PAS MATEMATIKA BLOG: April 2021

Persamaan Garis Singgung Lingkaran (PGSL)

$A. PGS melalui titik pada lingkaran pusat (0,0)$

Misalkan titik $P (x_{1}, y_{1})$ yang terletak pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ . Gradien dari garis OP adalah $\frac{y_{1}}{x_{1}}$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

B. PGS melalui titik pada lingkaran pusat (p,q)

Kurang lebih dengan penjelasan yang sama dan persamaan garisnya di rumuskan

{\begin{cases} (p, q) & \equiv (x_{1} - p) (x - p) + (y_{1} - q) (y - q) = r^{2} \\ (p, q) & \equiv p x + q y + \frac{1}{2} A (p + x) + \frac{1}{2} B (q + y) + C = 0 \end{cases}

C. PGSL dengan gradien  m

D. PGS melalui titik di luar lingkaran pusat (0,0)

Contoh 9 Vektor

$\begin{array}{ll} 41. & Diketahui segi empat ABCD dengan \vec{D A} = \vec{a}, \\ \vec{D B} = \vec{b}, dan \vec{D C} = \vec{c} . Jika titik H pada AB \\ dengan \vec{A H} : \vec{H B} = 1 : 2, dan titik J pada BC \\ dengan \vec{B J} : \vec{J C} = 1 : 2 maka \vec{H J} = . . . . \\ \begin{array}{lll} a . \frac{- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \\ b . \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \\ c . \frac{- 2 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \\ d . \frac{- 2 \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}}{3} \\ e . \frac{- 2 \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c}}{3} \end{array} \\ Jawab : \\ Coba perhatikanlah ilustrasi berikut \end{array}$

. \begin{aligned} \begin{array}{ccc} Diketahui 1 & Diketahui 2 \\ \begin{aligned} \vec{A H} : \vec{H B} & = 1 : 2 \\ \vec{h} & = \frac{2 \vec{a} + \vec{b}}{3} \end{aligned} & \begin{aligned} \vec{B J} : \vec{J C} & = 1 : 2 \\ \vec{j} & = \frac{2 \vec{b} + \vec{c}}{3} \end{aligned} \end{array} \\ Proses Penyelesaian \\ \begin{aligned} \vec{H J} & = \vec{j} - \vec{h} \\ = (\frac{2 \vec{b} + \vec{c}}{3}) - (\frac{2 \vec{a} + \vec{b}}{3}) \\ = \frac{- 2 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \end{aligned} \end{aligned}

\begin{array}{ll} 42. & Supaya vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} x \\ 4 \\ 7 \end{array}), dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 6 \\ y \\ 14 \end{array}), \\ segaris, harga x - y = . . . . \\ \begin{array}{lll} a . - 5 & d . 4 \\ b . - 2 & c . 3 & e . 6 \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Dikethui & bahwa : \\ vektor & \vec{a} dan \vec{b} segaris, maka \\ m \vec{a} & = \vec{b} \\ dengan & m adalah skalar/faktor pengali \\ m (\begin{array}{c} x \\ 4 \\ 7 \end{array}) & = (\begin{array}{c} 6 \\ y \\ 14 \end{array}) \\ di dapat & kan {\begin{cases} m x & = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) \\ 4 m & = y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) \\ 7 m & = 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) \end{cases} \\ Dari per & samaan (3) akan \\ didapat & kan nilai m = 2 \\ maka & akan didapatkan juga {\begin{cases} x & = 3 \\ y & = 8 \end{cases} \\ sehin & gga nilai dari \\ x - y & = 3 - 8 \\ = - 5 \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 43. & Diketahui O titik pangkal A (0, 1, 2) \\ dan B (3, 4, 5), maka luas segitiga \\ O A B sama dengan . . . . \\ \begin{array}{lll} a . 3 \sqrt{6} \\ b . \frac{2}{3} \sqrt{6} \\ c . \frac{4}{3} \sqrt{6} \\ d . \frac{3}{2} \sqrt{6} \\ e . 2 \sqrt{6} \end{array} \\ Jawab : \\ Coba perhatikanlah ilustrasi berikut \\ \begin{aligned} Misalkan luas segitiga \frac{1}{2} | \vec{p} \times \vec{q} |, \\ dengan \\ {\begin{cases} \vec{p} & = \overset{―}{O A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) \\ \vec{q} & = \overset{―}{O B} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}) \end{cases} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \vec{p} & \times \vec{q} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{array} | \\ = (5 - 8) \vec{i} - (0 - 6) \vec{j} + (0 - 3) \vec{k} \\ = - 3 \vec{i} + 6 \vec{j} - 3 \vec{k} \\ Sehingga \\ | \vec{p} \times \vec{q} | = \sqrt{(- 3)^{2} + 6^{2} + (- 3)^{2}} \\ = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6} \\ Maka luas segi tiganya adalah : \\ luas △ A B C = \frac{1}{2} | \vec{p} \times \vec{q} | = \frac{1}{2} (3 \sqrt{6}) = \frac{3}{2} \sqrt{6} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 44. & Proyeksi skalar ortogonal \\ \vec{a} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} + 6 \vec{k}, pada \\ \vec{b} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 2 \vec{k} adalah . . . . \\ \begin{array}{lllllll} a . \frac{4}{3} & d . & \frac{16}{3} \\ b . \frac{8}{3} & c & \frac{10}{3} & e . & \frac{20}{3} \end{array} \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ {\begin{cases} \vec{a} & = (2, - 3, 6) \\ \vec{b} & = (1, 2, 2) \end{cases} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} | \vec{c} | & = | \frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{b} |} | \\ = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 6 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} \\ = \frac{2 - 6 + 12}{\sqrt{9}} = \frac{8}{3} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 45. & Diketahui vektor \vec{a} = 3 \vec{i} - 4 \vec{j} + p \vec{k} \\ dan \vec{b} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j} - 3 \vec{k} . Jika panjang \\ proyeksi vektor \vec{a} pada \vec{b} adalah \\ \frac{4}{\sqrt{17}}, maka nilai p adalah . . . . \\ \begin{array}{lllllll} a . - 2 & d . & 2 \\ b . - 1 & c & 1 & e . & 3 \end{array} \\ Jawab : \\ Panjang proyeksi skalar vektor \vec{a} pada \vec{b} \\ \begin{aligned} | \vec{c} | & = \frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{b} |} \\ \frac{4}{\sqrt{17}} & = \frac{(\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ p \end{array}) (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array})}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + (- 3)^{2}}} \\ \frac{4}{\sqrt{17}} & = \frac{6 - 8 - 3 p}{\sqrt{17}} \\ 4 & = - 2 - 3 p \\ 6 & = - 3 p \\ - 3 p & = 6 \\ p & = - 2 \end{aligned} \end{array}

Contoh 8 Vektor

Contoh soal sebelumnya di sini Contoh Soal 7

$\begin{array}{ll} 34. & Vektor satuan untuk \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . \frac{1}{2} \sqrt{3} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) \\ b . \frac{1}{3} \sqrt{3} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) \\ c . \frac{1}{5} \sqrt{5} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) \\ d . \frac{1}{7} \sqrt{7} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) \\ e . \frac{1}{21} \sqrt{21} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Vektor satuan \vec{a} & adalah {\vec{e}}_{\vec{a}}, yaitu : \\ {\vec{e}}_{\vec{a}} & = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array})}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 4^{2}}} \\ = \frac{1}{\sqrt{21}} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) \\ = \frac{1}{21} \sqrt{21} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 35. & Posisi suatu titik dalam ruang saat \\ waktu t ditunjukkan oleh vektor \\ (\begin{array}{c} t \\ t^{2} \\ - t \end{array}) . Jika pada saat t = 1 titik \\ tersebut berada di titik P dan pada \\ saat t = 2 titik tersebut berada \\ di titik Q, maka jarak titik P dari Q \\ adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . \sqrt{24} - \sqrt{3} & d . \sqrt{11} \\ b . 2 - \sqrt{2} & c . 3 & e . \sqrt{43} \end{array} \\ Jawab : a \\ \begin{aligned} | \vec{P Q} | & = \sqrt{(x_{q} - x_{p})^{2} + (y_{q} - y_{p})^{2} + (y_{q} - y_{p})^{2}} \\ = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (2^{2} - 1^{2})^{2} + ((- 2) - (- 1))^{2}} \\ = \sqrt{1^{2} + 3^{2} + (- 1)^{2}} \\ = \sqrt{1 + 9 + 1} \\ = \sqrt{11} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 36. & Jika diketahui | \vec{a} | = 4 \sqrt{3}, | \vec{b} | = 5, \\ dan (\vec{a} + \vec{b}) . (\vec{a} + \vec{b}) = 13, \\ maka ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = . . . . \\ \begin{array}{lll} a . 30^{\circ} & d . 135^{\circ} \\ b . 60^{\circ} & c . 120^{\circ} & e . 150^{\circ} \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} (\vec{a} + \vec{b}) . (\vec{a} + \vec{b}) & = 13 \\ \vec{a} . \vec{a} + \vec{a} . \vec{b} + \vec{b} . \vec{a} + \vec{b} . \vec{b} & = 13 \\ {| \vec{a} |}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {| \vec{b} |}^{2} & = 13, \\ ingat bahwa \vec{a} . \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \\ {(4 \sqrt{3})}^{2} + 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos ∠ (\vec{a}, \vec{b}) + 5^{2} & = 13 \\ 48 + 2. (4 \sqrt{3}) .5 . \cos ∠ (\vec{a}, \vec{b}) + 25 & = 13 \\ 40 \sqrt{3} \cos ∠ (\vec{a}, \vec{b}) & = 13 - 25 - 48 \\ \cos ∠ (\vec{a}, \vec{b}) & = \frac{- 60}{40 \sqrt{3}} \\ = - \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ = - \cos 30 \\ = \cos (180^{\circ} - 30^{\circ}) \\ \cos ∠ (\vec{a}, \vec{b}) & = \cos 150^{\circ} \\ ∠ (\vec{a}, \vec{b}) & = 150^{\circ} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 37. & Jika diketahui titik A (2, - 1, 4), B (4, 1, 3), \\ dan C (2, 0, 5), maka \sin ∠ (\overset{―}{A B}, \overset{―}{A C}) = . . . . \\ \begin{array}{lll} a . \frac{1}{7} \sqrt{5} & d . \frac{1}{6} \sqrt{3} \\ b . \frac{1}{6} \sqrt{34} & c . \frac{2}{3} \sqrt{2} & e . \frac{1}{6} \sqrt{2} \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \cos ∠ (\overset{―}{A B}, \overset{―}{A C}) = \frac{\overset{―}{A B} . \overset{―}{A C}}{| \overset{―}{A B} | . | \overset{―}{A C} |} \\ = \frac{(\vec{b} - \vec{a}) . (\vec{c} - \vec{a})}{\sqrt{x_{(\vec{b} - \vec{a})}^{2} + y_{(\vec{b} - \vec{a})}^{2} + z_{(\vec{b} - \vec{a})}^{2}} . \sqrt{x_{(\vec{c} - \vec{a})}^{2} + y_{(\vec{c} - \vec{a})}^{2} + z_{(\vec{c} - \vec{a})}^{2}}} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 4 - 2 \\ 1 + 1 \\ 3 - 4 \end{array}) . (\begin{array}{c} 2 - 2 \\ 0 + 1 \\ 5 - 4 \end{array})}{\sqrt{(4 - 2)^{2} + (1 + 1)^{2} + (3 - 4)^{2}} . \sqrt{(2 - 2)^{2} + (0 + 1)^{2} + (5 - 4)^{2}}} \\ = \frac{2.0 + 2.1 + - 1.1}{\sqrt{4 + 4 + 1} . \sqrt{0 + 1 + 1}} \\ = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \\ = \frac{1}{6} \sqrt{2} \end{aligned} \\ \begin{aligned} Sehingga, \\ \sin ∠ (\overset{―}{A B}, \overset{―}{A C}) \\ = \sqrt{1 - \cos^{2} ∠ (\overset{―}{A B}, \overset{―}{A C})} \\ = \sqrt{1 - {(\frac{1}{6} \sqrt{2})}^{2}} \\ = \sqrt{1 - \frac{2}{36}} \\ = \sqrt{\frac{34}{36}} \\ = \frac{1}{6} \sqrt{34} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 38. & Diketahui segitiga ABC. Titik M \\ di tengah AC, dan titik N pada BC \\ Jika \vec{A B} = \vec{c}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{B C} = \vec{a}, \\ maka \vec{M N} = . . . . \\ \begin{array}{lll} a . \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{c}) \\ b . \frac{1}{2} (- \vec{b} + \vec{c}) \\ c . \frac{1}{2} (- \vec{a} + \vec{c}) \\ d . \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b}) \\ e . \frac{1}{2} (- \vec{a} + \vec{b}) \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \vec{M N} & = \vec{M C} + \vec{C N} \\ = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} (- \vec{B C}) \\ = \frac{1}{2} (\vec{A C} - \vec{B C}) \\ = \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a}) atau \\ = \frac{1}{2} (- \vec{a} + \vec{b}) \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 39. & Jika titik berat segitiga ABC adalah Z \\ dengan A (1, 0, 2), B (5, 4, 10), C (0, - 1, 6), \\ maka koordinat titik Z tersebut adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . (- 2, - 1, 6) & d . (3, 2, 6) \\ b . (2, 1, 6) & c . (3, - 1, 6) & e . (6, 4, 12) \end{array} \\ Jawab : b \\ Coba perhatikanlah ilustrasi berikut \end{array}$

$. \begin{aligned} \begin{aligned} koordinat & {titik A}^{'} \\ = \frac{1}{2} (5 + 0, 4 - 1, 10 + 6) \\ = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, 8) \end{aligned} \\ \begin{aligned} Dalam se & gitiga ABC untuk titik berat Z \\ berlaku & ketentuan sebagai berikut \\ A Z : Z A^{'} & = 2 : 1 \\ \vec{A Z} : \vec{Z A^{'}} & = 2 : 1 \\ \vec{O Z} & = \frac{\vec{O A} + 2 \vec{O A^{'}}}{3} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + 2 (\begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} \\ 8 \end{array})}{3} \\ = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 6 \end{array}) \\ Jadi, & koordinat titik Z adalah (2, 1, 6) \end{aligned} \end{aligned}$ .

$\begin{array}{ll} 40. & Diketahui titik A (- 4, - 1, - 2), B (- 6, 4, 3), \\ C (2, 3, 5) . Jika titik M membagi \vec{A B} \\ sehingga \vec{A M} : \vec{M B} = 3 : 2 \\ maka vektor yang diwakili oleh \vec{M C} = . . . . \\ \begin{array}{lll} a . (- 4, 1, 4) & d . (6, 4, 1) \\ b . (- 2, 2, 1) & c . (0, 5, 6) & e . (4, 1, 4) \end{array} \\ Jawab : \\ Coba perhatikanlah ilustrasi berikut \end{array}$

$. \begin{array}{cc} Diketahui & Proses Penyelesaian \\ \begin{aligned} \vec{A M} : \vec{M B} & = 3 : 2 \\ \vec{m} & = \frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{5} \end{aligned} & \begin{aligned} \vec{M C} & = \vec{c} - \vec{m} \\ = \vec{c} - \frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{5} \\ = \frac{5 \vec{c} - 2 \vec{a} - 3 \vec{b}}{5} \\ = \frac{5 (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 5 \end{array}) - 2 (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) - 3 (\begin{array}{c} - 6 \\ 4 \\ 3 \end{array})}{5} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 20 \\ 5 \\ 20 \end{array})}{5} \\ = (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 4 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$

Proyeksi Ortoganal Suatu Vektor di Dimensi Tiga

Materinya sama dengan proyeksi ortogonal pada dimensi dua klik di sini

Uraian berikut sebagai pengingat saja

$\begin{aligned} ▹ & Proyeksi skalar vektor \\ | \vec{c} | = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{b} |} \\ ▹ & Vektor proyeksi ortogonal \\ \vec{c} = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}} . \vec{b} \end{aligned}$

Sebagai penjelasannya adalah sebagai berikut:

Penjelasan pertama berkaitan dengan proyeksi skalar vektor di dimensi tiga, yaitu:

Diberikan sebuah ilustrasi berikut,

Perhatikan ilustrasi gambar di atas!

\begin{array}{cc} △ OAC & ∠ (\vec{a}, \vec{b}) \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{| \vec{c} |}{| \vec{a} |} \\ \Leftrightarrow | \vec{c} | & = | \vec{a} | \cos θ . . . . . . . . (1) \end{aligned} & \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} . . . . . . . . (2) \end{aligned} \end{array}

\begin{aligned} Dari (1) & dan (2) diperoleh \\ | \vec{c} | & = | \vec{a} | \cos θ \\ = | \vec{a} | (\frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}) \\ = | \frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{b} |} | \end{aligned}

Dan penjelasan kedua berkaitan dengan vektor proyeksi ortogonalnya, yaitu:

\begin{aligned} Perhatikan pula misal \hat{c} \\ adalah vektor satuan dari \vec{c} dan \vec{b}, \\ maka \\ \begin{aligned} \vec{c} & = | \vec{c} | \hat{c} \end{aligned}, dan \\ \begin{aligned} \vec{b} & = | \vec{b} | \hat{b} = | \vec{b} | \hat{c} \end{aligned} \end{aligned}

\begin{aligned} Sehingga & proyeksi ortogonal vektor \vec{a} pada \vec{b} adalah : \\ \vec{c} & = | \vec{c} | \hat{b} \\ = (\frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{b} |}) (\frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}) \\ = (\frac{\vec{a} \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}}) \vec{b} \end{aligned}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}) . \\ Tentukanlah \\ a . proyeksi skalar \vec{a} pada \vec{b} \\ b . vektor proyeksi \vec{a} pada \vec{b} \\ c . proyeksi skalar \vec{b} pada \vec{a} \\ d . vektor proyeksi \vec{b} pada \vec{a} \\ Jawab : \\ Misalkan proyeksi skalar \vec{a} pada \vec{b} \\ adalah | \vec{c} |, dan \\ misalkan juga proyeksi skalar \vec{b} pada \vec{a} \\ adalah | \vec{d} |, maka \\ \begin{aligned} a . | \vec{c} | & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{b} |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ 2 \end{array})}{\sqrt{(- 4)^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} \\ = \frac{- 8 - 6 + 2}{\sqrt{24}} = - \frac{12}{24} \sqrt{24} = - \sqrt{6} \\ Karena hasilnya berupa panjang, maka \\ diharga mutlak/positif \\ | \vec{c} | = | - \sqrt{6} | = \sqrt{6} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . \vec{c} & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}} \times \vec{b} \\ = \frac{- 12}{(\sqrt{24})^{2}} \times (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}) \\ = - \frac{1}{2} (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) \end{aligned} \\ \begin{aligned} c . | \vec{d} | & = \frac{\vec{b} ∙ \vec{a}}{| \vec{a} |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array})}{\sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + 1^{2}}} \\ = \frac{- 8 - 6 + 2}{\sqrt{14}} = - \frac{12}{14} \sqrt{14} = - \frac{6}{7} \sqrt{14} \\ Karena hasilnya berupa panjang, maka \\ diharga mutlak/positif \\ | \vec{d} | = | - \frac{6}{7} \sqrt{14} | = \frac{6}{7} \sqrt{14} \end{aligned} \\ \begin{aligned} d . \vec{d} & = \frac{\vec{b} ∙ \vec{a}}{{| \vec{a} |}^{2}} \times \vec{a} \\ = \frac{- 12}{(\sqrt{14})^{2}} \times (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \\ = - \frac{12}{14} (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{12}{7} \\ \frac{18}{7} \\ - \frac{6}{7} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Diketahui \vec{a} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ m \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) . \\ Jika proyeksi skalar \vec{a} pada \vec{b} adalah \\ bernilai - \frac{2}{3}, maka tentukan nilai m \\ Jawab : \\ Misalkan proyeksi skalar \vec{a} pada \vec{b} adalah | \vec{f} |, \\ maka \\ \begin{aligned} | \vec{f} | & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{b} |} \\ \Leftrightarrow - \frac{2}{3} & = \frac{(\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ m \end{array}) (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + (- 2)^{2}}} \\ \Leftrightarrow - \frac{2}{3} & = \frac{- 6 + 2 - 2 m}{\sqrt{9}} = \frac{- 4 - 2 m}{3} \\ \Leftrightarrow - 2 & = - 4 - 2 m \\ \Leftrightarrow 1 & = 2 + m \\ \Leftrightarrow - m & = 2 - 1 = 1 \\ \Leftrightarrow m & = - 1 \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Diketahui vektor \vec{a} = 3 \bar{i} - 2 \bar{j} + 2 \bar{k} dan \\ \vec{b} = 2 \bar{i} - 2 \bar{j} + \bar{k} . Tentukanlah panjang \\ vektor proyeksi ortogonal \\ a . \vec{a} pada \vec{b} \\ b . \vec{a} pada (\vec{a} + \vec{b}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . Misal & kan \vec{g} adalah vektor proyeksi \\ yang & dimaksud, maka panjanynya \\ (lang & sung diharga mutlak) \\ | \vec{g} | & = | \frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{b} |} | \\ = | \frac{(\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) . (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array})}{\sqrt{2^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2}}} | \\ = | \frac{3.2 + (- 2) . (- 2) + 2.1}{\sqrt{4 + 4 + 1}} | \\ = | \frac{12}{3} | = 4 \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . Misal & kan \vec{h} adalah vektor proyeksi \\ yang & dimaksud, maka panjanynya \\ (lang & sung diharga mutlak) \\ | \vec{h} | & = | \frac{\vec{a} (\vec{a} + \vec{b})}{| \vec{a} + \vec{b} |} | \\ = | \frac{(\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) . (\begin{array}{c} 3 + 2 \\ - 2 + (- 2) \\ 2 + 1 \end{array})}{\sqrt{(3 + 2)^{2} + (- 2 + (- 2))^{2} + (2 + 1)^{2}}} | \\ = | \frac{3.5 + (- 2) . (- 4) + 2.3}{\sqrt{25 + 16 + 9}} | \\ = | \frac{29}{\sqrt{50}} | \\ = \frac{29}{5 \sqrt{2}} = \frac{29}{10} \sqrt{5} \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama Program IPA. Jakarta: YUDHISTIRA.

Lanjutan 2 Materi Operasi Vektor Berdimensi Tiga

$G. Perbandingan Vektor$ .

Rumus perbandingan vektor yang berlaku pada dimensi dua juga berlaku untuk perbandingan vektor di dimensi tiga. Misalkan suatu $\overset{―}{A B}$ dan titik T pada $\overset{―}{A B}$ dengan $\overset{―}{A T} : \overset{―}{T B} = m : n$ .

Karena titik T pada ruas garis AB, maka titik T membagi ruas AB dengan $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sebagai vektor posisi dari masing-masing titik A dan B dan vektor posisi titik T dapat ditentukan, yaitu:

$\vec{t} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}$

Sebagai ilustrasinya adalah gambar berikut

Untuk bukti silahkan merujuk di sini

(dengan menyesuaikan posisi titiknya)

Jika titik T pada perpanjangan garis $\overset{―}{A B}$ , maka vektor posisi titik T-nya adalah:

$\vec{t} = \frac{- n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}$ .

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1. & Jika titik A (12, 12, 0) dan B (6, 6, 12) \\ serta P membagi garis dengan \\ \overset{―}{A P} : \overset{―}{P B} = 1 : 2. Tentukanlah koordinat \\ titik P jika, \\ P membagi di dalam \\ P membagi di luar \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & P membagi di dalam \\ \vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n} \\ = \frac{2 \vec{a} + 1 \vec{p}}{1 + 2} = \frac{2 (\begin{array}{c} 12 \\ 12 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 6 \\ 12 \end{array})}{3} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 30 \\ 30 \\ 12 \end{array})}{3} = (\begin{array}{c} 10 \\ 10 \\ 4 \end{array}) \\ b . & P membagi di luar \\ \vec{p} = \frac{- n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n} \\ = \frac{- 2 (\begin{array}{c} 12 \\ 12 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 6 \\ 12 \end{array})}{1 - 2} \\ = - (\begin{array}{c} - 18 \\ - 18 \\ 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 18 \\ 18 \\ - 12 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 2. & Jika titik A (3, 2, - 1) dan B (1, - 2, 1) \\ dan C (7, m - 1, - 5) . Tentukan nilai m \\ agar ketiga titik itu segaris \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui \\ \vec{a} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ - 1 \end{array}), \vec{b} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}), (\begin{array}{c} 7 \\ m - 1 \\ - 5 \end{array}) \\ Agar ketiga titik segaris, maka \overset{―}{A B} = k \overset{―}{B C} \\ \vec{b} - \vec{a} = k (\vec{c} - \vec{b}) \\ (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) = k (\begin{array}{c} 7 \\ m - 1 \\ - 5 \end{array} - (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})) \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ 2 \end{array}) = k (\begin{array}{c} 6 \\ m + 1 \\ - 6 \end{array}) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} - 2 & = 6 k \\ - 4 & = k (m + 1) \\ 2 & = - 6 k \end{cases} \Leftrightarrow - 2 = 6 k \\ \Leftrightarrow k = - \frac{1}{3} \\ maka \\ \Leftrightarrow - 4 = k (m + 1) \Leftrightarrow - 4 = - \frac{1}{3} (m + 1) \\ \Leftrightarrow 12 = m + 1 \\ \Leftrightarrow m = 11 \end{aligned} \end{array}$

Lanjutan 1 Materi Operasi Vektor Berdimensi Tiga (Hasil Kali Vektor)

$F. 4. Perkalian Silang Vektor (Pengayaan)$ .

Pada ruang dimensi tiga khususnya pada vektor akan berlaku perkalian silang (cross vektor) adalah perkalian antara dua vektor yang menghasilkan vektor tunggal. Misalkan diketahui $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah dua vektor sembarang dan keduanya membentuk sudut $θ$ , maka hasil kali kedua vektor tersebut adalah sebuah vektor baru dengan dinotasiakan sebagai $\vec{u} \times \vec{v}$ . Tentunya sebagai syarat kedua vektor tersebut masing-masing tidak berupa vektor nol.

Jika $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{c}$ , maka

$\begin{aligned} \vec{u} & \times \vec{v} = \vec{c} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \end{aligned}$

Lalu kalau sudah demikian berapa besarnya? dan ke mana arahnya?

Besarnya adalah $| \vec{u} \times \vec{v} | = | \vec{u} | | \vec{v} | \sin θ$ dan arahnya tegak lurus terhadap $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ .

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut untuk dua buah vektor sebagai misal $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ .

Jika putarannya dibalik, maka akan mendapatkan hasil sebagai mana ilustrasi berikut

Sehingga perlu diingat bahwa :

\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}

Pada hasil kali silang dua vektor berlaku

tidak bersifat komutatif , karena $\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$ .
distributif terhadap penjumlahan : $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ .
pada perkalian dengan skalar : $k (\vec{a} \times \vec{b}) = (k \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k \vec{b})$ .
berlaku untuk sembarang vektor : $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ .
jika kedua vektor sejajar, maka hasil kalinya adalah = 0.
Nilai dari perkalian kedua vektor terbut adalah sama dengan hasil luas jajar genjang.
Nilai dari poin 6 jika dibagi 2 akan berupa hasil luas sebuah segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
berlaku identitas Lagrange : ${| \vec{a} \times \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} . {| \vec{b} |}^{2} - {(\vec{a} ∙ \vec{b})}^{2}$ .

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui \vec{a} = 4 \vec{i} + 3 \vec{j} dan \vec{b} = 4 \vec{i} - 3 \vec{k} \\ Tentukanlah hasil \vec{a} \times \vec{b} dan \vec{b} \times \vec{a} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \vec{a} & \times \vec{b} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & - 3 \end{array} | \\ = (- 9 - 0) \vec{i} - (- 12 - 0) \vec{j} + (0 - 12) \vec{k} \\ = - 9 \vec{i} + 12 \vec{j} - 12 \vec{k} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \vec{b} & \times \vec{a} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 0 & - 3 \\ 4 & 3 & 0 \end{array} | \\ = (0 - (- 9)) \vec{i} - (0 - (- 12)) \vec{j} + (12 - 0) \vec{k} \\ = 9 \vec{i} - 12 \vec{j} + 12 \vec{k} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Diketahui \vec{a} = 6 \vec{i} + 2 \vec{j} + 10 \vec{k} dan \vec{b} = 4 \vec{i} + \vec{j} + 9 \vec{k} \\ Tentukanlah hasil \vec{a} \times \vec{b} dan \vec{b} \times \vec{a} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \vec{a} & \times \vec{b} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & 2 & 10 \\ 4 & 1 & 9 \end{array} | \\ = (18 - 10) \vec{i} - (54 - 40) \vec{j} + (6 - 8) \vec{k} \\ = 8 \vec{i} - 14 \vec{j} - 2 \vec{k} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \vec{b} & \times \vec{a} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 1 & 9 \\ 6 & 2 & 10 \end{array} | \\ = (10 - 18) \vec{i} - (40 - 54) \vec{j} + (8 - 6) \vec{k} \\ = - 8 \vec{i} + 14 \vec{j} + 2 \vec{k} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Tentukanlah luas segitiga A B C jika \\ diketahui A (2, 1, - 2), B (0, - 1, 0), dan \\ C (- 1, 2, - 1) \\ Jawab : \\ Misalkan luas segitiga \frac{1}{2} | \vec{p} \times \vec{q} |, dengan \\ {\begin{cases} \vec{p} & = \overset{―}{A B} = \overset{―}{O B} - \overset{―}{O A} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) \\ \vec{q} & = \overset{―}{A C} = \overset{―}{O C} - \overset{―}{O A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \end{cases} \\ \begin{aligned} \vec{p} & \times \vec{q} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 2 & - 2 & 2 \\ - 3 & 1 & 1 \end{array} | \\ = (- 2 - 2) \vec{i} - (- 2 - (- 6)) \vec{j} + (- 2 - 6) \vec{k} \\ = - 4 \vec{i} - 4 \vec{j} - 8 \vec{k} \\ Sehingga \\ | \vec{p} \times \vec{q} | = \sqrt{(- 4)^{2} + (- 4)^{2} + (- 8)^{2}} \\ = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6} \\ Maka luas segi tiganya adalah : \\ luas △ A B C = \frac{1}{2} | \vec{p} \times \vec{q} | = \frac{1}{2} (4 \sqrt{6}) = 2 \sqrt{6} \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI

Operasi Vektor Berdimensi Tiga

$F. Operasi Vektor Dalam Ruang$

Operasi vektor pada dimensi tiga kurang lebih sama dengan operasi pada vektor berdimensi dua.

$F. 1. Penjumlahan dan Pengurangan$ .

$\begin{aligned} Jika & diketahui sebagai misal \\ \bar{u} & = a \bar{i} + b \bar{j} + c \bar{k} dan \\ \bar{v} & = p \bar{i} + q \bar{j} + r \bar{k} \\ mak & a \\ Pen & jumlahan dua vektor di atas adalah \\ \bar{u} + \bar{v} & = (a + p) \bar{i} + (b + q) \bar{j} + (c + r) \bar{k} \\ dem & ikian juga untuk pengurangan \\ \bar{u} - \bar{v} & = (a - p) \bar{i} + (b - q) \bar{j} + (c - r) \bar{k} \end{aligned}$ .

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1. & Jika diketahui \bar{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}) dan \bar{b} = (\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) \\ Tentukanlah hasil dari \\ a . \bar{a} + \bar{b} \\ b . \bar{a} - \bar{b} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa \\ \bar{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}) dan \bar{b} = (\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 0 \end{array}), \\ maka \\ \bar{a} + \bar{b} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}) + (\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 1 + 8 \\ 3 + (- 2) \\ 7 + 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 1 \\ 7 \end{array}) \\ Dan untuk \bar{a} - \bar{b} adalah : \\ \bar{a} - \bar{b} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 1 - 8 \\ 3 - (- 2) \\ 7 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 7 \\ 5 \\ 7 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$ .

$F. 2. Perkalian Skalar dengan Vektor$ .

Misalkan suatu skalar $m$ dan suatu vektor $\bar{u} = a \bar{i} + b \bar{j} + c \bar{k}$ , maka perkalian $m$ dengan vektor $\bar{u}$ tersebut adalah $\bar{u} = m a \bar{i} + m b \bar{j} + m c \bar{k}$ .

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 2. & Jika \bar{a} = (\begin{array}{c} 2022 \\ 2021 \\ 2020 \end{array}), tentukanlah nilai \\ dari 2 \bar{a} dan - 3 \bar{a} \\ Jawab \\ \begin{aligned} 2 \bar{a} & = 2 (\begin{array}{c} 2022 \\ 2021 \\ 2020 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4044 \\ 4042 \\ 4040 \end{array}), dan \\ - 3 \bar{a} & = - 3 (\begin{array}{c} 2022 \\ 2021 \\ 2020 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6066 \\ - 6063 \\ - 6060 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$

$F. 3. Perkalian Skalar Dua Vektor$ .

Hasil dari perkalian skalar dua vektor $\bar{a}$ dan $\bar{b}$ adalah : $\bar{a} ∙ \bar{b}$ .

Dengan

$\bar{a} ∙ \bar{b} = | \bar{a} | | \bar{b} | \cos θ$ . sehingga

$\begin{aligned} Tanda dari hasil skalar ini adalah \\ \begin{array}{lll} Besar sudut θ & Tanda & Bentuk \\ 0^{\circ} \leq θ < 90^{\circ} & Positif & Lancip \\ θ = 90^{\circ} & Nol & Siku-siku \\ 90^{\circ} < θ \leq 180^{\circ} & Negatif & Tumpul \end{array} \\ Untuk θ berupa sudut istimewa : \\ \begin{array}{ccccccc} θ & 0^{\circ} & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ} & 180^{\circ} \\ \cos θ & 1 & \frac{1}{2} \sqrt{3} & \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} & 0 & - 1 \end{array} \end{aligned}$

Adapun secara rumus untuk menentukan besar sudutnya adalah:

$\cos θ = \frac{\bar{a} ∙ \bar{b}}{| \bar{a} | | \bar{b} |}$ .

Sebagai ilustrasinya perhatikanlah gambar berikut

Selain hasil di atas ada cara lain menyelesaikan perkalian skalar dua vektor, yaitu:

$\begin{aligned} Jika & diketahui sebagai misal \\ \bar{u} & = a \bar{i} + b \bar{j} + c \bar{k} dan \\ \bar{v} & = p \bar{i} + q \bar{j} + r \bar{k} \\ mak & a \\ Per & kalian skalar dua vektor adalah : \\ \bar{u} ∙ & \bar{v} = (a \bar{i} + b \bar{j} + c \bar{k}) (p \bar{i} + q \bar{j} + r \bar{k}) \\ = a p . \bar{i} ∙ \bar{i} + a q . \bar{i} ∙ \bar{j} + a r . \bar{i} ∙ \bar{k} \\ + b p . \bar{j} ∙ \bar{i} + b q . \bar{j} ∙ \bar{j} + b r . \bar{j} ∙ \bar{k} \\ + c p . \bar{k} ∙ \bar{i} + c q . \bar{k} ∙ \bar{j} + c r . \bar{k} ∙ \bar{k} \\ = a p + 0 + 0 + 0 + b q + 0 + 0 + 0 + c r \\ = a p + b q + c r \end{aligned}$

$\begin{aligned} Sebagai penjelasannya adalah : \\ ▹ \bar{i} ∙ \bar{i} = | \bar{i} | | \bar{i} | \cos 0^{\circ} = 1.1 .1 = 1 \\ ▹ \bar{i} ∙ \bar{j} = | \bar{i} | | \bar{j} | \cos 90^{\circ} = 1.1 .0 = 0 \\ ▹ \bar{i} ∙ \bar{k} = | \bar{i} | | \bar{k} | \cos 90^{\circ} = 1.1 .0 = 0 \\ ▹ \bar{j} ∙ \bar{i} = \bar{i} ∙ \bar{j} = 0 \\ ▹ \bar{j} ∙ \bar{j} = | \bar{j} | | \bar{j} | \cos 0^{\circ} = 1.1 .1 = 1 \\ ▹ \bar{j} ∙ \bar{k} = | \bar{j} | | \bar{k} | \cos 90^{\circ} = 1.1 .0 = 0 \\ ▹ \bar{k} ∙ \bar{i} = \bar{i} ∙ \bar{k} = 0 \\ ▹ \bar{k} ∙ \bar{j} = \bar{j} ∙ \bar{k} = 0 \\ ▹ \bar{k} ∙ \bar{k} = | \bar{k} | | \bar{k} | \cos 90^{\circ} = 1.1 .1 = 1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} Atau jika ditabelkan nilainya \\ \begin{array}{cccc} \bar{u} ∙ \bar{v} & p \bar{i} & q \bar{j} & r \bar{k} \\ a \bar{k} & a p & 0 & 0 \\ b \bar{j} & 0 & b q & 0 \\ c \bar{k} & 0 & 0 & c r \end{array} \end{aligned}$

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 3. & Jika \vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}), dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 0 \end{array}) \\ tentukanlah nilai dari \vec{a} ∙ \vec{b} \\ Jawab \\ \begin{aligned} \vec{a} ∙ \vec{b} & = 1.5 + 2.4 + 4.0 = 5 + 8 + 0 = 13 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 4. & Jika diketahui \vec{a} = \vec{i} - 2 \vec{j} + 3 \vec{k}, \\ dan \vec{b} = 3 \vec{i} - 4 \vec{j} + m \vec{k} serta \\ nilai \vec{a} ∙ \vec{b} = - 4, maka tentukan \\ nilai m \\ Jawab \\ Diketahui bahwa \\ ▹ \vec{a} = \vec{i} - 2 \vec{j} + 3 \vec{k} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}), dan \\ ▹ \vec{b} = 3 \vec{i} - 4 \vec{j} + m \vec{k} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ m \end{array}) \\ \begin{aligned} \vec{a} ∙ \vec{b} & = 1.3 + 3. (- 4) + 3. m \\ - 4 & = 3 + 8 + 3 m \\ - 3 m & = 11 + 4 \\ m & = - \frac{15}{3} \\ = - 5 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 5. & Diketahui | \vec{a} | = 10, | \vec{b} | = 6. \\ Jika \vec{a} dan \vec{b} membentuk sudut \\ 60^{\circ} . Tentukanlah nilai \vec{a} ∙ \vec{b} \\ Jawab \\ \begin{aligned} \vec{a} ∙ \vec{b} & = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ \\ = 10.6 . \cos 60^{\circ} \\ = 60. (\frac{1}{2}) \\ = 30 \\ Jadi & hasil kali skalarnya adalah 30 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 6. & Diketahui \vec{a} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}), \\ jika \vec{p} tegak lurus \vec{q}, maka tentukanlah \\ nilai t adalah \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Karena & kedua vektor tersebut saling \\ tegak l & urus maka \\ \vec{a} . \vec{b} & = 0 \\ (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) & (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}) = 0 \\ (- 2) .4 & + 1. (- 1) + 3. t = 0 \\ - 8 - 1 & + 3 t = 0 \\ 3 t & = 9 \\ t & = 3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 7. & Tentukanlah nilai \vec{a} . \vec{b} jika \\ a . | \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 6, ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60^{\circ} \\ b . \vec{a} = 2 \vec{i} + \vec{j} - 5 \vec{k} dan \vec{b} = 2 \vec{i} - 3 \vec{k} \\ c . \vec{a} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . \vec{a} . \vec{b} & = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos ∠ (\vec{a}, \vec{b}) \\ = 4.6 . \cos 60^{\circ} \\ = 24. (\frac{1}{2}) \\ = 12 \end{aligned} \\ b . \vec{a} . \vec{b} = 2.2 + 1.0 + (- 5) . (- 3) = 4 + 15 = 19 \\ c . \vec{a} . \vec{b} = 0.4 + (- 1) . (- 2) + 3.1 = 0 + 2 + 3 = 5 \end{array}$

$\begin{array}{ll} 8. & Diketahui | \vec{a} | = 10, | \vec{b} | = 3 \\ dan \vec{a} ∙ \vec{b} = 15 \sqrt{3} . Tentukan sudut \\ yang dibentuk oleh \vec{a} dan \vec{b} \\ Jawab \\ Dari bentuk \\ \begin{aligned} \vec{a} ∙ \vec{b} & = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ \\ dipe & roleh bentuk \\ \cos θ & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \\ \cos θ & = \frac{15 \sqrt{3}}{10.3} = \frac{15}{30} \sqrt{3} = \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \cos θ & = \cos 30^{\circ} \\ θ & = 30^{\circ} \\ Jadi & sudut antara keduanya adalah 30^{\circ} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 9. & Tentukanlah besar sudut antara vektor \\ \vec{a} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})}{\sqrt{(- 1)^{2} + 1^{2}} \sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2}}} \\ = \frac{- 1 - 2 + 0}{\sqrt{2} \sqrt{9}} \\ = - \frac{1}{\sqrt{2}} = - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ = - \cos 45^{\circ} \\ = \cos (180^{\circ} - 45^{\circ}) \\ \cos θ & = \cos 135^{\circ} \\ ∴ θ & = 135^{\circ} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 10. & Diketahui bahwa | \vec{a} | = \sqrt{6}, (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \\ dan \vec{a} (\vec{a} - \vec{b}) = 3. Tentukanlah besar \\ sudut antara \vec{a} dan \vec{b} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Perhatikan & bahwa \\ (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) & = 0 \\ {| \vec{a} |}^{2} - {| \vec{b} |}^{2} & = 0 \\ {| \vec{a} |}^{2} & = {| \vec{b} |}^{2} \Rightarrow | \vec{a} | = \vec{b} = \sqrt{6} \\ dan \vec{a} (\vec{a} - \vec{b}) & = 3 \\ {| \vec{a} |}^{2} - \vec{a} \vec{b} & = 3 \\ 6 - \vec{a} \vec{b} & = 3 \\ - \vec{a} \vec{b} & = 3 - 6 = - 3 \\ \vec{a} \vec{b} & = 3 \\ | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ & = 3 \\ \cos θ & = \frac{3}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ \cos θ & = \cos 60^{\circ} \\ ∴ θ & = 60^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$Berikut dua contoh untuk sudut tidak istimewa$ .

$\begin{array}{ll} 11. & Diketahui \vec{a} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 2 \vec{k}, dan \\ \vec{b} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} . Tentukan sudut \\ yang dibentuk oleh \vec{a} dan \vec{b} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Dik & etahui bahwa \\ ▹ & \vec{a} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 2 \vec{k} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) dan \\ | \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3 \\ ▹ & \vec{b} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array}) dan \\ | \vec{b} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5 \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \\ \cos θ & = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array})}{3.5} = \frac{3 + 8 + 0}{15} = \frac{11}{15} \\ \cos θ & = 0, 733 \\ θ & = \arccos (0.733) \\ gunakan alat bantu tabel trigonometri \\ atau kalkulator scientific \\ = 42, 9^{\circ} \\ Jadi & sudut antara keduanya adalah 42, 9^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 12. & Diketahui \vec{p} = (1, 2, 2), dan \\ \vec{q} = (3, - 2, 6) . Tentukan sudut \\ yang dibentuk oleh \vec{p} dan \vec{q} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Dik & etahui bahwa \\ ▹ & \vec{p} = (1, 2, 2) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) dan \\ | \vec{p} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3 \\ ▹ & \vec{q} = (3, - 2, 6) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 6 \end{array}) dan \\ | \vec{q} | = \sqrt{3^{2} + (- 2)^{2} + 6^{2}} = \sqrt{49} = 7 \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{p} ∙ \vec{q}}{| \vec{p} | | \vec{q} |} \\ \cos θ & = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 6 \end{array})}{3.7} = \frac{3 - 4 + 12}{21} = \frac{11}{21} \\ \cos θ & = 0, 524 \\ θ & = \arccos (0.524) \\ gunakan alat bantu tabel trigonometri \\ atau kalkulator scientific \\ = 58, 4^{\circ} \\ Jadi & sudut antara keduanya adalah 58, 4^{\circ} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 13. & Diketahui vektor \vec{a} dan \vec{b} memiliki \\ panjang masing-masing adalah 2 dan 3 \\ serta ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60^{\circ} . Carilah nilai \\ a . | \vec{a} + \vec{b} | \\ b . | \vec{a} - \vec{b} | \\ b besar sudut antara \\ (\vec{a} + \vec{b}) dan (\vec{a} - \vec{b}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & {| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} \\ = (\vec{a} + \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) \\ = \vec{a} \vec{a} + 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{b} \\ = {| \vec{a} |}^{2} \cos 0^{\circ} + 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60^{\circ} + {| \vec{b} |}^{2} \cos 0^{\circ} \\ = 2^{2} .1 + 2.2 .3 . \frac{1}{2} + 3^{2} .1 \\ = 4 + 6 + 9 = 19 \\ Jadi, nilainya adalah | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{19} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . & {| \vec{a} - \vec{b} |}^{2} \\ = (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} - \vec{b}) \\ = \vec{a} \vec{a} - 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{b} \\ = {| \vec{a} |}^{2} \cos 0^{\circ} - 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60^{\circ} + {| \vec{b} |}^{2} \cos 0^{\circ} \\ = 2^{2} .1 - 2.2 .3 . \frac{1}{2} + 3^{2} .1 \\ = 4 - 6 + 9 = 7 \\ Jadi, nilainya adalah | \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{7} \end{aligned} \\ \begin{aligned} c . Untuk menentukan nilai \\ \cos ∠ (\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}) & = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) . (\vec{a} - \vec{b})}{| \vec{a} + \vec{b} | . | \vec{a} - \vec{b} |} \\ = \frac{\vec{a} \vec{a} - \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{a} - \vec{b} \vec{b}}{\sqrt{19} . \sqrt{7}} \\ = \frac{2^{2} - 3^{2}}{\sqrt{133}} = - \frac{5}{\sqrt{133}} \\ ∠ (\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}) & = \arccos (- \frac{5}{\sqrt{133}}) \end{aligned} \end{array}$

$Berikut contoh untuk bentuk sudutnya$ .

$\begin{array}{ll} 14. & Diketahui \vec{p} = (x, 3, 2), dan \\ \vec{q} = (2, - 6, 3) . Tentukan nilai x \\ agar kedua vektor \\ a membentuk sudut lancip \\ b membentuk sudut siku-siku \\ c membentuk sudut tumpul \\ d sama panjang \\ Jawab \\ \begin{aligned} Dik & etahui bahwa \\ ▹ & \vec{p} = (x, 3, 2) = (\begin{array}{c} x \\ 3 \\ 2 \end{array}) dan \\ ▹ & \vec{q} = (2, - 6, 3) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \vec{p} ∙ \vec{q} = (\begin{array}{c} x \\ 3 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 2 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) \\ = 2 x - 18 + 6 = 2 x - 12 \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} a & Syarat lancip, yaitu : \vec{p} ∙ \vec{q} > 0 \\ 2 x - 12 > 0 \Leftrightarrow 2 x > 12 \Leftrightarrow x > 6 \\ b & Syarat siku-siku, yaitu : \vec{p} ∙ \vec{q} = 0 \\ 2 x - 12 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 12 \Leftrightarrow x = 6 \\ c & Syarat tumpul, yaitu : \vec{p} ∙ \vec{q} < 0 \\ 2 x - 12 < 0 \Leftrightarrow 2 x < 12 \Leftrightarrow x < 6 \\ d & Syarat panjang kedua vektor sama \\ yaitu : | \vec{p} | = | \vec{q} |, maka \\ \begin{aligned} \sqrt{x^{2} + 3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{2^{2} + (- 6)^{2} + 3^{2}} \\ x^{2} + 9 + 4 = 4 + 36 + 9 \\ x^{2} = 36 \\ x = \pm \sqrt{36} = \pm 6 \\ Jadi, x = - 6 atau x = 6 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika Program IPA 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
Noormandiri, Sucipto, E. 2003. Buku Pelajaran Matematika SMU untuk Kelas 3 Program IPA. Jakarta: ERLANGGA.
Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.