Lanjutan Materi 3 Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar Lingkaran

D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar Lingkaran

Coba perhatikan ilustrasi berikut

Dalam penyelesaian permasalah terkait dengan ini tidak ada rumus baku, tetapi terdapat beberapa langkah untuk mendapatkan hasil yang diinginkan, yaitu dengan menggunkan diskriminan persamaan kuadrat hasil substitusi dan  menggunakan rumus persamaan garis singgung jika terdapat gardiennya.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan persamaan garis singgung}\\ &\textrm{pada lingkaran}\: \: \color{red}x^{2}+y^{2}=25\: \: \color{black}\textrm{dan} \\ &\textrm{melalui titik}\: \: (7,1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\textrm{Kita cek dulu posisi titik (7,1) ini}\\ &K_{(7,1)}\equiv 7^{2}+1^{2}=49+1=50> \color{red}25\\ &\textrm{ini artinya titik (7,1) berada}\: \textbf{di luar}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: \color{red}x^{2}+y^{2}=25\\&\underline{\textrm{Persamaan garis singgung melalui}}\: (7,1)\\ &y-y_{1}=m(x-x_{1})\\&\Leftrightarrow y-1=m(x-7)\Leftrightarrow y=mx+(1-7m)\end{aligned}\\ &\underline{\textrm{Hasilnya kita substitusikan ke persamaan}}\\ &\textrm{lingkaran, yaitu}:\\ &x^{2}+y^{2}=25\\ &\Leftrightarrow x^{2}+(mx+(1-7m))^{2}=25\\ &\Leftrightarrow x^{2}+m^{2}x^{2}+2m(1-7m)x+(1-7m)^{2}-25=0\\ &\Leftrightarrow (1+m^{2})x^{2}+2m(1-7m)x+(49m^{2}-14m-24)=0\\ &\underline{\textrm{Syarat menyinggung}}\:  D=0\\ &D=b^{2}-4ac=0\\ &\Leftrightarrow (2m(1-7m))^{2}-4(1+m^{2})(49m^{2}-14m-24)=0\\ &\qquad \vdots \\ &\Leftrightarrow 96m^{2}-56m-96=0\\ &\Leftrightarrow 12m^{2}-7m-12=0\Leftrightarrow \displaystyle \frac{(12m-16)(12m+9)}{4.3}=0\\ &\Leftrightarrow (3m-4)(4m+3)=0\\ &\Leftrightarrow m=\displaystyle \frac{4}{3}\: \: \textrm{atau}\: \: m=-\frac{3}{4}\\ &\underline{\textrm{Substitusi gradien ke garis singgungnya}}\\ &y=mx+(1-7m)\begin{cases} = &\displaystyle \frac{4}{3}x+\left ( 1-\displaystyle \frac{28}{3} \right )  \\\\ = &-\displaystyle \frac{3}{4}x+\left ( 1+\displaystyle \frac{21}{4} \right )  \end{cases}\\ &\textrm{maka}\\ &\begin{cases} & 4x-3y-25=0 \\ & 3x+4y-25=0 \end{cases} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&(\textbf{SBMPTN 2015 Matematika IPA})\\ &\textrm{Misalkan titik}\: \: A\: \: \textrm{dan}\: \: B \: \: \textrm{pada lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0\: \: \textrm{sehingga garis}\\ &\textrm{singgung lingkaran ke titik}\: \: A\: \: \textrm{dan}\: \: B\\ &\textrm{berpotongan di}\: \: C(8,1).\: \textrm{Jika luas segiempat}\\ &\textrm{yang melalui titik}\: \: A,\: B,\: C\: \:\textrm{dan pusat}\\ &\textrm{lingkaran adalah 12, maka nilai}\: \: k\: \: \textrm{adalah}\: ...\: .\\&\textrm{A}.\quad -1\qquad\qquad \textrm{D}.\quad 2\\ &\textrm{B}.\quad 0\: \quad\qquad\qquad \textrm{E}.\quad 3\\ &\textrm{C}.\quad 1\\\\&\textbf{Jawab}:\\&\begin{aligned}&\underline{\textrm{Lingkaran}}\: :\: \color{blue}x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0\\ &\textrm{Pusat}\: :\: P\left ( -\displaystyle \frac{(-6)}{2},-\frac{(-2)}{2} \right )=\color{red}(3,1)\\ &\textrm{Jari-jari}=r=\sqrt{3^{2}+1^{2}-k}=\sqrt{10-k}\\&\textrm{Perhatikan ilustrasinya berikut ini} \end{aligned}   \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\underline{\textrm{Penentuan jarak antar titik}}\\ &\bullet \: \: PA=r=\sqrt{10-k}\Rightarrow \color{red}PA^{2}\color{black}=10-k\\ &\bullet \: \: PC=\sqrt{(8-3)^{2}+(1-1)^{2}}=\sqrt{25}=5\\ &\bigtriangleup APC\: \: \textrm{siku-siku di}\: \: A,\: \textrm{maka}\\ &\bullet \: \: AC^{2}=PC^{2}-PA^{2}=5^{2}-(10-k)=15-k\\ &\textrm{Luas}\: \: \textbf{PACB}\: \: =\left [ PAC \right ]+\left [ PBC \right ]=12\\ &\textrm{Karena}\: \: \left [ PAC \right ]=\left [ PBC \right ],\: \textrm{maka}\\ &2\left (\displaystyle \frac{1}{2}PA\times PC  \right )=12\Leftrightarrow PA\times PC=12\\ &\Leftrightarrow (\sqrt{10-k})(\sqrt{15-k})=12\\ &\Leftrightarrow (10-k)(15-k)=144\\ &\Leftrightarrow (10-1)(15-1)=144\Leftrightarrow k=1\\ &\textrm{Jadi, nilai}\: \: \color{blue}k=1 \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.