LINGKARAN-GARIS SINGGUNG-LANJUTAN

 G. Kedudukan Dua Lingkaran

Coba perhatikan ilustrasi beberapa lingkaran berikut

Sebagai penjelasan dari kondisi di atas adalah:

$\begin{array}{|c|c|l|}\hline \textbf{Kedudukan}&\textbf{Ilustrasi}&\qquad\qquad\: \textbf{Keterangan}\\\hline \left | L_{1}L_{2} \right |>r_{1}+r_{2}&\textbf{Gambar 1}&\begin{aligned}&\textrm{kedua lingkaran tidak berpotongan}\\ &\textrm{dan tidak pula bersinggungan}\\ &\textrm{dan saling lepas} \end{aligned}\\\hline \left | L_{1}L_{2} \right |=0&\textbf{Gambar 5}&\textrm{Dikarenakan sepusat}\\\hline \left | L_{1}L_{2} \right |\leq r_{1}+r_{2}&\textbf{Gambar 6}&\textrm{Terletak di dalam lingkaran}\: \: L_{1} \\\hline \left | L_{1}L_{2} \right |=r_{1}+r_{2}&\textbf{Gambar 2}&\begin{aligned}&\textrm{kedua lingkaran tidak berpotongan}\\ &\textrm{tetapi bersinggungan di luar} \end{aligned}\\\hline \left | L_{1}L_{2} \right |=r_{1}-r_{2}&\textbf{Gambar 3}&\begin{aligned}&\textrm{kedua lingkaran tidak berpotongan}\\ &\textrm{tetapi bersinggungan di dalam} \end{aligned}\\\hline \begin{cases} \left | L_{1}L_{2} \right | > r_{1}-r_{2} \\ \left | L_{1}L_{2} \right | < r_{1}+r_{2} \end{cases}&\textbf{Gambar 4}&\begin{aligned}&\textrm{kedua lingkaran berpotongan} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

H. Garis Singgung Lingkaran

H.1. Garis singgung Lingkaran

Perhatikan ilustrasi berikut

H.2. Panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran

Perhatikan pula ilustrasi berikut

$\begin{aligned}&AC=BC=\sqrt{(OC)^{\displaystyle 2}-r^{\displaystyle 2}}\\ &\textrm{atau}\\ &(OC)^{2}=(AC)^{\displaystyle 2}+r^{\displaystyle 2}\end{aligned}$.

H.3. Panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran serta perpanjangan tali busur yang melalui titik tersebut

Perhatikan pula ilustrasi berikut

$\begin{aligned}&AC\times BC=(CD)^{\displaystyle 2}\end{aligned}$.

H.4. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (PGSPL)

Perhatikan pula ilustrasi berikut

$\begin{aligned}&(AB)^{\displaystyle 2}=d^{\displaystyle 2}-(R-r)^{\displaystyle 2}\\ &\textrm{atau}\\&d^{\displaystyle 2}=(AB)^{\displaystyle 2}+(R-r)^{\displaystyle 2}\end{aligned}$.

H.5. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (PGSPD)

Perhatikan pula ilustrasi berikut

$\begin{aligned}&(AB)^{\displaystyle 2}=d^{\displaystyle 2}-(R+r)^{\displaystyle 2}\\ &\textrm{atau}\\&d^{\displaystyle 2}=(AB)^{\displaystyle 2}+(R+r)^{\displaystyle 2}\end{aligned}$.

$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textbf{(OSK MAT SMP 2006)}\\ &\textrm{Pada gambar berikut}\\ &\textrm{diketahui bahwa jari-jari lingkaran kecil adalah}\\ &3\:\textrm{cm dan jari-jari lingkaran besar adalah 5 cm}\\ &\textrm{Tentukan panjang CD}\\  \end{array}$.

$\begin{aligned}\qquad&\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Buatlah garis dari}\:\: A\:\: \textrm{dan}\:\:B\:\: \textrm{ke garis singgung lingkaran}\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi berikut} \end{aligned}$.

$\begin{aligned}\qquad&\textrm{Karena}\:\: QA//PB,\:\: \textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{DB}{DA}=\frac{PB}{QA}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{DC+3}{DC+11}=\frac{3}{5}\\ &\Leftrightarrow 5DC+15=3DC+33\\ &\Leftrightarrow 2DC=18\\ &\Leftrightarrow DC=9\:\: \textrm{cm} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Dua buah roda gigi dengan jari-jari masing-masing}\\ &90\: \textrm{cm}\:\:\textrm{dan}\:\:30\: \textrm{cm}.\:\:\textrm{Jika kedua gigi diketahui saling}\\ &\textrm{bersinggungan dan keduanya saling terhubung oleh}\\ &\textrm{sebuah rantai, maka panjang rantai adalah}\:....\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi berikut ini}  \end{array}$.

$\begin{aligned}\qquad&\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\angle DAE=\angle GBF=2\times \angle BAC\\ &\Leftrightarrow \angle DAE=2\times \cos^{\displaystyle -1}\left( \displaystyle \frac{AC}{AB} \right) =2\times\cos^{\displaystyle -1} \left( \displaystyle \frac{60}{120} \right)\\ &\Leftrightarrow \angle DAE=2\times \cos^{\displaystyle -1}\left( \displaystyle 0,5 \right)=2\times 60^{\displaystyle 0}=120^{\displaystyle 0}\\ &\textrm{Panjang rantainya adalah}:DG+\widehat{GF}+FE+\widehat{ED}\\&=2DG+\displaystyle \frac{120^{\displaystyle 0}}{360^{\displaystyle 0}}\textrm{Kll}\oplus _{\displaystyle B}+\displaystyle \frac{240^{\displaystyle 0}}{360^{\displaystyle 0}}\textrm{Kll}\oplus _{\displaystyle A} \\ &=2\sqrt{AB^{\displaystyle 2}-AC^{\displaystyle 2}}\:+\left( \displaystyle \frac{1}{3}.2\pi. 30 \right)+\left( \displaystyle \frac{2}{3}.2\pi. 90 \right)\\ &=2\sqrt{120^{\displaystyle 2}-60^{\displaystyle 2}}+20\pi +120\pi \\ &=2\sqrt{30^{\displaystyle 2}.(4^{\displaystyle 2}-2^{\displaystyle 2})}+140\pi \\&=2.30.2\sqrt{3}+120\pi \\ &= 120\sqrt{3}+140\pi \:\: \textrm{cm}\end{aligned}$.

DAFTRA PUSTAKA

1. Isnaini, H.F., Santoso, N.E. 2023. Matematika untuk SMA/SMK/MAK Kelas 11A Kurikulum Merdeka. Yogyakarta: PENERBIT INTAN PARIWARA.
2. Maulan, S.F. 2010. Juara Olimpiade Matematika SMA. Jakarta: WAHYUMEDIA.
3. Suparmin, S., Intan, T.S., Santiago, Y.E. 2015. Pena Emas Olimpiade Sains Nasional Matematika untuk SMP Seri Kinomatika 1. Bandung: YRAMA WIDYA.