PARABOLA (IRISAN KERUCUT)

 A. Definisi

Parabola adalah himpunan semua titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap dan garis tetap. Selanjutnya titik tetap disebut fokus dan garis tetap disebut direktris.

B. Persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0)

Perhatikan ilustrasi berikut

$\begin{aligned}&\text{Keterangan}\\ &\bullet \quad \textrm{F disebut fokus}\\ &\bullet \quad \textrm{g disebut garis direktris}\\ &\bullet \quad \textrm{O disebut puncak}\\ &\bullet \quad \textrm{TS disebut latus rektum (4p)}\\ &\bullet \quad \textrm{AF=AQ}\\ &\bullet \quad \textrm{Sumbu simetri sumbu X}\\\end{aligned}$.

Selanjutnya perhatikan tabel berikut.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&y^{\displaystyle 2}=4px&y^{\displaystyle 2}=-4px&x^{\displaystyle 2}=4py&x^{\displaystyle 2}=-4py \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke kanan}&\textrm{ke kiri}&\textrm{ke atas}&\textrm{ke bawah}\\\hline \textrm{Fokus}&(p,0)&(-p,0)&(0,p)&(0,-p)\\\hline \textrm{Direktris}&x=-p&x=p&y=-p&y=p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=0&y=0&x=0&x=0\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p&4p&4p\\\hline \end{array}$.

C. Persamaan parabola yang berpuncak di (a,b)

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&(y-b)^{\displaystyle 2}=4p(x-a)&(y-b)^{\displaystyle 2}=-4p(x-a) \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke kanan}&\textrm{ke kiri}\\\hline \textrm{Puncak}&(a,b)&(a,b)\\\hline \textrm{Fokus}&(a+p,b)&(a-p,b)\\\hline \textrm{Direktris}&x=a-p&x=a+p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=b&y=b\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p\\\hline \end{array}$.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&(x-a)^{\displaystyle 2}=4p(y-b)&(x-a)^{\displaystyle 2}=-4p(y-b) \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke atas}&\textrm{ke bawah}\\\hline \textrm{Puncak}&(a,b)&(a,b)\\\hline \textrm{Fokus}&(a,b+p)&(a,b-p)\\\hline \textrm{Direktris}&y=b-p&y=b+p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&x=a&x=a\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p\\\hline \end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui persamaan parabola}\quad y^{\displaystyle 2}=8x\\ &\textrm{Tentukan fokus, sumbu simetri, dan}\\ &\textrm{direktris parabola tersebut}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &y^{\displaystyle 2}=8x\quad \textrm{analog dengan}\quad y^{\displaystyle 2}=4px\\ &\textrm{Sehingga}\quad 4p=8\Leftrightarrow p=2,\quad \textrm{maka}\\ &\bullet \quad \textrm{fokusnya}:\quad (p,0)=(2,0)\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu simetrinya }:\quad \textrm{sumbu-X}\\ &\bullet \quad \textrm{direktrisnya}:\quad x=-p\Leftrightarrow x=-2\\ \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui persamaan parabola}\quad x^{\displaystyle 2}=-8y\\ &\textrm{Tentukan fokus, sumbu simetri, dan}\\ &\textrm{direktris parabola tersebut}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &x^{\displaystyle 2}=-8y\quad \textrm{analog dengan}\quad x^{\displaystyle 2}=-4py\\ &\textrm{Sehingga}\quad -4p=-8\Leftrightarrow p=2,\quad \textrm{maka}\\ &\bullet \quad \textrm{fokusnya}:\quad (0,-p)=(0,-2)\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu simetrinya }:\quad \textrm{sumbu-Y}\\ &\bullet \quad \textrm{direktrisnya}:\quad y=p\Leftrightarrow y=2\\ \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan persamaan parabola yang}\\ &\textrm{berpuncak di O(0,0) dan fokusnya}\\ &\textrm{di F(4,0)}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Puncak suatu parabola di O(0,0) dan}\\ &\textrm{fokusnya (4,0) berarti}\quad p=4.\\ &\bullet \quad \textrm{karena}\quad y_{fokus}=y_{puncak}=0,\quad \textrm{maka}\\ &\:\:\quad\textrm{ini menunjukkan bahwa model}\\ &\:\:\quad\textrm{parabolnya horizaontal}\\ &\bullet \quad \textrm{dan karena}\quad x_{fokus}>x_{puncak},\quad \textrm{maka}\\ &\:\:\quad\textrm{ini menunjukkan bahwa model}\\ &\:\:\quad\textrm{parabolnya terbuka ke kanan}\\ &\textrm{Sehingga persamaan parabolnya adalah}:\\ &y^{\displaystyle 2}=4px\Leftrightarrow y^{\displaystyle 2}=4.4.x\Leftrightarrow y^{\displaystyle 2}=16x \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan jarak fokus ke direktris pada }\\ &\textrm{parabola}\quad y^{2}+6y-6x+4=0\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:y^{2}+6y-6x+4=0\\ &\Leftrightarrow y^{2}+6y=6x-4\\ &\Leftrightarrow y^{2}+2.3y+3^{\displaystyle 2}=6x-4+3^{\displaystyle 2}\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6x+5\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6x+\displaystyle \frac{5.6}{6}\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6\left( x+\displaystyle \frac{5}{6} \right)\\ &\textrm{Sehingga didapatkan}\\ &4p=6\Leftrightarrow 2p=3\\ &\textrm{Karena jarak fokus ke direktris adalah}\:\: 2p\\ &\textrm{maka jaraknya adalah 3}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukan koordinat puncak, fokus,}\\ &\textrm{dirktris, sumbu simetri dan panjang}\\ &\textrm{latus rektum parabola}\quad y^{2}+6y-6x+4=0\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:y^{2}+6y-6x+4=0\\  &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6\left( x+\displaystyle \frac{5}{6} \right)\Rightarrow 4p=6\Leftrightarrow p=\displaystyle \frac{3}{2}\\ &\textrm{dengan}\quad a=-\displaystyle \frac{5}{6},\:b=-3,\quad \textrm{maka}\\ &\bullet \quad \textrm{puncak}:(a,b)=\left( \displaystyle -\frac{5}{6},-3 \right)\\ &\bullet \quad \textrm{fokus}:F(a+p,b)=\left( \displaystyle \left( -\frac{5}{6} \right)+\frac{3}{2},-3 \right)\\ &\:\:\qquad\qquad\quad\qquad\qquad =\left( \displaystyle \frac{2}{3},-3 \right)\\ &\bullet \quad \textrm{direktri}:x=a-p=\displaystyle \left( -\frac{5}{6} \right)-\frac{3}{2}=-\frac{7}{3}\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu simetri}:y=b\Rightarrow y=-3\\ &\bullet \quad \textrm{latus rektum}:4p=6\\   \end{array}$.