PARABOLA-PERSAMAAN GARIS SINGGUNG (IRISAN KERUCUT)

 D. Persamaan garis singgung parabola

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\&\textrm{parabola}\end{aligned}&\qquad y^{\displaystyle 2}=4px&\qquad (y-b)^{\displaystyle 2}=4p(x-a)\\\hline   \begin{aligned}&\textrm{dengan}\\ &\textrm{gradien}\;\: m\end{aligned}&y=mx +\displaystyle \frac{p}{m}&y-b=m(x-a)-\displaystyle \frac{p}{m}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{di titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{pada }\\ &\textrm{parabola} \end{aligned}&\quad\displaystyle y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)&(y_{1}-b)(y-b)=2p(x_{1}-a)(x-a)\\\hline \begin{aligned}&\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{di luar}\\ &\textrm{parabola}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosesnya}:\\\\ &Pertama:\\ &\textrm{cari persamaan garis}\\ &\textrm{kutubnya (polar)}\\ &\textrm{dengan rumus pada}\\ &\textrm{baris 3 kolom 2}\\ &\textrm{di tabel ini}\\\\ &Kedua:\\ &\textrm{Potongkan garis kutub}\\ &\textrm{dengan parabola di titik}\\ &A\left( x_{A},y_{A} \right)\: \textrm{dan di titik}\\ &B\left( x_{B},y_{B} \right)\\\\ &Ketiga:\\ &\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung yang dicari}:\\ &y_{A}y=2p(x_{A}+x)\\ & \textrm{dan}\\ &y_{B}y=2p(x_{B}+x) \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosenya kurang lebih sama}\\ &\textrm{dengan proses sebelah kiri}\\ &\textrm{tersebut}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ \end{aligned}\\\hline  \end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui persamaan parabola}\quad y^{\displaystyle 2}=8x\\ &\textrm{Tentukan persamaan garis singgung parabola}\\ &\textrm{a}\quad\textrm{yang bergradien 3}\\ &\textrm{b}\quad\textrm{yang melalui titik (2,4)}\\ &\textrm{c}\quad\textrm{yang melalui titik (2,5)}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad y^{\displaystyle 2}=8x\Rightarrow 4p=8\Leftrightarrow p=2\\ &\begin{aligned}&\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{(a)}\quad \textrm{persamaan garis singgung dengan gradien}\:\: m=3\\ &\:\qquad y=mx+\displaystyle \frac{p}{m}\Leftrightarrow y=3x+\displaystyle \frac{2}{3}\Leftrightarrow 3y-9x-2=0\\  &\textrm{(b)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (2,4)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (2,4) ini pada parabola}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\&\:\qquad y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)\Leftrightarrow 4y=2.2(2+x)\\ &\:\qquad  \Leftrightarrow  4y=8+4x\Leftrightarrow y-x-2=0\\ &\textrm{(c)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (2,5)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (2,5) ini di luar parabola}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Persamaan garis kutub(polar)}\\ &\quad\qquad\displaystyle y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)\Leftrightarrow5y=2.2(2+x)\\ &\quad\qquad\Leftrightarrow 5y=8+4x\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{8+4x}{5}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Perpotongan garis kutub dengan parabola}\\ &\quad\qquad\displaystyle y=\displaystyle \frac{8+4x}{5}\Rightarrow y^{\displaystyle 2}=8x\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 1}:\\&\quad\qquad \left( \displaystyle \frac{8+4x}{5} \right)^{\displaystyle 2}=8x\Rightarrow 64+64x+16x^{\displaystyle 2}=200x\\ &\quad\qquad \Leftrightarrow 8(2x-1)(x-8)=0\Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{1}{2}\quad \textrm{atau}\quad x=8\\ &\quad\qquad \textrm{selanjutnya didapat titik potongnya di}\\ &\quad\qquad \textrm{titik}\quad \left( \displaystyle \frac{1}{2},2 \right)\quad \textrm{dan}\quad \left( 8,8 \right)\\ &\quad\qquad \textrm{sehingga kita tentukan garis singgungnya}\\ &\quad\qquad \textrm{dengan rumus}\quad y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)\\ &\quad\qquad \textrm{dan nantinya kita akan mendapatkan }\\ &\quad\qquad \textrm{ dua garis, yaitu}\\ &\quad\qquad y=2x+1\quad\textrm{dan}\quad y=\displaystyle \frac{1}{2}x+4\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 2}:\\ &\quad\qquad \textrm{Gunakan titik (2,5) dan substitusikan ke}\\  &\quad\qquad \textrm{garis}\quad y=mx+\displaystyle \frac{p}{m}\\ &\quad\qquad \textrm{Selanjutnya diserahkan ke pembaca}\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Buatlah sketsa gambar dari soal nomor 1}\\ &\textrm{di atas}\\\\ &\textbf{Solusi}\\ &\textrm{Perhatikan sketsa gambar berikut} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Muklis, Rifai, R.A. 2024. Buku Interaktif Matematika XII Tingkat Lanjut. Yogyakarta: INTAN PARIWARA EDUKASI
2. Tim MGMP Matematika. .......... Matematika IPA Kelas XII untuk SMA dan MA. .....: KARYA PUSTAKA.

PARABOLA (IRISAN KERUCUT)

 A. Definisi

Parabola adalah himpunan semua titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap dan garis tetap. Selanjutnya titik tetap disebut fokus dan garis tetap disebut direktris.

B. Persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0)

Perhatikan ilustrasi berikut

$\begin{aligned}&\text{Keterangan}\\ &\bullet \quad \textrm{F disebut fokus}\\ &\bullet \quad \textrm{g disebut garis direktris}\\ &\bullet \quad \textrm{O disebut puncak}\\ &\bullet \quad \textrm{TS disebut latus rektum (4p)}\\ &\bullet \quad \textrm{AF=AQ}\\ &\bullet \quad \textrm{Sumbu simetri sumbu X}\\\end{aligned}$.

Selanjutnya perhatikan tabel berikut.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&y^{\displaystyle 2}=4px&y^{\displaystyle 2}=-4px&x^{\displaystyle 2}=4py&x^{\displaystyle 2}=-4py \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke kanan}&\textrm{ke kiri}&\textrm{ke atas}&\textrm{ke bawah}\\\hline \textrm{Fokus}&(p,0)&(-p,0)&(0,p)&(0,-p)\\\hline \textrm{Direktris}&x=-p&x=p&y=-p&y=p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=0&y=0&x=0&x=0\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p&4p&4p\\\hline \end{array}$.

C. Persamaan parabola yang berpuncak di (a,b)

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&(y-b)^{\displaystyle 2}=4p(x-a)&(y-b)^{\displaystyle 2}=-4p(x-a) \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke kanan}&\textrm{ke kiri}\\\hline \textrm{Puncak}&(a,b)&(a,b)\\\hline \textrm{Fokus}&(a+p,b)&(a-p,b)\\\hline \textrm{Direktris}&x=a-p&x=a+p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=b&y=b\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p\\\hline \end{array}$.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&(x-a)^{\displaystyle 2}=4p(y-b)&(x-a)^{\displaystyle 2}=-4p(y-b) \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke atas}&\textrm{ke bawah}\\\hline \textrm{Puncak}&(a,b)&(a,b)\\\hline \textrm{Fokus}&(a,b+p)&(a,b-p)\\\hline \textrm{Direktris}&y=b-p&y=b+p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&x=a&x=a\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p\\\hline \end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui persamaan parabola}\quad y^{\displaystyle 2}=8x\\ &\textrm{Tentukan fokus, sumbu simetri, dan}\\ &\textrm{direktris parabola tersebut}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &y^{\displaystyle 2}=8x\quad \textrm{analog dengan}\quad y^{\displaystyle 2}=4px\\ &\textrm{Sehingga}\quad 4p=8\Leftrightarrow p=2,\quad \textrm{maka}\\ &\bullet \quad \textrm{fokusnya}:\quad (p,0)=(2,0)\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu simetrinya }:\quad \textrm{sumbu-X}\\ &\bullet \quad \textrm{direktrisnya}:\quad x=-p\Leftrightarrow x=-2\\ \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui persamaan parabola}\quad x^{\displaystyle 2}=-8y\\ &\textrm{Tentukan fokus, sumbu simetri, dan}\\ &\textrm{direktris parabola tersebut}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &x^{\displaystyle 2}=-8y\quad \textrm{analog dengan}\quad x^{\displaystyle 2}=-4py\\ &\textrm{Sehingga}\quad -4p=-8\Leftrightarrow p=2,\quad \textrm{maka}\\ &\bullet \quad \textrm{fokusnya}:\quad (0,-p)=(0,-2)\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu simetrinya }:\quad \textrm{sumbu-Y}\\ &\bullet \quad \textrm{direktrisnya}:\quad y=p\Leftrightarrow y=2\\ \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan persamaan parabola yang}\\ &\textrm{berpuncak di O(0,0) dan fokusnya}\\ &\textrm{di F(4,0)}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Puncak suatu parabola di O(0,0) dan}\\ &\textrm{fokusnya (4,0) berarti}\quad p=4.\\ &\bullet \quad \textrm{karena}\quad y_{fokus}=y_{puncak}=0,\quad \textrm{maka}\\ &\:\:\quad\textrm{ini menunjukkan bahwa model}\\ &\:\:\quad\textrm{parabolnya horizaontal}\\ &\bullet \quad \textrm{dan karena}\quad x_{fokus}>x_{puncak},\quad \textrm{maka}\\ &\:\:\quad\textrm{ini menunjukkan bahwa model}\\ &\:\:\quad\textrm{parabolnya terbuka ke kanan}\\ &\textrm{Sehingga persamaan parabolnya adalah}:\\ &y^{\displaystyle 2}=4px\Leftrightarrow y^{\displaystyle 2}=4.4.x\Leftrightarrow y^{\displaystyle 2}=16x \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan jarak fokus ke direktris pada }\\ &\textrm{parabola}\quad y^{2}+6y-6x+4=0\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:y^{2}+6y-6x+4=0\\ &\Leftrightarrow y^{2}+6y=6x-4\\ &\Leftrightarrow y^{2}+2.3y+3^{\displaystyle 2}=6x-4+3^{\displaystyle 2}\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6x+5\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6x+\displaystyle \frac{5.6}{6}\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6\left( x+\displaystyle \frac{5}{6} \right)\\ &\textrm{Sehingga didapatkan}\\ &4p=6\Leftrightarrow 2p=3\\ &\textrm{Karena jarak fokus ke direktris adalah}\:\: 2p\\ &\textrm{maka jaraknya adalah 3}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukan koordinat puncak, fokus,}\\ &\textrm{dirktris, sumbu simetri dan panjang}\\ &\textrm{latus rektum parabola}\quad y^{2}+6y-6x+4=0\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:y^{2}+6y-6x+4=0\\  &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6\left( x+\displaystyle \frac{5}{6} \right)\Rightarrow 4p=6\Leftrightarrow p=\displaystyle \frac{3}{2}\\ &\textrm{dengan}\quad a=-\displaystyle \frac{5}{6},\:b=-3,\quad \textrm{maka}\\ &\bullet \quad \textrm{puncak}:(a,b)=\left( \displaystyle -\frac{5}{6},-3 \right)\\ &\bullet \quad \textrm{fokus}:F(a+p,b)=\left( \displaystyle \left( -\frac{5}{6} \right)+\frac{3}{2},-3 \right)\\ &\:\:\qquad\qquad\quad\qquad\qquad =\left( \displaystyle \frac{2}{3},-3 \right)\\ &\bullet \quad \textrm{direktri}:x=a-p=\displaystyle \left( -\frac{5}{6} \right)-\frac{3}{2}=-\frac{7}{3}\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu simetri}:y=b\Rightarrow y=-3\\ &\bullet \quad \textrm{latus rektum}:4p=6\\   \end{array}$.