Turunan Fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

 $\color{blue}\textbf{A. Pendahuluan}$

Konsep turunan fungsi pada awalnya digunakan dalam bidang kususnya Matematika dan fisika, dalam hal hal ini kita berikan contohnya adalah laju perubahan kecepatan.

Coba perhatikanlah, misal pada kasus gerak jatuh bebas suatu benda yang dinyaatakan dengan  $\color{magenta}h=\color{black}\displaystyle \frac{1}{2}gt^{2}$  dengan  $\color{red}h$  adalah tinggi benda dengan percepatan grafitasinya adalah  $\color{red}g=\color{black}10\: \: m/s^{2}$ dan  $\color{red}t$  adalah waktu tempuh.

Misalkan suatu benda jatuh dari ketinggian 125 meter dari permukaan tanah dengan percepatan grafitasinya adalah $g=10\: \: m/s^{2}$, maka waktu yang dibutuhkan benda tersebut untuk sampai ke tanah adalah:

$\begin{aligned}h&=\displaystyle \frac{1}{2}gt^{2}\\ 125&= \frac{1}{2}(10)t^{2}\\ 25&=t^{2}\\ 5&=t \end{aligned}$

Dari kejadian di atas dapat kita dapatkan kecepatan rata-ratanya yaitu: perubahan tinggi dibagi perubahan waktu terjadinya, atau misal dituliskan

$\bigtriangleup v=\displaystyle \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup t}=\displaystyle \frac{y_{n}-y_{1}}{t_{n}-t_{1}}$

Sehingga kecepatan rata-ratanya adalah :  $\color{cyan}\displaystyle \frac{125}{5}=25\: \: m/s^{2}$

Misalkan $\color{blue}f(t)$ untuk fungsi yang menujukkan posisi benda yang terjatuh dalam  $\color{blue}t$ dengan $\color{blue}f(t)=5t^{2}$, maka kecepatan rata-ratanya kita dapat menghitungnya untuk beberapa selang termasuk kita dapat menghitung kecepatan sesaatnya.

Coba perhatikanlah tabel berikut:

$\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{cases} f(4) &=5.4^{2}=80 \\ f(3) &= 5.3^{2}=45 \end{cases}&\color{cyan}\begin{aligned}\bigtriangleup v&=\displaystyle \frac{80-45}{4-3}\\ &=\displaystyle \frac{35}{1}=35 \end{aligned}\\\hline \begin{cases} f(3,5) &=5.(3,5)^{2}=61,25 \\ f(3) &= 5.3^{2}=45 \end{cases}&\color{cyan}\begin{aligned}\bigtriangleup v&=\displaystyle \frac{61,25-45}{3,5-3}\\ &=\displaystyle \frac{16,25}{0,5}=32,5 \end{aligned}\\\hline \begin{cases} f(3,25) &=5.(3,25)^{2}= \\ f(3) &= 5.3^{2}=45 \end{cases}&\color{cyan}\begin{aligned}\bigtriangleup v&=\displaystyle \frac{52,8125-45}{3,25-3}\\ &=\displaystyle \frac{7,8125}{0,25}=31,25 \end{aligned}\\\hline \begin{cases} f(3,1) &=5.(3,1)^{2}=48,05 \\ f(3) &= 5.3^{2}=45 \end{cases}&\color{cyan}\begin{aligned}\bigtriangleup v&=\displaystyle \frac{48,05-45}{3,1-3}\\ &=\displaystyle \frac{3,05}{0,1}=30,5 \end{aligned}\\\hline \begin{cases} f(3,1) &=5.(3,01)^{2}=45,3005 \\ f(3) &= 5.3^{2}=45 \end{cases}&\color{cyan}\begin{aligned}\bigtriangleup v&=\displaystyle \frac{45,3005-45}{3,01-3}\\ &=\displaystyle \frac{0,3005}{0,01}=30,05 \end{aligned}\\\hline \end{array}$

Dari ilsutrasi tabel di atas jika selisih waktu diperkecil terus menerus sampai mendekati nol, maka kecepatan sesaatnya akan mendekati nilai 30.

Sehingga kecepatan ketika $t=3$ ditentukan sebagai laju perubahan jarak terhadap waktu yang dibutuhkan dapat dituliskan dengan:

$\color{cyan}\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Selanjutnya jika benda jatuh yang memenuhi kasus di atas, jika dihitung dengan pendekatan ini saat  $t=3$  adalah:

$\color{cyan}\begin{aligned}\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}&=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{5(t+h)^{2}-5t^{2}}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{5\left ( t^{2}+2th+h^{2} \right )-5t^{2}}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{5t^{2}+10th+5h^{2}-5t^{2}}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{10th+5h^{2}}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: 10t+5h\\ &=10t \end{aligned}$

Dari saat  $t=3$  kecepatan sesaatnya adalah $10t=10(3)=30\: \: m/s^{2}$.

Secara matematis, perubahan laju terhadap suatu fungsi di  $x=a$ selanjutnya dinotasikan dengan $f'(x)$ dan didefiniskan dengan:

$\LARGE\color{purple}\boxed{f'(x)=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

Bentuk di atas dinamakan dengan derivatif atau turunan pertama pada fungsi  $f(x)$  dan dinotasikan dengan  $f'(x)$ dan proses pencarian derivatif ini dinamakan differensial.

$\LARGE\color{purple}\fbox{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah kecepatan jika diketahui}\: \: f(t)=\sin t\\ &\textrm{saat}\: \: t\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{purple}\begin{aligned}f'(t)=v(t)&=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin (t+h)-\sin t}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{2\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2t+h)\sin \displaystyle \frac{1}{2}h}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: 2\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2t+h).\displaystyle \frac{\sin \displaystyle \frac{1}{2}h}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle 2\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2t+h)\times \displaystyle \frac{1}{2}\\ &=2\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2t+0)\times \displaystyle \frac{1}{2}\\ &=\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2t)\\ &=\cos t \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui sebuah bola bergerak melingkar beraturan}\\ &\textrm{dengan persamaan}\: \: f(t)=2\sin 2t.\: \textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{kecepatan bola saat}\: \: t=\displaystyle \frac{1}{12}\pi \\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{purple}\begin{aligned}v(t)&=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{4\sin 2(t+h)-2\sin 2t}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{4\cos \displaystyle \frac{1}{2}(4t+2h)\sin \displaystyle \frac{1}{2}(2h)}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: 4\cos \displaystyle \frac{1}{2}(4t+2h)\times \underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin h}{h}\\ &=4\cos \displaystyle \frac{1}{2}(4t)\\ &=4\cos 2t\\ v\left ( \displaystyle \frac{1}{12}\pi \right )&=4\cos 2\left ( \displaystyle \frac{1}{12}\pi \right )\\ &=4\cos \displaystyle \frac{1}{6}\pi\\ &=4\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right ) \\ &=2\sqrt{3} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Noormandiri, B. K. 2004. Matematika SMA Jilid $2^{A}$ Berdasarkan Kurikulum 2004. Jakarta: ERLANGGA.
2. Noormandiri, B. K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal 5 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{ll}\\ 21.&\textrm{Jika daerah yang diarsir pada daerah penyelesaian}\\ &\textrm{untuk program linear dengan fungsi sasaran}\\ &f(x,y)=x-y,\: \: \textrm{maka nilai maksimum}\: \: f(x,y)\\ &\textrm{adalah}\: ...\\ & \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \color{red}\textrm{a}.&f(3,1)\\ \textrm{b}.&f(4,1)\\ \textrm{c}.&f\left ( 2,\displaystyle \frac{5}{3} \right )\\ \textrm{d}.&f(3,2)\\ \textrm{e}.&f\left ( 4,\displaystyle \frac{5}{2} \right )\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\textrm{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=x-y\\ &\color{blue}\textrm{dan kendala-kendalanya}\\ &\begin{cases} x-y &\leq 2 \\ x-2y &\geq -2 \\ x\geq 2 & \\ y\geq 0 & \end{cases}\\ &\color{blue}\textrm{Dan garis dari kendala-kendala di atas adalah}: \end{aligned}$

Contoh Soal 4 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Pada pertidaksamaan}\\ & 2y\geq x\: ;\: y\leq 2x\: ;\: 2y+x\leq 20\: ;\: x+y\geq 9\\ &\textrm{Nilai maksimum untuk}\: \: \color{red}3y-x\: \: \color{black}\textrm{dicapai saat}\: ....\\\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\textrm{P}\\ \textrm{b}.&\textrm{Q}\\ \color{red}\textrm{c}.&\textrm{R}\\ \textrm{d}.&\textrm{S}\\ \textrm{e}.&\textrm{T}\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Dengan membuat garis(selidik)}:f(x,y)=3y-x\\ &\color{blue}\textrm{digeser dari bawah ke atas, maka akan didapatkan}\\ &\color{blue}\textrm{titik sudut(verteks) yang diinginkan}\\ & \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Nilai minimum dari}\: \: -2x+4y+6\\ &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\begin{cases} 2x+y-20 &\leq 0 \\ 2x-y+10&\geq 0 \\ x+y-5 &\geq 0 \\ x-2y-5 &\leq 0 \\ x\geq 0 & \\ y\geq 0 & \end{cases}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&-14\\ \textrm{b}.&-11\\ \textrm{c}.&-9\\ \textrm{d}.&-6\\ \color{red}\textrm{e}.&-4\\ \end{array}\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\color{blue}\textrm{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=-2x+4y+6\\ &\color{blue}\textrm{dan kendala-kendalanya}\\ &\begin{cases} 2x+y-20 &\leq 0 \\ 2x-y+10&\geq 0 \\ x+y-5 &\geq 0 \\ x-2y-5 &\leq 0 \\ x\geq 0 & \\ y\geq 0 & \end{cases}\\ &\color{blue}\textrm{maka daerah penyelesaiannya adalah}: \end{aligned}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Dan persamaan garisnya adalah}\\ &\begin{cases} \textrm{L}_{1}\equiv &2x+y=20 \\ \textrm{L}_{2}\equiv &2x-y=-10\\ \textrm{L}_{3}\equiv &x+y=5 \\\textrm{L}_{4} \equiv &x-2y=5 \end{cases}\\ &\color{blue}\textrm{Perpotongan untuk garis}\: \: \textrm{L}_{1}\&\textrm{L}_{2}\\ &\textrm{akan didapatkan titik C}\: \left ( \displaystyle \frac{5}{2},15 \right )\\ &\color{blue}\textrm{Perpotongan untuk garis}\: \: \textrm{L}_{1}\&\textrm{L}_{4}\\ &\textrm{akan didapatkan titik B}\: \left ( \displaystyle 9,2 \right )\\ \end{aligned}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{|l|}\hline \begin{aligned}\color{magenta}\textrm{untuk}\: &\color{magenta}\textrm{mendapatkan titik potong}\\ \textrm{garis}:\: &\color{blue}\textrm{L}_{1}\&\textrm{L}_{2}\: \: \color{black}\textrm{adalah sebagai berikut}:\\ &\begin{cases} 2x+y & =20 \\ 2x-y & =-10 \end{cases}\\ &-------\: \: .^{-}\\ &\: \: \: \quad\quad\quad2y=30\\ &\: \qquad\qquad y=15\Rightarrow x=\displaystyle \frac{5}{2}\\ \textrm{Sehing}&\textrm{ga didapatkan titik}\: \: \left ( \displaystyle \frac{5}{2},15 \right ) \end{aligned} \\\hline \begin{aligned}\color{magenta}\textrm{untuk}\: &\color{magenta}\textrm{mendapatkan titik potong}\\ \textrm{garis}:\: &\color{blue}\textrm{L}_{1}\&\textrm{L}_{4}\: \: \color{black}\textrm{adalah sebagai berikut}:\\ &\begin{cases} 2x+y & =20 \\ x-2y & =5 \end{cases}\\ &\begin{cases} 4x+2y & =40 \\ x-2y & =5 \end{cases}\\ &-------\: \: .^{+}\\ &\qquad\quad\quad5x=45\\ &\: \: \qquad\qquad x=9\Rightarrow y=2\\ \textrm{Sehing}&\textrm{ga didapatkan titik}\: \: \left ( 9,2 \right ) \end{aligned}\\\hline \end{array}$

$.\: \: \: \quad\textrm{Selanjutnya}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Verteks}&\color{magenta}\textrm{Nilai}:& \textrm{Keterangan}\\ &-2x+4y+6&\\\hline \textrm{A}(5,0)&-2(5)+4.0+6=-4&\color{blue}\textrm{Minimum}\\\hline \textrm{B}(9,2)&-2(9)+4.2+6=-4&\color{blue}\textrm{Minimum}\\\hline \textrm{C}\left ( \displaystyle \frac{5}{2},15 \right )&-2\left ( \displaystyle \frac{5}{2} \right )+4.15+6=61&\color{red}\textrm{Maksimum}\\\hline \textrm{D}(0,10)&-2.0+4.10+6=46&\\\hline \textrm{E}(0,5)&-2.0+4.5+6=26&\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Nilai minimum}\: \: f(x,y)=3+4x-5y\\ &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\begin{cases} -x+y &\leq 1 \\ x+2y&\geq 5 \\ 2x+y &\leq 10 \\ \end{cases}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&-19\\ \textrm{b}.&-6\\ \color{red}\textrm{c}.&-5\\ \textrm{d}.&-3\\ \textrm{e}.&23\\ \end{array} \\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=3+4x-5y\\ &\color{blue}\textrm{dan kendala-kendalanya}\\ &\begin{cases} -x+y &\leq 1 \\ x+2y&\geq 5 \\ 2x+y &\leq 10 \\ \end{cases}\\ &\color{blue}\textrm{maka daerah penyelesaiannya adalah}: \end{aligned}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Verteks}&\color{magenta}\textrm{Nilai}:& \textrm{Keterangan}\\ &3+4x-5y&\\\hline \textrm{A}(1,2)&3+4.1-5.2=-3&\\\hline \textrm{B}(3,4)&3+4.3-5.4=-5&\color{blue}\textrm{Minimum}\\\hline \textrm{C}(5,0)&3+4.5-5.0=23&\color{red}\textrm{Maksimum}\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Fungsi}\: \: f(x,y)=10x+15y\\ &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\begin{cases} x &\geq 0 \\ y&\geq 0 \\ x &\leq 800 \\ x&+\: \: y\: \: \leq 1000\\ \end{cases}\\ &\textrm{mempunyai nilai maksimum}\: ....\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&9.000\\ \textrm{b}.&11.000\\ \color{red}\textrm{c}.&13.000\\ \textrm{d}.&15.000\\ \textrm{e}.&16.000\\ \end{array} \\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=10x+15y\\ &\color{blue}\textrm{dan kendala-kendalanya}\\ &\begin{cases} x &\geq 0 \\ y&\geq 0 \\ x &\leq 800 \\ x&+\: \: y\: \: \leq 1000\\ \end{cases}\\ &\color{blue}\textrm{maka daerah penyelesaiannya adalah}: \end{aligned}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Verteks}&\color{magenta}\textrm{Nilai}:& \textrm{Keterangan}\\ &f(x,y)=10x+15y&\\\hline \textrm{A}(800,0)&800.10+0=8000&\color{red}\textrm{Minimum}\\\hline \textrm{B}(800,200)&800.10+15.200=11.000&\\\hline \textrm{C}(400,600)&10.400+15.600=13.000&\color{blue}\textrm{Maksimum}\\\hline \textrm{D}(0,600)&3+0+15.600=9.000&\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Nilai maksimum fungsi sasaran}\\ & f(x,y)=4x+5y\\ &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\begin{cases} x&\geq 0 \\ y&\geq 0 \\ (&2x+y-4\: )(\: 2x+3y-6\: )\: \: \leq 0\\ \end{cases}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&11\\ \textrm{b}.&12\\ \textrm{c}.&16\\ \color{red}\textrm{d}.&20\\ \textrm{e}.&24\\ \end{array} \\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\textrm{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=4x+5y\\ &\color{blue}\textrm{dan kendala-kendalanya}\\ &\begin{cases} x&\geq 0 \\ y&\geq 0 \\ (&2x+y-4\: )(\: 2x+3y-6\: )\: \: \leq 0\\ \end{cases}\\ &\color{blue}\textrm{maka daerah penyelesaiannya adalah}: \end{aligned}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}\textrm{untuk}\: &\textrm{mendapatkan titik potongnya}\\ &\begin{cases} 2x+y & =4 \\ 2x+3y & =6 \end{cases}\\ &-------\: \: .^{-}\\ &\: \, \qquad-2y=-2\\ &\qquad\qquad y=1\Rightarrow x=\displaystyle \frac{3}{2}\\ \textrm{sehing}&\textrm{ga akan didapatkan}\\ \color{blue}\textrm{titik p}&\color{blue}\textrm{otongnya adalah}:\: \: \left ( \displaystyle \frac{3}{2},1 \right )\\ \textrm{Selanj}&\textrm{utnya, kita dapat menentukan}\\ \textrm{nilai}\: \: \: \: &\textrm{maksimunya dengan bantuan tabel berikut} \end{aligned}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Verteks}&\color{magenta}\textrm{Nilai}:& \textrm{Keterangan}\\ &f(x,y)=4x+5y&\\\hline (2,0)&4.2+0=8&\color{red}\textrm{Minimum}\\\hline (3,0)&4.3+0=12&\\\hline \left ( \displaystyle \frac{3}{2},1 \right )&4.\left ( \displaystyle \frac{3}{2} \right )+5.1=11&\\\hline (0,2)&0+52=10&\\\hline (0,4)&0+5.4=20&\color{blue}\textrm{Maksimum}\\\hline \end{array}$

Contoh Soal 3 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Pada gambar berikut ini, pertidaksamaan}\\ &\textrm{yang memenuhi adalah}\\\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&2x+y-4\leq 0,\: 2x+3y-6\geq 0,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{b}.&2x+y-4\geq 0,\: 2x+3y-6\leq 0,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{c}.&2x+y-4\leq 0,\: 2x+3y-6\leq 0,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \color{red}\textrm{d}.&\left (2x+y-4 \right )\left (2x+3y-6 \right )\leq 0,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{e}.&\left (2x+y-4 \right )\left (2x+3y-6 \right )\geq 0,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\textrm{Misalkan titik potong kedua garis adalah M}\\ &\color{magenta}\textrm{Persamaan garisnya sebelah kiri M}:\\ &(1)\: 4x+2y-8=0\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendala}:2x+y-4\leq 0\\ &(2)\: 2x+3y=6\\ &\: \: \: \quad \textrm{kendala}:2x+3y-6\geq 0\\ &(3)\: y=0,\: \: \textrm{kendala}:y\geq 0 \\ &(4)\: x=0,\: \: \textrm{kendala}:x\geq 0\\ &\color{blue}\textrm{Persamaan garisnya sebelah kanan M}:\\ &(5)\: 4x+2y-8=0\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendala}:2x+y-4\geq 0\\ &(6)\: 2x+3y=6\\ &\: \: \: \quad \textrm{kendala}:2x+3y-6\leq 0\\ &(7)\: y=0,\: \: \textrm{kendala}:y\geq 0 \\ &(8)\: x=0,\: \: \textrm{kendala}:x\geq 0 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Pada gambar berikut ini, pertidaksamaan}\\ &\textrm{yang memenuhi adalah}\\\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \color{red}\textrm{a}.&2x-y-4\leq 0,\: x-y-3\leq 0,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{b}.&2x-y-4\geq 0,\: x-y-3\geq 0,\: x\geq 0,\: y\leq 0\\ \textrm{c}.&2x-y-4\leq 0,\: x-y-3\geq 0,\: x\geq 0,\: y\leq 0\\ \textrm{d}.&\left (2x-y-4 \right )\left (x-y-3 \right )\geq 0,\: x\geq 0,\: y\leq 0\\ \textrm{e}.&\left (2x-y-4 \right )\left (x-y-3 \right )\leq 0,\: x\geq 0,\: y\leq 0\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\textrm{Misalkan titik potong kedua garis adalah M}\\ &\color{magenta}\textrm{Persamaan garisnya di atas M dan model}\\ &\color{magenta}\textrm{matematikanya adalah sebagai berikut}:\\ &(1)\: -3x+3y=-9\\ &\: \: \: \quad\textrm{garisnya menjadi}:\: -3x+3y+9=0\\ &\: \: \: \quad\textrm{maka}:\: -x+y+3=0\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendala}:-x+y+3\geq 0,\: \: \textrm{atau}\\ &\: \: \: \quad\color{blue}\textrm{kendala}:x-y-3\leq 0\\ &(2)\: -4x+2y=-8\\ &\: \: \: \quad\textrm{garisnya menjadi}:\: -4x+2y+8=0\\ &\: \: \: \quad\textrm{maka}:\: -2x+y+4=0\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendala}:-2x+y+4\geq 0,\: \: \textrm{atau}\\ &\: \: \: \quad \quad\color{blue}\textrm{kendala}:2x-y-4\leq 0\\ &(3)\: y=0,\: \: \textrm{kendala}:y\geq 0 \\ &(4)\: x=0,\: \: \textrm{kendala}:x\geq 0\\ \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Seorang penjual hewan kurban memiliki}\\ &\textrm{15 kandang ternak untuk memelihara sapi}\\ &\textrm{dan kambing. Setiap kandang hanya berisi}\\ &\textrm{kambing saja atau sapi saja. Setiap kandang}\\ &\textrm{dapat menampung sapi sebanyak 20 ekor}\\ &\textrm{atau kambing sebanyak 38 ekor. Penjual}\\ &\textrm{hewan kurban tersebut menaksir biaya}\\ &\textrm{perawatan yang dikeluarkan untuk setiap}\\ &\textrm{kandang sapi setiap bulannya sebesar}\\ &Rp500.000,00\: \: \textrm{dan kambing}\: \: Rp300.000,00.\\ &\textrm{Sementara itu, jumlah hewan yang}\\ &\textrm{direncanakan tidak lebih dari 300 ekor}.\\ &\textrm{Jika banyak kandang yang berisi sapi}\\ &\textrm{disebut}\: \: x\: \: \textrm{dan banyak kandang yang berisi}\\ &\textrm{kambing disebut}\: \: y,\: \: \textrm{sistem pertidaksamaan}\\ &\textrm{yang harus dipenuhi oleh}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\: \: \textrm{serta}\\ &\textrm{fungsi objektif untuk meminimumkan biaya}\\ &\textrm{perawatan hewan kurban adalah}.... \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: 20x+38y\leq 15,\: x+y\leq 300\\ &\textrm{minimum}\: \: f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \textrm{b}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: 38x+20y\leq 15,\:x+y\leq 300 \\ &\textrm{minimum}\: \: f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \textrm{c}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: 28x+30y\leq 300,\:x+y\leq 15 \\ &\textrm{minimum}\: \: f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \textrm{d}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: 38x+20y\leq 300,\:x+y\leq 15 \\ &\textrm{minimum}\: \: f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \color{red}\textrm{e}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: 20x+38y\leq 300,\:x+y\leq 15 \\ &\textrm{minimum}\: \: f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\color{blue}\textrm{Misalkan titik potong kedua garis adalah M}\\ &\color{magenta}\textrm{Misalkan sapi}=x,\: \: \textrm{kambing}=y,\: \: \textrm{maka}\\ &(1)\: \textrm{Sapi}+\textrm{Kambing}= 15\: \: \textrm{ekor}\\ &\: \: \: \quad \textrm{persamaan garisnya}:\\ &\: \: \: \quad x+y= 15,\: \: \textrm{dan}\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendalanya}:x+y\leq 15\\ &(2)\: \textrm{Daya tampung kandang}\\ &\: \: \: \quad \textrm{persamaan garisnya}:\\ &\: \: \: \quad20x+38y=300\\ &\: \: \: \quad \textrm{kendala}:20x+38y\leq 300\\ &(3)\: y=0,\: \: \textrm{kendala}:y\geq 0 \\ &(4)\: x=0,\: \: \textrm{kendala}:x\geq 0\\ &(5)\: \color{red}\textrm{Fungsi optimumnya adalah}:\\ &\: \: \: \color{blue}\quad f(x,y)=500.000x+300.000y \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Suatu perusahaan bangunan merencanakan}\\ &\textrm{pembangunan paling banyak 150 unit rumah}\\ &\textrm{untuk disewakan kepada 500 orang. Ada dua}\\ &\textrm{jenis rumah, yaitu rumah jenis A dengan}\\ &\textrm{kapasitas 4 orang yang akan disewakan dengan}\\ &\textrm{harga}\: \: Rp2.000.000,00\: \: \textrm{per tahun dan rumah}\\ &\textrm{jenis B dengan kapasitas 6 orang yang disewakan}\\ &Rp2.500.000,00\: \: \textrm{per tahun. Jika rumah jenis}\\ &\textrm{A dibuat sebanyak}\: \: x\: \: \textrm{unit dan jenis B sebanyak}\\ &y\: \: \textrm{unit},\: \color{blue}\textbf{model matematika}\: \color{black}\textrm{dari masalah tersebut}\\ &\textrm{adalah}\:.... \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: x+y\leq 100,\: 4x+6y\leq 500\\ \color{red}\textrm{b}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: x+y\leq 150,\:4x+6y\leq 500 \\ \textrm{c}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: x+y\leq 200,\:4x+6y\leq 250 \\ \textrm{d}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: x+y\leq 200,\:6x+4y\leq 250 \\ \textrm{e}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: x+y\leq 500,\:6x+4y\leq 250 \\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\textrm{Model matematikanya adalah}:\\ &\color{magenta}\textrm{Misalkan rumah jenis A}=x,\: \: \textrm{jenis B}=y,\: \: \textrm{maka}\\ &(1)\: \textrm{Jenis A}+\textrm{Jenis B}= 150\: \: \textrm{unit}\\ &\: \: \: \quad \textrm{persamaan garisnya}:\\ &\: \: \: \quad x+y= 150,\: \: \textrm{dan}\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendalanya}:x+y\leq 150\\ &(2)\: \textrm{Kapasitas atau daya tampung}\\ &\: \: \: \quad \textrm{Rumah jenis A muat 4 orang dan jenis B}\\ &\: \: \: \quad \textrm{6 orang sedangkan targetnya 500 orang, maka}\\ &\: \: \: \quad \textrm{persamaan garisnya}:\\ &\: \: \: \quad 4x+6y=500\\ &\: \: \: \quad \textrm{kendala}:4x+6y\leq 500\\ &(3)\: y=0,\: \: \textrm{kendala}:y\geq 0 \\ &(4)\: x=0,\: \: \textrm{kendala}:x\geq 0\\ &(5)\: \color{red}\textrm{Fungsi optimumnya adalah}:\\ &\: \: \: \color{blue}\quad f(x,y)=2.000.000x+2.500.000y \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Pedagang teh mempunyai lemari yang hanya}\\ &\textrm{cukup ditempati 40 boks teh. Teh A dibeli}\\ &\textrm{dengan harga}\: \: Rp6.000,00\: \: \textrm{setiap boks dan teh B}\\ &\textrm{dibeli dengan harga}\: \: Rp8.000,00\: \: \textrm{setiap boks}\\ &\textrm{Jika pedang tersebut mempunyai modal sebesar}\\ &Rp300.000,00\: \: \textrm{untuk membeli}\: \: x\: \: \textrm{boks teh A dan}\\ &y\: \: \textrm{boks teh B, maka sistem pertidaksamaan dari}\\ &\textrm{permasalahan tersebut adalah}\: .... \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&3x+4y\geq 150,\: x+y\geq 40,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \color{red}\textrm{b}.&3x+4y\leq 150,\: x+y\leq 40,\:x\geq 0,y\geq 0 \\ \textrm{c}.&3x+4y\geq 150,\: x+y\leq 40,\:x\geq 0,\: y\geq 0 \\ \textrm{d}.&6x+8y\leq 300,\: x+y\geq 40,\:x\geq 0,\: y\geq 0 \\ \textrm{e}.&8x+4y\leq 300,\: x+y\leq 40,\:x\geq 0,\: y\geq 0 \\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\textrm{Pembahasan diserahkan kepada pembaca} \end{aligned}$

Contoh Soal 2 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ &\textrm{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\\\ &\color{magenta}\begin{cases} -x+2y & \leq 2 \\ 4x+3y &\leq 12 \\ x \geq 0&\\ y\geq 0& \end{cases}\\\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ \end{array}$

$.\: \: \: \begin{array}{ll}\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&\textrm{I}\\ \textrm{b}.&\textrm{II}\\ \textrm{c}.&\textrm{III}\\ \textrm{d}.&\textrm{I}\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{IV}\\ \textrm{e}.&\textrm{II}\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{II} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\textrm{Pembahasan diserahkan kepada pembaca} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ &\textrm{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\\\ &\color{magenta}\begin{cases} 5x+y & \geq 10\\ 2x+y &\leq 8 \\ y\geq 2& \end{cases}\\\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ \end{array}$

$.\: \: \: \begin{array}{ll}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\textrm{I}\\ \textrm{b}.&\textrm{II}\\ \color{red}\textrm{c}.&\textrm{III}\\ \textrm{d}.&\textrm{IV}\\ \textrm{e}.&\textrm{V} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Pembahasan diserahkan kepada pembaca} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ &\textrm{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\\\ &\color{magenta}\begin{cases} x+y & \geq 4\\ x+2y &\leq 6 \\ y\geq 1& \end{cases}\\\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ \end{array}$

$.\: \: \: \begin{array}{ll}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\textrm{I}\\ \textrm{b}.&\textrm{II}\\ \color{red}\textrm{c}.&\textrm{III}\\ \textrm{d}.&\textrm{IV}\\ \textrm{e}.&\textrm{V} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Pembahasan juga diserahkan kepada pembaca} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 9.&(\textrm{SPMB 2003})\\ &\textrm{Daerah yang diarsir pada ilustrasi gambar berikut}\\ &\textrm{adalah himpunan semua}\: \: (x,y)\: \: \textrm{yang memenuhi} \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \color{red}\textrm{a}.&2x+y\leq 30,\: 3x+4y\leq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{b}.&2x+y\geq 30,\: 3x+4y\geq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{c}.&x+2y\geq 30,\: 3x+4y\geq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{d}.&x+2y\leq 30,\: 4x+3y\leq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{e}.&2x+y\geq 30,\: 4x+3y\leq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0 \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\textrm{Persamaan garisnya adalah}:\\ &(1)\: 15x+20y=300\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendala}:3x+4y\leq 60\\ &(2)\: 30x+15y=450\\ &\: \: \: \quad \textrm{kendala}:2x+y\leq 30\\ &(3)\: y=0,\: \: \textrm{kendala}:y\geq 0 \\ &(4)\: x=0,\: \: \textrm{kendala}:x\geq 0 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 10.&(\textrm{SPMB 2004})\\ &\textrm{Daerah yang diarsir pada ilustrasi gambar berikut}\\ &\textrm{adalah himpunan penyelesaian yang dipenuhi oleh} \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&6x+5y-30\leq 0,\: x+6y-6\leq 0,\: x-y\leq 0\\ \textrm{b}.&6x+5y-30\geq 0,\: x+6y-6\leq 0,\: x-y\leq 0\\ \color{red}\textrm{c}.&6+5y-30\leq 0,\: x+6y-6\geq 0,\: x-y\geq 0\\ \textrm{d}.&6x+5y-30\leq 0,\: x+6y-6\geq 0,\: x-y\leq 0\\ \textrm{e}.&6x+5y-30\geq 0,\: x+6y-6\geq 0,x-y\geq 0 \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Perhatikan bahwa kendala-kendalanya}:\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline \begin{aligned}6x+5y&=6\times 5\\ 6x+5y&=30 \end{aligned}&\begin{aligned}x+6y&=1\times 6\\ x+6y&=6 \end{aligned}&\begin{aligned}x&=y\\ \end{aligned}\\\hline \textbf{Sebelah kiri}&\textbf{Sebelah kanan}&\\\hline \begin{aligned}6x+5y&\leq 30\\ 6x+5y-30&\leq 0 \end{aligned}&\begin{aligned}x+6y&\geq 6\\ x+6y-6&\geq 0 \end{aligned}&\begin{aligned}x&\geq y\\ x-y&\geq 0 \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{aligned}$

Contoh Soal 1 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Daerah yang diarsir berikut adalah himpunan}\\ &\textrm{penyelesaian pertidaksamaan dari}....\\ \end{array}$

$.\: \: \: \begin{array}{ll}\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&y\geq 0,\: x-2y\geq -2,\: 3x+4y\leq 12\\ \textrm{b}.&y\geq 0,\: x-2y\geq -2,\: 3x+4y\geq 12\\ \textrm{c}.&y\geq 0,\: -2x+y\geq -2,\: 4x+3y\leq 12\\ \textrm{d}.&x\geq 0,\: -2x+y\leq -2,\: 4x+3y\geq 12\\ \textrm{e}.&x\geq 0,\: x-2y\leq -2,\: 3x+4y\leq 12 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\textrm{Cukup jelas. Anda bisa mengecek dengan titik uji} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Daerah yang diarsir berikut adalah himpunan}\\ &\textrm{penyelesaian pertidaksamaan dari}....\\ \end{array}$

$.\: \: \: \begin{array}{ll}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&x\geq 0,\: 4x+y\geq 4,\: x+y\leq 2\\ \color{red}\textrm{b}.&x\geq 0,\: 4x+y\leq 4,\: x+y\geq 2\\ \textrm{c}.&x\geq 0,\: 4x+y> 4,\: x+y< 2\\ \textrm{d}.&x\geq 0,\: x+4y> 4,\: x+y< 2\\ \textrm{e}.&x\geq 0,\: x+4y\leq 4,\: x+y\geq 2 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\textrm{Cukup jelas} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ &\textrm{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\\\ &\color{magenta}\begin{cases} 2x+y & \leq 24 \\ x+2y &\geq 12 \\ x-y & \geq -2 \end{cases}\\\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ & \end{array}$

$.\: \: \: \begin{array}{ll}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\textrm{I}\\ \textrm{b}.&\textrm{II}\\ \color{red}\textrm{c}.&\textrm{III}\\ \textrm{d}.&\textrm{IV}\\ \textrm{e}.&\textrm{V} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Pembahasan diserahkan kepada pembaca} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ &\textrm{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\\\ &\color{magenta}\begin{cases} x+2y & \geq 6 \\ 4x+5y &\leq 20 \\ 2x+y & \geq 6 \end{cases}\\\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ \end{array}$

$.\: \: \: \begin{array}{ll}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\textrm{I}\\ \color{red}\textrm{b}.&\textrm{II}\\ \textrm{c}.&\textrm{III}\\ \textrm{d}.&\textrm{IV}\\ \textrm{e}.&\textrm{V} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\textrm{Pembahasan diserahkan kepada pembaca} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ &\textrm{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\\\ &\color{magenta}\begin{cases} 2x+y & \geq 4 \\ x+y &\geq 3 \\ x-4y & \geq 4 \end{cases}\\\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ \end{array}$

$.\: \: \: \begin{array}{ll}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\textrm{I}\\ \textrm{b}.&\textrm{II}\\ \color{red}\textrm{c}.&\textrm{III}\\ \textrm{d}.&\textrm{IV}\\ \textrm{e}.&\textrm{V} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Pembahasan diserahkan kepada pembaca} \end{array}$

Program Linear Dua Variabel (Matematika Wajib Kelas XI)

$\LARGE\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

Untuk menguasai materi ini, materi prasyarat yang harus pembaca kuasai adalah materi tentang persamaan linier dua variabel dan tentunya materi pertidaksamaan linear satu variabel. Materi program linear ini banyak digunakan dalam bidang ekonomi khususnya masalah optimasi.

$\LARGE\color{blue}\textrm{B. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel}$

Sebelumnya perhatikanlah ilustrasi berikut

Bentuk umum yang akan digunakan dalam bahasan ini adalah sebagai berikut

$\color{blue}\begin{aligned}&\begin{cases} ax+by &\geq m \\ ax+by &>m \\ cx+dy &\leq n \\ cx+dy & <n \end{cases}\\\\ &\color{magenta}\textrm{dengan}\\ &a,b,c,d,m,n\: \: \textrm{bilangan riil}\\ &\color{magenta}\textrm{serta}\\ &x,y\: \: \textrm{keduanya adalah peubah bebas/variabel} \end{aligned}$

Sebagai misal 

Untuk membantu menentukan pertidaksamaan linear dua variabel di atas tentunya penting juga membuat persamaan garis lurus (linear) sebagai prasyarat untuk membuat pertidaksaan yang dimaksud, yaitu:

$\begin{aligned}&\textrm{Persamaan garis di atas adalah}:\\ &\qquad\qquad\quad ax+by=ab \end{aligned}$

dan jika garisnya berbentuk berikut:

$\begin{aligned}&\textrm{maka persamaan garisnya adalah}:\\ &(1)\qquad ax-by=0,\: \: \textrm{atau}\\ &(2)\qquad y=\left (\tan \alpha \right )x \end{aligned}$

dan jika garisnya berupa ilustrasi berikut

$\begin{aligned}&\textrm{maka persamaan gradien dan garisnya adalah}:\\ &(1)\qquad m=\displaystyle \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}},\: \: \textrm{dan}\\ &(2)\qquad y=m\left ( x-x_{1} \right )+y_{1} \end{aligned}$

Dalam program linear terdapat dua hal yang harus diperhatikan yang berkaitan dalam penyelesaian dari masalah optimasi nantinya, yaitu kendala-kendala berupa pertidaksamaan linear dua variabel yang menjadi bahasan utama dan fungsi objektif sebagai fungsi sasarannya untuk mendapatkan dan menentukan mana yang nantinya dinyatakan suatu vektek (titik pojok) sebagai titik maksimum atau minimum.

$\LARGE\color{blue}\textrm{C. Nilai Optimum Fungsi Objektif}$

Bentuk umum dari fungsi objektif ini adalah

$\LARGE\color{magenta}\boxed{f(x,y)=ax+by}$

Fungsi optimum ini akan menunjukkan keoptimumnya mana kala titik-titik pojok disubstitusikan pada fungsi ini sehingga akan didapatkan nilai maksimum atau minimunya. 

Untuk mendapatkan nilai optimum dari fungsi objektif ini dapat digunakan salah satu metode berikut

• metode uji titik pojok
• metode garis selidik

$\LARGE\color{blue}\textrm{D. Langkah Penyelesaian Program Linear}$

$\begin{aligned}(1)\quad&\textrm{Membuat model matematika}.\\ &\color{blue}\textrm{Memodelkan soal ke dalam bahasa matematika}\\ (2)\quad&\textrm{Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear}\\ &\textrm{(dua variabel) dan mengarsir daerah yang}\\ &\color{blue}\textrm{memenuhi pertidaksamaan yang diinginkan} \\ (3)\quad&\textrm{Menentukan titik-titik sudut (verteks / titik ekstrem )}\\ (4)\quad&\textrm{Menentukan penyelesaian Optimasi dari fungsi objektif tersebut}\\ & \textrm{(kadang disebut sebagai fungsi sasaran / tujuan)}\: \: \color{red}f(x,y)=ax+by\\ & \color{blue}\textrm{baik dengan metode uji titik sudut (Verteks / titik ekstrem)}\\ & \color{blue}\textrm{atau garis selidik}. \end{aligned}$

$\LARGE\color{magenta}\fbox{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Tentukanlah nilai minimum fungsi objektif}\\ & f(x,y)=3x+5y.\: \: \textrm{Jika diketahui}\\ &\textrm{kendala-kendalanya adalah sebagai berikut}:\\ &\begin{cases} 2x+y &\geq 8 \\ 2x+3y &\geq 12 \\ x\geq 0& \\ y\geq 0 & \end{cases}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\textrm{Mula-mula kita tentukan wilayah kendalanya, yaitu}:\\ &\textrm{kendala 1}:\: \: 2x+y\geq 8,\: \: \textrm{maka garisnya}:2x+y=8\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&0&4\\\hline y&8&0\\\hline (x,y)&(0,8)&(4,0)\\\hline \end{array}\\ &\textrm{kendala 2}:\: \: 2x+3y\geq 12,\: \: \textrm{garisnya}:2x+3y=12\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&0&6\\\hline y&4&0\\\hline (x,y)&(0,4)&(6,0)\\\hline \end{array}\\ &\textrm{kendala 3}:\: \: x\geq 0,\: \: \textrm{garisnya}:x=0\\ &\textrm{yang diarsir wilayah dari sumbu Y ke kanan}\\ &\textrm{kendala y}:\: \: y\geq 0,\: \: \textrm{garisnya}:y=0\\ &\textrm{yang diarsir wilayah dari sumbu X ke atas}\\ &\textrm{Dan titik potong kedua garis di atas, yaitu}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline 2x+y=8&2x+3y=12\\\hline \textrm{di eliminasi}&\textrm{substitusi}\\\hline \begin{matrix} 2x+y=8\\ 2x+3y=12\\ -------\\ -2y=-4\\ y=2 \end{matrix}&\begin{aligned}&2x+y=8\\ &2x+(2)=8\\ &2x=8-2\\ &x=4-1=3 \end{aligned}\\\hline \color{blue}\begin{aligned}&\qquad\quad\textrm{Jadi}\\ &\textrm{titik potongnya}\\ &\textrm{potongnya adalah} \end{aligned}&\color{red}(3,2)\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Langkah berikutnya menentukan vertek dan}\\ &\textrm{menggambar kedalam koordinat Kartesius, yaitu}:\\ \end{array}$

$\color{blue}\begin{aligned}.\quad&\textrm{Langkah berikutnya menentukan}\\ &\textrm{nilai minimumnya, yaitu}: \end{aligned}$

$\begin{array}{|c|c|l|}\hline \textrm{Titik pojok/vertek}&f(x,y)=3x+5y&\textrm{Keterangan}\\\hline (6,0)&3.6+0=18&\color{blue}\textrm{Minimum}\\\hline (3,2)&3.3+5.2=19&\\\hline (0,8)&0+5.8=40&\\\hline \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Muis, A. 2009. Perang Siasat Matematika Dasar. Bantul: KREASI WACANA
2. Tim VisiMath. 2009. 5000Plus Soal Matematika. Jakarta: Cerdas Interaktif

Contoh Soal 5 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

$\begin{array}{ll}\\ 21.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: S(n)\: \: \textrm{adalah formula dari}\\ &3+6+12+24+...+\left ( 3.2^{n-1} \right )=3.\left ( 2^{n}-1 \right )\\ &\textrm{Jika}\: \: S(n)\: \: \textrm{benar, untuk}\: \: n=k+1,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{ruas kiri persamaan tersebut dapat dituliskan}\\ &\textrm{dengan}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&3+6+12+24+...+ 3.2^{k+1} \\ \textrm{b}.&3+6+12+24+...+ 3.2^{k-1} \\ \color{red}\textrm{c}.&3+6+12+24+...+ 3.2^{k-1}+3.2^{k} \\ \textrm{d}.&3+6+12+24+...+ 3.2^{k-1}+3.2^{k+1} \\ \textrm{e}.&3+6+12+24+...+ 3.2^{k}+3.2^{k+1} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&3+6+12+24+...+ 3.2^{n-1} =3.\left ( 2^{n}-1 \right )\\ &\color{red}3+6+12+24+...+ 3.2^{k-1}+3.2^{k}\color{black}=3.\left ( 2^{k+1}-1 \right ) \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Budhi, W.S. 2018. Bupena Matematika SMA/MA Kelas XI Kelompok Wajib. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal 4 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

$\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Diketahui}\: \: 1+5+9+...+(4n-1)=2n^{2}-n\\ &\textrm{dengan}\: \: n\: \: \textrm{bilangan asli}.\: \textrm{Jika}\: \: m<k\: \: \textrm{dengan}\\ &m,k\: \: \textrm{bilangan asli juga},\: \textrm{maka}\\ &(4m-3)+(4m+1)+...+(4k-3)=....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&(k-m)(2k+2m-2)\\ \color{red}\textrm{b}.&(k-m+1)(2k+2m-3)\\ \textrm{c}.&(k-m+1)(2k-2m+1)\\ \textrm{d}.&(k-m+1)(2k^{2}+2m^{2}-3)\\ \textrm{e}.&(k-m)^{2}(2k-2m+4) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&1+5+9+...+(4m-3)+(4m+1)+...+(4k-3)\\ &=\underset{2k^{2}-k}{\underbrace{1+5+...+(4k-3)}}-\underset{2(m-1)^{2}-(m-1)}{\underbrace{1+5+...+(4(m-1)-3)}}\\ &=2k^{2}-k-\left ( 2(m-1)^{2}-(m-1) \right )\\ &=2k^{2}-k-2(m-1)^{2}+(m-1)\\ &=2k^{2}-k-2\left ( m^{2}-2m+1 \right )+m-1\\ &=2k^{2}-k-2m^{2}+4m-2+m-1\\ &=2k^{2}-k-2m^{2}+5m-3\\ &=(k-m+1)(2k+2m-3) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Diketahui}\: \: 2^{1}+2^{2}+2^{3}+...+2^{n}=2^{n+1}-2\\ &\textrm{dengan}\: \: n\: \: \textrm{bilangan asli}.\: \textrm{Jika}\: \: k\: \: \textrm{bilangan asli},\\ &\textrm{maka}\: \: 2^{2}+2^{3}+2^{4}+...+2^{k}+2^{k+1}=....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&(k-m)(2k+2m-2)\\ \textrm{b}.&(k-m+1)(2k+2m-3)\\ \textrm{c}.&(k-m+1)(2k-2m+1)\\ \color{red}\textrm{d}.&(k-m+1)(2k^{2}+2m^{2}-3)\\ \textrm{e}.&(k-m)^{2}(2k-2m+4) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&2^{2}+2^{3}+2^{4}+...+2^{k}+2^{k+1}\\ &=2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+...+2^{k}+2^{k+1}-2^{1}\\ &=\underset{2^{k+1+1}-2}{\underbrace{2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+...+2^{k}+2^{k+1}}}-2^{1}\\ &=2^{k+2}-2-2\\ &=2^{k+2}-4\\ &=2^{k}.2^{2}-4\\ &=2^{k}\times 4-4\\ &=4\left ( 2^{k}-1 \right ) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: S(n)\: \: \textrm{adalah formula dari}\\ &2+5+10+17+...+\left ( n^{2}+1 \right )=\displaystyle \frac{1}{6}(n+1)\left ( 2n^{2}+n+6 \right )\\ &\textrm{Jika}\: \: S(n)\: \: \textrm{benar, untuk}\: \: n=k,\: \: \textrm{maka}....\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&2+5+10+17+...+\left ( k^{2}+1 \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{6}(k+1)\left ( 2k^{2}+k+6 \right )\\ \textrm{b}.&2+5+10+17+...+\left ( n^{2}+1 \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{6}(k+1)\left ( 2k^{2}+k+6 \right )\\ \textrm{c}.&2+5+10+17+...+\left ( k^{2}+2 \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{6}(k+2)\left ( 2k^{2}+5k+9 \right )\\ \textrm{d}.&\left ( k^{2}+1 \right )=\displaystyle \frac{1}{6}(k+1)\left ( 2k^{2}+k+6 \right )\\ \textrm{e}.&\left ( n^{2}+2 \right )=\displaystyle \frac{1}{6}(n+1)\left ( 2n^{2}+5n+9 \right ) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\textrm{Cukup jelas}\\ &\textrm{Tinggal mensubstitusikan dari}\\ &\textrm{tiap}\: \: n\: \: \textrm{diganti}\: \: k \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: S(n)\: \: \textrm{adalah formula dari}\\ &12+17+22+...+\left ( 5n+7 \right )=\displaystyle \frac{1}{2}(n+1)(5n+14)\\ &\textrm{Jika}\: \: S(n)\: \: \textrm{benar, untuk}\: \: n=k,\: \: \textrm{maka benar}\\ &\textrm{untuk}\: \: n=k+1.\: \textrm{Pernyataan ini dapat}\\ &\textrm{dinyatakan dengan}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&12+17+22+...+\left ( 5k+7 \right )=\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(5k+14)\\ \textrm{b}.&12+17+22+...+\left ( 5k+7 \right )=\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(5k+19)\\ \textrm{c}.&12+17+22+...+\left ( 5k+12 \right )=\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(5k+19)\\ \textrm{d}.&12+17+22+...+\left ( 5k+12 \right )=\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)(5k+14)\\ \color{red}\textrm{e}.&12+17+22+...+\left ( 5k+12 \right )=\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)(5k+19) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&12+17+22+...+\left ( 5k+7 \right )=\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(5k+14)\\ &12+17+22+...+\left ( 5(k+1)+7 \right )\\ &\qquad\qquad\qquad\quad=\displaystyle \color{magenta}\frac{1}{2}((k+1)+1)(5(k+1)+14)\\ &12+17+22+...+\left ( 5k+12 \right )=\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)(5k+19) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: S(n)\: \: \textrm{adalah formula dari}\\ &4+5+6+7+...+(n+3)<5n^{2}\\ &\textrm{Jika}\: \: S(n)\: \: \textrm{benar, untuk}\: \: n=k+1,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{pernyataan ini dapat ditulis dengan}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&4+5+6+...+(k+4)<5k^{2}\\ \textrm{b}.&4+5+6+...+(k+3)<5k^{2}\\ \textrm{c}.&4+5+6+...+(k+3)<5(k+1)^{2}\\ \color{red}\textrm{d}.&4+5+6+...+(k+4)<5(k^{2}+2k+1)\\ \textrm{e}.&4+5+6+...+(k+4)<5(k+1)(k-1) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&4+5+6+...+(n+3)<5n^{2}\\ &\textrm{Saat}\: \: n=k+1,\: \: \textrm{maka}\\ &4+5+6+...+((k+1)+3)<5(k+1)^{2}\\ &=4+5+6+...+(k+4)<5\left ( k^{2}+2k+1 \right ) \end{aligned} \end{array}$

Contoh Soal 3 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Perhatikanlah pernyataan-pernyataan berikut}\\ &(1)\quad \displaystyle \sum_{i=1}^{5}(5i+2)=4\displaystyle \sum_{i=1}^{5}i+10\\ &(2)\quad \displaystyle \sum_{i=1}^{5}(5i^{2}-i)=5\displaystyle \sum_{i=1}^{5}i^{2}-\sum_{i=1}^{5}i\\ &(3)\quad \displaystyle \sum_{i=1}^{5}(3i-4)=3\displaystyle \sum_{i=1}^{5}i^{2}-4\\ &(4)\quad \displaystyle \sum_{i=1}^{5}(i+7i^{2})=\displaystyle \sum_{i=1}^{5}i-7\sum_{i=1}^{5}i\\ &\textrm{Pernyataan yang tepat ditunjukkan oleh}....\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&(1)\: \: \textrm{dan}\: \: (2)\\ \textrm{b}.&(1)\: \: \textrm{dan}\: \: (3)\\ \textrm{c}.&(1)\: \: \textrm{dan}\: \: (4)\\ \textrm{d}.&(2)\: \: \textrm{dan}\: \: (3)\\ \textrm{e}.&(2)\: \: \textrm{dan}\: \: (4) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\begin{aligned}(1)\quad&\displaystyle \sum_{i=1}^{5}(5i+2)=4\displaystyle \sum_{i=1}^{5}i+\sum_{i=1}^{5}2\\ &=4\displaystyle \sum_{i=1}^{5}i+5\times 2\\ &=4\displaystyle \sum_{i=1}^{5}i+10\\ (2)\quad&\displaystyle \sum_{i=1}^{5}(5i^{2}-i)=5\displaystyle \sum_{i=1}^{5}i^{2}-\sum_{i=1}^{5}i\\ (3)\quad&\displaystyle \sum_{i=1}^{5}(3i-4)=3\displaystyle \sum_{i=1}^{5}i^{2}-\sum_{i=1}^{5}4\\ &=3\displaystyle \sum_{i=1}^{5}i^{2}-5\times 4\\ &=3\displaystyle \sum_{i=1}^{5}i^{2}-20\\ (4)\quad&\displaystyle \sum_{i=1}^{5}(i+7i^{2})=\displaystyle \sum_{i=1}^{5}i+7\sum_{i=1}^{5}i \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Hasil dari}\: \: \displaystyle \sum_{i=1}^{4}i^{2}+\sum_{i=5}^{6}i^{2}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle 86\\ \color{red}\textrm{b}.&\displaystyle 91\\ \textrm{c}.&\displaystyle 95\\ \textrm{d}.&\displaystyle 101\\ \textrm{e}.&\displaystyle 105 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\displaystyle \sum_{i=1}^{4}i^{2}+\sum_{i=5}^{6}i^{2}&=\displaystyle \sum_{i=1}^{6}i^{2}\\ &=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}\\ &=1+4+9+16+25+36\\ &=91 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Hasil dari}\: \: \displaystyle \sum_{i=2}^{5}\left ( 4i^{2}-2i \right )\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle 144\\ \textrm{b}.&\displaystyle 148\\ \textrm{c}.&\displaystyle 154\\ \textrm{d}.&\displaystyle 164\\ \color{red}\textrm{e}.&\displaystyle 188 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\displaystyle \sum_{i=2}^{5}\left ( 4i^{2}-2i \right )\\ &=\left ( 4.2^{2}-2.2 \right )+\left ( 4.3^{2}-2.3 \right )+\left ( 4.4^{2}-2.4 \right )+\left ( 4.5^{2}-2.5 \right )\\ &=12+30+56+90\\ &=188 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Bentuk}\: \: 11^{n}-1\: \: \textrm{dengan}\: \: n\: \: \textrm{bilangan asli}\\ &\textrm{akan habis dibagi oleh}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle 7\\ \textrm{b}.&\displaystyle 9\\ \color{red}\textrm{c}.&\displaystyle 10\\ \textrm{d}.&\displaystyle 11\\ \textrm{e}.&\displaystyle 13 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Bentuk}&\: \: 11^{n}-1\\ \textrm{untuk}&\: \: n=1\\ &=11^{1}-1\\ &=10 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Rumus yang tepat untuk pola}\: \: 12,13,14,15,...\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle U_{n}=n+9\\ \textrm{b}.&\displaystyle U_{n}=n+10\\ \color{red}\textrm{c}.&\displaystyle U_{n}=n+11\\ \textrm{d}.&\displaystyle U_{n}=2n+10\\ \textrm{e}.&\displaystyle U_{n}=2n+11 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Bentuk}&\: \: 12,13,14,15,...\\ \textrm{untuk}&\: \: U_{n}=pn+q\\ 12&=p+q\\ 13&=2p+q\\ \textrm{akan}&\: \textrm{didapatkan}\\ &\begin{cases} p & =1 \\ q & =11 \end{cases}\\ \textrm{Sehing}&\textrm{ga}\\ U_{n}&=n+11 \end{aligned} \end{array}$

Contoh Soal 2 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Dengan Induksi Matematika untuk}\: \: n\in \mathbb{N}\\ &\textrm{dapat dibuktikan juga bahwa}\: \: 7^{n}-2^{n}\\ &\textrm{akan habis dibagi oleh}\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&2\\ \textrm{b}.&3\\ \textrm{c}.&4\\ \color{red}\textrm{d}.&5\\ \textrm{e}.&6\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\begin{aligned}P(n)&=7^{n}-2^{n}\\ P(1)&=7^{1}-2^{1}\\ &=7-2=5\\ &\textrm{adalah bilangan yang habis dibagi 5} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: P(n)\: \: \textrm{rumus dari}\\ & 3+6+9+\cdots +3n=\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)\\ &\textrm{maka langkah pertama dengan induksi matematika}\\ &\textrm{dalam pembuktian rumus tersebut adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=-1\\ \color{red}\textrm{b}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=1\\ \textrm{c}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan bulat}\\ \textrm{d}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan rasional}\\ \textrm{d}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan real} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Langkah}&\: \textrm{awal yang harus ditunjukkan adalah}\\ n=1&\: \: \textrm{atau}\: \: P(1)\: \: \textrm{harus benar, yaitu}:\\ P(1)&=3.1(\textit{ruas kiri})=\displaystyle \frac{3}{2}.1.(1+1)(\textit{ruas kanan})=3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Bila kita hendak membuktikan}\: \: \displaystyle \sum_{i=1}^{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ &\textrm{dengan induksi matematika}\\ &\textrm{maka untuk langkah}\: \: n=k+1\\ &\textrm{bentuk yang harus ditunjukkan adalah}...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&1+2+3+\cdots +n=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ \textrm{b}.&1+2+3+\cdots +k=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)\\ \textrm{c}.&1+2+3+\cdots +k=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+2)\\ \color{red}\textrm{d}.&1+2+3+\cdots +k+(k+1)=\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(k+2)\\ \textrm{e}.&1+2+3+\cdots +k+(k+1)=\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)(k+3)\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\begin{aligned}P(n)&=1+2+3+\cdots +n=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ P(k)&=1+2+3+\cdots +k=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)\\ P(k+1)&=1+2+3+\cdots +k+(k+1)\\ &=\underset{\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)}{\underbrace{1+2+3+\cdots +k}}+(k+1)\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)+(k+1)=(k+1)\left ( \displaystyle \frac{1}{2}k+1 \right )\\ &=(k+1)\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(k+2) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Jika}\: \: P(n)=\displaystyle \frac{n-1}{n+3},\: \textrm{maka}\: \: P(k+1)\\ & \textrm{dinyatakan dengan}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{k-1}{k+3}\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{k-1}{k+4}\\ \color{red}\textrm{c}.&\displaystyle \frac{k}{k+4}\\ \textrm{d}.&\displaystyle \frac{k+1}{k+4}\\ \textrm{e}.&\displaystyle \frac{k+1}{k+5} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}P(n)=&\displaystyle \frac{n-1}{n+3}\\ P(k+1)&=\displaystyle \frac{k+1-1}{k+1+3}\\ &=\displaystyle \frac{k}{k+4} \end{aligned}\end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Jika}\: \: P(n)=\displaystyle \frac{n^{2}+1}{4},\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{pernyataan untuk}\: \: P(k+1)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+1}{4}\\ \color{red}\textrm{b}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+2}{4}\\ \textrm{c}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+2}{5}\\ \textrm{d}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+3}{5}\\ \textrm{e}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+3}{4} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\begin{aligned}P(n)&=\displaystyle \frac{n^{2}+1}{4}\\ P(k+1)&=\displaystyle \frac{(k+1)^{2}+1}{4}\\ &=\displaystyle \frac{k^{2}+2k+2}{4} \end{aligned} \end{array}$

Contoh Soal 1 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Hasil dari}\: \: \displaystyle \sum_{i=1}^{6}16i\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&306\\ \textrm{b}.&314\\ \textrm{c}.&326\\ \color{red}\textrm{d}.&336\\ \textrm{e}.&402 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\displaystyle \sum_{i=1}^{6}16i&=16.1+16.2+16.3+16.4+16.5+16.6\\ &=16+32+48+64+80+96\\ &=336 \end{aligned}\end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Hasil dari}\: \: \displaystyle \sum_{i=2}^{9}i^{2}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&274\\ \textrm{b}.&278\\ \textrm{c}.&280\\ \color{red}\textrm{d}.&284\\ \textrm{e}.&286 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\displaystyle \sum_{i=2}^{9}i^{2}&=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+..+9^{2}\\ &=4+9+16+25+...+81\\ &=284 \end{aligned}\end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Poa bilangan}\: \: 12,14,16,18,20,...,(2n+10).\\ &\textrm{Nilai suku ke-100 adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&180\\ \textrm{b}.&194\\ \textrm{c}.&198\\ \textrm{d}.&208\\ \color{red}\textrm{e}.&210\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\color{blue}\begin{aligned}U_{n}&=2n+10\\ U_{100}&=2\times 100+10\\ &=210 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui bahwa jika}\\ & 31+39+47+\cdots +8n+23=4n^{2}+27n\\ & \textrm{dengan}\: \: k,n\in \mathbb{N}\: \: \textrm{maka}\\ & 31+39+47+\cdots +8n+23+8k+31=....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&4k^{2}+27k\\ \textrm{b}.&4k^{2}+35k\\ \color{red}\textrm{c}.&4k^{2}+35k+31\\ \textrm{d}.&4k^{2}+35k+1\\ \textrm{e}.&4k^{2}+35k+54\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\underset{4k^{2}+27k}{\underbrace{31+39+47+\cdots +8k+23}}+8k+31\\ &=4k^{2}+27k+8k+31\\ &=4k^{2}+35k+31 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Dengan Induksi Matematika untuk}\: \: n\in \mathbb{N}\\ &\textrm{dapat dibuktikan bahwa}\: \: n(n+1)(n+2)\\ &\textrm{akan habis dibagi oleh}\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&4\\ \textrm{b}.&5\\ \color{red}\textrm{c}.&6\\ \textrm{d}.&7\\ \textrm{e}.&8\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}P(n)&=n(n+1)(n+2)\\ P(1)&=1(1+1)(1+2)=1.2.3\\ &\textrm{adalah bilangan yang habis dibagi 6} \end{aligned} \end{array}$

Contoh Soal 6 Persamaan Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XI)

$\begin{array}{ll}\\ 26.&\textrm{Jika nilai}\: \: \cot A+\cos A=x\\ &\textrm{dan}\: \: \cot A-\cos A=y,\\ &\textrm{maka nilai}\: \: \left ( x^{2}-y^{2} \right )=\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&4\sqrt{xy}\\ \textrm{b}.&2\sqrt{xy}\\ \textrm{c}.&xy\\ \textrm{d}.&2\\ \textrm{e}.&4 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\color{magenta}xy&=\left (\cot A+\cos A \right )\left ( \cot A-\cos A \right )\\ &=\cot ^{2}A-\cos ^{2}A\\ &=\displaystyle \frac{\cos^{2}A }{\sin ^{2}A}-\cos ^{2}A\\ &=\displaystyle \frac{\cos^{2}A }{\sin ^{2}A}-\cos ^{2}A\times \frac{\sin ^{2}A}{\sin ^{2}A}\\ &=\displaystyle \frac{\cos ^{2}A}{\sin ^{2}A}\left ( 1-\sin ^{2}A \right )\\ &=\displaystyle \frac{\cos ^{4}A}{\sin ^{2}A}\\ \sqrt{xy}&=\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A}\times \cos A\\ \color{black}\textrm{Se}&\color{black}\textrm{lanjutnya}\\ x^{2}-y^{2}&=\left (\cot A+\cos A \right )^{2}-\left ( \cot A-\cos A \right )^{2}\\ (x+y)&(x-y)=(\cot A+\cos A+\cot A-\cos A)\\ &\qquad\times (\cot A+\cos A-(\cot A-\cos A))\\ x^{2}-y^{2}&=2\cot A\times 2\cos A\\ &=4\times \displaystyle \frac{\cos A}{\sin A}\times \cos A\\ &=\color{magenta}4\sqrt{xy} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 27.&\textrm{Jika nilai}\: \: \cos A+\sin A=\sqrt{2}\cos A\\ &\textrm{maka nilai}\: \: \left ( \cos A-\sin A \right )=\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&-\sqrt{2}\cos A\\ \textrm{b}.&-\sqrt{2}\sin A\\ \color{red}\textrm{c}.&\sqrt{2}\sin A\\ \textrm{d}.&\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\sec A\\ \textrm{e}.&\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\csc A \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\cos A+\sin A&=\sqrt{2}\cos A\\ \left (\cos A+\sin A \right )^{2}&=\left (\sqrt{2}\cos A \right )^{2}\\ 1+2\sin A\cos A&=2\cos ^{2}A\\ 2\sin A\cos A&=2\cos ^{2}A-1\\ \textrm{maka}&\\ \left (\cos A-\sin A \right )^{2}&=1-2\sin A\cos A\\ &=1-\left ( 2\cos ^{2}A-1 \right )\\ &=2-2\cos ^{2}A\\ &=2\left ( 1-\cos ^{2}A \right )\\ &=2\sin ^{2}A\\ \cos A-\sin A&=\sqrt{2\sin ^{2}A}\\ &=\sin A\sqrt{2}\\ &=\color{magenta}\sqrt{2}.\sin A \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, dan Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU.
2. Sukino. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA