H. Penggunaan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear (SPL)
H.1 Tokoh yang Sangat Terkenal Terkait Penggunaan Matriks dalam SPL
Dalam mempelajari determinan dan SPL, kedua tokoh berikut akan selalu dikenang akan sumbangsihnya yang sangat luar biasa. Pertama Gabriel Cramer seorang matematikawan Swiss (1704-1752) dengan aturan Cramer dalam penggunaan determinan untuk mencari nilai variabel. Sedangkan yang kedua adalah Carl Friedrich Gauss seorang matematikawan Jerman (1777-1855) dengan eliminasi Gaussnya dalam penggunaan operasi baris pada matriks untuk menyelesaikan SPL.
H.2 Aturan Cramer untuk SPL dua variabel
Misalkan diberikan
$\begin{aligned}&\begin{cases} a_{1}x &+&b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x &+&b_{2}y=c_{2} \end{cases} \end{aligned}$.
maka koefisiennya adalah:
$\begin{pmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{pmatrix}$.
Determinan utama:
$D=\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$.
syaratnya $D\neq 0$.
Kemudian kolom x diganti dengan konstanta:
$D_{x}=\begin{vmatrix} c_{1} & b_{1}\\ c_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}$.
dan kolom y diganti dengan konstanta:
$D_{y}=\begin{vmatrix} a_{1} & c_{1}\\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}=a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}$,
maka solusi SPLDV adalah: $x=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle x}}{D},\quad y=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle y}}{D}$.
H.3 Aturan Cramer untuk SPL tiga variabel
Misalkan diketahui sistem persamaan berikut:
$\begin{aligned}&\begin{cases} a_{1}x &+&b_{1}y&+&c_{1}z&=&d_{1} \\ a_{2}x &+&b_{2}y&+&c_{2}z&=&d_{2}\\ a_{3}x &+&b_{3}y&+&c_{3}z&=&d_{3} \end{cases} \end{aligned}$.
Dengan cara yang sama seperti pada penyelesaian di bagian H.2 di atas dalam penyelesaian SPL tersebut dengan determinan, yaitu: $D=\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1}\\ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}\neq 0$, $D_{\displaystyle x}=\begin{vmatrix} d_{1} & b_{1} & c_{1}\\ d_{2} & b_{2} & c_{2}\\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}$, $D_{\displaystyle y}=\begin{vmatrix} a_{1} & d_{1} & c_{1}\\ a_{2} & d_{2} & c_{2}\\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{vmatrix}$, dan $D_{\displaystyle z}=\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & d_{1}\\ a_{2} & b_{2} & d_{2}\\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{vmatrix}$.
Selanjutnya untuk mendapatkan nilai variabel x, y, dan z adalah: $x=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle x}}{D},\quad y=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle y}}{D},\quad \textrm{dan}\quad z=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle z}}{D}$.
Sebagai catatan bahwa untuk mencarai nilai dterminan ada banyak cara, baik dari cara Sarrus, maupun ekspansi baris atau ekspansi kolom
H.4 Metode Eliminasi Gauss untuk SPL tiga variabel
Langkah-langkah untuk metode eliminasi Gauss adalah sebagai berikut:
- Ubahlah SPLTV menjadi matriks augmented (matriks berupa koefisien variabel yang diperluas dengan kolom konstanta
- Mengenolkan elemen di bawah pivot (elemen utama) pertama dan kedua dan usahakan dapat membentuk sperti matriks identitas ordo 3x3
- Lakukan sedikit/bebrapa langkah yang perlu agar minimal menjadi bentuk eselon baris, yaitu bentuk matriks yang susunan elemennya sudah dibuat seperti tangga, sehingga lebih mudah digunakan untuk mencari solusi SPL dengan eliminasi Gauss
Terkait model matriks bentuk eselon baris, perhatikan 3 hal mendasar berikut
- Semua baris yang seluruh elemennya nol berada di bagian paling bawah
- Pada setipa baris yang tidak seluruhnya nol, elemen pertama yang bukan nol disebut pivot, posisi pivot pada baris berikutnya harus semakin ke kanan
- Semua elemen di bawah setiap pivot harus nol.
I. Penggunaan Matriks dalam Transformasi Geometri
Lihat materi tentang transformasi ini di sini
$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$.
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(cara Cramer) SPLDV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x-y & =7 \\ x-y & =-1 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle x}}{D}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 7 & -1\\ -1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{7(-1)-(-1).(-1)}{2.(-1)-(-1).1}\\ &=\displaystyle \frac{-7-1}{-2+1}=\frac{-8}{-1}=8\\ y&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 7\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{2(-1)-(7).1}{2.(-1)-(-1).1}\\ &=\displaystyle \frac{-2-7}{-2+1}=\frac{-9}{-1}=9\\ \textrm{J}&\textrm{adi}\: \: (x,y)=(8,9) \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(cara Cramer) SPLTV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x+2y+3z & =14 \\ 3x-y+4z & =8\\ 5x+y+2z&=12 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle x}}{D}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 14 & 2&3\\ 8 & -1&4\\ 12&1&2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 2&3\\ 3 & -1&4\\ 5&1&2 \end{vmatrix}}\\ x&=\displaystyle \frac{14\begin{vmatrix} -1&4\\ 1&2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 8 & 4\\ 12 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 8 & -1\\ 12 & 1 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} -1 & 4\\ 1 & 2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & 1 \end{vmatrix}} \\ &=\displaystyle \frac{14(-2-4)-2(16-48)+3(8+12)}{2(-2-4)-2(6-20)+3(3+5)}\\ &=\displaystyle \frac{14(-6)-2(-32)+3(20)}{2(-6)-2(-14)+3(8)}=\displaystyle \frac{-84+64+60}{-12+28+24}\\ &=\frac{40}{40}=1\\ \end{aligned}\\ &\begin{aligned}y&=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle y}}{D}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 14&3\\ 3 & 8&4\\ 5&12&2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 2&3\\ 3 & -1&4\\ 5&1&2 \end{vmatrix}}\\ y&=\displaystyle \frac{2\begin{vmatrix} 8&4\\ 12&2 \end{vmatrix}-14\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 3 & 8\\ 5 & 12 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} -1 & 4\\ 1 & 2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & 1 \end{vmatrix}} \\ &=\displaystyle \frac{2(16-48)-14(6-20)+3(36-40)}{2(-2-4)-2(6-20)+3(3+5)}\\ &=\displaystyle \frac{2(-32)-14(-14)+3(-4)}{2(-6)-2(-14)+3(8)}=\displaystyle \frac{-64+196-12}{-12+28+24}\\ &=\frac{120}{40}=3\\ \end{aligned}\\ &\begin{aligned}z&=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle z}}{D}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 2&14\\ 3 & -1&8\\ 5&1&12 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 2&3\\ 3 & -1&4\\ 5&1&2 \end{vmatrix}}\\ z&=\displaystyle \frac{2\begin{vmatrix} -1&8\\ 1&12 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & 8\\ 5 & 12 \end{vmatrix}+14\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & 1 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} -1 & 4\\ 1 & 2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & 1 \end{vmatrix}} \\ &=\displaystyle \frac{2(-12-8)-2(36-40)+14(3+5)}{2(-2-4)-2(6-20)+3(3+5)}\\ &=\displaystyle \frac{2(-20)-2(-4)+14(8)}{2(-6)-2(-14)+3(8)}=\displaystyle \frac{-40+8+112}{-12+28+24}\\ &=\frac{80}{40}=2\\ \textrm{J}&\textrm{adi, nilai }\: \: (x,y,y)=\left ( \displaystyle 1,3,2 \right ) \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(metode eliminasi Gauss) SPLTV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x+2y+3z & =14 \\ 3x-y+4z & =8\\ 5x+y+2z&=12 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Matriks augmentednya adalah}:\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 2&2&3&14\\ 3&-1&4&8\\ 5&1&2&12 \end{array} \right]\\ &\textrm{Jadikan elemen di bawah pivot pertama menjadi nol}\\ &(\textrm{gunakan baris pertama sebagai pivot})\\ &\bullet \quad R_{\displaystyle 2}\longleftarrow 2R_{\displaystyle 2}-3R_{\displaystyle 1}\\ &\bullet \quad R_{\displaystyle 3}\longleftarrow 2R_{\displaystyle 3}-5R_{\displaystyle 1}\\ &\textrm{maka}\\ &R_{\displaystyle 2}=2(3,-1,4|8)-3(2,2,3|14)=(0,-8,-1|-26)\\ &R_{\displaystyle 3}=2(5,1,2|12)-5(2,2,3|14)=(0,-8,-11|-46)\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 2&2&3&14\\ 0&-8&-1&-26\\ 0&-8&-11&-46 \end{array} \right]\\ &\textrm{Buat elemen di bawah pivot kedua menjadi nol}\\ &\bullet \quad R_{\displaystyle 3}\longleftarrow R_{\displaystyle 3}-R_{\displaystyle 2}\\ &\textrm{maka}\\ &R_{\displaystyle 3}=(0,-8,-11|-46)-(0,-8,-1|-26)\\ &\:\:\:\quad=(0,0,-10|-20)\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 2&2&3&14\\ 0&-8&-1&-26\\ 0&0&-10&-20 \end{array} \right]\\ &\textrm{Bentuk di atas sudah}\,\: \textbf{membentuk eselon baris}\\ &\textrm{Langkah berikutnya adalah substitusi, yaitu}\\ &\textrm{Dari baris ke tiga didapatkan}:-10z=-20\Leftrightarrow z=2\\ &\textrm{Pada baris ke dua}:-8y-z=-26\Leftrightarrow -8y-2=-26\\ &\Leftrightarrow -8y=-24\Leftrightarrow y=3\\ &\textrm{Dari baris pertama }:2x+2y+3z=14\\ &\Leftrightarrow 2x+2(3)+3(2)=14 \Leftrightarrow x=1\\ &\textrm{Jadi, penyelesaiansaiannya adalah}\\ &x=1,\quad, y=3,\quad \textrm{dan} \quad z=2\end{array}$.
DAFTAR PUSTAKA
- Aprilianto, B. ..... Buku Ajar Fokus Matematika (Program IPA) untuk SMA/MA Kelas XII. Solo: CV. SINDUNATA.
- Johanes, Kastola & Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
- Kusnandar, Muharman, I., Saputra, E.S. 2017. Pendalaman Buku Teks Matematika 2A SMA Kelas XI Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Informasi