})=2012\\ &=2012=1\times 2\times 503\\ &=(-1)\times (1)\times (-2)\times (2)\times (503)\\ \textrm{maka}&\: \: \begin{cases} (104-x_{1}) &=-2\Rightarrow x_{1}=106 \\ (104-x_{2}) &=-1\Rightarrow x_{2}=105 \\ (104-x_{3}) &=1\Rightarrow x_{3}=103 \\ (104-x_{4}) &=2\Rightarrow x_{4}=102 \\ (104-x_{5}) &=503\Rightarrow x_{5}=-399 \\ \end{cases}\\ \textrm{sehin}&\textrm{gga},\\ &x_{1}+ x_{2}+ x_{3}+ x_{4}+x_{5}=106+105+103+102+(-399)=\color{red}17 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 39.&\textrm{Akar-akar persamaan}\\ &(x+1)(2x+1)(3x-1)(4x-1)+6x^{4}=0\\ &\textrm{adalah}\: \:  x_{1},x_{2},x_{3}\: \: \textrm{dan}\: \: x_{4}\: .\: \textrm{Jika}\\ &x_{1}<x_{2}<x_{3}< x_{4}\: \: \textrm{dan}\: \: x_{1}+x_{4}=m\\ &\textrm{serta}\: \: x_{2}+x_{3}=n,\: \textrm{maka}\: \: mn=\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -\displaystyle \frac{7}{30}&&\textrm{d}.\quad \color{red}\displaystyle \frac{2}{15}\\ \textrm{b}.\quad  \displaystyle \frac{7}{30}&\qquad&\textrm{e}.\quad -\displaystyle \frac{4}{15}\\ \textrm{c}.\quad  \displaystyle \frac{4}{15}\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &(x+1)(2x+1)(3x-1)(4x-1)+6x^{4}=0\\ &\Leftrightarrow (2x^{2}+3x+1)(12x^{2}-7x+1)+6x^{4}=0\\ &\Leftrightarrow 24x^{4}+22x^{3}-7x^{2}-4x+1+6x^{4}=0\\ &\Leftrightarrow 30x^{4}+22x^{3}-7x^{2}-4x+1+6x^{4}=0\\ &\Leftrightarrow (6x^{2}+2x+2)(5x^{2}+2x-1)=0\\ &\Leftrightarrow (6x^{2}+2x+2)=0\: \textrm{V}\: (5x^{2}+2x-1)=0\\ &\begin{cases} x_{1} &=\displaystyle \frac{-1-\sqrt{6}}{5} \\  x_{2} &=\displaystyle \frac{-1-\sqrt{7}}{6} \end{cases},\: \begin{cases} x_{3} &=\displaystyle \frac{-1+\sqrt{7}}{6} \\  x_{4} &=\displaystyle \frac{-1+\sqrt{6}}{5}  \end{cases}\\ &\textrm{Dengan}\: \: m=x_{1}+x_{4}=-\displaystyle \frac{2}{5},\: n=x_{2}+x_{3}=-\displaystyle \frac{1}{3}\\ &\textrm{maka}\: \: mn=\left ( -\displaystyle \frac{2}{5} \right )\left ( -\displaystyle \frac{1}{3} \right )=\color{red}\displaystyle \frac{2}{15}  \end{aligned}    \end{array}$ 

$\begin{array}{ll}\\ 40.&\textrm{Diketahui akar-akar polinom}\\ & x^{2017}+x^{2016}+x^{2015}+...+x^{2}+x+1=0\\ & \textrm{adalah}\: \: x_{1},\: x_{2},\: x_{3},...,x_{2017}\\ &\textrm{Tentukan nilai dari}\\ & \displaystyle \frac{1}{1-x_{1}}+\frac{1}{1-x_{2}}+\frac{1}{1-x_{3}}+...+\displaystyle \frac{1}{1-x_{2017}}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\displaystyle \frac{x^{2018}-1}{x-1}&=x^{2017}+x^{2016}+x^{2015}+...+x^{2}+x+1=0\\ \textrm{perlu dii}&\textrm{ngat bahwa kondisi ini mensyaratkan}\: \: x\neq 1,\\ & \textrm{sehingga}\\\\ x^{2018}-1&=0\\ x^{2018}&=1\\ x&=\pm 1,\: \: \: \: \textrm{pilih}\: \: x=-1\\ \textrm{maka}\: \quad &\textrm{nilai dari}\\ \displaystyle \frac{1}{1-x_{1}}+&\frac{1}{1-x_{2}}+\frac{1}{1-x_{3}}+...+\displaystyle \frac{1}{1-x_{2017}}\\ &=\underset{\textrm{sebanyak 2017}}{\underbrace{\displaystyle \frac{1}{1-(-1)}+\frac{1}{1-(-1)}+\frac{1}{1-(-1)}+...+\frac{1}{1-(-1)}}}\\ &=\underset{\textrm{sebanyak 2017}}{\underbrace{\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\displaystyle \frac{1}{2}}} \\ &=\color{red}\displaystyle \frac{2017}{2} \end{aligned} \end{array}$.

Contoh Soal Polinom (Bagian 7)

$\begin{array}{ll}\\ 31.&\textrm{Diketahui faktor-faktor polinom}\\ & x^{3}+px^{2}-3x+q=0\: \: \textrm{adalah}\\ &(x+2)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-3)\: .\: \textrm{Jika akar-akar}\\  &\textrm{polinom tersebut adalah}\: \:  x_{1},x_{2}\: \: \textrm{dan}\: \: x_{3},\\ &\textrm{maka nilai}\: \: x_{1}+x_{2}+x_{3}=\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -7&&\textrm{d}.\quad \color{red}4\\ \textrm{b}.\quad  -5&\qquad&\textrm{e}.\quad 7\\ \textrm{c}.\quad  -4\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan bahwa}\: \:  f(x)=x^{3}+px^{2}-3x+q\\ &\textrm{dengan}\\ &x^{3}+px^{2}-3x+q=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:\\ &f(-2)=(-2)^{3}+p(-2)^{2}-3(-2)+q=0\\ &\: \:  \quad\quad \Leftrightarrow -8+4p+6+q=0\\ &\: \:  \quad\quad \Leftrightarrow  4p+q=\color{red}2\: \color{black}......(1)\\ &f(3)=(3)^{3}+p(3)^{2}-3(3)+q=0\\ &  \quad\quad \Leftrightarrow 27+9p-9+q=0\\ &  \quad\quad \Leftrightarrow  9p+q=\color{red}-18\: \color{black}......(2)\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{array}{llllll} f(-2)&=&4p+q&=&2\\ f(3)&=&9p+q&=&-18&-\\\hline &&-5p&=&20\\ &&\qquad p&=&-4\\ &&\textrm{maka}\: \: q&=&18  \end{array}\\ &\textrm{Sehingga persamaan menjadi}\\ &x^{3}-4x^{2}-3x+18=0,\\ &\textrm{maka nilai}\\ &x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\displaystyle \frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4    \end{aligned}   \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 32.&\textrm{Nilai}\: \: m\: \: \textrm{agar-agar persamaan}\\ & x^{3}+3x^{2}-6x+m=0\: \: \textrm{membentuk}\\ &\textrm{barisan arirmetika adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 8&&\textrm{d}.\quad -2\\ \textrm{b}.\quad  6&\qquad&\textrm{e}.\quad -5\\ \textrm{c}.\quad  3\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:-\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan bahwa}\: \:  f(x)=x^{3}+3x^{2}-6x+m\\ &\textrm{dengan}\\ &x^{3}+3x^{2}-6x+m=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\ &\textrm{Jika}\: \: x_{1},x_{2},x_{3}\: \: \textrm{akar-akarnya, maka}\\ &2x_{2}=x_{1}+x_{3}\: \: \textrm{karena membentuk}\\ &\textbf{barisan aritmetika}\: .\: \textrm{Selanjutnya}\\ &\bullet \: \: x_{1}+x_{2}+x_{3}=\displaystyle -\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3\\ &\Leftrightarrow 2x_{2}+x_{2}=-3\Leftrightarrow x_{2}=-1\Leftrightarrow x_{1}+x_{3}=-2\\ &\bullet \: \: x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\displaystyle \frac{c}{a}=\frac{-6}{1}=-6\\ &\Leftrightarrow x_{1}+x_{3}+x_{2}x_{3}=-6\Leftrightarrow -2+x_{2}x_{3}=-6\\ &\Leftrightarrow x_{2}x_{3}=-4\Leftrightarrow (-1)x_{3}=-4\Leftrightarrow x_{3}=4\\ &\bullet x_{1}+x_{3}=-2\Leftrightarrow x_{1}+4=2\Leftrightarrow x_{1}=-2\\ &\bullet x_{1}x_{2}x_{3}=-\displaystyle \frac{d}{a}=-\frac{m}{1}=-m\\ &\Leftrightarrow m=-(x_{1}x_{2}x_{3})=-(-2.-1.4)=-8     \end{aligned}   \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 33.&\textrm{Jika}\: \: \alpha ,\beta ,\gamma \: \: \textrm{merupakan akar persamaan}\\ & x^{3}-3x^{2}+4x+5=0\: \: \textrm{maka nilai}\\ &\alpha^{3} +\beta^{3} +\gamma ^{3}\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -30&&\textrm{d}.\quad 28\\ \textrm{b}.\quad  \color{red}-28&\qquad&\textrm{e}.\quad 30\\ \textrm{c}.\quad  -24\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &x^{3}-3x^{2}+4x+5=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\ &\textrm{Karena memiliki akar-akar}\: :\: \alpha ,\beta ,\gamma ,\\  &\textrm{maka}\\ &\bullet \quad\alpha ^{3}-3\alpha ^{2}+4\alpha +5=0\\ &\bullet \quad\beta ^{3}-3\beta ^{2}+4\beta +5=0\\ &\bullet \quad\gamma ^{3}-3\gamma ^{2}+4\gamma +5=0\\ &\textrm{Jika ketiganya dijumlahkan, diperoleh}\\ &\alpha^{3} +\beta^{3} +\gamma ^{3}-3(\alpha^{2} +\beta^{2} +\gamma ^{2})\\ &+4(\alpha +\beta +\gamma )+15=0\\ &\Leftrightarrow \alpha^{3} +\beta^{3} +\gamma ^{3}=3(\alpha^{2} +\beta^{2} +\gamma ^{2})\\ &-4(\alpha +\beta +\gamma )-15\\ &\Leftrightarrow \alpha^{3} +\beta^{3} +\gamma ^{3}=3(\alpha +\beta +\gamma )^{2}\\ &\qquad -6(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )-4(\alpha +\beta +\gamma )-15\\ &\Leftrightarrow \alpha^{3} +\beta^{3} +\gamma ^{3}=3\left ( -\displaystyle \frac{b}{a} \right )^{2}-6\left ( \displaystyle \frac{c}{a} \right )\\ &\qquad-4\left ( -\displaystyle \frac{b}{a} \right )-15\\ &\Leftrightarrow \alpha^{3} +\beta^{3} +\gamma ^{3}=3\left ( -(-3) \right )^{2}-6(4)\\ &\qquad -4(-(-4))-15\\ &\Leftrightarrow \alpha^{3} +\beta^{3} +\gamma ^{3}=27-24-16-15=\color{red}-28    \end{aligned}    \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 34.&\textrm{Jika}\: \: \alpha ,\beta ,\gamma \: \: \textrm{merupakan akar persamaan}\\ & x^{3}-14x^{2}+px+q=0\: \: \textrm{dengan}\\ &\alpha :\beta :\gamma =1:2:4\: ,\: \textrm{maka nilai}\: \: p-q\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 160&&\textrm{d}.\quad 10\\ \textrm{b}.\quad  \color{red}120&\qquad&\textrm{e}.\quad 8\\ \textrm{c}.\quad  100\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &x^{3}-14x^{2}+px+q=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\ &\textrm{Karena memiliki akar-akar}\: :\: \alpha ,\beta ,\gamma ,\\  &\textrm{dengan}\: \: \alpha :\beta :\gamma =1:2:4,\: \textrm{maka}\\ &\alpha =n,\: \beta =2n,\: \gamma =4n\: .\: \textrm{Perhatikan}\\ &\alpha +\beta +\gamma =-\displaystyle \frac{b}{a}\Leftrightarrow n+2n+4n=14\\ &\Leftrightarrow 7n=14\Leftrightarrow n=2\: .\: \color{red}\textrm{Selanjutnya}\\ &\bullet \quad \alpha =2\Rightarrow  (2)^{3}-14(2)^{2}+p(2)+q=0\\ &\Leftrightarrow  8-56+2p+q=0\Leftrightarrow \color{blue}2p+q=48\\ &\bullet \quad \beta  =4\Rightarrow  (4)^{3}-14(4)^{2}+p(4)+q=0\\ &\Leftrightarrow  64-224+4p+q=0\Leftrightarrow \color{blue}4p+q=160\\ &\textrm{Selanjutnya perhatikan eliminasi berikut}\\ &\begin{array}{llllrl} 4p&+&q&=&160\\ 2p&+&q&=&48&-\\\hline 2p&&&=&112\\ &&q&=&-64&,\: \textrm{maka}\\ p&-&q&=&56&+\: 64=\color{red}120   \end{array}   \end{aligned}    \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 35.&\textrm{Jika diketahui}\: \: x^{3}-x-1=8\: \: \textrm{maka}\\ & x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+1\: =\:  ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 0&&\textrm{d}.\quad 8x+8\\ \textrm{b}.\quad  2&\qquad&\textrm{e}.\quad \color{red}8x+10\\ \textrm{c}.\quad  8\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &x^{3}-x-1=8\: \: \textrm{saat dikali}\: \: x\\ &\textrm{masing-masing ruas, maka}\\ &x^{4}-x^{2}-x=8x\: .\: \textrm{Jika keduanya}\\ &\textrm{dijumlahkan}\\ &x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-1=8x+8\\ &\Leftrightarrow x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-1+2=8x+8+2\\ &\Leftrightarrow x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+1=\color{red}8x+10   \end{aligned}   \end{array}$.

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan sistem persamaan (Bagian 1)

Saya kembali ke soal aljabar dan ini bisa menjadi pengingat bagi semuanya terutama saya agar nantinya kalau lupa bisa buka lagi terkait sistem persamaan, karena ini sangat bermanfaat sekali ketika kita menemukan soal setipe. Berikut soalnya

$\begin{aligned}&\text{Tentukan semua solusi bilangan bulat pada persamaan}\\ &\qquad 3=x+y+z=x^{3}+y^{3}+z^{3}\end{aligned}$

Perhatikan langkah solusinya berikut

$\begin{aligned}&\text{Untuk menentukan semua solusi bulat}\: (x,y,z)\: \textrm{yang memenuhi}\\ &\textrm{sistem persamaan}\\ &1.\quad x+y+z=3\\ &2.\quad x^{3}+y^{3}+z^{3}=3\\ &\textrm{Kita dapat menggunkaan identitas aljabar berikut}\\ &\bullet \quad x^{\displaystyle 3}+y^{\displaystyle 3}+z^{\displaystyle 3}-3xyz=(x+y+z)((x-y)^{\displaystyle 2}+(y-z)^{\displaystyle 2}+(z-x)^{\displaystyle 2})\\&\bullet \quad x^{\displaystyle 3}+y^{\displaystyle 3}+z^{\displaystyle 3}-3xyz=(x+y+z)(x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}-xy-xz-yz)\\ &\textrm{Substitusikan nilai pada poin 1 dan 2 di atas ke persamaan titik hitam ke-2}\\ &\text{yaitu}:\\ &3-3xyz=3(x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}-xy-xz-yz)\\ &\Leftrightarrow 1-xyz=(x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}-xy-xz-yz).....................(1)\\ &\textrm{Perhatikan pula identitas berikut}\\ &(x+y+z)^{\displaystyle 2}=x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}+2(xy+xz+yz)\\ &\textrm{Substitusikan pula persamaan 1 ke persamaan tersebut di atas, yaitu}\\ &3^{\displaystyle 2}=9=x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}+2(xy+xz+yz)\\ &\Leftrightarrow x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}=9-2(xy+xz+yz)...........................(2)\\ &\textrm{Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) dan hasilnya adalah:}\\ &1-xyz=((9-2(xy+xz+yz))-xy-xz-yz)\\ &\Leftrightarrow 3(xy+xz+yz)-xyz=8\end{aligned}$.

Langkah berikutnya hubungkan keterkaitan akar-akar suku banyak (Teorema Vieta) ke polinom monik. Polinom monik maksudnya jenis polinom dengan koefisien pangkat tertinggi sama dengan 1, yaitu:

$\begin{aligned}&t^{\displaystyle 3}-e_{1}t^{\displaystyle 2}+e_{2}t-e_{3}=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\circ \quad e_{1}=x+y+z=3\\ &\circ \quad e_{2}=xy+xz+yz\\ &\circ \quad e_{3}=xyz\\ &\textrm{Karena}\:\:\: x,y,z\:\:\: \textrm{akar-akar, maka}\:\: t\in \left\{ x,y,z \right\}\:\: \textrm{berlaku}\\ &\bullet \quad t^{\displaystyle 3}=e_{1}t^{\displaystyle 2}-e_{2}t+e_{3}\\ &\bullet \quad 3e_{2}-e_{3}=8\Rightarrow e_{3}=3e_{2}-8\\ &\textrm{Perhatikan pula identitas aljabar bentuk}\\ &(x+y+z)^{\displaystyle 3}-(x^{\displaystyle 3}+y^{\displaystyle 3}+z^{\displaystyle 3})=3(x+y)(x+z)(y+z)\\ &\textrm{Substitusikan nilai poin 1 dan 2 awal di atas ke persamaan tersebut di atas}\\ &3^{3}-3=3(x+y)(x+z)(y+z)\Leftrightarrow 8=(x+y)(x+z)(y+z)\\\\ \end{aligned}$.

Untuk mempermudah solusi, langkah berikutnya penyederhanaan faktor, yaitu:

$\begin{aligned}&\text{Karena}\:\: x+y+z=3,\:\: \textrm{dapat disederhanakan menjadi}\\ &\bullet \quad x+y=3-z=a\\ &\bullet \quad y+z=3-x=b\\ &\bullet \quad z+x=3-y=c\\ &\textrm{Sehingga persamaan menjadi}\\ &\circ \quad (3-x)(3-y)(3-z)=abc=8\\ &\circ \quad (3-x)+(3-y)+(3-z)=a+b+c=9-(x+y+z)=9-3=6\end{aligned}$.

Selanjutnya adalah

$\begin{aligned}&\text{Menentukan bilangan bulat}\:\: a,b,c\:\: \textrm{yang memenuhi persamaan}\\ &\bullet \quad abc=8\\ &\bullet \quad a+b+c=6\\ &\textrm{Faktor dari 8 adalah}:\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8\end{aligned}$.

Selanjutnya kita tentukan saja beberapa nilai yang tersebut di atas, yatu:

$\begin{aligned}&\bullet \quad (2,2,2)\Rightarrow 2.2.2=8\quad \textrm{dan}\quad 2+2+2=6\:\: (\textrm{memenuhi})\\ &\bullet \quad (-1,-1,8)\Rightarrow (-1).(-1).8=8\quad \textrm{dan}\quad (-1)+(-1)+8=6\:\: (\textrm{memenuhi})\\\end{aligned}$.

Sekarang tinggal menentukan solusi (x,y,z), yaitu:

$\begin{aligned}&\text{Ingat kembali bahwa}:\\ &\begin{cases}x=3-a\\ y=3-b\\z=3-c\end{cases}\\&\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline (2,2,2)&(-1,-1,8)&(-1,8,-1)&(8,-1,-1)\\\hline \begin{cases}x=3-2\\ y=3-2\\z=3-2\end{cases}&\begin{cases}x=3-(-1)\\ y=3-(-1)\\z=3-8\end{cases}&\begin{cases}x=3-(-1)\\ y=3-8\\z=3-(-1)\end{cases}&\begin{cases}x=3-8\\ y=3-(-1)\\z=3-(-1)\end{cases}\\\hline (x,yz)&(x,yz)&(x,yz)&(x,yz)\\\hline (1,1,1)&(4,4,-5)&(4,-5,4)&(-5,4,4)\\\hline\end{array}\end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA:

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA

Kombinatorika-Memecahkan soal terkait permasahan kombinasi (Bagian 5)

 Untuk soal berikut masih terkait kombinatorika. Berikut salnya

$\begin{aligned}&\textrm{Bila}\:\: (x+1)^{\displaystyle n}\:\: \textrm{dijabarkan dengan pangkat}\:\:x\:\: \textrm{semakin menurun}\\ &\textrm{dan}\:\: n\:\: \textrm{bilangan bulat positif, maka diperoleh ada  tiga suku berurutan} \\ &\textrm{dengan perbandingan koefisien}:\: 2:15:70.\:\: \textrm{Tentukan nilai}\:\: n\end{aligned}$.

Untuk menuju jawabannya, perhatikan hal berikut

$\begin{aligned}&(x+1)^{\displaystyle n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\left( \begin{matrix} n \\ r \end{matrix} \right)x^{n-r}=x^{n}+\left( \begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix} \right)x^{n-1}+\left( \begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix} \right)x^{n-2}+\cdots +1\\ &\text{Jika 3 suku berurutan yang dimaksud memiliki koefisien}=2:15:70\\ &\end{aligned}$.

Dari langkah di atas, maka langkah berikutnya adalah:

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan koefisien yang dimaksud adalah}:\\ &\left( \begin{matrix} n \\r \end{matrix} \right), \left( \begin{matrix} n \\r+1 \end{matrix} \right),\left( \begin{matrix} n \\ r+2\end{matrix} \right)\:\: \textrm{dengan perbandingan nilai}\\ &\left( \begin{matrix} n \\r \end{matrix} \right): \left( \begin{matrix} n \\r+1 \end{matrix} \right):\left( \begin{matrix} n \\ r+2\end{matrix} \right)=2:15:70\\ &\textrm{Untuk}\\ &\displaystyle \frac{\left( \begin{matrix} n \\r+1 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} n \\r \end{matrix} \right)}=\displaystyle \frac{15}{2}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{n-r}{r+1}=\displaystyle \frac{15}{2}\Leftrightarrow 2n=17r+15\\ &\textrm{Selanjutnya untuk}\\ &\displaystyle \frac{\left( \begin{matrix} n \\r+2 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} n \\r+1 \end{matrix} \right)}=\displaystyle \frac{70}{15}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{n-r-1}{r+2}=\displaystyle \frac{3}{3}\Leftrightarrow 3n=17r+31\\ &\textrm{Sehingga dari dua persamaan di atas, kita akan mendapatkan}\\ &3n-2n=(17r+31)-(17r+15)\Leftrightarrow n=16\end{aligned}$.

Cukup jelas sampai langkah tersebut, kita mendapatkan n=16

Contoh Soal Polinom (Bagian 6)

$\begin{array}{ll}\\ 26.&\textrm{Banyaknya akar rasional bulat}\\ &\textrm{dari}\: \: 4x^{4}-15x^{2}+5x+6=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 0&&\textrm{d}.\quad 3\\ \textrm{b}.\quad  1&\qquad&\textrm{e}.\quad 4\\ \textrm{c}.\quad  \color{red}2\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{4x^{4}-15x^{2}+5x+6}{(x-1)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}4x^{3}+4x^{2}-11x-6&\color{blue}\textbf{hasil}\\ \hline \quad x-1&4x^{4}-15x^{2}+5x+6&\\ &4x^{4}-4x^{3}&-\\\hline &\: \: \:    4x^{3}-15x^{2}+5x+6&\\ &\: \: \: 4x^{3}-4x^{2}&- \\\hline &\: \: \quad\quad -11x^{2}+5x+6\\ &\: \: \quad\quad -11x^{2}+11x&-\\\hline &\quad \quad \qquad\qquad -6x+6\\ &\quad \quad \qquad\qquad -6x+6&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \quad f(x)&=4x^{4}-15x^{2}+5x+6\\ &=\color{red}(x-1)\color{black}(4x^{3}+4x^{2}-11x-6) \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Selanjutnya perhatikan pula }\\ &\displaystyle \frac{4x^{3}+4x^{2}-11x-6}{(x+2)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}4x^{2}-4x-3&\color{blue}\textbf{hasil}\\ \hline \quad x+2&4x^{3}+4x^{2}-11x-6&\\ &4x^{3}+8x^{2}&-\\\hline &\: \: \quad    -4x^{2}-11x-6&\\ &\: \: \quad -4x^{2}-8x&- \\\hline &\: \: \qquad\qquad -3x-6\\ &\: \: \qquad\qquad -3x-6&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad\quad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \quad f(x)&=4x^{3}+4x^{2}-11x-6\\ &=(x+2)(4x^{2}-4x-3)\\ &=\color{red}(x+2)\color{black}(2x-3)(2x+1) \end{aligned}\\\hline \end{array}   \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 27.&\textrm{Salah satu akar dari polinomial}\\ & 2x^{3}+5x^{2}+x-2=0\: \: \textrm{adalah}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{Jumlah dua akar yang lain adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 6&&\textrm{d}.\quad \color{red}-3\\ \textrm{b}.\quad  3&\qquad&\textrm{e}.\quad -6\\ \textrm{c}.\quad  2\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{2x^{3}+5x^{2}+x-2}{(2x-1)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x^{2}+3x+2&\color{blue}\textbf{hasil}\\ \hline \quad 2x-1&2x^{3}+5x^{2}+x-2&\\ &2x^{3}-x^{2}&-\\\hline &\: \: \: \qquad   6x^{2}+x-2&\\ &\: \: \: \qquad 6x^{2}-3x&- \\\hline &\: \: \: \: \: \qquad\qquad 4x-2\\ &\: \: \: \: \: \qquad\qquad 4x-2&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad\quad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \quad f(x)&=2x^{3}+5x^{2}+x-2\\ &=(2x-1)\color{red}(x^{2}+3x+2)\\ &=(2x-1)\color{red}(x+1)(x+2) \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Sehingga}\: \: x_{2}=-1,\: x_{3}=-2,\: \textrm{maka}\\ &x_{2}+x_{3}=-1+(-2)=-3\\ &\color{red}\textrm{atau dapat juga ditentukan dengan rumus}\\ &\textrm{ABC pada persamaan kuadrat, yaitu}\\ &x^{2}+3x+2=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ &\Leftrightarrow x^{2}+3x+2=-\displaystyle \frac{a_{1}}{a_{1}}=-\displaystyle \frac{3}{1}=-3 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 28.&\textrm{Salah satu akar dari polinomial}\\ & x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6=0\\ &\textrm{adalah}\: \: 2\: .\: \textrm{Jumlah akar-akar yang }\\ &\textrm{lain adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 6&&\textrm{d}.\quad \color{red}3\\ \textrm{b}.\quad  5&\qquad&\textrm{e}.\quad 2\\ \textrm{c}.\quad  4\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6}{(x-2)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x^{3}-3x^{2}-x+3&\color{blue}\textbf{hasil}\\ \hline \quad x-2&x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6&\\ &x^{4}-2x^{3}&-\\\hline &\: \:  \quad   -3x^{3}+5x^{2}+5x-6&\\ &\: \:  \quad -3x^{3}+6x^{2}&- \\\hline &\: \:    \qquad\qquad -x^{2}+5x-6\\ &\: \:   \qquad\qquad -x^{2}+2x&-\\\hline &\: \: \quad    \qquad\qquad\qquad 3x-6\\ &\: \: \quad  \qquad\qquad\qquad 3x-6&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\: \: \: \: \qquad\qquad\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \quad f(x)&=x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6\\ &=(x-2)\color{red}(x^{3}-3x^{2}-x+3) \end{aligned}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Sehingga}\\ &x^{3}-3x^{2}-x+3=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ &\Leftrightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\displaystyle \frac{a_{2}}{a_{2}}=-\frac{-3}{1}=3 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 29.&\textrm{Akar-akar dari persamaan polinom}\\ & x^{3}-3x^{2}+4x+5=0\: \: \textrm{adalah}\: \: x_{1},x_{2}\\ &\textrm{dan}\: \: x_{3}.\: \: \textrm{Nilai}\: \: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}1&&\textrm{d}.\quad 17\\ \textrm{b}.\quad  3&\qquad&\textrm{e}.\quad 19\\ \textrm{c}.\quad  9\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&x^{3}-3x^{2}+4x+5=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:\\ &x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\ &=(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-2(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3})\\ &=\left (\displaystyle \frac{-b}{a}  \right )^{2}-2\left ( \displaystyle \frac{c}{a} \right )\\ &=\left ( \displaystyle \frac{-(-3)}{1} \right )^{2}-2\left ( \displaystyle \frac{4}{1} \right )=9-8=1 \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 30.&\textrm{Diketahui persamaan polinom}\\ & x^{3}-4x^{2}+6x-12=0\: \: \textrm{mempunyai}\\ &\textrm{akar-akar}\: \: x_{1},x_{2}\: \: \textrm{dan}\: \: x_{3}.\\ &\textrm{Nilai}\: \: \displaystyle \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}=\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -3&&\textrm{d}.\quad \displaystyle \color{red}\frac{1}{2}\\ \textrm{b}.\quad  -2&\qquad&\textrm{e}.\quad 3\\ \textrm{c}.\quad  \displaystyle \frac{1}{3}\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&x^{3}-4x^{2}+6x-12=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:\\  &\displaystyle \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}\\ &=\displaystyle \frac{x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}x_{3}}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{c}{a}}{-\displaystyle \frac{d}{a}}=-\frac{c}{d}=-\displaystyle \frac{6}{-12}=\frac{1}{2} \end{aligned}  \end{array}$.