Contoh Soal Fungsi

1.Relasi berikut yang akan berupa fungsi adalah....a.f(x)=xb.f(x)=1xc.f(x)=x+1d.f(x)=x1e.f(x)=|x|Jawab:NoFungsiGrafik1.af(x)=y=xy2=x1.bf(x)=y=1x(1y)2=x1.cf(x)=y=1+x(y1)2=x1.df(x)=y=x1(y+1)2=x1.ef(x)=y=|x|y={x jikax0x jika x<0Dengan prepeta yang berbedaakan menghasilkan peta yangberbeda pula (fungsi bijektif).

2.Fungsi dari himpunan A ke himpunan B berikut termasuk jenis fungsi.


..Relasi berikut yang akan berupa fungsi adalah....a.fungsi umumb.fungsi satu-satu, tetapi bukan fungsi padac.fungsi pada, tetapi bukan fungsi satu-satud.fungsi pada dan satu-satue.tidak ada jawaban yang benarJawab:NoKeteranganAlasan2.aSesuaiSesuai definisi fungsi2.bSalahKarena bukan fungsi satu-satu(fungsi injektif)walau benar dikatakan bukanfungsi pada (fungsi surjektif)2.cSalahKarena bukan fungsi pada(fungsi surjektif)walau benar dikatakan bukan fungsi satu-satu (fungsi injektif)2.dSalahJelas bukan fungsi pada dan satu-satu(fungsi bijektif)2.eSalahTidak sesuai.

3.Himpunan pasangan terurut yang ditunjukkan oleh fungsif:x2(x+1)2dari domain{1,0,1,2}adalah....a.{(1,2),(0,3),(1,5),(2,7)}b.{(1,2),(0,1),(1,2),(2,7)}c.{(1,1),(0,1),(1,4),(2,7)}d.{(1,0),(0,3),(1,2),(2,7)}e.{(1,0),(0,4),(1,5),(2,7)}Jawab:f:x2(x+1)212(1+1)2=20=2....(1,2)02(0+1)2=21=1....(0,1)12(1+1)2=24=2....(1,2)22(2+1)2=29=7....(2,7).

4.Dari beberapa fungsi berikut yang merupakan fungsi genap adalah....a.f(x)=x2+|x|1b.f(x)=x3|x|+xc.f(x)=x|x|+xd.f(x)=x1e.f(x)=42xJawab:Suatu fungsidinamakan fungsi genapjikaf(x)=f(x)Nof(x)f(x)Keterangan4.ax2+|x|1x2+|x|1f(x)=f(x)4.bx3|x|+xx3|x|xf(x)f(x)4.cx|x|+xx|x|xf(x)f(x)4.dx1x1f(x)f(x)4.e.42x4+2xf(x)f(x)

5.Diketahui himpunanA={x|xadalah faktor prima dari16}B={x|xadalah faktor dari16}Banyaknya pemetaan dariAkeBadalah....a.1d.25b.2c.5e.32Jawab:A={x|xadalah faktor prima dari16}={2}n(A)=1B={x|xadalah faktor dari16}={1,2,4,8,16}n(B)=5Banyaknya pemetaan dariAkeBadalah:=n(B)n(A)=51=5



Lanjutan Materi Fungsi

F. Domain, Kodomain dan Range Fungsi

Suatu fungsi  f dari himpunan A ke himpunan B  dituliskan dengan bentuk  f:AB. Jika fungsi  f  memetakan  xA  ke  yB, maka dituliskan dengan  f:xy  atau  f:xf(x).

Perhatikan gambar berikut sebagai ilustrasinya

  • Himpunan  A  sebagai Domain/daerah asal/prapeta dari fungsi  f
  • Himpunan  B  sebagai Kodomain/daerah kawan dari fungsi  f
  • Himpunan semua bayangan (bagian dari peta) disebut sebagai Range/daerah hasil  dari fungsi  f.
CONTOH SOAL

1. Perhatikanlah gambar berikut

dan tentukanlah domain, kodomain, serta range fungsinya

Dariilustrasi di atas diperoleh bahwa:Domain:Df=A={a,b,c,d}Kodomain:Kf=B={1,2,3,4,5}Range:Rf={1,2,3,5}B.

2.Tentukanlah domain dan range dari fungsif(x)=x2xJawab:DomainRangeKumpulan nilaixyang mungkin, yaitu:x2x0x(x1)0dengan garis bilangan++++++01Jadi,Df={x|x0ataux1,xR}Hasil akar pangkat 2tidak pernah negatifJadi,Rf={y|y0}.

3.Tentukanlah domain daria.f(x)=2x+3b.f(x)=23x15c.g(x)=x1x2x6d.g(x)=x21e.h(x)=3x+2f.h(x)=x1x2x6g.k(x)=2logx22x15h.k(x)=(x+2)log(x22x3)Jawab:.

.a.f(x)=2x+3Df={x|xR}b.f(x)=23x15supaya terdefinisimaka,3x150x5,sehinggaDf={x|x5,xR}c.g(x)=x1x2x6supaya terdefinisimaka,x2x60x3danx2,sehinggaDg={x|x3danx2,xR}d.g(x)=x21makax210(x+1)(x1)0Dg={x|x1ataux1,xR}e.h(x)=3x+2maka3x+20x23Dh={x|x23,xR}f.h(x)=x1x2x6=(x1)(x3)(x+2)=x1(x3)(x+2)maka,x1(x3)(x+2)0Dh={x|2<x1ataux>3,xR}.

.g.k(x)=2log(x22x15)syarat(x22x15)>0(x5)(x+3)>0Dk={x|x<3ataux>5,xR}h.k(x)=(x+2)log(x22x3)syarat1.{(x+2)>0x>2(x+2)0x22.(x22x3)>0(x3)(x+1)>0Dk={x|2<x<1ataux>3,xR}.

4.Diketahui bahwa 2 buah fungsif(x)=2x+1dang(x)=1xa.(f+g)(x)c.(f.g)(x)b.(fg)(x)d.(fg)(x)Jawab:a.(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x+1)+1xD(f+g)={x|x1,xR}b.(fg)(x)=f(x)g(x)=(2x+1)1xD(fg)={x|x1,xR}c.(f.g)(x)=f(x).g(x)=(2x+1)1x=(2x+1)2(1x)(2x+1)2(1x)0D(f.g)={x|x1,xR}d.(fg)(x)=............................................................

DAFTAR PUSTAKA

  1. Sodyarto. Nugroho, Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
  2. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, & Subagya. 2005. Matematika 2 untuk SMA Kelas 2 IPA. Jakarta: BUMI AKSARA.

Fungsi Pembangkit untuk Kombinasi (Pengayaan)

 F. Fungsi Pembangkit

Pandang(an)=(a0,a1,a2,a3,)suatu barisanFungsi Pembangkit Biasa (FPB) dari barisan(an)n=0anxn=a0+a1x+a2x2+a3x3+CONTOH 1Diketahuif(x)=11x.Tentukanlah barisan(an)yang terkait pada FPB di atasJawabDiketahui bahwaf(x)=11xkarena11x=1+x+x2+x3+x4+x5+maka11xadalah fungsi pembangkit dari barisan(an)=(1,1,1,1,1,)

CONTOH 2f(x)=2+3x2+214x.Tentukanlah barisan(an)yang terkait pada FPB di atasJawabDiketahui bahwaf(x)=2+3x2+214xf(x)=2+3x2+2(114x)=2+3x2+2n=0(4x)n=2+3x2+2n=04nxn=2+3x2+2(40+41x+42x2+43x3+n=4(4n)n)=2+3x2+28x+32x2+128x3+2n=4(4x)n=4+8x+35x2+128x3+2n=4(4x)nmakaf(x)adalah fungsi pembangkit dari barisan(an)=(4,8,35,128,,2(4)n)

G. Fungsi Pembangkit untuk Kombinasi

Perhatikanlah permasalahan berikut:

Ada berapa cara jika ada 3 objeka,b,dancdiambilkobjek dengan ketentuan bahwaaterambil maksimum 1,bterambil maksimum2,cterambil maksimum 1PembahasanPermasalahan di atas dapat dimodelkan((ax)0+(ax)1)((bx)0+(bx)1+(bx)2)((cx)0+(cx)1)=(a0x0+a1x1)(b0x0+b1x1+b2x2)(c0x0+c1x1)=(1+ax)(1+bx+b2x2)(1+cx)=1+(a+b+c)x+(ab+ac+bc+b2)x2+(abc+ab2+b2c)x3+ab2cx4Sebagai misal Untuk 2 huruf, maka koefisien darix2yaitu:ab,ac,bc,danbbada 4 cara.Sehingga(a+b+c)xada 3 cara untuk 1 huruf(ab+ac+bc+b2)x2ada 4 cara untuk 2 huruf(abc+ab2+b2c)x3ada 3 cara untuk 3 hurufab2cx4ada 1 cara untuk 4 hurufSelanjutnya coba kita bandingkan dengan FPB.FPB dari permasalahan di atas adalah:f(x)=(1+x)(1+x+x2)(1+x)=13x4x23x3x4

Sehingga secara UMUMMisalkan terdapatpsekian objek.Jika adan1objek pada tipe ke1,dan adan2objek pada tipe ke2,lalu adan3objek pada tipe ke3,dstdan adanpobjek pada tipe kep,Dan misalkantrmenyatakan banyaknyacara mengambilrobjek dengan membolehkanmengambil sembarang banyak objek pada tipa tipe,fungsi pembangkit untuktradalah:f(x)=trxr,di manaf(x)=(1+x+x2++xn1)(1+x+x2++xn2)(1+x+x2++xnp)Nantinyatradalah koefisienxrdalamf(x)Selanjutnya dalam peruntukannya dibagi menjadia.Fungsi Pembangkit Tanpa Pengulanganf(x)=(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)nfaktorf(x)=(1+x)n=r=0n(nr)xr(teorema binom)b.Fungsi Pembangkit Dengan Pengulanganf(x)=(1+x+x2+)(1+x+x2+)(1+x+x2+)nfaktorf(x)=(1+x+x2+)n=(11x)n=(1x)n=r=0(nr)(1)rxr(teorema binom)Selanjutnya, untukr>0koefisienxrpadaf(x)di atas adalah:

(nr)(1)r=(n)(n1)(nr+1)(nr)!r!(nr)!(1)r=(n)(n1)(nr+1)r!(1)r=n(n+1)(n+r1)r!=(n+r1)(n+r2)(n+1)nr!=(n+r1)(n+r2)(n+1)n(n1)!r!(n1)!=(n+r1)!r!(n1)!=(n+r1r)Sehinggaf(x)=r=0(nr)(1)rxr=r=0(n+r1r)xr=trxrmakatr=(n+r1r)

Dan yang perlu diingat untuk selanjutnyaadalah bahwa untukx0dannbilangancacah berlaku identitas1xn+11x=1+x+x2+x3++xn

CONTOH SOAL

  1. Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.

Binomial Newton

 Pengayaan:

E. Binomial Newton

E. 1 Binomial Newton

Perhatikanlah susunan bilangan berikut1=C011=C11(a+b)11=C022=C121=C22(a+b)21=C033=C133=C231=C33(a+b)31=C044=C146=C244=C341=C44(a+b)4dst(a+b)(a+b)nSusunan bilangan-bilangan di atas selanjutnyadinamakanSegitiga Pascal

BilanganCrn=(nr)merupakan koefisiendari binomial(a+b)nSelanjutnya perhatikanlah bahwa untukn=1,2,3,4,berlaku(a+b)n=C0nanb0+C1nan1b1+C2nan2b2+C3nan3b3++Cn3na3bn3+Cn2na2bn2+Cn1na1bn1+Cnna0bn=r=0nCrnanrbr

E. 2 Perluasan Binomial Newton

Untuk bilangan realndan bilangannon negatifr,serta|A|<1,berlaku:(1+A)n=r=0nCrnAr

E. 3 Teorema Multinomial

Pada bentuk multinomial dengan ekspresi  (x1+x2+x3++xr)n  dengan n dan r bilangan bulat positif, maka koefisien dari  x1n1x2n2x3n3xrnr   adalah  n!n1!n2!n3!nr!  dinotasikan dengan  (nn1,n2,n3,,nr)

CONTOH SOAL

1.Misalkan untuknbilangan bulatPositif. Tunjukklan bahwaa.(1+x)n=r=0nCrnxr=r=0n(nr)xrb.(n0)+(n1)+(n2)++(nn)=2nBuktia.(1+x)n=C0n1nx0+C1n1n1x1+C2n1n2x2+C3n1n3x3++Cn3n13xn3+Cn2n12xn2+Cn1n11xn1+Cnn10xn=C0n+C1nx+C2nx2+C3nx3++Cn3nxn3+Cn2nxn2+Cn1nxn1+Cnnxnataudengan bentuk lain=(n0)+(n1)x+(n2)x2+(n3)x3++(nn3)xn3+(nn2)xn2+(nn1)xn1+(nn)xn=r=0n(nr)xrb.(1+x)nlihat jawaban poina,saatx=1(1+1)n=(n0)+(n1)1+(n2)12+(n3)13++(nn3)1n3+(nn2)1n2+(nn1)1n1+(nn)1n(2)n=(n0)+(n1)+(n2)+(n3)++(nn1)+(nn)=r=0n(nr)Sehingga2n=r=0n(nr)

2.Misalkan untuknbilangan bulatPositif. Tunjukklan bahwa(n0)(n1)+(n2)+(1)n(nn)=0BuktiSebelumnya diketahui bahwa(a+b)n=r=0n(nr)anrbrataur=0n(nr)anrbr=(a+b)nsaata=b=1,makar=0n(nr)1nr1r=(1+1)nr=0n(nr)=2n...(bukti no. 1.b)saata=1&b=1makar=0n(nr)1nr(1)r=(11)n=0Sehingga(n0)(n1)+(n2)+(1)n(nn)=0

3.Untukn,r0,tunjukkan bahwaa.(nr)=(nnr)b.(nr)=nr(n1r1)c.(nr)=nr+1r(nr1)d.(nr)=(1)k(n+r1r)e.(nr)+(nr+1)=(n+1r+1)f.(nm)(mr)=(nr)(nrmr)Bukti:a.(nr)=n!r!(nr)!=n!(nr)!(n(nr))!=n!(nr)!r!=(nnr)b.(nr)=n!r!(nr)!=n.(n1)!r.(r1)!((n1)(r1))!=nr(n1)!(r1)!((n1)(r1))!=nr(n1r1)c.(nr)=n!r!(nr)!=n!r.(r1)!(nr)!×((nr)+1)((nr)+1)=nr+1r×n!(r1)!((nr)+1)!=nr+1r×n!(r1)!(n(r1))!=nr+1r(nr1)d.Silahkan dicoba buat latihane.Silahkan dicoba buat latihanf.Silahkan dicoba buat latihan

4.Tentukan nilai daria.(11)+(21)+(31)++(1001)b.(100100)+(101100)+(102100)++(200100)Jawab:a.(11)+(21)+(31)++(1001)Sebelumnya perhatikan=(11)+(21)+(31)++(n1)Karena(nr1)+(nr)=(n+1r)Saat(11)+(21)=(22)+(21)=(32)Sehingga(11)+(21)(32)+(31)(42)+(41)(52)maka=(11)+(21)+(31)++(n1)=(n+12)Jadi,(11)+(21)+(31)++(1001)=(1012)bSilahkan coba sendirisebagai latihan

5.Tentukanlah nilai daria.r=01000(1000r)b.(20091)+(20092)+(20093)++(20092004)(OSK 2009)Jawab:a.r=01000(1000r)=r=01000(1000r)11000r1r=(1+1)1000=21000b.r=02009(2009r)=22009karena(nr)=(nnr),maka(20090)=(20092009),(20091)=(20092008),,(20091004)=(20091005)Sehingga(20090)+(20091)+(20092)++(20092009)=22009(20090)+(20091)+(20092)++(20091004)=220092=220081+(20091)+(20092)+(20093)++(20091004)=22008(20091)+(20092)+(20093)++(20091004)=220081

  1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
  2. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung: SEWU.
  3. Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.
  4. Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.

Contoh 3 Soal dan Pembahasan Materi Permutasi dan Kombinasi

11.Dalam suatu rapat mengelilingi meja bundaryang dihadiri sebanyak 7 oranga.ada berapa susunan yang terjadi?b.Jika A dan B bagian dari 7 orang iniduduknya selalu berdampingan, makaposisi duduk yang terbentuk sejumlah?c.Jika seperti poin b, tetapi yangduduk berdampingan atau saling berdekatanadalah A, B, dan CJawab:Diketahui bahwan=7a.Posisi duduk melingkarnya=(71)!=6!=720ataun=r=7orang, maka=P(7,7)7=6!=720b.Ada syarat A dan B berdampingan, makaA dan B dihitung 1 objek dulu, sehingga totalobjek ada 1 objek ditambah sisanya = 6 objek.Dari 6 objek ini yang dianggap duduk melingkardengan 2 orang (A dan B) bisa gantian posisi.sehingga(61)!×2!=5!×2!=240atau=P(6,6)6×P(2,2)=5!×2!=120×2=240b.3 orang (A, B, dan C) dianggap 1 objekdulu sehigga yang duduk posisi melingkardianggap 5 orang, sehingga perhitungannya=P(5,5)5×P(3,3)=24×6=144

12.Suatu kelompok yang terdiri dari 20 remajaa.Jika mereka saling berjabat tanganseseorang dengan lainnya hanya satu kalimaka banyak jabat tangan yang terjadi?b.Jika mereka membentuk regu voly, makaberapa banyak regu voly yang terbentuk?c.Jika mereka membentuk regu sepak bola,maka banyak regu sepak bola yang terbentuk?Jawab:Diketahui bahwan=20a.Karena jabat tangan dilakukan hanya hanyapada dua remaja yang berbeda dan urutantidak diperlukan, maka hal ini persoalankombinasi. Sehingga banyaknya jabat tangan(nr)=n!r!(nr)!(202)=20!2!(202)!=20!2!×18!(202)=20.19.18!2.18!=190b.Karena satu regu voli ada 6 orang, maka(206)=20!6!(206)!(206)=20!6!×14!(206)=20.19.18.17.16.15.14!720×14!c.Karena satu regu terdiri dari 11 orang,maka(2011)=20!11!(2011)!=20!11!×9!

13.Jajargenjang yang dapat dibuat olehhimpunan empat garis sejajar yangberpotongan dengan garis yang terhimpundalam 7 garis sejajar adalah....Jawab:Diketahui bahwa kombinasi dari dua himpunangaris sejajar yang masing-masing berjumlah4 dan 7 garis, makabanyak jajar genjang=(42)×(72)=4!2!(42)!×7!2!×(72)!=4×3×2!2×2!×7×6×5!2×5!=6×21=126jajar genjang

14.Diketahui segi enam beraturan. Tentukanlaha.Banyak diagonal dapat dibentuk?b.Banyak segi tiga di dalamnya?c.Banyak perpotongan diagonal-diagonaljika tidak ada titik-titik perpotonganyang sama?Jawab:Diketahui segindengann=6Dan perlu diingat bahwa di sini tidak diperlukanurutan mana yang perlu didahulukan, makarumus kombinasi yang perlu digunakan, yaitua.Banyak diagonalnya adalah:(n2)n=n(n3)2=6.(63)2=6.32=9b.Banyaknya segi tiga, berarti melibatkantiga garis, maka(63)=6!3!×(63)!=6×5×4×3!6×3!=20c.Satu buah titik potong dapat dibentukdengan dua garis ekuivalen dengan empatbuah titik sudut, maka banyaknya titikpotong adalah:(64)=6!4!×(64)!=6!4!×2!=15



15.Perhatikalah dua ilustrasi gambar berikut
Gambar (1)


Gambar (2)
.Tentukanlaha.jalur terpendek dari titik A ke Bpada gambar (1)b.jalur terpendek dari titik P ke Qpada gambar (2)Jawab:a.Perhatikanlah bahwa langkah dari titik Ake titik B harus terdiri dari 8 langkah, yaitu3 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atasKarena yang diinginkan lintasan terpendekdan tidak ada kekhususn harus dimulai darimana, maka banyaknya langkah berbdedadan terpendek adalah:(83)atau(85).Misal kita hitung salahsatunya saja:(83)=8!3!(85)!=8!3!×5!=8.7.6.5!6.5!=56
.b.Untuk poin b, perhatikanlah ilustrasigambar berikut(untuk memudahkanperhitungan). Tempatkan titik-titikbantu A, B, C, D, E, dan F sepertipada gambar berikut

..Perhatikanlah untuk setiap lintasanterpendek dari titik P ke titik Qdapat dipastikan akan melewatititik A, B, C, dan D. Sehingga darikeempat titik itulah akan diperolehrute PAQ, PBQ, PCQ, dan PDQ.Sehingga banyak rute terpendek darititik P ke Q yang selanjutnya kitasimbolkan dengan#PQadalah:#PQ=#PAQ+#PBQ+#PCQ+#PDQ=(40)(50)+(43)(51)+#PECQ+#PFCQ+#PFDQ=1.1+4.5+(32)(30)(32)+(31)(31)(32)+(31)(30)(30)=1+20+3.1.3+3.3.3+3.1.1=1+20+9+27+3=60


DAFTAR PUSTAKA

  1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
  2. Ibrahim, Mussafi, N, S, M. 2013. Pengantar Kombinatorika dan Teori Graf. Yogyakarta: GRAHA ILMU.
  3. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
  4. Sobirin. 2006. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika (SMA Kelas XI IPA). Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
  5. Sukino. 2011. Maestro Olimpiade Matematika SMP Seri B. Jakarta: ERLANGGA.
  6. Susyanto, N, 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA.
  7. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 2 Kelas 2 Berdasarkan Kurikulum 1994 Suplemen CBPP 1999. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh 2 Soal dan Pembahasan Materi Permutasi dan Kombinasi

6.Dari angka-angka 2,3,5,6,7, dan 9 dibuatsusunan bilangana. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4angka berlainanb. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4angka boleh berulangc. berapa banyak bilangan ganjil yang terdiridari 4 angka berlainand. berapa banyak bilangan genap yang terdiridari 4 angka berlainane. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4angka berlainan yang lebih dari 2021f. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4angka boleh berulang yang lebih dari 2021g. berapa banyak bilangan genap yang terdiridari 4 angka berlainan yang lebih dari 2021h. berapa banyak bilangan ganjil yang terdiridari 4 angka berlainan yang lebih dari 2021Jawab:

.a.P(6,4)=6!(62)!=6!2!=6.5.4.3=360b.P(6,1)4=64=1296c.Untuk digit satuan ditentukan dulu, yaitukarena digit ganjil ada 4, maka ada 4 pilihansisanya disebar ke slot ribuan sampai puluhanmakakotakkotakkotakkotak1234digitdigitdigitdigitribuanratusanpuluhansatuanP(5,1)P(4,1)P(3,1)P(4,1)pilihanpilihanpilihanpilihanSehingga banyak bilangan yg terjadiP(5,1).P(4,1).P(3,1).P(4,1)=5.4.3.4=240d.Cara pertamaSemisal dengan jawaban poin c, Karenadigit genap ada 2, maka digit satuan ada2 pilihan, sisanya disebar, yaitukotakkotakkotakkotak1234digitdigitdigitdigitribuanratusanpuluhansatuanP(5,1)P(4,1)P(3,1)P(2,1)pilihanpilihanpilihanpilihanSehingga banyak bilangan yg terjadiP(5,1).P(4,1).P(3,1).P(2,1)=5.4.3.2=120Cara keduaJawaban poin a dikurangi poin c, yaitu360240=120

.e.Cara PertamaKarena digit pilihannya, 2,3,5,6,7, dan 9disusun bagaimanapun bilangan 4 digityang diambilkan dari bilangan di ataspasti semunya akan lebih besar dari 2021maka banyaknya bilangan yang terjadiadalah:kotakkotakkotakkotak1234digitdigitdigitdigitribuanratusanpuluhansatuanP(6,1)P(5,1)P(4,1)P(3,1)pilihanpilihanpilihanpilihan>2021Sehingga totalnya banyaknyaP(6,1)×P(5,1)×P(4,1)×P(3,1)=6.5.4.3=360Cara KeduaSama seperti jawaban pada poin af.Sama persis jawaban poin b, yaituP(6,1)4=64=1296Jika diuraikan adalah sebagai berikutkotakkotakkotakkotak1234digitdigitdigitdigitribuanratusanpuluhansatuanP(6,1)P(6,1)P(6,1)P(6,1)pilihanpilihanpilihanpilihan>2021

7.Andi akan mengambil 4 buah bola dari10 warna yang berbeda. Berapakah banyakkombinasi warna yang berbeda yang diambiloleh AndiJawab:n=10danr=4C(n,r)=n!r!(nr)!C(10,4)=10!4!(104)!=10!4!×6!=10×9×8×7×6!(4×3×2×1)×6!=420kombinasi warna bola berbeda

8.Berapa banyak cara dapat memilih untuk3 perwakilan dari 10 anggota suatukelompok, jikaa. tanpa perlakuan khususb. salah seorang harus terpilihJawab:a.Dengan tanpa perlakuanmemilih 3 orang dari 10 orang adalah:C(10,3)=10!3!(103)!=10!3!×7!=120b.Dengan perlakuan 1 orang terpilih(1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan)memilih 2 orang dari 9 orang adalah:C(9,2)=9!2!(92)!=9!2!×8!=36

9.Berapa banyak cara dapat memilih 2 bukumatematika dan 3 buku fisika serta 4 bukuekonomi pada suatu lemari buku yangdi dalamnya terdapat 10 buku matematika,11 buku fisika dan 12 buku ekonomiJawab:Banyakcara pemilihan tersebut adalah:=C(10,2)×C(11,3)×C(12,4)=10!2!×8!×11!3!×8!×12!4!×8!=10×91×2×11×10×91×2×3×12×11×10×91×2×3×4=3675375

10.Banyak susunan huruf yang berbedapada satu baris yang dapat dibentukdari huruf-huruf pada kata "MATEMATIKA"adalah....Jawab:{Jumlah hurufn=10Penyusunnya, yaitu :{M jumlah =2A jumlah =3T jumlah =2E banyak =1I banyak =1K banyak =1SehinggaP(10;2,3,2,1,1,1)=10!2!.3!.2!.1!.1!.1!=10×9×8×7×6×5×44=10×9×8×7×6×5=151200

Contoh 1 Soal dan Pembahasan Materi Permutasi dan Kombinasi

1.Bentuk sederhana daria.5!+6!+7!b.(n+1)!(n1)!c.(n+2)!n!d.(n2)!(n+1)!Jawab:a.5!+6!+7!=5!+6.5!+7.6.5!=(1+6+42).5!=49.5!=49.120=5880b.(n+1)!(n1)!=(n+1)n(n1)!(n1)!=(n+1)n=n2+nc.(n+2)!n!=(n+1)(n+1)n!n!=(n+2)(n+1)=n2+3n+2d.(n2)!(n+1)!=(n2)!(n+1)n(n1)(n2)!=1(n+1)n(n1)=1n3n

2.Tentukanlah nilainyang memenuhipersamaan berikuta.n!3!6!(n3)!=334b.38!27!+16!=5n+38!c.7!5!2!:10!5!5!=1:4nJawab:a.n!3!6!(n3)!=334n(n1)(n2)(n3)!.3!6.5.4.3!(n3)!=334n(n1)(n2)=33.6.5=11.10.9n(n1)(n2)=11.(111).(112)n=11b.38!27!+16!=5n+38!32.8+568!=5n+38!438!=5n+38!43=5n+35n=40n=8c.7!5!2!:10!5!5!=1:4n4n=5!2!10!7!5!5!4n=5!2!10.9.8.7!7!5!5!n=3

3.Tentukanlah nilainyang memenuhipersamaan berikuta.P(n,2)=42b.7.P(n,3)=6.P(n+1,3)c.3.P(n,4)=P(n1,5)Jawab:a.P(n,2)=42n!(n2)!=42n!(n2)!=n×(n1)×(n2)!(n2)!=42n×(n1)=7.6=7.(71)n=7b.7.P(n,3)=6.P(n+1,3)7.n!(n3)!=6(n+1)!(n+13)!7n!(n3)!=6.(n+1).n!(n2)!7(n3)!=6n+6(n1)(n3)!7(n2)=6n+67n6n=6+14n=20c.3.P(n,4)=P(n1,5)3.n!(n4)!=(n1)!(n15)!3.n.(n1)!(n4)!=(n1)!(n6)!3n(n4)(n5).(n6)!=1(n6)!3n=(n4)(n5)3n=n29n+20n212n+20=0(n2)(n10)=0n=2tidak memenuhiataun=10jadi,n=10

4.Jika 10 siswa akan dipilih 4 orang untukmenjadi ketua kelas, wakil, sekretaris danseorang bendahara, maka banyak susunanterjadi adalah....Jawab:Penyusunan memerlukan urutanmaka perlu digunakan permutasi, yaitu:P(n,r)=n!(nr)!P(10,4)=10!(104)!=10!6!=10×9×8×7×6!6!=5040

5.Jika dari kota A ke kota B terdapat 3 jalur.Dan dari kota B ke kota C terdapat 4 jalur,serta dari kota C sampai ke kota D ada 5 jalurBanyak jalan dari kota A ke kota D adalah....Jawab:Jalur yang ada semuanya berbedamaka perlu digunakan permutasi, yaitu:P(n,r)=n!(nr)!adari A ke B ada 3 jalur cukup pilih satu, makaP(3,1)=3!(31)!=3!2!=3bdari B ke C ada 4 jalur cukup pilih satu, makaP(4,1)=4!(41)!=4!3!=4cdari C ke D ada 5 jalur cukup pilih satu, makaP(5,1)=5!(51)!=5!4!=5Jadi, total jalur yang dapat di lalui dari A sampai D adalah:P(3,1)×P(4,1)×P(5,1)=3×4×5=60

Notasi Faktorial, Permutasi dan Kombinasi

 C. Faktorial

Perhatikanlah tabel berikut yang berisi perkalian bilangan terurut pada bilangan asli

n!=1×2×3×4××(n2)×(n1)×nataun!=n×(n1)×(n2)××4×3×2×1dengan(n+1)!=(n+1)×n!untukn1,nNserta didefinisikan bahwa0!=1!=1CONTOH0!=11!=12!=2×1=23!=3×2×1=64!=4×3×2×1=245!=5×4×3×2×1=1206!=6×5×4×3×2×1=720n!=n×(n1)×(n2)××4×3×2×1

CONTOH SOAL

1.Tentukanlah nilaia.3!e.6!4!i.2!0!+3!1!+4!2!b.5!f.10!6!j.2!0!×3!1!+4!2!c.0!+1!+2!+3!g.7!3!×4!k.3×4!3!(5!5!)d.(2!)!+(3!)!h.13!12!+12!l.3!+5!+7!4!+6!Jawab:a.3!=3.2.1=6b.5!=5.4.3.2.1=120c.0!+1!+2!+3!=1+1+2+6=10d.(2!)!+(3!)!=2!+6!=2+720=722e.6!4!=72024=30atau6!4!=6.5.4.3.2.14.3.2.1=6.5=30f.10!6!=10.9.8.7.6.5.4.3.2.16.5.4.3.2.1=....(silahkan diselesaikan sendiri)g.7!3!×4!=7.6.5.4.3.2.1(3.2.1)×(4.3.2.1)=....(silahkan juga diselesaikan sendiri)(silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri)

2.Sederhanakanlaha.n!(n1)!e.1n!+n(n+1)!1(n1)!b.(n+2)!(n+1)!f.(4n)!(4n+1)!+(4n)!(4n1)!c.(2n)!(2n+1)!g.1nn!(n1).(n2)!d.(n+2)!(n2+3n+2)h.1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!Jawab:a.n!(n1)!=n.(n1)!(n1)!=nb.(n+2)!(n+1)!=(n+2).(n+1)!(n+1)!=n+2c.(2n)!(2n+1)!=(2n)!(2n+1).(2n)!=12n+1d.(n+2)!n2+3n+2=(n+2)!(n+2).(n+1)=(n+2).(n+1).n!(n+2).(n+1)=n!(silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri sebagai latihan)h.1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!=(21).1!+(31).2!+(41).3!+(51).4!+...+(n+11).n!=2.1!+3.2!+4.3!+5.4!+...+(n+1).n!1!2!3!4!...n!=2!+3!+4!+5!+...+(n+1)!(1!+2!+3!+4!+...+n!)=(n+1)!1

3.Sederhanakanlah bentuk penjumlahan berikut31!+2!+3!+42!+3!+4!+53!+4!+5!++10098!+99!+100!Jawab:Perhatikanbahwa31!+2!+3!=31+2+6=39=13×22=21×2×3=23!=313!=33!13!=32!×313!=12!13!sehingga31!+2!+3!=12!13!42!+3!+4!==13!14!53!+4!+5!==14!15!10098!+99!+100!==199!1100!=12!1100!

D. Permutasi dan Kombinasi

IstilahPermutasiKombinasiDefinisiPermutasi r unsur dari n unsur adalahbanyaknya kemungkinan urutan r buahunsur yang dipilih dari n unsuryang tersedia.Tiap unsur berbeda danrnKombinasi r unsur dan n unsur adalahbanyaknya kemungkinan tidak terurutdalam pemilihan r unsur yang diambildari n unsur yang tersedia.Tiap unsurberbeda danrnTipeBentuk khusus kaidah perkalianBentuk khusus permutasiNotasinPr,Pnr,atauP(n,k)nCr,Crn,(nr),atauC(n,r)RumusP(n,r)=n!(nr)!(nr)=C(n,r)=n!r!(nr)!

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut

PermutasiPermutasidengan unsur yang samaSiklisP(n;n1,n2,n3,...,nk)=P(n,n)n1!n2!n3!...nk!=n!n1!n2!n3!...nk!{Siklis=(n1)!Kalung=(n1)!2

dan

KombinasiKombinasi dalamdengan pengulanganBinom NewtonC(n+r1,r)=C(n+r1,n1)(n+r1r)=(n+r1n1)(x+y)n=k=on(nr)xnkykKoefisien untukxnkyk,yaitusuku ke(k+1)adalah(nr)

serta


CONTOH SOAL

1.Jika di suatu kelas terdapat 4 orang akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara.Tentukanlah banyak cara memilih 3 orang tersebut?Jawab:Karena ada 4 orang, misal A, B, C, dan D yangakan dipilih 3 orang untuk menduduki posisiketua, sekretaris, dan bendahara, maka kita tinggalbuat permutasinya, yaitu posisi ketua dapat dipilih dengan 4 cara, sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara,dan bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. atauP(4,3)=4!(43)!=4!1!=4×3×2×11=24caraBerikut ilustrasinya dengan diagram pohon
{A{B{CABCDABDC{BACBDACDD{BADBCADCB{A{CBACDBADC{ABCADBCDD{ABDACBDCC{A{BCABDCADB{ACBADCBDD{ACDABCDBD{A{BDABCDACB{ADBACDBCC{ADCABDCB
2.Seorang anak akan mengambil 4 buah bola dari10 warna yang berbeda. Berapakah banyakkombinasi warna yang berbeda yang diambiloleh AndiJawab:n=10danr=4C(n,r)=n!r!(nr)!C(10,4)=10!4!(104)!=10!4!×6!=10×9×8×7×6!(4×3×2×1)×6!=420kombinasi warna bola berbeda

3.Berapa banyak cara dapat memilih untuk3 perwakilan dari 10 anggota suatukelompok, jikaa. tanpa perlakuan khususb. salah seorang harus terpilihJawab:a.Dengan tanpa perlakuanmemilih 3 orang dari 10 orang adalah:C(10,3)=10!3!(103)!=10!3!×7!=120b.Dengan perlakuan 1 orang terpilih(1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan)memilih 2 orang dari 9 orang adalah:C(9,2)=9!2!(92)!=9!2!×8!=36

4.Berapa banyak cara dapat memilih 2 bukumatematika dan 3 buku fisika serta 4 bukuekonomi pada suatu lemari buku yangdi dalamnya terdapat 10 buku matematika,11 buku fisika dan 12 buku ekonomiJawab:Banyakcara pemilihan tersebut adalah:=C(10,2)×C(11,3)×C(12,4)=10!2!×8!×11!3!×8!×12!4!×8!=10×91×2×11×10×91×2×3×12×11×10×91×2×3×4=3675375

DAFTAR PUSTAKA
  1. Johnaes, Kastolan, & Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial KBK 2004. Jakarta: YUDHISTIRA.
  2. Kartini, Suprapto, Subandi, & Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
  3. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.











Vektor di Dimensi Tiga

A. Vektor Di Ruang

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

NamaR3Vektor SatuanRuang (Bidang XYZ)e^a¯=a¯|a¯|{i=vektor satuanyang searah sumbu Xj=Vektor satuanyang searah sumbu Yk=Vektor satuansearah sumbu ZVektor nolO=(000)Vektor posisiOP=p=(p1p2p3)=p1i¯+p2j¯+p3j¯Besar VektorOP=p12+p22+p32

B. Operasi Vektor

1. Sifat-Sifat Aljabar Vektor

1.Komutatif penjumlahana+b=b+a2.Asosiatif penjumlahan(a+b)+c=a+(b+c)3.Elemen Identitasa+0=0+a=a4.Invers Penjumlahana+(a)=(a)+a=05.Perkalian dengan skalark(la)=(kl)ak(a+b)=ka+kbk(ab)=kakb6.Jika A, B, dan C segaris (Kolinear){AB=kBCAC=kABdll.
VektorContohz=ai+bj+ckdiketahuip=i2j+2kmaka pangjang vektorpadalah|p|=12+(2)2+22=1+4+4=9=3Vektor satuan daripadalahep=p|p|=(122)3=13(122)=(132323).

CONTOH SOAL.

1.Diketahui vektor-vektora=(214)b=(352),danc=(704),tentukanlah hasil daria.a+bb.6a+2bc.2ab+cd.12ca+34bJawab:aa+b=(214)+(352)=(2+(3)1+(5)(4)+2)=(23154+2)=(142)b.6a+2b=6(214)+2(352)=(18661024+4)=(12420)c.2ab+c2(214)(352)+(704)=(4+3+72+5+082+4)=(1776)d.12ca+34b=.
2.Diketahui vektor-vektora=(214)tentukanlah|a|Jawab:|a|=22+12+(4)2=4+1+16=21

2. Perkalian Skalar Dua Vektor

Konsep perkalian skalar dua buah vektor di ruang sama persis dengan konsep di bidang, yaitu:
ab=|a||b|cosθ.
Misalkan diketahui
a=(a1a2a3),b=(b1b2b3),makaab=(a1a2a3)(b1b2b3)=a1b1+a2b2+a3b3

CONTOH SOAL
1.Diketahui vektor-vektora=(214)b=(352),danc=(704),tentukanlah hasil daria.abb.acc.bcJawab:aab=(214)(352)=(2)(3)+(1)(5)+(4)(2)=658=19bac=(214)(704)=(2)(7)+(1)(0)+(4)(4)=14+016=2cbc=(352)(704)=(3)(7)+(5)(0)+(2)(4)=21+0+8=13.
2.Tentukanlah nilaitjikap=3i¯+tj¯+k¯danpp=13Jawab:pp=13pp=|p||p|cos0=13,ingat bahwa(p,p)=0dan nilaicos0=1,makapp=|p|2.1=13|p|2=13(32+t2+12)2=1332+t2+12=139+t2+1=13t2=1391=10t2=3t=±3
3.Diketahuip=(213)danq=(41t)Jikaptegak lurusqmakatentukanlah nilaitJawab:Diketahui bahwap=(213)danq=(41t)denganpdanqtegak lurusartinya(p,q)=90.Sehingganilaicos90=0makapq=|p||q|cosθpq=|p||q|0=0(213)(41t)=0(2)(4)+(1)(1)+(3)(t)=081+3t=03t=9t=3.

DAFTAR PUSTAKA
  1. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Persektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT TIGA SERANGKAI MANDIRI.



Lanjutan Contoh Soal Vektor Dimensi Dua (Bagian 3)

7Jikaa¯=(43)danb¯=(12)tentukanlaha.a¯+b¯d.(3a¯+3b¯)b.b¯+a¯e.2(a¯b¯)c.3(a¯+b¯)f.2a¯2b¯Jawab:aa¯+b¯=(43)+(12)=(4+13+2)=(51)bb¯+a¯=(12)+(43)=(1+42+(3))=(51)cd3a¯+3b¯=3(43)+3(12)=(129)+(36)=(12+39+6)=(153)ef

8.Perhatikanlah gambar berikut.

.Pada Balok ABCD.EFGH diatas diketahui DA = 4 cm, DC = 5 cm, dan DH 3 cm.Misalkaniadalah vektor satuan dengan arah sama denganDA,jadalah vektor satuan dengan arah samaDC,dankadalah vektor satuan dengan arah sama denganDH.Nyatakanlah vektor-vektor berikut dalam vektori,jdank.a.DA,DCdanDHb.DBdanDFc.DPjikaPtitik tenganEFd.DQjikaQtitik pada perpanjanganFGdenganFG=GQ.

.Jawab:a.{DA=4iDC=5jDH=3kb.DB=DC+CB=DC+DA=5j+4iDF=DB+BF=4i+5j+3kc.DP=DE+EP=DA+AE+EP=4i+3k+12EF=4i+3k+12DC=4i+3k+12(5j)=4i+52j+3kd.DQ=DG+GQ=DC+CG+GQ=DC+DH+AD=DC+DHDA=5j+3k4i

9.Diketahuia=(53)danb=(62).Tentukanlaha.abb.bac.4(ab)d.4a4bJawab:a.ab=a+(b)=(53)+(62)=(115)b.ba=b+(a)=(62)+(53)=(115)c.4(ab)=4(115)=(4420)

10.Diketahuip=(43)danq=(12).Tentukanlaha.p+qb.q+pc.4(p+q)d.4p+4qe.4(pq)f.4p4qJawab:a.p+q=(43)+(12)=(51)b.q+p=(12)+(43)=(51)

11.Pada contoh soal No. 8 tentukanlah panjang vektorDA,DPdanDQJawab:|DA|=4cm,|DP|2=|DE|2+|EP|2=|DA|2+|AE|2+|EP|2=42+32+(52)2=16+9+254|DP|=1254=525cm,dan|DQ|2=|DG|2+|GQ|2=|DC|2+|CG|2+|GQ|2=52+32+42=25+9+16=50|DQ|=50=52cm

12.Perhatikanlah gambar di bawah inidan nyatakan titik-titik pada gambar tersebut dalam vektor posisi

.Jawab:Perhatikanlah gambar berikut
.TitikVektor PosisiP(5,3)p=(53)Q(2,3)q=(23)R(5,1)r=(51)S(3,7)s=(37)

13.Perhatikanlah gambar pada soal No. 12 di atas. Tentukanlah vektor-vektor berikuta.PQb.PSc.QSd.QP+PSJawab:a.PQ=PO+OQ=OP+OQ=OQOP=qp=(23)(53)=(36)b.PS=spdengan cara semisal poin aPS=(37)(53)=(84)c.QS=sq=(37)(23)=(510)d.QP+PS=QS=(510)lihat jawaban poin c