LINGKARAN-SEGI EMPAT TALI BUSUR-SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR-LANJUTAN

 E. Segi Empat Tali Busur

Segi Empat Tali Busur adalah segi empat yang keempat titik sudutnya terletak pada satu lingkaran dan keempat sisinya merupakan tali busur.

Perhatikan ilustrasi berikut

$\begin{aligned}\textrm{P}&\textrm{ada segi empat tali busur}\\ &\bullet \quad\textrm{Jumlah sudut yang berhadapan}=180^{\displaystyle 0}\\ & \qquad \angle A+\angle C=180^{\displaystyle 0},\\ &\qquad \angle B+\angle D=180^{\displaystyle 0}\\ &\bullet \quad \textrm{Sebagai tambahan}\\ &\qquad \textbf{Power}\:\textbf{poin}\: \textrm{titik di dalam lingkaran}\\ &\qquad \triangleright \:\:AE\times EC=BE\,\times ED\\ &\qquad \textbf{Teorema Ptolemy}\\ &\qquad \triangleright \:\:AC\times BD=AB\,\times CD+BC\,\times AD\\ &\qquad \textbf{Teorema Bhrahmagupta}\\ &\qquad \triangleright \:\:\left[ ABCD \right]=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\\ &\quad\qquad \textrm{dengan}:\\ &\quad\qquad \left[ ABCD \right]=\textrm{luas segi empat tali busur}\\ &\quad\qquad \textrm{dan}\quad s=\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}\end{aligned}$.

F. Sudut Antara Dua Tali Busur

F.1 Berpotongan di dalam lingkaran

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

$\begin{aligned}&\bullet \quad \angle AED=\angle BEC=\displaystyle \frac{1}{2}\left( \angle AOD+\angle BOC \right)\\ &\bullet \quad \angle AEB=\angle DEC=\displaystyle \frac{1}{2}\left( \angle AOB+\angle DOC \right)\end{aligned}$.

F.2 Berpotongan pada lingkaran

$\begin{aligned}&\bullet \quad \angle AOB=2\angle ACB\\ &\bullet \quad \angle ACB=\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB\end{aligned}$.

F.3 Berpotongan di Luar lingkaran

$\begin{aligned} &\bullet \quad \angle CAD=\displaystyle \frac{1}{2}\left( \angle COD-\angle BOE \right)\\ &\bullet \quad \textbf{Teorema Secant}\\ &\qquad AE\times AD=AB\times AC\end{aligned}$.

$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$.

$\begin{aligned}1.\quad&\textrm{Perhatikan gambar berikut}\end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\qquad\textrm{Diketahui}\:\: \angle BAD=120^{\displaystyle 0}.\:\: \text{Tentukan}\:\: \angle BCD\:?\\\\ &\qquad\text{Jawab}:\\ &\qquad\textrm{Perhatikan bahwa pada segi empat tali bususr berlaku}\\ &\qquad\angle BAD+\angle BCD=180^{\displaystyle 0}\\ &\qquad\Leftrightarrow 120^{\displaystyle 0}+\angle BCD=180^{\displaystyle 0}\\ &\qquad\Leftrightarrow \angle BCD=180^{\displaystyle 0}-120^{\displaystyle 0}=80^{\displaystyle 0}\\ \end{aligned}$.

$\begin{aligned}2.\quad&\textrm{Perhatikan gambar berikut}\end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\qquad\textrm{Diketahui}\:\: \angle COD=80^{\displaystyle 0}\:\: \text{dan}\:\: \angle BOE=30^{\displaystyle 0}.\\ &\qquad\textrm{Tentukan besar}\:\:\angle CAD\\\\ &\qquad\text{Jawab}:\\ &\qquad\textrm{Perhatikan bahwa pada perpotongan tali bususr }\\ &\qquad \textrm{yang saling berpotongan di luar, maka }\\ &\qquad \angle CAD=\displaystyle \frac{1}{2}\left( \angle COD-\angle BOE \right)=\displaystyle \frac{1}{2}\left( 80^{\displaystyle 0}-30^{\displaystyle 0} \right) \\ &\:\:\qquad\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{2}\left( 50^{\displaystyle 0} \right)=25^{\displaystyle 0}\end{aligned}$.