PARABOLA-PERSAMAAN GARIS SINGGUNG (IRISAN KERUCUT)

 D. Persamaan garis singgung parabola

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\&\textrm{parabola}\end{aligned}&\qquad y^{\displaystyle 2}=4px&\qquad (y-b)^{\displaystyle 2}=4p(x-a)\\\hline   \begin{aligned}&\textrm{dengan}\\ &\textrm{gradien}\;\: m\end{aligned}&y=mx +\displaystyle \frac{p}{m}&y-b=m(x-a)-\displaystyle \frac{p}{m}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{di titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{pada }\\ &\textrm{parabola} \end{aligned}&\quad\displaystyle y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)&(y_{1}-b)(y-b)=2p(x_{1}-a)(x-a)\\\hline \begin{aligned}&\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{di luar}\\ &\textrm{parabola}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosesnya}:\\\\ &Pertama:\\ &\textrm{cari persamaan garis}\\ &\textrm{kutubnya (polar)}\\ &\textrm{dengan rumus pada}\\ &\textrm{baris 3 kolom 2}\\ &\textrm{di tabel ini}\\\\ &Kedua:\\ &\textrm{Potongkan garis kutub}\\ &\textrm{dengan parabola di titik}\\ &A\left( x_{A},y_{A} \right)\: \textrm{dan di titik}\\ &B\left( x_{B},y_{B} \right)\\\\ &Ketiga:\\ &\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung yang dicari}:\\ &y_{A}y=2p(x_{A}+x)\\ & \textrm{dan}\\ &y_{B}y=2p(x_{B}+x) \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosenya kurang lebih sama}\\ &\textrm{dengan proses sebelah kiri}\\ &\textrm{tersebut}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ \end{aligned}\\\hline  \end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui persamaan parabola}\quad y^{\displaystyle 2}=8x\\ &\textrm{Tentukan persamaan garis singgung parabola}\\ &\textrm{a}\quad\textrm{yang bergradien 3}\\ &\textrm{b}\quad\textrm{yang melalui titik (2,4)}\\ &\textrm{c}\quad\textrm{yang melalui titik (2,5)}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad y^{\displaystyle 2}=8x\Rightarrow 4p=8\Leftrightarrow p=2\\ &\begin{aligned}&\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{(a)}\quad \textrm{persamaan garis singgung dengan gradien}\:\: m=3\\ &\:\qquad y=mx+\displaystyle \frac{p}{m}\Leftrightarrow y=3x+\displaystyle \frac{2}{3}\Leftrightarrow 3y-9x-2=0\\  &\textrm{(b)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (2,4)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (2,4) ini pada parabola}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\&\:\qquad y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)\Leftrightarrow 4y=2.2(2+x)\\ &\:\qquad  \Leftrightarrow  4y=8+4x\Leftrightarrow y-x-2=0\\ &\textrm{(c)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (2,5)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (2,5) ini di luar parabola}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Persamaan garis kutub(polar)}\\ &\quad\qquad\displaystyle y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)\Leftrightarrow5y=2.2(2+x)\\ &\quad\qquad\Leftrightarrow 5y=8+4x\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{8+4x}{5}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Perpotongan garis kutub dengan parabola}\\ &\quad\qquad\displaystyle y=\displaystyle \frac{8+4x}{5}\Rightarrow y^{\displaystyle 2}=8x\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 1}:\\&\quad\qquad \left( \displaystyle \frac{8+4x}{5} \right)^{\displaystyle 2}=8x\Rightarrow 64+64x+16x^{\displaystyle 2}=200x\\ &\quad\qquad \Leftrightarrow 8(2x-1)(x-8)=0\Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{1}{2}\quad \textrm{atau}\quad x=8\\ &\quad\qquad \textrm{selanjutnya didapat titik potongnya di}\\ &\quad\qquad \textrm{titik}\quad \left( \displaystyle \frac{1}{2},2 \right)\quad \textrm{dan}\quad \left( 8,8 \right)\\ &\quad\qquad \textrm{sehingga kita tentukan garis singgungnya}\\ &\quad\qquad \textrm{dengan rumus}\quad y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)\\ &\quad\qquad \textrm{dan nantinya kita akan mendapatkan }\\ &\quad\qquad \textrm{ dua garis, yaitu}\\ &\quad\qquad y=2x+1\quad\textrm{dan}\quad y=\displaystyle \frac{1}{2}x+4\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 2}:\\ &\quad\qquad \textrm{Gunakan titik (2,5) dan substitusikan ke}\\  &\quad\qquad \textrm{garis}\quad y=mx+\displaystyle \frac{p}{m}\\ &\quad\qquad \textrm{Selanjutnya diserahkan ke pembaca}\\ \end{aligned} \end{array}$.