Contoh 2 Soal Permutasi dan Kombinasi (Matematika Wajib Kelas XII)

 $\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Dari angka-angka 2,3,5,6,7, dan 9 dibuat}\\ & \text{susunan bilangan}\\ & \text{a. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4}\\ & \text{angka berlainan}\\ & \text{b. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4}\\ & \text{angka boleh berulang}\\ & \text{c. berapa banyak bilangan ganjil yang terdiri}\\ & \text{dari 4 angka berlainan}\\ & \text{d. berapa banyak bilangan genap yang terdiri}\\ & \text{dari 4 angka berlainan}\\ & \text{e. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4}\\ & \text{angka berlainan yang lebih dari 2021}\\ & \text{f. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4}\\ & \text{angka boleh berulang yang lebih dari 2021}\\ & \text{g. berapa banyak bilangan genap yang terdiri}\\ & \text{dari 4 angka berlainan yang lebih dari 2021}\\ & \text{h. berapa banyak bilangan ganjil yang terdiri}\\ & \text{dari 4 angka berlainan yang lebih dari 2021}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\end{array}$

$.\begin{array}{rl}\text{a}.& P(6,4)={\displaystyle \frac{6!}{(6-2)!}=\frac{6!}{2!}=6.5.4.3=360}\\ \text{b}.& P(6,1{)}^4=6^4=1296\\ \text{c}.& \text{Untuk digit satuan ditentukan dulu, yaitu}\\ & \text{karena digit ganjil ada 4, maka ada 4 pilihan}\\ & \text{sisanya disebar ke slot ribuan sampai puluhan}\\ & \text{maka}\\ & \begin{array}{|cccc|}\hline \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}\\ 1& 2& 3& 4\\ \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}\\ \text{ribuan}& \text{ratusan}& \text{puluhan}& \text{satuan}\\ P(5,1)& P(4,1)& P(3,1)& P(4,1)\\ \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Sehingga banyak bilangan yg terjadi}\\ & P(5,1).P(4,1).P(3,1).P(4,1)=5.4.3.4=240\\ \text{d}.& \mathbf{\text{Cara pertama}}\\ & \text{Semisal dengan jawaban poin c, Karena}\\ & \text{digit genap ada 2, maka digit satuan ada}\\ & \text{2 pilihan, sisanya disebar, yaitu}\\ & \begin{array}{|cccc|}\hline \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}\\ 1& 2& 3& 4\\ \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}\\ \text{ribuan}& \text{ratusan}& \text{puluhan}& \text{satuan}\\ P(5,1)& P(4,1)& P(3,1)& P(2,1)\\ \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Sehingga banyak bilangan yg terjadi}\\ & P(5,1).P(4,1).P(3,1).P(2,1)=5.4.3.2=120\\ & \mathbf{\text{Cara kedua}}\\ & \text{Jawaban poin a dikurangi poin c, yaitu}\\ & 360-240=120\end{array}$

$.\begin{array}{rl}\text{e}.& \mathbf{\text{Cara Pertama}}\\ & \text{Karena digit pilihannya, 2,3,5,6,7, dan 9}\\ & \text{disusun bagaimanapun bilangan 4 digit}\\ & \text{yang diambilkan dari bilangan di atas}\\ & \text{pasti semunya akan lebih besar dari 2021}\\ & \text{maka banyaknya bilangan yang terjadi}\\ & \text{adalah}:\\ & \begin{array}{|cccc|}\hline \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}\\ 1& 2& 3& 4\\ \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}\\ \text{ribuan}& \text{ratusan}& \text{puluhan}& \text{satuan}\\ P(6,1)& P(5,1)& P(4,1)& P(3,1)\\ \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}\\ \hline\end{array}>2021\\ & \text{Sehingga totalnya banyaknya}\\ & P(6,1)\times P(5,1)\times P(4,1)\times P(3,1)\\ & =6.5.4.3=360\\ & \mathbf{\text{Cara Kedua}}\\ & \text{Sama seperti jawaban pada poin a}\\ \text{f}.& \text{Sama persis jawaban poin b, yaitu}\\ & P(6,1{)}^4=6^4=1296\\ & \text{Jika diuraikan adalah sebagai berikut}\\ & \begin{array}{|cccc|}\hline \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}& \text{kotak}\\ 1& 2& 3& 4\\ \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}& \text{digit}\\ \text{ribuan}& \text{ratusan}& \text{puluhan}& \text{satuan}\\ P(6,1)& P(6,1)& P(6,1)& P(6,1)\\ \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}& \text{pilihan}\\ \hline\end{array}>2021\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Andi akan mengambil 4 buah bola dari}\\ & \text{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ & \text{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ & \text{oleh Andi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}n=10& \text{dan}r=4\\ C(n,r)& ={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ C(10,4)& ={\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}}\\ & =420\text{kombinasi warna bola berbeda}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ & \text{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ & \text{kelompok, jika}\\ & \text{a. tanpa perlakuan khusus}\\ & \text{b. salah seorang harus terpilih}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tanpa perlakuan}\\ & \text{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ & C(10,3)={\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=120}\\ \text{b}.& \text{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ & (\text{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ & \text{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ & C(9,2)={\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=36}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ & \text{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ & \text{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ & \text{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ & \text{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Banyak}& \text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}}\\ & =3675375\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Banyak susunan huruf yang berbeda}\\ & \text{pada satu baris yang dapat dibentuk}\\ & \text{dari huruf-huruf pada kata "MATEMATIKA"}\\ & \text{adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \{\begin{array}{ll}\text{Jumlah huruf}& n=10\\ \text{Penyusunnya},& \text{ yaitu }:\{\begin{array}{ll}M& \text{ jumlah }=2\\ A& \text{ jumlah }=3\\ T& \text{ jumlah }=2\\ E& \text{ banyak }=1\\ I& \text{ banyak }=1\\ K& \text{ banyak }=1\end{array}\end{array}\\ & \text{Sehingga}\\ & \begin{array}{rl}P(10;2,3,2,1,1,1)& ={\displaystyle \frac{10!}{2!.3!.2!.1!.1!.1!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4}{4}}\\ & =10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\\ & =151200\end{array}\end{array}$