Persamaan Garis Singgung Lingkaran (Lanjutan)

 A. Pendahuluan

Kita sebelumnya telah membahasas kedudukan suatu lingkaran terhadap suatu garis. Terkait dengan garis singgung lingkaran suatu lingkaran dapat memiliki sekian banyak garis singgung dan tentunya lebih dari satu garis singgung jika ingin dibuat. Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Masih ingat kembali kedudukan suatu garis terhadap lingkaran saat nilai  $D=b^{2}-4ac=0$, dari sanalah akhir dari penyelesaian masalah yang terkait dengan ini. 

B. Garis Singgung Melalui Sebuah Titik pada Lingkaran

Misalkan suatu titik $P(x_{1},y_{1})$ terdapat pada (keliling) lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, maka berakibat akan memiliki gradien dari garis OP berupa $m_{\textrm{P}}=\displaystyle \frac{y_{1}}{x_{1}}$.

Perhatikan dua ilustrasi berikut

Ilustrasi berikutnya menjadi seperti berikut

Perhatikan tiga ilustrasi di atas, jika titik P adalah titik sinngung lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, maka gradien garis singgung lingkarannya, misal kita namakan $m_{l}$ adalah $m_{l}=-\displaystyle \frac{x_{1}}{y_{1}}$, sehingga persamaan garis singgungnya yang melalui titik P tersebut dan bergradien $m_{l}=-\displaystyle \frac{x_{1}}{y_{1}}$ adalah:

$\begin{aligned}y-y_{1}&=-\displaystyle \frac{x_{1}}{y_{1}}\left ( x-x_{1} \right )\\ \Leftrightarrow y_{1}y-&y_{1}^{2}=-x_{1}x+x_{1}^{2}\\ \Leftrightarrow x_{1}x+&y_{1}y=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\\ \Leftrightarrow x_{1}x+&y_{1}y=r^{2}\\\\ \textrm{Jadi, per}&\textrm{samaan garis singgungnya adalah}:\\ &\quad \LARGE\boxed{x_{1}x+y_{1}y=r^{2}} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang }\\ &\textrm{berpusat di pangkal koordinat dan}\\ &\textrm{menyinggung}\: \: k\equiv 2x+y-5=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi berikut} \end{array}$.

menjadi

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \textrm{bahwa titik}\: \: O\: \: \textrm{ke garis}\: \: k\: \: \textrm{adalah}\\ &r=OA=\displaystyle \left |\frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |\\ &=\displaystyle \left | \frac{2(0)+(0)-5}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}} \right |\\ &=\displaystyle \left | \frac{-5}{\sqrt{5}} \right |\\ &=\left | -\sqrt{5} \right |\\ &=-(-\sqrt{5})=\sqrt{5}\\ &\textrm{(ingat, nilai mutlak bilangan negatif adalah bilngan positif)}\\ &\textrm{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}:\\ &\qquad L\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}=5\end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang }\\ &\textrm{berpusat di}\: \: A(2,-1)\: \: \textrm{dan menginggung}\\ &\textrm{garis}\: \: 4y+3x-12=0\: \: \textrm{di titik}\: \: P\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi berikut} \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Sehingga}\\ &r=AP=\left | \frac{3(2)+4(1)-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right |\\ &\: \: =\left | \frac{-10}{5} \right |=\left | -2 \right |=2\\ &\textrm{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}\\\ &L\equiv (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\color{red}4 \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}=169\: \: \textrm{dan melalui titik}\: \: Q(5,-12)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{red}\textrm{Alternatif 1}\\ &\textrm{Diketahui}\: \: L\equiv x^{2}+y^{2}=169\: \: \color{blue}\textrm{atau}\\ &L\equiv x^{2}+y^{2}-169=0\: \: \textrm{dan}\: \: Q(5,-12)\\ &\textrm{kuasa titik A (posisi titik Q) adalah}:\\ &=5^{2}+(-12)^{2}-169=0\\ &\textrm{Sehingga titik Q pada lingkaran dengan}\\ &\textrm{persamaan}\\ &\qquad x_{1}x+y_{1}y=r^{2}\Rightarrow \color{red}5x-12y=169\\ &\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Alternatif 2}\\ &\textrm{Persamaan lingkaran}\\& L\equiv x^{2}+y^{2}=169\: ...................(1)\\ &\textrm{Persamaan garis singgung}\: \: g\: \: \textrm{melalui}\\ &Q(5,-12)\: \: \textrm{adalah}:\\ &g\equiv y+12=m(x-5)\\ &\Leftrightarrow \: \: \qquad y=mx-5m-12\: ....(2)\\ &\textrm{Dari persamaan (1) dan (2)}\\ &x^{2}+(mx-5m-12)^{2}=169\\ &\Leftrightarrow x^{2}+m^{2}x^{2}+25m^{2}+144-10m^{2}-24mx+120m=169\\ &\Leftrightarrow (1+m^{2})x^{2}-(10m^{2}+24m)x+25m^{2}+120m-25=0\\ &\textrm{Syarat menyinggung}\: \: \color{blue}D\color{black}=\color{blue}b^{2}-4ac\color{black}=0\\ &(10m^{2}+24m)^{2}-4(1+m^{2})(25m^{2}+120m-25)=0\\ &\Leftrightarrow 144m^{2}-120m+25=0\\ &\Leftrightarrow (12m-5)^{2}=0\\ &\Leftrightarrow m=\displaystyle \frac{5}{12}\: .......(3)\\ &\textrm{Jika (1) disebstitusikan ke (2), maka}\\ &y+12=\displaystyle \frac{5}{12}(x-5)\\ &\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{5}{12}x-\frac{169}{12}\: \: \textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow \color{red}5x-12y=169  \end{aligned}   \end{array}$.

$.\qquad\textrm{Berikut ilustrasi lingkaran dan garis singgungnya}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan persamaan garis singgung di}\\ &\textrm{titik}\: \: R(-2,-4)\: \: \textrm{pada lingkaran}\\ &(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Kita cek sebentar posisi/kedudukan titik}\: \: R\\ &K_{R}=K_{(-2,-4)}\equiv (-2-2)^{2}+(-4+1)^{2}-\color{blue}25\\ &\: \: \: \qquad\qquad\qquad \equiv 16+9-\color{blue}25\color{black}=\color{red}0\\ &\textrm{Sehingga posisi titik}\: \: R\: \: \textrm{pada keliling lingkaran}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}\\ &\textrm{maka}\\ &(x_{1}-2)(x-2)+(y_{1}+1)(y+1)=25\\ &\textrm{Untuk titik}\: \: R(-2,-4),\: \textrm{maka garis singgungnya}\\ &(-2-2)(x-2)+(-4+1)(x+1)=25\\ &\Leftrightarrow (-4)(x-2)+(-3)(x+1)=25\\ &\Leftrightarrow -4x+8-3x-3=25\\ &\Leftrightarrow 4x+3y+20=0\\ &\textrm{Jadi, garis singgungnya adalah}:\: 4x+3y+20=0\\ &\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25\\ &\Leftrightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}+2y+1=25\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ &\textrm{Selanjutnya untuk garis sinngung}\\ &\textrm{lingkaran di titik}\: \: R(-2,-4)\: \: \textrm{adalah}:\\ &x_{1}x+y_{1}y+\displaystyle \frac{1}{2}A(x_{1}+x)+\displaystyle \frac{1}{2}B(y_{1}+y)+C=0\\ &\Leftrightarrow (-2)x+(-4)y-2(-2+x)+(-4+y)-20=0\\ &\Leftrightarrow -2x-4y+4-2x-4+y-20=0\\ &\Leftrightarrow -4x-3y-20=0\\ &\Leftrightarrow 4x+3y+20=0\\ &\textrm{Jadi, garis singgungnya adalah}:\: 4x+3y+20=0 \end{aligned} \end{array}$.

C. Garis Singgung Melalui Sebuah Titik di Luar Lingkaran

Perhatikan ilustrasi berikut

Titik $\textrm{T}(x_{1},y_{1})$ berada di luar lingkaran $L$. Garis  $\textrm{g}_{1}$  dan  $\textrm{g}_{2}$ melalui T dan menyinggung lingkaran L di titik Q dan R.

Ada dua alternatif minimal untuk mencari persamaan garis dinggung $\textrm{g}_{1}$  dan  $\textrm{g}_{2}$ pada lingkaran L.

1. menentukan gradien garis $\textrm{g}_{1}$  dan  $\textrm{g}_{2}$, kemudian menentukan garis singgungnya
2. menentukan titik singgung Q dan R dengan cara menentukan garis kutub dati titik T, kemudian menentukan perpotongan dengan lingkaran L. Sealanjutnya menentukan persamaan garis singgung di titik Q dan R.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}=25\: \: \textrm{dan melalui titik}\: \: P(7,0)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}=25\\ &\textrm{Kedudukan titik}\: \: \textrm{T}(7,0):7^{2}+0^{2}=49>25\\ &\textrm{Sehingga T berada di luar lingkaran L}\\&\color{blue}\textbf{Cara 1}\\ &\textrm{Persamaan garis singgung lingkaran (PGSL)}\\ &\textrm{melalui titik T}(7,0)\: \: \textrm{adalah}:\\ &\begin{aligned}y&=m(x-x_{1})+y_{1}\\ &=m(x-7)+0=\color{red}mx-7m\end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya hasil di atas kita substitusikan}\\ &\textrm{lingkaran L, yaitu}:\\ &x^{2}+(mx-7m)^{2}=25\\ &\Leftrightarrow x^{2}+m^{2}x^{2}-14m^{2}x+49m^{2}-25=0\\ &(1+m^{2})x^{2}-14m^{2}x+49m^{2}-25=0  \end{aligned} \\ &\begin{aligned}&\textrm{Selanjutnya, syarat menyinggung}\: ,\: \textrm{D}=b^{2}-4ac=0\\ & (-14m^{2})^{2}-4.(m^{2}+1)(49m^{2}-25)=0\: \: \textrm{(dibagi 4)}\\ &\Leftrightarrow 49m^{4}-(49m^{4}-25m^{2}+49m^{2}-25)=0\\ &\Leftrightarrow 24m^{2}-25=0\Leftrightarrow m^{2}=\displaystyle \frac{25}{24}\Leftrightarrow m=\pm \displaystyle \frac{5}{12}\sqrt{6}\\ & \textrm{Sehingga persa}\textrm{maan garis singgungnya}\\ &y_{1}= \displaystyle \frac{5}{12}x\sqrt{6}- \displaystyle \frac{35}{12}\sqrt{6}\: \: \textrm{dan}\\ &y_{2}=- \displaystyle \frac{5}{12}x\sqrt{6}+ \displaystyle \frac{35}{12}\sqrt{6} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Cara 2}\\ &\textrm{Persmaan garis kutubnya dari titik T}(7,0)\\ &x_{1}x+y_{1}y=25\Leftrightarrow 7x=25\Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{25}{7}\\ &\textrm{Hasilnya kita substitusikan ke persamaan }\\ &\textrm{lingkaran L, yaitu}:x^{2}+y^{2}=25\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \frac{25}{7} \right )^{2}+y^{2}=5^{2}\Leftrightarrow y^{2}=5^{2}-\left ( \displaystyle \frac{25}{7} \right )^{2}\\ &\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{\left ( 5+\displaystyle \frac{25}{7} \right )\left ( 5-\displaystyle \frac{25}{7} \right )}\\ &\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{\displaystyle \frac{60}{7}\times \frac{10}{7}}=\pm \displaystyle \frac{10}{7}\sqrt{6}\\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y_{1}=\displaystyle \frac{10}{7}\sqrt{6}\\ y_{2}=-\displaystyle \frac{10}{7}\sqrt{6} \end{matrix}\right.\\ &\textrm{Sehingga diperoleh titik singgungnya yaitu}:\\ &\left ( \displaystyle \frac{25}{7},\frac{10}{7}\sqrt{6} \right )\: \: \textrm{dan}\: \: \left ( \displaystyle \frac{25}{7},-\frac{10}{7}\sqrt{6} \right )\\ &\textrm{dan garis singgungnya adalah}:\\ &\displaystyle \frac{25}{7}x+\frac{10}{7}y\sqrt{6}=25\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{25}{7}x-\frac{10}{7}y\sqrt{6}=25\\ &\textrm{atau}\\ &\color{red}\displaystyle \frac{5}{7}x+\frac{2}{7}y\sqrt{6}=5\color{black}\: \: \textrm{dan}\: \: \color{red}\displaystyle \frac{5}{7}x-\frac{2}{7}y\sqrt{6}=5\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{5}{7}x+\frac{2}{7}y\sqrt{6}=5\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{5}{7}x-\frac{2}{7}y\sqrt{6}=5\\ &\Leftrightarrow \displaystyle 5x+2y\sqrt{6}=35\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle 5x-2y\sqrt{6}=35\\ &\Leftrightarrow 2y\sqrt{6}=-5x+35\: \: \textrm{dan}\: \: 2y\sqrt{6}=5x-35\\ &\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{-5x+35}{2\sqrt{6}}\: \: \textrm{dan}\: \:  y=\displaystyle \frac{5x-35}{2\sqrt{6}}\\ &\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{-5x+35}{2\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\: \: \textrm{dan}\: \:  y=\displaystyle \frac{5x-35}{2\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\\ &\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{-5x\sqrt{6}+35\sqrt{6}}{12}\: \: \textrm{dan}\: \:  y=\displaystyle \frac{5x\sqrt{6}-35\sqrt{6}}{12}\\ &\Leftrightarrow \color{red}y=-\displaystyle \frac{5}{12}x\sqrt{6}+\displaystyle \frac{35}{12}\sqrt{6}\: \: \color{black}\textrm{atau}\: \:  \color{red}y=\displaystyle \frac{5}{12}x\sqrt{6}-\displaystyle \frac{35}{12}\sqrt{6}   \end{aligned} \end{array}$.

Berikut ilustrasi gambarnya

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}=12\: \: \textrm{dan melalui titik}\: \: P(0,4)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}=12\\ &\textrm{Persamaan garis kutub lingkaran}\\ &\textrm{melalui titik}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{adalah}:\\ &\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=12\\ xx+yy&=12\\ x_{1}x+y_{1}y&=12\\ \textrm{garis ini melalui}&\: \: \textrm{titik}\\ P(0,4)&, \textrm{maka}\\ x_{1}.0+y_{1}.4&=12\\ y_{1}&=3\: ......(1)\end{aligned}\\ &\textrm{Karena titik}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{pada lingkaran}\\ &\textrm{maka},\\ &x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=12\: ......(2)\\ &\textrm{Selanjutnya dari persamaan}\: \: (1)\: \&\: (2)\\ &\textrm{akan diperoleh}\\ &\begin{aligned}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=12\\ y_{1}=3\Rightarrow \: \: &x_{1}^{2}+(3)^{2}=12\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}^{2}+9=12\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}^{2}=3\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}=\pm \sqrt{3}\end{aligned}\\ &\begin{aligned}& \textrm{Sehingga persa}\textrm{maan garis singgungnya}\\ &\left ( x_{1}x+y_{1}y=12 \right )\: \: \textrm{adalah}:\\ &\begin{cases} \textrm{di titik} & (x_{1},y_{1})=(\sqrt{3},3)\: \: \, \, \Rightarrow \color{red}\sqrt{3}x+3y=12\\ \textrm{di titik} & (x_{1},y_{1})=(-\sqrt{3},3)\Rightarrow \color{red}-\sqrt{3}x+3y=12 \end{cases}\\ &\end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

Berikut ilustrasi gambarnya

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 2. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
4. Wirodikromo, S. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: ERLANGGA.

Kedudukan Garis terhadap Lingkaran (Lanjutan)

 $\color{blue}\textrm{E. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran }$.

Posisi garis terhadap lingkaran tergantung nilai Diskriminan (D) hasil substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran.

$\begin{cases} \bullet &\textrm{memotong lingkaran di dua titik}\: \: (D>0)\\ & \textrm{ada garis dan titik polar} \\ \bullet &\textrm{menyinggung lingkaran}\: \: (D=0) \\ \bullet &\textrm{tidak memotong ataupun menyinggung}\: \: (D<0) \end{cases}$.

Berikut Ilustrasi gambarnya

$\color{blue}\textrm{F. Jarak Garis ke Pusat Lingkaran}$.

$\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Jarak titik}\: \: M(p,q)\: \: \textrm{terhadap pusat}&\\ \textrm{lingkaran}\: \: N(a,b)&\left | MN \right |=r\\ \qquad r=\left | \displaystyle \frac{Ap+Bq+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \right |&\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: p\: \: \textrm{supaya lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}-px-10y+4=0 \\ &\textrm{a}.\quad \textrm{menyinggung sumbu x}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{memotong sumbu x di dua titik}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{tidak memotong dan tidak menyinggung }\\ &\quad\: \: \: \: \textrm{sumbu x}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\\ &\textrm{Persamaan lingkaran}:\\ &x^{2}+y^{2}-px-10y+4=0\\ &\textrm{saat menyinggung}\: \: \textrm{sumbu x},\: \: \textrm{maka}\: \: y=0\\ &\textrm{adalah gar}\textrm{is yang sejajar sumbu x, maka}\\ &y=0\Rightarrow \: \: x^{2}+y^{2}-px-10y+4=0\\ &\: \qquad \Leftrightarrow \: \: x^{2}+0^{2}-px-0+4=0\\ &\: \qquad \Leftrightarrow \: \: \color{red}x^{2}-px+4 \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Menyinggung}&\textrm{memotong}&\textrm{Tidak keduanya}\\\hline \begin{aligned}D&= b^{2}-4ac=0\\ &\Leftrightarrow p^{2}-4.1.4=0\\ &\Leftrightarrow p^{2}=16\\ &\Leftrightarrow p=\pm 4\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}D&>0\\ &\Leftrightarrow b^{2}-4ac>0\\ &\Leftrightarrow p^{2}-16>0\\ &\Leftrightarrow (p+4)(p-4)>0\\ &\therefore \quad p<-4\: \: \textrm{atau}\: \: p>4 \end{aligned}&\begin{aligned}D&<0\\ &\Leftrightarrow b^{2}-4ac<0\\ &\Leftrightarrow p^{2}-16<0\\ &\Leftrightarrow (p+4)(p-4)<0\\ &\therefore \quad -4<p<4 \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: a\: \: \textrm{supaya lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}=1\: \: \textrm{dan garis}\: \: y=ax+2 \\ &\textrm{a}.\quad \textrm{bersinggungan}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{berpotongan}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{tidak berpotongan maupun bersinggungan}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Di sini yang kita bahas adalah yang poin b, }\\ &\textrm{yaitu untuk}\: \: y=ax+2,\: \: \textrm{maka}\\ &x^{2}+y^{2}=1\\ &x^{2}+(ax+2)^{2}=1\\ &x^{2}+a^{2}x^{2}+4ax+4=1\\ &(1+a^{2})x^{2}+4ax+3=0\\ &\textrm{syarat berpotongan}\: \: D=b^{2}-4ac\geq 0\\ &(\textrm{artinya bersinggungan sekaligus berpotongan di 2 titik})\\ &(4a)^{2}-4(1+a^{2})(3)\geq 0\\ &16a^{2}-12a^{2}-12\geq 0\\ &4a^{2}-12\geq 0\\ &a^{2}-3\geq 0\\ &(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})\geq 0\\ &\therefore \: \: \: \: a\leq -\sqrt{3}\: \: \textrm{atau}\: \: a\geq \sqrt{3} \end{aligned} \end{array}$.

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran (Lanjutan)

 $\color{blue}\textrm{D. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran }$.

Kedudukan sebuah titik terhadap sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0) memiliki 3 kemungkinan, yaitu:

• jika titik A(x,y) di dalam lingkaran, maka berlaku  $x^{2}+y^{2}<r^{2}$.
• jika titik A(x,y) pada lingkaran, maka berlaku  $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, dan
• jika titik A(x,y) di luar lingkaran, maka berlaku  $x^{2}+y^{2}>r^{2}$.

Demikian juga kedudukan sebuah titik terhadap sebuah lingkaran yang berpusat di $(a,b)$ memiliki 3 kemungkinan, yaitu:

• jika titik A(x,y) di dalam lingkaran, maka berlaku $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<r^{2}$  atau  $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C<0$.
• jika titik A(x,y) pada lingkaran, maka berlaku $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$  atau  $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$.
• jika titik A(x,y) di luar lingkaran, maka berlaku $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}>r^{2}$  atau  $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C>0$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah lingkaran yang berpusat pada }\\ &\textrm{pangkal koordinat}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran }\\ &\qquad\textrm{yang berjari-jari 5}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Gambarlah lingkaran (pada soal a.) }\\ &\qquad\textrm{pada kertas grafiks}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Lukislah titik-titik dari},\\ &\qquad A(2,3),\: B(4,3),\: \: \textrm{dan}\: \: C(3,6).\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{Nyatakan kedudukan titik-titik}\\ &\qquad A,\: B,\: \textrm{dan}\: C\: \textrm{terhadap lingkaran. }\\ &\qquad\textrm{Di dalam, pada, atau}\\ &\qquad\textrm{beradakah di luar lingkaran}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikanlah ilustrasi berikut} \end{array}$.

$\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Diketahui}\: \: r=5\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}=5^{2}\\ &\qquad\qquad \updownarrow\\ &x^{2}+y^{2}=25\\ &\textrm{atau}\\ &L\equiv \left \{ (x,y)|x^{2}+y^{2}=25 \right \} \end{aligned}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Lihat gambar di atas}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Lihat juga gambar di atas}\\ \textrm{d}.\quad&\textrm{Dari gambar jelas bahwa}:\\ &\begin{matrix} \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(2,3)\: \textrm{berada di dalam lingkaran}\\ \textrm{atau}:(2)^{2}+(3)^{2}=4+9=13<\color{red}25\\ \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(4,3)\: \textrm{berada pada lingkaran}\: \: \: \: \: \: \: \\ \textrm{atau}:(4)^{2}+(3)^{2}=16+9=25=\color{red}25\\ \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(3,6)\: \textrm{berada di luar lingkaran}\: \: \: \,\\ \textrm{atau}:(3)^{2}+(6)^{2}=9+36=45>\color{red}25\\ \end{matrix} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran}\\ &\textrm{yang berpusat di pangkal koordinat}\\ &\textrm{dan melalui titik}\: \: P(5,-3)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{pusat lingkaran di pangkal }\\ \textrm{koordinat}&\: \: O(0,0)\: \: \textrm{serta lingkaran}\\ \textrm{yang mela}&\textrm{lui titik}\: \: P(5,-3),\: \textrm{maka}\\ r&=\sqrt{(x_{p}-0)^{2}+(y_{p}-0)^{2}}\\ &=\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}}\\ &=\sqrt{25+9}\\ &=\sqrt{34}\\ \textrm{Sehingga }&,\: \textrm{persamaan lingkarannya adalah}\\ L&\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=\color{red}34 \end{aligned}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 2. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
3. Wirodikromo, S. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: ERLANGGA.

Lingkaran

 $\color{blue}\textrm{A. Definisi Lingkaran}$.

Secara definisi lingkaran adalah tempat kedudukam titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Selanjutnya titik tertentu disebut sebagai pusat lingkaran sedangkan jarak yang salalu sama terhadapa titik tertentu tersebut disebut sebagai jari-jari atau radius (r).

Sebagai ilustrasi berikut diberikan gambar berkaitan kedudukan titik-titik tersebut

$\color{blue}\textrm{B. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) }$.

Persamaan sebuah lingkaran dengan dengan jari-jari  $r$  dan berpusat di titik pusat koordinat dapat dilustrasikan sebagai berikut

Misalkan sebuah titik  $\textrm{P}(x,y)$  terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0). Dan titik $\textrm{P}'(x,0)$ adalah proyeksi titik  P  pada sumbu-X sehingga  $\bigtriangleup \textrm{OP}'\textrm{P}$   berupa sebuah segitiga siku-siku di $\textrm{P}'$. Dengan rumus Pythagoras kita mendapatkan

$\begin{aligned}&OP^{2}=(OP')^{2}+(PP')^{2}\\ &\Leftrightarrow \: r^{2}=x^{2}+y^{2}\\ &\Leftrightarrow r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{aligned}$

Untuk lebih memudahkan pemahaman Anda, perhatikanlah ilustrasi berikut

Sehingga dapat disimpulkan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah:

$\begin{array}{|ccc|}\hline &&\\ &\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}&\\ &&\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan persamaan lingkaran yang }\\ & \textrm{berpusat di O dan berjari-jari}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui pusat lingkaran di O}\\ &\textrm{dengan jarijari}\: \: r=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}\\ &\textrm{Persamaan lingkarannya adalah}:\\ &\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10} \right )^{2}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{10}{4},\quad \textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{5}{2}\\ &\textrm{Jadi, persamaan lingkarannya}\\ &\textrm{adalah}\: \: \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{5}{2} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran}\\ & \textrm{yang memenuhi persamaan}\: \: \\ &x^{2}+y^{2}=6\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &\: \: x^{2}+y^{2}=6\\ &\textrm{maka }\\ &\bullet \: \: \textrm{pusat lingkaran adalah O}\\ &\qquad\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \: \: \textrm{dengan jari-jarinya adalah}\\ &\qquad r^{2}=6\Rightarrow \color{red}r=\sqrt{6}\\ &\textrm{Jadi, pusat lingkaran di O dengan}\\ &\textrm{jari-jari sebesar}\: \: r=\sqrt{6} \end{aligned} \end{array}$.

$\color{blue}\textrm{C.  Persamaan Lingkaran Berpusat di (a,b)}$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Pada ilustrasi gambar di atas ditunjukkan sebuah lingkaran berpusat di $N(a,b)$ dengan jari-jari  $r$, misalkan kita ambil sebuah titik $P(x,y)$ pada keliling lingkaran, maka $NP=r$.

$\begin{aligned}&\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r^{2}\\ &\color{red}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\ &\textrm{persamaan di atas adalah}\: \: \textbf{Bentuk Umum}\\ &\textrm{dari}\: \: \textbf{Persamaan Lingkaran}\: \: \textrm{yang}\\ &\textrm{berpusat di}\: \: (a,b) \end{aligned}$

Selanjutnya perhatikanlah rangkuman berikut

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \textrm{Lingkaran} &x^{2}+y^{2}=r^{2}&(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}\\\hline \textrm{Pusat}&(0,0)&(p,q)\\\hline \textrm{Jari-jari}&r&r\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Pesamaan garis}\\ &\textrm{singgung melalui}\\ &\textrm{titik}\: \: (x_{1},y_{1})\\ &\textrm{pada lingkaran} \end{aligned}&x_{1}x+y_{1}y=r^{2}&\begin{aligned}&(x_{1}-p)(x-p)\\ &\: +(y_{1}-q)(y-q)=r^{2} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung dengan}\\ &\textrm{gradien}\: \: m \end{aligned}&\begin{aligned}&y=mx\\ &\: \pm r\sqrt{m^{2}+1} \end{aligned}&\begin{aligned}&(y-q)=m(x-a)\\ &\: \pm r\sqrt{m^{2}+1} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Kusus untuk yang pusat  $(a,b)$ adalah:

$\begin{array}{|l|c|}\hline \textrm{Lingkaran} &x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\\\hline \textrm{Pusat}&\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )\\\hline \textrm{Jari-jari}&r=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( A^{2}+B^{2} \right )-C}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Pesamaan garis}\\ &\textrm{singgung melalui}\\ &\textrm{titik}\: \: (x_{1},y_{1})\\ &\textrm{pada lingkaran} \end{aligned}&\begin{aligned}&x_{1}x+y_{1}y\\ &\: +\displaystyle \frac{A}{2}(x_{1}+x)\\ &\: +\displaystyle \frac{B}{2}(y_{1}+y)+C=0 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung dengan}\\ &\textrm{gradien}\: \: m \end{aligned}&\begin{aligned}&y+\frac{1}{2}B=m(x+\frac{1}{2}A)\\ &\: \pm \sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( A^{2}+B^{2} \right )-C}.\sqrt{m^{2}+1} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan persamaan lingkaran yang }\\ & \textrm{berpusat di (0,-2) dan berjari-jari}\: \: 5\\\\  &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui pusat lingkaran berpusat}\\ &\textrm{di}\: \: (0,-2)\: \: \textrm{dan berjari-jari}\: r=5\\ &\textrm{Persamaan lingkarannya adalah}:\\ &\color{red}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\ &\Leftrightarrow \: (x-0)^{2}+(y-(-2))^{2}=\left ( 5 \right )^{2}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+(y+2)^{2}=25,\quad \textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}+4y+4=25\\ &\textrm{Jadi, persamaan lingkarannya}\\ &\textrm{adalah}\: \: \: x^{2}+y^{2}+4y-21=0 \end{aligned}  \end{array}$,

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan persamaan lingkaran}\\ & \textrm{yang berpusat di titik}\: \: M(1,3)\\ &\textrm{dan melalui titik}\: \: N(-2,5)\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui jari-jari lingkaran}\\ &r=MN=\sqrt{(x_{M}-x_{N})^{2}+()^{2}}\\ &\Leftrightarrow \: \: =\sqrt{(-2-1)^{2}+(5-3)^{2}}\\ &\Leftrightarrow \: \: =\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}\\ &\Leftrightarrow \: \: =\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\\ &\textrm{maka}\\ &\textrm{persamaan lingkarannya adalah}\\ &(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}\\ &\Leftrightarrow \: (x-1)^{2}+(y-3)^{2}=\left ( \sqrt{13} \right )^{2}\\ &\Leftrightarrow \: (x-1)^{2}+(y-3)^{2}=13\\ &\textrm{Jadi, jari-jari lingkarannya}\\ &\textrm{adalah}\: \: \sqrt{13}\: .\: \textrm{Dan persamaan}\\ &\textrm{lingkarannya adalah}:\: (x-1)^{2}+(y-3)^{2}=13 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran berikut?}\\ &\textrm{a}.\quad L\equiv (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9\\ &\textrm{b}.\quad L\equiv (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9\\ &\textrm{c}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9\\ &\textrm{d}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9\\ &\textrm{e}.\quad L\equiv (x+3)^{2}+(y-3)^{2}=9\\ &\textrm{f}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25\\ &\textrm{g}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+y^{2}=27\\ &\textrm{h}.\quad L\equiv x^{2}+(y-1)^{2}=27\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &L\equiv (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9,\: \: \textrm{pusat di}\: \: (-1,-2)\\  &\textrm{dan jari-jarinya adalah}\: \: \sqrt{9}=3\\ &\textrm{Selanjutnya, perhatikantabel berikut}\\ &\begin{array}{|c|l|c|l|}\hline 3.\textrm{a}&\left\{\begin{matrix} \textrm{Pusat}\: :\: (-1,2)\\ \textrm{Jar-jari}:\sqrt{9}=3 \end{matrix}\right.&3.\textrm{b}&\left\{\begin{matrix} \textrm{Pusat}\: :\: (-1,-2)\\ \textrm{Jar-jari}:\sqrt{9}=3 \end{matrix}\right.\\\hline 3.\textrm{c}&\left\{\begin{matrix} \textrm{Pusat}\: :\: (1,-2)\\ \textrm{Jar-jari}:\sqrt{9}=3 \end{matrix}\right.&3.\textrm{d}&\left\{\begin{matrix} \textrm{Pusat}\: :\: (1,2)\\ \textrm{Jar-jari}:\sqrt{9}=3 \end{matrix}\right.\\\hline 3.\textrm{e}&\left\{\begin{matrix} \textrm{Pusat}\: :\: (-3,3)\\ \textrm{Jar-jari}:\sqrt{9}=3 \end{matrix}\right.&3.\textrm{f}&\left\{\begin{matrix} \textrm{Pusat}\: :\: (1,2)\\ \textrm{Jar-jari}:\sqrt{25}=5 \end{matrix}\right.\\\hline 3.\textrm{g}&\left\{\begin{matrix} \textrm{Pusat}\: :\: (1,0)\\ \textrm{Jar-jari}:\sqrt{27}=3\sqrt{3} \end{matrix}\right.&3.\textrm{h}&\left\{\begin{matrix} \textrm{Pusat}\: :\: (0,1)\\ \textrm{Jar-jari}:\sqrt{27}=3\sqrt{3} \end{matrix}\right.\\\hline \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukanlah pusat dan jari-jari dari }\\ &\textrm{persamaan lingkaran}\\\ & L\equiv 2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-3=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Persamaan lingkaran}\\\ & L\equiv 2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-3=0\\ &\Leftrightarrow \color{blue}x^{2}+y^{2}-x+3y-\displaystyle \frac{3}{2}=0\color{red}\begin{cases} A & =-1 \\ B & =3 \\ C & =-\displaystyle \frac{3}{2} \end{cases}\\ &\textrm{maka}\: \: \begin{cases} \textrm{Pusat} & =\left ( -\displaystyle \frac{-1}{2},- \frac{3}{2}\right )=\left ( \displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2} \right ) \\ \textrm{Jari-jari} & =r=\sqrt{\displaystyle \frac{(-1)^{2}}{4}+\frac{3^{2}}{4}-\left ( -\frac{3}{2} \right )}\\ &=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{9}{4}+\frac{6}{4}}=\sqrt{4}=2 \end{cases}\\ &\textrm{Jadi, lingkaran}\: \: 2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-3=0\\\ & \textrm{berpusat di} \: \: \left ( \displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2} \right )\: \: \textrm{dan berjari-jari}\: \: 2\end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\\ &L\equiv 2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0\\ & \textrm{dan melalui titik}\: \: (-2,1).\: \textrm{Tentukanlah }\\ &\textrm{persamaan lingkaran baru yang} \\ &\textrm{kosentris(sepusat) dan panjang jari-jarinya}\\ &\textrm{dua kali panjang jari-jari lingkaran semula?}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0,\: \: \textrm{melalui}\\ &(-2,1), \: \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}&\textrm{kita tentukan harga}\: \: p\: \: \textrm{dulu, yaitu}:\\ &2(-2)^{2}+2(1)^{2}-4(-2)+3p(1)-30=0\\ &\Leftrightarrow \: \: 8+2+8+3p-30=0\\ &\Leftrightarrow \: \: 3p=12\\ &\Leftrightarrow \: \: \color{red}p=4 \end{aligned}\\ &\textrm{Akibatnya persamaan lingkaran menjadi}\\ &\begin{aligned}&2x^{2}+2y^{2}-4x+12y-30=0\\ &\Leftrightarrow \: \: x^{2}+y^{2}-2x+6y-15=0 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\begin{cases} \color{blue}\textrm{Pusat}: \\ \left ( -\displaystyle \frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )\\ =\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}.(-2),-\frac{1}{2},6 \right )\\ =(1,-3) \\\\ \color{blue}\textrm{Jari-jari }:\\ \begin{aligned}r&=\sqrt{\left ( -\frac{1}{2}A \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{2}B \right )-C}\\ &=\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}-(-15)}\\ &=\sqrt{1+9+15}=5 \end{aligned} \end{cases} \\ & \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\: \textrm{lingkaran baru }\\ &\textrm{dengan pusat}\: \: (1,-3)\: \: \textrm{dan jari-jari}\\ & r_{\textrm{baru}}=2r=2.5=10\\ &(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=(10)^{2}\\ &\Leftrightarrow \: \: x^{2}-2x+1+y^{2}+6x+9=100\\ &\Leftrightarrow \: \: \color{red}x^{2}+y^{2}-2x+6y-90=0\end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

Berikut ilustrasi gambarnya

Lingkaran

Lingkaran

 $\color{blue}\textrm{A. Definisi Lingkaran}$.

Secara definisi lingkaran adalah tempat kedudukam titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Selanjutnya titik tertentu disebut sebagai pusat lingkaran sedangkan jarak yang salalu sama terhadapa titik tertentu tersebut disebut sebagai jari-jari atau radius (r).

Sebagai ilustrasi berikut diberikan gambar berkaitan kedudukan titik-titik tersebut

$\color{blue}\textrm{B. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) }$.

Persamaan sebuah lingkaran dengan dengan jari-jari  $r$  dan berpusat di titik pusat koordinat dapat dilustrasikan sebagai berikut

Misalkan sebuah titik  $\textrm{P}(x,y)$  terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0). Dan titik $\textrm{P}'(x,0)$ adalah proyeksi titik  P  pada sumbu-X sehingga  $\bigtriangleup \textrm{OP}'\textrm{P}$   berupa sebuah segitiga siku-siku di $\textrm{P}'$. Dengan rumus Pythagoras kita mendapatkan

$\begin{aligned}&OP^{2}=(OP')^{2}+(PP')^{2}\\ &\Leftrightarrow \: r^{2}=x^{2}+y^{2}\\ &\Leftrightarrow r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{aligned}$

Untuk lebih memudahkan pemahaman Anda, perhatikanlah ilustrasi berikut

Sehingga dapat disimpulkan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah:

$\begin{array}{|ccc|}\hline &&\\ &\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}&\\ &&\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan persamaan lingkaran yang }\\ & \textrm{berpusat di O dan berjari-jari}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui pusat lingkaran di O}\\ &\textrm{dengan jarijari}\: \: r=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}\\ &\textrm{Persamaan lingkarannya adalah}:\\ &\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10} \right )^{2}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{10}{4},\quad \textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{5}{2}\\ &\textrm{Jadi, persamaan lingkarannya}\\ &\textrm{adalah}\: \: \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{5}{2} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran}\\ & \textrm{yang memenuhi persamaan}\: \: \\ &x^{2}+y^{2}=6\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &\: \: x^{2}+y^{2}=6\\ &\textrm{maka }\\ &\bullet \: \: \textrm{pusat lingkaran adalah O}\\ &\qquad\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \: \: \textrm{dengan jari-jarinya adalah}\\ &\qquad r^{2}=6\Rightarrow \color{red}r=\sqrt{6}\\ &\textrm{Jadi, pusat lingkaran di O dengan}\\ &\textrm{jari-jari sebesar}\: \: r=\sqrt{6} \end{aligned} \end{array}$.

Contoh 4 Soal dan Pembahasan Materi Lingkaran dan Hubungan Dua Lingkaran

 $\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Salah satu garis singgung yang bersudut}\: \: 120^{\circ}\\ &\textrm{terhadap sumbu x positif terhadap lingkaran}\\ &\textrm{dengan ujung diameter titik}\: \: (7,6)\: \textrm{dan}\: \: (1,-2)\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}+12\\ &\textrm{b}.\quad y=-x\sqrt{3}-4\sqrt{3}+8\\ &\textrm{c}.\quad y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}-4\\ &\textrm{d}.\quad y=-x\sqrt{3}-4\sqrt{3}-8\\ &\textrm{e}.\quad y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}+22\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Pusat Lingkaran}&\textrm{Gradien Garis Singgung}\\\hline \begin{aligned}&(a,b)\\ &=\left ( \displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )\\ &=\left ( \displaystyle \frac{7+1}{2},\frac{6+(-2)}{2} \right )\\ &=(4,2) \end{aligned}&\begin{aligned}m&=\tan 120^{\circ}\\ &=-\tan \left ( 180^{\circ}-60^{\circ} \right )\\ &=-\tan 60^{\circ}\\ &=-\sqrt{3}\\ &\\  \end{aligned} \\\hline \textrm{Jari-jari}&\textrm{Garis Singgung}\\\hline \begin{aligned}r&=\textrm{jarak titik}\\ &\: \: \: \: \: \, \textrm{singgung ke pusat}\\ &=\sqrt{(7-4)^{2}+(6-2)^{2}}\\ &=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned} &(y-b)=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ &\Leftrightarrow (y-2)=-\sqrt{3}(x-4)\pm 5\sqrt{1+(-\sqrt{3})^{2}}\\ &\Leftrightarrow y-2=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}\pm 5\sqrt{1+4}\\ &\Leftrightarrow y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2\pm 10\\ &\Leftrightarrow y=\begin{cases} -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2+ 10 \\ -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2- 10 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow y=\begin{cases} \color{red}-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+12 & \\ -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}-8 & \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$.

Dengan ilustrasi tambahan

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Salah satu garis singgung lingkaran}\\\ & x^{2}+y^{2}=10\: \: \textrm{yang ditarik dari}\\ &\textrm{titik}\: \: (4,2)\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}x+3y=10\\ &\textrm{b}.\quad x-3y=10\\ &\textrm{c}.\quad -x-3y=10\\ &\textrm{d}.\quad 2x+y=10\\ &\textrm{e}.\quad x+2y=10\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Garis Singgung}\\ &\quad\quad \textrm{di titik}\\ &(x_{1},y_{1})=(4,2) \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Tahapan menentukan}\\ &\quad\qquad \textrm{harga}\: \: m\\ & \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&y-y_{1}=m(x-x_{1})\\ &y-2=m(x-4)\\ &y=mx-4m+2\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}=10\\ &x^{2}+\left ( mx-4m+2 \right )^{2}=10\\ &x^{2}+m^{2}x^{2}+16m^{2}+4-8m^{2}x+4mx-16m=10\\ &x^{2}+m^{2}x^{2}+16m^{2}-8m^{2}x+4mx-16m-6=0\\ &(1+m^{2})x^{2}+(4m-8m^{2})x+16m^{2}-16m-6=0\\ &\begin{cases} a & =1+m^{2} \\ b & =4m-8m^{2} \\ c & =16m^{2}-16m-6 \end{cases} \end{aligned}\\\hline  \end{array}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Syarat menyinggung}\: \: D=0\\ &b^{2}-4ac=0\\ &\left ( 4m-8m^{2} \right )^{2}-4\left ( 1+m^{2} \right )\left ( 16m^{2}-16m-6 \right )=0\\ &16m^{2}-64m^{3}+64m^{4}-64m^{2}+64m+24-64m^{4}+64m^{3}+24m^{2}=0\\ &-24m^{2}+64m+24=0\\ &-3m^{2}+8m+3=0\\ &(m-3)(3m+1)=0\\ &m=3\: \: \textrm{atau}\: \: m=-\displaystyle \frac{1}{3}\\ &m=\begin{cases} 3 & \Rightarrow y=3x-10\\ &\Rightarrow 3x-y=10\\ -\displaystyle \frac{1}{3} & \Rightarrow y=-\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{4}{3}+2\\ &\Rightarrow \color{red}x+3y=10 \end{cases}  \end{aligned}  \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\textrm{dan sebuah titik di luar lingkaran}\: \:  M(a,b)\\ &\textrm{Posisi garis}\: \: ax+by=r^{2}\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{menyinggung lingkaran}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}\textrm{memotong lingkaran di dua titik}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{melalui titik pusat lingkaran}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{tidak memotong lingkaran}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{tidak ada yang benar}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\bullet \quad L\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \quad M(a,b)\: \: \textrm{di luar lingkaran}\: \: L\\ &\color{purple}\textrm{Selanjutnya perhatikan penjelasan berikut}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Karena}\: M(a,b)\: \textrm{di luar lingkaran}\: L,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{maka salah satu dari}\: \: a\: \: \textrm{atau}\: \: b\: \: \textrm{atau keduanya}\\ &\textrm{akan lebih besar nilanya dari pada}\: \: r.\\ &\textrm{Misalkan kita pilih}\: \: a>r\\ &\color{blue}\textrm{Ambil posisi saat memotong sumbu}-X,\: \color{black}y=0\\ &\begin{aligned}&\textrm{Untuk lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \quad y=0\Rightarrow x^{2}+0^{2}=r^{2}\Rightarrow x=\left | r \right |\\ &\textrm{Untuk garis}\: \: ax+by=r^{2}\\ &\bullet \quad y=0\Rightarrow ax=r^{2}\Rightarrow x=\displaystyle \frac{r^{2}}{a}\\ &\textrm{Dari sini tampak posisi}\: \: x=\color{red}\left | r \right |> \displaystyle \frac{r^{2}}{a}\geq 0 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga kesimpulannya adalah}:\\ &\color{red}\textrm{garis tersebut akan selalu memotong lingkaran}   \end{aligned}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Dua lingkaran dengan persamaan}\\ &\textrm{lingkaran-lingkaran}\: x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\\ &\textrm{dan}\: \:  x^{2}+y^{2}+10x-8y+25=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{berpotongan di luar titik}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{tidak berpotongan atau bersinggungan}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{bersinggungan luar}\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}\textrm{bersinggungan dalam}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{sepusat}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0&\begin{cases} P_{1} &=(-3,4) \\  r_{1} & = 2 \end{cases}\\\hline L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+10x-8y+25=0&\begin{cases} P_{2} &=(-5,4) \\  r_{2} & = 4 \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{dan}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Jarak kedua pusat}&\textrm{Jumlah/selisih jari-jari}\\\hline \begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2}  \right )\\ &=\sqrt{(-3+5)^{2}+(4-4)^{2}}\\ &=\sqrt{2^{2}+0^{2}}=\sqrt{4}=2 \end{aligned}&\begin{aligned}\begin{cases} r_{1}+r_{2}   & =2+4=6 \\  \left |r_{1}-r_{2}  \right |  & =\left | 2-4 \right |=2  \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Karena nilai}\: \: \color{red}P_{1}P_{2}\color{black}=\color{red}\left |r_{1}-r_{2}  \right |\color{black}=\color{red}2\\ &\textrm{hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan}\\ &\color{blue}\textrm{di dalam}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Dua lingkaran dengan persamaan}\\ &\textrm{lingkaran-lingkaran}\: x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0\\ &\textrm{dan}\: \:  x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{berpotongan}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}\textrm{bersinggungan di dalam}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{bersinggungan luar}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{tidak berpotongan}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{sepusat}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0&\begin{cases} P_{1} &=(-1,3) \\  r_{1} & = 1 \end{cases}\\\hline L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0&\begin{cases} P_{2} &=(-4,3) \\  r_{2} & = 4 \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{dan}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Jarak kedua pusat}&\textrm{Jumlah/selisih jari-jari}\\\hline \begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2}  \right )\\ &=\sqrt{(-1+4)^{2}+(3-3)^{2}}\\ &=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}=3 \end{aligned}&\begin{aligned}\begin{cases} r_{1}+r_{2}   & =1+4=5 \\  \left |r_{1}-r_{2}  \right |  & =\left | 1-4 \right |=3  \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Karena nilai}\: \: \color{red}P_{1}P_{2}\color{black}=\color{red}\left |r_{1}-r_{2}  \right |\color{black}=\color{red}3\\ &\textrm{hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan}\\ &\color{blue}\textrm{di dalam}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Budi, W. S. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sain Nasional/Internasional Matematika 3. Jakarta: ZAMRUD KEMALA.
2. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
3. Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
4. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
5. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
6. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh 3 Soal dan Pembahasan Materi Lingkaran

 $\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+2ax+2by+c=0\\ &\textrm{menyinggung sumbu Y jika}\: \: c\: =....\\ &\textrm{A}.\quad ab\\ &\textrm{B}.\quad ab^{2}\\ &\textrm{C}.\quad a^{2}b\\ &\textrm{D}.\quad a^{2}\\ &\textrm{E}.\quad \color{red}b^{2}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+2ax+2by+c=0\\ &x=0\Rightarrow 0^{2}+y^{2}+2a.0+2by+c=0\\ &y^{2}+2by+c=0\begin{cases} a & =1 \\ b & =2b \\ c & =c \end{cases}\\ &\textrm{Syarat menyinggung}\: \textrm{adalah}:\\ &D=b^{2}-4ac=0\\ &\Leftrightarrow (2b)^{2}-4.1.c=0\\ &\Leftrightarrow 4c=4b^{2}\\ &\Leftrightarrow c=\color{red}b^{2} \end{aligned} \\\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\  &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+2ax+2by+c=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+2ax+a^{2}+y^{2}+2by+b^{2}+c-a^{2}-b^{2}=0\\ &\Leftrightarrow (x+a)^{2}+(y+b)^{2}=a^{2}+b^{2}-c\\ &\textrm{Karena menyinggung sumbu-Y, maka}\: \: R=a \\ &\textrm{Sehingga}\: \: R^{2}=a^{2}+b^{2}-c=a^{2}\\ &\Leftrightarrow b^{2}-c=0\\ &\Leftrightarrow b^{2}=c\\ &\Leftrightarrow c=\color{red}b^{2} \end{aligned}    \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Diketahui pusat lingkaran L terletak dikuadran}\\ &\textrm{I dan berada di sepanjang garis}\: \: y=2x.\: \: \textrm{Jika}\\ &\textrm{lingkaran L menyinggung sumbu Y di titik}\\ &(0,6),\: \textrm{maka persamaan lingkaran L adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad x^{2}+y^{2}-3x-6y=0\\ &\textrm{B}.\quad x^{2}+y^{2}+6x+12y-108=0\\ &\textrm{C}.\quad x^{2}+y^{2}+12x+6y-72=0\\ &\textrm{D}.\quad x^{2}+y^{2}-12x-6y=0\\ &\textrm{E}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-6x-12y+36=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},\\ &\textrm{menyinggung titik}\: \: (0,6)\\ &\textrm{berarti pusat lingkaran L juga terletak}\\ &\textrm{pada garis}\: \: y=6.\: \: \textrm{Hal ini menunjukkan bahwa }\\ &\textrm{pusat lingkaran}\: \: \, \: \textrm{L berpusat di}\: \: (x,2x)=(\frac{y}{2},y),\\ &\textrm{dengan}\: \: y=6.\, \: \textrm{Dari informasi di atas, }\\ &\textrm{didapatlah pusat lingkaran berada di titik}\: \: (3,6).\\ &\textrm{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}:\\ &(x-3)^{2}+(y-6)^{2}=3^{2}\: \: \textrm{ingat}\: \: r=\textrm{absis}\: \: x=3\\ &\Leftrightarrow (x-3)^{2}+(y-6)^{2}=x^{2}-6x+9+y^{2}+12x+36=9\\ &\Leftrightarrow \, \color{red}x^{2}+y^{2}-6x+12y+36=0\\ &\color{purle}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Persamaan garis singgung lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}+8x-3y-24=0,\: \: \textrm{di titik}\\ & (2,4)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad 12x-5y-44=0\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}12x+5y-44=0\\ &\textrm{C}.\quad 12x-y-50=0\\ &\textrm{D}.\quad 12x+y-50=0\\ &\textrm{E}.\quad 12x+y+50=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+8x-3y-24\\ &\Leftrightarrow x^{2}+8x+16+y^{2}-3y+\displaystyle \frac{9}{4}-24=16+\frac{9}{4}\\ &\Leftrightarrow \: (x+4)^{2}+(y-\frac{3}{2})^{2}=16+\frac{9}{4}+24=42\frac{1}{4}\\ &\textrm{Persamaan garis singgung lingkar}\textrm{an lingkaran }\\ &\textrm{di titik}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{adalah}:\\ &(x_{1}+4)(x+4)+(y_{1}-\frac{3}{2})(y-\frac{3}{2})=42\frac{1}{4},\\ &\textrm{untuk}\: \: (x_{1},y_{1})=(2,4),\: \textrm{maka}\\ &(2+4)(x+4)+(4-\frac{3}{2})(y-\frac{3}{2})=\frac{169}{4}\\ &\Leftrightarrow 6(x+4)+\frac{5}{2}(y-\frac{3}{2})=\frac{169}{4}\\ &\Leftrightarrow 24(x+4)+5(2y-3)=169\\ &\Leftrightarrow 24x+96+10y-15=169\\ &\Leftrightarrow 24x+10y=169-96+15=88\\ &\Leftrightarrow \color{red}12x+5y-44=0\\ &\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Sebuah garis singgung}\: \: g\: \: \textrm{menyinggung }\\ &\textrm{lingkaran yang berpusat di}\: \: (-2,5)\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{berjari-jari}\: \: 2\sqrt{10}\: \: \textrm{di titk}\: \: (4,3),\: \textrm{maka }\\ &\textrm{persamaan garis singgung}\: \: g\: \: \textrm{adalah}\: .... \\ &\textrm{A}.\quad y=3x+9\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}y=3x-9\\ &\textrm{C}.\quad y=-3x+9\\ &\textrm{D}.\quad y=-3x-9\\ &\textrm{E}.\quad y=3x+21\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\ &\begin{cases} \textrm{Pusat} & =(-2,5) \\ \textrm{r} & =2\sqrt{10} \end{cases} \\ &\textrm{maka persamaan lingkarannya}:\\ &(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=(2\sqrt{10})^{2}\\ &\Leftrightarrow (x_{1}+2)(x+2)+(y_{1}-5)(y-5)=40,\\ &\textrm{menyingung garis}\: \: g\: \: \textrm{di}\: (4,3)\\ &(4+2)(x+2)+(3-5)(y-5)=40\\ &\Leftrightarrow 6x+12-2y+10=40\\ &\Leftrightarrow 6x-2y=40-12-10\\ &\Leftrightarrow 3x-y=9\\ &\Leftrightarrow -y=-3x+9\\ &\Leftrightarrow \color{red}y=3x-9\\ &\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Suatu lingkaran dengan titik pusatnya terletak }\\ &\textrm{pada kurva}\: \: y=\sqrt{x}\: \: \textrm{dan melalui titik asal}\: \:  O(0,0).\\ & \textrm{Jika diketahui absis titik pusat lingkaran tersebut }\\ &\textrm{adalah}\: \: a,\: \: \textrm{maka persamaan garis singgung }\\ &\textrm{lingkaran yang melalui titik}\: \: O\: \: \textrm{tersebut adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad y=-x\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}y=-x\sqrt{a}\\ &\textrm{C}.\quad y=-ax\\ &\textrm{D}.\quad y=-2x\sqrt{2}\\ &\textrm{E}.\quad y=-2ax\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{array}{|l|c|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Pusat}\\ &\textrm{lingkaran}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Gradien garis singgung}\\ &\textrm{yang tegak lurus dengan }\\ &\textrm{garis yang melalui titik}\\ &\textrm{pusat lingkaran yang }\\ &\textrm{bergradien}\: \: m_{L} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Persamaan garis }\\ &\textrm{singgung yang }\\ &\textrm{melalui titik asal}\\ &O(0,0)\\ & \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&(a,b)\\ &=\left ( a,\sqrt{a} \right )\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\color{blue}\begin{aligned}&m.m_{1}=-1\\ &m.\frac{y}{x}=-1\\ &m=-\frac{x}{y}=-\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}\\ &\: \: \: \, =-\sqrt{a} \end{aligned}&\begin{aligned}y&=mx,\\ & \textrm{karena melalui}\\ &\textrm{titik asal}\\ y&=-\sqrt{a}x,\\ y&=\color{red}-x\sqrt{a} \end{aligned}\\\hline \end{array}  \end{array}$.

Contoh 2 Soal dan Pembahasan Materi Lingkaran

 $\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Diketahui lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+4x+ky-12=0\\ &\textrm{melalui titik}\: \: (-2,8)\: \: \textrm{maka jari-jari lingkaran}\\ &\textrm{tersebut adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad 1\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}5\\ &\textrm{C}.\quad 6\\ &\textrm{D}.\quad 12\\ &\textrm{E}.\quad 25\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui ingkaran berpusat di}\: \left ( -2,-\displaystyle \frac{1}{2}k \right ),\\ &\textrm{yaitu}:\\ &x^{2}+y^{2}+4x+ky-12=0\\ & \textrm{melalui}\: \: (-2,8)\: \: \textrm{berarti }\\ &(-2)^{2}+8^{2}+4(-2)+k.8-12=0\\ &4+64-8-12+8k=0\\ &48+8k=0\\ &k=\color{blue}-6\\ &\textrm{Sehingga}\: \:  r=\sqrt{\displaystyle \frac{4^{2}}{4}+\frac{(-6)^{2}}{4}-(-12)}\\ &\qquad\qquad \: \: \: =\sqrt{\displaystyle 4+9+12}=\sqrt{25}=\color{red}5\\ \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Persmaan lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+px+8y+9=0\\ &\textrm{menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran tersebut }\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad (6,-4)\\ &\textrm{B}.\quad (6,6)\\ &\textrm{C}.\quad \color{red}(3,-4)\\ &\textrm{D}.\quad (-6,-4)\\ &\textrm{E}.\quad (3,4)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textbf{Lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+px+8y+9=0\\ &\textrm{maka,}\\ &x^{2}+px+y^{2}+8y+9=0\\ &\left ( x+\displaystyle \frac{1}{2}p \right )^{2}-\displaystyle \frac{1}{4}p^{2}+(y+4)^{2}-16+9=0\\ &\Leftrightarrow \left ( x+\displaystyle \frac{1}{2}p \right )^{2}+(y+4)^{2}=7+\displaystyle \frac{1}{4}p^{2}\\ &\textrm{karena menyinggung sumbu-X,}\: \: \: \: R=b=4,\\ & \textrm{sehingga}\\ &7+\displaystyle \frac{1}{4}p^{2}=4^{2}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{4}p^{2}=16-7=9\Leftrightarrow p^{2}=36\Leftrightarrow p=\color{blue}\pm 6\\ &p=-6\: \Rightarrow \: x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0\\ &\quad\Rightarrow \textrm{pusatnya adalah}\: \: \left ( -\displaystyle \frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )=\color{red}(3,-4)\\ &p=6\: \: \: \, \: \Rightarrow \: x^{2}+y^{2}+6x+8y+9=0\\ &\quad\Rightarrow \textrm{pusatnya adalah}\: \: \left ( -\displaystyle \frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )=\color{red}(-3,-4)\\ &\color{purple}\textrm{dan berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned}   \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Titik-titik berikut yang posisinya berada di luar }\\ &\textrm{lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-2x+8y-32=0\: \: \textrm{adalah}.... \\ &\textrm{A}.\quad (0,0)\\ &\textrm{B}.\quad (-6,-4)\\ &\textrm{C}.\quad \color{red}(-3,2)\\ &\textrm{D}.\quad (3,1)\\ &\textrm{E}.\quad (4,1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{|c|c|l|c|}\hline \color{blue}\textrm{Opsi}&\color{blue}\textrm{Titik}&\qquad\qquad\quad\color{blue}\textrm{Lingkaran}&\color{blue}\textrm{Keterangan}\\\hline \textrm{A}&(0,0)&0^{2}+0^{2}-2.0+8.0-32=-32&\textrm{dalam}\\\hline \textrm{B}&(-6,-4)&(-6)^{2}+(-4)^{2}-2(-6)+8(-4)-32=0&\textrm{pada}\\\hline \color{red}\textrm{C}&(-3,2)&(-3)^{2}+(2)^{2}-2(-3)+8(2)-32=3&\textbf{di luar}\\\hline \textrm{D}&(3,1)&3^{2}+1^{2}-2.3+8.1-32=-20&\textrm{dalam}\\\hline \textrm{E}&(4,1)&4^{2}+1^{2}-2.4+8.1-32=-15&\textrm{dalam}\\\hline \end{array} \\ &\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Diketahui garis}\: \: x-2y=5\: \: \textrm{memotong lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-4y+8y+10=0\: \: \textrm{di titik A dan B}.\\ &\textrm{Panjang ruas garis AB adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad 4\sqrt{2}\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}2\sqrt{5}\\&\textrm{C}.\quad \sqrt{10}\\ &\textrm{D}.\quad 5\\ &\textrm{E}.\quad 4\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah bahwa garis}\: \: \color{blue}x-2y=5\\&\textrm{memotong lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0,\\ &\textrm{maka garis}\: \: \color{blue}x=2y+5\: \: \color{black}\textrm{disubstitusikan ke}\\ &\textrm{lingkaran tersebut, yaitu}:\\ &(\color{blue}2y+5\color{black})^{2}+y^{2}-4(\color{blue}2y+5\color{black})+8y+10=0\\ &4y^{2}+20y+25+y^{2}-8y-20+8y+10=0\\ &5y^{2}+20y+15=0\\ &y^{2}+4y+3=0\\ &(y+1)(y+3)=0\\ &y=-1\: \: \vee \: \: y=-3\\ &\textrm{untuk nilai}\\ & y=-3\Rightarrow x=2(-3)+5=-1,\quad A(-1,-3)\\ &y=-1\Rightarrow x=2(-1)+5=3,\qquad B(3,-1)\\ &\textrm{maka},\qquad \textrm{AB}=\sqrt{(3-(-1))^{2}+(-1-(-3))^{2}}\\ &=\sqrt{4^{2}+2^{2}}\\ &=\sqrt{16+4}\\ &=\sqrt{20}\\ &=\color{red}2\sqrt{5} \end{aligned}\\ &\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Kekhususan persamaan lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x-6y+6=0\: \:  \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \textrm{menyinggung sumbu X}\\ &\textrm{B}.\quad \textrm{menyinggung sumbu Y}\\ &\textrm{C}.\quad \textrm{berpusat di}\: \: O(0,0)\\ &\textrm{D}.\quad \color{red}\textrm{titik pusatnya terletak pada}\: \: x-y=0\\ &\textrm{E}.\quad \textrm{berjari-jari 3}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x-6y+6=0\\ &x^{2}-6x+9+y^{2}-6y+9+6=9+9\\ &(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=18-6\\ &(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=12\\ &(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=\left ( 2\sqrt{3} \right )^{2}\\ &\textrm{lingkaran ini}\begin{cases} \textrm{Pusat} &=\color{blue}(3,3) \\ \textrm{Jari-jari}  &=\color{blue}2\sqrt{3} \end{cases}\\ &\begin{array}{|c|l|c|}\hline  \textrm{Opsi}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Pernyataan}&\textrm{Keterangan}\\\hline \textrm{A}&\textrm{menyinggung sumbu X}&\textrm{tidak tepat}\\\hline \textrm{B}&\textrm{menyinggung sumbu Y}&\textrm{tidak tepat}\\\hline \textrm{C}&\textrm{berpusat di}\: \: O(0,0)&\textrm{tidak tepat}\\\hline \color{red}\textrm{D}&\color{red}\textrm{titik pusatnya terletak pada garis}\: \: x-y=0&\textbf{tepat}\\\hline \textrm{E}&\textrm{berjari-jari 3}&\textrm{tidak tepat}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned}  \end{array}$.

Contoh 1 Soal dan Pembahasan Materi Lingkaran

 $\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jari-jari lingkaran dengan persamaan}\: \: x^{2}+y^{2}=48\\ &\textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle 3\sqrt{5}\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}4\sqrt{3}\\ &\textrm{C}.\quad 5\sqrt{2}\\ &\textrm{D}.\quad \displaystyle 6\sqrt{3}\\ &\textrm{E}.\quad 7\\\\ &\textbf{Jawab}:\qquad \\ &\begin{aligned}r^{2}&=48\\ r&=\sqrt{48}\\ &=\sqrt{16.3}\\ &=4\sqrt{3} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Titik pusat lingkaran}\: \: (x-7)^{2}+(y+9)^{2}=48\\ &\textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle (-7,-9)\\ &\textrm{B}.\quad (-7,9)\\ &\textrm{C}.\quad \color{red}(7,-9)\\ &\textrm{D}.\quad \displaystyle (7,6)\\ &\textrm{E}.\quad (15,48)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Jelas bahwa}\: \: \: (a,b)&=(-6,9) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Persamaan lingkaran yang berpusat di}\: \: P(-2,5)\\ &\textrm{dan melalui titik}\: \: T(3,4)\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \color{red}(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=26\\ &\textrm{B}.\quad (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=36\\ &\textrm{C}.\quad (x+2)^{2}+(y-5)^{2}=82\\ &\textrm{D}.\quad (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=82\\ &\textrm{E}.\quad (x+2)^{2}+(y+5)^{2}=82\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Persamaan Lingkaran Berpusat di}\: \: (a,b)\\ & \textrm{adalah}:\: (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline  \textrm{Pusat di}\: \: P(-2,5)&\textrm{Melalui Titik}\: \: T(3,4)\\\hline \begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x+2)^{2}+(y-5)^{2}&=r^{2}\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (3+2)^{2}+(4-5)^{2}&=r^{2}\\ 5^{2}+(-1)^{2}&=r^{2}\\ 26&=r^{2} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sehinga persamaan}\\ &\textrm{lingkarannya} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{adalah}:\\ &(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}=26\\ &(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=26\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}  \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad (-3,2)\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ &\textrm{B}.\quad (3,-2)\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ &\textrm{C}.\quad (-2,-3)\: \:\textrm{ dan}\: \: 3\\ &\textrm{D}.\quad \color{red}(2,-3)\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ &\textrm{E}.\quad (2,3)\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\\\ &\textbf{Jawab}: \\ &\textbf{Alterntif 1}\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline &{\textrm{Persamaan Lingkaran Berpusat di}\: \: (a,b)\: \: \textrm{dan berjari-jari}\: \: r\: \: \textrm{adalah}}\\ &{\begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}-4x+6y+4&=0\\ x^{2}-4x+y^{2}+6y+4&=0\\ x^{2}-4x+4-4+y^{2}+6y+9-9+4&=0\\ (x-2)^{2}-4+(y+3)^{2}-9+4&=0\\ (x-2)^{2}+(y+3)^{2}&=4+9-4\\ (x-2)^{2}+(y+3)^{2}&=9\\ (x-2)^{2}+(y-(-3))^{2}&=3^{2}\begin{cases} \textrm{Pusat} & =(2,-3) \\ \textrm{dan}\\ \: r & = 3 \end{cases} \end{aligned}}\\\hline \end{array}\\ &\textbf{Alterntif 2}\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{persamaan lingkaran}:\: \: x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0\begin{cases} A & =-4 \\ B & =6 \\ C & =4 \end{cases}\\ &x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\\ &\begin{cases} \textrm{Pusat} & =\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}A,\: -\frac{1}{2}B \right )=\left ( -\frac{1}{2}\cdots ,\: -\frac{1}{2}\cdots \right )=(\cdots ,\cdots ) \\ \textrm{Jari-jari} & =\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\cdots ^{2}+\frac{1}{4}\cdots ^{2}-\cdots }=\sqrt{\cdots } \end{cases} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Suatu lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-4x+2y+p=0\\ &\textrm{berjari-jari 3, maka nilai}\: \: p\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad -1\\ &\textrm{B}.\quad -2\\ &\textrm{C}.\quad -3\\ &\textrm{D}.\quad \color{red}-4\\ &\textrm{E}.\quad -5\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}r=\sqrt{\displaystyle \frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}&=3\\ \displaystyle \sqrt{\frac{(-4)^{2}}{4}+\frac{2^{2}}{4}-p}&=3\\ \displaystyle \frac{16}{4}+\frac{4}{4}-p&=9\\ 4+1-p&=9\\ -p&=9-5\\ p&=-4 \end{aligned} \end{array}$.

Lanjutan Materi 3 Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar Lingkaran

D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar Lingkaran

Coba perhatikan ilustrasi berikut

Dalam penyelesaian permasalah terkait dengan ini tidak ada rumus baku, tetapi terdapat beberapa langkah untuk mendapatkan hasil yang diinginkan, yaitu dengan menggunkan diskriminan persamaan kuadrat hasil substitusi dan  menggunakan rumus persamaan garis singgung jika terdapat gardiennya.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan persamaan garis singgung}\\ &\textrm{pada lingkaran}\: \: \color{red}x^{2}+y^{2}=25\: \: \color{black}\textrm{dan} \\ &\textrm{melalui titik}\: \: (7,1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\textrm{Kita cek dulu posisi titik (7,1) ini}\\ &K_{(7,1)}\equiv 7^{2}+1^{2}=49+1=50> \color{red}25\\ &\textrm{ini artinya titik (7,1) berada}\: \textbf{di luar}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: \color{red}x^{2}+y^{2}=25\\&\underline{\textrm{Persamaan garis singgung melalui}}\: (7,1)\\ &y-y_{1}=m(x-x_{1})\\&\Leftrightarrow y-1=m(x-7)\Leftrightarrow y=mx+(1-7m)\end{aligned}\\ &\underline{\textrm{Hasilnya kita substitusikan ke persamaan}}\\ &\textrm{lingkaran, yaitu}:\\ &x^{2}+y^{2}=25\\ &\Leftrightarrow x^{2}+(mx+(1-7m))^{2}=25\\ &\Leftrightarrow x^{2}+m^{2}x^{2}+2m(1-7m)x+(1-7m)^{2}-25=0\\ &\Leftrightarrow (1+m^{2})x^{2}+2m(1-7m)x+(49m^{2}-14m-24)=0\\ &\underline{\textrm{Syarat menyinggung}}\:  D=0\\ &D=b^{2}-4ac=0\\ &\Leftrightarrow (2m(1-7m))^{2}-4(1+m^{2})(49m^{2}-14m-24)=0\\ &\qquad \vdots \\ &\Leftrightarrow 96m^{2}-56m-96=0\\ &\Leftrightarrow 12m^{2}-7m-12=0\Leftrightarrow \displaystyle \frac{(12m-16)(12m+9)}{4.3}=0\\ &\Leftrightarrow (3m-4)(4m+3)=0\\ &\Leftrightarrow m=\displaystyle \frac{4}{3}\: \: \textrm{atau}\: \: m=-\frac{3}{4}\\ &\underline{\textrm{Substitusi gradien ke garis singgungnya}}\\ &y=mx+(1-7m)\begin{cases} = &\displaystyle \frac{4}{3}x+\left ( 1-\displaystyle \frac{28}{3} \right )  \\\\ = &-\displaystyle \frac{3}{4}x+\left ( 1+\displaystyle \frac{21}{4} \right )  \end{cases}\\ &\textrm{maka}\\ &\begin{cases} & 4x-3y-25=0 \\ & 3x+4y-25=0 \end{cases} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&(\textbf{SBMPTN 2015 Matematika IPA})\\ &\textrm{Misalkan titik}\: \: A\: \: \textrm{dan}\: \: B \: \: \textrm{pada lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0\: \: \textrm{sehingga garis}\\ &\textrm{singgung lingkaran ke titik}\: \: A\: \: \textrm{dan}\: \: B\\ &\textrm{berpotongan di}\: \: C(8,1).\: \textrm{Jika luas segiempat}\\ &\textrm{yang melalui titik}\: \: A,\: B,\: C\: \:\textrm{dan pusat}\\ &\textrm{lingkaran adalah 12, maka nilai}\: \: k\: \: \textrm{adalah}\: ...\: .\\&\textrm{A}.\quad -1\qquad\qquad \textrm{D}.\quad 2\\ &\textrm{B}.\quad 0\: \quad\qquad\qquad \textrm{E}.\quad 3\\ &\textrm{C}.\quad 1\\\\&\textbf{Jawab}:\\&\begin{aligned}&\underline{\textrm{Lingkaran}}\: :\: \color{blue}x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0\\ &\textrm{Pusat}\: :\: P\left ( -\displaystyle \frac{(-6)}{2},-\frac{(-2)}{2} \right )=\color{red}(3,1)\\ &\textrm{Jari-jari}=r=\sqrt{3^{2}+1^{2}-k}=\sqrt{10-k}\\&\textrm{Perhatikan ilustrasinya berikut ini} \end{aligned}   \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\underline{\textrm{Penentuan jarak antar titik}}\\ &\bullet \: \: PA=r=\sqrt{10-k}\Rightarrow \color{red}PA^{2}\color{black}=10-k\\ &\bullet \: \: PC=\sqrt{(8-3)^{2}+(1-1)^{2}}=\sqrt{25}=5\\ &\bigtriangleup APC\: \: \textrm{siku-siku di}\: \: A,\: \textrm{maka}\\ &\bullet \: \: AC^{2}=PC^{2}-PA^{2}=5^{2}-(10-k)=15-k\\ &\textrm{Luas}\: \: \textbf{PACB}\: \: =\left [ PAC \right ]+\left [ PBC \right ]=12\\ &\textrm{Karena}\: \: \left [ PAC \right ]=\left [ PBC \right ],\: \textrm{maka}\\ &2\left (\displaystyle \frac{1}{2}PA\times PC  \right )=12\Leftrightarrow PA\times PC=12\\ &\Leftrightarrow (\sqrt{10-k})(\sqrt{15-k})=12\\ &\Leftrightarrow (10-k)(15-k)=144\\ &\Leftrightarrow (10-1)(15-1)=144\Leftrightarrow k=1\\ &\textrm{Jadi, nilai}\: \: \color{blue}k=1 \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.