PAS MATEMATIKA BLOG

Contoh 7 Soal dan Pembahasan Materi Hubungan Dua Lingkaran

$\begin{array}{ll} 31. & Persamaan lingkaran yang melalui titik \\ (0, 0) dan titik potong kedua lingkaran \\ x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y - 11 = 0 dan \\ x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y - 22 = 0 adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 12 x + 10 y = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} + 8 x - 10 y = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 y = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} + 12 x - 8 y = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa : L_{3} = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ dengan \\ ∙ L_{1} = x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y - 11 = 0 \\ ∙ L_{2} = x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y - 22 = 0 \\ Untuk L_{1} - L_{2} = - 2 x - 2 y + 11 = 0 \\ Karena L_{3} melalui (0, 0), maka \\ \begin{aligned} L_{3} & = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ = x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y - 11 + p (- 2 x - 2 y + 11) = 0 \\ \Leftrightarrow 0^{2} + 0^{2} - 0 - 0 - 11 + p (0 + 11) = 0 \\ \Leftrightarrow p = 1 \end{aligned} \\ Sehingga \\ L_{3} = x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y - 11 + (- 2 x - 2 y + 11) = 0 \\ \Leftrightarrow L_{3} = x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y = 0 \end{aligned} \end{array}$ .

Berikut ilustrasi gambarnya

$\begin{array}{ll} 32. & Persamaan lingkaran yang melalui titik \\ (8, 4) dan titik potong lingkaran x^{2} + y^{2} = 16 \\ dan x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0 adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y - 16 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 8 x + 8 y + 16 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y + 16 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} + 8 x + 8 y - 16 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} + 8 x + 8 y + 16 = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa : L_{3} = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ dengan \\ ∙ L_{1} = x^{2} + y^{2} - 16 = 0 \\ ∙ L_{2} = x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0 \\ Untuk L_{1} - L_{2} = 4 x + 4 y - 16 = 0 \\ \Leftrightarrow x + y = 4 \\ Karena L_{3} melalui (8, 4), maka \\ \begin{aligned} L_{3} & = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ = x^{2} + y^{2} - 16 + p (x + y - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow 8^{2} + 4^{2} - 16 + p (8 + 4 - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow - 8 p = 64 \Leftrightarrow p = - 8 \end{aligned} \\ Sehingga \\ L_{3} = x^{2} + y^{2} - 16 - 8 (x + y - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow L_{3} = x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y + 16 = 0 \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi gambarnyanya \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 33. & Persamaan lingkaran yang melalui titik \\ (7, - 4) dan titik potong kedua lingkaran \\ x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y - 27 = 0 dan \\ x^{2} + y^{2} - 26 x + 4 y + 121 = 0 adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 36 x - 2 y + 121 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} + 24 x - 4 y - 222 = 0 \\ c . 3 x^{2} + 3 y^{2} - 18 x + 2 y - 121 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} - 36 x + 2 y + 195 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} + 24 x + 2 y + 195 = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa : L_{3} = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ dengan \\ ∙ L_{1} = x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y - 27 = 0 \\ ∙ L_{2} = x^{2} + y^{2} - 26 x + 4 y + 121 = 0 \\ Untuk L_{1} - L_{2} = 20 x + 4 y - 148 = 0 \\ Karena L_{3} melalui (7, - 4), maka \\ \begin{aligned} L_{3} & = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ = x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y - 27 \\ + p (20 x + 4 y - 148) = 0 \\ \Leftrightarrow 7^{2} + (- 4)^{2} - 42 - 32 - 27 \\ + p (140 - 16 - 148) = 0 \\ \Leftrightarrow - 24 p = 36 \Leftrightarrow p = - \frac{3}{2} \end{aligned} \\ Sehingga \\ L_{3} = x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y - 27 \\ - \frac{3}{2} (20 x + 4 y - 148) = 0 \\ \Leftrightarrow L_{3} = x^{2} + y^{2} - 36 x + 2 y + 195 = 0 \end{aligned} \end{array}$ .

Berikut ilustrasi gambarnya

Jika dimensi gambar diperkecil menjadi

$\begin{array}{ll} 34. & Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan \\ lingkaran x^{2} + y^{2} - 12 x + 6 y + 20 = 0 dan \\ x^{2} + y^{2} - 16 x - 14 y + 64 = 0 serta pusatnya \\ terletak pada garis 8 x - 3 y - 19 = 0 adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 20 x - 34 y + 108 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 16 x + 12 y + 96 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 12 x + 20 y + 88 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} + 16 x - 24 y + 108 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} + 22 x - 34 y + 96 = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa persamaan lingkaran : \\ ∙ L_{1} = x^{2} + y^{2} - 12 x + 6 y + 20 = 0 \\ ∙ L_{2} = x^{2} + y^{2} - 16 x - 14 y + 64 = 0 \\ Persamaan tali busurnya (garis kuasa) \\ adalah : \\ L_{1} (x, y) - L_{2} (x, y) \\ = 4 x + 20 y - 44 = 0 \Leftrightarrow x = 11 - 5 y \\ Selanjutnya dengan substitusi \\ \begin{aligned} x^{2} + y^{2} - 12 x + 6 y + 20 = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 6)^{2} + (y + 3)^{2} = 25 \\ \Leftrightarrow (11 - 5 y - 6)^{2} + (y + 3)^{2} = 25 \\ \Leftrightarrow (y - 5 y)^{2} + (y + 3)^{2} = 25 \\ \Leftrightarrow 26 y^{2} - 44 y + 9 = 0 \end{aligned} \\ Sehingga dengan memodifikasi \\ \begin{aligned} 26 y^{2} - 44 y + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow 25 y^{2} - 44 y + y^{2} + 9 = 0 \\ arahkan ke bentuk kuadrat sempurna \\ \Leftrightarrow 25 y^{2} - 10 y + 1 + y^{2} - 34 y + 8 = 0 \\ \Leftrightarrow 25 y^{2} - 10 y + 1 + y^{2} - 34 y + 17^{2} - 17^{2} + 8 = 0 \\ \Leftrightarrow (5 y - 1)^{2} + (y - 17)^{2} - 281 = 0 \\ ingat bahwa ada tali busur 5 y = 11 - x \\ \Leftrightarrow (11 - x - 1)^{2} + (y - 17)^{2} - 281 = 0 \\ \Leftrightarrow (10 - x)^{2} + (y - 17)^{2} - 281 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 20 x + 100 + y^{2} - 34 y + 289 - 281 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 20 x - 34 y + 108 = 0 \end{aligned} \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{array}$

$\begin{array}{ll} 35. & Persamaan lingkaran dengan titik pusat \\ pada garis x + 2 y - 3 = 0 dan melalui \\ titik potong dua lingkaran \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0 dan \\ x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0 adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 6 x + 7 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 3 y + 4 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} - 3 x - 2 y + 7 = 0 \\ Jawab : \\ Alternatif 1 \\ Gunakan cara pembahasan sebagaimana pada \\ nomor-nomor sebelumnya \\ Alternatif 2 \\ \begin{aligned} Diketahui \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0, dan \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0 \\ Persamaan tali busur dari kedua \\ lingkaran tersebut adalah : \\ L_{1} (x, y) - L_{2} (x, y) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 \\ - (x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow 2 x - 2 y - 3 = 0 \\ Selanjutnya perlu ditentukan juga \\ Persamaan berkas lingkaran melalui \\ titik-titik potong kedua lingkaran \\ di atas adalah : \\ L_{1} + λ L_{2} = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 \\ + λ (x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow (1 + λ) x^{2} + (1 + λ) y^{2} - (2 + 4 λ) x \\ - (4 + 2 λ) y + 1 + 4 λ = 0 \\ Saat λ = - 1, maka persamaan berkas \\ lingkarannya adalah : 2 x - 2 y - 3 = 0 \\ Hal ini hasilnya sama persis saat kita \\ menentukan persamaan tali busur di atas \\ Selanjutnya kita ambil \\ L_{2} - (L_{1} + λ L_{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 - (2 x - 2 y - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 6 x + 7 = 0 \end{aligned} \end{array}$ .

Gambar mula-mula

Lingkaran baru yang berpusat di (3,0)

Invers Fungsi Trigonometri, Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Lanjutan Materi Fungsi Trigonometri dan Grafiknya

F. 2 Garfik Fungsi Trigonometri

F. 2. 1 Grafik Fungsi Sinus

$\begin{array}{cccccccccc} x & 0 & \frac{π}{6} & \frac{π}{4} & \frac{π}{3} & \frac{π}{2} & \frac{2 π}{3} & \frac{3 π}{4} & \frac{5 π}{6} & π \\ f (x) & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} \sqrt{3} & 1 & \frac{1}{2} \sqrt{3} & \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ x & \frac{7 π}{6} & \frac{5 π}{4} & \frac{4 π}{3} & \frac{3 π}{2} & \frac{5 π}{3} & \frac{7 π}{4} & \frac{11 π}{6} & 2 π \\ f (x) & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \sqrt{2} & - \frac{1}{2} \sqrt{3} & - 1 & - \frac{1}{2} \sqrt{3} & - \frac{1}{2} \sqrt{2} & - \frac{1}{2} & 0 \end{array}$ .

F. 2. 2 Grafik Fungsi Cosinus

\begin{array}{cccccccccccccccccc} x & 0 & \frac{π}{6} & \frac{π}{4} & \frac{π}{3} & \frac{π}{2} & \frac{2 π}{3} & \frac{3 π}{4} & \frac{5 π}{6} & π \\ f (x) & 1 & \frac{1}{2} \sqrt{3} & \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \sqrt{2} & - \frac{1}{2} \sqrt{3} & - 1 \\ x & \frac{7 π}{6} & \frac{5 π}{4} & \frac{4 π}{3} & \frac{3 π}{2} & \frac{5 π}{3} & \frac{7 π}{4} & \frac{11 π}{6} & 2 π \\ f (x) & - \frac{1}{2} \sqrt{3} & - \frac{1}{2} \sqrt{2} & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} \sqrt{3} & 1 \end{array}

F. 2. 3 Grafik Fungsi Tangen

\begin{array}{cccccccccccccccccc} x & 0 & \frac{π}{6} & \frac{π}{4} & \frac{π}{3} & \frac{π}{2} & \frac{2 π}{3} & \frac{3 π}{4} & \frac{5 π}{6} & π \\ f (x) & 0 & \frac{1}{3} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{3} & \infty & - \sqrt{3} & - 1 & - \frac{1}{3} \sqrt{3} & 0 \\ x & \frac{7 π}{6} & \frac{5 π}{4} & \frac{4 π}{3} & \frac{3 π}{2} & \frac{5 π}{3} & \frac{7 π}{4} & \frac{11 π}{6} & 2 π \\ f (x) & \frac{1}{3} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{3} & \infty & - \sqrt{3} & - 1 & - \frac{1}{3} \sqrt{3} & 0 \end{array}

Pada fungsi Tangen demikian juga nanti Cotangennya ada beberapa nilai fungsinya yang tidak terdefinisi. Dalam fungsi Tangen fungsi, nilai fungsi yang tidak terdefini terdapat pada saat nilai $x = \frac{π}{2} = 90^{\circ}$ dan $x = \frac{3 π}{2} = 270^{\circ}$ . Sehingga pada saat posisi nilai itu, maka dibuatlah garis bantu berupa garis putus-putus pada grafik yang dan ditampakkan berupa garis vertikal yang selanjutnya garis vertikal itu disebut sebagai asimtot.

F. 2. 4 Menggambar Grafik Fungsi Trigonometri

$\begin{aligned} untuk bentuk \\ f (x) = {\begin{cases} y & = a \sin b x + c \\ y & = a \cos b x + c \\ y & = a \tan b x + c \end{cases} \\ \begin{array}{cll} 1. & a & Amplitudo \\ 2. & b & Periode \\ 3. & c & Geseran \end{array} \end{aligned}$ .

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1. & Gambarlah grafik fungsi berikut \\ jika 0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ} \\ a . f (x) = - 2 \sin x \\ b . f (x) = 3 \cos x \\ c . f (x) = \frac{1}{2} \sin x \\ d . f (x) = 4 \cos x \\ e . f (x) = 2 \tan x \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \end{aligned} \end{array}$ .

. \begin{aligned} No.1 a \\ y = f (x) = - 2 \sin x = a \sin b x + c \\ \begin{array}{clll} 1. & a & Amplitudo & | - 2 | = 2 \\ 2. & b & Periode & \frac{2 π}{b} = 2 π \Leftrightarrow b = 1 \\ 3. & c & Geseran & 0 \end{array} \end{aligned}

. \begin{aligned} No.1 b \\ y = f (x) = 3 \cos x = a \cos b x + c \\ \begin{array}{clll} 1. & a & Amplitudo & | 3 | = 3 \\ 2. & b & Periode & \frac{2 π}{b} = 2 π \Leftrightarrow b = 1 \\ 3. & c & Geseran & 0 \end{array} \end{aligned}

. \begin{aligned} No.1 c \\ y = f (x) = \frac{1}{2} \sin x = a \sin b x + c \\ \begin{array}{clll} 1. & a & Amplitudo & | \frac{1}{2} | = \frac{1}{2} \\ 2. & b & Periode & \frac{2 π}{b} = 2 π \Leftrightarrow b = 1 \\ 3. & c & Geseran & 0 \end{array} \end{aligned}

. \begin{aligned} No.1 d \\ y = f (x) = 4 \cos x = a \cos b x + c \\ \begin{array}{clll} 1. & a & Amplitudo & | 4 | = 4 \\ 2. & b & Periode & \frac{2 π}{b} = 2 π \Leftrightarrow b = 1 \\ 3. & c & Geseran & 0 \end{array} \end{aligned}

. \begin{aligned} No.1 e \\ y = f (x) = 2 \tan x = a \tan b x + c \\ \begin{array}{clll} 1. & a & Amplitudo & | 2 | = 2 \\ 2. & b & Periode & \frac{2 π}{b} = 2 π \Leftrightarrow b = 1 \\ 3. & c & Geseran & 0 \end{array} \end{aligned}

\begin{array}{ll} 2. & Gambarlah grafik fungsi berikut \\ jika 0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ} \\ a . f (x) = | - 2 \sin x | \\ b . f (x) = | 3 \cos x | \\ c . f (x) = | \frac{1}{2} \sin x | \\ d . f (x) = | 4 \cos x | \\ e . f (x) = | 2 \tan x | \\ Jawab : \\ \begin{aligned}  \end{aligned} \end{array}

. \begin{aligned} No.2 a \\ y = f (x) = | - 2 \sin x | = | a \sin b x + c | \\ \begin{array}{clll} 1. & a & Amplitudo & | 2 | = 2 \\ 2. & b & Periode & π \Leftrightarrow b = 1 \\ 3. & c & Geseran & 0 \end{array} \end{aligned}

. \begin{aligned} No.2 b \\ y = f (x) = | 3 \cos x | = | a \cos b x + c | \\ \begin{array}{clll} 1. & a & Amplitudo & | 3 | = 3 \\ 2. & b & Periode & π \Leftrightarrow b = 1 \\ 3. & c & Geseran & 0 \end{array} \end{aligned}

LATIHAN SOAL

Silahkan selesaikan soal yg belum dibahas

DAFTAR PUSTAKA

Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Mata Pelajaran Wajib. Solo: TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.

Fungsi Trigonometri dan Grafiknya

F. Fungsi Trigonometri dan Grafiknya

F. 1 Fungsi Trigonometri

Perhatikan ilustrasi berikut ini

Dengan

\begin{array}{cc} \begin{aligned} Dalil/rumus Pythagoras \\ a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ atau \\ c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{aligned} & \begin{aligned} \sin ∠ A C B = \frac{a}{c} \\ \cos ∠ A C B = \frac{b}{c} \\ \tan ∠ A C B = \frac{a}{b} = \frac{\sin ∠ A C B}{\cos ∠ A C B} \end{aligned} \end{array}

Adapun gambar dari fungsi atau pemetaan trigonometrinya dari setiap sudut

α

ke salah satu nilai dari

\sin α

\cos α

, maupun

\tan α

dalam wilayah bilangan real adalah sebagaimana ilustrasi berikut:

\begin{aligned} Misalkan A dan B dua himpunan \\ Suatu relasi F \subseteq A \times B disebut fungsi jika \\ setiap a \in A, maka hanya ada tepat satu b \in B \\ dengan (a, b) \in F . \\ Fungsi F disebut dengan fungsi dari A ke B \\ Selanjutnya A dinamakan Domain atau \\ daerah asal atau juga daerah definisi fungsi \\ dan B disebut Kodomain \\ Himpunan {b \in B | (a, b) \in F} selanjutnya disebut \\ sebagai nilai fungsi \\ Jika (a, b) \in F, maka dapat tuliskan dengan \\ b = F (a), yaitu nilai fungsi F di titik a \\ Perhatikan tabel berikut \\ \begin{array}{clc} No & Gambar & Fungsi (f : R \Rightarrow R) \\ 1 & Fungsi Sinus & \begin{aligned} f : α \Rightarrow \sin α \end{aligned} \\ 2 & Fungsi Cosinus & \begin{aligned} f : α \Rightarrow \cos α \end{aligned} \\ 3 & Fungsi Tangen & \begin{aligned} f : α \Rightarrow \tan α \end{aligned} \end{array} \end{aligned}

\begin{aligned} Jangan lupa, sebagai pengingat kita untuk \\ nilai sudut istimewanya adalah sebagai berikut : \\ \begin{array}{ccccccc} α & 0^{\circ} & 30 & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ} & 180^{\circ} \\ \sin α & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} \sqrt{3} & 1 & 0 \\ \cos α & 1 & \frac{1}{2} \sqrt{3} & \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} & 0 & - 1 \\ \tan α & 0 & \frac{1}{3} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{3} & TD & 0 \end{array} \end{aligned}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Jika diketahui f (x) = \sin 2 x, tentukan nilai \\ a . f (60^{\circ}) \\ b . f (\frac{1}{3} π) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & f (60^{\circ}) = \sin 2 (60^{\circ}) = \sin 120^{\circ} \\ = \sin (180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ b . & f (\frac{1}{3} π) = \sin 2 (\frac{1}{3} π) = \sin (\frac{2}{3} π) \\ = \sin (\frac{2}{3} (180^{\circ})) = \sin 120^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Jika diketahui f (x) = \sin x, tentukan harga \\ x jika diketahui (x sudut lancip) \\ a . f (x) = \frac{1}{2} \\ b . f (x) = \frac{1}{4} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & f (x) = \frac{1}{2} = \sin x \Rightarrow x = 30^{\circ} \\ b . & f (x) = \frac{1}{4} = \sin x \Rightarrow x = \sin^{- 1} (\frac{1}{4}) \\ hal ini dikarenakan \frac{1}{4} bukanlah \\ nilai dari salah satu sudut istimewa \\ untuk fungsi sinus \end{aligned} \end{array}

LATIHAN SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Jika diketahui f (x) = \cos 2 x, tentukan nilai \\ a . f (60^{\circ}) \\ b . f (\frac{1}{3} π) \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Jika diketahui f (x) = \tan x, tentukan nilai \\ a . f (60^{\circ}) \\ b . f (\frac{1}{3} π) \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Jika diketahui f (x) = \cos x, tentukan harga \\ x jika diketahui (x sudut lancip) \\ a . f (x) = \frac{1}{2} \\ b . f (x) = \frac{1}{4} \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Jika diketahui f (x) = \tan x, tentukan harga \\ x jika diketahui (x sudut lancip) \\ a . f (x) = \frac{1}{3} \sqrt{3} \\ b . f (x) = \frac{1}{6} \sqrt{3} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Budhi, W.S. 2014. Bupena Matematika SMA/MA Kelas X Kelompok Wajib. Jakarta: ERLANGGA.
Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Mata Pelajaran Wajib. Solo: TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.

Lanjutan Identitas Trigonometri

$\begin{aligned} E. 3 Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri \\ pada Segitiga Siku-Siku \end{aligned}$ .

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1. & Diketahui \tan θ = \frac{a}{x} \\ Tentukanlah nilai \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} \\ Jawab : \\ Perhatikanlah gambar segitiga AOX berikut \end{array}$

. \begin{aligned} Dengan rumus Pythagoras dapatr ditentukan \\ panjang ruas AX, yaitu : \\ A O^{2} + O X^{2} = A X^{2} \\ atau \\ A X^{2} = A O^{2} + O X^{2} \\ A X = \sqrt{A O^{2} + O X^{2}} \\ = \sqrt{x^{2} + a^{2}}, \\ maka \\ ∙ \sin θ = \frac{a}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} \\ ∙ \cos θ = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} \\ Jadi, nilai \frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \cos θ \end{aligned}

\begin{array}{ll} 2. & Jika \sin β + \cos β = \frac{6}{5}, tentukanlah \\ a . \sin β \cos β \\ b . \sin^{3} β + \cos^{3} β \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & \sin β + \cos β = \frac{6}{5} \\ saat masing-masing ruas dikuadratkan, \\ maka \\ {(\sin β + \cos β)}^{2} = {(\frac{6}{5})}^{2} \\ \sin^{2} β + 2 \sin β \cos β + \cos^{2} β = \frac{36}{25} \\ \sin^{2} β + \cos^{2} β + 2 \sin β \cos β = \frac{36}{25} \\ 1 + 2 \sin β \cos β = \frac{36}{25} \\ 2 \sin β \cos β = \frac{36}{25} - 1 \\ 2 \sin β \cos β = \frac{36 - 25}{25} = \frac{11}{25} \\ \sin β \cos β = \frac{11}{50} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . & \sin^{3} β + \cos^{3} β \\ = (\sin β + \cos β) (\sin^{2} β + \cos^{2} β - \sin β \cos β) \\ = (\sin β + \cos β) (1 - \sin β \cos β) \\ = (\frac{6}{5}) . (1 - \frac{11}{50}) \\ = (\frac{6}{5}) . (\frac{50 - 11}{50}) \\ = (\frac{6}{5}) . (\frac{39}{50}) \\ = \frac{3 \times 39}{5 \times 25} = \frac{117}{125} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Jika \tan α = \frac{1}{\sqrt{7}}, tentukanlah \\ (\frac{\csc^{2} α - \sec^{2} α}{\csc^{2} α + \sec^{2} α}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diket & ahui bahwa : \\ \tan α & = \frac{1}{\sqrt{7}}, dan ingat juga bahwa \\ \sec^{2} α & = \tan^{2} α + 1 = {(\frac{1}{\sqrt{7}})}^{2} + 1 = \frac{1}{7} + 1 = \frac{8}{7} \\ Demik & ian juga, \cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{7}})} = \sqrt{7}, \\ maka, & \csc^{2} α = \cot^{2} α + 1 = {(\sqrt{7})}^{2} + 1 = 7 + 1 = 8 \\ Selanj & utnya \\ (\frac{\csc^{2} α - \sec^{2} α}{\csc^{2} α + \sec^{2} α}) = (\frac{8 - \frac{8}{7}}{8 + \frac{8}{7}}) \\ = \frac{\frac{56 - 8}{7}}{\frac{56 + 8}{7}} \\ = \frac{48}{64} \\ = \frac{3}{4} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Jika β sudut lancip dan \cos β = \frac{3}{5}, \\ tentukan nilai dari \frac{\sin β \tan β - 1}{2 \tan^{2} β} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui \\ \cos β & = \frac{3}{5} \Rightarrow \sin^{2} β + \cos^{2} β = 1 \\ \sin^{2} β & + \cos^{2} β = 1 \\ \sin β & = \sqrt{1 - \cos^{2} β} = \sqrt{1 - {(\frac{3}{5})}^{2}} \\ = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \\ Sehingga & \tan β = \frac{\sin β}{\cos β} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \\ \frac{\sin β \tan β - 1}{2 \tan^{2} β} = \frac{\frac{4}{5} \times \frac{4}{3} - 1}{2 {(\frac{4}{3})}^{2}} \\ = \frac{\frac{16}{15} - 1}{\frac{32}{9}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{32}{9}} = \frac{9}{32 \times 15} \\ = \frac{3}{32 \times 5} \\ = \frac{3}{160} \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Sukino. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA

Identitas Trigonometri

$E Identitas Trigonometri$ .

E. 1 Nilai Trigonometri Sudut

a.  Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-Siku

Perhatikanlah ilustrasi sebuah segitiga siku-siku sama kaki berikut

Diketahui pula bahwa :

\begin{matrix} ∙ \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ ∙ \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ ∙ \tan 45^{\circ} = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} ∙ \csc 45^{\circ} = \sqrt{2} \\ ∙ \sec 45^{\circ} = \sqrt{2} \\ ∙ \cot 45^{\circ} = 1 \end{matrix}

Berikut ilustrasi segitiga dengan sudut istimewa yang lain yaitu

30^{\circ}

dan

60^{\circ}

$\begin{array}{cc} \begin{matrix} ∙ \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \\ ∙ \cos 30^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ ∙ \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt{3} \\ ∙ \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ ∙ \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \\ ∙ \tan 30^{\circ} = \sqrt{3} \end{matrix} & \begin{matrix} ∙ \csc 30^{\circ} = 2 \\ ∙ \sec 30^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{3} \\ ∙ \cot 30^{\circ} = \sqrt{3} \\ ∙ \csc 60^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{3} \\ ∙ \sec 60^{\circ} = 2 \\ ∙ \cot 30^{\circ} = \frac{1}{3} \sqrt{3} \end{matrix} \end{array}$

Perhatikan segitiga ABC siku-siku di C berikut

Perhatikanlah segitiga OAB berikut

\begin{aligned} a . & \sin α = \frac{y}{r} \\ b . & \cos α = \frac{x}{r} \\ c . & \tan α = \frac{y}{x} \\ d . & \csc α = \frac{r}{y} \\ e . & \sec α = \frac{r}{x} \\ f . & \cot α = \frac{x}{y} \end{aligned}

E. 2 Identitas Trigonometri Dasar

a.  Dalil Pythagoras Segitiga Siku-Siku

$\begin{array}{cc} \begin{aligned} Dalil/rumus Pythagoras \\ a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ atau \\ c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{aligned} & \begin{aligned} \sin ∠ A C B = \frac{a}{c} \\ \cos ∠ A C B = \frac{b}{c} \\ \tan ∠ A C B = \frac{a}{b} = \frac{\sin ∠ A C B}{\cos ∠ A C B} \\ \csc ∠ A C B = \frac{c}{a} \\ \sec ∠ A C B = \frac{c}{b} \\ \cot ∠ A C B = \frac{b}{a} = \frac{\cos ∠ A C B}{\sin ∠ A C B} \end{aligned} \end{array}$

$b. Identitas trigonometri pada segitiga siku-siku$ .

$\begin{aligned} Dalil/rumus Pythagoras \\ a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ Perhatikan lagi gambar di poin c di atas \\ \begin{array}{cl} 1. & Rumus saat dibagi dengan c^{2} \\ \frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} = 1 \\ menjadi {(\frac{a}{c})}^{2} + {(\frac{b}{c})}^{2} = 1 \\ \sin^{2} ∠ A C B + \cos^{2} ∠ A C B = 1 \\ 2 & Rumus saat dibagi dengan b^{2} \\ \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{b^{2}} = \frac{c^{2}}{b^{2}} \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}} + 1 = \frac{c^{2}}{b^{2}} \\ menjadi {(\frac{a}{b})}^{2} + 1 = {(\frac{c}{b})}^{2} \\ \tan^{2} ∠ A C B + 1 = \sec^{2} ∠ A C B \\ 3 & Rumus saat dibagi dengan a^{2} \\ \frac{a^{2}}{a^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{c^{2}}{a^{2}} \Leftrightarrow 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{c^{2}}{a^{2}} \\ menjadi 1 + {(\frac{b}{a})}^{2} = {(\frac{c}{a})}^{2} \\ 1 + \cot^{2} ∠ A C B = \csc^{2} ∠ A C B \end{array} \end{aligned}$

$c. Tabel trigonometri nilai sudut istimewa$ .

$\begin{array}{ccccccc} α & 0^{\circ} & 30 & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ} & 180^{\circ} \\ \sin α & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} \sqrt{3} & 1 & 0 \\ \cos α & 1 & \frac{1}{2} \sqrt{3} & \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} & 0 & - 1 \\ \tan α & 0 & \frac{1}{3} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{3} & TD & 0 \end{array}$ .

$\begin{aligned} d. Macam-Macam Identitas Trigonometri Dasar \\ 1. \csc α = \frac{1}{\sin α} 5. \tan α = \frac{\sin α}{\cos α} \\ 2. \sec α = \frac{1}{\cos α} 6. \tan^{2} α + 1 = \sec^{2} α \\ 3. \cot α = \frac{1}{\tan α} 7. \cot^{2} α + 1 = \csc^{2} α \\ 4. \cot α = \frac{\cos α}{\sin α} 8. \sin^{2} α + \cos^{2} = 1 \end{aligned}$ .

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Tunjukkan bahwa \\ \tan α = \frac{\sin α \cos α}{1 - \sin^{2} α} \\ Bukti : \\ \begin{aligned} \tan α & = \frac{\sin α}{\cos α} \\ = \frac{\sin α}{\cos α} \times \frac{\cos α}{\cos α} \\ = \frac{\sin α \cos α}{\cos^{2} α} \\ = \frac{\sin α \cos α}{1 - \sin^{2} α} ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Tunjukkan bahwa \\ \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} β}} \times \sin β = \cos β \\ Bukti : \\ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} β}} \times \sin β & = \frac{1}{\tan β} \times \sin β \\ = \frac{\cos β}{\sin β} \times \sin β \\ = \cos β ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Tunjukkan bahwa \\ \frac{\cos^{2} γ}{1 - \sin γ} = 1 + \sin γ \\ Bukti : \\ \begin{aligned} \frac{\cos^{2} γ}{1 - \sin γ} & = \frac{1 - \sin^{2} γ}{1 - \sin γ} \\ = \frac{(1 - \sin γ) (1 + \sin γ)}{1 - \sin γ} \\ = 1 + \sin γ ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Tunjukkan bahwa \\ \frac{1 - \tan^{2} θ}{1 + \tan^{2} θ} = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ \\ Bukti : \\ \begin{aligned} \frac{1 - \tan^{2} θ}{1 + \tan^{2} θ} & = \frac{1 - \tan^{2} θ}{\sec^{2} θ} = \frac{1 - \frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ}}{\frac{1}{\cos^{2} θ}} \\ = \frac{\frac{\cos^{2} θ - \sin^{2} θ}{\cos^{2} θ}}{\frac{1}{\cos^{2} θ}} \\ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 5. & Tunjukkan bahwa \\ \cos^{4} α - \sin^{4} α = 1 - 2 \sin^{2} α \\ Bukti : \\ \begin{aligned} \cos^{4} α - \sin^{4} α & = {(\cos^{2} α)}^{2} - {(\sin^{2} α)}^{2} \\ = (\cos^{2} α - \sin^{2} α) (\cos^{2} α + \sin^{2} α) \\ = (\cos^{2} α - \sin^{2} α) \times 1 \\ = \cos^{2} α - \sin^{2} α \\ = (1 - \sin^{2} α) - \sin^{2} α \\ = 1 - 2 \sin^{2} α ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 6. & Tunjukkan bahwa \\ \frac{\sin β \sec β}{\sin^{2} β - \tan^{2} β} = - \frac{\cos β}{\sin^{3} β} \\ Bukti : \\ \begin{aligned} \frac{\sin β \sec β}{\sin^{2} β - \tan^{2} β} & = \frac{\sin β (\frac{1}{\cos β})}{\sin^{2} β - \frac{\sin^{2} β}{\cos^{2} β}} \\ = \frac{(\frac{\sin β}{\cos β})}{\sin^{2} β (1 - \frac{1}{\cos^{2} β})} \times \frac{\cos^{2} β}{\cos^{2} β} \\ = \frac{\sin β \cos β}{\sin^{2} β (\cos^{2} β - 1)} \\ = \frac{\cos β}{\sin β (- \sin^{2} β)} \\ = - \frac{\cos β}{\sin^{3} β} ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 7. & Tunjukkan bahwa \\ \frac{1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{\tan^{2} x}}} = \sec^{2} x \\ Bukti : \\ \begin{aligned} \frac{1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{\tan^{2} x}}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{1 + \cot^{2} x}} \\ = \frac{1}{1 - \frac{1}{\csc^{2} x}} = \frac{1}{1 - \sin^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x} \\ = \sec^{2} x ◼ \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Noormandiri, B. K. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
Sukino. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Mata Pelajaran Wajib. Solo: TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.

Contoh 6 Soal dan Pembahasan Materi Hubungan Dua Lingkaran

$\begin{array}{ll} 26. & Diketahui lingkaran-lingkaran \\ x^{2} + y^{2} - 2 x + 3 y + k = 0 dan \\ x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y - 7 = 0 saling \\ berpotongan ortogonal saat k = . . . . \\ a . - 10 \\ b . - 3 \\ c . 1 \\ d . 5 \\ e . 8 \\ Jawab : \\ Perhatikan tabel berikut \\ \begin{array}{lll} Lingakaran & Pusat/r \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x + 3 y + k = 0 & {\begin{cases} P_{1} & = (1, - \frac{3}{2}) \\ r_{1} & = \sqrt{\frac{13 - 4 k}{4}} \end{cases} \\ \begin{aligned} L_{2} & \equiv x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y - 7 = 0 \end{aligned} & {\begin{cases} P_{2} & = (- 4, 3) \\ r_{2} & = \sqrt{32} \end{cases} \end{array} \\ Syarat dua lingkaran berpotongan ortogonal \\ \begin{aligned} {(P_{1} P_{2})}^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} \\ \Leftrightarrow {(1 + 4)}^{2} + {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2} = {(\sqrt{\frac{13 - 4 k}{4}})}^{2} + {\sqrt{32}}^{2} \\ \Leftrightarrow 25 + \frac{81}{4} = \frac{13 - 4 k}{4} + 32 \\ \Leftrightarrow 100 + 81 = 13 - 4 k + 128 \\ \Leftrightarrow k = - 10 \end{aligned} \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 27. & Persamaan lingkaran yang berpotongan \\ lingkaran lain x^{2} + y^{2} + 2 x + y - 11 = 0 \\ secara tegak lurus dan melalui (4, 3) serta \\ pusatnya pada 9 x + 4 y = 37 adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 3 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 8 x + 10 y + 6 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} + 4 x - 8 y + 7 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} + 6 x + y + 5 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} + 12 x + 6 y + 5 = 0 \\ Jawab : \\ Perhatikan tabel berikut \\ \begin{array}{lll} Lingakaran & Pusat/r \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 x + y - 11 = 0 & {\begin{cases} P_{1} & = (- 1, - \frac{1}{2}) \\ r_{1} & = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} \end{cases} \\ \begin{aligned} L_{2} & \equiv (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} \end{aligned} & {\begin{cases} P_{2} & = (a, b) \\ r_{2} & = r \end{cases} \end{array} \\ Karena berpotongan tegak lurus, maka \\ \begin{aligned} {(P_{1} P_{2})}^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} \\ \Leftrightarrow {(- 1 - a)}^{2} + {(- \frac{1}{2} - b)}^{2} = \frac{49}{4} + r^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} + 2 a + 1 + b^{2} + b + \frac{1}{4} = \frac{49}{4} + r^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + 2 a + b + \frac{5}{4} = \frac{49}{4} + r^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + 2 a + b - 11 = r^{2} . . . . . . . (1) \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} Lingkaran L_{2} melalui titik (4, 3), artinya \\ bahwa : (4 - a)^{2} + (3 - b)^{2} = r^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} - 8 a + 16 + b^{2} - 6 b + 9 = r^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - 8 a - 6 b + 25 = r^{2} . . . . . . . (2) \\ Pusat lingkaran L_{2} melalui garis 9 x + 4 y = 37 \\ artinya : 9 a + 4 b = 37 . . . . . . . . . . . . . . . (3) \end{aligned} \\ \begin{aligned} Dengan eliminasi 1 & 2 dapat diperoleh : \\ \begin{aligned} a^{2} + b^{2} - 8 a - 6 b + 25 & = r^{2} \\ a^{2} + b^{2} + 2 a + b - 11 & = r^{2} & - \\ - 10 a - 7 b + 36 & = 0 & atau \\ 10 a + 7 b & = 36 & . . . . . . (4) \end{aligned} \\ Dari persamaan 3 & 4 dapat diperoleh : \end{aligned} \\ \begin{aligned} 10 a + 7 b & = 36 & (\times 4) \\ 9 a + 4 b & = 37 & (\times 7) \\ 40 a + 28 b & = 144 \\ 63 a + 28 b & = 259 \\ - 23 a & = - 115 \\ a & = \frac{- 115}{- 23} & = 5 \\ 10 (5) + 7 b & = 36 \\ 7 b & = - 14 \\ b & = - 2 \end{aligned} \\ Adapun langkah berikutnya \\ \begin{aligned} L_{2} \equiv (4 - a)^{2} + (3 - b)^{2} = r^{2} \\ L_{2} \equiv (4 - 5)^{2} + (3 + 2)^{2} = r^{2} \\ L_{2} \equiv r^{2} = 25 + 1 = 26 \\ Sehingga, L_{2} \equiv (x - 5)^{2} + (y + 2)^{2} = 26 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 25 + 4 - 26 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 3 = 0 \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{array}$ .

Jika diperjelas dengan tambahan garis 9x+4y=37

$\begin{array}{ll} 28. & Diketahui lingkaran pertama berpusat di (1, 2) \\ dan menyinggung garis 3 x - 4 y + 10 = 0. \\ Jika ada lingkaran kedua dengan pusat (4, 6) \\ dan menyinggung lingkaran yang pertama, \\ maka persamaan lingkaran yang kedua \\ tersebut adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 48 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 43 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 36 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 27 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 16 = 0 \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa kedua lingkaran saling \\ bersinggungan di luar, maka \\ \begin{aligned} r_{1} + r_{2} & = P_{1} P_{2} \\ = \sqrt{(y_{2} - y_{1})^{2} + (x_{2} - x_{1})^{2}} \\ = \sqrt{(1 - 4)^{2} + (2 - 6)^{2}} \\ = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{5^{2}} = 5 \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} r_{pertama} & = | \frac{3 (1) - 4 (2) + 10}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} | \\ = | \frac{3 - 8 + 10}{\sqrt{5^{2}}} | = | \frac{5}{5} | = | 1 | = 1 \\ sehingga \\ r_{kedua} & = 5 - r_{pertama} = 5 - 1 = 4 \end{aligned} \\ maka persamaan lingkaran keduanya adalah : \\ \begin{aligned} (x - 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 4^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} - 12 y + 36 = 16 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 36 = 0 \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 29. & Garis kuasa (tali busur sekutu) \\ dari lingkaran \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 12 = 0 \\ dan L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 12 y = 0 adalah . . . . \\ a . 3 x + 4 y + 9 = 0 \\ b . 3 x - 4 y - 8 = 0 \\ c . 3 x - 4 y + 7 = 0 \\ d . 3 x + 4 y - 7 = 0 \\ e . 3 x + 4 y - 6 = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 12 = 0, \\ dan L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 12 y = 0 \\ Persamaan garis kuasa dari kedua \\ lingkaran tersebut adalah : \\ L_{1} (x, y) - L_{2} (x, y) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 12 \\ - (x^{2} + y^{2} - 12 y) = 0 \\ \Leftrightarrow 6 x + 8 y - 12 = 0 \\ \Leftrightarrow 3 x + 4 y - 6 = 0 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 30. & Jika dua lingkaran \\ x^{2} + y^{2} = 9 dan \\ x^{2} + y^{2} - 4 y + 2 y + 3 = 0 yang \\ berpotongan di (x_{1}, y_{1}) dan (x_{2}, y_{2}), \\ maka nilai 5 (x_{1} + x_{2}) adalah . . . . \\ a . 24 \\ b . 26 \\ c . 28 \\ d . 30 \\ e . 32 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 9 = 0 dan \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 3 \\ Persamaan garis kuasa dari kedua \\ lingkaran tersebut adalah : \\ L_{1} (x, y) - L_{2} (x, y) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 9 \\ - (x^{2} + y^{2} - 4 y + 2 y + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow 4 x - 2 y - 12 = 0 \\ \Leftrightarrow 2 x - y - 6 = 0 \\ \Leftrightarrow y = 6 - 2 x \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + (6 - 2 x)^{2} - 9 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 36 - 24 x + 4 x^{2} - 9 = 0 \\ \Leftrightarrow 5 x^{2} - 24 x + 27 = 0 \\ \Leftrightarrow x_{1, 2} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 540}}{10} \\ \Leftrightarrow x_{1, 2} = \frac{24 \pm \sqrt{36}}{10} = \frac{24 \pm 6}{10} \\ \Leftrightarrow x_{1, 2} = \frac{24 \pm \sqrt{36}}{10} = \frac{24 \pm 6}{10} \\ \Leftrightarrow x_{1} = 3 atau x_{2} = 1, 8 \\ maka 5 (x_{1} + x_{2}) = 5 (3 + 1, 8) = 24 \end{aligned} \end{array}$ .

Lanjutan Ketaksamaan Schur

(Bagian Kedua)

Bagian Pertama silahkan klik di sini

1. Penyederhanaan dengan pola siklik dan simetri

$. \begin{aligned} Mengenal penulisan pola Siklik dan Simetri \\ Misal untuk n = 3, pada penulisan unsur \\ x, y, dan z, maka \\ \begin{array}{ll} Pola Siklik & Pola Simetri \\ \begin{aligned} \sum_{siklik}^{.} x^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{aligned} & \begin{aligned} \sum_{sym}^{.} x^{2} & = x^{2} + x^{2} \\ + y^{2} + y^{2} \\ + z^{2} + z^{2} \\ = 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \end{aligned} \\ \begin{array}{r} \sum_{siklik}^{.} x^{3} = x^{3} + y^{3} + z^{3} \end{array} & \begin{array}{r} \sum_{sym}^{.} x^{3} = 2 (x^{3} + y^{3} + z^{3}) \end{array} \\ \begin{aligned} \sum_{siklik}^{.} x^{2} y = x^{2} y + y^{2} z + z^{2} x \end{aligned} & \begin{aligned} \sum_{sym}^{.} x^{2} y & = x^{2} y + x^{2} z \\ + y^{2} x + y^{2} z \\ + z^{2} x + z^{2} y \end{aligned} \\ \begin{aligned} \sum_{siklik}^{.} x y z & = x y z + y z x + z x y \\ = 3 x y z \end{aligned} & \begin{aligned} \sum_{sym}^{.} x y z & = x y z + x z y + \dots \\ = 6 x y z \end{aligned} \end{array} \end{aligned}$

2. Bentuk ketaksamaan berdasar nilai r

Masih ingat kita pada ketaksamaan Schur saat $r = 1$ , yaitu,:

$\begin{aligned} a (a - b) (a - c) + b (b - a) (b - c) + c (c - a) (c - b) \\ = a^{3} + b^{3} + c^{3} - (a^{2} b + a^{2} c + b^{2} a + b^{2} c + c^{2} a + c^{2} b) + 3 a b c \\ = \sum_{sym}^{.} (a^{3} - 2 a^{2} b + a b c) \geq 0 \end{aligned}$ .

Selanjutnya saat $r = 1$ , kita bisa mendaptkan

$\begin{aligned} 1. & a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 a b c \geq a b (a + b) + b c (b + c) + c a (c + a) \\ 2. & a b c \geq (a + b - c) (b + c - a) (c + a - b) \\ 3. & (a + b + c)^{3} + 9 a b c \geq 4 (a + b + c) (a b + b c + c a) \end{aligned}$ .

Dan saat $r = 2$ , kita bisa mendaptkan

$\begin{aligned} a^{4} + & b^{4} + c^{4} + a b c (a + b + c) \geq a b (a^{2} + b^{2}) + b c (b^{2} + c^{2}) + c a (c^{2} + a^{2}) \end{aligned}$ .

3. Beberapa formulasi bantu

$\begin{aligned} 1. & (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \\ = a^{3} + b^{3} + c^{3} + a (b^{2} + c^{2}) + b (a^{2} + c^{2}) + c (a^{2} + b^{2}) \\ 2. & (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \\ = a^{3} + b^{3} + c^{3} + a^{2} (b + c) + b^{2} (a + c) + c^{2} (a + b) \\ 3. & (a + b + c) (a b + a c + b c) \\ = 3 a b c + a b (a + b) + a c (a + c) + b c (b + c) \\ 4. & (a + b + c) (a b + a c + b c) \\ = 3 a b c + a^{2} (b + c) + b^{2} (a + c) + c^{2} (a + b) \\ 5. & (a + b + c)^{3} + 3 a b c \\ = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 (a + b + c) (a b + a c + b c) \\ 6. & (a + b) (a + c) (b + c) \\ = 2 a b c + + a^{2} (b + c) + b^{2} (a + c) + c^{2} (a + b) \\ 7. & (a + b - c) (a + c - b) (b + c - a) \\ = - 2 a b c - (a^{3} + b^{3} + c^{3}) + a^{2} (b + c) + b^{2} (a + c) + c^{2} (a + b) \\ 8. & (a - b) (b - c) (c - a) \\ = a^{2} (c - b) + b^{2} (a - c) + c^{2} (b - a) \end{aligned}$ .

4. Penyederhanaan ketaksamaan metode pqr

$\begin{array}{ll} . Kesamaan & Ketaksamaan \\ \begin{aligned} 1. & \sum_{s i k}^{.} x^{2} = p^{2} - 2 q \\ 2. & \sum_{s i k}^{.} x^{3} = p (p^{2} - 3 q) + 3 r \\ 3. & \sum_{s i k}^{.} x^{2} y^{2} = q^{2} - 2 p r \\ 4. & \prod (x + y) = p q - r \\ 5. & \sum_{s i k}^{.} x y (x + y) = p q - 3 r \\ 6. & \sum_{s i k}^{.} x^{2} (y + z) = p q - 3 r \\ 7. & \prod (1 + x) = 1 + p + q + r \end{aligned} & \begin{aligned} 1. & p q \geq 9 r \\ 2. & p^{2} \geq 3 q \\ 3. & q^{2} \geq 3 p r \\ 4. & p^{3} \geq 27 r \\ 5. & q^{3} \geq 27 r^{2} \\ 6. & p^{3} r \geq q^{3} \\ 7. & p^{3} + 9 r \geq 4 p q \\ 8. & 2 p^{3} + 9 r \geq 7 p q \\ 9. & 2 p^{3} + 27 r \geq 9 p q \\ 10. & 2 p^{3} + 9 r^{2} \geq 7 p q r \\ 11. & q^{3} + 9 r^{2} \geq 4 p q r \\ 12. & 2 q^{3} + 27 r^{2} \geq 9 p q r \\ 13. & p^{4} + 3 q^{2} \geq 4 p^{2} q \\ 14. & p^{4} + 4 q^{2} + 6 p r \geq 5 p^{2} q \\ 15. & p^{2} q + 3 p r \geq 4 q^{2} \\ 16. & p q^{2} \geq 2 p^{2} r + 3 q r \\ 17. & p^{2} q^{2} + 12 r^{2} \geq 4 p^{3} r + p q r \end{aligned} \end{array}$ .

5. Ketaksamaan Schur bentuk pqr

Perhatikan poin 2 di atas saat $r = 1$ , kitaa akan medapatkan bentuk berikut ini:

$\begin{aligned} (a + b + c)^{3} + 9 a b c \geq 4 (a + b + c) (a b + b c + c a) \\ \Leftrightarrow p^{3} + 9 r \geq 4 p q \end{aligned}$ .

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1 & Untuk a, b, c tak negatif, tunjukkan bahwa \\ (a + b + c) (a b + a c + b c) \geq 9 a b c \\ Bukti \\ Misalkan \\ p = a + b + c, q = a b + a c + b c, \\ dan r = a b c \\ Untuk pembuktian pernyataan di atas \\ dengan AM-GM kita memiliki \\ ∙ a + b + c \geq 3 \sqrt[3]{a b c} \\ ∙ a b + a c + b c \geq 3 \sqrt[3]{(a b c)^{2}} \\ maka hasil dari \\ (a + b + c) (a b + a c + b c) \geq 3 \sqrt{a b c} .3 \sqrt[3]{(a b c)^{2}} \\ \Leftrightarrow p q \geq 3 \sqrt[3]{r} .3 \sqrt[3]{r^{2}} \\ \Leftrightarrow p q \geq 9 \sqrt[3]{r^{3}} \\ \Leftrightarrow p q \geq 9 r ◼ \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 2 & Untuk a, b, c tak negatif, tunjukkan bahwa \\ (a + b + c)^{2} \geq 3 (a b + a c + b c) \\ Bukti \\ Alternatif 1 \\ Misalkan \\ p = a + b + c, q = a b + a c + b c, \\ dan r = a b c \\ Untuk pembuktian pernyataan di atas \\ dengan AM-GM kita memiliki \\ ∙ a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + a c + b c \\ Dan juga sebuah kesamaan \\ ∙ a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + b + c)^{2} - 2 (a b + a c + b c) \\ maka dari kedua bentuk di atas kita akan \\ dapatkan bentuk \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + a c + b c \\ \Leftrightarrow (a + b + c)^{2} - 2 (a b + a c + b c) \geq a b + a c + b c \\ \Leftrightarrow (a + b + c)^{2} \geq 3 (a b + a c + b c) \\ \Leftrightarrow p^{2} \geq 3 q ◼ \\ \begin{aligned} Alternatif 2 \\ Telah kita ketahui bahwa \\ (a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + a c + b c) \\ Dengan ketaksamaan renata kita akan \\ dapatkan bentuk \\ (a + b + c)^{2} \geq a b + b c + c a + 2 (a b + a c + b c) \\ \Leftrightarrow (a + b + c)^{2} \geq 3 (a b + a c + b c) \\ \Leftrightarrow p^{2} \geq 3 q ◼ \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 3. & Untuk a, b, c tak negatif, tunjukkan \\ bahwa (a b + a c + b c)^{2} \geq 3 a b c (a + b + c) \\ Bukti \\ Misalkan \\ p = a + b + c, q = a b + a c + b c, \\ dan r = a b c \\ Perhatikan kesamaan berikut \\ \begin{aligned} (a b + a c + b c)^{2} = a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} + 2 a b c (a + b + c) \\ Dengan AM-GM dan GM-AM kita dapatkan \\ \Leftrightarrow (a b + a c + b c)^{2} \geq 3 \sqrt[3]{a^{4} b^{4} c^{4}} + 2 a b c (a + b + c) \\ \Leftrightarrow (a b + a c + b c)^{2} \geq 3 a b c \sqrt[3]{a b c} + 2 a b c (a + b + c) \\ \Leftrightarrow (a b + a c + b c)^{2} \geq a b c (a + b + c) + 2 a b c (a + b + c) \\ \Leftrightarrow (a b + a c + b c)^{2} \geq 3 a b c (a + b + c) \\ \Leftrightarrow q^{2} \geq 3 p r ◼ \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 4. & Untuk a, b, c tak negatif, tunjukkan bahwa \\ (a + b + c)^{3} \geq 27 a b c \\ Bukti \\ Misalkan \\ p = a + b + c, q = a b + a c + b c, \\ dan r = a b c \\ Untuk pembuktian pernyataan di atas \\ dengan AM-GM kita memiliki \\ ∙ a + b + c \geq 3 \sqrt[3]{a b c} \\ Masing-masing ruas pangkatkan 3, maka \\ (a + b + c)^{3} \geq 27 a b c \Leftrightarrow p^{3} \geq 27 r ◼ \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 5. & Untuk a, b, c tak negatif, tunjukkan bahwa \\ (a + b + c)^{3} \geq 27 a b c \\ Bukti \\ Misalkan \\ p = a + b + c, q = a b + a c + b c, \\ dan r = a b c \\ Untuk pembuktian pernyataan di atas \\ dengan AM-GM kita memiliki \\ ∙ a b + a c + b c \geq 3 \sqrt[3]{(a b c)^{2}} \\ Masing-masing ruas pangkatkan 3, maka \\ (a b + a c + b c)^{3} \geq 27 (a b c)^{2} \Leftrightarrow q^{3} \geq 27 r^{2} ◼ \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 6. & Misalkan x, y, x bilangan real positif dengan \\ tunjukkan bahwa \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b c + 1 \geq 2 (a b + a c b + c) \\ (Darij Grinberg) \\ Bukti \\ Dengan ketaksamaan AM-GM dan \\ dilanjutkan dengan ketaksamaan Schur \\ serta menggesernya ke ruas kiri, maka \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b c + 1 - 2 (a b + a c + b c) \\ \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 (a b c)^{^{\frac{2}{3}}} + 1 \geq 2 (a b + a c + b c) \\ \geq {((a)^{^{\frac{2}{3}}})}^{3} + {((b)^{^{\frac{2}{3}}})}^{3} + {((c)^{^{\frac{2}{3}}})}^{3} + 3 (a b c)^{^{\frac{2}{3}}} - 2 (a b + a c + b c) \\ \geq a^{.^{\frac{2}{3}}} b^{.^{\frac{2}{3}}} (a^{.^{\frac{2}{3}}} + b^{.^{\frac{2}{3}}}) + a^{.^{\frac{2}{3}}} c^{.^{\frac{2}{3}}} (a^{.^{\frac{2}{3}}} + c^{.^{\frac{2}{3}}}) \\ + b^{.^{\frac{2}{3}}} c^{.^{\frac{2}{3}}} (b^{.^{\frac{2}{3}}} + c^{.^{\frac{2}{3}}}) - 2 (a b + a c + b c) \\ \geq a^{.^{\frac{2}{3}}} b^{.^{\frac{2}{3}}} (a^{.^{\frac{2}{3}}} + b^{.^{\frac{2}{3}}}) + a^{.^{\frac{2}{3}}} c^{.^{\frac{2}{3}}} (a^{.^{\frac{2}{3}}} + c^{.^{\frac{2}{3}}}) \\ + b^{.^{\frac{2}{3}}} c^{.^{\frac{2}{3}}} (b^{.^{\frac{2}{3}}} + c^{.^{\frac{2}{3}}}) - 2 (a b + a c + b c) \\ = a^{.^{\frac{2}{3}}} b^{.^{\frac{2}{3}}} {(a^{.^{\frac{2}{3}}} - b^{.^{\frac{2}{3}}})}^{2} + a^{.^{\frac{2}{3}}} c^{.^{\frac{2}{3}}} {(a^{.^{\frac{2}{3}}} - c^{.^{\frac{2}{3}}})}^{2} \\ + b^{.^{\frac{2}{3}}} c^{.^{\frac{2}{3}}} {(b^{.^{\frac{2}{3}}} - c^{.^{\frac{2}{3}}})}^{2} \geq 0 ◼ \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 7. & (APMO 2004) \\ Misalkan x, y, x bilangan real positif dengan \\ tunjukkan bahwa \\ (x^{2} + 2) (y^{2} + 2) (z^{2} + 2) \geq 9 (x y + y z + z x) \\ Bukti \\ Alternatif 1 \\ Dengan menjabarkan akan didapatkan \\ x^{2} y^{2} z^{2} + 2 \sum_{siklik}^{.} x^{2} y^{2} + 4 \sum_{siklik}^{.} x^{2} + 8 \geq 9 \sum_{siklik}^{.} x y \\ Perhatikan bahwa \\ ∙ 2 \sum_{siklik}^{.} x^{2} y^{2} - 4 \sum_{siklik}^{.} x y + 6 = 2 \sum_{siklik}^{.} (x y - 1)^{2} \geq 0 \\ ∙ \sum_{siklik}^{.} x^{2} \geq \sum_{siklik}^{.} x y atau x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + x z + y z \\ Kita cukup membuktikan bahwa \\ x^{2} y^{2} z^{2} + \sum_{siklik}^{.} x^{2} + 2 \geq 2 \sum_{siklik}^{.} x y \\ \Leftrightarrow x^{2} y^{2} z^{2} + 2 \geq \sum_{siklik}^{.} x y \\ \begin{aligned} Untuk a, b, c bilangan real positif, \\ Ketaksamaan Schur saat r = 1 \\ memberikan \\ \sum_{siklik}^{.} a^{3} + 3 a b c \geq \sum_{siklik}^{.} a^{2} b + \sum_{siklik}^{.} a b^{2} \\ = a b (a + b) + b c (b + c) + c a (c + a) \\ Dengan Ketaksamaan AM-GM didapakan \\ \sum_{siklik}^{.} a^{3} + 3 a b c \geq 2 \sum_{siklik}^{.} (a b)^{\frac{3}{2}} \\ Pilih a = x^{\frac{2}{3}}, b = y^{\frac{2}{3}}, c = z^{\frac{2}{3}}, maka didapatkan \\ (x^{\frac{2}{3}})^{3} + (y^{\frac{2}{3}})^{3} + (z^{\frac{2}{3}})^{3} + 3 (x y z)^{\frac{2}{3}} \geq 2 (x y + y z + z x) \\ Selanjutnya kita selesaikan ini, x^{2} y^{2} z^{2} + 2 \geq \sum_{siklik}^{.} x y \\ \Leftrightarrow x^{2} y^{2} z^{2} + 2 \geq 3 (x y z)^{\frac{2}{3}} \\ Misalkan (x y z)^{\frac{2}{3}} = t, maka \\ t^{3} + 2 \geq 3 t \Leftrightarrow t^{3} - 3 t + 2 \geq 0 \\ (t - 1)^{2} (t + 2) \geq 0 adalah hal benar \end{aligned} \end{array}$ .

$. \begin{aligned} Alternatif 2 \\ x^{2} y^{2} z^{2} + 2 \sum_{siklik}^{.} x^{2} y^{2} + 4 \sum_{siklik}^{.} x^{2} + 8 \geq 9 \sum_{siklik}^{.} x y \\ atau dalam bentuk utuhnya, yaitu \\ x^{2} y^{2} z^{2} + 2 (x^{2} y^{2} + x^{2} z^{2} + y^{2} z^{2}) + 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 8 \geq 9 (x y + x z + y z) \\ Sekarang kira uraikan satu persatu bagian \\ ∙ x^{2} y^{2} z^{2} + 1 + 1 \geq 3 \sqrt[3]{(x y z)^{2}} \geq \frac{9 a b c}{a + b + c} = \frac{9 r}{p} \\ ingat bahwa jika ada \frac{9 r}{p} \geq 4 q - p^{2} \\ = 4 (x y + x z + y z) - (x + y + z)^{2} \\ adalah ketaksamaan Schur saat r = 1 \\ ∙ x^{2} y^{2} + 1 + x^{2} z^{2} + 1 + y^{2} z^{2} + 1 \geq 2 (x y + x z + y z) \\ ∙ x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + x z + y z \\ keduanya didapat dengan ketaksamaan AM-GM \\ x^{2} y^{2} z^{2} + 2 (x^{2} y^{2} + x^{2} z^{2} + y^{2} z^{2}) + 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 8 \\ = x^{2} y^{2} z^{2} + 2 + 2 (x^{2} y^{2} + x^{2} z^{2} + y^{2} z^{2} + 3) + 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \\ \geq 4 (x y + x z + y z) - (x + y + z)^{2} + 4 (x y + x z + y z) + 4 (x y + x z + y z) \\ \geq 12 (x y + x z + y z) - (x + y + z)^{2} \\ \geq 12 (x y + x z + y z) - 3 (x y + x z + y z) \\ = 9 (x y + x z + y z) ◼ \end{aligned}$ .

$. \begin{aligned} Alternatif 3 \\ (x^{2} + 2) (y^{2} + 2) (z^{2} + 2) - 9 (x y + y z + z x) \\ Dengan ketaksamaan AM-GM \\ = x^{2} y^{2} z^{2} + 2 (x^{2} y^{2} + x^{2} z^{2} + y^{2} z^{2}) \\ + 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 8 - 9 (x y + x z + y z) \\ = 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 2 ((x^{2} y^{2} + 1) + (x^{2} z^{2} + 1) + (y^{2} z^{2} + 1)) \\ + (x^{2} y^{2} z^{2} + 1) + 1 - 9 (x y + x z + y z) \\ \geq 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 4 (x y + x z + y z) \\ + 2 x y z + 1 - 9 (x y + x z + y z) \\ = (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \\ + 2 x y z + 1 - 5 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \\ \geq x^{2} + y^{2} + z^{2} + 3 (x y + x z + y z) \\ + 2 x y z - 5 (x y + x z + y z) \\ = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y z + 1 - 2 (x y + x z + y z) \geq 0 \\ adalah benar dengan bukti ada pada \\ nomor soal sebelumnya \end{aligned}$ .

$\begin{array}{ll} 8. & Misalkan x, y, x bilangan real positif dengan \\ tunjukkan bahwa \\ 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + a b c + 8 \geq 5 (a + b + c) \\ (Tran Nam Dung) \\ Bukti \\ Dengan ketaksamaan AM-GM dan \\ menggeser ke ruas kiri dan masing-masing \\ serta mengalikan semunya dengan 6, maka \\ 12 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 6 a b c + 48 - 30 (a + b + c) \\ = 12 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 3 (2 a b c + 1) + 45 - 5.2 .3 (a + b + c) \\ \geq 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 9 \sqrt[3]{(a b c)^{2}} + 45 - 5 ((a + b + c)^{2} + 9) \\ = 12 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + \frac{9 a b c}{\sqrt[3]{a b c}} - 5 ((a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2 (a b + a c + b c)) \\ = 7 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + \frac{9 a b c}{\sqrt[3]{a b c}} - 10 (a b + a c + b c) \\ \geq 7 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + \frac{27 a b c}{a + b + c} - 10 (a b + a c + b c) \\ \begin{aligned} dengan ketaksamaan Schur, yaitu : \\ p^{3} + 9 r \geq 4 p q \Leftrightarrow \frac{9 r}{p} \geq 4 q - p^{2} \\ maka ketaksamaan akan menjadi \\ \geq 7 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 3 (4 q - p^{2}) - 10 q \\ \geq 7 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2 q - 3 p^{2} \\ = 7 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2 (a b + a c + b c) - 3 (a + b + c)^{2} \\ = 7 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2 q - 3 ((a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2 q) \\ = 4 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2 q - 6 q \\ = 4 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 4 q \\ = 4 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 4 (a b + a c + b c) \\ = 4 (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - a c - b c) \geq 0 ◼ \end{aligned} \end{array}$ .

DAFTAR PUSTAKA

Venkatachala, B.J. 2009. Inequalities An Approach Through Problems (2nd). India: SPRINGER.
Vo Tranh Van..... Bat Dang Thuc Schur Va Phuong Phap Doi Bien P, Q, R.
Vo Quoc Ba Can. 2007. Bai Viet Ve Bat Dang Thuc Schur Va Vornicu Schur.
Young, B. 2009. Seri Buku Olimpiade Matematika Strategi Menyelesaikan Soal-Soal Olimpiade Matematika: Ketaksamaan (Inequality). Bandung: PAKAR RAYA.

Contoh 5 Soal dan Pembahasan Materi Hubungan Dua Lingkaran

\begin{array}{ll} 21. & Titik Kuasa dari lingkaran-lingkaran \\ berikut \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + x + y - 14 = 0 \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} = 13 \\ L_{3} \equiv x^{2} + y^{2} + 3 x - 2 y - 26 = 0 adalah . . . . \\ a . (3, - 2) \\ b . (2, - 3) \\ c . (- 3, 2) \\ d . (- 2, 3) \\ e . (3, 2) \\ Jawab : \\ Dengan eliminasi, kita mendapatkan \\ \begin{aligned} \begin{array}{lrlll} (L_{1}) & x^{2} + y^{2} + x + y & = & 14 \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} & = & 13 & - \\ x + y & = & 1 & . . . . (1) \end{array} \\ dan \\ \begin{array}{lrlll} (L_{3}) & x^{2} + y^{2} + 3 x - 2 y & = & 26 \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} & = & 13 & - \\ 3 x - 2 y & = & 13 & . . . . (2) \end{array} \\ Selanjutnya kita eliminasi (1) & (2) \\ dan hasilnya adalah : \\ \begin{array}{rrlrl} (2) & 3 x - 2 y & = & 13 \\ (1) & 3 x + 3 y & = & 3 & - (\times 3) \\ - 5 y & = & 10 \\ y & = & - 2 & \Rightarrow x = 3 \end{array} \\ Jadi, titik kuasa ketiganya : (3, - 2) \end{aligned} \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

\begin{array}{ll} 22. & Titik-titik potong dari persekutuan dua \\ lingkaran L_{1} \equiv (x - 2)^{2} + y^{2} = 10 dan \\ L_{2} \equiv x^{2} + (y - 2)^{2} = 10 adalah . . . . \\ a . (3, 3) dan (1, 1) \\ b . (3, 3) dan (- 1, - 1) \\ c . (3, - 3) dan (1, 1) \\ d . (- 3, 3) dan (1, 1) \\ e . (- 3, - 3) dan (- 1, - 1) \\ Jawab : \\ Alternatif 1 \\ Dengan substitusi opsi pilihan jawaban \\ maka akan ketemu jawabannya langsung \\ Alternatif 2 \\ Dengan eliminasi dan ilustrasi gambar \\ \begin{array}{lrlll} (L_{1}) & (x - 2)^{2} + y^{2} & = & 10 \\ (L_{2}) & x^{2} + (y - 2)^{2} & = & 10 \\ menjadi \\ (L_{1}) & x^{2} + y^{2} - 4 x & = & 6 \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} - 4 y & = & 6 & - \\ - 4 x + 4 y & = & 0 \\ maka hasilnya \\ y & = & x \end{array} \\ Jelas opsi jawaban c, d salah \\ karena y = x, \\ Dengan bantuan ilustrasi, pilihan jawaban \\ akan tampak dengan jelas \end{array}

\begin{array}{ll} 23. & Persamaan tali busur persekutuan dua \\ lingkaran L_{1} \equiv (x - 3)^{2} + y^{2} = 16 dan \\ L_{2} \equiv x^{2} + (y - 3)^{2} = 16 adalah . . . . \\ a . y = - 2 x \\ b . y = - x \\ c . y = x \\ d . y = 2 x \\ e . y = \frac{1}{2} x \\ Jawab : \\ Dengan eliminasi, kita mendapatkan \\ \begin{array}{lrlll} (L_{1}) & (x - 3)^{2} + y^{2} & = & 16 \\ (L_{2}) & x^{2} + (y - 3)^{2} & = & 16 \\ menjadi \\ (L_{1}) & x^{2} + y^{2} - 6 x & = & 9 \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} - 6 y & = & 9 & - \\ - 6 x + 6 y & = & 0 \\ maka hasilnya \\ y & = & x \end{array} \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

\begin{array}{ll} 24. & Banyaknya garis singgung persekutuan \\ lingkaran-lingkaran x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0 \\ dan x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 9 = 0 adalah . . . . \\ a . 0 \\ b . 1 \\ c . 2 \\ d . 3 \\ e . 4 \\ Jawab : \\ Perhatikan bahwa \\ \begin{array}{lll} Lingakaran & Pusat/r \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0 & {\begin{cases} P_{1} & = (- 1, 3) \\ r_{1} & = 1 \end{cases} \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 9 = 0 & {\begin{cases} P_{2} & = (- 4, 3) \\ r_{2} & = 4 \end{cases} \end{array} \\ Perhatikan pula bahwa r_{2} - r_{1} = 4 - 1 = 3 \\ \begin{aligned} Karena P_{1} P_{2} = r_{2} - r_{1}, hal ini berarti lingkaran \\ L_{1} bersinggungan di dalam dengan lingkaran L_{2} \\ Sehingga kedua lingkaran ini hanya akan \\ memiliki satu garis singgung persekutuan \end{aligned} \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

$\begin{array}{ll} 25. & Persamaan lingkaran dengan jari-jari 5 \\ dan menyinggung lingkaran lain \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0 di titik \\ (5, 5) adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ Jawab : \\ Diketahi bahwa \\ \begin{aligned} \begin{array}{rrlll} (L_{1}) & (x - a)^{2} + (y - b)^{2} & = & 5^{2} \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y & = & 20 \end{array} \\ Titik singgung dua lingkaran \\ di titik (5, 5), artinya \\ (\begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array}) = \frac{(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array})}{2} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array}) = (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) = (\begin{array}{c} 10 - 1 \\ 10 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 8 \end{array}) \end{aligned} \\ \begin{aligned} maka persamaan lingkarannya adalah : \\ \Leftrightarrow (x - 9)^{2} + (y - 8)^{2} = 5^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 18 x - 16 y + 120 = 0 \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{array}$ .

∙sin⁡30∘=12∙cos⁡30∘=123∙tan⁡30∘=13=133∙sin⁡60∘=123∙cos⁡60∘=12∙tan⁡30∘=3∙csc⁡30∘=2∙sec⁡30∘=23=233∙cot⁡30∘=3∙csc⁡60∘=23=233∙sec⁡60∘=2∙cot⁡30∘=133