PAS MATEMATIKA BLOG

Contoh Soal Lanjutan 2 Bangun Ruang Dimensi Tiga (Matematika Wajib Kelas XII)

$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Perhatikanlah kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

Garis yang sejajar dengan bidang ABGH adalah ....

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\textrm{EC}\\ \textrm{b}.&\textrm{BF}\\ \textrm{c}.&\textrm{AD}\\ \textrm{d}.&\textrm{EF}\\ \textrm{e}.&\textrm{DF} \end{array}$

Jawab: d

Sebagai pembahasannya garis yang sejajar dengan bidang ABGH adalah AB, EF, HG, dan DC

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Perhatikanlah kubus KLMN.OPQR berikut} \end{array}$

Pasangan bidang yang sejajar adalah ....

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\textrm{KLMN dan KLPO}\\ \textrm{b}.&\textrm{KLMN dan LMQP}\\ \textrm{c}.&\textrm{KNRO dan LMQP}\\ \textrm{d}.&\textrm{OPQR dan KLPO}\\ \textrm{e}.&\textrm{NMQR dan OPQR} \end{array}$

Jawab : c

Cukup jelas ya

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Perhatikanlah balok ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

bidang yang tidak memotong bidang ADHE adalah ....

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\textrm{BCGF}\\ \textrm{b}.&\textrm{ABFE}\\ \textrm{c}.&\textrm{ABCD}\\ \textrm{d}.&\textrm{DCGH}\\ \textrm{e}.&\textrm{EFGH} \end{array}$

Jawab : a

Sebagai pembahasannya adalah

bidang ADHE dengan opsi (b) yaitu bidang ABFE berpotongan di AE (potongan berupa garis). Demikian juga

bidang ADHE dengan opsi (c) yaitu bidang ABCD berpotongan di AD (potongan berupa garis juga).

Demikian juga untuk bidang DCGH dan EFGH masing-masing berpotongan dengan bidang ADHE di HD dan EH

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Perhatikanlah kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

Jika panjang panjang sisi kubus adalah 6 cm,

maka panjang CE adalah .... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&6\sqrt{2}\\ \textrm{b}.&6\sqrt{3}\\ \textrm{c}.&6\sqrt{5}\\ \textrm{d}.&6\sqrt{6}\\ \textrm{e}.&12 \end{array}$

Jawab : b

Sebagai pembahasannya adalah sebagai berikut

Karena CE adalah diagonal ruang maka

$\textbf{CE}=a\sqrt{3}=\textrm{sisi}.\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

perhatikanlah ilustrasi berikut

Sehingga cukup jelas, ya

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Perhatikanlah limas T.KLMN berikut} \end{array}$

Jika panjang rusuk tegaknya adalah 13 cm

dan panjang rusuk KL = 8 cm dan LM = 6 cm

Jarak titik T ke bidang KLMN adalah ... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&7\\ \textrm{b}.&8\\ \textrm{c}.&9\\ \textrm{d}.&10\\ \textrm{e}.&12 \end{array}$

Jawab: e

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Pada limas T.KLMN titik tengah alas berupa persegi pajang adalah titik O (bisa juga dikatakan titik O adalah proyeksi titik T pada bidang KLMN)

Sekarang kita partisi dengan memperhatikan segitiga TOM yang siku-siku di titik O.

Karena OM adalah setengan dari panjang KM dan panjang KM secara Pythagoras adalah 10 cm, maka panjang OM adalah 5 cm.

Sehingga untuk jarak titik T ke bidang KLMN di atas cukup di wakili jarak titik T ke titik O dan panjang TO sendiri adalah sisi pengapit sisi siku-siku segitiga TOM, maka

$\begin{aligned}\textrm{TO}^{2}&+\textrm{OM}^{2}=\textrm{TM}^{2}\\ \textrm{TO}^{2}&=\textrm{TM}^{2}-\textrm{OM}^{2}\\ &=13^{2}-5^{2}=169-25=144\\ \textrm{TO}&=\sqrt{144}\\ &=12\: \: \textrm{cm} \end{aligned}$

Sebagai TAMBAHANnya

Anda perlu mengingat triple Pythagoras agar dalam pengerjaan soal berikutnya lebih menghemat waktu, yaitu

Tripel Pythagoras

(sumber)

3, 4, 5
5, 12, 13
7, 24, 25
8, 15, 17
9, 40, 41
11, 60, 61
12, 35, 37
13, 84, 85
15, 112, 113
16, 63, 65
17, 144 , 145
20, 21, 29
20, 99, 101
28, 45, 53
33, 56, 65
36, 77, 85
39, 80, 89
48, 55, 73
65, 72, 97
60, 91, 109

Contoh Soal Lanjutan Bangun Ruang Dimensi Tiga (Matematika Wajib Kelas XII)

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Perhatikanlah kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

Jika diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut

(1) titik A terletak pada garis AB

(2) titik A terletak di luar garis BC

(3) titik A pada bidang ABFE

(4) titik A di luar bidang ABCD

Pernyataan yang benar dan sesuai dengan

kondisi gambar di atas adalah ....

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&(1)\: \: \textrm{dan}\: \: (3)\\ \textrm{b}.&(2)\: \: \textrm{dan}\: \: (4)\\ \textrm{c}.&(1)\: \: \textrm{dan}\: \: (4)\\ \textrm{d}.&(2)\: \: \textrm{dan}\: \: (3)\\ \textrm{e}.&(1),(2)\: \: \textrm{dan}\: \: (3) \end{array}$

Jawab: e

Cukup jelas baik poin (1), (2), maupun (3)

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Perhatikanlah kubus KLMN.PQRS berikut} \end{array}$

Jika diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut

(1) titik M terletak pada garis LM

(2) titik N terletak di luar garis KL

(3) titik R pada bidang KLMN

(4) titik K dilalui garis SN

Pernyataan yang benar dan sesuai dengan

kondisi gambar di atas adalah ....

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&(1)\: \: \textrm{dan}\: \: (2)\\ \textrm{b}.&(1)\: \: \textrm{dan}\: \: (3)\\ \textrm{c}.&(2)\: \: \textrm{dan}\: \: (3)\\ \textrm{d}.&(2)\: \: \textrm{dan}\: \: (4)\\ \textrm{e}.&(2),(3)\: \: \textrm{dan}\: \: (4) \end{array}$

Jawab : a

Jawaban cukup jelas

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi berikut} \end{array}$

Jika diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut

(1) titik A pada bidang $\alpha$

(2) titik B pada bidang $\alpha$

(3) titik C di luar garis AB

(4) titik C tidak pada bidang $\alpha$

Pernyataan yang benar dan sesuai dengan

kondisi gambar di atas adalah ....

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&(1),(2)\: \: \textrm{dan}\: \: (3)\\ \textrm{b}.&(1),(2)\: \: \textrm{dan}\: \: (4)\\ \textrm{c}.&(2),(3)\: \: \textrm{dan}\: \: (4)\\ \textrm{d}.&(1),(2),(3)\: \: \textrm{dan}\: \: (4)\\ \textrm{e}.&\textrm{semua opsi jawaban salah semua} \end{array}$

Jawab : d

Jawaban juga cukup jelas

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Perhatikanlah balok ABCD.EFGH berikut ini} \end{array}$

Pernyataan berikut yang benar adalah ....

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\textrm{garis AB berpotongan dengan garis GH}\\ \textrm{b}.&\textrm{garis AD berpotongan dengan garis EF}\\ \textrm{c}.&\textrm{garis BC bersilangan dengan garis DH}\\ \textrm{d}.&\textrm{garis diagonal AG dan BH saling bersilangan}\\ \textrm{e}.&\textrm{bidang ABCD dan EFGH tidak saling sejajar} \end{array}$

Jawab : c

Jawaban sudah cukup jelas

apabila masih ada kendala bisa disampaikan dikolom komentar

agar bisa diperjelas

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Perhatikanlah limas T.KLMN berikut ini} \end{array}$

Pernyataan berikut yang benar adalah ....

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\textrm{rusuk TK tidak berpotongan dengan rusuk TL}\\ \textrm{b}.&\textrm{rusuk TK berpotongan dengan rusuk KL}\\ \textrm{c}.&\textrm{rusuk TL bersilangan dengan rusuk TM}\\ \textrm{d}.&\textrm{rusuk TK dan TM saling sejajar}\\ \textrm{e}.&\textrm{rusuk KL dan NM tidak saling sejajar} \end{array}$

Jawab : b

Jawaban sudah cukup jelas

apabila masih ada kendala bisa disampaikan dikolom komentar

agar bisa diperjelas pemabahasannya

Contoh Soal Bangun Ruang Dimensi Tiga (Matematika Wajib Kelas XII)

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk}\: \: 8\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}\\ &\textrm{Perhatkanlah pernyataan-pernyataan berikut berkaitan kubus di atas}!\\ &(\textrm{i})\quad \textrm{Jarak titik A ke titik C adalah 16 cm}\\ &(\textrm{ii})\: \: \: \textrm{Jarak titik A ke titik G adalah 16 cm}\\ &(\textrm{iii})\: \: \textrm{Jarak titik A ke garis CD adalah}\: \: 8\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}\\ &(\textrm{iv})\: \: \textrm{Jarak titik A ke garis BC adalah}\: \: 8\sqrt{3}\: \: \textrm{cm}\\ &\textrm{Pernyataan yang tepat dari pernyataan-pernyataan di atas ditunjukkan oleh}....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{ii})&&&\textrm{d}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv})\\ \textrm{b}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})&\textrm{c}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})&\textrm{e}.&(\textrm{iii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv})\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\textrm{Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut}! \end{array}$

$.\qquad \: \begin{array}{|c|c|l|c|c|}\hline \textrm{No}&\textrm{Pilihan}&\textrm{Keterangan}&\textrm{Opsi}&\textrm{Simpulan}\\\hline 1&(\textrm{i})&\begin{aligned}AC&=a\sqrt{2}\\ &=\left ( 8\sqrt{2} \right )\sqrt{2}=16\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&16\: \: \textrm{cm}&\textrm{Benar}\\\hline 2&(\textrm{ii})&\begin{aligned}AG&=a\sqrt{3}\\ &=\left ( 8\sqrt{2} \right )\sqrt{3}=8\sqrt{6}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&16\: \: \textrm{cm}&\textrm{Salah}\\\hline 3&(\textrm{iii})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke garis}\: \: CD\: \: \textrm{sama dengan}\\ A&\: \: \textrm{ke}\: \: D,\: \textrm{sama dengan sisi kubus}\\ \textrm{y}&\textrm{aitu}\: \: AD=a=8\sqrt{2}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&8\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}&\textrm{Benar}\\\hline 4&(\textrm{iv})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke garis}\: \: BG\: \: \textrm{sama dengan}\\ A&\: \: \textrm{ke}\: \: B,\: \textrm{sama dengan sisi kubus}\\ \textrm{y}&\textrm{aitu}\: \: AB=a=8\sqrt{2}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&8\sqrt{3}\: \: \textrm{cm}&\textrm{Salah}\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Misalkan diketahui sebuah balok ABCD.EFGH}\\ &\textrm{sebagaimana ilustrasi berikut} \end{array}$

$.\quad \, \begin{array}{ll}\\ &(\textrm{i})\quad \textrm{Jarak titik A ke titik B adalah 16 cm}\\ &(\textrm{ii})\: \: \: \textrm{Jarak titik A ke titik C adalah}\: \: 4\sqrt{41}\: \: \textrm{cm}\\ &(\textrm{iii})\: \: \textrm{Jarak titik A ke garis CD adalah}\: \: 16\: \: \textrm{cm}\\ &(\textrm{iv})\: \: \textrm{Jarak titik A ke bidang BFGC adalah}\: \: 12\: \: \textrm{cm}\\ &\\ &\textrm{Pernyataan di atas yang tepat ditunjukkan oleh}....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{ii})&&&\textrm{d}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv})\\ \textrm{b}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})&\textrm{c}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})&\textrm{e}.&(\textrm{iii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv})\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ & \end{array}$

$.\qquad \: \, \begin{array}{|c|c|l|c|c|}\hline \textrm{No}&\textrm{Pilihan}&\qquad\qquad\textrm{Keterangan}&\textrm{Opsi}&\textrm{Keterangan}\\\hline 1&(\textrm{i})&\begin{aligned}AB&=20\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&16\: \: \textrm{cm}&\textrm{Salah}\\\hline 2&(\textrm{ii})&\begin{aligned}AC&=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}\\ &=\sqrt{20^{2}+16^{2}}\\ &=\sqrt{400+256}=\sqrt{656}\\ &=4\sqrt{41}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&4\sqrt{41}\: \: \textrm{cm}&\color{blue}\textrm{Benar}\\\hline 3&(\textrm{iii})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke garis}\: \: CD=\: A\: \textrm{ke}\: \: D\\ =&AD=16\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&16\: \: \textrm{cm}&\color{blue}\textrm{Benar}\\\hline 4&(\textrm{iv})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke bidang}\: \: BCGF\\ =&\: \textrm{jarak}\: \: A\: \: \textrm{ke}\: \: B\\ =&AB=20\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&12\: \: \textrm{cm}&\textrm{Salah}\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Jarak bidang ACH dengan EGB pada kubus ABCD.EFGH}\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&4\sqrt{3}&&&\textrm{d}.&6\\ \textrm{b}.&2\sqrt{3}\qquad&\textrm{c}.&4\qquad&\textrm{e}.&12\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}\textrm{Luas}&\: \textrm{jajar genjang BQHP = luas jajar genjang BQHP}\\ \textrm{alas}&\times \textrm{tinggi}=\textrm{alas}\times \color{blue}tinggi\\ \textrm{HP}&\times \textrm{PQ}=\textrm{HQ}\times \color{blue}tinggi\: \: (\textbf{jarak garis HQ ke garis PB})\\ \textrm{Jarak}&\times \textrm{HQ}=\textrm{HP}\times \textrm{PQ}\\ \textrm{Jarak}&=\displaystyle \frac{HP\times PQ}{HQ}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{2}\times a}{\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{6}}=\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{6}},\qquad \textrm{diketahui}\: \: a=\textrm{sisi}=6\sqrt{3}\: \: \textrm{cm}\\ &=\displaystyle \frac{\left ( 6\sqrt{3}\: \: \textrm{cm} \right )\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=6\: \: \textrm{cm} \end{aligned} \end{array}$

Sebagai tambahan penjelasan berikut diilustrasikan panjang beberapa unsur dalam kubus

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk}\: \: 3\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}\\ &\textrm{dan diberikan pernyataan-pernyataan berikut}\\ &(\textrm{i})\quad \textrm{Jarak titik A ke titik G adalah 6 cm}\\ &(\textrm{ii})\: \: \: \textrm{Jarak titik A ke garis CD adalah}\: \: 3\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}\\ &(\textrm{iii})\: \: \textrm{Jarak titik A ke garis CG adalah 6 cm}\\ &(\textrm{iv})\: \: \textrm{Jarak titik A ke titik E adalah 6 cm}\\\\ &\textrm{Pernyataan yang tepat dari pernyataan-pernyataan}\\ & \textrm{di atas ditunjukkan oleh}....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{ii})&&&\textrm{d}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv})\\ \textrm{b}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})&\textrm{c}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})&\textrm{e}.&(\textrm{iii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv})\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ & \end{array}$

$.\qquad \begin{array}{|c|c|l|c|c|}\hline \textrm{No}&\textrm{Pilihan}&\textrm{Keterangan}&\textrm{Opsi}&\textrm{Simpulan}\\\hline 1&(\textrm{i})&\begin{aligned}AG&=a\sqrt{3}=\left ( 3\sqrt{2} \right )\sqrt{3}\\ &=3\sqrt{6}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}&6\: \: \textrm{cm}&\textrm{Salah}\\\hline 2&(\textrm{ii})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke garis}\: \: CD=\overline{AD}.\\ &=3\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}\\ \end{aligned}&3\sqrt{2}\: \: \textrm{cm}&\color{blue}\textrm{Benar}\\\hline 3&(\textrm{iii})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke garis}\: \: CG=\overline{AC}.\\ &\overline{AC}=a\sqrt{2}\\ &\overline{AC}=\left ( 3\sqrt{2} \right )\sqrt{2}=6 \end{aligned}&6\: \: \textrm{cm}&\color{blue}\textrm{Benar}\\\hline 4&(\textrm{iv})&\begin{aligned}A&\: \: \textrm{ke titik}\: \: E=\overline{AE}=3\sqrt{2} \end{aligned}&6\: \: \textrm{cm}&\textrm{Salah}\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk}\: \: a\: \: \textrm{cm}\\ &\textrm{Jarak titik A ke diagonal HB adalah}....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{2}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{6}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{3}\qquad&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{5}\qquad&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{7}\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ & \end{array}$

$.\quad\: \color{blue}\textrm{Perhatikanlah ilustrasi berikut ini}$

dan

$.\qquad\begin{aligned}\textbf{Luas}\Delta \textrm{AHB}&=\textbf{luas}\Delta \textrm{AHB}\\ \displaystyle \frac{1}{2}\times \textrm{alas}\times \color{blue}\textrm{tinggi}&=\displaystyle \frac{1}{2}\times \textrm{alas}\times \textrm{tinggi}\\ \textrm{HB}\times \color{blue}\textrm{t}&=\textrm{AB}\times \textrm{AH}\\ \color{blue}\textrm{t}&=\displaystyle \frac{\textrm{AB}\times \textrm{AH}}{\textrm{HB}}\\ &=\displaystyle \frac{a\times a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ &=\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}\\ &=\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{6} \end{aligned}$

Persamaan Nilai Mutlak

$\LARGE{\textrm{A. Pendahuluan}}$

Nilai Mutlak suatu bilangan adalah sebuah jarak yang pengukurannya dimulai dati titik O pada suatu garis bilangan.

\begin{array}{cccc|cccc}\\ &&&&&&\\ &&&&&&\\ \left | x \right |=-x&&&&&&&\left | x \right |=x\\\hline \color{red}x<0&&&\color{blue}O&&&&\color{magenta}x>0\\ &&&&&&\\ \end{array}

Selanjutnya nilai mutlak disimbokan dengan |x|, dengan

$\left | x \right |=\begin{cases} x,\quad \textrm{untuk}\: \: x> 0\\ 0,\quad \textrm{untuk}\: \: x=0 \\ -x,\quad \textrm{untuk}\: \: x< 0 \end{cases}$

Sebagai contohnya adalah:

|2020| = 2020 dan |-2020| = - (-2020) = 2020

Sebagai catatan sebuah bilangan diposisi paling depan dalam perhitungan dalam matematika tanda bilangannya jika tidak dituliskan selalu bertanda positif.

$\color{blue}\LARGE{\textrm{Contoh Soal}}$

Coba perhatikan

$\begin{aligned}2-\left | -3 \right |+\left | 10 \right |-\left | 5 \right |+9-7&=2-\color{red}3\color{black}+10-5+9-7\\ &=+2+10+9-3-5-7\\ &=+(2+10+9)-(3+5+7)\\ &=+21-15\\ &=+6\\ &=6 \end{aligned}$

Selanjutnya cara model pengerjaan di atas cukup dituliskan dengan

\begin{aligned}2-\left | -3 \right |+\left | 10 \right |-\left | 5 \right |+9-7&=2-\color{red}3\color{black}+10-5+9=6 \end{aligned}

$\LARGE{\textrm{B. Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak}}$

$\LARGE{\textrm{a. Bentuk}}$ $\left | f(x) \right |=a\: \: \textrm{dengan}\: \: a\geq 0$

Solusi dari bentuk di atas adalah $f(x)=\pm a$

Perhatikan contoh berikut ini

$\begin{array}{l}\\ \textrm{Tentukanlah penyelesaian berikut}\\ \left | x-2020 \right |+2=2021\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \left | x-2020 \right |+2=2021\\ \left | x-2020 \right |=2021-2\\ \left | x-2020 \right |=2019\\ x-2020=\pm 2019\\ \begin{array}{ll}\\ \color{red}\textrm{Bentuk 1}&\color{blue}\textrm{Bentuk 2}\\ x-2020=2019&x-2020=-2019\\ x=2019+2020&x=-2019+2020\\ x=4039&x=1 \end{array} \end{array}$

$\LARGE{\textrm{b. Bentuk}}$ $\left | f(x) \right |=g(x)$

Penyelesaian bentuk di atas sama persis dengan kasus di poin a di atas tetapi bedanya, hasil yang telah didapatkan harus diuji dulu apakah masuk wilayah daerah penyelesaian tang dimasud atau bukan. Andai hasil yang didapatkan termasuk pada wilayah yang diharapkan, maka hasil tersebut merupakan penyelesaian persamaan model ini dan andai kata tidak memenuhi, maka hasil yang didapat bukan termasuk penyelesaian.

Coba perhatikanlah contoh soal berikut

$\begin{array}{l}\\ \textrm{Tentukanlah nilai}\: \: x\: \: \textrm{jika}\: \: \left | x+2 \right |=3x-4 \end{array}$

Jawab:

Perhatikanlah langkah berikut

$\begin{aligned}\textrm{untuk}\: \: \left | x+2 \right |&=3x-4\: \: \begin{cases} x\geq -2 & \text{maka } \Rightarrow x+2=+(3x-4)\\ x< -2& \text{maka } \Rightarrow x+2 =-(3x-4) \end{cases} \end{aligned}$

$\begin{array}{|c|c|}\hline x\geq -2&x< -2\\\hline \begin{aligned}x+2&=+(3x-4)\\ x+2&=3x-4\\ x-3x&=-4-2\\ -2x&=-6\\ x&=3 \end{aligned}&\begin{aligned}x+2&=-(3x-4)\\ x+2&=-3x+4\\ x+3x&=4-2\\ 4x&=2\\ x&=\displaystyle \frac{1}{2} \end{aligned}\\\hline \color{blue}\textrm{memenuhi}&\color{red}\textrm{tidak memenuhi}\\\hline \end{array}$

Jadi yang memenuhi persamaan di atas cuma x = 3 saja

$\LARGE{\textrm{c. Bentuk}}$ $\left | f(x) \right |=\left | g(x) \right |+a$

Penyelesaian bentuk ini adalah dengan menggunakan definisi mutlak. Selanjutnya perbagian dikondisikan sesuai dengan posisinya beraitan dengan pertidaksamaan yang nanti timbul sebagai batas wilayah daerah penyelesaian.

berikut ini diberikan contoh soalnya

$\LARGE\fbox{Contoh Soal}$

Lanjutan Limit Fungsi Trigonometri

B. Definisi Limit

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\\ \textbf{Definisi}&\: \: \textbf{Limit}\\\\ \textrm{Misalkan}&\: \: f\: \: \textrm{sebuah fungsi}\: \: f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\: \: \textrm{dan}\: \: L,c\in \mathbb{R}\\ 1.\quad&\textrm{Limit fungsi trigonometri};\: \: \underset{x\rightarrow c}{\textrm{lim}}\: f(x)=L\: \: \: \textbf{ada} \\ &\textrm{untuk semua nilai}\: \: x\: \: \textrm{mendekati}\: \: c,\\ &\textrm{jika dan hanya jika nilai}\: \: f(x)\: \: \textrm{mendekati}\: \: L\\ 2.\quad&\underset{x\rightarrow c}{\textrm{lim}}\: f(x)=L\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow c^{-}}{\textrm{lim}}\: f(x)=\underset{x\rightarrow c^{+}}{\textrm{lim}}\: f(x)=L\\ &\textrm{limit kiri}\, =\, \textrm{limit kanan} \end{aligned}\\\hline \end{array}$

CONTOH

Tentukanlah nilai dari limit

$\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}$

JAWAB:

Saat kita diberikan $f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}$ , bagaimana saat nilai x mendekati 2,

Perhatikanlah tabel berikut!

$\color{blue}\begin{array}{|l|l|r|r|}\hline x\rightarrow 2^{-}&\multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}&\\ &\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}\\ & \end{aligned}}&x\rightarrow 2^{+}\\\hline 1,7&3,7&4,2&2,2\\\hline 1,8&3,8&4,1&2,1\\\hline 1,99&3,99&4,01&2,01\\\hline 1,999&3,999&4,001&2,001\\\hline \: \: \: \: \downarrow &\: \: \: \: \downarrow &\downarrow \: \: \: \: &\downarrow \: \: \: \: \\ \: \: \: \: 2^{-}&\: \: \: \: 4&4\: \: \: \: &2^{+}\: \: \\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\underset{x\rightarrow 2^{-}}{\textrm{lim}}\: f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{\textrm{lim}}\: f(x)}\\\hline \end{array}$

Karena dari kiri dan dari kanan menunjukkan hasil yang sama yaitu 4 (hasilnya), maka dapat disimpulkan bahwa nilai

$\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}=4$

Sebagai gambarannya dapat kita gambarkan hasil di atas sebagai berikut

Sebagai pengingat Kekontinuan suatu fungsi

Definisi

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\\ \textbf{Definisi}&\: \: \textbf{Kekontinuan Fungsi}\\\\ \textrm{Suatu}&\: \textrm{fungsi}\: \: y=f(x)\: \: \textrm{dikatakan kontinu di}\: \: x=c\: \: \textbf{jika}\\ 1.\quad&f(c)\: \: \textrm{terdefinisi}\\ 2.\quad&\underset{x\rightarrow c}{\textrm{lim}}\: f(x)\: \: \textrm{ada}\\ 3.\quad&\underset{x\rightarrow c}{\textrm{lim}}\: f(x)=f(c) \end{aligned}\\\hline \end{array}$

CONTOH

Selidikilah apakah fungsi

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2},\quad x\neq 2\\\\\\ 4,\qquad x=2 \end{matrix}\right.$

kontinu di x = 2

JAWAB:

$\begin{aligned}(1)\quad&\textrm{untuk}\: \: c=2\: \: \textrm{maka}\: \: f(c)=f(2)=4,\: f(c)\: \: \textbf{ada/terdefinisi}\\ (2)\quad&\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: f(x)\: \: \textbf{ada},\\ &\underset{x\rightarrow 2^{-}}{\textrm{lim}}\: f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{\textrm{lim}}\: f(x)=\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: (x+2)=4\\ (3)\quad&\textrm{dari 2 poin di atas didapatkan}\: \: \underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: f(x)=f(2)=4 \end{aligned}$

Daftar Pustaka

1. Noormandiri. 2017. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam untuk SMA/MA Kelas XII. Jakarta: ERLANGGA.

LIMIT FUNGSI

A. Pengertian Limit

Definisi:

Limit suatu fungsi f(x) ketika x mendekati a akan sama dengan L selanjutnya dituliskan dengan

$\color{blue}{\lim_{x \to a}\: f(x)=L}$

jika nilai fungsi f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L dengan cara mengkondisikan nilai x sedekat mungkin dengan a tetapi tidak sama dengan a.

Selanjutnya limit suatu fungsi f(x) itu ada jika nilai limit (harga batas) tersebut memiliki kiri dan limit kanan yang bernilai sama

Coba perhatikanlah contoh berikut

Jika kita ilustrasikan lewat grafik akan didapatkan

Contoh Soal Mid Semester Genap Kelas X Matematika Wajib Materi Fungsi

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui himpunan pasangan bilangan berurutan dari sebuah relasi}\\ &\left \{ (2,3).(1,4),(2,5),(3,5) \right \}.\: \textrm{Daerah kawandari relasi tersebut adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \left \{ 1,2,3 \right \}\\ &\textrm{B}.\quad \left \{ 3,4,5 \right \}\\ &\textrm{C}.\quad \left \{ 1,2,3,4,5 \right \}\\ &\textrm{D}.\quad \textrm{himpunan bilangan bulat}\\ &\textrm{E}.\quad \textrm{himpunan bilangan asli}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{B}\\ &\begin{aligned}\textrm{Daerah kawan}&=\textrm{daerah kodomain fungsi}\\ K_{f}&=\left \{ 3,4,5 \right \} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui dua buah himpunan yaitu}\: A=\left \{ -4,-2,0,2,4 \right \}\\ &\textrm{dan}\: \: B=\left \{ -3,-2,-1,0,1,2,3 \right \}.\: \textrm{Himpunan pasangan terurut}\\ &\textrm{yang menunjukkan relasi \textbf{dua kali dari} adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \left \{ (-4,-3),(-2,-2),(0,0),(2,2),(4,3) \right \}\\ &\textrm{B}.\quad \left \{ (-4,-2),(-2,2),(0,0),(2,2),(4,2) \right \}\\ &\textrm{C}.\quad \left \{ (-4,-2),(-2,-1),(0,0),(2,1),(4,2) \right \}\\ &\textrm{D}.\quad \left \{ (-4,-2),(-2,-1),(2,1),(4,2) \right \}\\ &\textrm{E}.\quad \left \{ (-4,-2),(-2,-1),(0,1),(2,1),(4,-2) \right \}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{C}\\ &\begin{aligned}\textrm{Daerah Asal}&=\textrm{daerah domain fungsi}\\ D_{f}&=\left \{ -4,-2,0,2,4 \right \} &\textrm{cukup jelas} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Himpunan pasangan berurutan yang ditunjukkan oleh fungsi}\\ &f:x\rightarrow 2-(x+1)^{2} \: \: \textrm{dari domain}\: \: \left \{ -1,0,1,2 \right \}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \left \{ (-1,2),(0,3),(1,5),(2,7) \right \}\\ &\textrm{B}.\quad \left \{ (-1,2),(0,1),(1,-2),(2,-7) \right \}\\ &\textrm{C}.\quad \left \{ (-1,1),(0,-1),(1,-4),(2,7) \right \}\\ &\textrm{D}.\quad \left \{ (-1,0),(0,3),(1,-2),(2,7) \right \}\\ &\textrm{E}.\quad \left \{ (-1,0),(0,-4),(1,5),(2,-7) \right \}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{B}\\ &\begin{aligned}f:x\rightarrow &2-(x+1)^{2},\quad \textrm{ini artinya}\: \: f(x)=2-(x+1)^{2}\\ \textrm{untuk}&\\ f(x)&=2-(x+1)^{2}\\ \textrm{maka}&\\ f(-1)&=2-(-1+1)^{2}=2-0=2\\ f(0)&=2-(0+1)^{2}=2-1=1\\ f(1)&=2-(1+1)^{2}=2-4=-2\\ f(2)&=2-(2+1)^{2}=2-9=-7 \end{aligned} \end{array}$

LANJUTAN 2 CONTOH SOAL MID SEMESTER GENAP KELAS X MATERI VEKTOR

LANJUTAN CONTOH SOAL MID SEMESTER GENAP KELAS X MATERI VEKTOR

LATIHAN TENGAH SEMESTER GENAP KELAS X (VEKTOR)

$\color{blue}\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Panjang vektor}\: \: \vec{g}=\begin{pmatrix} -4\\ -8 \end{pmatrix}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle \sqrt{4}\\ &\textrm{B}.\quad \sqrt{12}\\ &\textrm{C}.\quad \sqrt{20}\\ &\textrm{D}.\quad \displaystyle \sqrt{80}\\ &\textrm{E}.\quad \sqrt{100}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{D}\\ &\begin{aligned}\vec{p}&=\begin{pmatrix} -4\\ -8 \end{pmatrix},\: \: \textrm{maka besar dari vektor}\: \: \vec{p}\: \: \textrm{adalah}=\left | \vec{p} \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ &\textrm{Yaitu}\\ \left | \vec{p} \right |&=\sqrt{(-4)^{2}+(-8)^{2}}\\ &=\sqrt{16+64}=\sqrt{80} \end{aligned} \end{array}$
$\color{blue}\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Vektor satuan dari}\: \: \vec{a}=3\vec{i}-4\vec{j}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle \frac{4}{5}\vec{i}-\frac{3}{5}\vec{j}\\ &\textrm{B}.\quad \displaystyle \frac{3}{5}\vec{i}-\frac{4}{5}\vec{j}\\ &\textrm{C}.\quad 3\vec{i}-4\vec{j}\\ &\textrm{D}.\quad 4\vec{i}-3\vec{j}\\ &\textrm{E}.\quad 15\vec{i}-20\vec{j}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{B}\\ &\begin{aligned}\vec{a}&=3\vec{i}-4\vec{j}\\ &\textrm{Vektor satuan dari vektor}\: \: \vec{a}\: \: \textrm{adalah}\: :\: \hat{e}_{_{\vec{a}}}=\displaystyle \frac{1}{\left | \vec{a} \right |}. \vec{a}\\ &\textrm{Sehingga}\\ \hat{e}_{_{\vec{a}}}&=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}.\begin{pmatrix} 3\\ -4 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3\\ -4 \end{pmatrix}\\ &\textrm{atau dalam vektor basis}\\ &=\displaystyle \frac{3}{5}\vec{i}-\frac{4}{5}\vec{j} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Vektor berikut yang memiliki panjang}\: \: \sqrt{1013}\: \: \textrm{satuan adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle 18\vec{i}-19\vec{j}\\ &\textrm{B}.\quad \displaystyle 19\vec{i}-20\vec{j}\\ &\textrm{C}.\quad 20\vec{i}-21\vec{j}\\ &\textrm{D}.\quad 21\vec{i}-22\vec{j}\\ &\textrm{E}.\quad 22\vec{i}-23\vec{j}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{E}\\ &\begin{aligned}\textrm{yang}&\: \: \textrm{paling mungkin adalah}\: : \: \\ &=\sqrt{22^{2}+23^{2}}=\sqrt{484+529}=\sqrt{1013}\end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Jika vektor}\: \: \vec{a}=\begin{pmatrix} 8\\ 7 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=\begin{pmatrix} -3\\ 9 \end{pmatrix}\: \: \textrm{Hasil dari}\: \: \vec{a}+\vec{b}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \begin{pmatrix} 6\\ 14 \end{pmatrix}\\ &\textrm{B}.\quad \begin{pmatrix} 6\\ 13 \end{pmatrix}\\ &\textrm{C}.\quad \begin{pmatrix} 6\\ 15 \end{pmatrix}\\ &\textrm{D}.\quad \begin{pmatrix} 5\\ 16 \end{pmatrix}\\ &\textrm{E}.\quad \begin{pmatrix} 5\\ 48 \end{pmatrix}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{D}\\ &\begin{aligned}\vec{a}+\vec{b}&=\begin{pmatrix} 8\\ 7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3\\ 9 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 8-3\\ 7+9 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5\\ 16 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Jika vektor}\: \: \vec{u}=\begin{pmatrix} ^{2}\log 32\\ -\, ^{5}\log \displaystyle \frac{1}{625} \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{v}=\begin{pmatrix} -9\\ -21 \end{pmatrix}\: \: \textrm{Hasil dari}\: \: \vec{u}+\vec{v}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \begin{pmatrix} 6\\ 17 \end{pmatrix}\\ &\textrm{B}.\quad \begin{pmatrix} -6\\ -17 \end{pmatrix}\\ &\textrm{C}.\quad \begin{pmatrix} 4\\ 17 \end{pmatrix}\\ &\textrm{D}.\quad \begin{pmatrix} -4\\ -17 \end{pmatrix}\\ &\textrm{E}.\quad \begin{pmatrix} 5\\ -16 \end{pmatrix}\\\\ &\textrm{Jawab}:\qquad \textbf{D}\\ &\begin{aligned}\vec{u}+\vec{v}&=\begin{pmatrix} ^{2}\log 32\\ -\, ^{5}\log \displaystyle \frac{1}{625} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -9\\ -21 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5-9\\ 4-21 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -4\\ -17 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$