Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan sistem persamaan (Bagian 1)

Saya kembali ke soal aljabar dan ini bisa menjadi pengingat bagi semuanya terutama saya agar nantinya kalau lupa bisa buka lagi terkait sistem persamaan, karena ini sangat bermanfaat sekali ketika kita menemukan soal setipe. Berikut soalnya

$\begin{aligned}&\text{Tentukan semua solusi bilangan bulat pada persamaan}\\ &\qquad 3=x+y+z=x^{3}+y^{3}+z^{3}\end{aligned}$

Perhatikan langkah solusinya berikut

$\begin{aligned}&\text{Untuk menentukan semua solusi bulat}\: (x,y,z)\: \textrm{yang memenuhi}\\ &\textrm{sistem persamaan}\\ &1.\quad x+y+z=3\\ &2.\quad x^{3}+y^{3}+z^{3}=3\\ &\textrm{Kita dapat menggunkaan identitas aljabar berikut}\\ &\bullet \quad x^{\displaystyle 3}+y^{\displaystyle 3}+z^{\displaystyle 3}-3xyz=(x+y+z)((x-y)^{\displaystyle 2}+(y-z)^{\displaystyle 2}+(z-x)^{\displaystyle 2})\\&\bullet \quad x^{\displaystyle 3}+y^{\displaystyle 3}+z^{\displaystyle 3}-3xyz=(x+y+z)(x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}-xy-xz-yz)\\ &\textrm{Substitusikan nilai pada poin 1 dan 2 di atas ke persamaan titik hitam ke-2}\\ &\text{yaitu}:\\ &3-3xyz=3(x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}-xy-xz-yz)\\ &\Leftrightarrow 1-xyz=(x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}-xy-xz-yz).....................(1)\\ &\textrm{Perhatikan pula identitas berikut}\\ &(x+y+z)^{\displaystyle 2}=x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}+2(xy+xz+yz)\\ &\textrm{Substitusikan pula persamaan 1 ke persamaan tersebut di atas, yaitu}\\ &3^{\displaystyle 2}=9=x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}+2(xy+xz+yz)\\ &\Leftrightarrow x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}=9-2(xy+xz+yz)...........................(2)\\ &\textrm{Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) dan hasilnya adalah:}\\ &1-xyz=((9-2(xy+xz+yz))-xy-xz-yz)\\ &\Leftrightarrow 3(xy+xz+yz)-xyz=8\end{aligned}$.

Langkah berikutnya hubungkan keterkaitan akar-akar suku banyak (Teorema Vieta) ke polinom monik. Polinom monik maksudnya jenis polinom dengan koefisien pangkat tertinggi sama dengan 1, yaitu:

$\begin{aligned}&t^{\displaystyle 3}-e_{1}t^{\displaystyle 2}+e_{2}t-e_{3}=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\circ \quad e_{1}=x+y+z=3\\ &\circ \quad e_{2}=xy+xz+yz\\ &\circ \quad e_{3}=xyz\\ &\textrm{Karena}\:\:\: x,y,z\:\:\: \textrm{akar-akar, maka}\:\: t\in \left\{ x,y,z \right\}\:\: \textrm{berlaku}\\ &\bullet \quad t^{\displaystyle 3}=e_{1}t^{\displaystyle 2}-e_{2}t+e_{3}\\ &\bullet \quad 3e_{2}-e_{3}=8\Rightarrow e_{3}=3e_{2}-8\\ &\textrm{Perhatikan pula identitas aljabar bentuk}\\ &(x+y+z)^{\displaystyle 3}-(x^{\displaystyle 3}+y^{\displaystyle 3}+z^{\displaystyle 3})=3(x+y)(x+z)(y+z)\\ &\textrm{Substitusikan nilai poin 1 dan 2 awal di atas ke persamaan tersebut di atas}\\ &3^{3}-3=3(x+y)(x+z)(y+z)\Leftrightarrow 8=(x+y)(x+z)(y+z)\\\\ \end{aligned}$.

Untuk mempermudah solusi, langkah berikutnya penyederhanaan faktor, yaitu:

$\begin{aligned}&\text{Karena}\:\: x+y+z=3,\:\: \textrm{dapat disederhanakan menjadi}\\ &\bullet \quad x+y=3-z=a\\ &\bullet \quad y+z=3-x=b\\ &\bullet \quad z+x=3-y=c\\ &\textrm{Sehingga persamaan menjadi}\\ &\circ \quad (3-x)(3-y)(3-z)=abc=8\\ &\circ \quad (3-x)+(3-y)+(3-z)=a+b+c=9-(x+y+z)=9-3=6\end{aligned}$.

Selanjutnya adalah

$\begin{aligned}&\text{Menentukan bilangan bulat}\:\: a,b,c\:\: \textrm{yang memenuhi persamaan}\\ &\bullet \quad abc=8\\ &\bullet \quad a+b+c=6\\ &\textrm{Faktor dari 8 adalah}:\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8\end{aligned}$.

Selanjutnya kita tentukan saja beberapa nilai yang tersebut di atas, yatu:

$\begin{aligned}&\bullet \quad (2,2,2)\Rightarrow 2.2.2=8\quad \textrm{dan}\quad 2+2+2=6\:\: (\textrm{memenuhi})\\ &\bullet \quad (-1,-1,8)\Rightarrow (-1).(-1).8=8\quad \textrm{dan}\quad (-1)+(-1)+8=6\:\: (\textrm{memenuhi})\\\end{aligned}$.

Sekarang tinggal menentukan solusi (x,y,z), yaitu:

$\begin{aligned}&\text{Ingat kembali bahwa}:\\ &\begin{cases}x=3-a\\ y=3-b\\z=3-c\end{cases}\\&\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline (2,2,2)&(-1,-1,8)&(-1,8,-1)&(8,-1,-1)\\\hline \begin{cases}x=3-2\\ y=3-2\\z=3-2\end{cases}&\begin{cases}x=3-(-1)\\ y=3-(-1)\\z=3-8\end{cases}&\begin{cases}x=3-(-1)\\ y=3-8\\z=3-(-1)\end{cases}&\begin{cases}x=3-8\\ y=3-(-1)\\z=3-(-1)\end{cases}\\\hline (x,yz)&(x,yz)&(x,yz)&(x,yz)\\\hline (1,1,1)&(4,4,-5)&(4,-5,4)&(-5,4,4)\\\hline\end{array}\end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA:

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA