$\begin{aligned}&\text{Tentukan semua solusi bilangan bulat pada persamaan}\\ &\qquad 3=x+y+z=x^{3}+y^{3}+z^{3}\end{aligned}$
Perhatikan langkah solusinya berikut
$\begin{aligned}&\text{Untuk menentukan semua solusi bulat}\: (x,y,z)\: \textrm{yang memenuhi}\\ &\textrm{sistem persamaan}\\ &1.\quad x+y+z=3\\ &2.\quad x^{3}+y^{3}+z^{3}=3\\ &\textrm{Kita dapat menggunkaan identitas aljabar berikut}\\ &\bullet \quad x^{\displaystyle 3}+y^{\displaystyle 3}+z^{\displaystyle 3}-3xyz=(x+y+z)((x-y)^{\displaystyle 2}+(y-z)^{\displaystyle 2}+(z-x)^{\displaystyle 2})\\&\bullet \quad x^{\displaystyle 3}+y^{\displaystyle 3}+z^{\displaystyle 3}-3xyz=(x+y+z)(x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}-xy-xz-yz)\\ &\textrm{Substitusikan nilai pada poin 1 dan 2 di atas ke persamaan titik hitam ke-2}\\ &\text{yaitu}:\\ &3-3xyz=3(x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}-xy-xz-yz)\\ &\Leftrightarrow 1-xyz=(x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}-xy-xz-yz).....................(1)\\ &\textrm{Perhatikan pula identitas berikut}\\ &(x+y+z)^{\displaystyle 2}=x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}+2(xy+xz+yz)\\ &\textrm{Substitusikan pula persamaan 1 ke persamaan tersebut di atas, yaitu}\\ &3^{\displaystyle 2}=9=x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}+2(xy+xz+yz)\\ &\Leftrightarrow x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+z^{\displaystyle 2}=9-2(xy+xz+yz)...........................(2)\\ &\textrm{Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) dan hasilnya adalah:}\\ &1-xyz=((9-2(xy+xz+yz))-xy-xz-yz)\\ &\Leftrightarrow 3(xy+xz+yz)-xyz=8\end{aligned}$.
Langkah berikutnya hubungkan keterkaitan akar-akar suku banyak (Teorema Vieta) ke polinom monik. Polinom monik maksudnya jenis polinom dengan koefisien pangkat tertinggi sama dengan 1, yaitu:
$\begin{aligned}&t^{\displaystyle 3}-e_{1}t^{\displaystyle 2}+e_{2}t-e_{3}=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\circ \quad e_{1}=x+y+z=3\\ &\circ \quad e_{2}=xy+xz+yz\\ &\circ \quad e_{3}=xyz\\ &\textrm{Karena}\:\:\: x,y,z\:\:\: \textrm{akar-akar, maka}\:\: t\in \left\{ x,y,z \right\}\:\: \textrm{berlaku}\\ &\bullet \quad t^{\displaystyle 3}=e_{1}t^{\displaystyle 2}-e_{2}t+e_{3}\\ &\bullet \quad 3e_{2}-e_{3}=8\Rightarrow e_{3}=3e_{2}-8\\ &\textrm{Perhatikan pula identitas aljabar bentuk}\\ &(x+y+z)^{\displaystyle 3}-(x^{\displaystyle 3}+y^{\displaystyle 3}+z^{\displaystyle 3})=3(x+y)(x+z)(y+z)\\ &\textrm{Substitusikan nilai poin 1 dan 2 awal di atas ke persamaan tersebut di atas}\\ &3^{3}-3=3(x+y)(x+z)(y+z)\Leftrightarrow 8=(x+y)(x+z)(y+z)\\\\ \end{aligned}$.
Untuk mempermudah solusi, langkah berikutnya penyederhanaan faktor, yaitu:
$\begin{aligned}&\text{Karena}\:\: x+y+z=3,\:\: \textrm{dapat disederhanakan menjadi}\\ &\bullet \quad x+y=3-z=a\\ &\bullet \quad y+z=3-x=b\\ &\bullet \quad z+x=3-y=c\\ &\textrm{Sehingga persamaan menjadi}\\ &\circ \quad (3-x)(3-y)(3-z)=abc=8\\ &\circ \quad (3-x)+(3-y)+(3-z)=a+b+c=9-(x+y+z)=9-3=6\end{aligned}$.
Selanjutnya adalah
$\begin{aligned}&\text{Menentukan bilangan bulat}\:\: a,b,c\:\: \textrm{yang memenuhi persamaan}\\ &\bullet \quad abc=8\\ &\bullet \quad a+b+c=6\\ &\textrm{Faktor dari 8 adalah}:\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8\end{aligned}$.
Selanjutnya kita uji beberapa nilai yang tersebut di atas, yatu:
