Contoh Soal Numerasi Lanjutan Persiapan Asesmen Nasional (AN)

$\text{CONTOH SOAL 6}$.

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Sebuah titik (x,y) diambil secara acak dari dalam persegi panjang yang terbentuk dari titik (0,0), (4,0), (4,1) dan (1,0). Probabilitas x<y adalah ... .

$\begin{array}{l}\\ \text{A}.& {\displaystyle \frac{1}{8}}& & & \text{D}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \\ \text{B}.& {\displaystyle \frac{1}{4}}& \text{C}.& {\displaystyle \frac{3}{8}}& \text{E}.& {\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 6}$.

Jika gambar diperjelas dengan kertas berpetak akan tampak dengan jelas luasnya, yaitu

Tampak Jelas bahwa luas daerah yang dibatasi oleh  $f(x)=y=x$ dengan $x<y$ adalah ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Perhatikan ilustrasi berikut

Dan jelas juga bahwa total luas persegi pajang di atas adalah 4 satuan luas serta luas daerah. Sehingga probabilitas bahwa titik (x,y) yang dipilih secara acak pada persegi panjang di atas dengan x<y adalah:

$\begin{array}{rl}\text{Probabilitas}& ={\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}$.

Jadi, opsi jawaban di atas adalah A.

$\text{CONTOH SOAL 7}$.

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Sebuah titik P akan dipilih secara acak dari bagian dalam sebuah segilima dengan koordinat titik sudut  $A(0,2)$, $B(4,0)$, $C(2\pi +1,1)$, $C(2\pi +1,4)$, dan  $E(0,4)$. Probabilitas bahwa  $\mathrm{\angle }APB$  sebuah sudut tumpul adalah ... .

$\begin{array}{l}\\ \text{A}.& {\displaystyle \frac{1}{5}}& & & \text{D}.& {\displaystyle \frac{3}{8}}\\ \\ \text{B}.& {\displaystyle \frac{1}{4}}& \text{C}.& {\displaystyle \frac{5}{16}}& \text{E}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 7}$.

Sebelumnya perlu dingat bahwa sudut tumpul adalah sudut yang lebih besar dari  ${90}^{\circ }$. Selanjutnya perhatikan gambar berikut

Gambar di atas menunjukkan sebuah titik P dengan  $\mathrm{\angle }APB={90}^{\circ }$. Dalam hal ini titik P terletak pada keliling dari setengah lingkaran dengan pusat lingkaran (2,1) terletak pada ruas garis AB dengan jari-jari

$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\end{array}$. Dantitik yang berada di luar setengah lingkaran tetapi masih dalam segilima ABCDE tersebut akan memiliki  $\mathrm{\angle }APB<{90}^{\circ }$ dan titik-tik yang berada di dalam setengah lingkrang ini akan memiliki sudut  $\mathrm{\angle }APB>{90}^{\circ }$. Sehingga untuk menentukan probabilitas $\mathrm{\angle }APB$ tumpul adalah sama saja kita menentukan probabilitas untuk $\mathrm{\angle }APB>{90}^{\circ }$, yaitu:

$\begin{array}{rl}\text{Probabilitasnya}& ={\displaystyle \frac{\mathbf{\text{Luas setengah lingkaran}}}{\mathbf{\text{Luas segilima}}ABCDE}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}\pi \times {\left(\sqrt{5}\right)}^2}}{(2\pi +1)\times 4-\left({\displaystyle \frac{1}{2}\times 2\times 4}\right)}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}\left(5\pi \right)}}{8\pi }}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{16}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 8}$.

Gambar 0, 1, 2, dan 3 berturut-turut terdiri atas 1, 5, 13, dan 25 persegi satuan sebagaimana ilustrasi gambar berikut

Jika pola di atas berlanjut, maka persegi satuan pada gambar ke-100 adalah ... .

$\begin{array}{l}\\ \text{A}.& 10.401& & & \text{D}.& 39.801\\ \\ \text{B}.& 19.801& \text{C}.& 20.201& \text{E}.& 40.801\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 8}$.

Untuk memudahkan penghitungan persegi kecil, ada baiknya kita susun menjadi susunan persegi agak besar dengan melengkapkan persegi-persegi kecil dikeempat pojoknya sebagaimana ilustrasi berikut

Setelah ditambah kotak warna pink, maka perhitungan jumlah kotak warna hijau pada gambar ke-n akan semakin mudah, yaitu:

mulai dari gambar pertama atau suku ke-0, maka 

$\begin{array}{rl}{U}_n& =(2n+1{)}^2-4.{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\\ & =4n^2+4n+1-2n^2-2n\\ & =2n^2+2n+1\\ \text{ma}& \text{ka suku ke-100 (gambar ke-100)}\\ U_{100}& ={2.100}^2+2.100+1\\ & =20.201\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 9}$.

Pada persegi panjang ABCD diketahui AD = 1, Titik P berada di ruas garis AB. Ruas garis DB dan DP membagi tiga sudut $\mathrm{\angle }ADC$, maka keliling $△BDP$ adalah ... .

$\begin{array}{l}\\ \text{A}.& 3+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}& & & \text{D}.& {\displaystyle \frac{3+3\sqrt{5}}{2}}\\ \\ \text{B}.& 2+{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}& \text{C}.& 2+2\sqrt{2}& \text{E}.& 2+{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 9}$.

Karena $\overline{DB}\text{dan}\overline{DP}$ membagi sudut ADC menjadi tiga bagian yang sama besar, maka 

$\mathrm{\angle }CBD=\mathrm{\angle }BDP=\mathrm{\angle }PDA={30}^{\circ }$,

maka

$\begin{array}{rl}AP& =AD\tan \mathrm{\angle }PAD=1.\tan {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}\\ DP& ={\displaystyle \frac{AD}{\cos {30}^{\circ }}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}}}}\\ AB& =AD\mathrm{\angle }BDA=1.\tan {60}^{\circ }=1.\sqrt{3}=\sqrt{3}\\ DB& =\sqrt{D{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{1+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}\\ & =\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\end{array}$.

Sehingga keliling  

$\begin{array}{rl}△BDP& =BD+DP+PB\\ & =2+{\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{3}+(\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}})}\\ & =2+{\displaystyle \frac{4}{3}\sqrt{3}}\end{array}$.

Jadi, jawaban yang tepat adalah opsi B.

$\text{CONTOH SOAL 10}$.

Manakah di antara kerucut berikut ini yang terbentuk dari sektor lingkaran bersudut ${252}^{\circ }$ dan jari-jari 10 dengan cara menyambungkan kedua sisinya yang lurus?

A.  

B. 

. 

C. 

 

D. 

E. 

$\text{SOLUSI SOAL 10}$.

Keliling lingkaran yang bagiannya terpotong adalah  $2\pi \times 10=20\pi$ dan bagian dari luas lingkaran yang akan menjadi selimut kerucut adalah:

${\displaystyle \frac{{252}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\times 20\pi =14\pi }$. Perhatikan gambar berikut

Sehingga keliling lingkaran sebagai alas kerucut adalah $14\pi$. 

Dari fakta ini, maka lingkaran sebagai alas kerucut akan memiliki jari-jari:

$\begin{array}{rl}{L}_{⨀\text{alas}}& =2\pi r\\ r& ={\displaystyle \frac{L_{⨀\text{alas}}}{2\pi }}\\ & ={\displaystyle \frac{14\pi }{2\pi }}\\ & =7\end{array}$

Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah gambar opsi C.

DAFTAR PUSTAKA

1. Faires, J. Douglas. 2006. Langkah Pertama Menuju Olimpiade Matematika Menggunakan Kompetisi Matematika Amerika, ed. ke-3. Terjemahan: Tim Penerjemah. Pakar Raya, Bandung. 307 hal.

Mencoba Lebih Dekat dengan Numerasi AKM untuk Siswa Setingkat SMA/MA atau Sederajat pada Asesmen Nasional (AN)

 A. Apa itu AKM

AKM adalah singkatan dari Asesmen Kompetensi Minimum merupakan penilaian kompetensi mendasar yang diperlukan oleh semua murid untuk mampu mengembangkan kapasitas diri dan berpartisipasi positif  pada masyarakat.

Ada 2 macam kompetensi mendasar yang akan diukur pada AKM ini, yaitu: literasi membaca dan literasi matematika (numerasi). Baik literasi membaca maupun literasi matematika/numerasi, kompetensi mendasar yang akan dinilai mencakup

• keterampilan berpikir logis-sistematis
• keterampilan bernalar dengan konsep yang ada
• keterampilan mengolah data dan fakta dari informasi yang ada.

AKM ini dimaksudkan untuk mengukur kompetensi secara mendalam, tidak sekedar penguasaan konten 

B. Numerasi

Numerasi adalah kemampuan berpikir menggunakan konsep, prosedur, fakta, dan alat matematika untuk menyelesaikan masalah sehari-hari pada berbagai jenis konteks yang relevan untuk individu sebagai warga negara Indonesia dan dunia. Selanjutnya yang masuk kategori numerasi di sini adalah: bilangan, geometri dan pengukuran, aljabar, data, ketidakpastian.

C. Karakter Soal Numerasi

Sebagaimana telah diketahui di atas, dalam penyelesaian permasalahan (problem solving) dari soal numerasi dibutuhkan kecermatan dalam menemukan konsep, prosedur serta fakta dari permasalahan kontektual yang diberikan sehingga proses penyelesesaian dengan konsep dan prosedur akan lebih efektif tentunya dengan ditunjang tidak mudah apriori ketika menemukan permasalah matematis.

D. Perbedaan Soal UN dan AKM

$\begin{array}{|lll|}\hline \mathbf{\text{Aspek}}& \mathbf{\text{UN}}& \mathbf{\text{AKM}}\\ \begin{array}{rl}& \text{Format}\\ & \text{soal}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{PG dan isian}\\ & \text{singkat}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{PG, PG kompleks,}\\ & \text{menjodohkan, isian}\\ & \text{singkat, dan uraian}\end{array}\\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{|lll|}\hline \mathbf{\text{Aspek}}& \mathbf{\text{UN}}& \mathbf{\text{AKM}}\\ \begin{array}{rl}& \text{Teks}\\ & \text{untuk}\\ & \text{stimulus}\\ & \text{soal}\\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Panjang 2-3 paragraf}\\ & (100\text{kata}),\text{sedikit}\\ & \text{ilustrasi. Hanya 1}\\ & \text{teks untuk}\\ & \text{menjawab satu soal}\\ & \\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Panjang bergradasi}\\ & \text{sesuai kelas. Di kelas}\\ & \text{11 panjang teks}\\ & \text{sampai 700 kata}.\\ & \text{Teks disertai ilustrasi}\\ & \text{dan infografis},\\ & \text{terdapat soal-soal}\\ & \text{yang memerlukan}\\ & \text{pemahaman multiteks}\end{array}\\ \begin{array}{rl}& \text{Format}\\ & \text{jawaban}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Semua jawaban}\\ & \text{tunggal}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Disediakan soal}\\ & \text{dengan jawaban}\\ & \text{terbuka}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL NUMERASI}$.

Berikut akan diberiakan 2 contoh soal beserta cara penyelesaiannya 

sumber soal diperoleh dari tangkapan layar kumpulan soal saat simulasi untuk siswa setingkat SMA/MA

$\text{CONTOH SOAL 1}$.

$\text{SOLUSI SOAL 1}$.

Jika dari ilustrasi gambar pada soal kita ilustrasikan dengan gambar secara geometri akan membantu kita dalam menentukan langkah penyelesaian selanjutnya, berikut ilustrasi geometrisnya

Dari gambar di atas, jika kita lengkapi fakta-fakta, maka ilustrasi geometris di atas dapat diperjelas dengan bentuk sebagaimana berikut

Setelah kita tandai kedua sisi pengapit siku-sikunya adalah Y  dan  ( X + 2460) m, maka

$\begin{array}{rl}Y& =Y\\ 2460\times \tan {60}^{\circ }& =(x+2460)\times \tan {30}^{\circ }\\ 2460\times \left(\sqrt{3}\right)& =(x+2460)\times \left({\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}\right)\\ 2460\times 3& =x+2460\\ 7380& =x+2460\\ x& =7380-2460\\ & =4920\end{array}$.

Maka tinggi letusan awan panas gunung tersebut adalah 4920 atau pilihan jawaban yang sesuai adalah opsi E.

$\text{CONTOH SOAL 2}$.

$\text{SOLUSI SOAL 2}$.

Ilustrasi berupa susunan lingkaran seperti terlihat pada soal di atas jika di modelkan secara matematis adalah sebagaimana susunan bilangan berikut

Tampak bahwa susunan bilangan di atas berpola meningkat dengan selisih tetap pada tingkat ke-2, maka kita dapat menggunakan barisan aritmetika tingkat dua, yaitu dengan rumus suku ke-n adalah  $U_n=a{n}^2+bn+c$.

$\begin{array}{rl}\text{Dik}& \text{etahu bahwa}:\\ U_1& =3\\ U_2& =6\\ U_3& =10\\ U_4& =15\\ ⋮& ⋮\end{array}$.

$\begin{array}{rl}\text{Sel}& \text{anjutnya kita uraikan}\\ U_1& =a{.1}^2+b.1+c=a+b+c=3\\ U_2& =a{.2}^2+b.2+c=4a+2b+c=6\\ U_3& =a{.3}^2+b.3+c=9a+3b+c=10\\ U_4& =a{.4}^2+b.4+c=16a+4b+c=15\\ ⋮& ⋮\end{array}$.

Selanjutnya kita gunakan teknik eliminasi karena bentuk persamaan di atas berbentuk persamaan linier tiga variabel, a, b, dan c, yaitu:

$\begin{array}{r}\\ U_2& =4a+2b+c=6\\ U_1& =a+b+c=3& -\\ U_2-U_1& =3a+b=3.........(1)\end{array}$.

dan

$\begin{array}{r}\\ U_3& =9a+3b+c=10\\ U_2& =4a+2b+c=6& -\\ U_3-U_2& =5a+b=4.........(2)\end{array}$.

sehingga

$\begin{array}{r}\\ (2)& 5a+b=4\\ (1)& 3a+b=3& -\\ (2)-(1)& 2a=1\\ & \\ \text{maka}& a={\displaystyle \frac{1}{2}.........(3)}\end{array}$.

$\begin{array}{r}\\ (2)& 5a+b=4& |\times 2|& 10a+2b=8\\ (3)& 2a=1& |\times 5|& 10a=5\\ & & & 2b=3\\ & & & b={\displaystyle \frac{3}{2}.........(4)}\end{array}$.

Selanjutnya dengan metode substitusi dari persamaan (3) dan (4), maka

$\begin{array}{rl}& a+b+c=3\\ \iff & \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)+c=3\\ \iff & {\displaystyle \frac{1+3}{2}+c=3}\\ \iff & 2+c=3\\ \iff & c=3-2\\ \iff & c=1\end{array}$.

$\begin{array}{rl}\text{Dar}& \text{i persamaan-persamaan di atas didapat}\\ U_n& =a{n}^2+bn+c\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}{n}^2+\frac{3}{2}n+1}\\ \text{Seh}& \text{ingga suku ke-7, cukup dengan}{U}_7,\text{yaitu}\\ U_7& ={\displaystyle \frac{1}{2}(7{)}^2+\frac{3}{2}(7)+1}\\ & ={\displaystyle \frac{49}{2}+\frac{21}{2}+1}\\ & ={\displaystyle \frac{70}{2}+1}\\ & =35+1\\ & =36\end{array}$.

Jadi, jumlah bola pada susunan ke-7 adalah 36 buah.

$\text{CONTOH SOAL 3}$.

$\begin{array}{l}\\ & \text{Perhatikalah dua ilustrasi gambar berikut}\end{array}$

Gambar (1)

Gambar (2)

$\begin{array}{l}\\ .& \text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{jalur terpendek dari titik A ke B}\\ & \text{pada gambar (1)}\\ & \text{b}.\text{jalur terpendek dari titik P ke Q}\\ & \text{pada gambar (2)}\\ \\ & \text{SOLUSI SOAL 3}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Perhatikanlah bahwa langkah dari titik A}\\ & \text{ke titik B harus terdiri dari 8 langkah, yaitu}\\ & \text{3 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atas}\\ & \text{Karena yang diinginkan lintasan terpendek}\\ & \text{dan tidak ada kekhususn harus dimulai dari}\\ & \text{mana, maka banyaknya langkah berbdeda}\\ & \text{dan terpendek adalah}:\\ & \left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)\text{atau}\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right).\text{Misal kita hitung salah}\\ & \text{satunya saja}:\\ & \left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{8!}{3!(8-5)!}=\frac{8!}{3!\times 5!}=\frac{8.7.6.\text{⧸}5!}{6.\text{⧸}5!}=56}\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}\text{b}.& \text{Untuk poin b, perhatikanlah ilustrasi}\\ & \text{gambar berikut(untuk memudahkan}\\ & \text{perhitungan). Tempatkan titik-titik}\\ & \text{bantu A, B, C, D, E, dan F seperti}\\ & \text{pada gambar berikut}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}.& \text{Perhatikanlah untuk setiap lintasan}\\ & \text{terpendek dari titik P ke titik Q}\\ & \text{dapat dipastikan akan melewati}\\ & \text{titik A, B, C, dan D. Sehingga dari}\\ & \text{keempat titik itulah akan diperoleh}\\ & \text{rute PAQ, PBQ, PCQ, dan PDQ}.\\ & \text{Sehingga banyak rute terpendek dari}\\ & \text{titik P ke Q yang selanjutnya kita}\\ & \text{simbolkan dengan}\mathrm{\#}PQ\text{adalah}:\\ & \begin{array}{rl}\mathrm{\#}PQ& =\mathrm{\#}PAQ+\mathrm{\#}PBQ+\mathrm{\#}PCQ+\mathrm{\#}PDQ\\ & =\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{\#}PECQ+\mathrm{\#}PFCQ+\mathrm{\#}PFDQ\\ & =1.1+4.5+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\\ & =1+20+3.1.3+3.3.3+3.1.1\\ & =1+20+9+27+3\\ & =60\end{array}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 4}$.

Perhatikanlah gambar berikut

Tentukanlah banyak segitiga yang dapat dibuat dari melalui 6 titik tersebut?

$\text{SOLUSI SOAL 4}$.

Karena setiap segitiga dapat dibuat dari 3 buah titik yang tidak segaris/berbeda dan total titik yang tersedia adalah 6 buah, maka untuk mempermudah menentukan banyak segitiga yang terbuat dapat digunakan kombinasi, yaitu:

$\begin{array}{rl}\text{Banyak}& \text{segitiga}\\ & =\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{6!}{3!(6-3)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{6!}{3!\times 3!}}\\ & ={\displaystyle \frac{6\times 5\times 4\times \text{⧸}3!}{3\times 2\times 1\times \text{⧸}3!}}\\ & =20\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 5}$.

Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH berikut

Diketahui bahwa kubus tersebut di atas memiliki rusuk 1 cm tanpa tanpa alas dan tutup. Jika seekor semut berjalan dari titik A ke titik E melalui seluruh sisi kubus, maka tentukan panjang lintasan terpendek yang dapat ditempuh semut tersebut.

$\text{SOLUSI SOAL 5}$.

Jika gambar kubus ABCD.EFGH di atas dibuat jaring-jaringnya, maka akan tampak sebagai berikut

dengan fakta bahwa bentuk jaring-jaring kubus berbentuk dua dimensi dengan jenis persegi panjang serta memiliki ukuran 4 cm x 1 cm, maka dengan mudah kita tarik sebuah garis yang menghubungkan titik A ke titik E', yaitu berupa segitiga siku-siku di A'. Sehingga panjang garis ini dapat dengan mudah kita tentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu:

$\begin{array}{rl}A{E}^{\prime }& =\sqrt{{\left(A{A}^{\prime }\right)}^2+{\left(A^{\prime }{E}^{\prime }\right)}^2}\\ & =\sqrt{4^2+1^2}\\ & =\sqrt{16+1}\\ & =\sqrt{17}\end{array}$.

Jadi, lintasan terpendek yang dapat dilalui semut dari titik A ke titik E melalui seluruh sisi kubus adalah sepanjang  $\sqrt{17}$  cm.

DAFTAR PUSTAKA

1. Azis, A., Budi, D. S. 2013. Kupas Tuntas Olimpiade Matematika Tingkat SD. Yogyakarta: ANDI.
2. Pusat Asesmen dan Pembelajaran Balitbang dan Perbukuan. 2021. Kebijakan Asesmen Nasional 2021. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
3. Pusat Asesmen dan Pembelajaran: Asesmen Kompetensi Minimum. http://pusmenjar.kemdikbud.go.id/AKM
4. Susyanto, N. 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA.
5. Thohir, Ahmad, 2013. Materi Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika MA/SMA. Grobogan: MA FUTUHIYAH.

Lanjutan Limit Fungsi di tak Hingga

Lanjutan 4 Persamaan Trigonometri

B. 2 Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat

Persamaan trigonometri terkadang juga terdapat dalam bentuk kuadrat, sehingga penyelesaiannya menyesuaikan dengan persamaan kuadrat tersebut yaitu proses faktorisasi, atau melengkapkan kudrat sempurna,dan atau dengan rumus ABC.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ & \sin x-2{\sin }^{2}x=0\text{untuk}{0}^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \sin x-2{\sin }^{2}x=0(\mathbf{\text{lalu difaktorkan}})\\ & \sin x(1-2\sin x)=0\\ & \sin x=0\text{atau}1-2\sin x=0\\ & \text{selanjutnya}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{rl}\sin x& =0\\ \sin x& =\sin 0^{\circ }\\ x& =0^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & \text{atau}\\ x& ={180}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ \text{saat}& k=0\\ x& =0^{\circ }\text{dan}{180}^{\circ }\\ \text{saat}& k=1\\ x& ={360}^{\circ }\text{dan}{540}^{\circ }\end{array}& \begin{array}{rl}\sin x& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin x& =\sin {30}^{\circ }\\ x& ={30}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & \text{atau}\\ x& =({180}^{\circ }-{30}^{\circ })+k{.360}^{\circ }\\ & ={150}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ \text{saat}& k=0\\ x& ={30}^{\circ }\text{dan}{150}^{\circ }\\ \text{saat}& k=1\\ x& ={390}^{\circ }\text{dan}{510}^{\circ }\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \mathbf{\text{HP}}=\{0^{\circ },{30}^{\circ },{150}^{\circ },{180}^{\circ },{360}^{\circ }\}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ & 2{\tan }^2\theta -\sec \theta +1=0\text{untuk}{0}^{\circ }\le \theta \le {360}^{\circ }\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & {\tan }^2\theta -\sec \theta +1=0\\ & 2({\sec }^2\theta -1)-\sec \theta +1=0\\ & 2{\sec }^2\theta -\sec \theta -1=0(\mathbf{\text{lalu difaktorkan}})\\ & (2\sec \theta +1)(\sec \theta -1)=0\\ & (2\sec \theta +1)=0\text{atau}(\sec \theta -1)=0\\ & \sec \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}\text{atau}\sec \theta =1}\\ & {\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }=-\frac{1}{2}\text{atau}{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }=1}}\\ & \cos \theta =-2(\mathbf{\text{tidak mungkin}})\text{atau}\cos \theta =1\\ & \text{selanjutnya}\\ & \cos \theta =1\iff \cos \theta =\cos 0^{\circ }\\ & \iff \theta =\pm 0^{\circ }+k{.360}^{\circ }\iff \theta =k{.360}^{\circ }\\ & k=0\Rightarrow x=0^{\circ }\\ & k=1\Rightarrow x={360}^{\circ }\\ & k=2\Rightarrow x={720}^{\circ }\text{tidak memenuhi}\\ & \mathbf{\text{HP}}=\{0^{\circ },{360}^{\circ }\}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ & 5{\cos }^2\beta +3\cos \beta =2\text{untuk}{0}^{\circ }\le \beta \le {360}^{\circ }\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & 5{\cos }^2\beta +3\cos \beta =2\\ & 5{\cos }^2\beta +3\cos \beta -2=0(\mathbf{\text{lalu difaktorkan}})\\ & (5\cos \beta -2)(\cos \beta +1)=0\\ & (5\cos \beta -2)=0\text{atau}(\cos \beta +1)=0\\ & 5\cos \beta -2=0\text{atau}\cos \beta +1=0\\ & \cos \beta ={\displaystyle \frac{2}{5}\text{atau}\cos \beta =-1}\\ & \cos \beta =\cos 66,4^{\circ }\text{atau}\cos \beta ={180}^{\circ }\\ & \text{selanjutnya}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{rl}\beta & =\pm 66,4^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ k=0& \Rightarrow \beta =66,4^{\circ }\text{atau}\\ & \beta =-66,4^{\circ }(\text{tm})\\ k=1& \Rightarrow \beta =426,4^{\circ }(\text{tm})\\ & \text{atau}\beta =293,6^{\circ }\\ k=2& \Rightarrow \beta \text{tidak ada }\\ & \text{yang memenuhi}\end{array}& \begin{array}{rl}\beta & =\pm {180}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ k=0& \Rightarrow \beta ={180}^{\circ }\text{atau}\\ & \beta =-{180}^{\circ }(\text{tm})\\ k=1& \Rightarrow \beta ={540}^{\circ }(\text{tm})\\ & \text{atau}\beta ={180}^{\circ }\\ k=2& \Rightarrow \beta \text{tidak ada }\\ & \text{yang memenuhi}\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \mathbf{\text{HP}}=\{66,4^{\circ },{180}^{\circ },293,6^{\circ }\}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ & 2{\sin }^2\gamma +3\cos \gamma =3\text{untuk}{0}^{\circ }\le \gamma \le {360}^{\circ }\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & 2{\sin }^2\gamma +3\cos \gamma =3\\ & 2(1-{\cos }^2\gamma )+3\cos \gamma -3=0\\ & 2-2{\cos }^2\gamma +3\cos \gamma -3=0\\ & -2{\cos }^2\gamma +3\cos \gamma -1=0\\ & 2{\cos }^2\gamma -3\cos \gamma +1=0(\mathbf{\text{lalu difaktorkan}})\\ & (2\cos \gamma -1)(\cos \gamma -1)=0\\ & (2\cos \gamma -1)=0\text{ atau}(\cos \gamma -1)=0\\ & \cos \gamma ={\displaystyle \frac{1}{2}\text{atau}\cos \gamma =1}\\ & \cos \gamma =\cos {60}^{\circ }\text{atau}\cos \gamma =0^{\circ }\\ & \text{selanjutnya}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{rl}\gamma & =\pm {60}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ k=0& \Rightarrow \gamma ={60}^{\circ }\text{atau}\\ & \gamma =-{60}^{\circ }(\text{tm})\\ k=1& \Rightarrow \gamma ={420}^{\circ }(\text{tm})\\ & \text{atau}\gamma ={300}^{\circ }\\ k=2& \Rightarrow \gamma \text{tidak ada }\\ & \text{yang memenuhi}\end{array}& \begin{array}{rl}\gamma & =\pm 0^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ \gamma & =0^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ k=0& \Rightarrow \gamma =0^{\circ }\\ k=1& \Rightarrow \gamma ={360}^{\circ }\\ k=2& \Rightarrow \gamma \text{tidak ada}\\ & \text{yang memenuhi}\\ & ⋮\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \mathbf{\text{HP}}=\{0^{\circ },{60}^{\circ },{300}^{\circ },{360}^{\circ }\}\end{array}$

B. 3 Persamaan Trigonometri Bentuk a sin x + b cos x 

Selain bentuk sederhana seperti yang telah diuraikan pada materi sebelumnya (lihat di sini), terdapat persamaan trigonometri bentuk  $a\sin x+b\cos x$. Bentuk $a\sin x+b\cos x$ ini dalam penyelesaiannya diubah ke dalam bentuk  $k\cos (x-\alpha )$. Adapun untuk menemukan pembuktian dari kesamaan rumus ini, Anda harus mempelajari materi rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.

$\begin{array}{rl}a\sin x& +b\cos x=k\cos (x-\theta )\\ \text{denga}& \text{n}:\\ & k=\sqrt{a^2+b^2}\\ & \tan \theta ={\displaystyle \frac{a}{b}}\\ & (a>0\text{dan}b>0,\text{maka}\theta \text{di kuadran I})\\ & (a>0\text{dan}b<0,\text{maka}\theta \text{di kuadran II})\\ & (a<0\text{dan}b<0,\text{maka}\theta \text{di kuadran III})\\ & (a<0\text{dan}b>0,\text{maka}\theta \text{di kuadran IV})\\ \\ & \text{dengan}a\text{pada sumbu Y dan}\\ & b\text{pada sumbu X}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Dan ingat juga tabel nilai tangen}}\\ & \mathbf{\text{berikut}}\\ & \begin{array}{|cccccc|}\hline \theta & 0^{\circ }& {30}^{\circ }& {45}^{\circ }& {60}^{\circ }& {90}^{\circ }\\ & & & & & \\ \tan \theta & 0& {\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}& 1& \sqrt{3}& \mathbf{\text{TD}}\\ & & & & & \\ \theta & {120}^{\circ }& {135}^{\circ }& {150}^{\circ }& {180}^{\circ }& \\ & & & & & \\ \tan \theta & -\sqrt{3}& -1& -{\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}& 0& \\ & & & & & \\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{|cccccc|}\hline \theta & {180}^{\circ }& {210}^{\circ }& {225}^{\circ }& {240}^{\circ }& {270}^{\circ }\\ & & & & & \\ \tan \theta & 0& {\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}& 1& \sqrt{3}& \mathbf{\text{TD}}\\ & & & & & \\ \theta & {300}^{\circ }& {315}^{\circ }& {345}^{\circ }& {360}^{\circ }& \\ & & & & & \\ \tan \theta & -\sqrt{3}& -1& -{\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}& 0& \\ & & & & & \\ \hline\end{array}\end{array}$.

Untuk lebih lanjut tentang bukti dan lain sebagainya akan dipelajari di subbab berikutnya setelah materi persamaan trigonometri ini.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ & \sin x+\sqrt{3}\cos x=2\text{untuk}{0}^{\circ }\le \theta \le {360}^{\circ }\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \sin x+\sqrt{3}\cos x=2(\mathbf{\text{ingat}}:a=1,b=\sqrt{3})\\ & \sin x+\sqrt{3}\cos x=k\cos (x-\theta )=2\\ & \{\begin{array}{ll}k& =\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{4}=2\\ \tan & \theta ={\displaystyle \frac{a}{b}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}\Rightarrow \theta ={30}^{\circ }}}}\end{array}\\ & \text{sudut}\theta \text{di kuadran I, karena}a,b>0\\ & \text{selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}& \sin x+\sqrt{3}\cos x=k\cos (x-\theta )=2\\ & \iff 2\cos (x-{30}^{\circ })=2\\ & \iff \cos (x-{30}^{\circ })=1\\ & \iff \cos (x-{30}^{\circ })=\cos 0^{\circ }\\ & \iff x-{30}^{\circ }=\pm 0^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & \iff x={30}^{\circ }\pm 0^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & \iff x={30}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & k=0\Rightarrow x={30}^{\circ }(\text{memenuhi})\\ & k=1\Rightarrow x={390}^{\circ }(\text{tm})\end{array}\\ & \mathbf{\text{HP}}=\left\{{30}^{\circ }\right\}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ & \sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2}\text{untuk}{0}^{\circ }\le \theta \le {360}^{\circ }\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2}(\mathbf{\text{ingat}}:a=1,b=-\sqrt{3})\\ & \sin x-\sqrt{3}\cos x=k\cos (x-\theta )=\sqrt{2}\\ & \{\begin{array}{ll}k& =\sqrt{1^2+{(-\sqrt{3})}^2}=\sqrt{4}=2\\ \tan & \theta ={\displaystyle \frac{a}{b}={\displaystyle \frac{1}{-\sqrt{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}\Rightarrow \theta ={150}^{\circ }}}}\end{array}\\ & \text{sudut}\theta \text{di kuadran II, karena}a>0,b<0\\ & \text{selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}& \sin x-\sqrt{3}\cos x=k\cos (x-\theta )=\sqrt{2}\\ & \iff 2\cos (x-{150}^{\circ })=\sqrt{2}\\ & \iff \cos (x-{150}^{\circ })={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}}\\ & \iff \cos (x-{150}^{\circ })=\cos {45}^{\circ }\\ & \iff x-{150}^{\circ }=\pm {45}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & \iff x={150}^{\circ }\pm {45}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & k=0\Rightarrow x={150}^{\circ }+{45}^{\circ }={195}^{\circ }(\text{mm})\text{atau}\\ & x={150}^{\circ }-{45}^{\circ }={105}^{\circ }(\text{mm})\\ & k=1\Rightarrow x={150}^{\circ }\pm {45}^{\circ }+{360}^{\circ }(\text{tm})\end{array}\\ & \mathbf{\text{HP}}=\{{105}^{\circ },{195}^{\circ }\}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ & \sqrt{6}\sin x+\sqrt{2}\cos x=2\text{untuk}{0}^{\circ }\le \theta \le {360}^{\circ }\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \sqrt{6}\sin x+\sqrt{2}\cos x=2(\mathbf{\text{ingat}}:a=\sqrt{6},b=\sqrt{2})\\ & \sqrt{6}\sin x+\sqrt{2}\cos x=k\cos (x-\theta )=2\\ & \{\begin{array}{ll}k& =\sqrt{{\left(\sqrt{6}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ \tan & \theta ={\displaystyle \frac{a}{b}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \theta ={60}^{\circ }}}\end{array}\\ & \text{sudut}\theta \text{di kuadran I, karena}a>0,b>0\\ & \text{selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}& \sqrt{6}\sin x+\sqrt{2}\cos x=k\cos (x-\theta )=2\\ & \iff 2\sqrt{2}\cos (x-{60}^{\circ })=2\\ & \iff \cos (x-{60}^{\circ })={\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}}\\ & \iff \cos (x-{60}^{\circ })=\cos {45}^{\circ }\\ & \iff x-{60}^{\circ }=\pm {45}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & \iff x={60}^{\circ }\pm {45}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & k=0\Rightarrow x={60}^{\circ }+{45}^{\circ }={105}^{\circ }(\text{mm})\text{atau}\\ & x={60}^{\circ }-{45}^{\circ }={15}^{\circ }(\text{mm})\\ & k=1\Rightarrow x={60}^{\circ }\pm {45}^{\circ }+{360}^{\circ }(\text{tm})\end{array}\\ & \mathbf{\text{HP}}=\{{15}^{\circ },{105}^{\circ }\}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ & \cos x-\sqrt{3}\sin x=1\text{untuk}{0}^{\circ }\le \theta \le {360}^{\circ }\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & -\sqrt{3}\sin x+\cos x=1(\mathbf{\text{ingat}}:a=-\sqrt{3},b=1)\\ & -\sqrt{3}\sin x+\cos x=k\cos (x-\theta )=1\\ & \{\begin{array}{ll}k& =\sqrt{{(-\sqrt{3})}^2+{\left(1\right)}^2}=\sqrt{4}=2\\ \tan & \theta ={\displaystyle \frac{a}{b}={\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}\Rightarrow \theta ={300}^{\circ }}}\end{array}\\ & \text{sudut}\theta \text{di kuadran IV, karena}a<0,b>0\\ & \text{selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}& -\sqrt{3}\sin x+\cos x=k\cos (x-\theta )=1\\ & \iff 2\cos (x-{300}^{\circ })=1\\ & \iff \cos (x-{300}^{\circ })={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \iff \cos (x-{300}^{\circ })=\cos {60}^{\circ }\\ & \iff x-{300}^{\circ }=\pm {60}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & \iff x={300}^{\circ }\pm {60}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & k=0\Rightarrow x={300}^{\circ }+{60}^{\circ }={360}^{\circ }=0^{\circ }(\text{mm})\text{atau}\\ & x={300}^{\circ }-{60}^{\circ }={240}^{\circ }(\text{mm})\\ & k=1\Rightarrow x={300}^{\circ }\pm {60}^{\circ }+{360}^{\circ }(\text{tm})\end{array}\\ & \mathbf{\text{HP}}=\{0^{\circ },{240}^{\circ },{360}^{\circ }\}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiasyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Noormandiri, B. K. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
4. Sukino. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Lanjutan Materi : Persamaan Eksponen

A. Persamaan Eksponen

Berikut bentuk persamaan eksponen yang sering digunakan terangkum dalam tabel berikut beserta cara penyelesaiannya

$\begin{array}{|cll|}\hline \mathbf{\text{No}}& \mathbf{\text{Persamaan Eksponen}}& \mathbf{\text{Penyelesaian}}\\ 1& a^{f(x)}=1,a>0,a\ne 1& f(x)=0\\ 2& a^{f(x)}=a^p,a>0,a\ne 1& f(x)=p\\ 3& a^{f(x)}=a^{g(x)},a>0,a\ne 1& f(x)=g(x)\\ 4& a^{f(x)}=b^{f(x)},a>0,a\ne 1& f(x)=0\\ & \text{dan}b>0,b\ne 1& \\ 5& h(x{)}^{f(x)}=h(x{)}^{g(x)}& \begin{array}{rl}(1)& f(x)=g(x)\\ (2)& h(x)=1\\ (3)& h(x)=0\\ & \text{dengan syarat}\\ & f(x)>0\text{dan}\\ & g(x)>0\\ (4)& h(x)=-1\\ & \text{dengan syarat}\\ & f(x)\text{dan}g(x)\\ & \text{keduanya}\\ & \text{genap atau}\\ & \text{keduanya}\\ & \text{ganjil}\\ & \text{atau}\\ & \text{dapat juga}\\ & \text{ditunjukkan}\\ & (-1{)}^{f(x)}=(-1{)}^{g(x)}\end{array}\\ 6& g(x{)}^{f(x)}=h(x{)}^{f(x)}& \begin{array}{rl}(1)& g(x)=h(x)\\ (2)& f(x)=0\\ & \text{dengan syarat}\\ & g(x)\ne 0\text{dan}\\ & h(x)\ne 0\end{array}\\ 7& f(x{)}^{g(x)}=1& \begin{array}{rl}(1)& f(x)=1\\ (2)& f(x)=-1\\ & \text{dengan syarat}\\ & g(x)\text{genap}\\ (3)& g(x)=0\\ & \text{dengan syarat}\\ & f(x)\ne 0\end{array}\\ 8& A{\left(a^{f(x)}\right)}^2+B\left(a^{f(x)}\right)+C=0& \begin{array}{rl}& \text{ubah}{a}^{f(x)}=y\\ & \text{sehingga}\\ & A{y}^2+By+C=0\\ & \text{selanjutnya}\\ & \text{substitusikan}\\ & \text{nilai}y\text{ke}\\ & \text{persamaan}\\ & a^{f(x)}=y\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ & \text{a}.2^{2x-2021}=1\\ & \text{b}.{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2x-2021}=1\\ & \text{c}.{\sqrt{2}}^{2x-2021}=1\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline \text{a}& \text{b}& \text{c}\\ \begin{array}{rl}{2}^{2x-2021}& =1\\ 2^{2x-2021}& =2^0\\ 2x-2021& =0\\ 2x& =2021\\ x& ={\displaystyle \frac{2021}{2}}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2x-2021}& =1\\ {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2x-2021}& ={\left(\frac{1}{2}\right)}^0\\ 2x-2021& =0\\ 2x& =2021\\ x& ={\displaystyle \frac{2021}{2}}\end{array}& \begin{array}{rl}{\sqrt{2}}^{2x-2021}& =1\\ {\sqrt{2}}^{2x-2021}& ={\sqrt{2}}^0\\ 2x-2021& =0\\ 2x& =2021\\ x& ={\displaystyle \frac{2021}{2}}\\ & \end{array}\\ \mathbf{\text{HP}}=\left\{{\displaystyle \frac{2021}{2}}\right\}& \mathbf{\text{HP}}=\left\{{\displaystyle \frac{2021}{2}}\right\}& \mathbf{\text{HP}}=\left\{{\displaystyle \frac{2021}{2}}\right\}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ & \text{a}.2^{2x-2021}=128\\ & \text{b}.{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2x-2021}=128\\ & \text{c}.{\sqrt{2}}^{2x-2021}=128\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline \text{a}& \text{b}& \text{c}\\ \begin{array}{rl}{2}^{2x-2021}& =128\\ 2^{2x-2021}& =2^7\\ 2x-2021& =7\\ 2x=7& +2021\\ x={\displaystyle \frac{2028}{2}}& =1014\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2x-2021}& =128\\ {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2x-2021}& ={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{-7}\\ 2x-2021& =-7\\ 2x=2021& -7\\ x={\displaystyle \frac{2014}{2}}& =1007\end{array}& \begin{array}{rl}{\sqrt{2}}^{2x-2021}& =128\\ {\sqrt{2}}^{2x-2021}& ={\sqrt{2}}^{256}\\ 2x-2021& =256\\ 2x=2021& +256\\ x& ={\displaystyle \frac{2277}{2}}\\ & \end{array}\\ \mathbf{\text{HP}}=\left\{1014\right\}& \mathbf{\text{HP}}=\left\{{\displaystyle 1007}\right\}& \mathbf{\text{HP}}=\left\{{\displaystyle \frac{2277}{2}}\right\}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& (\mathbf{\text{SPMB 04}})\text{Nilai}x\text{yang memenuhi}\\ & {\displaystyle \frac{27}{3^{2x-1}}={81}^{-0,125}\text{adalah... .}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{27}{3^{2x-1}}}& ={81}^{-0,125}\\ 3^{3-(2x-1)}& =3^{4(\frac{1}{8})}\\ 3-2x+1& =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -2x+4& =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -x+2& =-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ -x& =-2-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ -x& =-2{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ x& =2{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& (\mathbf{\text{UMPTN 00}})\\ & \text{Bentuk}{\left(\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{243}}}\right)}^{3x}={\left({\displaystyle \frac{3}{3^{x-2}}}\right)}^2\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{9}}}\\ & \text{Jika}{x}_0\text{memenuhi persamaan, maka nilai}\\ & 1-{\displaystyle \frac{3}{4}{x}_0=....}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}{\left(\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{243}}}\right)}^{3x}& ={\left({\displaystyle \frac{3}{3^{x-2}}}\right)}^2\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{9}}}\\ 3^{-5x}& =3^{2(1-(x-2))}{.3}^{-\frac{2}{3}}\\ -5x& =2(1-(x-2))+(-{\displaystyle \frac{2}{3}}),\text{dikali}3\\ -15x& =6(3-x)+(-2)\\ -15x& =18-6x-2\\ 6x-15x& =16\\ -9x& =16\\ x& ={\displaystyle \frac{16}{-9}}\\ x_0& =-{\displaystyle \frac{16}{9},\text{selanjutnya}}\\ 1-{\displaystyle \frac{3}{4}{x}_0}& =1-{\displaystyle \frac{3}{4}\times (-\frac{16}{9})}\\ & =1+\frac{4}{3}\\ & =1+1{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & =2{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Jumlah akar-akar persamaan}\\ & 5^{x+1}+5^{2-x}-30=0\text{adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}{5}^{x+1}+5^{2-x}-30& =0\\ \left(5^x\right){.5}^1+{\displaystyle \frac{5^2}{5^x}-30}& =0\\ 5{\left(5^x\right)}^2+25-30\left(5^x\right)& =0\\ \text{Persamaan kuadrat}& \text{dalam}{5}^x,\text{maka}\\ 5(5^x{)}^2-30(5^x)+25& =0\{\begin{array}{ll}a& =5\\ b& =-30\\ c& =25\end{array}\\ (5^{x_1}).\left(5^{x_2}\right)& ={\displaystyle \frac{c}{a}}\\ 5^{x_1+x_2}& ={\displaystyle \frac{25}{5}=5}\\ 5^{x_1+x_2}& =5^1\\ x_1+x_2& =1\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Jumlah akar-akar persamaan}\\ & {2023}^{x^2-7x+7}={2024}^{x^2-7x+7}\text{adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}{2023}^{x^2-7x+7}& ={2024}^{x^2-7x+7}\\ \text{Karena basis}& \text{tidak sama},\\ \text{maka harusl}& \text{ah pangkatnya}=0,\\ x^2-7x+7& =0\\ \text{dan jumlah}& \text{akar-akarnya adalah}:\\ x_1+x_2& =-{\displaystyle \frac{b}{a},\text{dari persamaan}}\\ x^2-7x+7& =0\{\begin{array}{ll}a& =1\\ b& =-7\\ c& =7\end{array}\\ \text{maka}{x}_1+x_2& =-{\displaystyle \frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ & (x-2{)}^{x^2-7x+6}=1\text{adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Ingat bentuk}f(x{)}^{g(x)}=1\{\begin{array}{ll}f(x)& =x-2\\ g(x)& =x^2-7x+5\end{array}\\ & \begin{array}{|lll|}\hline f(x)=1& f(x)=-1& g(x)=0\\ & \text{Syarat}g(x)\text{genap}& \text{Syarat}f(x)\ne 0\\ \begin{array}{rl}x& -2=1\\ x& =3\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}x& -2=-1\\ x& =2-1=1\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}{x}^2& -7x+6=0\\ \iff & (x-1)(x-6)\\ \iff & x=1\text{atau}x=6\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{S}& \text{yaratnya}x\\ \text{u}& \text{ntuk}x=1\\ g& (1)=1^2-7+6\\ & =0(\text{memenuhi})\end{array}& \begin{array}{rl}f(1)& =1-2=-1\ne 0\\ f(6)& =6-2=4\ne 0\\ & \\ & \end{array}\\ & \mathbf{\text{Catatan}}:0& \\ & \text{paritasnya genap}& \\ \hline\end{array}\\ & \mathbf{\text{HP}}=\{1,3,6\}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ & (x^2-9x+19{)}^{2x+3}=(x^2-9x+19{)}^{x-1}\text{adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Ingat bentuk}h(x{)}^{f(x)}=h(x{)}^{g(x)}\{\begin{array}{ll}h(x)& =x^2-9x+19\\ f(x)& =2x+3\\ g(x)& =x-1\end{array}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{rl}& \text{Syarat-syaratnya}\\ & \bullet f(x)=g(x)\\ & \iff 2x+3=x-1\\ & \iff x=-4\\ & \bullet h(x)=1\\ & \iff x^2-9x+19=1\\ & \iff x^2-9x+18=0\\ & \iff (x-3)(x-6)=0\\ & \iff x=3\text{atau}x=6\\ & \bullet h(x)=0\\ & \iff x^2-9x+19=0\\ & \iff x_{1,2}={\displaystyle \frac{9\pm \sqrt{5}}{2}}\\ & \text{gunakan rumus ABC}\\ & \text{Setelah diuji keduanya}\\ & \text{positif, maka}\\ & x={\displaystyle \frac{9\pm \sqrt{5}}{2}\text{merupakan}}\\ & \mathbf{\text{penyelesaian}}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{lanjutannya}\\ & \bullet h(x)=-1\\ & \iff x^2-9x+19=-1\\ & \iff x^2-9x+20=0\\ & \iff (x-4)(x-5)=0\\ & \iff x=4\text{atau}x=5\\ & \text{Uji nilanya}\\ & \text{untuk}x=4\\ & ⧫f(4)=2(4)+3\text{ganjil}\\ & ⧫g(4)=4-1\text{ganjil}\\ & \text{karena}f(4),g(4)\text{keduanya }\\ & \text{ganjil, maka}x=4\\ & \text{adalah}\mathbf{\text{penyelesaian}}\\ & \text{untuk}x=5\\ & ⧫f(5)=2(5)+3\text{ganjil}\\ & ⧫g(5)=5-1\text{genapl}\\ & \text{karena}f(4)\ne g(4),\text{maka}x=5\\ & \text{adalah}\mathbf{\text{bukan penyelesaian}}\\ & \end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \mathbf{\text{HP}}=\{-4,3,4,6,{\displaystyle \frac{9-\sqrt{5}}{2},\frac{9+\sqrt{5}}{2}}\}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kurnia, N, dkk. 2016. Jelajah Matematika I SMA Kelas X Peminatan MIPA. Jakarta: YUDHISTIRA.

Lanjutan 4 Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

C. Menentukan Besar dan Nilai Sudut dalam Dimensi Tiga

C. 1 Sudut antara Garis dengan Bidang

Secara definisi jika garis $g$ menembus bidang $\alpha$ secara tidak tegak lurus, maka sudut antara garis $g$ dan bidang $\alpha$ adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis $g$ dan proyeksi garis $g$ pada bidang $\alpha$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Pada bidang di atas 

$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }(g,\alpha )& =\mathrm{\angle }(g,g^{\prime })=\theta \\ \theta & =\text{sudut antara garis}g\text{dan bidang}\alpha .\\ \theta & =\text{huruf yunani kuno dan baca}Theta\end{array}$.

Selanjutnya beberapa singkatan akan digunakan dalam pembicaraan geometri dimensi tiga, yaitu:

$\begin{array}{rl}\text{Titik}(a,b)& =\text{titik potong garis}a\text{dan garis}b\\ \text{Titik}(g,\alpha )& =\text{titik tembus garis}g\text{terhadap}\\ & \text{bidang}\alpha \\ \text{garis}(\alpha ,\beta )& =\text{garis potong antara bidang}\alpha \text{dan}\\ & \text{bidang}\beta \\ \text{Bidang}(A& BC)=\text{bidang melalui titik A, B, C}\\ \text{Bidang}(g,& A)=\text{bidang yang dilalui garis}g\text{dan}\\ & \text{titik A}\\ \text{Bidang}(g,& h)=\text{bidang melalui garis}g\text{dan}h\end{array}$.

C. 2 Sudut antara Bidang dengan Bidang

Sudut antara bidang dua yang berpotongan adalah sudut yang terbentuk oleh dua garis pada masing-masing bidang tersebut di mana setiap garis itu tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut di satu titik.

$\begin{array}{rl}\text{garis}(\alpha ,\beta )& =\text{garis potong antara bidang}\alpha \text{dan}\\ & \text{bidang}\beta \\ \text{Garis TQ}& \text{pada bidang}\alpha \text{dengan}\text{TQ}\perp \text{garis}(\alpha ,\beta )\\ & \text{dan garis}\text{ST}\text{pada bidang}\beta j\text{uga}\\ & \text{ST}\perp \text{garis}(\alpha ,\beta )\\ \mathrm{\angle }QST\text{ad}& \text{alah}\mathbf{\text{sudut tumpuan}}\\ \text{Bidang}\gamma & \text{adalah}\mathbf{\text{bidang tumpuan}}\\ & (\text{bidang yang memuat sudut tumpuan})\end{array}$.

Sudut tumpuan sebuah sudut bidang dua menunjukkan besar kecilnya sudut bidang dua itu dan sudut bidang dua itu lancip, siku-siku, atau tumpul jika  sudut tumpuannya lancip, siku-siku, atau tumpul.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 14.& \text{Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk}\\ & 12cm,\text{titik M adalah perpotongan diagonal}\\ & \text{bidang alas. Tentukanlah besar sudut antara}\\ & \text{garis MH dan bidang ADHE}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Lihat}△{\text{HM}}^{\prime }\text{M},\text{dengan}\mathrm{\angle }{\text{HM}}^{\prime }\text{M}={90}^{\circ }\\ & \text{dengan}{\text{M}}^{\prime }=\text{proyeksi titik M ke bidang ADHE}\\ & \text{Sudut antara garis MH dan bidang ADHE}\\ & \text{adalah}\mathrm{\angle }{\text{M}}^{\prime }\text{HM}\\ & ({\text{bidang ADHE di wakili oleh garis HM}}^{\prime })\\ & \text{Sehingga}\\ & \begin{array}{rl}\sin \mathrm{\angle }{\text{M}}^{\prime }\text{HM}& ={\displaystyle \frac{{\text{MM}}^{\prime }}{\text{HM}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}(sisi)}}{{\displaystyle \frac{1}{2}(sisi)\sqrt{6}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{6}}}}\\ \mathrm{\angle }{\text{M}}^{\prime }\text{HM}& =\arcsin \left({\displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{6}}\right)\\ & \approx 24,1^{\circ }\end{array}\\ & \text{Jadi},\mathrm{\angle }{\text{M}}^{\prime }\text{HM}\approx 24,1^{\circ }\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 15.& \text{Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk}\\ & 10cm.\text{Tentukanlah besar sudut yang terbentuk}\\ & \text{antara garis BH dan bidang ADHE}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Lihat}△\text{HBA},\text{dengan}\mathrm{\angle }\text{HAB}={90}^{\circ }\\ & \text{dengan}\text{A}=\text{proyeksi titik B ke bidang ADHE}\\ & \text{Sudut antara garis BH dan bidang ADHE}\\ & \text{adalah}\mathrm{\angle }\text{AHB}\\ & (\text{bidang ADHE di wakili oleh garis AH})\\ & \text{Sehingga}\\ & \begin{array}{rl}\tan \mathrm{\angle }\text{AHB}& ={\displaystyle \frac{\text{AB}}{\text{HA}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \text{sisi}}}{\text{diagonal sisi}}}\\ & ={\displaystyle \frac{(sisi)}{{\displaystyle (sisi)\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}}}\\ \mathrm{\angle }\text{AHB}& =\arctan \left({\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}\right)\\ & \approx 35,{26}^{\circ }\end{array}\\ & \text{Jadi},\mathrm{\angle }\text{AHB}\approx 35,{26}^{\circ }\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Rasiman. 2000. Diktat Geometri. Semarang: IKIP Semarang
2. Tampomas, H. 1999. Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Jakarta: ERLANGGA.

Lanjutan 3 Persamaan Trigonometri

 B. 1 Persamaan Trigonometri Sederhana

Dalam penyelesaian persamaan trigonometri sederhana dapat digunakan salah satu rumus berikut, yaitu:

$\begin{array}{rl}(1).\sin x& =\sin {\alpha }^{\circ }\\ & \{\begin{array}{c}x={\alpha }^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ \text{atau}\\ x=({180}^{\circ }-{\alpha }^{\circ })+k{.360}^{\circ }\end{array}\\ (2).\cos x& =\cos {\alpha }^{\circ }\\ & \{\begin{array}{c}x={\alpha }^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ \text{atau}\\ x=-{\alpha }^{\circ }+k{.360}^{\circ }\end{array}\\ (3).\tan x& =\tan {\alpha }^{\circ }\\ & x={\alpha }^{\circ }+k{.180}^{\circ }\end{array}$.

Jika sudutnya dinyatakan dalam phi radian $(\pi \text{dibaca}:phi)$, maka persamaan trigonometri sederhananya adalah:

$\begin{array}{rl}(1).\sin x& =\sin {\alpha }^{\circ }\\ & \{\begin{array}{c}x={\alpha }^{\circ }+k.2\pi \\ \text{atau}\\ x=(\pi -{\alpha }^{\circ })+k.2\pi \end{array}\\ (2).\cos x& =\cos {\alpha }^{\circ }\\ & \{\begin{array}{c}x={\alpha }^{\circ }+k.2\pi \\ \text{atau}\\ x=-{\alpha }^{\circ }+k.2\pi \end{array}\\ (3).\tan x& =\tan {\alpha }^{\circ }\\ & x={\alpha }^{\circ }+k.\pi \end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah akar-akar persamaan trigonometri}\\ & \text{berikut dan tentukan pula himpunan}\\ & \text{penyelesaiannya untuk}{0}^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }\\ & \text{a}.\sin x=\sin {50}^{\circ }\\ & \text{b}.\cos x=\cos {50}^{\circ }\\ & \text{c}.\tan x=\tan {50}^{\circ }\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}.\text{a}.\sin x& =\sin {50}^{\circ }\\ x& =\{\begin{array}{ll}{50}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\\ ({180}^{\circ }-{50}^{\circ })& +k{.360}^{\circ }\end{array}\\ k=0& \text{diperoleh}:\\ x& =\{\begin{array}{ll}{50}^{\circ }(\text{memenuhi})& \\ {130}^{\circ }(\text{memenuhi})& \end{array}\\ k=1& \text{tidak ada yang memenuhi}\\ \text{HP}& =\{{50}^{\circ },{130}^{\circ }\}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}.\text{b}.\cos x& =\cos {50}^{\circ }\\ x& =\{\begin{array}{ll}{50}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\\ -{50}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\end{array}\\ k=0& \text{diperoleh}:\\ x& =\{\begin{array}{ll}{50}^{\circ }(\text{memenuhi})& \\ -{50}^{\circ }(\text{tidak memenuhi})& \end{array}\\ k=1& \\ x& =\{\begin{array}{ll}{50}^{\circ }+{360}^{\circ }={410}^{\circ }(\text{tidak memenuhi})& \\ -{50}^{\circ }+{360}^{\circ }={310}^{\circ }(\text{memenuhi})& \end{array}\\ \text{HP}& =\{{50}^{\circ },{310}^{\circ }\}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}.\text{c}.\tan x& =\tan {50}^{\circ }\\ x& ={50}^{\circ }+k{.180}^{\circ }\\ k=0& \text{diperoleh}:\\ x& ={50}^{\circ }\text{memenuhi}\\ k=1& \\ x& ={50}^{\circ }+{180}^{\circ }={230}^{\circ }\text{memenuhi}\\ k=2& \\ x& ={50}^{\circ }+{360}^{\circ }={410}^{\circ }\text{tidak memenuhi}\\ \text{HP}& =\{{50}^{\circ },{230}^{\circ }\}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari }\\ & \text{persamaan-persamaan trigonometri berikut}\\ & \text{ini untuk}{0}^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& \sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{f}.& \tan x=-{\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}& \text{k}.& \sin 2x={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{b}.& \cos x={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}& \text{g}& 2\cos x=-\sqrt{3}& \text{l}.& \cos 2x=-{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}\\ \text{c}.& \tan x=\sqrt{3}& \text{h}& 3\tan x=\sqrt{3}& \text{m}.& \tan 2x=\sqrt{3}\\ \text{d}.& \sin x=-1& \text{i}.& \sin x=\sin {46}^{\circ }& \text{n}.& \sin (2x-{30}^{\circ })=\sin {45}^{\circ }\\ \text{e}.& \cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}& \text{j}.& \cos x=\cos {93}^{\circ }& \text{o}.& \sin (2x+{60}^{\circ })=\sin {90}^{\circ }\end{array}\end{array}$

$.\text{Jawab}:$

$\begin{array}{rl}.\text{a}.\sin x& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin x& =\sin {30}^{\circ }\\ x& =\{\begin{array}{ll}{30}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\\ ({180}^{\circ }-{30}^{\circ })& +k{.360}^{\circ }\end{array}\\ k=0& \text{diperoleh}:\\ x& =\{\begin{array}{ll}{30}^{\circ }(\text{memenuhi})& \\ {150}^{\circ }(\text{memenuhi})& \end{array}\\ k=1& \text{tidak ada yang memenuhi}\\ \text{HP}& =\{{30}^{\circ },{150}^{\circ }\}\end{array}$

$\begin{array}{rl}.\text{b}.\cos x& ={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}\\ \cos x& =\cos {30}^{\circ }\\ x& =\{\begin{array}{ll}{30}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\\ -{30}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\end{array}\\ k=0& \text{diperoleh}:\\ x& =\{\begin{array}{ll}{30}^{\circ }(\text{memenuhi})& \\ -{30}^{\circ }(\text{tidak memenuhi})& \end{array}\\ k=1& \\ x& =\{\begin{array}{ll}{30}^{\circ }+{360}^{\circ }={390}^{\circ }(\text{tidak memenuhi})& \\ -{30}^{\circ }+{360}^{\circ }={330}^{\circ }(\text{memenuhi})& \end{array}\\ \text{HP}& =\{{30}^{\circ },{330}^{\circ }\}\end{array}$

$\begin{array}{rl}.\text{c}.\tan x& =\sqrt{3}\\ \tan x& =\tan {60}^{\circ }\\ x& ={60}^{\circ }+k{.180}^{\circ }\\ k=0& \text{diperoleh}:\\ x& ={60}^{\circ }\text{memenuhi}\\ k=1& \\ x& ={60}^{\circ }+{180}^{\circ }={240}^{\circ }\text{memenuhi}\\ k=2& \\ x& ={60}^{\circ }+{360}^{\circ }={420}^{\circ }\text{tidak memenuhi}\\ \text{HP}& =\{{60}^{\circ },{240}^{\circ }\}\end{array}$

$\begin{array}{rl}.\text{d}.\sin x& =-1\\ \sin x& =\sin {270}^{\circ }\\ x& =\{\begin{array}{ll}{270}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\\ ({180}^{\circ }-{270}^{\circ })& +k{.360}^{\circ }\end{array}\\ k=0& \text{diperoleh}\\ x& =\{\begin{array}{ll}{270}^{\circ }& \text{memenuhi}\\ -{90}^{\circ }& \text{tidak memenuhi}\end{array}\\ k=1& \text{tidak memenuhi semuanya}\\ \text{HP}& =\left\{{270}^{\circ }\right\}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}.\text{k}.\sin 2x& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin 2x& =\sin {30}^{\circ }\\ 2x& =\{\begin{array}{ll}{30}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\\ ({180}^{\circ }-{30}^{\circ })& +k{.360}^{\circ }\end{array}\\ \text{sehin}& \text{gga}\\ x& =\{\begin{array}{ll}{15}^{\circ }& +k{.180}^{\circ }\\ ({90}^{\circ }-{15}^{\circ })& +k{.180}^{\circ }\end{array}\\ k=0& \text{diperoleh}:\\ x& =\{\begin{array}{ll}{15}^{\circ }(\text{memenuhi})& \\ {75}^{\circ }(\text{memenuhi})& \end{array}\\ k=1& \text{diperoleh}:\\ x& =\{\begin{array}{ll}{15}^{\circ }+{180}^{\circ }={195}^{\circ }(\text{memenuhi})& \\ {75}^{\circ }+{180}^{\circ }={255}^{\circ }(\text{memenuhi})& \end{array}\\ k=2& \text{tidak ada yang memenuhi}\\ \text{HP}& =\{{15}^{\circ },{75}^{\circ },{195}^{\circ },{255}^{\circ }\}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}.\text{l}.\cos 2x& =-{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}\\ \cos 2x& =-\cos {30}^{\circ }=\cos ({180}^{\circ }-{30}^{\circ })=\cos {150}^{\circ }\\ 2x& =\{\begin{array}{ll}{150}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\\ -{150}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\end{array}\\ \text{sehin}& \text{gga}\\ x& =\{\begin{array}{ll}{75}^{\circ }& +k{.180}^{\circ }\\ -{75}^{\circ }& +k{.180}^{\circ }\end{array}\\ k=0& \text{diperoleh}:\\ x& =\{\begin{array}{ll}{75}^{\circ }(\text{memenuhi})& \\ -{75}^{\circ }(\text{tidak memenuhi})& \end{array}\\ k=1& \\ x& =\{\begin{array}{ll}{75}^{\circ }+{180}^{\circ }={255}^{\circ }(\text{memenuhi})& \\ -{75}^{\circ }+{180}^{\circ }={105}^{\circ }(\text{memenuhi})& \end{array}\\ k=2& \\ x& =\{\begin{array}{ll}{75}^{\circ }+{360}^{\circ }={435}^{\circ }(\text{tidak memenuhi})& \\ -{75}^{\circ }+{360}^{\circ }={285}^{\circ }(\text{memenuhi})& \end{array}\\ k=3& \text{tidak ada yang memenuhi}\\ \text{HP}& =\{{75}^{\circ },{105}^{\circ },{255}^{\circ },{285}^{\circ }\}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}.\text{m}.\tan 2x& =\sqrt{3}\\ \tan 2x& =\tan {60}^{\circ }\\ 2x& ={60}^{\circ }+k{.180}^{\circ }\\ \text{sehin}& \text{gga}\\ x& ={30}^{\circ }+k{.90}^{\circ }\\ k=0& \text{diperoleh}:\\ x& ={30}^{\circ }\text{memenuhi}\\ k=1& \\ x& ={30}^{\circ }+{90}^{\circ }={120}^{\circ }\text{memenuhi}\\ k=2& \\ x& ={30}^{\circ }+{180}^{\circ }={210}^{\circ }\text{memenuhi}\\ k=3& \\ x& ={30}^{\circ }+{270}^{\circ }={300}^{\circ }\text{memenuhi}\\ k=4& \\ x& ={30}^{\circ }+{360}^{\circ }={390}^{\circ }\text{tidak memenuhi}\\ \text{HP}& =\{{30}^{\circ },{120}^{\circ },{210}^{\circ },{300}^{\circ }\}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}.\text{n}.\sin (2x-{30}^{\circ })& =\sin {45}^{\circ }\\ (2x-{30}^{\circ })& =\{\begin{array}{ll}{45}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\\ ({180}^{\circ }-{45}^{\circ })& +k{.360}^{\circ }\end{array}\\ 2x& =\{\begin{array}{ll}{45}^{\circ }+{30}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\\ {135}^{\circ }+{30}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\end{array}\\ x& =\{\begin{array}{ll}37,5^{\circ }& +k{.180}^{\circ }\\ 82,5^{\circ }& +k{.180}^{\circ }\end{array}\\ k=0& \text{diperoleh}\\ x& =\{\begin{array}{ll}37,5^{\circ }& \\ 82,5^{\circ }& \end{array}\\ k=1& \text{diperoleh}\\ x& =\{\begin{array}{ll}37,5^{\circ }+{180}^{\circ }& =217,5^{\circ }\\ 82,5^{\circ }+{180}^{\circ }& =262,5^{\circ }\end{array}\\ k=2& \text{tidak ada yang memenuhi}\\ \text{HP}& =\{37,5^{\circ },82,5^{\circ },217,5^{\circ },262,5^{\circ }\}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}.\text{o}.\sin (2x+{60}^{\circ })& =\sin {90}^{\circ }\\ (2x+{60}^{\circ })& =\{\begin{array}{ll}{90}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\\ ({180}^{\circ }-{90}^{\circ })& +k{.360}^{\circ }\end{array}\\ 2x& =\{\begin{array}{ll}{90}^{\circ }-{60}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\\ {90}^{\circ }-{60}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\end{array}\\ x& ={15}^{\circ }+k{.180}^{\circ }\\ k=0& \text{diperoleh}\\ x& ={15}^{\circ }\\ k=1& \text{diperoleh}\\ x& ={15}^{\circ }+{180}^{\circ }={195}^{\circ }\\ k=2& \text{tidak ada yang memenuhi}\\ \text{HP}& =\{{15}^{\circ },{195}^{\circ }\}\end{array}$

Lanjutan 2 Persamaan Trigonometri

 A. 2  Relasi Sudut

Mengingatkan kembali materi tentang nilai sudut diberbagai kuadran yang selanjutnya berkaitan erat dengan relasi sudutnya dari kuadran selain satu diubah ke kuadran satu supaya mudah menentukan nilai trigonometri.

Untuk tanda perbandingan trigonometrinya berkaitan dengan relasi sudutnya adalah disajikan sebagaimana dalam bagan berikut

$\begin{array}{cccccc}\text{Nilai yang positif}& & & & & \\ \text{hanya}\mathbf{\text{sinus}}& & & & \text{Semua nilai trigon}& \mathbf{\text{positif}}\\ & & & & & \\ \text{Nilai yang positif}& & & & \text{Nilai yang positif}& \\ \text{hanya}\mathbf{\text{tangen}}& & & & \text{hanya}\mathbf{\text{cosinus}}& \end{array}$.

atau

$\begin{array}{cccccc}\begin{array}{l}\\ \{\begin{array}{ll}\sin & =+\\ \cos & =-\\ \tan & =-\\ \csc & =+\\ \sec & =-\\ \cot & =-\end{array}& \end{array}& & & & & \begin{array}{l}\\ \{\begin{array}{ll}\sin & =+\\ \cos & =+\\ \tan & =+\\ \csc & =+\\ \sec & =+\\ \cot & =+\end{array}& \end{array}\\ & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ \begin{array}{l}\\ \{\begin{array}{ll}\sin & =-\\ \cos & =-\\ \tan & =+\\ \csc & =-\\ \sec & =-\\ \cot & =+\end{array}& \end{array}& & & & & \begin{array}{l}\\ \{\begin{array}{ll}\sin & =-\\ \cos & =+\\ \tan & =-\\ \csc & =-\\ \sec & =+\\ \cot & =-\end{array}& \end{array}\end{array}$.

Adapun penjabaran sudut-sudut yang berelasi sebagaimana ilustrasi bagan berikut, yaitu:

$\begin{array}{cccccc}\text{Kuadran II}& & & & \text{Kuadran I}& \\ ({180}^{\circ }-\alpha )& & & & \text{Semua nilai trigon}& \mathbf{\text{positif}}\\ & & & & & \\ \text{Kuadran III}& & & & \text{Kuadran IV}& \\ ({180}^{\circ }+\alpha )& & & & ({360}^{\circ }-\alpha )& \end{array}$

Ketentuan perubahan trigonometri berkaitan dengan sudut berelasi adalah sebagaimana tabel berikut:

KUADRAN PERTAMA

$\begin{array}{|ccl|}\hline \text{Posisi}& \text{Perubahan}& \text{Relasi Sudut}\\ \begin{array}{rl}& \text{Kuadran I}\\ & 0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }\\ & =({90}^{\circ }-\alpha )\end{array}& \{\begin{array}{ll}\sin & =\cos \\ \cos & =\sin \\ \tan & =\cot \\ \csc & =\sec \\ \sec & =\csc \\ \cot & =\tan \end{array}& \begin{array}{rl}\sin ({90}^{\circ }-\alpha )& =\cos \alpha \\ \cos ({90}^{\circ }-\alpha )& =\sin \alpha \\ \tan ({90}^{\circ }-\alpha )& =\cot \alpha \\ \csc ({90}^{\circ }-\alpha )& =\sec \alpha \\ \sec ({90}^{\circ }-\alpha )& =\csc \alpha \\ \cot ({90}^{\circ }-\alpha )& =\tan \alpha \end{array}\\ \hline\end{array}$.

KUADRAN KEDUA

ada 2 pilihan yaitu:

pertama

$\begin{array}{|ccl|}\hline \text{Posisi}& \text{Perubahan}& \text{Relasi Sudut}\\ \begin{array}{rl}& \text{Kuadran II}\\ & {90}^{\circ }<\alpha <{180}^{\circ }\\ & =({90}^{\circ }+\alpha )\end{array}& \{\begin{array}{ll}\sin & =\cos \\ \cos & =\sin \\ \tan & =\cot \\ \csc & =\sec \\ \sec & =\csc \\ \cot & =\tan \end{array}& \begin{array}{rl}\sin ({90}^{\circ }+\alpha )& =\cos \alpha \\ \cos ({90}^{\circ }+\alpha )& =-\sin \alpha \\ \tan ({90}^{\circ }+\alpha )& =-\cot \alpha \\ \csc ({90}^{\circ }+\alpha )& =\sec \alpha \\ \sec ({90}^{\circ }+\alpha )& =-\csc \alpha \\ \cot ({90}^{\circ }+\alpha )& =-\tan \alpha \end{array}\\ \hline\end{array}$.

kedua

$\begin{array}{|ccl|}\hline \text{Posisi}& \text{Tidak Ada Perubahan}& \text{Relasi Sudut}\\ \begin{array}{rl}& \text{Kuadran II}\\ & {90}^{\circ }<\alpha <{180}^{\circ }\\ & =({180}^{\circ }-\alpha )\end{array}& \{\begin{array}{ll}\sin & =\sin \\ \cos & =\cos \\ \tan & =\tan \\ \csc & =\csc \\ \sec & =\sec \\ \cot & =\cot \end{array}& \begin{array}{rl}\sin ({180}^{\circ }-\alpha )& =\sin \alpha \\ \cos ({180}^{\circ }-\alpha )& =-\cos \alpha \\ \tan ({180}^{\circ }-\alpha )& =-\tan \alpha \\ \csc ({180}^{\circ }-\alpha )& =\csc \alpha \\ \sec ({180}^{\circ }-\alpha )& =-\sec \alpha \\ \cot ({180}^{\circ }-\alpha )& =-\cot \alpha \end{array}\\ \hline\end{array}$.

KUADRAN KETIGA

ada 2 pilihan juga yaitu:

pertama

$\begin{array}{|ccl|}\hline \text{Posisi}& \text{Tidak Ada Perubahan}& \text{Relasi Sudut}\\ \begin{array}{rl}& \text{Kuadran III}\\ & {180}^{\circ }<\alpha <{270}^{\circ }\\ & =({180}^{\circ }+\alpha )\end{array}& \{\begin{array}{ll}\sin & =\sin \\ \cos & =\cos \\ \tan & =\tan \\ \csc & =\csc \\ \sec & =\sec \\ \cot & =\cot \end{array}& \begin{array}{rl}\sin ({180}^{\circ }+\alpha )& =-\sin \alpha \\ \cos ({180}^{\circ }+\alpha )& =-\cos \alpha \\ \tan ({180}^{\circ }+\alpha )& =\tan \alpha \\ \csc ({180}^{\circ }+\alpha )& =-\csc \alpha \\ \sec ({180}^{\circ }+\alpha )& =-\sec \alpha \\ \cot ({180}^{\circ }+\alpha )& =\cot \alpha \end{array}\\ \hline\end{array}$.

kedua

$\begin{array}{|ccl|}\hline \text{Posisi}& \text{Perubahan}& \text{Relasi Sudut}\\ \begin{array}{rl}& \text{Kuadran III}\\ & {180}^{\circ }<\alpha <{270}^{\circ }\\ & =({270}^{\circ }-\alpha )\end{array}& \{\begin{array}{ll}\sin & =\cos \\ \cos & =\sin \\ \tan & =\cot \\ \csc & =\sec \\ \sec & =\csc \\ \cot & =\tan \end{array}& \begin{array}{rl}\sin ({270}^{\circ }-\alpha )& =-\cos \alpha \\ \cos ({270}^{\circ }-\alpha )& =-\sin \alpha \\ \tan ({270}^{\circ }-\alpha )& =\cot \alpha \\ \csc ({270}^{\circ }-\alpha )& =-\sec \alpha \\ \sec ({270}^{\circ }-\alpha )& =-\csc \alpha \\ \cot ({270}^{\circ }-\alpha )& =\tan \alpha \end{array}\\ \hline\end{array}$.

KUADRAN KEEMPAT

ada 2 pilihan juga yaitu:

pertama

$\begin{array}{|ccl|}\hline \text{Posisi}& \text{Perubahan}& \text{Relasi Sudut}\\ \begin{array}{rl}& \text{Kuadran IV}\\ & {270}^{\circ }<\alpha <{360}^{\circ }\\ & =({270}^{\circ }+\alpha )\end{array}& \{\begin{array}{ll}\sin & =\cos \\ \cos & =\sin \\ \tan & =\cot \\ \csc & =\sec \\ \sec & =\csc \\ \cot & =\tan \end{array}& \begin{array}{rl}\sin ({270}^{\circ }+\alpha )& =-\cos \alpha \\ \cos ({270}^{\circ }+\alpha )& =\sin \alpha \\ \tan ({270}^{\circ }+\alpha )& =-\cot \alpha \\ \csc ({270}^{\circ }+\alpha )& =-\sec \alpha \\ \sec ({270}^{\circ }+\alpha )& =\csc \alpha \\ \cot ({270}^{\circ }+\alpha )& =-\tan \alpha \end{array}\\ \hline\end{array}$.

kedua

$\begin{array}{|ccl|}\hline \text{Posisi}& \text{Tidak Ada Perubahan}& \text{Relasi Sudut}\\ \begin{array}{rl}& \text{Kuadran IV}\\ & {270}^{\circ }<\alpha <{360}^{\circ }\\ & =({360}^{\circ }-\alpha )\end{array}& \{\begin{array}{ll}\sin & =\sin \\ \cos & =\cos \\ \tan & =\tan \\ \csc & =\csc \\ \sec & =\sec \\ \cot & =\cot \end{array}& \begin{array}{rl}\sin ({360}^{\circ }-\alpha )& =-\sin \alpha \\ \cos ({360}^{\circ }-\alpha )& =\cos \alpha \\ \tan ({360}^{\circ }-\alpha )& =-\tan \alpha \\ \csc ({360}^{\circ }-\alpha )& =-\csc \alpha \\ \sec ({360}^{\circ }-\alpha )& =\sec \alpha \\ \cot ({360}^{\circ }-\alpha )& =-\cot \alpha \end{array}\\ \hline\end{array}$.

 A. 3  Sudut Negatif dan Sudut lebih Besar dari  ${360}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}\text{a}.& \{\begin{array}{ll}\sin (-A)& =-\sin A\\ \cos (-A)& =\cos A\\ \tan (-A)& =-\tan A\end{array}\\ \text{b}.& \{\begin{array}{ll}\csc (-A)& =-\csc A\\ \sec (-A)& =\sec A\\ \cot (-A)& =-\cot A\end{array}\\ \text{c}.& \{\begin{array}{ll}\sin (n{.360}^{\circ }+A)& =\sin A\\ \cos (n{.360}^{\circ }+A)& =\cos A\\ \tan (n{.360}^{\circ }+A)& =\tan A\end{array},n\in \mathbb{N}\end{array}$.

Catatan : $0^{\circ }$=${360}^{\circ }$=${720}^{\circ }$=${1080}^{\circ }$=$n{.360}^{\circ }$

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah nilai}\\ & \text{a}.\sin {120}^{\circ }\\ & \text{b}.\cos {240}^{\circ }\\ & \text{c}.\tan {315}^{\circ }\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.\sin {120}^{\circ }& =\sin ({180}^{\circ }-{60}^{\circ })=\sin {60}^{\circ }\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3},\text{atau}}\\ & =\sin ({90}^{\circ }+{30}^{\circ })=\cos {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}\\ \text{b}.\cos {240}^{\circ }& =\cos ({180}^{\circ }+{60}^{\circ })=-\cos {60}^{\circ }\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{2},\text{atau}}\\ & =\cos ({270}^{\circ }-{30}^{\circ })=-\sin {30}^{\circ }=-\frac{1}{2}\\ \text{c}.\tan {315}^{\circ }& =\tan ({360}^{\circ }-{45}^{\circ })=-\tan {45}^{\circ }\\ & =-1,\text{atau}\\ & =\tan ({270}^{\circ }+{45}^{\circ })=-\cot {45}^{\circ }=-1\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Buktikan bahwa}\\ \\ & \text{a}.{\displaystyle \frac{\cos ({90}^{\circ }-B)}{\sec B}+\frac{\sin ({90}^{\circ }-B)}{\csc B}=2\sin B\cos B}\\ \\ & \text{b}.\tan C+\tan ({90}^{\circ }-C)=\sec C.\sec ({90}^{\circ }-C)\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& {\displaystyle \frac{\cos ({90}^{\circ }-B)}{\sec B}+\frac{\sin ({90}^{\circ }-B)}{\csc B}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sin B}{\sec B}+\frac{\cos B}{\csc B}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sin B}{{\displaystyle \frac{1}{\cos B}}}+\frac{\cos B}{{\displaystyle \frac{1}{\sin B}}}}\\ & =\sin B\cos B+\sin B\cos B\\ & =2\sin B\cos B◼\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{b}.& \tan C+\tan ({90}^{\circ }-C)\\ & =\tan C+\cot C\\ & ={\displaystyle \frac{\sin C}{\cos C}+\frac{\cos C}{\sin C}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C}{\sin C\cos C}={\displaystyle \frac{1}{\sin C\cos C}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\cos C}.\frac{1}{\sin C}}\\ & =\sec C.\csc C\\ & =\sec C.\sec ({90}^{\circ }-C)◼\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah nilai}\\ & \text{a}.\tan (A-{90}^{\circ })\sin (-A)\\ & \text{b}.\cos {540}^{\circ }+\sin {690}^{\circ }\\ & \text{c}.\sin {2021}^{\circ }+\cos {2021}^{\circ }\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \tan (A-{90}^{\circ })\sin (-A)\\ & =\tan (-({90}^{\circ }-A))(-\sin A)\\ & =-\tan ({90}^{\circ }-A)(-\sin A)\\ & =\tan ({90}^{\circ }-A)(\sin A)\\ & =\cot A.\sin A\\ & ={\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A}.\sin A}\\ & =\cos A\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{b}.& \cos {540}^{\circ }+\sin {690}^{\circ }\\ & =\cos ({360}^{\circ }+{180}^{\circ })+\sin ({720}^{\circ }-{30}^{\circ })\\ & =\cos (0^{\circ }+{180}^{\circ })+\sin (0^{\circ }-{30}^{\circ })\\ & =\cos {180}^{\circ }+\sin (-{30}^{\circ })\\ & =\cos {180}^{\circ }-\sin {30}^{\circ }\\ & =-1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{c}.& \sin {2021}^{\circ }+\cos {2021}^{\circ }\\ & =\sin ({5.360}^{\circ }+{221}^{\circ })+\cos ({5.360}^{\circ }+{221}^{\circ })\\ & =\sin (0^{\circ }+{221}^{\circ })+\cos (0^{\circ }+{221}^{\circ })\\ & =\sin {221}^{\circ }+\cos {221}^{\circ }\\ & =\sin ({180}^{\circ }+{41}^{\circ })+\cos ({180}^{\circ }+{41}^{\circ })\\ & =-\sin {41}^{\circ }-\cos {41}^{\circ }\end{array}\end{array}$