G. Invers Matriks Ordo 3x3
Invers matriks ordo 3x3 adalah suatu matriks berordo 3x3 yang apabila dikalikan dengan matriks asalnya akan menghasilkan matris identitas. Salah satu metode untuk memperolehnya metode adjoin. Dan untuk menentukan invers matriks ordo 3x3 dengan metode adjoin ini, kita perlu memahami beberapa istilah seperti minor dan kofaktor, determinan matriks ordo 3x3, serta transpose matriks kofaktor sehingga menjadi adjoin untuknantinya kita bagi dengan determinan sehingga mengasilkan invers matriks yang kita inginkan.
G. 1 Matrik Identitas Ordo 3x3
Matriks identitas ordo 3x3 dinyatakan sebagai berikut:
$\textrm{I}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
G.2 Minor
Jika unsur-unsur pada baris ke-i kolom ke-j pada sebuah matriks ordo 3x3 dihapus, maka akan diperoleh matriks persegi ordo 2x2. Determinan matriks ordo 2x2 setelah penghapusan tersebut dinamakan minor $a_{ij}$ dan dinotasikan dengan $\left| M_{ij} \right|$.
G.3 Kofaktor
Setelah kita mendapatkan $\left| M_{ij} \right|$ sebagai minor $a_{ij}$ dari matriks A, selanjutnya kita bisa mendapatkan kofaktor $a_{ij}$ denga formula $\alpha_{\displaystyle ij}=(-1)^{\displaystyle i+j}.\left| M_{\displaystyle ij} \right|$.
G.4 Determinan
Determinan dibahas di sini adalah determinan matriks yang tidak bernilai nol atau disebut juga matriks non singular, sedangkan matriks yang nilai determinannya nol adalah matriks singular. Untuk mendapatkan invers sebuah matriks ordo 3x3, maka matriks tersebut haruslah matriks non singular.
G.5 Adjoin
Jika sebuah matriks $\textrm{A}=\begin{pmatrix} a_{\displaystyle 11} & a_{\displaystyle 12} & a_{\displaystyle 13} \\ a_{\displaystyle 21} & a_{\displaystyle 22} & a_{\displaystyle 23} \\ a_{\displaystyle 31} & a_{\displaystyle 32} & a_{\displaystyle 33} \end{pmatrix}$ dengan $\alpha_{\displaystyle ij}$ sebagai kofaktor $a_{\displaystyle ij}$, maka formulasi untuk adjoin matriks A adalah:
$\textrm{adj A}=\begin{pmatrix} \alpha_{\displaystyle 11} & \alpha_{\displaystyle 21} & \alpha_{\displaystyle 31} \\ \alpha_{\displaystyle 12} & \alpha_{\displaystyle 22} & \alpha_{\displaystyle 32} \\ \alpha_{\displaystyle 13} & \alpha_{\displaystyle 23} & \alpha_{\displaystyle 33} \end{pmatrix}$.
G.6 Invers Matriks Ordo 3x3
Perhatikan kembali matriks persegi yaitu matriks A di atas, formulasi invers yang dimaksud adalah:
$\textrm{A}^{\displaystyle -1}=\displaystyle \frac{1}{\textrm{det A}}.\textrm{Adj A}$.
$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$.
$\begin{aligned}1.\quad&\textrm{Tentukan invers dari matriks A berikut}\\&A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Kita tentukan adjoinya, yaitu}\\ &\alpha_{\displaystyle 11}=(-1)^{\displaystyle 1+1}\left| M_{\displaystyle 11} \right|=1.\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(4-1)=3\\&\alpha_{\displaystyle 12}=(-1)^{\displaystyle 1+2}\left| M_{\displaystyle 12} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(2-1)=-1\\&\alpha_{\displaystyle 13}=(-1)^{\displaystyle 1+3}\left| M_{\displaystyle 13} \right|=1.\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(1-2)=-1\\&\alpha_{\displaystyle 21}=(-1)^{\displaystyle 2+1}\left| M_{\displaystyle 21} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(2-1)=-1\\&\alpha_{\displaystyle 22}=(-1)^{\displaystyle 2+2}\left| M_{\displaystyle 22} \right|=1.\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(4-1)=3\\&\alpha_{\displaystyle 23}=(-1)^{\displaystyle 2+3}\left| M_{\displaystyle 23} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(2-1)=-1\\&\alpha_{\displaystyle 31}=(-1)^{\displaystyle 3+1}\left| M_{\displaystyle 31} \right|=1.\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 2 & 1 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(1-2)=-1\\&\alpha_{\displaystyle 32}=(-1)^{\displaystyle 3+2}\left| M_{\displaystyle 32} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(2-1)=-1\\&\alpha_{\displaystyle 33}=(-1)^{\displaystyle 3+3}\left| M_{\displaystyle 33} \right|=1.\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(4-1)=3\\&\textrm{Dengan menggunakan data kofaktor-kofaktor}\\ &\textrm{di atas dari matriks A, diperoleh}\\ &\textrm{adj A}=\begin{pmatrix} \alpha_{\displaystyle 11} & \alpha_{\displaystyle 21} & \alpha_{\displaystyle 31} \\ \alpha_{\displaystyle 12} & \alpha_{\displaystyle 22} & \alpha_{\displaystyle 32} \\ \alpha_{\displaystyle 13} & \alpha_{\displaystyle 23} & \alpha_{\displaystyle 33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Sedangkan nilai det A atau}\:\left| A \right|\\&\begin{aligned}\quad &=\begin{vmatrix} 2 & 1&1\\ 1 & 2&1\\ 1&1&2 \end{vmatrix}\\ &=(2)(2)(2)+\\ &\: \: \quad (1)(1)(1)+\\ &\: \: \quad (1)(1)(1)+\\ &\: \: \quad -(1)(2)(1)\\ &\: \: \quad -(1)(1)(2)\\ &\: \: \quad -(2)(1)(1)\\ &=8+1+1\\ &\: \: \: -2-2-2\\ &=4 \\\end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\: \textrm{A}^{\displaystyle -1}=\displaystyle \frac{1}{\left| A \right|}.\textrm{Adj A}=\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$.
$\begin{aligned}2.\quad&\textrm{Tunjukkan bahwa untuk matriks A pada soal no.1}\\&\textrm{di atas dan matriks inversnya yaitu}\quad A^{\displaystyle -1}\\ &\textrm{jika dikalikan akan mengahsilkan matriks identitas}\\\\ &\textrm{Bukti}:\\ &\textrm{Akan dibuktikan secara langsung bahwa}:A.A^{\displaystyle -1}=I\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1\\ -1 & 3 & -1\\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 6-1-1 & 3-2-1 & 3-1-2\\ -2+3-1 & -1+6-1 & -1+3-2\\ -2-1+3 & -1-2+3 & -1-1+6 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad \textbf{terbukti} \end{aligned}$.
$\begin{aligned}3.\quad&\textrm{Tentukan invers dari matriks B berikut}\\&B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Kita tentukan adjoinya, yaitu}\\ &\alpha_{\displaystyle 11}=(-1)^{\displaystyle 1+1}\left| M_{\displaystyle 11} \right|=1.\begin{vmatrix} 5 & 6\\ 2 & 0 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(0-12)=-12\\&\alpha_{\displaystyle 12}=(-1)^{\displaystyle 1+2}\left| M_{\displaystyle 12} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 4 & 6\\ 1 & 0 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(0-6)=6\\&\alpha_{\displaystyle 13}=(-1)^{\displaystyle 1+3}\left| M_{\displaystyle 13} \right|=1.\begin{vmatrix} 4 & 5\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(8-5)=3\\&\alpha_{\displaystyle 21}=(-1)^{\displaystyle 2+1}\left| M_{\displaystyle 21} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 2 & 0 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(0-6)=6\\&\alpha_{\displaystyle 22}=(-1)^{\displaystyle 2+2}\left| M_{\displaystyle 22} \right|=1.\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 1 & 0 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(0-3)=-3\\&\alpha_{\displaystyle 23}=(-1)^{\displaystyle 2+3}\left| M_{\displaystyle 23} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(2-2)=0\\&\alpha_{\displaystyle 31}=(-1)^{\displaystyle 3+1}\left| M_{\displaystyle 31} \right|=1.\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(12-15)=-3\\&\alpha_{\displaystyle 32}=(-1)^{\displaystyle 3+2}\left| M_{\displaystyle 32} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 6 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(6-12)=6\\&\alpha_{\displaystyle 33}=(-1)^{\displaystyle 3+3}\left| M_{\displaystyle 33} \right|=1.\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(5-8)=-3\\&\textrm{Dengan menggunakan data kofaktor-kofaktor}\\ &\textrm{di atas dari matriks B, diperoleh}\\ &\textrm{adj B}=\begin{pmatrix} \alpha_{\displaystyle 11} & \alpha_{\displaystyle 21} & \alpha_{\displaystyle 31} \\ \alpha_{\displaystyle 12} & \alpha_{\displaystyle 22} & \alpha_{\displaystyle 32} \\ \alpha_{\displaystyle 13} & \alpha_{\displaystyle 23} & \alpha_{\displaystyle 33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -12 & 6 & -3\\ 6 & -3 & 6 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Sedangkan nilai det B atau}\:\left| B \right|\\&\begin{aligned}\quad &=\begin{vmatrix} 1 & 2&3\\ 4 & 5&6\\ 1&2&0 \end{vmatrix}\\ &=(1)(5)(0)+\\ &\: \: \quad (2)(6)(1)+\\ &\: \: \quad (3)(2)(4)+\\ &\: \: \quad -(1)(5)(3)\\ &\: \: \quad -(2)(6)(1)\\ &\: \: \quad -(0)(4)(2)\\ &=0+12+24\\ &\: \: \: -15-12-0\\ &=9 \\\end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\: \textrm{B}^{\displaystyle -1}=\displaystyle \frac{1}{\left| B \right|}.\textrm{Adj B}=\displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix} -12 & 6 & -3 \\ 6 & -3 & 6 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix} \end{aligned}$.
$\begin{aligned}4.\quad&\textrm{Tunjukkan bahwa untuk matriks B pada soal no.3}\\&\textrm{di atas dan matriks inversnya yaitu}\quad B^{\displaystyle -1}\\ &\textrm{jika dikalikan akan mengahsilkan matriks identitas}\\\\ &\textrm{Bukti}:\\ &\textrm{Akan dibuktikan secara langsung bahwa}:B.B^{\displaystyle -1}=I\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.\displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix} -12 & 6 & -3\\ 6 & -3 & 6\\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix} -12+12+9 & 6-6+0 & -3+12-9\\ -48+30+18 & 24-15+0 & -12+30-18\\ -12+12+0 & 6-6+0 & -3+12+0 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0\\ 0 & 9 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad \textbf{terbukti} \end{aligned}$.
- Kuntarti, Sulistiyono, Kurnianingsih, S. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: GELORA AKSARA PRATAMA.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Informasi