PAS MATEMATIKA BLOG

Lanjutan Materi Distribusi Binomial (Matematika Peminatan Kelas XII)

$\begin{aligned} D . & Binomial Newton \end{aligned}$

$\begin{aligned} D. 1 . & Binomial Newton \end{aligned}$

$\begin{aligned} Perhatikanlah susunan bilangan berikut \\ \begin{array}{cl} 1 = C_{0}^{1} 1 = C_{1}^{1} & (a + b)^{1} \\ 1 = C_{0}^{2} 2 = C_{1}^{2} 1 = C_{2}^{2} & (a + b)^{2} \\ 1 = C_{0}^{3} 3 = C_{1}^{3} 3 = C_{2}^{3} 1 = C_{3}^{3} & (a + b)^{3} \\ 1 = C_{0}^{4} 4 = C_{1}^{4} 6 = C_{2}^{4} 4 = C_{3}^{4} 1 = C_{4}^{4} & (a + b)^{4} \\ ⋮ & ⋮ \\ d s t & (a + b)^{\dots} \\ ⋮ & ⋮ \\ (a + b)^{n} \end{array} \\ Susunan bilangan-bilangan di atas selanjutnya \\ dinamakan Segitiga Pascal \end{aligned}$

$\begin{aligned} Bilangan C_{r}^{n} = (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) merupakan koefisien \\ dari binomial (a + b)^{n} \\ Selanjutnya perhatikanlah bahwa untuk \\ n = 1, 2, 3, 4, \dots berlaku \\ \begin{aligned} (a + b)^{n} = & C_{0}^{n} a^{n} b^{0} + C_{1}^{n} a^{n - 1} b^{1} + C_{2}^{n} a^{n - 2} b^{2} \\ + C_{3}^{n} a^{n - 3} b^{3} + \dots + C_{n - 3}^{n} a^{3} b^{n - 3} \\ + C_{n - 2}^{n} a^{2} b^{n - 2} + C_{n - 1}^{n} a^{1} b^{n - 1} + C_{n}^{n} a^{0} b^{n} \\ = \sum_{r = 0}^{n} C_{r}^{n} a^{n - r} b^{r} \end{aligned} \end{aligned}$

$D. 2 Perluasan Binomial Newton$

$\begin{aligned} Untuk bilangan real n dan bilangan \\ non negatif r, serta | A | < 1, berlaku : \\ (1 + A)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} C_{r}^{n} A^{r} \end{aligned}$

$D. 3 Teorema Multinomial$

Pada bentuk multinomial dengan ekspresi $(x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{r})^{n}$ dengan n dan r bilangan bulat positif, maka koefisien dari $x_{1}^{n_{1}} x_{2}^{n_{2}} x_{3}^{n_{3}} \dots x_{r}^{n_{r}}$ adalah $\frac{n!}{n_{1}! n_{2}! n_{3}! \dots n_{r}!}$ dinotasikan dengan $(\begin{matrix} n \\ n_{1}, n_{2}, n_{3}, \dots, n_{r} \end{matrix})$

$CONTOH SOAL$

$\begin{array}{ll} 1. & Misalkan untuk n bilangan bulat \\ Positif. Tunjukklan bahwa \\ a . (1 + x)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} C_{r}^{n} x^{r} = \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) x^{r} \\ b . (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) = 2^{n} \\ Bukti \\ \begin{aligned} a . (1 + x) & ^{n} \\ = & C_{0}^{n} 1^{n} x^{0} + C_{1}^{n} 1^{n - 1} x^{1} + C_{2}^{n} 1^{n - 2} x^{2} \\ + C_{3}^{n} 1^{n - 3} x^{3} + \dots + C_{n - 3}^{n} 1^{3} x^{n - 3} \\ + C_{n - 2}^{n} 1^{2} x^{n - 2} + C_{n - 1}^{n} 1^{1} x^{n - 1} + C_{n}^{n} 1^{0} x^{n} \\ = & C_{0}^{n} + C_{1}^{n} x + C_{2}^{n} x^{2} + C_{3}^{n} x^{3} + \dots \\ + C_{n - 3}^{n} x^{n - 3} + C_{n - 2}^{n} x^{n - 2} + C_{n - 1}^{n} x^{n - 1} \\ + C_{n}^{n} x^{n} \\ atau & dengan bentuk lain \\ = & (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) x + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) x^{2} + (\begin{array}{c} n \\ 3 \end{array}) x^{3} \\ + \dots + (\begin{array}{c} n \\ n - 3 \end{array}) x^{n - 3} + (\begin{array}{c} n \\ n - 2 \end{array}) x^{n - 2} \\ + (\begin{array}{c} n \\ n - 1 \end{array}) x^{n - 1} + (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) x^{n} \\ = & \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) x^{r} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . (1 + x) & ^{n} lihat jawaban poin a, saat x = 1 \\ (1 + 1) & ^{n} = (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) 1 + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) 1^{2} + (\begin{array}{c} n \\ 3 \end{array}) 1^{3} \\ + \dots + (\begin{array}{c} n \\ n - 3 \end{array}) 1^{n - 3} + (\begin{array}{c} n \\ n - 2 \end{array}) 1^{n - 2} \\ + (\begin{array}{c} n \\ n - 1 \end{array}) 1^{n - 1} + (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) 1^{n} \\ (2) & ^{n} = (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 3 \end{array}) \\ + \dots + (\begin{array}{c} n \\ n - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) \\ = & \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) \\ Sehing & ga \\ 2^{n} & = \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 2. & Misalkan untuk n bilangan bulat \\ Positif. Tunjukklan bahwa \\ (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) - \dots + (- 1)^{n} (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) = 0 \\ Bukti \\ Sebelumnya diketahui bahwa \\ \begin{aligned} (a + b)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) a^{n - r} b^{r} \\ atau \\ \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) a^{n - r} b^{r} = (a + b)^{n} \\ ⧫ saat a = b = 1, maka \\ \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) 1^{n - r} 1^{r} = (1 + 1)^{n} \\ \Leftrightarrow \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = 2^{n} . . . (bukti no. 1.b) \\ ⧫ saat a = 1 & b = - 1 maka \\ \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) 1^{n - r} (- 1)^{r} = (1 - 1)^{n} = 0 \\ Sehingga \\ (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) - \dots + (- 1)^{n} (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) = 0 ◼ \end{aligned} \end{array}$

$\begin{aligned} E . & Distribusi Binomial \end{aligned}$

Perhatikan materi Binomial Newton di atas berkaitan dengan distribusi binomial. Misalkan suatu kejadian yang hanya memberikan dua hasil saja $a$ dan $b$ saja seperti melambungkan sebuah uang koin yang akan menghasilkan 2 hasil saja yang mungkin, yaitu antara sisi gambar $G$ atau muncul sisi angka $A$ atau pada contoh lainnya adalah ketika seseorang yang menunggu hasil hasil ujian yang jelas hasilnya kemungkinannya cuma dua, yaitu lulus atau tidak lulus.

Percobaan acak yang hanya memberikan 2 hasil saja disebut percobaan $B e r n o u l l i$ . Selanjujtnya percobaan Bernoulli yang dilakukan sebanyak $n$ kali dinamakan dengan $percobaan Binomial$ .

Variabel acak $X$ yanmg mana nilai-nilainya ditentukan oleh hasil dari percobaan binomial disebut sebagai Variabel Acak Binomial.

Berikut ciri-ciri percobaan binomial

Percobaan dilakukan secara berulang sebanyak $n$ kali, dengan $n$ bilangan bulat positif
Setiap percobaan memiliki dua macam hasil saja dan saling berkomplemen, yaitu kejadian yang diharapkan (disebut sukses) dan kejadian yang tidak diharapkan (disebut tidak sukses)
Peluang setiap kejadian bersifat tetap untuk setiap percobaan dan jumlah peluangnya baik sukses maupun yang tidak sukses sama dengan 1. Misalkan peluang suksesny adalah $p$ , maka peluang gagalnya adalah $q = 1 - p$
Setiap percobaan bebas $(i n d e p e n d e n t)$ satu sama lainnya, artinya hasil percobaan yang satu tidak mempengaruhi percobaan yang lain.

Secara umum rumus fungsi $distribusi binomial$ adalah:

$\begin{aligned} f (x) = P (x; n; p) = C (n, x) p^{x} q^{n - x} = (\begin{array}{c} n \\ x \end{array}) p^{x} q^{n - x} \\ Keterangan : \\ ∙ C (n, x) = (\begin{array}{c} n \\ x \end{array}) = koefisien bibonial \\ ∙ x = banyak kejadian yang diharapkan, \\ dengan nilai x = 0, 1, 2, 3, \dots, n \\ ∙ p = peluang kejadian yang diharapkan \\ ∙ q = peluang kejadian yang tidak diharapkan \end{aligned}$

Jika rumus dari fungsi peluang di atas dijabarkan akan menjadi berupa bentuk penjumlahan, maka

$\begin{aligned} F (t) & = P (X \leq t) \\ = \sum_{x = 0}^{x = t} (\begin{array}{c} n \\ x \end{array}) p^{x} q^{n - x} \\ = (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) p^{0} q^{n - 0} + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + p^{1} q^{n - 1} + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) p^{2} q^{n - 2} + \dots + (\begin{array}{c} n \\ t \end{array}) p^{t} q^{n - t} \end{aligned}$

Dan rumus di atas karena tidak sepenuhnya sampai $n$ , maka akan diperoleh fungsi binomial. kumulatif.

Hasil perhitungan $f (x) = P (x; n; p)$ juga dapat dilihat dalam tabel distribusi binomial. Sebagai contohnya adalah $P (2; 4; 0, 05)$ yang berarti $x = 2$ , $n = 4$ , dan $p = 0, 05$ berikut tabelnya:

(Sumber: Buku Siswa Matematika Kelas XII, penulis Tasari, dkk, 2016; hal :126, PT.INTAN PARIWARA)

Sedangkan untuk mencari nilai fungsi peluang distribusi binomial kumulatif, misalkan diberikan

F (2) = P (X \leq 2)

dari

P (2; 4; 0, 05)

perhatikanlah tabel distribusi untuk distribusi peluang kumulatif dari sumber buku yang sama tetapi terdapat pada halaman berikutnya dengan melihat kolom

p = 0, 05

, lalu perhatikan baris

x = 2

untuk

n = 2

. Berikut tabelnya

$CONTOH SOAL$

$\begin{array}{ll} 1. & Dari sebuah survei didapatkan bahwa \\ 1 dari 5 orang berkata bah dia telah \\ mengunjungi dokter dalam sembarang \\ bulan. Jika 10 orang dipilih secara acak \\ maka peluang 3 orang telah berkunjung \\ ke dokter pada bulan kemaren adalah . . . . \\ Jawab : \\ \begin{aligned} n = 10, x = 3, p = \frac{1}{5}, q = \frac{4}{5} \\ maka \\ P (3; 10; \frac{1}{5}) = (\begin{array}{c} 10 \\ 3 \end{array}) {(\frac{1}{5})}^{3} {(\frac{4}{5})}^{7} \end{aligned} \\ = 0, 201 \end{array}$

$TAMBAHAN$

$\begin{aligned} E . & Dsitribusi Poisson \end{aligned}$

Perhatikanlah rumus ditribusi binomial berikut

$\begin{aligned} f (x) = P (x; n; p) \\ = C (n, x) p^{x} q^{n - x} = (\begin{array}{c} n \\ x \end{array}) p^{x} q^{n - x} \end{aligned}$

Saat harga $p$ sebagai lmabang sukses tersebut sangat kecil atau kecil sekali dapat juga dikatakan $p \to 0$ , dan percobaan dilakukan banyak sekali atau $n \to \infty$ , maka penggunaan formula binomial akan terasa sulit. Dan untuk tetap mendapatkan nilai seperti hasil pada perhitungan dengan rumus binomial tersebut, maka digunakan pendekatan nilai dengan menggunkan rumus Distribusi Poisson berikut:

$f (x) = P (X = x) = P (x; λ) = \frac{λ^{x}}{x!} . e^{- λ}$

$CONTOH SOAL$

$\begin{array}{ll} 2. & Pada tiap 100 lembarkertas produksi \\ suatu pabrikdiperkirakan terdapat 1 \\ lembar yang rusak. Tentukanlah \\ kemungkinan mendapat selembar kertas \\ dari 20 lembar yang diambil secara acak \\ dari hasil produksi tersebut! \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & n = 10, x = 1, p = \frac{1}{100}, q = \frac{99}{100} \\ maka penghitungan dengan \\ rumus Distribusi Binomial \\ P (1; 20; \frac{1}{100}) = (\begin{array}{c} 20 \\ 1 \end{array}) {(\frac{1}{100})}^{1} {(\frac{99}{100})}^{19} \\ = \dots \\ b . & Dengan rumus Distribusi poisson \\ ∙ n = 20 \to terlalu besar, dan \\ ∙ p = \frac{1}{100} \to terlalu kecil, maka \\ dengan λ = n p = 20 \times \frac{1}{100} = 0, 2 \\ dan e = 2, 7183 (bilangan Euler) \\ f (x) = P (X = x) = \frac{λ^{x}}{x!} . e^{- λ} \\ f (1) = \frac{(0, 2)^{1} . e^{- 0, 2}}{1!} \\ = 0, 2 \times 0, 409 \\ = 0, 0818 \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung: SEWU.
Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.
Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
Tasari, Sksin, N., Miyanto, & Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: PT. INTAN PARIWARA.
Yuliatun. 2019. Matematika IPA Kelas XII SMA/MA Semester Genap. Solo: INDONESIA JAYA

Lanjutan Materi Distribusi Peluang Kontinu (Matematika Peminatan Kelas XII)

$\begin{aligned} C. 2 . & Distribusi Peluang Kontinue \end{aligned}$

Jika pada distribusi peluang diskrit nilai x diperjelas lagi menjadi nilai eksak atau kontinue, maka distribusi peluangnya akan berubah menjadi distribusi peluang kontinu.

Luas seluruh daerah di dalam kurva memiliki luas 1. Luas daerah pada wilayah yang diarsi (warna kuning) yang terletak antara X=a dan X=b dapat dinyatakan dengan :

P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Fungsi peluang lama bicara seorang \\ operator sebagai berikut \\ f (x) = {\begin{cases} k x & untuk 0 \leq k \leq 5 \\ k (10 - x) & untuk 5 \leq k \leq 10 \\ 0 & untuk x yang lain \end{cases} \\ Tentukanlah \\ a . Nilai k \\ b . Peluang operator telpon berbicara \\ lebih dari 8 menit \\ Peluang operator telpon berbicara \\ 2 sampai 4 menit \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & Karena f (x) adalah fungsi peluang, maka \\ \int_{0}^{5} k x d x + \int_{5}^{10} k (10 - x) d x = 1 \\ \Leftrightarrow {[\frac{1}{2} k x^{2}]}_{0}^{5} + {[10 k x - \frac{1}{2} k x^{2}]}_{5}^{10} = 1 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} k (5^{2} - 0^{2}) + (10 k (10 - 5) - \frac{1}{2} k (10^{2} - 5^{2})) = 1 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} k (25) + 10 k (5) - \frac{1}{2} k (100 - 25) = 1 \\ \Leftrightarrow \frac{25}{2} k + 50 k - \frac{75}{2} k = 1 \\ \Leftrightarrow 50 k - 25 k = 1 \\ \Leftrightarrow 25 k = 1 \\ \Leftrightarrow k = \frac{1}{25} \\ b . & Misalkan saja \\ X = lama operator telpon bicara \\ Peluang operator berbicara lebih \\ dari 8 menit = P (X > 8), \\ P (X > 8) = P (8 < X \leq 10) \\ = \int_{8}^{10} k (10 - x) d x \\ = \int_{8}^{10} \frac{1}{25} (10 - x) d x \\ = \frac{1}{25} {[10 x - \frac{1}{2} x^{2}]}_{8}^{10} \\ = \frac{1}{25} (10 (10 - 8) - \frac{1}{2} (10^{2} - 8^{2})) \\ = \frac{1}{25} (10. (2) - \frac{1}{2} (100 - 64)) \\ = \frac{1}{25} (20 - \frac{1}{2} (36)) \\ = \frac{1}{25} (20 - 18) \\ = \frac{1}{25} (2) = \frac{2}{25} = 0, 08 \\ c . & Peluang operator telpon berbicara \\ P (2 \leq X \leq 4) \\ = \int_{2}^{4} k x d x \\ = \int_{2}^{4} \frac{1}{25} x d x \\ = \frac{1}{25} {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{2}^{4} \\ = \frac{1}{25} \times \frac{1}{2} (4^{2} - 2^{2}) \\ = \frac{1}{50} (16 - 4) \\ = \frac{12}{50} = 0, 24 \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Kurnia, N., dkk. 2018. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: YUDHISTIRA.
Tasari. Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.

Contoh Soal Fungsi

$\begin{array}{ll} 1. & Relasi berikut yang akan berupa fungsi adalah . . . . \\ \begin{array}{llllll} a . & f (x) = \sqrt{x} \\ b . & f (x) = 1 - \sqrt{x} \\ c . & f (x) = \sqrt{x} + 1 \\ d . & f (x) = \sqrt{x} - 1 \\ e . & f (x) = | x | \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{array}{clcl} No & Fungsi & Grafik \\ 1. a & f (x) = y = \sqrt{x} & y^{2} = x \\ 1. b & f (x) = y = 1 - \sqrt{x} & (1 - y)^{2} = x \\ 1. c & f (x) = y = 1 + \sqrt{x} & (y - 1)^{2} = x \\ 1. d & f (x) = y = \sqrt{x} - 1 & (y + 1)^{2} = x \\ 1. e & f (x) = y = | x | & y = {\begin{cases} x & jika x \geq 0 \\ - x & jika x < 0 \end{cases} \end{array} \\ \begin{aligned} Dengan prepeta yang berbeda \\ akan menghasilkan peta yang \\ berbeda pula (fungsi bijektif) \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 2. & Fungsi dari himpunan A ke himpunan B \\ berikut termasuk jenis fungsi \end{array}$ .

\begin{array}{ll} . . & Relasi berikut yang akan berupa fungsi adalah . . . . \\ a . fungsi umum \\ b . fungsi satu-satu, tetapi bukan fungsi pada \\ c . fungsi pada, tetapi bukan fungsi satu-satu \\ d . fungsi pada dan satu-satu \\ e . tidak ada jawaban yang benar \\ Jawab : \\ \begin{array}{ccl} No & Keterangan & Alasan \\ 2. a & Sesuai & Sesuai definisi fungsi \\ 2. b & Salah & \begin{aligned} Karena bukan fungsi \\ satu-satu(fungsi injektif) \\ walau benar dikatakan bukan \\ fungsi pada (fungsi surjektif) \end{aligned} \\ 2. c & Salah & \begin{aligned} Karena bukan fungsi \\ pada(fungsi surjektif) \\ walau benar dikatakan bukan \\ fungsi satu-satu (fungsi injektif) \end{aligned} \\ 2. d & Salah & \begin{aligned} Jelas bukan fungsi pada \\ dan satu-satu(fungsi bijektif) \end{aligned} \\ 2. e & Salah & Tidak sesuai \end{array} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Himpunan pasangan terurut \\ yang ditunjukkan oleh fungsi \\ f : x \mapsto 2 - {(x + 1)}^{2} \\ dari domain {- 1, 0, 1, 2} adalah . . . . \\ \begin{array}{ll} a . & {(- 1, 2), (0, 3), (1, 5), (2, 7)} \\ b . & {(- 1, 2), (0, 1), (1, - 2), (2, - 7)} \\ c . & {(- 1, 1), (0, - 1), (1, - 4), (2, 7)} \\ d . & {(- 1, 0), (0, 3), (1, - 2), (2, 7)} \\ e . & {(- 1, 0), (0, - 4), (1, 5), (2, - 7)} \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} f : x & \mapsto 2 - {(x + 1)}^{2} \\ - 1 & \mapsto 2 - {(- 1 + 1)}^{2} = 2 - 0 = 2 & . . . . (- 1, 2) \\ 0 & \mapsto 2 - {(0 + 1)}^{2} = 2 - 1 = 1 & . . . . (0, 1) \\ 1 & \mapsto 2 - {(1 + 1)}^{2} = 2 - 4 = - 2 & . . . . (1, - 2) \\ 2 & \mapsto 2 - {(2 + 1)}^{2} = 2 - 9 = - 7 & . . . . (2, - 7) \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Dari beberapa fungsi berikut yang \\ merupakan fungsi genap adalah . . . . \\ \begin{array}{ll} a . & f (x) = x^{2} + | x | - 1 \\ b . & f (x) = x^{3} - | x | + x \\ c . & f (x) = x | x | + x \\ d . & f (x) = \sqrt{x - 1} \\ e . & f (x) = 4 - 2 x \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Suatu fungsi & dinamakan fungsi genap \\ jika f (x) = f (- x) \end{aligned} \\ \begin{array}{cllc} No & f (x) & f (- x) & Keterangan \\ 4. a & x^{2} + | x | - 1 & x^{2} + | x | - 1 & f (x) = f (- x) \\ 4. b & x^{3} - | x | + x & - x^{3} - | x | - x & f (x) \neq f (- x) \\ 4. c & x | x | + x & - x | x | - x & f (x) \neq f (- x) \\ 4. d & \sqrt{x - 1} & \sqrt{- x - 1} & f (x) \neq f (- x) \\ 4. e . & 4 - 2 x & 4 + 2 x & f (x) \neq f (- x) \end{array} \end{array}

\begin{array}{ll} 5. & Diketahui himpunan \\ A = {x | x adalah faktor prima dari 16} \\ B = {x | x adalah faktor dari 16} \\ Banyaknya pemetaan dari A k e B adalah . . . . \\ \begin{array}{llllll} a . & 1 & d . & 25 \\ b . & 2 & c . & 5 & e . & 32 \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} A & = {x | x adalah faktor prima dari 16} \\ = {2} \Rightarrow n (A) = 1 \\ B & = {x | x adalah faktor dari 16} \\ = {1, 2, 4, 8, 16} \Rightarrow n (B) = 5 \\ B & anyaknya pemetaan dari A ke B adalah : \\ = n (B)^{n (A)} \\ = 5^{1} \\ = 5 \end{aligned} \end{array}

Lanjutan Materi Fungsi

$F. Domain, Kodomain dan Range Fungsi$

Suatu fungsi $f$ dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ dituliskan dengan bentuk $f : A \to B$ . Jika fungsi $f$ memetakan $x \in A$ ke $y \in B$ , maka dituliskan dengan $f : x \to y$ atau $f : x \to f (x)$ .

Perhatikan gambar berikut sebagai ilustrasinya

Himpunan $A$ sebagai Domain/daerah asal/prapeta dari fungsi $f$
Himpunan $B$ sebagai Kodomain/daerah kawan dari fungsi $f$
Himpunan semua bayangan (bagian dari peta) disebut sebagai Range/daerah hasil dari fungsi $f$ .

CONTOH SOAL

1. Perhatikanlah gambar berikut

dan tentukanlah domain, kodomain, serta range fungsinya

$\begin{aligned} Dari & ilustrasi di atas diperoleh bahwa : \\ Domain : D_{_{f}} = A = {a, b, c, d} \\ Kodomain : K_{_{f}} = B = {1, 2, 3, 4, 5} \\ Range : R_{_{f}} = {1, 2, 3, 5} \subseteq B \end{aligned}$ .

$\begin{array}{ll} 2. & Tentukanlah domain dan range dari fungsi \\ f (x) = \sqrt{x^{2} - x} \\ Jawab : \\ \begin{array}{ll} Domain & Range \\ \begin{aligned} Kumpulan nilai x \\ yang mungkin, yaitu: \\ x^{2} - x \geq 0 \\ x (x - 1) \geq 0 \\ dengan garis bilangan \\ \begin{array}{llllllllll} + & + & + & - & - & - & - & + & + & + \\ 0 & 1 \end{array} \\ Jadi, D_{_{f}} = {x | x \leq 0 atau x \geq 1, x \in R} \end{aligned} & \begin{aligned} Hasil akar pangkat 2 \\ tidak pernah negatif \\ Jadi, R_{_{f}} = {y | y \geq 0} \end{aligned} \end{array} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 3. & Tentukanlah domain dari \\ \begin{array}{ll} a . f (x) = 2 x + 3 \\ b . f (x) = \frac{2}{3 x - 15} \\ c . g (x) = \frac{x - 1}{x^{2} - x - 6} \\ d . g (x) = \sqrt{x^{2} - 1} \\ e . h (x) = \sqrt{3 x + 2} \\ f . h (x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x^{2} - x - 6}} \\ g . k (x) =^{^{2}} \log x^{2} - 2 x - 15 \\ h . k (x) =^{^{^{(x+2)}}} \log (x^{2} - 2 x - 3) \end{array} \\ Jawab : \end{array} .$

$. \begin{array}{l} \begin{aligned} a . f (x) & = 2 x + 3 \\ D_{_{f}} & = {x | x \in R} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . f (x) & = \frac{2}{3 x - 15} \\ supaya terdefinisi \\ maka, \\ 3 x - 15 \neq 0 \\ x \neq 5, sehingga \\ D_{_{f}} & = {x | x \neq 5, x \in R} \end{aligned} \\ \begin{aligned} c . g (x) & = \frac{x - 1}{x^{2} - x - 6} \\ supaya terdefinisi \\ maka, \\ x^{2} - x - 6 \neq 0 \\ x \neq 3 dan x \neq - 2, \\ sehingga \\ D_{_{g}} & = {x | x \neq 3 dan x \neq - 2, x \in R} \end{aligned} \\ \begin{aligned} d . g (x) & = \sqrt{x^{2} - 1} \\ ma & ka x^{2} - 1 \geq 0 \\ (x + 1) (x - 1) \geq 0 \\ D_{_{g}} & = {x | x \leq - 1 atau x \geq 1, x \in R} \end{aligned} \\ \begin{aligned} e . h (x) & = \sqrt{3 x + 2} \\ ma & ka 3 x + 2 \geq 0 \\ x \geq - \frac{2}{3} \\ D_{_{h}} & = {x | x \geq - \frac{2}{3}, x \in R} \end{aligned} \\ \begin{aligned} f . h (x) & = \sqrt{\frac{x - 1}{x^{2} - x - 6}} \\ = \sqrt{\frac{(x - 1)}{(x - 3) (x + 2)}} \\ = \sqrt{\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 2)}} \\ maka, \frac{x - 1}{(x - 3) (x + 2)} \geq 0 \\ D_{_{h}} & = {x | - 2 < x \leq 1 atau x > 3, x \in R} \end{aligned} \end{array}$ .

$. \begin{array}{l} \begin{aligned} g . k (x) & =^{^{^{2}}} \log (x^{2} - 2 x - 15) \\ sya & rat (x^{2} - 2 x - 15) > 0 \\ (x - 5) (x + 3) > 0 \\ D_{_{k}} & = {x | x < - 3 atau x > 5, x \in R} \end{aligned} \\ \begin{aligned} h . k (x) & =^{^{^{(x+2)}}} \log (x^{2} - 2 x - 3) \\ sya & rat 1. {\begin{cases} (x + 2) & > 0 \Rightarrow x > - 2 \\ (x + 2) & \neq 0 \Rightarrow x \neq - 2 \end{cases} \\ 2. (x^{2} - 2 x - 3) > 0 \Rightarrow (x - 3) (x + 1) > 0 \\ D_{_{k}} & = {x | - 2 < x < - 1 atau x > 3, x \in R} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 4. & Diketahui bahwa 2 buah fungsi \\ f (x) = 2 x + 1 dan g (x) = \sqrt{1 - x} \\ \begin{array}{ll} a . (f + g) (x) & c . (f . g) (x) \\ b . (f - g) (x) & d . (\frac{f}{g}) (x) \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{array}{ll} \begin{aligned} a . (f + g) (x) & = f (x) + g (x) \\ = (2 x + 1) + \sqrt{1 - x} \\ D_{_{(f + g)}} & = {x | x \leq 1, x \in R} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . (f - g) (x) & = f (x) - g (x) \\ = (2 x + 1) - \sqrt{1 - x} \\ D_{_{(f - g)}} & = {x | x \leq 1, x \in R} \end{aligned} \\ \begin{aligned} c . (f . g) (x) & = f (x) . g (x) \\ = (2 x + 1) \sqrt{1 - x} \\ = \sqrt{(2 x + 1)^{2} (1 - x)} \\ (2 x + 1)^{2} (1 - x) \geq 0 \\ D_{_{(f . g)}} & = {x | x \leq 1, x \in R} \end{aligned} \\ \begin{aligned} d . (\frac{f}{g}) (x) & = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \end{aligned} \end{array} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

Sodyarto. Nugroho, Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, & Subagya. 2005. Matematika 2 untuk SMA Kelas 2 IPA. Jakarta: BUMI AKSARA.

Fungsi Pembangkit untuk Kombinasi (Pengayaan)

$F. Fungsi Pembangkit$

$\begin{aligned} Pandang (a_{n}) = (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots) suatu barisan \\ Fungsi Pembangkit Biasa (FPB) dari barisan (a_{n}) \\ \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots \\ \underset{―}{CONTOH 1} \\ Diketahui f (x) = \frac{1}{1 - x} . Tentukanlah barisan (a_{n}) \\ yang terkait pada FPB di atas \\ \underset{―}{Jawab} \\ Diketahui bahwa f (x) = \frac{1}{1 - x} \\ karena \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + \dots \\ maka \frac{1}{1 - x} adalah fungsi pembangkit dari barisan \\ (a_{n}) = (1, 1, 1, 1, 1, \dots) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \underset{―}{CONTOH 2} \\ f (x) = 2 + 3 x^{2} + \frac{2}{1 - 4 x} . Tentukanlah barisan (a_{n}) \\ yang terkait pada FPB di atas \\ \underset{―}{Jawab} \\ Diketahui bahwa f (x) = 2 + 3 x^{2} + \frac{2}{1 - 4 x} \\ \begin{aligned} f (x) & = 2 + 3 x^{2} + 2 (\frac{1}{1 - 4 x}) \\ = 2 + 3 x^{2} + 2 \sum_{n = 0}^{\infty} (4 x)^{n} \\ = 2 + 3 x^{2} + 2 \sum_{n = 0}^{\infty} 4^{n} x^{n} \\ = 2 + 3 x^{2} + 2 (4^{0} + 4^{1} x + 4^{2} x^{2} + 4^{3} x^{3} + \sum_{n = 4}^{\infty} (4 n)^{n}) \\ = 2 + 3 x^{2} + 28 x + 32 x^{2} + 128 x^{3} + 2 \sum_{n = 4}^{\infty} (4 x)^{n} \\ = 4 + 8 x + 35 x^{2} + 128 x^{3} + 2 \sum_{n = 4}^{\infty} (4 x)^{n} \end{aligned} \\ maka f (x) adalah fungsi pembangkit dari barisan \\ (a_{n}) = (4, 8, 35, 128, \dots, 2 (4)^{n}) \end{aligned}$

$G. Fungsi Pembangkit untuk Kombinasi$

Perhatikanlah permasalahan berikut:

$\begin{aligned} Ada berapa cara jika ada 3 objek a, b, dan c \\ diambil k objek dengan ketentuan bahwa \\ a terambil maksimum 1, b terambil maksimum \\ 2, c terambil maksimum 1 \\ Pembahasan \\ Permasalahan di atas dapat dimodelkan \\ ((a x)^{0} + (a x)^{1}) ((b x)^{0} + (b x)^{1} + (b x)^{2}) ((c x)^{0} + (c x)^{1}) \\ = (a^{0} x^{0} + a^{1} x^{1}) (b^{0} x^{0} + b^{1} x^{1} + b^{2} x^{2}) (c^{0} x^{0} + c^{1} x^{1}) \\ = (1 + a x) (1 + b x + b^{2} x^{2}) (1 + c x) \\ = 1 + (a + b + c) x + (a b + a c + b c + b^{2}) x^{2} \\ + (a b c + a b^{2} + b^{2} c) x^{3} + a b^{2} c x^{4} \\ Sebagai misal Untuk 2 huruf, maka koefisien dari x^{2} \\ yaitu : a b, a c, b c, dan b b ada 4 cara . \\ Sehingga \\ \begin{aligned} (a + b + c) x & ada 3 cara untuk 1 huruf \\ (a b + a c + b c + b^{2}) x^{2} & ada 4 cara untuk 2 huruf \\ (a b c + a b^{2} + b^{2} c) x^{3} & ada 3 cara untuk 3 huruf \\ a b^{2} c x^{4} & ada 1 cara untuk 4 huruf \end{aligned} \\ Selanjutnya coba kita bandingkan dengan FPB . \\ FPB dari permasalahan di atas adalah : \\ f (x) = (1 + x) (1 + x + x^{2}) (1 + x) \\ = 1 - 3 x - 4 x^{2} - 3 x^{3} - x^{4} \end{aligned}$

$\begin{aligned} Sehingga secara UMUM \\ Misalkan terdapat p sekian objek . \\ Jika ada n_{1} objek pada tipe ke - 1, \\ dan ada n_{2} objek pada tipe ke - 2, \\ lalu ada n_{3} objek pada tipe ke - 3, \\ ⋮ \\ d s t \\ ⋮ \\ dan ada n_{p} objek pada tipe ke - p, \\ Dan misalkan t_{r} menyatakan banyaknya \\ cara mengambil r objek dengan membolehkan \\ mengambil sembarang banyak objek pada tipa tipe, \\ fungsi pembangkit untuk t_{r} adalah : \\ f (x) = \sum t_{r} x^{r}, di mana \\ f (x) = (1 + x + x^{2} + \dots + x^{n_{1}}) (1 + x + x^{2} + \dots + x^{n_{2}}) \dots (1 + x + x^{2} + \dots + x^{n_{p}}) \\ Nantinya t_{r} adalah koefisien x^{r} dalam f (x) \\ \begin{aligned} Sela & njutnya dalam peruntukannya dibagi menjadi \\ a . & Fungsi Pembangkit Tanpa Pengulangan \\ f (x) = \underset{n faktor}{\underset{⏟}{(1 + x) (1 + x) (1 + x) \dots (1 + x)}} \\ f (x) = (1 + x)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) x^{r} (teorema binom) \\ b . & Fungsi Pembangkit Dengan Pengulangan \\ f (x) = \underset{n faktor}{\underset{⏟}{(1 + x + x^{2} + \dots) (1 + x + x^{2} + \dots) \dots (1 + x + x^{2} + \dots)}} \\ f (x) = (1 + x + x^{2} + \dots)^{n} \\ = {(\frac{1}{1 - x})}^{n} \\ = (1 - x)^{- n} \\ = \sum_{r = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} - n \\ r \end{array}) (- 1)^{r} x^{r} (teorema binom) \\ Selanjutnya, untuk r > 0 koefisien x^{r} \\ pada f (x) di atas adalah : \end{aligned} \end{aligned}$

$\begin{aligned} (\begin{array}{c} - n \\ r \end{array}) (- 1)^{r} & = \frac{(- n) (- n - 1) \dots (- n - r + 1) (- n - r)!}{r! (- n - r)!} (- 1)^{r} \\ = \frac{(- n) (- n - 1) \dots (- n - r + 1)}{r!} (- 1)^{r} \\ = \frac{n (n + 1) \dots (n + r - 1)}{r!} \\ = \frac{(n + r - 1) (n + r - 2) \dots (n + 1) n}{r!} \\ = \frac{(n + r - 1) (n + r - 2) \dots (n + 1) n (n - 1)!}{r! (n - 1)!} \\ = \frac{(n + r - 1)!}{r! (n - 1)!} \\ = (\begin{array}{c} n + r - 1 \\ r \end{array}) \\ Sehingga \\ f (x) & = \sum_{r = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} - n \\ r \end{array}) (- 1)^{r} x^{r} = \sum_{r = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} n + r - 1 \\ r \end{array}) x^{r} = \sum t_{r} x^{r} \\ maka \\ t_{r} & = (\begin{array}{c} n + r - 1 \\ r \end{array}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} Dan yang perlu diingat untuk selanjutnya \\ adalah bahwa untuk x \neq 0 dan n bilangan \\ cacah berlaku identitas \\ \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} \end{aligned}$

$CONTOH SOAL$

Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.

Binomial Newton

Pengayaan:

$E. Binomial Newton$

$E. 1 Binomial Newton$

$E. 2 Perluasan Binomial Newton$

$\begin{aligned} Untuk bilangan real n dan bilangan \\ non negatif r, serta | A | < 1, berlaku : \\ (1 + A)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} C_{r}^{n} A^{r} \end{aligned}$

$E. 3 Teorema Multinomial$

$CONTOH SOAL$

$\begin{array}{ll} 3. & Untuk n, r \geq 0, tunjukkan bahwa \\ a . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = (\begin{array}{c} n \\ n - r \end{array}) \\ b . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = \frac{n}{r} (\begin{array}{c} n - 1 \\ r - 1 \end{array}) \\ c . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = \frac{n - r + 1}{r} (\begin{array}{c} n \\ r - 1 \end{array}) \\ d . (\begin{array}{c} - n \\ r \end{array}) = (- 1)^{k} (\begin{array}{c} n + r - 1 \\ r \end{array}) \\ e . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ r + 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} n + 1 \\ r + 1 \end{array}) \\ f . (\begin{array}{c} n \\ m \end{array}) (\begin{array}{c} m \\ r \end{array}) = (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) (\begin{array}{c} n - r \\ m - r \end{array}) \\ Bukti : \\ \begin{aligned} a . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) & = \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ = \frac{n!}{(n - r)! (n - (n - r))!} \\ = \frac{n!}{(n - r)! r!} = (\begin{array}{c} n \\ n - r \end{array}) \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) & = \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ = \frac{n . (n - 1)!}{r . (r - 1)! ((n - 1) - (r - 1))!} \\ = \frac{n}{r} \frac{(n - 1)!}{(r - 1)! ((n - 1) - (r - 1))!} \\ = \frac{n}{r} (\begin{array}{c} n - 1 \\ r - 1 \end{array}) \end{aligned} \\ \begin{aligned} c . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) & = \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ = \frac{n!}{r . (r - 1)! (n - r)!} \times \frac{((n - r) + 1)}{((n - r) + 1)} \\ = \frac{n - r + 1}{r} \times \frac{n!}{(r - 1)! ((n - r) + 1)!} \\ = \frac{n - r + 1}{r} \times \frac{n!}{(r - 1)! (n - (r - 1))!} \\ = \frac{n - r + 1}{r} (\begin{array}{c} n \\ r - 1 \end{array}) \end{aligned} \\ d . Silahkan dicoba buat latihan \\ e . Silahkan dicoba buat latihan \\ f . Silahkan dicoba buat latihan \end{array}$

$\begin{array}{ll} 4. & Tentukan nilai dari \\ a . (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 100 \\ 1 \end{array}) \\ b . (\begin{array}{c} 100 \\ 100 \end{array}) + (\begin{array}{c} 101 \\ 100 \end{array}) + (\begin{array}{c} 102 \\ 100 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 200 \\ 100 \end{array}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 100 \\ 1 \end{array}) \\ Sebelumnya perhatikan \\ = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) \\ Karena \\ (\begin{array}{c} n \\ r - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = (\begin{array}{c} n + 1 \\ r \end{array}) \\ Saat \\ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) \\ Sehingga \\ \underset{(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array})}{\underset{⏟}{\underset{(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array})}{\underset{⏟}{\underset{(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array})}} + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array})}} + (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})}} \\ maka \\ = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} n + 1 \\ 2 \end{array}) \\ Jadi, \\ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 100 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 101 \\ 2 \end{array}) \end{aligned} \\ b Silahkan coba sendiri \\ sebagai latihan \end{array}$

$\begin{array}{ll} 5. & Tentukanlah nilai dari \\ a . \sum_{r = 0}^{1000} (\begin{array}{c} 1000 \\ r \end{array}) \\ b . (\begin{array}{c} 2009 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 3 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2004 \end{array}) \\ (OSK 2009) \\ Jawab : \\ a . \sum_{r = 0}^{1000} (\begin{array}{c} 1000 \\ r \end{array}) = \sum_{r = 0}^{1000} (\begin{array}{c} 1000 \\ r \end{array}) 1^{1000 - r} 1^{r} \\ = (1 + 1)^{1000} = 2^{1000} \\ b . \sum_{r = 0}^{2009} (\begin{array}{c} 2009 \\ r \end{array}) = 2^{2009} \\ karena (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = (\begin{array}{c} n \\ n - r \end{array}), maka \\ (\begin{array}{c} 2009 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2009 \\ 2009 \end{array}), (\begin{array}{c} 2009 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2009 \\ 2008 \end{array}), \\ \dots, (\begin{array}{c} 2009 \\ 1004 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2009 \\ 1005 \end{array}) \\ Sehingga \\ (\begin{array}{c} 2009 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2009 \end{array}) = 2^{2009} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 2009 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 2009 \\ 1004 \end{array}) = \frac{2^{2009}}{2} = 2^{2008} \\ \Leftrightarrow 1 + (\begin{array}{c} 2009 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 3 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 2009 \\ 1004 \end{array}) = 2^{2008} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 2009 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 3 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 2009 \\ 1004 \end{array}) = 2^{2008} - 1 \end{array}$

Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung: SEWU.
Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.
Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.

Contoh 3 Soal dan Pembahasan Materi Permutasi dan Kombinasi

$\begin{array}{ll} 11. & Dalam suatu rapat mengelilingi meja bundar \\ yang dihadiri sebanyak 7 orang \\ a . ada berapa susunan yang terjadi ? \\ b . Jika A dan B bagian dari 7 orang ini \\ duduknya selalu berdampingan, maka \\ posisi duduk yang terbentuk sejumlah ? \\ c . Jika seperti poin b, tetapi yang \\ duduk berdampingan atau saling berdekatan \\ adalah A, B, dan C \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa n = 7 \\ \begin{aligned} a . & Posisi duduk melingkarnya \\ = (7 - 1)! = 6! = 720 \\ atau \\ n = r = 7 orang, maka \\ = \frac{P (7, 7)}{7} = 6! = 720 \\ b . & Ada syarat A dan B berdampingan, maka \\ A dan B dihitung 1 objek dulu, sehingga total \\ objek ada 1 objek ditambah sisanya = 6 objek . \\ Dari 6 objek ini yang dianggap duduk melingkar \\ dengan 2 orang (A dan B) bisa gantian posisi . \\ sehingga \\ (6 - 1)! \times 2! = 5! \times 2! = 240 \\ atau \\ = \frac{P (6, 6)}{6} \times P (2, 2) \\ = 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240 \\ b . & 3 orang (A, B, dan C) dianggap 1 objek \\ dulu sehigga yang duduk posisi melingkar \\ dianggap 5 orang, sehingga perhitungannya \\ = \frac{P (5, 5)}{5} \times P (3, 3) \\ = 24 \times 6 = 144 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 12. & Suatu kelompok yang terdiri dari 20 remaja \\ a . Jika mereka saling berjabat tangan \\ seseorang dengan lainnya hanya satu kali \\ maka banyak jabat tangan yang terjadi ? \\ b . Jika mereka membentuk regu voly, maka \\ berapa banyak regu voly yang terbentuk ? \\ c . Jika mereka membentuk regu sepak bola, \\ maka banyak regu sepak bola yang terbentuk ? \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa n = 20 \\ \begin{aligned} a . & Karena jabat tangan dilakukan hanya hanya \\ pada dua remaja yang berbeda dan urutan \\ tidak diperlukan, maka hal ini persoalan \\ kombinasi. Sehingga banyaknya jabat tangan \\ (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 20 \\ 2 \end{array}) = \frac{20!}{2! (20 - 2)!} = \frac{20!}{2! \times 18!} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 20 \\ 2 \end{array}) = \frac{20.19 . ⧸ 18!}{2. ⧸ 18!} = 190 \\ b . & Karena satu regu voli ada 6 orang, maka \\ (\begin{array}{c} 20 \\ 6 \end{array}) = \frac{20!}{6! (20 - 6)!} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 20 \\ 6 \end{array}) = \frac{20!}{6! \times 14!} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 20 \\ 6 \end{array}) = \frac{20.19 .18 .17 .16 .15 . ⧸ 14!}{720 \times ⧸ 14!} \\ c . & Karena satu regu terdiri dari 11 orang, \\ maka \\ (\begin{array}{c} 20 \\ 11 \end{array}) = \frac{20!}{11! (20 - 11)!} = \frac{20!}{11! \times 9!} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 13. & Jajargenjang yang dapat dibuat oleh \\ himpunan empat garis sejajar yang \\ berpotongan dengan garis yang terhimpun \\ dalam 7 garis sejajar adalah . . . . \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa kombinasi dari dua himpunan \\ garis sejajar yang masing-masing berjumlah \\ 4 dan 7 garis, maka banyak jajar genjang \\ \begin{aligned} = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 7 \\ 2 \end{array}) \\ = \frac{4!}{2! (4 - 2)!} \times \frac{7!}{2! \times (7 - 2)!} \\ = \frac{4 \times 3 \times ⧸ 2!}{2 \times ⧸ 2!} \times \frac{7 \times 6 \times ⧸ 5!}{2 \times ⧸ 5!} \\ = 6 \times 21 \\ = 126 jajar genjang \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 14. & Diketahui segi enam beraturan. Tentukanlah \\ a . Banyak diagonal dapat dibentuk ? \\ b . Banyak segi tiga di dalamnya ? \\ c . Banyak perpotongan diagonal-diagonal \\ jika tidak ada titik-titik perpotongan \\ yang sama ? \\ Jawab : \\ Diketahui segi - n dengan n = 6 \\ Dan perlu diingat bahwa di sini tidak diperlukan \\ urutan mana yang perlu didahulukan, maka \\ rumus kombinasi yang perlu digunakan, yaitu \\ \begin{aligned} a . & Banyak diagonalnya adalah : \\ (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) - n = \frac{n (n - 3)}{2} \\ \Leftrightarrow = \frac{6. (6 - 3)}{2} = \frac{6.3}{2} = 9 \\ b . & Banyaknya segi tiga, berarti melibatkan \\ tiga garis, maka \\ (\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array}) = \frac{6!}{3! \times (6 - 3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times ⧸ 3!}{6 \times ⧸ 3!} = 20 \\ c . & Satu buah titik potong dapat dibentuk \\ dengan dua garis ekuivalen dengan empat \\ buah titik sudut, maka banyaknya titik \\ potong adalah : \\ (\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array}) = \frac{6!}{4! \times (6 - 4)!} = \frac{6!}{4! \times 2!} = 15 \end{aligned} \end{array}$

\begin{array}{ll} 15. & Perhatikalah dua ilustrasi gambar berikut \end{array}

Gambar (1)

Gambar (2)

\begin{array}{ll} . & Tentukanlah \\ a . jalur terpendek dari titik A ke B \\ pada gambar (1) \\ b . jalur terpendek dari titik P ke Q \\ pada gambar (2) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & Perhatikanlah bahwa langkah dari titik A \\ ke titik B harus terdiri dari 8 langkah, yaitu \\ 3 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atas \\ Karena yang diinginkan lintasan terpendek \\ dan tidak ada kekhususn harus dimulai dari \\ mana, maka banyaknya langkah berbdeda \\ dan terpendek adalah : \\ (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array}) atau (\begin{array}{c} 8 \\ 5 \end{array}) . Misal kita hitung salah \\ satunya saja : \\ (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array}) = \frac{8!}{3! (8 - 5)!} = \frac{8!}{3! \times 5!} = \frac{8.7 .6 . ⧸ 5!}{6. ⧸ 5!} = 56 \end{aligned} \end{array}

. \begin{aligned} b . & Untuk poin b, perhatikanlah ilustrasi \\ gambar berikut(untuk memudahkan \\ perhitungan). Tempatkan titik-titik \\ bantu A, B, C, D, E, dan F seperti \\ pada gambar berikut \end{aligned}

. \begin{aligned} . & Perhatikanlah untuk setiap lintasan \\ terpendek dari titik P ke titik Q \\ dapat dipastikan akan melewati \\ titik A, B, C, dan D. Sehingga dari \\ keempat titik itulah akan diperoleh \\ rute PAQ, PBQ, PCQ, dan PDQ . \\ Sehingga banyak rute terpendek dari \\ titik P ke Q yang selanjutnya kita \\ simbolkan dengan # P Q adalah : \\ \begin{aligned} # P Q & = # P A Q + # P B Q + # P C Q + # P D Q \\ = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}) + # P E C Q + # P F C Q + # P F D Q \\ = 1.1 + 4.5 + (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array}) \\ = 1 + 20 + 3.1 .3 + 3.3 .3 + 3.1 .1 \\ = 1 + 20 + 9 + 27 + 3 \\ = 60 \end{aligned} \end{aligned}

DAFTAR PUSTAKA

Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
Ibrahim, Mussafi, N, S, M. 2013. Pengantar Kombinatorika dan Teori Graf. Yogyakarta: GRAHA ILMU.
Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
Sobirin. 2006. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika (SMA Kelas XI IPA). Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
Sukino. 2011. Maestro Olimpiade Matematika SMP Seri B. Jakarta: ERLANGGA.
Susyanto, N, 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA.
Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 2 Kelas 2 Berdasarkan Kurikulum 1994 Suplemen CBPP 1999. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh 2 Soal dan Pembahasan Materi Permutasi dan Kombinasi

$\begin{array}{ll} 6. & Dari angka-angka 2,3,5,6,7, dan 9 dibuat \\ susunan bilangan \\ a. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4 \\ angka berlainan \\ b. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4 \\ angka boleh berulang \\ c. berapa banyak bilangan ganjil yang terdiri \\ dari 4 angka berlainan \\ d. berapa banyak bilangan genap yang terdiri \\ dari 4 angka berlainan \\ e. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4 \\ angka berlainan yang lebih dari 2021 \\ f. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4 \\ angka boleh berulang yang lebih dari 2021 \\ g. berapa banyak bilangan genap yang terdiri \\ dari 4 angka berlainan yang lebih dari 2021 \\ h. berapa banyak bilangan ganjil yang terdiri \\ dari 4 angka berlainan yang lebih dari 2021 \\ Jawab : \end{array}$

$. \begin{aligned} a . & P (6, 4) = \frac{6!}{(6 - 2)!} = \frac{6!}{2!} = 6.5 .4 .3 = 360 \\ b . & P (6, 1)^{4} = 6^{4} = 1296 \\ c . & Untuk digit satuan ditentukan dulu, yaitu \\ karena digit ganjil ada 4, maka ada 4 pilihan \\ sisanya disebar ke slot ribuan sampai puluhan \\ maka \\ \begin{array}{cccc} kotak & kotak & kotak & kotak \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ digit & digit & digit & digit \\ ribuan & ratusan & puluhan & satuan \\ P (5, 1) & P (4, 1) & P (3, 1) & P (4, 1) \\ pilihan & pilihan & pilihan & pilihan \end{array} \\ Sehingga banyak bilangan yg terjadi \\ P (5, 1) . P (4, 1) . P (3, 1) . P (4, 1) = 5.4 .3 .4 = 240 \\ d . & Cara pertama \\ Semisal dengan jawaban poin c, Karena \\ digit genap ada 2, maka digit satuan ada \\ 2 pilihan, sisanya disebar, yaitu \\ \begin{array}{cccc} kotak & kotak & kotak & kotak \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ digit & digit & digit & digit \\ ribuan & ratusan & puluhan & satuan \\ P (5, 1) & P (4, 1) & P (3, 1) & P (2, 1) \\ pilihan & pilihan & pilihan & pilihan \end{array} \\ Sehingga banyak bilangan yg terjadi \\ P (5, 1) . P (4, 1) . P (3, 1) . P (2, 1) = 5.4 .3 .2 = 120 \\ Cara kedua \\ Jawaban poin a dikurangi poin c, yaitu \\ 360 - 240 = 120 \end{aligned}$

$. \begin{aligned} e . & Cara Pertama \\ Karena digit pilihannya, 2,3,5,6,7, dan 9 \\ disusun bagaimanapun bilangan 4 digit \\ yang diambilkan dari bilangan di atas \\ pasti semunya akan lebih besar dari 2021 \\ maka banyaknya bilangan yang terjadi \\ adalah : \\ \begin{array}{cccc} kotak & kotak & kotak & kotak \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ digit & digit & digit & digit \\ ribuan & ratusan & puluhan & satuan \\ P (6, 1) & P (5, 1) & P (4, 1) & P (3, 1) \\ pilihan & pilihan & pilihan & pilihan \end{array} > 2021 \\ Sehingga totalnya banyaknya \\ P (6, 1) \times P (5, 1) \times P (4, 1) \times P (3, 1) \\ = 6.5 .4 .3 = 360 \\ Cara Kedua \\ Sama seperti jawaban pada poin a \\ f . & Sama persis jawaban poin b, yaitu \\ P (6, 1)^{4} = 6^{4} = 1296 \\ Jika diuraikan adalah sebagai berikut \\ \begin{array}{cccc} kotak & kotak & kotak & kotak \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ digit & digit & digit & digit \\ ribuan & ratusan & puluhan & satuan \\ P (6, 1) & P (6, 1) & P (6, 1) & P (6, 1) \\ pilihan & pilihan & pilihan & pilihan \end{array} > 2021 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll} 7. & Andi akan mengambil 4 buah bola dari \\ 10 warna yang berbeda. Berapakah banyak \\ kombinasi warna yang berbeda yang diambil \\ oleh Andi \\ Jawab : \\ \begin{aligned} n = 10 & dan r = 4 \\ C (n, r) & = \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ C (10, 4) & = \frac{10!}{4! (10 - 4)!} \\ = \frac{10!}{4! \times 6!} \\ = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 6!} \\ = 420 kombinasi warna bola berbeda \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 8. & Berapa banyak cara dapat memilih untuk \\ 3 perwakilan dari 10 anggota suatu \\ kelompok, jika \\ a. tanpa perlakuan khusus \\ b. salah seorang harus terpilih \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & Dengan tanpa perlakuan \\ memilih 3 orang dari 10 orang adalah : \\ C (10, 3) = \frac{10!}{3! (10 - 3)!} = \frac{10!}{3! \times 7!} = 120 \\ b . & Dengan perlakuan 1 orang terpilih \\ (1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan) \\ memilih 2 orang dari 9 orang adalah : \\ C (9, 2) = \frac{9!}{2! (9 - 2)!} = \frac{9!}{2! \times 8!} = 36 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 9. & Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku \\ matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku \\ ekonomi pada suatu lemari buku yang \\ di dalamnya terdapat 10 buku matematika, \\ 11 buku fisika dan 12 buku ekonomi \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Banyak & cara pemilihan tersebut adalah : \\ = C (10, 2) \times C (11, 3) \times C (12, 4) \\ = \frac{10!}{2! \times 8!} \times \frac{11!}{3! \times 8!} \times \frac{12!}{4! \times 8!} \\ = \frac{10 \times 9}{1 \times 2} \times \frac{11 \times 10 \times 9}{1 \times 2 \times 3} \times \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \\ = 3675375 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 10. & Banyak susunan huruf yang berbeda \\ pada satu baris yang dapat dibentuk \\ dari huruf-huruf pada kata "MATEMATIKA" \\ adalah . . . . \\ Jawab : \\ {\begin{cases} Jumlah huruf & n = 10 \\ Penyusunnya, & yaitu : {\begin{cases} M & jumlah = 2 \\ A & jumlah = 3 \\ T & jumlah = 2 \\ E & banyak = 1 \\ I & banyak = 1 \\ K & banyak = 1 \end{cases} \end{cases} \\ Sehingga \\ \begin{aligned} P (10; 2, 3, 2, 1, 1, 1) & = \frac{10!}{2! .3! .2! .1! .1! .1!} \\ = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{4} \\ = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \\ = 151200 \end{aligned} \end{array}$

Contoh 1 Soal dan Pembahasan Materi Permutasi dan Kombinasi

$\begin{array}{ll} 1. & Bentuk sederhana dari \\ a . 5! + 6! + 7! \\ b . \frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} \\ c . \frac{(n + 2)!}{n!} \\ d . \frac{(n - 2)!}{(n + 1)!} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & 5! + 6! + 7! = 5! + 6.5! + 7.6 .5! \\ = (1 + 6 + 42) .5! \\ = 49.5! = 49.120 = 5880 \\ b . & \frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = \frac{(n + 1) n (n - 1)!}{(n - 1)!} \\ = (n + 1) n = n^{2} + n \\ c . & \frac{(n + 2)!}{n!} = \frac{(n + 1) (n + 1) n!}{n!} \\ = (n + 2) (n + 1) \\ = n^{2} + 3 n + 2 \\ d . & \frac{(n - 2)!}{(n + 1)!} = \frac{(n - 2)!}{(n + 1) n (n - 1) (n - 2)!} \\ = \frac{1}{(n + 1) n (n - 1)} \\ = \frac{1}{n^{3} - n} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 2. & Tentukanlah nilai n yang memenuhi \\ persamaan berikut \\ a . \frac{n! 3!}{6! (n - 3)!} = \frac{33}{4} \\ b . \frac{3}{8!} - \frac{2}{7!} + \frac{1}{6!} = \frac{5 n + 3}{8!} \\ c . \frac{7!}{5! 2!} : \frac{10!}{5! 5!} = 1 : 4 n \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & \frac{n! 3!}{6! (n - 3)!} = \frac{33}{4} \\ \Leftrightarrow \frac{n (n - 1) (n - 2) ⧸ (n - 3)! . ⧸ 3!}{6.5 . ⧸ 4 . ⧸ 3! ⧸ (n - 3)!} = \frac{33}{⧸ 4} \\ \Leftrightarrow n (n - 1) (n - 2) = 33.6 .5 = 11.10 .9 \\ \Leftrightarrow n (n - 1) (n - 2) = 11. (11 - 1) . (11 - 2) \\ \Leftrightarrow n = 11 \\ b . & \frac{3}{8!} - \frac{2}{7!} + \frac{1}{6!} = \frac{5 n + 3}{8!} \\ \Leftrightarrow \frac{3 - 2.8 + 56}{8!} = \frac{5 n + 3}{8!} \\ \Leftrightarrow \frac{43}{8!} = \frac{5 n + 3}{8!} \\ \Leftrightarrow 43 = 5 n + 3 \Leftrightarrow 5 n = 40 \Leftrightarrow n = 8 \\ c . & \frac{7!}{5! 2!} : \frac{10!}{5! 5!} = 1 : 4 n \\ \Leftrightarrow 4 n = \frac{5! 2! 10!}{7! 5! 5!} \\ \Leftrightarrow 4 n = \frac{⧸ 5! 2! 10.9 .8 . ⧸ 7!}{⧸ 7! 5! ⧸ 5!} \\ \Leftrightarrow n = 3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 3. & Tentukanlah nilai n yang memenuhi \\ persamaan berikut \\ a . P (n, 2) = 42 \\ b . 7. P (n, 3) = 6. P (n + 1, 3) \\ c . 3. P (n, 4) = P (n - 1, 5) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & P (n, 2) = 42 \\ \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} = 42 \\ \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} = \frac{n \times (n - 1) \times (n - 2)!}{(n - 2)!} = 42 \\ \Leftrightarrow n \times (n - 1) = 7.6 = 7. (7 - 1) \\ \Leftrightarrow n = 7 \\ b . & 7. P (n, 3) = 6. P (n + 1, 3) \\ \frac{7. n!}{(n - 3)!} = \frac{6 (n + 1)!}{(n + 1 - 3)!} \\ \frac{7 ⧸ n!}{(n - 3)!} = \frac{6. (n + 1) . ⧸ n!}{(n - 2)!} \\ \Leftrightarrow \frac{7}{⧸ (n - 3)!} = \frac{6 n + 6}{(n - 1) ⧸ (n - 3)!} \\ \Leftrightarrow 7 (n - 2) = 6 n + 6 \\ \Leftrightarrow 7 n - 6 n = 6 + 14 \Leftrightarrow n = 20 \\ c . & 3. P (n, 4) = P (n - 1, 5) \\ \Leftrightarrow \frac{3. n!}{(n - 4)!} = \frac{(n - 1)!}{(n - 1 - 5)!} \\ \Leftrightarrow \frac{3. n . ⧸ (n - 1)!}{(n - 4)!} = \frac{⧸ (n - 1)!}{(n - 6)!} \\ \Leftrightarrow \frac{3 n}{(n - 4) (n - 5) . ⧸ (n - 6)!} = \frac{1}{⧸ (n - 6)!} \\ \Leftrightarrow 3 n = (n - 4) (n - 5) \\ \Leftrightarrow 3 n = n^{2} - 9 n + 20 \\ \Leftrightarrow n^{2} - 12 n + 20 = 0 \\ \Leftrightarrow (n - 2) (n - 10) = 0 \\ \Leftrightarrow n = 2 tidak memenuhi atau n = 10 \\ jadi, n = 10 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 4. & Jika 10 siswa akan dipilih 4 orang untuk \\ menjadi ketua kelas, wakil, sekretaris dan \\ seorang bendahara, maka banyak susunan \\ terjadi adalah . . . . \\ Jawab : \\ Penyusunan memerlukan urutan \\ maka perlu digunakan permutasi, yaitu : \\ P (n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} \\ \Leftrightarrow P (10, 4) = \frac{10!}{(10 - 4)!} = \frac{10!}{6!} \\ \Leftrightarrow = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times ⧸ 6!}{⧸ 6!} \\ \Leftrightarrow = 5040 \end{array}$

$\begin{array}{ll} 5. & Jika dari kota A ke kota B terdapat 3 jalur. \\ Dan dari kota B ke kota C terdapat 4 jalur, \\ serta dari kota C sampai ke kota D ada 5 jalur \\ Banyak jalan dari kota A ke kota D adalah . . . . \\ Jawab : \\ Jalur yang ada semuanya berbeda \\ maka perlu digunakan permutasi, yaitu : \\ P (n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} \\ \begin{aligned} a & dari A ke B ada 3 jalur cukup pilih satu, maka \\ ∙ P (3, 1) = \frac{3!}{(3 - 1)!} = \frac{3!}{2!} = 3 \\ b & dari B ke C ada 4 jalur cukup pilih satu, maka \\ ∙ P (4, 1) = \frac{4!}{(4 - 1)!} = \frac{4!}{3!} = 4 \\ c & dari C ke D ada 5 jalur cukup pilih satu, maka \\ ∙ P (5, 1) = \frac{5!}{(5 - 1)!} = \frac{5!}{4!} = 5 \end{aligned} \\ Jadi, total jalur yang dapat di lalui dari A sampai D adalah : \\ P (3, 1) \times P (4, 1) \times P (5, 1) = 3 \times 4 \times 5 = 60 \end{array}$

Notasi Faktorial, Permutasi dan Kombinasi

$C. Faktorial$

Perhatikanlah tabel berikut yang berisi perkalian bilangan terurut pada bilangan asli

$\begin{matrix} n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times (n - 2) \times (n - 1) \times n \\ atau \\ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ dengan \\ (n + 1)! = (n + 1) \times n! untuk n \geq 1, n \in N \\ serta didefinisikan bahwa \\ 0! = 1! = 1 \\ CONTOH \\ 0! = 1 \\ 1! = 1 \\ 2! = 2 \times 1 = 2 \\ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \\ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \\ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \\ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \\ ⋮ \\ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \end{matrix}$

$CONTOH SOAL$

$\begin{array}{ll} 1. & Tentukanlah nilai \\ \begin{array}{lll} a . 3! & e . \frac{6!}{4!} & i . \frac{2!}{0!} + \frac{3!}{1!} + \frac{4!}{2!} \\ b . 5! & f . \frac{10!}{6!} & j . \frac{2!}{0!} \times \frac{3!}{1!} + \frac{4!}{2!} \\ c . 0! + 1! + 2! + 3! & g . \frac{7!}{3! \times 4!} & k . \frac{3 \times 4!}{3! (5! - 5!)} \\ d . (2!)! + (3!)! & h . \frac{13!}{12! + 12!} & l . \frac{3! + 5! + 7!}{4! + 6!} \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{matrix} a . 3! = 3.2 .1 = 6 \\ b . 5! = 5.4 .3 .2 .1 = 120 \\ \begin{aligned} c . 0! + 1! + 2! + 3! & = 1 + 1 + 2 + 6 \\ = 10 \end{aligned} \\ \begin{aligned} d . (2!)! + (3!)! & = 2! + 6! \\ = 2 + 720 \\ = 722 \end{aligned} \\ e . \frac{6!}{4!} = \frac{720}{24} = 30 atau \frac{6!}{4!} = \frac{6.5 . ⧸ 4 . ⧸ 3 . ⧸ 2 . ⧸ 1}{⧸ 4 . ⧸ 3 . ⧸ 2 . ⧸ 1} = 6.5 = 30 \\ f . \frac{10!}{6!} = \frac{10.9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 .2 .1}{6.5 .4 .3 .2 .1} = . . . . (silahkan diselesaikan sendiri) \\ g . \frac{7!}{3! \times 4!} = \frac{7.6 .5 .4 .3 .2 .1}{(3.2 .1) \times (4.3 .2 .1)} = . . . . (silahkan juga diselesaikan sendiri) \\ ⋮ \\ (silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri) \end{matrix} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 2. & Sederhanakanlah \\ \begin{array}{lll} a . \frac{n!}{(n - 1)!} & e . \frac{1}{n!} + \frac{n}{(n + 1)!} - \frac{1}{(n - 1)!} \\ b . \frac{(n + 2)!}{(n + 1)!} & f . \frac{(4 n)!}{(4 n + 1)!} + \frac{(4 n)!}{(4 n - 1)!} \\ c . \frac{(2 n)!}{(2 n + 1)!} & g . \frac{1}{n} - \frac{n!}{(n - 1) . (n - 2)!} \\ d . \frac{(n + 2)!}{(n^{2} + 3 n + 2)} & h . 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5! + . . . + n . n! \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{matrix} a . \frac{n!}{(n - 1)!} = \frac{n . (n - 1)!}{(n - 1)!} = n \\ b . \frac{(n + 2)!}{(n + 1)!} = \frac{(n + 2) . (n + 1)!}{(n + 1)!} = n + 2 \\ c . \frac{(2 n)!}{(2 n + 1)!} = \frac{(2 n)!}{(2 n + 1) . (2 n)!} = \frac{1}{2 n + 1} \\ d . \frac{(n + 2)!}{n^{2} + 3 n + 2} = \frac{(n + 2)!}{(n + 2) . (n + 1)} = \frac{(n + 2) . (n + 1) . n!}{(n + 2) . (n + 1)} = n! \\ ⋮ \\ (silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri sebagai latihan) \\ ⋮ \\ \begin{aligned} h . & 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5! + . . . + n . n! \\ = (2 - 1) .1! + (3 - 1) .2! + (4 - 1) .3! + (5 - 1) .4! + . . . + (n + 1 - 1) . n! \\ = 2.1! + 3.2! + 4.3! + 5.4! + . . . + (n + 1) . n! - 1! - 2! - 3! - 4! - . . . - n! \\ = 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + (n + 1)! - (1! + 2! + 3! + 4! + . . . + n!) \\ = (n + 1)! - 1 \end{aligned} \end{matrix} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 3. & Sederhanakanlah bentuk penjumlahan berikut \\ \frac{3}{1! + 2! + 3!} + \frac{4}{2! + 3! + 4!} + \frac{5}{3! + 4! + 5!} + \dots + \frac{100}{98! + 99! + 100!} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Perhatikan & bahwa \\ \frac{3}{1! + 2! + 3!} = \frac{3}{1 + 2 + 6} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{2}{1 \times 2 \times 3} = \frac{2}{3!} = \frac{3 - 1}{3!} = \frac{3}{3!} - \frac{1}{3!} = \frac{3}{2! \times 3} - \frac{1}{3!} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \\ sehingga \\ \frac{3}{1! + 2! + 3!} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \\ \frac{4}{2! + 3! + 4!} = \dots = \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} \\ \frac{5}{3! + 4! + 5!} = \dots = \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} \\ ⋮ \\ \frac{100}{98! + 99! + 100!} = \dots = \frac{1}{99!} - \frac{1}{100!} \\ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ = \frac{1}{2!} - \frac{1}{100!} \end{aligned} \end{array}$

$D. Permutasi dan Kombinasi$

$\begin{array}{lll} Istilah & Permutasi & Kombinasi \\ Definisi & \begin{aligned} Permutasi r unsur dari n unsur adalah \\ banyaknya kemungkinan urutan r buah \\ unsur yang dipilih dari n unsur \\ yang tersedia . Tiap unsur berbeda dan \\ r \leq n \end{aligned} & \begin{aligned} Kombinasi r unsur dan n unsur adalah \\ banyaknya kemungkinan tidak terurut \\ dalam pemilihan r unsur yang diambil \\ dari n unsur yang tersedia . Tiap unsur \\ berbeda dan r \leq n \end{aligned} \\ Tipe & Bentuk khusus kaidah perkalian & Bentuk khusus permutasi \\ Notasi & _{n} P_{r}, P_{n}^{r}, atau P (n, k) & _{n} C_{r}, C_{r}^{n}, (\binom{n}{r}), atau C (n, r) \\ Rumus & P (n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} & (\binom{n}{r}) = C (n, r) = \frac{n!}{r! (n - r)!} \end{array}$

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut

$\begin{array}{ccc} Permutasi & Permutasi \\ dengan unsur yang sama & Siklis \\ \begin{aligned} P (n; n_{1}, n_{2}, n_{3}, . . ., n_{k}) \\ = \frac{P (n, n)}{n_{1}! n_{2}! n_{3}! . . . n_{k}!} \\ = \frac{n!}{n_{1}! n_{2}! n_{3}! . . . n_{k}!} \end{aligned} & \begin{aligned} {\begin{cases} Siklis & = (n - 1)! \\ Kalung & = \frac{(n - 1)!}{2} \end{cases} \end{aligned} \end{array}$

dan

$\begin{array}{cc} Kombinasi & Kombinasi dalam \\ dengan pengulangan & Binom Newton \\ \begin{aligned} C (n + r - 1, r) \\ = C (n + r - 1, n - 1) \\ (\binom{n + r - 1}{r}) \\ = (\binom{n + r - 1}{n - 1}) \end{aligned} & \begin{aligned} (x + y)^{n} \\ = \sum_{k = o}^{n} (\binom{n}{r}) x^{n - k} y^{k} \\ Koefisien untuk \\ x^{n - k} y^{k}, yaitu \\ suku ke - (k + 1) \\ adalah (\binom{n}{r}) \end{aligned} \end{array}$

serta

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Jika di suatu kelas terdapat 4 orang akan dipilih 3 orang \\ untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara . \\ Tentukanlah banyak cara memilih 3 orang tersebut? \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Karena ada 4 orang, misal A, B, C, dan D yang \\ akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi \\ ketua, sekretaris, dan bendahara, maka kita tinggal \\ buat permutasinya, yaitu posisi ketua dapat dipilih \\ dengan 4 cara, sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara, \\ dan bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. atau \\ P (4, 3) = \frac{4!}{(4 - 3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} = 24 cara \\ Berikut ilustrasinya dengan diagram pohon \end{aligned} \end{array}

{\begin{cases} A & {\begin{cases} B & {\begin{cases} C & \to A B C \\ D & \to A B D \end{cases} \\ C & {\begin{cases} B & \to A C B \\ D & \to A C D \end{cases} \\ D & {\begin{cases} B & \to A D B \\ C & \to A D C \end{cases} \end{cases} \\ B & {\begin{cases} A & {\begin{cases} C & \to B A C \\ D & \to B A D \end{cases} \\ C & {\begin{cases} A & \to B C A \\ D & \to B C D \end{cases} \\ D & {\begin{cases} A & \to B D A \\ C & \to B D C \end{cases} \end{cases} \\ C & {\begin{cases} A & {\begin{cases} B & \to C A B \\ D & \to C A D \end{cases} \\ B & {\begin{cases} A & \to C B A \\ D & \to C B D \end{cases} \\ D & {\begin{cases} A & \to C D A \\ B & \to C D B \end{cases} \end{cases} \\ D & {\begin{cases} A & {\begin{cases} B & \to D A B \\ C & \to D A C \end{cases} \\ B & {\begin{cases} A & \to D B A \\ C & \to D B C \end{cases} \\ C & {\begin{cases} A & \to D C A \\ B & \to D C B \end{cases} \end{cases} \end{cases}

\begin{array}{ll} 2. & Seorang anak akan mengambil 4 buah bola dari \\ 10 warna yang berbeda. Berapakah banyak \\ kombinasi warna yang berbeda yang diambil \\ oleh Andi \\ Jawab : \\ \begin{aligned} n = 10 & dan r = 4 \\ C (n, r) & = \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ C (10, 4) & = \frac{10!}{4! (10 - 4)!} \\ = \frac{10!}{4! \times 6!} \\ = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 6!} \\ = 420 kombinasi warna bola berbeda \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Berapa banyak cara dapat memilih untuk \\ 3 perwakilan dari 10 anggota suatu \\ kelompok, jika \\ a. tanpa perlakuan khusus \\ b. salah seorang harus terpilih \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & Dengan tanpa perlakuan \\ memilih 3 orang dari 10 orang adalah : \\ C (10, 3) = \frac{10!}{3! (10 - 3)!} = \frac{10!}{3! \times 7!} = 120 \\ b . & Dengan perlakuan 1 orang terpilih \\ (1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan) \\ memilih 2 orang dari 9 orang adalah : \\ C (9, 2) = \frac{9!}{2! (9 - 2)!} = \frac{9!}{2! \times 8!} = 36 \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku \\ matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku \\ ekonomi pada suatu lemari buku yang \\ di dalamnya terdapat 10 buku matematika, \\ 11 buku fisika dan 12 buku ekonomi \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Banyak & cara pemilihan tersebut adalah : \\ = C (10, 2) \times C (11, 3) \times C (12, 4) \\ = \frac{10!}{2! \times 8!} \times \frac{11!}{3! \times 8!} \times \frac{12!}{4! \times 8!} \\ = \frac{10 \times 9}{1 \times 2} \times \frac{11 \times 10 \times 9}{1 \times 2 \times 3} \times \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \\ = 3675375 \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Johnaes, Kastolan, & Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial KBK 2004. Jakarta: YUDHISTIRA.
Kartini, Suprapto, Subandi, & Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.

Vektor di Dimensi Tiga

$A. Vektor Di Ruang$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

\begin{array}{cc} Nama & R^{3} \\ Vektor Satuan & Ruang (Bidang XYZ) \\ {\hat{e}}_{\bar{a}} = \frac{\bar{a}}{| \bar{a} |} & {\begin{cases} i = & vektor satuan \\ yang searah sumbu X \\ j = & Vektor satuan \\ yang searah sumbu Y \\ k = & Vektor satuan \\ searah sumbu Z \end{cases} \\ Vektor nol & \vec{O} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \\ Vektor posisi & \vec{O P} = \vec{p} = (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) = p_{1} \bar{i} + p_{2} \bar{j} + p_{3} \bar{j} \\ Besar Vektor & \vec{O P} = \sqrt{p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2}} \end{array}

B. Operasi Vektor

1. Sifat-Sifat Aljabar Vektor

\begin{array}{lll} 1. & Komutatif penjumlahan & \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \\ 2. & Asosiatif penjumlahan & (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \\ 3. & Elemen Identitas & \vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a} \\ 4. & Invers Penjumlahan & \vec{a} + (- \vec{a}) = (- \vec{a}) + \vec{a} = \vec{0} \\ 5. & Perkalian dengan skalar & k (l \vec{a}) = (k l) \vec{a} \\ k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b} \\ k (\vec{a} - \vec{b}) = k \vec{a} - k \vec{b} \\ 6. & \begin{aligned} Jika A, B, dan C segaris \\ (Kolinear) \end{aligned} & {\begin{cases} \vec{A B} = k \vec{B C} \\ \vec{A C} = k \vec{A B} \\ d l l \end{cases} \end{array}

\begin{array}{cc} Vektor & Contoh \\ \vec{z} = a \vec{i} + b \vec{j} + c \vec{k} & \begin{aligned} diketahui \vec{p} = \vec{i} - 2 \vec{j} + 2 \vec{k} \\ maka pangjang vektor \vec{p} adalah \\ | \vec{p} | = \sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2}} \\ = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \end{aligned} \\ \begin{aligned} Vektor satuan dari \vec{p} adalah \\ {\vec{e}}_{\vec{p}} = \frac{\vec{p}}{| \vec{p} |} = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})}{3} \\ = \frac{1}{3} (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ - \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui vektor-vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \\ \vec{b} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}), dan \vec{c} = (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}), \\ tentukanlah hasil dari \\ a . \vec{a} + \vec{b} \\ b . 6 \vec{a} + 2 \vec{b} \\ c . 2 \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} \\ d . \frac{1}{2} \vec{c} - \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a & \vec{a} + \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 2 + (- 3) \\ 1 + (- 5) \\ (- 4) + 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 2 - 3 \\ 1 - 5 \\ - 4 + 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}) \\ b . & 6 \vec{a} + 2 \vec{b} = 6 (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + 2 (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 18 - 6 \\ 6 - 10 \\ - 24 + 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 12 \\ - 4 \\ - 20 \end{array}) \\ c . & 2 \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} \\ 2 (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 4 + 3 + 7 \\ 2 + 5 + 0 \\ - 8 - 2 + 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 17 \\ 7 \\ - 6 \end{array}) \\ d . & \frac{1}{2} \vec{c} - \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} = \dots \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Diketahui vektor-vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \\ tentukanlah | \vec{a} | \\ Jawab : \\ \begin{aligned} | \vec{a} | & = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + (- 4)^{2}} \\ = \sqrt{4 + 1 + 16} \\ = \sqrt{21} \end{aligned} \end{array}

2. Perkalian Skalar Dua Vektor

Konsep perkalian skalar dua buah vektor di ruang sama persis dengan konsep di bidang, yaitu:

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ

Misalkan diketahui

\begin{aligned} \vec{a} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}), \vec{b} = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}), maka \\ \vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}) \\ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} \end{aligned}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui vektor-vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \\ \vec{b} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}), dan \vec{c} = (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}), \\ tentukanlah hasil dari \\ a . \vec{a} \cdot \vec{b} \\ b . \vec{a} \cdot \vec{c} \\ c . \vec{b} \cdot \vec{c} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a & \vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) \\ = (2) (- 3) + (1) (- 5) + (- 4) (2) \\ = - 6 - 5 - 8 = - 19 \\ b & \vec{a} \cdot \vec{c} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \\ = (2) (7) + (1) (0) + (- 4) (4) \\ = 14 + 0 - 16 = - 2 \\ c & \vec{b} \cdot \vec{c} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \\ = (- 3) (7) + (- 5) (0) + (2) (4) \\ = - 21 + 0 + 8 = - 13 \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Tentukanlah nilai t jika \\ \vec{p} = 3 \bar{i} + t \bar{j} + \bar{k} dan \vec{p} \cdot \vec{p} = 13 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{p} = 13 \\ \vec{p} \cdot \vec{p} = | \vec{p} | | \vec{p} | \cos 0^{\circ} = 13, \\ ingat bahwa ∠ (\vec{p}, \vec{p}) = 0^{\circ} \\ dan nilai \cos 0^{\circ} = 1, \\ maka \\ \vec{p} \cdot \vec{p} = {| \vec{p} |}^{2} .1 = 13 \Leftrightarrow {| \vec{p} |}^{2} = 13 \\ \Leftrightarrow {(\sqrt{3^{2} + t^{2} + 1^{2}})}^{2} = 13 \\ \Leftrightarrow 3^{2} + t^{2} + 1^{2} = 13 \\ \Leftrightarrow 9 + t^{2} + 1 = 13 \\ \Leftrightarrow t^{2} = 13 - 9 - 1 = 10 \\ \Leftrightarrow t^{2} = 3 \\ \Leftrightarrow t = \pm \sqrt{3} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Diketahui \vec{p} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{q} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}) \\ Jika \vec{p} tegak lurus \vec{q} maka \\ tentukanlah nilai t \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa \\ \vec{p} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{q} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}) \\ dengan \vec{p} dan \vec{q} tegak lurus \\ artinya ∠ (\vec{p}, \vec{q}) = 90^{\circ} . Sehingga \\ nilai \cos 90^{\circ} = 0 \\ maka \\ \vec{p} \cdot \vec{q} = | \vec{p} | | \vec{q} | \cos θ \\ \vec{p} \cdot \vec{q} = | \vec{p} | | \vec{q} | \cdot 0 = 0 \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}) = 0 \\ \Leftrightarrow (- 2) (4) + (1) (- 1) + (3) (t) = 0 \\ \Leftrightarrow - 8 - 1 + 3 t = 0 \\ \Leftrightarrow 3 t = 9 \\ \Leftrightarrow t = 3 \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Persektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT TIGA SERANGKAI MANDIRI.