$\begin{aligned}9.\quad&\textrm{Bilangan}\quad X=\underset{50}{\underbrace{99+999+9999+\cdots +999\cdots 999}}\:. \: \textrm{Berapa banyak}\\ &\textrm{digit 1 muncul pada bilangan}\quad X\\ &\end{aligned}$
Jawaban: $\begin{aligned}&\textrm{Suku-suku dalam dalam deret dapat dinyatakan dengan}:10^{\displaystyle k}-1\\ &\circ \quad99=10^{\displaystyle 2}-1\\ &\circ \quad 999=10^{\displaystyle 3}-1\\ &\circ \quad 9999=10^{\displaystyle 4}-1\\ &\circ \qquad \vdots\\ &\circ \quad \textrm{Suku ke}-50\: \textrm{dengan 51 digit 9}=10^{\displaystyle 51}-1\\ &\textrm{Maka persamaan}\quad X\quad \textrm{dapat dituliskan sebagai}:\\ &X=\left( 10^{\displaystyle 2}-1 \right)+\left( 10^{\displaystyle 3}-1 \right)+\left( 10^{\displaystyle 4}-1 \right)+\cdots +\left( 10^{\displaystyle 51}-1 \right)\\ &\,\quad =10^{\displaystyle 51}+10^{\displaystyle 50}+10^{\displaystyle 49}+\cdots +10^{\displaystyle 4} +10^{\displaystyle 3} +10^{\displaystyle 2}-(1\times 50)\\ &\,\quad =\underset{50\: \textrm{buah angka}\: 1}{\underbrace{111\cdots 111}00}-(1\times 50)\\ &\,\quad =\underset{49\: \textrm{buah angka}\: 1}{\underbrace{111\cdots 111}050}\\ &\textrm{Jadi, banyak digit 1 pada bilangan}\:\: X\:\: \textrm{sebanyak 49} \end{aligned}$.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Informasi