Lanjutan Fungsi Eksponen

$\text{C.2 Operasi Bilangan Bentuk Akar}$.

C. 2. 1  Sifat-sifat yang berlaku pada operasi bilangan bentuk akar

$\begin{array}{rl}& \\ 1.& a\sqrt[n]{c}+b\sqrt[n]{c}=(a+b)\sqrt[n]{c}\\ 2.& a\sqrt[n]{c}-b\sqrt[n]{c}=(a-b)\sqrt[n]{c}\\ 3.& \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\\ 4.& \sqrt[n]{a^n}=a\\ 5.& a\sqrt[n]{c}xb\sqrt[n]{d}=ab\sqrt[n]{cd}\\ 6.& \frac{a\sqrt[n]{c}}{b\sqrt[n]{d}}=\frac{a}{b}.\sqrt[n]{\frac{c}{d}}\\ 7.& \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\\ 8.& \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\end{array}$.

$\text{ CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sederhanakanlah bentuk akar berikut}\\ & \begin{array}{llllll}\text{a}.& \sqrt{8}& \text{f}.& \sqrt[3]{16}& \text{k}.& \sqrt{8x^5},x\ge 0\\ \text{b}.& \sqrt{12}& \text{g}.& \sqrt[3]{32}& \text{l}.& \sqrt{48x^6{y}^{11}},y\ge 0\\ \text{c}.& \sqrt{27}& \text{h}.& \sqrt[3]{54}& \text{m}.& 2\sqrt{8}\times \sqrt{3}\\ \text{d}.& \sqrt{28}& \text{i}.& \sqrt[3]{81}& \text{n}.& 3\sqrt{6}\times 2\sqrt{2}\\ \text{e}.& \sqrt{32}& \text{j}.& \sqrt[3]{625}& \text{o}.& 2\sqrt[3]{6}\times 6\sqrt[3]{9}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& \sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=\sqrt{2^2}\times \sqrt{2}=2\sqrt{2}\\ \text{b}.& \sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{2^2}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\\ \text{c}.& \sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=\sqrt{3^2}\times \sqrt{3}=3\sqrt{3}\\ \text{d}.& \sqrt{28}=\sqrt{4\times 7}=\sqrt{2^2}\times \sqrt{7}=2\sqrt{7}\\ \text{e}.& \sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=\sqrt{4^2}\times \sqrt{2}=4\sqrt{2}\\ \text{f}.& \sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\times 2}=\sqrt[3]{2^3}\times \sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\\ \text{g}.& \sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{8\times 4}=\sqrt[3]{2^3}\times \sqrt[3]{4}=2\sqrt[3]{4}\\ \text{h}.& \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\times 2}=\sqrt[3]{3^3}\times \sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}\\ \text{i}.& \sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{27\times 3}=\sqrt[3]{3^3}\times \sqrt[3]{3}=3\sqrt[3]{3}\\ \text{j}.& \sqrt[3]{625}=\sqrt[3]{125\times 5}=\sqrt[3]{5^3}\times \sqrt[3]{5}=5\sqrt[3]{5}\\ \text{k}.& \sqrt{8x^5}=\sqrt{4.2.x^4.x^1}=\sqrt{2^2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{x^4}\times \sqrt{x}\\ & =2.\sqrt{2}.x^2.\sqrt{x}=2x^2\sqrt{2x},x\ge 0\\ \text{l}.& \sqrt{48x^6{y}^{11}}=\sqrt{16.3.x^6.y^{10}.y^1}\\ & =\sqrt{4^2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{x^6}\times \sqrt{y^{10}}\times \sqrt{y}\\ & =4\sqrt{3}.x^3.y^5.\sqrt{y}=4x^3{y}^5\sqrt{3y},\ge 0\\ \text{m}.& 2\sqrt{8}\times \sqrt{3}=2\sqrt{4\times 2}\times \sqrt{3}\\ & =2\sqrt{2^2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{3}=2.2.\sqrt{2.3}\\ & =4\sqrt{6}\\ \text{n}.& 3\sqrt{6}\times 2\sqrt{2}=3\sqrt{2\times 3}\times 2\sqrt{2}\\ & =3\times 2\times \sqrt{2^2\times 3}=6\times \sqrt{2^2}\times \sqrt{3}\\ & =6\times 2\times \sqrt{3}=12\sqrt{3}\sqrt{6}\\ \text{o}.& 2\sqrt[3]{6}\times 6\sqrt[3]{9}=2.6.\sqrt[3]{6\times 9}=12\times \sqrt[3]{2.3.3.3}\\ & =12\times \sqrt[3]{{2.3}^3}=12\times \sqrt[3]{2}\times \sqrt[3]{3^3}\\ & =12\times \sqrt[3]{2}\times 3\\ & =36\sqrt[3]{2}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah pangkat rasional dari}\\ & \text{a}.\sqrt{y\sqrt[3]{x^{2}y}}\\ & \text{b}.\sqrt[3]{x^3\sqrt[5]{x^3\sqrt{x^3}}}\\ & \text{c}.\sqrt[3]{x^2\sqrt{x\sqrt[5]{x^2}}}\\ & \text{d}.xyz\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{xy}{z^5}}}\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{xz}{y^5}}}\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{yz}{x^5}}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& \sqrt{y\sqrt[3]{x^{2}y}}=\sqrt{y{\left(x^{2}y\right)}^{\frac{1}{3}}}={\left(y{\left(x^{2}y\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ & =y^{{.}^{\frac{1}{2}}}.x^{{.}^{\frac{2}{3}.\frac{1}{2}}}.y^{{.}^{\frac{1}{3}.\frac{1}{2}}}=y^{{.}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}}{x}^{{.}^{\frac{1}{3}}}=x^{{.}^{\frac{1}{3}}}.y^{{.}^{\frac{4}{6}}}\\ & =x^{{.}^{\frac{1}{3}}}.y^{{.}^{\frac{2}{3}}}\\ \text{b}.& \sqrt[3]{x^3\sqrt[5]{x^3\sqrt{x^3}}}=\sqrt[3]{x^3\sqrt[5]{x^3.x^{{.}^{\frac{3}{2}}}}}=\sqrt[3]{x^3.x^{{.}^{\frac{3}{5}}}{x}^{{.}^{\frac{3}{2.5}}}}\\ & =x^{{.}^{\frac{3}{3}}}.x^{{.}^{\frac{3}{5.3}}}.x^{{.}^{\frac{3}{2.5.3}}}=x^1+x^{{.}^{\frac{1}{5}}}.x^{{.}^{\frac{1}{10}}}\\ & =x^{{.}^{1+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}}}=x^{{.}^{\frac{10+2+1}{10}}}=x^{{.}^{\frac{13}{10}}}\\ \text{c}.& \sqrt[3]{x^2\sqrt{x\sqrt[5]{x^2}}}=\sqrt[3]{x^2\sqrt{x.x^{{.}^{\frac{2}{5}}}}}=\sqrt[3]{x^2.x^{{.}^{\frac{1}{2}}}.x^{{.}^{\frac{2}{5.2}}}}\\ & =x^{{.}^{\frac{2}{3}}}.x^{{.}^{\frac{1}{2.3}}}.x^{{.}^{\frac{2}{5.2.3}}}=x^{{.}^{\frac{2}{3}}}.x^{{.}^{\frac{1}{6}}}.x^{{.}^{\frac{1}{15}}}\\ & =x^{{.}^{\frac{20+5+2}{30}}}=x^{{.}^{\frac{27}{30}}}=x^{{.}^{\frac{9}{10}}}\\ \text{d}.& xyz\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{xy}{z^5}}}\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{xz}{y^5}}}\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{yz}{x^5}}}=xyz\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{x^2{y}^2{z}^2}{x^5{y}^5{z}^5}}}\\ & =xyz\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{x^{(5-2)}{y}^{(5-2)}{z}^{(5-2)}}}}\\ & =xyz\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{x^3{y}^3{z}^3}}}=xyz\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{(xyz{)}^3}}}\\ & =xyz.{\displaystyle \frac{1}{xyz}={\displaystyle \frac{xyz}{xyz}=1}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Jika}a,b\text{bilangan positif dan}\\ & \sqrt{a^{2}b\sqrt[3]{a{b}^2\sqrt{ab}}}=a^x.b^y,\text{tentukan nilai}x-y\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \sqrt{a^{2}b\sqrt[3]{a{b}^2\sqrt{ab}}}=a^x.b^y\\ & \text{perhatikan cara menguraikannya}\\ & \sqrt{a^{2}b\sqrt[3]{a{b}^2\sqrt{ab}}}=\sqrt{a^{2}b\sqrt[3]{a{b}^2.a^{{.}^{\frac{1}{2}}}{b}^{{.}^{\frac{1}{2}}}}}\\ & =\sqrt{a^{2}b\sqrt[3]{a^{{.}^{1+\frac{1}{2}}}{b}^{{.}^{2+\frac{1}{2}}}}}=\sqrt{a^{2}b\sqrt[3]{a^{{.}^{\frac{3}{2}}}{b}^{{.}^{\frac{5}{2}}}}}\\ & =\sqrt{a^{2}b.a^{{.}^{\frac{3}{2.3}}}{b}^{{.}^{\frac{5}{2.3}}}}=\sqrt{a^{2}b.a^{{.}^{\frac{1}{2}}}{b}^{{.}^{\frac{5}{6}}}}\\ & =\sqrt{a^{{.}^{2+\frac{1}{2}}}.b^{{.}^{1+\frac{5}{6}}}}=\sqrt{a^{{.}^{\frac{5}{2}}}{b}^{{.}^{\frac{11}{6}}}}=a^{{.}^{\frac{5}{2.2}}}{b}^{{.}^{\frac{11}{6.2}}}\\ & =a^{{.}^{\frac{5}{4}}}{b}^{{.}^{\frac{11}{12}}}\\ & =a^x{b}^y\\ & \text{maka}x={\displaystyle \frac{5}{4},\text{dan}y=\frac{11}{12}}\\ & x-y={\displaystyle \frac{5}{4}-\frac{11}{12}={\displaystyle \frac{15-11}{12}=\frac{4}{12}={\displaystyle \frac{1}{3}}}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& (\mathbf{\text{Matematika Dasar UM UGM 2008}})\\ & \text{Bentuk sederhana dari}\\ & {\displaystyle \frac{\sqrt[6]{x^2}\sqrt[3]{x^2\sqrt{x+1}}}{x\sqrt[6]{x+1}}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{\sqrt[6]{x^2}\sqrt[3]{x^2\sqrt{x+1}}}{x\sqrt[6]{x+1}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt[6]{x^2}.\sqrt[3.2]{{(x^2.\sqrt{x+1})}^2}}{\sqrt[6]{x^6}.\sqrt[6]{x+1}}={\displaystyle \frac{\sqrt[6]{x^2}.\sqrt[6]{x^4.(x+1)}}{\sqrt[6]{x^6(x+1)}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt[6]{x^{(2+4)}(x+1)}}{\sqrt[6]{x^6(x+1)}}={\displaystyle \frac{\sqrt[6]{x^6(x+1)}}{\sqrt[6]{x^6(x+1)}}}}\\ & =1\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Nilai dari}\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}=....\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}\\ & \text{berikut uraiannya}\\ & \text{Misalkan}\\ & x^2=x^2,\text{maka}{x}^2=1+(x^2-1)\\ & x^2=1+(x-1)(x+1)\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{(x+1{)}^2}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+((x+1{)}^2-1)}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+(x+1-1)(x+1+1)}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x(x+2)}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{(x+2{)}^2}}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{1+((x+2{)}^2-1)}}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+2-1)(x+2+1)}}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)(x+3)}}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{(x+3{)}^2}}}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+((x+3{)}^2-1)}}}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+3-1)(x+3+1)}}}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)(x+4)}}}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{(x+4{)}^2}}}}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+((x+4{)}^2-1)}}}}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+(x+4-1)(x+4+1)}}}}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+(x+3)(x+5)}}}}\\ & x^2=1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+(x+3)\sqrt{...}}}}}\\ & x=\sqrt{1+(x-1)\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+(x+3)\cdots }}}}}\\ & \text{maka}\\ & \cdots =\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}\\ & \text{Jelas tampak bahwa nilai}x\text{yang memenuhi adalah}\\ & x=3\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Sederhanakanlah bentuk}\\ & \text{a}.\sqrt{3+2\sqrt{2}}\text{d}.\sqrt{21-4\sqrt{5}}\\ & \text{b}.\sqrt{6-\sqrt{32}}\text{e}.\sqrt{6-2\sqrt{8}}\\ & \text{c}.\sqrt{7+4\sqrt{3}}\text{f}.\sqrt{5+\sqrt{24}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Inga}& \text{t bahwa}:\sqrt{a+b\pm 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm \sqrt{b},a\ge b\\ \text{a}.& \sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2+1+2\sqrt{2.1}}=\sqrt{2}+1\\ \text{b}.& \sqrt{6-\sqrt{32}}=\sqrt{6-\sqrt{4.4.2}}=\sqrt{4+2-2\sqrt{4.2}}\\ & =\sqrt{4}-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}\\ \text{c}.& \sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{4+3+2.2\sqrt{3}}=\sqrt{4+3+2\sqrt{4.3}}\\ & =\sqrt{4}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}\\ \text{d}.& \sqrt{21-4\sqrt{5}}=\sqrt{20+1-2.2\sqrt{5}}=\sqrt{20+1-2\sqrt{4.5}}\\ & =\sqrt{20+1-2\sqrt{20.1}}=\sqrt{20}-1=\sqrt{4.5}-1=2\sqrt{5}-1\\ \text{e}.& \sqrt{6-2\sqrt{8}}=\sqrt{4+2-2\sqrt{4.2}}=\sqrt{4}-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}\\ \text{f}.& \sqrt{5+\sqrt{24}}=\sqrt{3+2+\sqrt{4.3.2}}=\sqrt{3+2+2\sqrt{3.2}}\\ & =\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Sederhanakan bentuk berikut}\\ & \text{a}.\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}\\ & \text{b}.\sqrt{94+2\sqrt{2013}}\\ & \text{c}.\sqrt{17+4\sqrt{15}}=a\sqrt{3}+b\sqrt{5},\text{tentukan}b-a\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Inga}& \text{t bahwa}:\sqrt{p+q\pm 2\sqrt{pq}}=\sqrt{p}\pm \sqrt{q},p\ge q\\ \text{a}.& \sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}=\sqrt{0,3+\sqrt{4.(0,02)}}=\sqrt{0,3+2\sqrt{0,02}}\\ & =\sqrt{0,2+0,1+2\sqrt{(0,2).(0,1)}}=\sqrt{0,2}+\sqrt{0,1}\\ \text{b}.& \sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{61+33+2\sqrt{61.33}}=\sqrt{61}+\sqrt{33}\\ \text{c}.& \sqrt{17+4\sqrt{15}}=\sqrt{17+2.2\sqrt{15}}=\sqrt{17+2\sqrt{4.15}}\\ & =\sqrt{17+2\sqrt{60}}=\sqrt{12+5+2\sqrt{12.5}}=\sqrt{12}+\sqrt{5}\\ & =\sqrt{4.3}+\sqrt{1.5}=2\sqrt{3}+1\sqrt{5}=a\sqrt{3}+b\sqrt{5}\{\begin{array}{ll}a& =2\\ b& =1\end{array}\\ & \text{maka}b-a=1-2=-1\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Bentuk paling sederhana dari}\\ & \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}\\ & =\sqrt{\sqrt{49-2.10\sqrt{6}}}=\sqrt{\sqrt{49-2\sqrt{100.6}}}\\ & =\sqrt{\sqrt{49-2\sqrt{600}}}=\sqrt{\sqrt{25+24-2\sqrt{25.24}}}\\ & =\sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}}=\sqrt{5-\sqrt{24}}=\sqrt{5-\sqrt{4.6}}\\ & =\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{3+2-2\sqrt{3.2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Bentuk paling sederhana dari}\\ & {\left(\sqrt{52+6\sqrt{43}}\right)}^3-{\left(\sqrt{52-6\sqrt{43}}\right)}^3\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Inga}& \text{tlah bentuk}:(A-B{)}^3=A^3-B^3-3AB(A-B)\\ & \iff A^3-B^3=(A-B{)}^3+3AB(A-B)\\ \bullet & \sqrt{52+6\sqrt{43}}=\sqrt{52+2.3\sqrt{43}}=\sqrt{52+2\sqrt{43.9}}\\ & =\sqrt{43+9+2\sqrt{43.9}}=\sqrt{43}+\sqrt{9}=\sqrt{43}+3\\ \bullet & \sqrt{52-6\sqrt{43}}=\sqrt{52-2.3\sqrt{43}}=\sqrt{52-2\sqrt{43.9}}\\ & =\sqrt{43+9-2\sqrt{43.9}}=\sqrt{43}-\sqrt{9}=\sqrt{43}-3\\ & \text{misalkan}\{\begin{array}{ll}A& =\sqrt{43}+3\\ B& =\sqrt{43}-3\end{array}\\ & A^3-B^3=(A-B{)}^3+3AB(A-B)\\ & ={(\sqrt{43}+3-(\sqrt{43}-3))}^3+3(\sqrt{43}+3)(\sqrt{43}-3)(\sqrt{43}+3-(\sqrt{43}-3))\\ & ={\left(6\right)}^3+3({\sqrt{43}}^2-3^2)\left(6\right)\\ & =216+18(43-9)\\ & =216+18.34\\ & =216+612\\ & =828\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Sederhanakanlah bentuk akar berikut}\\ & \begin{array}{ll}\text{a}.& 3\sqrt{2}+5\sqrt{8}-\sqrt{32}\\ \text{b}.& 5\sqrt{3}+5\sqrt{27}-2\sqrt{75}\\ \text{c}.& 3\sqrt{50}-4\sqrt{32}-\sqrt{2}\\ \text{d}.& (2+\sqrt{2})(4-\sqrt{2})\\ \text{e}.& (3\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-2\sqrt{3})\\ \text{f}.& (4\sqrt{3}-3\sqrt{5})(2\sqrt{3}+\sqrt{5})\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 3\sqrt{2}+5\sqrt{8}-\sqrt{32}\\ & =3\sqrt{2}+5\sqrt{4.2}-\sqrt{16.2}\\ & =3\sqrt{2}+5.2\sqrt{2}-4\sqrt{2}\\ & =(3+10-4)\sqrt{2}=9\sqrt{2}\\ \text{b}.& 5\sqrt{3}+5\sqrt{27}-2\sqrt{75}\\ & =5\sqrt{3}+5\sqrt{9.3}-2\sqrt{25.3}\\ & =5\sqrt{3}+5.3\sqrt{3}-2.5\sqrt{3}\\ & =(5+15-10)\sqrt{3}=10\sqrt{3}\\ \text{c}.& 3\sqrt{50}-4\sqrt{32}-\sqrt{2}\\ & =3\sqrt{25.2}-4\sqrt{16.2}-\sqrt{1.2}\\ & =3.5\sqrt{2}-4.4\sqrt{2}-1\sqrt{2}\\ & =(15-16-1)\sqrt{2}=-2\sqrt{2}\\ \text{d}.& (2+\sqrt{2})(4-\sqrt{2})\\ & =2.4-2.\sqrt{2}+4.\sqrt{2}-\sqrt{2.2}\\ & =8+(4-2)\sqrt{2}-2\\ & =6+2\sqrt{2}\\ \text{e}.& (3\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-2\sqrt{3})\\ & =3\sqrt{2.2}-3.2.\sqrt{2.3}+\sqrt{3.2}-2\sqrt{3.3}\\ & =3.2-6\sqrt{6}+1\sqrt{6}-3.2\\ & =6-6+(1-6)\sqrt{6}=-5\sqrt{6}\\ \text{f}.& (4\sqrt{3}-3\sqrt{5})(2\sqrt{3}+\sqrt{5})\\ & =4.2.\sqrt{3.3}+4\sqrt{3.5}-3.2.\sqrt{5.3}-3\sqrt{5.5}\\ & =8.3+4\sqrt{15}-6\sqrt{15}-3.5\\ & =24-15+(4-6)\sqrt{15}=9-2\sqrt{15}\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.

Lanjutan 3 Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

B. 3 Kedudukan Garis Terhadap Garis dalam Ruang

Pada bangun sebuah kubus di mana bangun ruang ini dibatasi oleh tiga pasang bidang persegi. Setiap daerah persegi membatasi kubus yang disebut sebagai sisi kubus. Setiap dua sisi yang tidak sejajar  akan saling berpotongan pada sebuah garis yang disebut rusuk, yaitu AB, BC, AE, dan lain-lainnya. Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut

Sehingga sebuah kubus memiliki 12 rusuk yang sama panjang. Jika Anda perhatikan susunan dan struktur dari rusuk-rusk kubus kubus di atas, maka 12 di atas dapat dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu:

• kelompok pertama : AB, DC, HG, dan EF
• kelompok kedua : AD, BC, FG, dan EH
• kelompok ketiga : AE, BF, CG, dan DH

Selanjutnya Anda juga dapat menemukan atau melihat bahwa setiap tiga rusuk bertemu di suatu titik yang selanjutnya disebut titik sudut kubus. Sebuah kubus memiliki 8 titik sudut. Terdapat pasangan-pasangan titik sudut yang tidak terletak pada sebuah bidang sisi, yaitu titik A dengan G, B dengan H, C dengan E, serta D dengan F, pasangan titik yang demikian disebut dengan pasangan titik yang berhadapan.

Ruas garis yang menghubungkan dua buah titik yang berhadapan disebut diagonal ruang kubus. Karena terdapat empat pasang titik berhadapan, maka terdapat 4 buah diagonal ruang, yaitu: AB, BH, CE, dan DF. Selain itu juga karena sisi kubus ada 6 buah dan masing-masing memiliki dua diagonal, sehingga terdapat 12 diagonal sisi, yaitu: AC, BD, AF, BE, EG, FH, AH, DE, BG, dan CF.

Anda juga dapat menemukan pasangan rusuk yang sejajar tetapi tidak terletak pada sebuah bidang sisi, misalnya AB dengan HG, dan lain-lainnya. Dari sana Anda akan menemukan 6 pasang rusuk yang yang berhadapan. Bidang yang melalui dua rusuk yang berhadapan disebut bidang diagonal. Sehingga dalam sebuah kubus terdapat 6 buah bidang diagonal.

Perhatikan letak rusuk AB dan DH, kedua rusuk itu tidak terletak pada sebuah bidang, maka dikatakan AB dan DH dua rusuk saling bersilangan demikian juga garis yang lain dengan kondisi semisal. Selain itu hubungan dua garis adalah saling sejajar dan saling tegak lurus.

B. 4 Kedudukan Garis terhadap Bidang yang Sejajar

Jarak anatar suatu garis  $g$  dan bidang  $\alpha$ yang saling sejajar adalah jarak antara sebarang titik A pada  $g$  dengan bidang  $\alpha$. Jika proyeksi titik A pada garis $g$ ke bidang $\alpha$ yang saling sejajar adalah A', maka AA' adalah jarak antara garis  $g$  dan bidang  $\alpha$ yang saling sejajar.

Berikut ilustrasinya

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm}\\ & \text{Tentukanlah jarak titik A ke bidang}\\ & \text{a}\text{BCGF}\\ & \text{b}\text{BCHE}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi berikut ini}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}\text{a}.\text{titik}& A\text{ke}\text{BCGF}=\text{A}\text{ke}\text{B}=\text{AB}=8cm\\ \text{b}.\text{titik}& \text{A}\text{ke}\text{BCHE}=A\text{ke tengah-tengan}\text{BE}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\text{diagonal sisi kubus}={\displaystyle \frac{1}{2}\left(8\sqrt{2}\right)}}\\ & =4\sqrt{2}cm\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk}\\ & 6cm,\text{titik S dan R berturut turut adalah pusat}\\ & \text{bidang EFGH dan ABCD. Tentukanlah jarak}\\ & \text{antara garis RF dan DS}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}:\\ & BD=6\sqrt{2}cm(\text{diagonal sisi kubus})\\ & RD={\displaystyle \frac{1}{2}BD={\displaystyle \frac{1}{2}\left(6\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}cm}}\\ & DS={\displaystyle \frac{1}{2}(sisi)\sqrt{6}={\displaystyle \frac{1}{2}(6)\sqrt{6}=3\sqrt{6}cm}}\\ & \text{Langkah selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}\left[DSR\right]& =\left[DSR\right]\\ {\displaystyle \frac{1}{2}\times DS\times RM}& ={\displaystyle \frac{1}{2}\times DR\times RS}\\ RM& ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}\times DR\times RS}}{{\displaystyle \frac{1}{2}\times DS}}}\\ & ={\displaystyle \frac{DR\times RS}{DS}}\\ & ={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}\times 6}{3\sqrt{6}}}\\ & ={\displaystyle \frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}}\\ & ={\displaystyle \frac{18\sqrt{12}}{18}=\sqrt{12}=\sqrt{4.3}}\\ & =2\sqrt{3}cm\end{array}\\ \\ \text{Jadi},& \text{jarak garis RF ke DS}=2\sqrt{3}m\end{array}$

B. 5 Kedudukan antara Dua Bidang yang Sejajar

Jarak antara dua bidang $\alpha$ dan $\beta$ yang saling sejajar adalah sama dengan jarak antara sebarang titik A pada bidang  $\alpha$  dan A' pada bidang  $\beta$  dengan A' adalah proyeksi titik A pada bidang  $\beta$.

Berikut ilustrasinya

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 11.& \text{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm}\\ & \text{Tentukanlah jarak bidang ABCD ke bidang}\\ & \text{a}\text{BCGF}\\ & \text{b}\text{EFGH}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.\text{bidang}& \text{ABCD}\text{ke}\text{BCGF}=\text{tidak terdefinisi}\\ \text{alasan}& :\mathbf{\text{karena saling tegak lurus}}\\ \text{b}.\text{bidang}& \text{ABCD}\text{ke}\text{EFGH}=A\text{ke }\text{E}=8cm\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 12.& \text{Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk}\\ & 8cm,\text{titik P, Q, R, dan S berturut turut berada}\\ & \text{di pertengahan rusuk BC, CG, DH, dan AD.}\\ & \text{Tentukanlah jarak antara bidang ABGH dan}\\ & \text{bidang PQRS}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}:\\ & BP={\displaystyle \frac{1}{2}BC={\displaystyle \frac{1}{2}8=4cm(\text{rusuk kubus})}}\\ & \sin \mathrm{\angle }PB{P}^{\prime }={\displaystyle \frac{P{P}^{\prime }}{BP}\iff P{P}^{\prime }=BP\times \sin \mathrm{\angle }PB{P}^{\prime }}\\ & =4\times \sin {45}^{\circ }=4\times {\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}=2\sqrt{2}cm}\\ & DS={\displaystyle \frac{1}{2}(sisi)\sqrt{6}={\displaystyle \frac{1}{2}(6)\sqrt{6}=3\sqrt{6}cm}}\\ & \text{Jadi, jarak bidang ABGH ke PQRS adalah}2\sqrt{2}cm\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 13.& \text{Pada sebuah kubus ABCD.EFGH, tunjukkan}\\ & \text{bahwa bidang AFH sejajar dengan bidang BDG}\\ \\ & \text{Bukti}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Untuk menunjukkan bidang AFH dan BDG}\\ & \text{itu sejajar, maka harus ditunjukkan bahwa}\\ & \text{kedua bidang itu masing-masing memuat}\\ & \text{dua garis berpotongan yang sepasang-sepasang}.\\ & \text{Bidang ADHE}//\text{bidang BCGF},\text{sedang bidang}\\ & \text{ABGH memotong kedua bidang yang sejajar itu}\\ & \text{berupa garis AH dan BG, maka AH}//\text{BG}.\\ & \text{Demikian pula bidang ABCD dan EFGH yang}\\ & \text{dipotong oleh bidang BDHF, masing-masing}\\ & \text{berupa garis BD dan FH, maka BD}//\text{FH}\\ & \text{Berdasarkan fakta di atas, yaitu}:\\ & \text{garis AH}//\text{BG dan BD}//\text{FH, maka sudah}\\ & \text{cukup menunjukkan bahwa}\text{bidang AFH}\\ & \text{bidang BDG sejajar}◼\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Rasiman. 2000. Diktat Geometri. Semarang: IKIP Semarang
2. Tampomas, H. 1999. Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Jakarta: ERLANGGA.

Lanjutan 2 Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

 $\text{B. 3. Kedudukan Titik terhadap Bidang}$.

Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut

Pandang titik A terhadap bidang EFGH. Tampak bahwa titik A terletak tidak pada bidang EFGH termasuk juga titik-titik yang lain yang tidak terletak pada bidang EFGH tersebut yaitu: titik B, C, dan D. Walaupun demikian pada kubus ABCD.EFGH tersebut terdapat beberapa titik yang terletak pada bidang EFGH, yaitu: titik E, F, G, G, dan P. Selanjutnya hubungan kedudukan suatu titik terhadap bidang dapat kita tuliskan sebagaimana dalam tabel berikut:

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Kedudukan}& \text{Keterangan}\\ 1.& \text{pada bidang}& \text{titik terletak pada bidang}\\ 2.& \text{di luar bidang}& \text{titik berada di luar bidang}\\ \hline\end{array}$

Sebagai tambahan penjelasan perhatikan pula gambar limas D.ABC berikut

Pada limas D.ABC di atas terlihat jelas bagwa titik D terletak di luar bidan ABC, tetapi titik A atau titik B ataupun titik C, semuanya terletak pada bidang ABC pada bangun limas D.ABC di atas.

Selanjutnya dalam penentuan jarak antar titik dengan suatu bidang adalah panjang ruas garis secara tegak lurus yang menghungkan titik tersebut dengan bidang yang dimaksud.

Sebagai ilustrasi adalah gambar berikut

Pada ilsutrasi gambar di atas jarak titik A ke bidang V adalah sepanjang ruas garis AB yang mana ruas garis AB tegak lurus dengan bidang V.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm}.\\ & \text{Tentukanlah jarak titik C ke bidang BDG}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikanlah ilustrasi}\end{array}$.

Jika gambarnya dipartisi lagi di bagian segitiga GCG' maka akan tampak seperti ilustrasi berikut

$.\begin{array}{rl}\text{Jelas}& \text{bahwa}\\ & \{\begin{array}{ll}GC& =8cm(\text{dari soal})\\ BD& =AC=8\sqrt{2}cm(\text{diagonal sisi kubus})\\ C{G}^{\prime }& ={\displaystyle \frac{1}{2}AC=4\sqrt{2}cm}\end{array}\\ \text{maka}& \text{dengan rumus Pythagoras dapat}\\ \text{panja}& \text{ng}G{G}^{\prime },\text{yaitu}:\\ \left(G{G}^{\prime }\right)& {}^2={\left(G^{\prime }C\right)}^2+C{G}^2\\ G{G}^{\prime }& =\sqrt{{\left(G^{\prime }C\right)}^2+C{G}^2}=\sqrt{{\left(4\sqrt{2}\right)}^2+8^2}\\ & =\sqrt{32+64}=\sqrt{96}=\sqrt{16.6}=4\sqrt{6}cm\\ \text{Perha}& \text{tikan}△GC{G}^{\prime }\\ & \begin{array}{rl}& \text{Dengan perbandingan luas}△GC{G}^{\prime }=△GC{G}^{\prime }\\ & {\displaystyle \frac{1}{2}\times C{C}^{\prime }\times G{G}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}\times C{G}^{\prime }\times CG}}\\ & {\displaystyle \frac{1}{2}\times C{C}^{\prime }\times \left(4\sqrt{6}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}\times \left(4\sqrt{2}\right)\times 8}}\\ & C{C}^{\prime }={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}\times \left(4\sqrt{2}\right)\times 8}}{{\displaystyle \frac{1}{2}\times \left(4\sqrt{6}\right)}}}\\ & ={\displaystyle \frac{8}{\sqrt{3}}}\\ & ={\displaystyle \frac{8}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}\\ & ={\displaystyle \frac{8}{3}\sqrt{3}cm}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Diketahui rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm}\\ & \text{Tentukanlah jarak titik E ke bidang BDG}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikanlah ilustrasi berikut ini}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}\text{Jelas}& \text{bahwa}\\ & \{\begin{array}{ll}AB& =BC=CG=Q{Q}^{\prime }=6cm(\text{dari soal})\\ AC& =EG=6\sqrt{2}cm(\text{diagonal sisi kubus})\\ EQ& =QG={\displaystyle \frac{1}{2}(\mathbf{\text{sisi}})\sqrt{6}=3\sqrt{6}cm}\end{array}\\ \text{Perh}& \text{atikan}△EQG\\ & \begin{array}{rl}& \text{Dengan perbandingan luas}△EQG=△EQG\\ & {\displaystyle \frac{1}{2}\times QG\times E{E}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}\times Q{Q}^{\prime }\times EG}}\\ & {\displaystyle \frac{1}{2}\times \left(3\sqrt{6}\right)\times E{E}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}\times 6\times 6\sqrt{2}}}\\ & E{E}^{\prime }={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}\times \left(6\sqrt{2}\right)\times 6}}{{\displaystyle \frac{1}{2}\times \left(3\sqrt{6}\right)}}}\\ & =4\sqrt{3}cm\end{array}\end{array}$

Lanjutan Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

 $\text{B. 2. Kedudukan Titik terhadap Garis}$.

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Kedudukan}& \text{Keterangan}\\ 1.& \text{pada garis}& \text{titik berimpit pada garis}\\ 2.& \text{di luar garis}& \text{titik berada di luar garis}\\ \hline\end{array}$.

Pada contoh kubus ABCD.EFGH di atas adalah :

• terletak pada garis : Titik A terletak pada tiga garis yaitu ruas garis AB, AD, dan AE
• terletak di luar garis : Titik A di luar rus garis BC, CD, BF, CG, DH, EF, ED, FG, dan GH.

Secara definisi jarak antara suatu titik dengan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut ke garis tersebut secara tegak lurus.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk}.\\ & \text{10 cm. Tentukanlah jarak titik F ke garis AC}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikanlah gambar kubus berikut}\end{array}$.

$.\text{perhatikan pula gambar kedua berikut}$

$.\begin{array}{rl}\text{Tampak}& \text{bahwa jakak titik F ke garis AC}\\ \text{adalah s}& \text{ama dengan jarak titik F ke P}\\ \text{dengan}& \text{panjang rusuk 10}cm,\text{yaitu}:\\ \text{Alternat}& \text{if 1}\\ \text{Dengan}& \text{memandang segitiga BFP kita}\\ \text{gunakan}& \text{rumus Pythagoras, yaitu}:\\ P{F}^2& =P{B}^2+B{F}^2\\ PF& =\sqrt{P{B}^2+B{F}^2}\\ & =\sqrt{{\left(5\sqrt{2}\right)}^2+{10}^2}\\ & \text{ingat}\text{PB setengah diagonal sisi}\\ & =\sqrt{50+100}=\sqrt{150}=\sqrt{25.6}\\ & =5\sqrt{6}cm\\ \text{Alternat}& \text{if 2}\\ \text{Gunaka}& \text{n rumus luas segitiga, yaitu}:\\ \text{Luas}△& \text{PBF}=\text{Luas}△\text{PBF, atau}\\ \left[PBF\right]& =\left[PBF\right]\\ & \text{karena}△\text{PBF segitiga sama sisi}\\ & \text{maka AC=CF=FA=}10\sqrt{2}\text{dan ketiga}\\ & \text{sudutnya masing-masing}{60}^{\circ }\\ {\displaystyle \frac{1}{2}\times AC}& \times FP={\displaystyle \frac{1}{2}\times AF\times FC\times \sin \mathrm{\angle }AFC}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}\times AC}& \times FP={\displaystyle \frac{1}{2}\times AC\times AC\times \sin \mathrm{\angle }AFC}\\ FP& =AC\times \sin \mathrm{\angle }AFC=10\sqrt{2}\times \sin {60}^{\circ }\\ & =10\sqrt{2}\times \left({\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)=5\sqrt{6}cm\\ \text{Alternat}& \text{if 3}\\ \text{Perhatik}& \text{an gambar berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}\text{Tampak}& \text{bahwa jakak titik F ke garis AC}\\ \text{seperti}& \text{jarak titik B ke Q}={\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{6}}\\ \text{maka}\text{P}& \text{F}=BQ={\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{6}}\\ PF& ={\displaystyle \frac{1}{2}(\text{sisi})\sqrt{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}(10)\sqrt{6}}\\ & =5\sqrt{6}cm\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang}\\ & \text{rusuk alasnya 8 cm dan panjang rusuk tegaknya}\\ & \text{12 cm. Tentukanlah jarak B ke TD}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikanlah gambar limas beraturan T.ABCD}\\ & \text{berikut}\end{array}$.

$.\text{perhatikan pula gambar kedua berikut}$

$.\begin{array}{rl}\text{Gunaka}& \text{n rumus luas segitiga, yaitu}:\\ \text{Luas}△& \text{TBD}=\text{Luas}△\text{TBD atau}\\ \left[TBD\right]& =\left[TBD\right]\\ & \text{karena}△\text{TBD segitiga sama kaki}\\ & \text{maka TB=TD=}12cm\text{dan BD}\\ & \text{adalah diagonal sisi alas}=8\sqrt{2}cm\\ & \text{dengan menghitung tinggi}△TBD\\ & \text{dengan alas TD dengan tinggi ditarik dari}\\ & \text{B ke arak rusuk TD, maka akan ketemu}\\ & \text{jarak titik B ke garis TD}.\\ & \text{Berikut perhitungannya}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}\times TD}& \times Tinggi={\displaystyle \frac{1}{2}\times TP\times DB}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}\times TD}& \times Tinggi={\displaystyle \frac{1}{2}\times \left(\sqrt{T{B}^2-P{B}^2}\right)\times DB}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}\times 12}& \times Tinggi={\displaystyle \frac{1}{2}\times \left(\sqrt{{12}^2-{\left(4\sqrt{2}\right)}^2}\right)\times 8\sqrt{2}}\\ & \text{ingat bahwa}PB={\displaystyle \frac{1}{2}BD}\\ Tinggi& ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}\times \left(\sqrt{{12}^2-{\left(4\sqrt{2}\right)}^2}\right)\times 8\sqrt{2}}}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}\times \sqrt{144-32}\times 8\sqrt{2}}}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{112}\times 4\sqrt{2}}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{16\times 7}\times 4\sqrt{2}}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{4\sqrt{7}\times 2\sqrt{2}}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{8}{3}\sqrt{7.2}}\\ & ={\displaystyle \frac{8}{3}\sqrt{14}cm}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang}\\ & \text{rusuk alasnya}5\sqrt{2}cm\text{dan panjang rusuk}\\ & \text{tegaknya 13 cm. Tentukanlah jarak A ke TC}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikanlah gambar limas beraturan T.ABCD}\\ & \text{berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}\text{Gunaka}& \text{n rumus luas segitiga, yaitu}:\\ \left[TAC\right]& =\left[TAC\right]\\ \text{dengan}& \text{proses pengerjaaan sama semisal}\\ \text{no.5 di}& \text{ atas, maka}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{2}\times TC}& \times Tinggi={\displaystyle \frac{1}{2}\times T{T}^{\prime }\times AC}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}\times TC}& \times Tinggi={\displaystyle \frac{1}{2}\times \left(\sqrt{T{A}^2-A{T}^{\prime 2}}\right)\times AC}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}\times 13}& \times Tinggi={\displaystyle \frac{1}{2}\times \left(\sqrt{{13}^2-{\left({\displaystyle \frac{10}{2}}\right)}^2}\right)\times 10}\\ 13& \times Tinggi=12\times 10\\ & Tinggi={\displaystyle \frac{120}{13}}\end{array}\end{array}$

Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

 $\text{A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang}$

Perhatikanlah gambar bangunan gedung MA Futuhiyah Jeketro (gambar diambil sekitar awal tahun 2020) berikut

Jika tiang-tiang yang ada pada gambar di atas diasumsikan sebagai garis lurus dan tembok atau lantai atau pun halaman madrasah diasumsikan sebagai luasan maka dari kedua hal tersebut kita dapat melihat kedudukan antara garis dengan garis atau antara garis dengan bidang yang akhirnya mendasari bagaimana hubungan sebuah titik dengan titik yang lain yang tidak berimpit.

Dan perhatikanlah pula gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini

Semakin jelas bahwa kedudukan 3 unsur utama yaitu titik, garis an bidang sangat dominan dalam pembahasan selanjutnya

Selanjutnya tempat kedudukan dalam hal ini akan terbagi dalam beberapa bagian dalam bangun ruang dimensi tiga yang lebih detil yaitu:

• hubungan titik dengan titik
• hubungan titik dengan garis 
• hubungan titik dengan bidang 
• hubungan garis dengan garis
• hubungan garis dengan bidang, dan
• hubungan bidang dengan bidang

$\text{B. Menghitung Jarak}$.

$\text{B.1 Kedudukan Suatu Titik Terhadap Titik Lain}$.

Jarak antara suatu titik dengan dengan suatu titik yang lain adalah panjang garis yang menghubungkan kedua titik itu

Selanjutnya untuk menentukan jarak antara titik beberapa pemecahan masalah dibutuihkan dalil Pythagoras.

Perhatikanlah ilustrasi gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini yang telah disertakan jaraknya berbantuan dalil Pythagoras

Pada ilustrasi gambar di atas sudah dimunculkan jarak antar titik di antaranya sebagai berikut

$\begin{array}{|ccl|}\hline \text{No}& \text{Kedudukan}& \text{Besar jarak}\\ 1& \text{A ke B}& \text{AB}=\text{AE}=a\\ 2& \text{A ke C}& \text{AC}=\text{AF}=a\sqrt{2}\\ 3& \text{A ke G}& \text{AG}=\text{CE}=a\sqrt{3}\\ 4& \text{A ke Q}& \text{AQ}=\text{BQ}={\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{6}}\\ 5& \text{A ke P}& \text{AP}=\text{EP}={\displaystyle \frac{3}{2}a}\\ 6& \text{C ke R}& \text{CR}=\text{BR}={\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{5}}\\ \hline\end{array}$.

$\text{B. 1. 1 Penamaan Bangun Ruang}$.

perhatikanlah gambar kubus di atas. Penamaan bangun ruang model kubus itu dinamakan dengan istilah kubus ABCD.EFGH atau  ${\displaystyle \frac{\text{EFGH}}{\text{ABCD}}}$. Dan penulisan ABCD posisi di depan atau di bawah menunjukkan posisi bidang alas dan EFGH dituliskan setelah ABCD atau EFGH posisi di atas menunjukkan bahwa bidang EFGH adalah bidang atas. Urutan penyebutan titik pada bangun ruang itupun harus mengikuti arah putar jarum jam atau sebaliknya, sebagi misal pada bidang alas kubus tidak boleh disebutkan bidang ABDC tetapi ditulis dengan arah putar berkebalikan arah putar jarum jam yaitu ABCD. Jika Bagian alas dituliskan menggunakan kebalikan arah putar jarum jam, maka bidang alasnyapun mengikuti dengan diikuti peletakaan tanda titik yang menunjukkan perbedaan posisi bidangnya, sehingga bangun ruang kubus biasa disebutkan dengan istilah ABCD.EFGH. Hal penamaan tersebut akan berlaku pula pada bangun ruang seperti: Balok, Prisma dan semacamnya. Khusus untuk Limas penamaan di awali dengan posisi puncaknya terlebih dahulu sebagai contoh limas D.ABC berikut

$\text{B. 1. 2 Proyeksi Titik}$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Ilustrasi di atas adalah suasana ketika tengah hari dan posisi matahari tepat di atas sehingga posisi matahari tepat memebentuk sudut ${90}^{\circ }$ terhadap permukaan bumi, maka bayangan benda akan tepat tegak lurus sebagaimana ilustrasi di atas. 

Ilustrasi di atas adalah sebagai gambaran proyeksi suatu benda pada benda lain. Proyeksi adalah bayangan yang terbentuk dari suatu bangun pada bidang datar dengan arah bayangan dengan bidang datar tersebut sebagai bidang proyeksi membentuk sudut ${90}^{\circ }$ jika dilukiskan.  

$\text{a. Proyeksi titik pada garis}$.

$\text{b. Proyeksi titik pada bidang}$.

$\text{c. Proyeksi garis pada bidang}$.

$\text{B. 1. 3 Alat Bantu Hitung Bangun Ruang}$.

$\text{a. Luas bangun datar beraturan}$.

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Bangun Datar}& \text{Luas}\\ 1& \text{Segitiga}& \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{\text{alas}\times \text{tinggi}}{2}}\\ & \text{atau}\\ & \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ & \text{dengan}\\ & s\text{adalah keliling segitiga}\\ & \text{atau}\\ & s=a+b+c\\ & \text{atau}\\ & \left[ABC\right]={\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin \mathrm{\angle }C}\\ & \left[ABC\right]={\displaystyle \frac{1}{2}ac\sin \mathrm{\angle }B}\\ & \left[ABC\right]={\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin \mathrm{\angle }A}\\ & \text{dengan}\\ & \left[ABC\right]=\text{luas segitiga ABC}\end{array}\\ 2& \text{Persegi}& \begin{array}{rl}& \text{sisi}\times \text{sisi}\\ & \text{atau}\\ & {\displaystyle \frac{\text{diagonal 1}\times \text{diagonal 2}}{2}}\end{array}\\ 3& \text{Persegi panjang}& \text{panjang}\times \text{lebar}\\ 4& \text{Belah ketupat}& {\displaystyle \frac{\text{diagonal 1}\times \text{diagonal 2}}{2}}\\ 5& \text{Layang-Layang}& {\displaystyle \frac{\text{diagonal 1}\times \text{diagonal 2}}{2}}\\ 6& \text{Trapesium}& {\displaystyle \frac{\text{jumlah sisi sejajar}\times \text{tinggi}}{2}}\\ 7& \text{Lingkaran}& \begin{array}{rl}& \pi \times {\text{jari-jari}}^2\\ & \text{atau}\\ & {\displaystyle \frac{1}{4}\times \pi \times {\text{diagonal}}^2}\end{array}\\ \hline\end{array}$

$\text{b. Dalil Pythagoras untuk segitiga siku-siku}$.

$\begin{array}{c}\\ \begin{array}{rl}& \text{Dalil/rumus Pythagoras}\\ & a^2+b^2=c^2\\ & \text{atau}\\ & c=\sqrt{a^2+b^2}\end{array}& \begin{array}{rl}& \sin \mathrm{\angle }ACB={\displaystyle \frac{a}{c}}\\ & \cos \mathrm{\angle }ACB={\displaystyle \frac{b}{c}}\\ & \tan \mathrm{\angle }ACB={\displaystyle \frac{a}{b}={\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }ACB}{\cos \mathrm{\angle }ACB}}}\\ & \csc \mathrm{\angle }ACB={\displaystyle \frac{c}{a}}\\ & \sec \mathrm{\angle }ACB={\displaystyle \frac{c}{b}}\\ & \cot \mathrm{\angle }ACB={\displaystyle \frac{b}{a}={\displaystyle \frac{\cos \mathrm{\angle }ACB}{\sin \mathrm{\angle }ACB}}}\end{array}\end{array}$

$\text{c. Identitas trigonometri pada segitiga siku-siku}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Dalil/rumus Pythagoras}\\ & a^2+b^2=c^2\\ & \text{Perhatikan lagi gambar di poin c di atas}\\ & \begin{array}{|cl|}\hline 1.& \text{Rumus saat dibagi dengan}{c}^2\\ & {\displaystyle \frac{a^2}{c^2}+{\displaystyle \frac{b^2}{c^2}={\displaystyle \frac{c^2}{c^2}\iff {\displaystyle \frac{a^2}{c^2}+{\displaystyle \frac{b^2}{c^2}=1}}}}}\\ & \\ & \text{menjadi}{\left({\displaystyle \frac{a}{c}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{b}{c}}\right)}^2=1\\ & {\sin }^2\mathrm{\angle }ACB+{\cos }^2\mathrm{\angle }ACB=1\\ 2& \text{Rumus saat dibagi dengan}{b}^2\\ & {\displaystyle \frac{a^2}{b^2}+{\displaystyle \frac{b^2}{b^2}={\displaystyle \frac{c^2}{b^2}\iff {\displaystyle \frac{a^2}{b^2}+1={\displaystyle \frac{c^2}{b^2}}}}}}\\ & \\ & \text{menjadi}{\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^2+1={\left({\displaystyle \frac{c}{b}}\right)}^2\\ & {\tan }^2\mathrm{\angle }ACB+1={\sec }^2\mathrm{\angle }ACB\\ 3& \text{Rumus saat dibagi dengan}{a}^2\\ & {\displaystyle \frac{a^2}{a^2}+{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}={\displaystyle \frac{c^2}{a^2}\iff 1+{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}={\displaystyle \frac{c^2}{a^2}}}}}}\\ & \\ & \text{menjadi}1+{\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{c}{a}}\right)}^2\\ & 1+{\cot }^2\mathrm{\angle }ACB={\csc }^2\mathrm{\angle }ACB\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\text{d. Tabel trigonometri nilai sudut istimewa}$.

$\begin{array}{|ccccccc|}\hline \alpha & 0^{\circ }& 30& {45}^{\circ }& {60}^{\circ }& {90}^{\circ }& {180}^{\circ }\\ \sin \alpha & 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}& 1& 0\\ \cos \alpha & 1& {\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}& {\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0& -1\\ \tan \alpha & 0& {\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}& 1& \sqrt{3}& \text{TD}& 0\\ \hline\end{array}$.

$\text{e. Aturan sinus pada segitiga sebarang}$.

${\displaystyle \frac{BC}{\sin \mathrm{\angle }A}={\displaystyle \frac{AC}{\sin \mathrm{\angle }B}={\displaystyle \frac{AB}{\sin \mathrm{\angle }C}}}}$

$\text{f. Aturan cosinus pada segitiga sebarang}$.

Perhatikanlah gmabar pada poin e di atas, aturan cosinusnya adalah:

$\begin{array}{rl}\bullet & \cos \mathrm{\angle }A={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\\ \bullet & \cos \mathrm{\angle }B={\displaystyle \frac{a^2+c^2-a^2}{2ac}}\\ \bullet & \cos \mathrm{\angle }C={\displaystyle \frac{a^2+b^2-a^2}{2ab}}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm}.\\ & \text{Jika titik P, Q dan R berturut-turut terletak pada}\\ & \text{pertengahan garis AB, BC, dan bidang ADHE,}\\ & \text{tentukanlah jarak antara}\\ & \text{a}.\text{titik P ke titik R}\\ & \text{b}.\text{titik Q ke titik R}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikanlah gambar kubus berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}\text{a}.\text{PR}& =...(\text{gunakan rumus Pythagoras}\\ & \text{pada segitiga PAR, yaitu}:)\\ {\text{PR}}^2& ={\text{PA}}^2+{\text{AR}}^2\\ & \bullet \text{dengan PA}={\displaystyle \frac{1}{2}sisi=\frac{1}{2}.8=4cm}\\ & \bullet \text{AR}={\displaystyle \frac{1}{2}.\text{diagonal sisi kubus}=\frac{1}{2}\left(8\sqrt{2}\right)=4\sqrt{2}}\\ \text{seh}& \text{ingga panjang PR dapat dihitung, yaitu:}\\ {\text{PR}}^2& ={\text{PA}}^2+{\text{AR}}^2\\ \text{PR}& =\sqrt{{\text{PA}}^2+{\text{AR}}^2}\\ & =\sqrt{4^2+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{16+16.2}=\sqrt{48}=\sqrt{16.3}\\ & =4\sqrt{3}cm\\ \text{b}\text{QR}& =.....\\ & \text{perhatikanlah gambar berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}\text{QR}& =...(\text{gunakan rumus Pythagoras}\\ & \text{pada segitiga qR'R, yaitu}:)\\ {\text{QR}}^2& ={\text{(QR')}}^2+{\text{(R'R)}}^2\\ & \bullet \text{dengan QR'}=sisikubus=8cm\\ & \bullet \text{R'R}={\displaystyle \frac{1}{2}.\text{sisi kubus}=\frac{1}{2}\left(8\right)=4cm}\\ \text{seh}& \text{ingga panjang QR dapat dihitung, yaitu:}\\ {\text{QR}}^2& ={\text{(QR')}}^2+{\text{(R'R)}}^2\\ \text{QR}& =\sqrt{{\text{(QR')}}^2+{\text{(R'R)}}^2}\\ & =\sqrt{8^2+{\left(4\right)}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=\sqrt{16.5}\\ & =4\sqrt{5}cm\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan }.\\ & \text{panjang semua rusuknya adalah sama yaitu }\\ & \text{8 cm. Jika titik P terletak pada pada rusuk }\\ & \text{tegak TB, tentukanlah jarak titik A ke titik P}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikanlah gambar kubus berikut}\end{array}$.

Kita gambarkan posisi titik P yang berada di rusuk tegak TB, yaitu

Selanjutnya gambar kita partisi lagi supaya kita lebih fokus menjadi

Tampak bahwa dengan memandang sebuah segitiga ABP dalam segitiga besar ABT kita akan dengan mudah menentukan jarak titik A ke titik P dengan aturan cosinus.

Perhatikanlah gambar berikut

$\begin{array}{rl}\text{Aturan}& \text{Cosinus}:\\ \cos \mathrm{\angle }B& ={\displaystyle \frac{A{B}^2+B{P}^2-A{P}^2}{2.AB.AP}}\\ \cos {60}^{\circ }& ={\displaystyle \frac{8^2+4^2-x^2}{2.8.4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& ={\displaystyle \frac{64+16-x^2}{64}}\\ 32& =80-x^2\\ x^2& =80-32\\ x& =\sqrt{80-32}=\sqrt{48}=\sqrt{16.3}\\ & =4\sqrt{3}cm\end{array}$.

Jadi, jarak titik A ke titik P adalah sebesar  $4\sqrt{3}$   cm.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk}acm.\\ & \text{Jika titik P merupakan proyeksi titik C pada}\\ & \text{bidang AFH, tentukanlah jarak dari titik A }\\ & \text{ke titik S}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikanlah gambar kubus berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}\text{Diket}& \text{hui bahwa}:\\ \text{proye}& \text{ksi titik C pada bidang AFH adalah S}\\ \text{Ketik}& \text{a dilukiskan tampak sebagaimana ilustrasi}\\ \text{gamb}& \text{ar di atas. Dan diketahui pula, masih terkait}\\ \text{pemb}& \text{ahasan materi ini beberapa komponen ruas}\\ \text{garis}& \text{telah diketahui panjangnya, yaitu}:\\ \bullet AP& =PC={\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{6}cm}\\ \bullet AC& =a\sqrt{2}cm\\ \bullet PQ& =acm\\ \bullet CS& =...cm(\text{belum diketahui, demikian pula})\\ \bullet AS& =...cm(\text{juga belum diketahui})\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}\text{Pandang}& \text{lah}△APC\\ \text{dengan}& \text{menghitung luas}△APC,\text{kita akan}\\ \text{menentu}& \text{kan jarak titik C ke S, yaitu}:\\ \left[APC\right]& =\left[APC\right]\\ {\displaystyle \frac{alas\times t}{2}}& ={\displaystyle \frac{alas\times t}{2}\iff alas\times t=alas\times t}\\ \text{misalka}& \text{n}{t}_{CS}\text{adalah jarak titik C ke S}\\ ala{s}_{AP}\times & t_{CS}=ala{s}_{AC}\times t_{PQ}\\ t_{CS}& ={\displaystyle \frac{ala{s}_{AC}\times t_{PQ}}{ala{s}_{AP}}}\\ t_{CS}& ={\displaystyle \frac{AC\times PQ}{AP}}\\ & ={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}\times a}{{\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{6}}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}}\\ & ={\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2a}{3}\sqrt{3}cm}\\ \text{Jelas jug}& \text{a bahwa}:\text{AP}\perp \text{CS},\text{maka}△ASC\\ \text{siku-siku}& \text{karena semua ini efek proyeksi, akibatnya}\\ \text{berlaku}& \text{rumus Pythagoras, yaitu}:\\ A{C}^2& =A{S}^2+S{C}^2\\ A{S}^2& =A{C}^2-S{C}^2\\ AS& =\sqrt{A{C}^2-S{C}^2}\\ & =\sqrt{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{3}}}\right)}^2}\\ & =\sqrt{2a^2-{\displaystyle \frac{4a^2}{3}}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{6a^2-4a^2}{3}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2a^2}{3}}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{2a^2}{3}\times \frac{3}{3}}}=\frac{a}{3}\sqrt{6}cm\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Sharma, S.N., dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
2. Thohir, Ahmad. 2020. Geometri Ruang. http:https://ahmadthohir1089.wordpress.com/2020/07/25/geometri-ruang-xii-matematika-wajib/

Lanjutan Persamaan Trigonometri

$\begin{array}{rl}& \text{f. Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri}\\ & \text{pada Segitiga Siku-Siku}\end{array}$.

$\text{ CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Diketahui}\tan \theta ={\displaystyle \frac{a}{x}}\\ & \text{Tentukanlah nilai}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikanlah gambar segitiga AOX berikut}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Dengan rumus Pythagoras dapatr ditentukan}\\ & \text{panjang ruas}\text{AX, yaitu}:\\ & A{O}^2+O{X}^2=A{X}^2\\ & \text{atau}\\ & A{X}^2=A{O}^2+O{X}^2\\ & AX=\sqrt{A{O}^2+O{X}^2}\\ & =\sqrt{x^2+a^2},\\ & \text{maka}\\ & \bullet \sin \theta ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}}}\\ & \bullet \cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}\\ & \text{Jadi, nilai}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\cos \theta }\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika}\sin \beta +\cos \beta ={\displaystyle \frac{6}{5},\text{tentukanlah}}\\ & \text{a}.\sin \beta \cos \beta \\ & \text{b}.{\sin }^3\beta +{\cos }^3\beta \\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \sin \beta +\cos \beta ={\displaystyle \frac{6}{5}}\\ & \text{saat masing-masing ruas dikuadratkan,}\\ & \text{maka}\\ & {(\sin \beta +\cos \beta )}^2={\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\right)}^2\\ & {\sin }^2\beta +2\sin \beta \cos \beta +{\cos }^2\beta ={\displaystyle \frac{36}{25}}\\ & {\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta +2\sin \beta \cos \beta ={\displaystyle \frac{36}{25}}\\ & 1+2\sin \beta \cos \beta ={\displaystyle \frac{36}{25}}\\ & 2\sin \beta \cos \beta ={\displaystyle \frac{36}{25}-1}\\ & 2\sin \beta \cos \beta ={\displaystyle \frac{36-25}{25}=\frac{11}{25}}\\ & \sin \beta \cos \beta ={\displaystyle \frac{11}{50}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{b}.& {\sin }^3\beta +{\cos }^3\beta \\ & =(\sin \beta +\cos \beta )({\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta -\sin \beta \cos \beta )\\ & =(\sin \beta +\cos \beta )(1-\sin \beta \cos \beta )\\ & =\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\right).(1-{\displaystyle \frac{11}{50}})\\ & =\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\right).\left({\displaystyle \frac{50-11}{50}}\right)\\ & =\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\right).\left({\displaystyle \frac{39}{50}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{3\times 39}{5\times 25}=\frac{117}{125}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Jika}\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}},\text{tentukanlah}}\\ & \left({\displaystyle \frac{{\csc }^2\alpha -{\sec }^2\alpha }{{\csc }^2\alpha +{\sec }^2\alpha }}\right)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diket}& \text{ahui bahwa}:\\ \tan \alpha & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}},\text{dan ingat juga bahwa}}\\ {\sec }^2\alpha & ={\tan }^2\alpha +1={\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}}}\right)}^2+1=\frac{1}{7}+1=\frac{8}{7}\\ \text{Demik}& \text{ian juga},\cot \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha }={\displaystyle \frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)}=\sqrt{7},}}\\ \text{maka},& {\csc }^2\alpha ={\cot }^2\alpha +1={\left(\sqrt{7}\right)}^2+1=7+1=8\\ \text{Selanj}& \text{utnya}\\ & \left({\displaystyle \frac{{\csc }^2\alpha -{\sec }^2\alpha }{{\csc }^2\alpha +{\sec }^2\alpha }}\right)=\left({\displaystyle \frac{8-{\displaystyle \frac{8}{7}}}{8+{\displaystyle \frac{8}{7}}}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{56-8}{7}}}{{\displaystyle \frac{56+8}{7}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{48}{64}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Jika}\beta \text{sudut lancip dan}\cos \beta ={\displaystyle \frac{3}{5},}\\ & \text{tentukan nilai dari}{\displaystyle \frac{\sin \beta \tan \beta -1}{2{\tan }^2\beta }}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \\ \cos \beta & ={\displaystyle \frac{3}{5}\Rightarrow {\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1}\\ {\sin }^2\beta & +{\cos }^2\beta =1\\ \sin \beta & =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^2}\\ & =\sqrt{1-{\displaystyle \frac{9}{25}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{16}{25}}}={\displaystyle \frac{4}{5}}\\ \text{Sehingga}& \tan \beta ={\displaystyle \frac{\sin \beta }{\cos \beta }=\frac{{\displaystyle \frac{4}{5}}}{{\displaystyle \frac{3}{5}}}=\frac{4}{3}}\\ & {\displaystyle \frac{\sin \beta \tan \beta -1}{2{\tan }^2\beta }={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{5}\times \frac{4}{3}-1}}{2{\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{16}{15}-1}}{{\displaystyle \frac{32}{9}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{15}}}{{\displaystyle \frac{32}{9}}}={\displaystyle \frac{9}{32\times 15}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{32\times 5}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{160}}\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Sukino. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA

Persamaan Trigonometri

 $\text{A. 1 Identitas Trigonometri}$.

A. 1. 1  Nilai Trigonometri Sudut

$\text{a. Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-Siku}$.

Perhatikanlah ilustrasi sebuah segitiga siku-siku sama kaki berikut

Diketahui pula bahwa :

$\begin{array}{c}\bullet \sin {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\ \bullet \cos {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\ \bullet \tan {45}^{\circ }=1\end{array}$.

$\begin{array}{c}\bullet \csc {45}^{\circ }={\displaystyle \sqrt{2}}\\ \bullet \sec {45}^{\circ }={\displaystyle \sqrt{2}}\\ \bullet \cot {45}^{\circ }=1\end{array}$.

Berikut ilustrasi segitiga dengan sudut istimewa yang lain yaitu ${30}^{\circ }$ dan  ${60}^{\circ }$.

$\begin{array}{|cc|}\hline \begin{array}{c}\bullet \sin {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \bullet \cos {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}\\ \bullet \tan {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}}\\ \bullet \sin {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}\\ \bullet \cos {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \bullet \tan {30}^{\circ }={\displaystyle \sqrt{3}}\end{array}& \begin{array}{c}\bullet \csc {30}^{\circ }={\displaystyle 2}\\ \bullet \sec {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}}\\ \bullet \cot {30}^{\circ }={\displaystyle \sqrt{3}}\\ \bullet \csc {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}}\\ \bullet \sec {60}^{\circ }={\displaystyle 2}\\ \bullet \cot {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}\end{array}\\ \hline\end{array}$

Perhatikan segitiga ABC siku-siku di C berikut

Perhatikanlah segitiga OAB berikut

$\begin{array}{rl}\text{a}.& \sin \alpha ={\displaystyle \frac{y}{r}}\\ \text{b}.& \cos \alpha ={\displaystyle \frac{x}{r}}\\ \text{c}.& \tan \alpha ={\displaystyle \frac{y}{x}}\\ \text{d}.& \csc \alpha ={\displaystyle \frac{r}{y}}\\ \text{e}.& \sec \alpha ={\displaystyle \frac{r}{x}}\\ \text{f}.& \cot \alpha ={\displaystyle \frac{x}{y}}\end{array}$.

A. 1. 2  Identitas Trigonometri Dasar

$\text{a. Dalil Pythagoras Segitiga Siku-Siku}$.

$\begin{array}{c}\\ \begin{array}{rl}& \text{Dalil/rumus Pythagoras}\\ & a^2+b^2=c^2\\ & \text{atau}\\ & c=\sqrt{a^2+b^2}\end{array}& \begin{array}{rl}& \sin \mathrm{\angle }ACB={\displaystyle \frac{a}{c}}\\ & \cos \mathrm{\angle }ACB={\displaystyle \frac{b}{c}}\\ & \tan \mathrm{\angle }ACB={\displaystyle \frac{a}{b}={\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }ACB}{\cos \mathrm{\angle }ACB}}}\\ & \csc \mathrm{\angle }ACB={\displaystyle \frac{c}{a}}\\ & \sec \mathrm{\angle }ACB={\displaystyle \frac{c}{b}}\\ & \cot \mathrm{\angle }ACB={\displaystyle \frac{b}{a}={\displaystyle \frac{\cos \mathrm{\angle }ACB}{\sin \mathrm{\angle }ACB}}}\end{array}\end{array}$

$\text{b. Identitas trigonometri pada segitiga siku-siku}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Dalil/rumus Pythagoras}\\ & a^2+b^2=c^2\\ & \text{Perhatikan lagi gambar di poin c di atas}\\ & \begin{array}{|cl|}\hline 1.& \text{Rumus saat dibagi dengan}{c}^2\\ & {\displaystyle \frac{a^2}{c^2}+{\displaystyle \frac{b^2}{c^2}={\displaystyle \frac{c^2}{c^2}\iff {\displaystyle \frac{a^2}{c^2}+{\displaystyle \frac{b^2}{c^2}=1}}}}}\\ & \\ & \text{menjadi}{\left({\displaystyle \frac{a}{c}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{b}{c}}\right)}^2=1\\ & {\sin }^2\mathrm{\angle }ACB+{\cos }^2\mathrm{\angle }ACB=1\\ 2& \text{Rumus saat dibagi dengan}{b}^2\\ & {\displaystyle \frac{a^2}{b^2}+{\displaystyle \frac{b^2}{b^2}={\displaystyle \frac{c^2}{b^2}\iff {\displaystyle \frac{a^2}{b^2}+1={\displaystyle \frac{c^2}{b^2}}}}}}\\ & \\ & \text{menjadi}{\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^2+1={\left({\displaystyle \frac{c}{b}}\right)}^2\\ & {\tan }^2\mathrm{\angle }ACB+1={\sec }^2\mathrm{\angle }ACB\\ 3& \text{Rumus saat dibagi dengan}{a}^2\\ & {\displaystyle \frac{a^2}{a^2}+{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}={\displaystyle \frac{c^2}{a^2}\iff 1+{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}={\displaystyle \frac{c^2}{a^2}}}}}}\\ & \\ & \text{menjadi}1+{\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{c}{a}}\right)}^2\\ & 1+{\cot }^2\mathrm{\angle }ACB={\csc }^2\mathrm{\angle }ACB\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\text{c. Tabel trigonometri nilai sudut istimewa}$.

$\begin{array}{|ccccccc|}\hline \alpha & 0^{\circ }& 30& {45}^{\circ }& {60}^{\circ }& {90}^{\circ }& {180}^{\circ }\\ \sin \alpha & 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}& 1& 0\\ \cos \alpha & 1& {\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}& {\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0& -1\\ \tan \alpha & 0& {\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}& 1& \sqrt{3}& \text{TD}& 0\\ \hline\end{array}$.

$\text{d. Aturan sinus pada segitiga sebarang}$.

${\displaystyle \frac{BC}{\sin \mathrm{\angle }A}={\displaystyle \frac{AC}{\sin \mathrm{\angle }B}={\displaystyle \frac{AB}{\sin \mathrm{\angle }C}}}}$

$\text{e. Aturan cosinus pada segitiga sebarang}$.

Perhatikanlah gmabar pada poin e di atas, aturan cosinusnya adalah:

$\begin{array}{rl}\bullet & \cos \mathrm{\angle }A={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\\ \bullet & \cos \mathrm{\angle }B={\displaystyle \frac{a^2+c^2-a^2}{2ac}}\\ \bullet & \cos \mathrm{\angle }C={\displaystyle \frac{a^2+b^2-a^2}{2ab}}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Macam-Macam Identitas Trigonometri Dasar}\\ & 1.\csc \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sin \alpha }5.\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}}\\ & 2.\sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }6.{\tan }^2\alpha +1={\sec }^2\alpha }\\ & 3.\cot \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha }7.{\cot }^2\alpha +1={\csc }^2\alpha }\\ & 4.\cot \alpha ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }8.{\sin }^2\alpha +{\cos }^2=1}\end{array}$.

$\text{ CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tunjukkan bahwa}\\ & \tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha \cos \alpha }{1-{\sin }^2\alpha }}\\ \\ & \text{Bukti}:\\ & \begin{array}{rl}\tan \alpha & ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}\\ & ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\times \frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}\\ & ={\displaystyle \frac{\sin \alpha \cos \alpha }{{\cos }^2\alpha }}\\ & ={\displaystyle \frac{\sin \alpha \cos \alpha }{1-{\sin }^2\alpha }◼}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tunjukkan bahwa}\\ & {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\tan }^2\beta }}\times \sin \beta =\cos \beta }\\ \\ & \text{Bukti}:\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\tan }^2\beta }}\times \sin \beta }& ={\displaystyle \frac{1}{\tan \beta }\times \sin \beta }\\ & ={\displaystyle \frac{\cos \beta }{\sin \beta }\times \sin \beta }\\ & =\cos \beta ◼\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tunjukkan bahwa}\\ & {\displaystyle \frac{{\cos }^2\gamma }{1-\sin \gamma }=1+\sin \gamma }\\ \\ & \text{Bukti}:\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{\cos }^2\gamma }{1-\sin \gamma }}& ={\displaystyle \frac{1-{\sin }^2\gamma }{1-\sin \gamma }}\\ & ={\displaystyle \frac{(1-\sin \gamma )(1+\sin \gamma )}{1-\sin \gamma }}\\ & =1+\sin \gamma ◼\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tunjukkan bahwa}\\ & {\displaystyle \frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }\\ \\ & \text{Bukti}:\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }}& ={\displaystyle \frac{1-{\tan }^2\theta }{{\sec }^2\theta }={\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }}}{{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }}}{{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}}}\\ & ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta ◼\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Tunjukkan bahwa}\\ & {\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha =1-2{\sin }^2\alpha \\ \\ & \text{Bukti}:\\ & \begin{array}{rl}{\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha & ={({\cos }^2\alpha )}^2-{({\sin }^2\alpha )}^2\\ & =({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )\\ & =({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )\times 1\\ & ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \\ & =(1-{\sin }^2\alpha )-{\sin }^2\alpha \\ & =1-2{\sin }^2\alpha ◼\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Tunjukkan bahwa}\\ & {\displaystyle \frac{\sin \beta \sec \beta }{{\sin }^2\beta -{\tan }^2\beta }=-{\displaystyle \frac{\cos \beta }{{\sin }^3\beta }}}\\ \\ & \text{Bukti}:\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\sin \beta \sec \beta }{{\sin }^2\beta -{\tan }^2\beta }}& ={\displaystyle \frac{\sin \beta \left({\displaystyle \frac{1}{\cos \beta }}\right)}{{\sin }^2\beta -{\displaystyle \frac{{\sin }^2\beta }{{\cos }^2\beta }}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{\sin \beta }{\cos \beta }}\right)}{{\sin }^2\beta (1-{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\beta }})}\times \frac{{\cos }^2\beta }{{\cos }^2\beta }}\\ & ={\displaystyle \frac{\sin \beta \cos \beta }{{\sin }^2\beta ({\cos }^2\beta -1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\cos \beta }{\sin \beta (-{\sin }^2\beta )}}\\ & =-{\displaystyle \frac{\cos \beta }{{\sin }^3\beta }◼}\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Noormandiri, B. K. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
2. Sukino. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA