Materi Lanjutan Distribusi Normal (Matematika Peminatan Kelas XII)

C. Transformasi Suatu Variabel Random Berdistribusi Normal

Dalam menentukan luas suatu variabel berdistribusi normal ke dalam variabel random berdistribusi normal baku dengan jalan mentransformasikannya

Adapun luasnya sama yaitu: 

$\begin{aligned}&\begin{aligned}\textrm{P}(\textrm{x}_{1}< X< \textrm{x}_{2})&=\displaystyle \int_{\textrm{x}_{1}}^{\textrm{x}_{2}}\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}\left (\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma }  \right )^{2}}d\textrm{x}\\ &=\displaystyle \int_{\textrm{z}_{1}}^{\textrm{z}_{2}}\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}\textrm{Z}^{2}}d\textrm{x}\\ &=\textrm{P}(\textrm{z}_{1}<\textrm{Z}<\textrm{z}_{2}) \end{aligned}\\\\ &\textrm{Luas di atas adalah hasil tranformasi}\\ &\textrm{variabel acak X}\sim \textrm{N}(\mu ,\sigma )\: \: \textrm{ke}\: \: \textrm{Z}\sim \textrm{N}(0,1)\\ &\textrm{dengan}\: \: \textrm{z}=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma } \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui variabel acak Z berdistribusi}\\ &\textrm{normal}\: \: \textrm{N}(0,1)\: \textrm{dan X berdistribusi}\\ &\textrm{normal N}(18,5).\: \textrm{Tentukanlah besar}\\ &\textrm{peluang berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{P}(\textrm{Z}>0,68)\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{P}(\textrm{X}<20)\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{P}(0,36<\textrm{Z}<1,42)\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{P}(17<\textrm{X}<18,5)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad \textrm{P}(\textrm{Z}>0,68)&=0,5-\textrm{P}(0<\textrm{Z}<0,68)\\ &=0,5-0,2517=\color{blue}0,2483 \end{aligned}\\&\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Transformasi}\: \: \textrm{x}=\color{red}20, \: \: \color{black}\textrm{dengan}\begin{cases} \mu  & =18 \\  \sigma  & =5  \end{cases}\\ &\textrm{z}=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{\color{red}20\color{black}-18}{5}=0,4,\: \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}\textrm{P}(\textrm{X}< 20)&=\textrm{P}(\textrm{Z}< 0,4)\\ &=0,5+\textrm{P}(0< \textrm{Z}< 0,4)\\ &=0,5+0,1554=\color{blue}0,6554 \end{aligned} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{c}.\quad \textrm{P}(0,36<\textrm{Z}<1,42)&=\textrm{P}(0<\textrm{Z}<1,42)-\textrm{P}(0<\textrm{Z}<0,36)\\ &=0,4222-0,1406=\color{blue}0,2816 \end{aligned}\\&\begin{aligned}\textrm{d}.\quad&\textrm{Transformasi}\: \: \textrm{x}_{1}=\color{red}17, \: \: \color{black}\textrm{dan}\: \: \textrm{x}_{2}=\color{red}18,5\\ &\begin{cases} \mu  & =18 \\  \sigma  & =5  \end{cases}\\ &\textrm{z}_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{\color{red}17\color{black}-18}{5}=-0,2,\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{z}_{2}=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{\color{red}18,5\color{black}-18}{5}=0,1,\: \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}\textrm{P}(17<\textrm{X}< 18,5)&=\textrm{P}(-0,2<\textrm{Z}< 0,1)\\ &=\textrm{P}(0< \textrm{Z}< 0,2)+\textrm{P}(0< \textrm{Z}< 0,1)\\ &=0,0793+0,0398=\color{blue}0,1191 \end{aligned} \end{aligned}   \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui variabel acak X berdistribusi}\\ &\textrm{normal memiliki rata-rata 16 dan simpangan}\\ &\textrm{baku}\: \: 1,4.\: \: \textrm{Hitunglah besar peluang dari}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{P}(\textrm{X}\leq 18,8)\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{P}(12,1\leq \textrm{X}\leq 16,3)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\&\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Transformasi}\: \: \textrm{x}=\color{red}18,8, \: \: \color{black}\textrm{dengan}\begin{cases} \mu  & =16 \\  \sigma  & =1,4  \end{cases}\\ &\textrm{z}=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{\color{red}18,8\color{black}-16}{1,4}=2,\: \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}\textrm{P}(\textrm{X}< 18,8)&=\textrm{P}(\textrm{Z}< 2)\\ &=0,5+\textrm{P}(0< \textrm{Z}< 2)\\ &=0,5+0,4772=\color{blue}0,9772 \end{aligned} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Transformasi}\: \: \textrm{x}_{1}=\color{red}12,1 \: ,\: \color{black}\textrm{dan}\: \: \textrm{x}_{2}=\color{red}16,3\\ &\begin{cases} \mu  & =16 \\  \sigma  & =1,4  \end{cases}\\ &\textrm{z}_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{\color{red}12,1\color{black}-16}{1,4}=-2,79,\: \: \textrm{dan}\\&\textrm{z}_{2}=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{\color{red}16,3\color{black}-16}{1,4}=0,21,\: \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}\textrm{P}(12,1<\textrm{X}< 16,3)&=\textrm{P}(-2,79<\textrm{Z}< 0,21)\\ &=\textrm{P}(0< \textrm{Z}< 2,79)+\textrm{P}(0< \textrm{Z}< 0,21)\\ &=0,4974+0,0832=\color{blue}0,5806 \end{aligned} \end{aligned}   \end{array}$ 

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Di sebuah MA dengan 1000 siswa diperoleh data}\\ &\textrm{rata-rata berat bada siswanya}\: \: 54\: \textrm{Kg}\: \textrm{dan simpangan}\\ &\textrm{baku}\: 8\: \textrm{Kg}.\: \textrm{Jika data tersebut berdistribusi normal}\\ &\textrm{tentukan bsnysk siswa yang memiliki berat badan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{lebih dari 70 Kg}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{antara 40 Kg sampai 50 Kg}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Transformasi}\: \: \textrm{x}=\color{red}70, \: \: \color{black}\textrm{dengan}\begin{cases} \mu  & =54 \\  \sigma  & =8  \end{cases}\\ &\textrm{z}=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{\color{red}70\color{black}-54}{8}=\frac{16}{8}=2\\ &\textrm{Dari tabel diperoleh}\\ &P(0< \textrm{Z}< 2)=0,4772,\: \: \textrm{selanjutnya}\\ &\begin{aligned}\textrm{P}(\textrm{X}>70)&=\textrm{P}(\textrm{Z}>2)\\ &=0,5-\textrm{P}(0< \textrm{Z}< 2)\\ &=0,5-0,4772=\color{blue}0,0228 \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya frekuensi harapan dalam hal ini}\\ &\begin{aligned}f_{h}(\textrm{X}>70)&=1000\times P(\textrm{X}>70)\\ &=1000\times \color{blue}0,0228\\ &=22,8\\ &\approx 23  \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, ada sebanyak 23 anak dengan berat badan}\\ &>\: \:  \textrm{70 Kg} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Transformasi}\: \: \textrm{x}_{1}=\color{red}40 \: ,\: \color{black}\textrm{dan}\: \: \textrm{x}_{2}=\color{red}50\\ &\begin{cases} \mu  & =54 \\  \sigma  & =8  \end{cases}\\ &\textrm{z}_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{\color{red}40\color{black}-54}{8}=-1,75,\: \: \textrm{dan}\\&\textrm{z}_{2}=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{\color{red}50\color{black}-54}{8}=-0,5,\: \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}\textrm{P}(40<\textrm{X}<50)&=\textrm{P}(-1,75<\textrm{Z}<-0,5)\\ &=\textrm{P}(0,5<\textrm{Z}<1,75)\\ &=\textrm{P}(0< \textrm{Z}< 1,75)-\textrm{P}(0< \textrm{Z}< 0,5)\\ &=0,4599-0,1915=\color{blue}0,2684 \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya frekuensi harapan dalam hal ini}\\ &\begin{aligned}f_{h}(40<\textrm{X}<50)&=1000\times P(40<\textrm{X}<50)\\ &=1000\times \color{blue}0,2684\\&=268,4\\ &\approx 268  \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, ada sebanyak 268 anak dengan berat badan}\\ &\textrm{antara 40 samapi 50 Kg} \end{aligned}   \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui Nilai-nilai ujian penerimaan pegawai baru}\\&\textrm{diperoleh mean 78 dan deviasi standarnya 6. Jika}\\ &\textrm{hanya}\: \: 12,5\%\: \: \textrm{calon yang akan diterima, maka nilai}\\ &\textrm{terendah yang lolos jika distribusinya normal}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Transformasi}\: \: \textrm{X}=\color{red}\textrm{x}\\ &\color{black}\textrm{dengan}\begin{cases} \mu  & =78 \\  \sigma  & =6,\: \textrm{dan}\\ \textrm{P}(\textrm{X}>x)&=12,5\%=0,125  \end{cases}\\&\begin{aligned}\textrm{P}(\textrm{X}>\textrm{x})\qquad&=\textrm{P}(\textrm{Z}>0)-\textrm{P}(0< \textrm{Z}<\textrm{z})\\ 0,125&=0,5-\textrm{P}(0< \textrm{Z}< \textrm{z})\\ \textrm{P}(0< \textrm{Z}< \textrm{z})\: \, &=0,5-0,125=\color{blue}0,375 \end{aligned}\\ &\textrm{Dari tabel diperoleh}\: \: \textrm{P}(0< \textrm{Z}< \textrm{z})=0,375,\\ &\textrm{selanjutnya didapatkan nilai}\: \: z=\color{red}1,15\\ &\textrm{Sehingga nilai terendah x yang diterima}\\&\textrm{z}=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma }\\ &\Leftrightarrow \textrm{x}=\textrm{z}\sigma +\mu =(1,15).6+78=84,9\approx 85 \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.

Contoh Soal 15 (Segitiga dan Ketaksamaan)

$\begin{array}{ll}\\ 71.&(\textbf{IMO 2001})\\ &\textrm{Diberikan}\: \: a,b\: \: \textrm{dan}\: \: c\: \: \textrm{bilangan real positif, tunjukkan}\\  &\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1\\\\ &\textbf{Bukti}:\\   &\begin{aligned}&\textrm{Dengan Ketaksamaan Holder pilih}\\ &\color{red}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\displaystyle \frac{1}{3}\: \left ( \displaystyle \sum_{i=1}^{3}\lambda _{i}=1 \right )\: \: \color{black}\textrm{akan diperoleh}\\ &\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.} a(a^{2}+8bc)\right )^{\frac{1}{3}}\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} \right )^{\frac{1}{3}}\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} \right )^{\frac{1}{3}}\geq (\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a)\\ &\textrm{dapat juga dituliskan lebih sederhana}\\ &\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.} a(a^{2}+8bc)\right )^{\frac{1}{3}}\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} \right )^{\frac{2}{3}}\geq \left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a \right )\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.} a(a^{2}+8bc)\right )\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} \right )^{2}\geq \left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a \right )^{3}\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} \right )^{2}\geq \displaystyle \frac{\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a \right )^{3}}{\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.} a(a^{2}+8bc)\right )}\\ &\color{red}\textrm{Perhatikan bahwa}\\&\bullet \: \left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a \right )^{3}=(a+b+c)^{3}\geq \color{blue}a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc\\ &\bullet \: \left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.} a(a^{2}+8bc)\right )=\color{blue}a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc\\ &\textrm{maka}\\ &\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} \right )^{2}\geq \displaystyle \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc}=1\\ &\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}\geq 1\qquad \blacksquare     \end{aligned} \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Sebagai catatan}\\&(a+b+c)^{3}=\color{red}a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}\\&\qquad \color{red}+3b^{2}c+3bc^{2}+3a^{2}c+3ac^{2}+6abc\\ &(a+b+c)^{3}-(a^{3}+b^{3}+c^{3})=\color{red}3a^{2}b+3ab^{2}\\ &\qquad \color{red}+3b^{2}c+3bc^{2}+3a^{2}c+3ac^{2}+6abc\\&\textrm{Dengan AM-GM akan diperoleh bentuk}\\&(a+b+c)^{3}-(a^{3}+b^{3}+c^{3})\\ &\geq 3\left ( 3\sqrt[3]{(abc)^{3}}+3\sqrt[3]{(abc)^{3}} \right )+6abc\\&\geq 3\left ( 3abc+3abc \right )+6abc=24abc\\ &\textrm{Sehingga}\\ &(a+b+c)^{3}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc     \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 72.&\textrm{Jika}\: \: a,b,\: \: \textrm{dan}\: \: c\: \: \textrm{bilangan real positif}\\ &\textrm{dengan}\: \: a+b+c=1\: \: \textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\displaystyle \frac{1}{a(b+c)^{2}}+\frac{1}{b(a+c)^{2}}+\frac{1}{c(a+b)^{2}}\geq \displaystyle \frac{81}{4}\\\\ &\textbf{Bukti}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Dengan Ketaksamaan Holder pilih}\\ &\color{red}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda _{4}=\displaystyle \frac{1}{4}\: \left ( \displaystyle \sum_{i=1}^{4}\lambda _{i}=1 \right )\: \: \color{black}\textrm{akan diperoleh}\\ &(a+b+c)(b+c+a+c+a+b)(b+c+a+c+a+b)\left (\displaystyle \frac{1}{a(b+c)^{2}}+\frac{1}{b(a+c)^{2}}+\frac{1}{c(a+b)^{2}}  \right )\\  &\geq (1^{.^{\frac{1}{4}}}+1^{.^{\frac{1}{4}}}+1^{.^{\frac{1}{4}}})^{4}=3^{4}=81\\ &\Leftrightarrow (1)(2)(2)\left (\displaystyle \frac{1}{a(b+c)^{2}}+\frac{1}{b(a+c)^{2}}+\frac{1}{c(a+b)^{2}}  \right )\geq 81\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{a(b+c)^{2}}+\frac{1}{b(a+c)^{2}}+\frac{1}{c(a+b)^{2}}\geq \displaystyle \frac{81}{4}\qquad \blacksquare   \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 73.&\textrm{Buktikan bahwa setiap bilangan real}\\ &\textrm{positif}\: \: a,\: b\: \: \textrm{dan}\: \: c\: \: \textrm{berlaku}\\ & a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc\\\\ &\textbf{Bukti}\\  &\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\: \: (a-b)^{2}\geq 0\\  &(a-c)^{2}\geq 0,\: \: \textrm{dan}\: \: (b-c)^{2}\geq 0\\ &\textrm{adalah benar, maka}\\ &(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab\: .....(1)\\ &\textrm{Dengan cara yang kurang lebih sama}\\ &\textrm{akan didapatkan}\\ &\bullet \quad a^{2}+c^{2}\geq 2ac\: .....(2)\\ &\bullet \quad b^{2}+c^{2}\geq 2bc\: .....(1)\\ &\textrm{Jika ketaksamaan}\quad (1),(2), \& \: (3)\: \: \textrm{dijumlahkan}\\ &\textrm{akan didapatkan bentuk}\\ &2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}\geq 2ab+2ac+2bc\\ &\Leftrightarrow \: a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc\quad \blacksquare\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\textrm{Dengan ketaksamaan}\: \: \color{red}\textbf{Cauchy-Schwarz}\\ &(a^{2}+b^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}+a^{2})\geq (ab+bc+ca)^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc\qquad \blacksquare\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 3}\\  &\textrm{Untuk barisan}\: \: (a,b,c),\: \textrm{asumsikan}\: a\geq b\geq c\\ &\textrm{maka dengan}\: \: \color{red}\textbf{Ketaksamaan Renata}\: \: \color{black}\textrm{diperoleh}\\ &a.a+b.b+c.c\geq ab+bc+ca\\ &a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc\qquad \blacksquare \\  &\color{blue}\textrm{Alternatif 4}\\ &\textrm{Dengan}\: \: \color{red}\textbf{Ketaksamaan Schur}\: \: \color{black}\textrm{saat}\: \: \color{red}r=0\color{black},\\ &\textrm{yaitu}\\ &a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-a)(b-c)+c^{r}(c-a)(c-b)\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{0}(a-b)(a-c)+b^{0}(b-a)(b-c)+c^{0}(c-a)(c-b)\geq 0\\ &\Leftrightarrow (a-b)(a-c)+(b-a)(b-c)+(c-a)(c-b)\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc\qquad \blacksquare    \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 74.&\textbf{(IMO 1964)}\\ &\textrm{Jika}\: \: a,b,c\: \: \textrm{adalah panjang sisi-sisi segitiga}\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\quad a^{2}(b+c-a)+b^{2}(a+c-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{Ketaksamaan Schur}\: \: \textrm{saat}\: \: \color{red}r=1.\\ &a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\\ &\Leftrightarrow 3abc\geq ab(a+b)-a^{3}+bc(b+c)-b^{3}+ca(c+a)-c^{3}\\ &\Leftrightarrow 3abc\geq a^{2}b+ab^{2}-c^{3}+b^{2}c+bc^{2}-b^{3}+c^{2}a+ca^{2}-c^{3}\\ &\Leftrightarrow 3abc\geq a^{2}b+ca^{2}-a^{3}+ab^{2}+b^{2}c-b^{3}+c^{2}a+bc^{2}-c^{3}\\ &\Leftrightarrow  3abc\geq a^{2}(b+c-a)+b^{2}(a+c-b)+c^{2}(a+b-c)\\ &\textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow a^{2}(b+c-a)+b^{2}(a+c-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc\quad \blacksquare   \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 75.&\textbf{(IMO 2000)}\\ &\textrm{Jika}\: \: a,b,c\: \: \textrm{bilangan real positif dengan}\\ &abc=1,\: \: \textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\quad \left (a+1- \displaystyle \frac{1}{b} \right )\left (b+1- \displaystyle \frac{1}{c} \right )\left (c+1- \displaystyle \frac{1}{a} \right )\leq 1\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\textrm{Misalkan}\: \: a=\displaystyle \frac{x}{y},\: b=\frac{y}{z},\: \: \textrm{dan}\: \: c=\displaystyle \frac{z}{x},\: \: \textrm{maka}\\ &\left ( \displaystyle \frac{x}{y}+1-\frac{z}{y} \right )\left ( \displaystyle \frac{y}{z}+1-\frac{x}{z} \right )\left ( \displaystyle \frac{z}{x}+1-\frac{y}{x} \right ) \leq 1\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \frac{x+y-z}{y} \right )\left ( \displaystyle \frac{y+z-x}{z} \right )\left ( \displaystyle \frac{z+x-y}{x} \right )\leq 1\\ &\Leftrightarrow (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz,\: \: \textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow \color{red}xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\\ &\textrm{Bentuk terakhir memenuhi bentuk kedua dari}\\ &\textbf{Ketaksamaan Schur}\: \: \textrm{saat}\: \: \color{red}r=1.\\ &\textrm{Jadi},\\ &\: \: \left (a+1- \displaystyle \frac{1}{b} \right )\left (b+1- \displaystyle \frac{1}{c} \right )\left (c+1- \displaystyle \frac{1}{a} \right )\leq 1\quad \blacksquare   \end{array}$.

Distribusi Normal (Matematika Peminatan Kelas XII)

 A. Pengertian Distribusi Normal

Distribusi normal adalah salah satu distribusi model variabel acak kontinue yang sangat penting dalam probabilitas.

Distribusi normal yang juga dikenal dengan distribusi Gaussian ini memiliki grafik berbentuk bel/lonceng yang selanjutnya juga dikenal dengan kurva normal karena bentuk kurvanya seperti lonceng. Persamaan kurva  tersebut dinamakan dengan fungsi distribusi normal. Adapun fungsi distribusi normal untuk variabel acak kontinue X didefinisikan dengan.

$\begin{aligned}&f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}.e^{.^{-\frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{x -\mu }{\sigma } \right )^{2}}}\\ &\textrm{Dengan}\\ &\sigma :\: \textrm{parameter untuk standar deviasi}\\ &\mu :\: \textrm{parameter untuk rata-rata (mean)}\\ &e:\: \textrm{Kontanta alam (2,718...)}\\ &\textrm{Dengan domain fungsi}\: \: f\: \: -\infty < x< \infty  \end{aligned}$.

Berikut gambar kurva normalnya $\textrm{N}(0,1)$

Untuk variabel acak X berdistribusi normal dilambangkan dengan $\textrm{X}\sim \textrm{N}(\mu,\sigma)$. Selanjutnya jika $\mu=0$ dan $\sigma=1$, maka akan diperoleh distribusi normal baku (standar) yaitu $\textrm{N}(0,1)$. Dan rumus fungsi variabel acak Z yang berdistribusi normal  baku adalahh: $f(z)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}$.

Karena kurva di atas adalah kurva dari grafik fungsi peluang, maka luas yang dibatasi adalah garfik fungsi dan sumbu mendatarnya adalah berharga 1, atau dapat juga dituliskan

$\int_{-\infty }^{\infty }f(z)dz=\int_{-\infty }^{\infty }\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz=1$.

Karena grafik simetris terhadap garis $\mu=0$, maka luas di kiri dan kanan garis $\mu=0$ bernilai $0,5$ atau

$\int_{-\infty }^{0 }f(z)dz=\int_{-\infty }^{0 }\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz=0,5$ dan $\int_{0 }^{\infty }f(z)dz=\int_{0}^{\infty }\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz=0,5$.

B. Penghitungan luas di Bawah Kurva Distribusi Normal

B. 1 Penghitungan luasan di bawah kurva

Penentuan luas wilayah ini sangatlah tidak mudah karena melibatkan banyak aspek, tetapi ada cara lain dalam penentuan luas daerah di bawah kurva normal, yaitu dengan bantuan tabel distribusi $\textrm{Z}$ sebagaimana tabel sederhana berikut

Sumber dari gambar di atas adalah dari screenshot dari youtube Channel Ari Susanti  

B. 2 Penghitungan luasan di bawah dengan Interval  Tertentu

Luasan daerah dibawah kurva normal baku pada interval  $z_{1}<\textrm{Z}<z_{2}$ dapat dituliskan sebagai  $P(z_{1}<\textrm{Z}<z_{2})=\displaystyle \int_{z_{1}}^{z_{2}}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Perhatikanlahdaerah berarsir pada kurva normal}\\ &\textrm{berikut untuk interval}\: \: 0<\textrm{Z}<1,25 \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{a}.\quad \textrm{Nyatakan dengan bentuk integral yang menyatakan}\\ &\: \: \: \, \quad \textrm{luas daerah yang terarsir}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Tentukan luas daerah yang diarsir dengan bantuan}\\ &\: \: \: \, \quad \textrm{tabel distribusi normal baku}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{Diketahui fungsi normal baku dalam variabel}\: z\: \: \textrm{adalah}:\\ &f(z)=\color{purple}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}\\ &\textrm{maka daerah yang diarsir pada interval}\: \: 0<\textrm{Z}<1,25\\ &\textrm{Yaitu}:\\ &L=\displaystyle \int_{0}^{1,25}f(z)dz=\color{blue}\displaystyle \int_{0}^{1,25}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Adapaun cara tabel adalah sebagai berikut}\\ &\textrm{Lihat gambar di atas, yaitu}:\: \color{blue}0,3944  \end{aligned} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada interval berikut, tentukanlah luas}\\ &\textrm{daerah dibawah kurva normbal baku}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Z}>0,96\\ &\textrm{b}.\quad -0,72<\textrm{Z}<2,08\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Karena luas daerah di kanan garis}\: z=0\\ &\textrm{maka luas}:\: 0,96<\textrm{Z}<\infty \\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}6\\  \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}0,9\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,3315\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, luasnya}=0,5-0,3315=0,1685 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Karena luas daerah di kiri dan kanan garis}\: z=0\\ &\textrm{maka luas}:\: -0,72<\textrm{Z}<2,08\: \textrm{atau}\: \: \textrm{P}(-0,72<\textrm{Z}<2,08)\\ &\underline{\textrm{Untuk}}\: :\: -0,72<\textrm{Z}<0=0<\textrm{Z}<0,72\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}2\\  \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}0,7\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,2642\\\hline \end{array}\\ &\underline{\textrm{Sedangkan untuk}}\: :\: 0<\textrm{Z}<2,08\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}8\\  \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}2,0\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,4812\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, luasnya}=\color{blue}0,2642\color{black}+\color{blue}0,4812\color{black}=\color{blue}0,7454\\ &\textrm{Berikut ilustrasinya} \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah besar peluang dari variabel}\\ &\textrm{variabel acak Z berdistribusi normal baku}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{P}(\textrm{Z}<1,2)\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{P}(0,32<\textrm{Z}<1,5)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{3. a. Perhatikan ilustrasi berikut ini} \end{array}$.

$.\: \qquad\begin{aligned}&\textrm{Karena luas daerah di kiri dan kanan garis}\: z=0\\ &\textrm{maka luas}:\: \textrm{P}(\textrm{Z}<1,2)=\textrm{P}(-\infty <\textrm{Z}<1,2) \\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}0\\  \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}1,2\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,3849\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, luasnya}=0,5+0,3315=0,8849 \end{aligned}$.

$.\quad\begin{aligned}3.b\: \: &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{P}(0,32<\textrm{Z}<1,5)\\ &\textrm{Perhatikan ilsutrasi berikut} \end{aligned}$.

$.\: \: \qquad\begin{aligned}&\textrm{Karena luas daerah di kanan garis}\: z=0\\ &\textrm{maka luas}:\: 0,32<\textrm{Z}<1,5\\ &\underline{\textrm{Untuk}}\: :\: 0<\textrm{Z}<0,32\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}2\\  \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}0,3\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,1255\\\hline \end{array}\\&\underline{\textrm{Sedangkan untuk}}\: :\: 0<\textrm{Z}<1,5\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}0\\  \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}1,5\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,4332\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, luasnya}=\color{blue}0,4332\color{black}-\color{blue}0,1255\color{black}=\color{blue}0,3077\\ \end{aligned}$ .

DAFTAR PUSTAKA

1. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor

 

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{A}.\quad&\textrm{Panjang Proyeksi Ortogonal Suatu}\\ &\textrm{Vektor pada vektor lain} \end{aligned}$.

Perhatikanlah ilstrasi gambar yang dibentuk dari dua vektor berikut

Pada gambar di atas 

$\begin{array}{|c|c|}\hline \triangle \textrm{OAC}&\angle \left ( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right )\\\hline \begin{aligned}\cos \theta &=\displaystyle \frac{\left | \overrightarrow{c} \right |}{\left | \overrightarrow{a} \right |}\\ \Leftrightarrow \left | \overrightarrow{c} \right |&=\left | \overrightarrow{a} \right |\cos \theta \: \: ........(1) \end{aligned}&\begin{aligned}\cos \theta &=\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\left | \overrightarrow{b} \right |}\: \: ........(2) \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\begin{aligned}\textrm{Dari}\: \: (1)\: \: &\textrm{dan} \: \: (2)\: \: \textrm{diperoleh}\\ \left | \overrightarrow{c} \right |&=\left | \overrightarrow{a} \right |\cos \theta \\ &=\left | \overrightarrow{a} \right |\left ( \displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\left | \overrightarrow{b} \right |} \right )\\ &=\color{red}\left |\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |} \right | \end{aligned}$

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{B}.\quad&\textrm{Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor}\\ &\textrm{pada vektor lain} \end{aligned}$.

$\begin{array}{|c|}\hline {\textrm{Perhatikan pula misal}\: \: \hat{c}\: \: \textrm{adalah vektor satuan dari}\: \: \overrightarrow{c}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b},}\\\hline \begin{aligned}\textrm{maka}\: \: \: \overrightarrow{c}&=\left | \overrightarrow{c} \right |\hat{c} \end{aligned}\qquad\qquad \textrm{dan}\qquad\qquad \begin{aligned}\overrightarrow{b}&=\left | \overrightarrow{b} \right |\hat{b}=\left | \overrightarrow{b} \right |\hat{c} \end{aligned}\\\hline {\begin{aligned}\textrm{Sehingga}&\: \: \textbf{proyeksi ortogonal vektor}\: \: \overrightarrow{a}\: \: \textrm{pada}\: \: \overrightarrow{b}\: \: \textrm{adalah}:\\ \overrightarrow{c}&=\left | \overrightarrow{c} \right |\hat{b}\\ &=\left ( \displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |} \right )\left ( \displaystyle \frac{\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |} \right )\\ &=\left (\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}} \right )\overrightarrow{b} \end{aligned}}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui vektor}\: \: \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}.\\ & \textrm{Tentukanlah proyeksi ortogonal vektor}\\ &\overrightarrow{a}\: \: \textrm{pada}\: \: \overrightarrow{b}\: \: \textrm{dan tentukanlah panjangnya} \\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Misalkan}&\: \: \overrightarrow{c}\: \: \textrm{adalah vektor proyeksi yang dimaksud, }\\ &\textrm{maka}\\ \overrightarrow{c}&=\left ( \displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}} \right )\overrightarrow{b}\\ &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}}{(-2)^{2}+1^{2}}.\overrightarrow{b}=\frac{3.(-2)+2.1}{4+1}\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}\\ &=-\frac{4}{5}\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{8}{5}\\ -\frac{4}{5} \end{pmatrix}\quad \textbf{atau}\\ &=\color{red}\frac{8}{5}\bar{i}-\frac{4}{5}\bar{j} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dan panjang}\: \: &\textrm{vektor proyeksi yang dimaksud adalah}:\\ \left |\overrightarrow{c} \right |&= \left |\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |} \right |\\ &=\left |\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}}{\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}} \right |=\left |\frac{3.(-2)+2.1}{\sqrt{4+1}} \right |\\ &=\left |-\frac{4}{\sqrt{5}} \right |\\ &=\displaystyle \frac{4}{\sqrt{5}}=\color{red}\frac{4}{5}\sqrt{5} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui vektor}\: \: \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} -5\\ 4 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 2\\ 6 \end{pmatrix}.\\ & \textrm{Tentukanlah proyeksi ortogonal vektor}\\ &\overrightarrow{a}\: \: \textrm{pada}\: \: \overrightarrow{b}\: \: \textrm{dan tentukanlah panjangnya} \\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Misalkan}&\: \: \overrightarrow{c}\: \: \textrm{adalah vektor proyeksi yang dimaksud, }\\ &\textrm{maka}\\ \overrightarrow{c}&=\left ( \displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}} \right )\overrightarrow{b}\\ &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} -5\\ 4 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2\\ 6 \end{pmatrix}}{2^{2}+6^{2}}.\overrightarrow{b}=\frac{(-5).2+4.6}{4+36}\begin{pmatrix} 2\\ 6 \end{pmatrix}\\ &=\frac{7}{20}\begin{pmatrix} 2\\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{7}{10}\\ \frac{21}{10} \end{pmatrix}\quad \textbf{atau}\\ &=\color{red}\frac{7}{10}\bar{i}+\frac{21}{10}\bar{j} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dan panjang}\: \: &\textrm{vektor proyeksi yang dimaksud adalah}:\\ \left |\overrightarrow{c} \right |&= \left |\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |} \right |\\ &=\left |\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} -5\\ 4 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2\\ 6 \end{pmatrix}}{\sqrt{2^{2}+6^{2}}} \right |=\left |\frac{(-5).2+4.6}{\sqrt{4+36}} \right |\\ &=\left |\frac{14}{\sqrt{40}} \right |\\ &=\displaystyle \frac{14}{2\sqrt{10}}=\color{red}\frac{7}{10}\sqrt{10} \end{aligned} \end{array}$.

$.\quad \color{red}\textrm{Coba bandingkan dengan vektor di dimensi tiga berikut}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui vektor}\: \: \overrightarrow{a}=3\bar{i}-2\bar{j}+2\bar{k}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=2\bar{i}-2\bar{j}+\bar{k}\\ &\textrm{Tentukanlah panjang vektor proyeksi ortogonal}\\ &\textrm{a}.\quad \overrightarrow{a}\: \: \textrm{pada}\: \: \overrightarrow{b}\qquad\qquad\qquad \textrm{b}.\quad \overrightarrow{a}\: \: \textrm{pada}\: \: \left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right ) \\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad\textrm{Misal}&\textrm{kan}\: \: \overrightarrow{c}\: \: \textrm{adalah vektor proyeksi yang dimaksud,}\\ & \textrm{maka panjanynya}\\ \left |\overrightarrow{c} \right |&= \left |\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |} \right | \\ &=\left |\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}} \right |=\left |\frac{3.2+(-2).(-2)+2.1}{\sqrt{4+4+1}} \right |\\ &=\left | \displaystyle \frac{12}{3} \right |=\color{red}4 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad\textrm{Misal}&\textrm{kan}\: \: \overrightarrow{f}\: \: \textrm{adalah vektor proyeksi yang dimaksud,}\\ & \textrm{maka panjanynya}\\ \left |\overrightarrow{f} \right |&= \left |\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\left (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )}{\left |\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} \right |} \right |\\ &=\left |\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 3+2\\ -2+(-2)\\ 2+1 \end{pmatrix}}{\sqrt{(3+2)^{2}+(-2+(-2))^{2}+(2+1)^{2}}} \right |\\ &=\left |\frac{3.5+(-2).(-4)+2.3}{\sqrt{25+16+9}} \right |\\ &=\left |\frac{29}{\sqrt{50}} \right |\\ &=\displaystyle \frac{29}{5\sqrt{2}}=\color{red}\frac{29}{10}\sqrt{5} \end{aligned} \end{array}$

Ketaksamaan Schur

4. Ketaksamaan Schur

(Bagian Pertama)

Misal $a,b,c$ adalah bilangan real positif dan $r$ adalah bilangan positif, maka pertidaksamaan berikut berlaku

$\begin{aligned}a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-a)(b-c)+c^{r}(c-a)(c-b)\geq 0 \end{aligned}$.

Atau dapat pula dituliskan dengan lebih sederhana

$\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{r}(a-b)(a-c)\geq 0$.

Kesamaan terjadi ketika $a=b=c$ atau jika dua di antara $a,b,c$ bernilai sama dan nilai yang lain sama dengan nol.

Bukti:

$\begin{aligned}&\textrm{Asumsikan dengan tanpa mengurangi keumuman}\\ &\textrm{yaitu}\: \: \color{red}a\ge b\ge c,\:\: \color{black}\textrm{maka kita akan mendapatkan}\\ &(a-b)\left( a^{r}(a-c)-b^{r}(b-c) \right)+c^{r}(c-a)(c-b)\ge 0\qquad \blacksquare \end{aligned}$.

Cukup jelas bahwa ruas kiri bernilai tak negatif.

Misalkan untuk $r=1$, didapatkan hasil berikut,:

$\begin{aligned}&a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)\\ &=a^{3}+b^{3}+c^{3}-\left( a^{2}b+a^{2}c+b^{2}a+b^{2}c+c^{2}a+c^{2}b \right)+3abc\\ &=\displaystyle \sum_{\textrm{sym}}^{.}\left( a^3-2a^{2}b+abc \right)\ge 0 \end{aligned}$.

$\begin{array}{|l|}\hline \begin{aligned}&\color{red}\textrm{Sebagai pengingat bahwa}\\ &\begin{aligned}1.\quad&\sum_{sym}^{.}a^{3}=2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}\\ 2.\quad &\sum_{sym}^{.}a^{2}b=a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2}\\ 3.\quad &\sum_{sym}^{.}abc=6abc \end{aligned} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Selanjutnya saat  $\color{red}r=1$, kita bisa mendaptkan

$\begin{aligned}1.\quad &a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\\ 2.\quad &abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\\ 3.\quad &(a+b+c)^{3}+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca) \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Selanjutnya, masih saat}\: \: \color{red}r=1\\ &\bullet \quad \textrm{untuk}\: \: c=0,\: \textrm{maka}\: \: (a-b)(a^{k+1}-b^{k+1})\geq 0\\ &\bullet \quad \textrm{untuk}\: \: b=c=0,\: \textrm{maka}\: \: a^{k+2}\geq 0\\ &\bullet \quad \textrm{untuk}\: \: b=c,\: \textrm{maka}\: \: a^{k}(a-c)^{2}\geq 0 \end{aligned}$.

Dan saat  $\color{red}r=2$, kita bisa mendaptkan

$\begin{aligned}a^{4}+&b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq ab(a^{2}+b^{2})+bc(b^{2}+c^{2})+ca(c^{2}+a^{2}) \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Buktikan bahwa setiap bilangan real}\\ &\textrm{positif}\: \: a,\: b\: \: \textrm{dan}\: \: c\: \: \textrm{berlaku}\\ & a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc\\\\ &\textbf{Bukti}\\  &\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\: \: (a-b)^{2}\geq 0\\  &(a-c)^{2}\geq 0,\: \: \textrm{dan}\: \: (b-c)^{2}\geq 0\\ &\textrm{adalah benar, maka}\\ &(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab\: .....(1)\\ &\textrm{Dengan cara yang kurang lebih sama}\\ &\textrm{akan didapatkan}\\ &\bullet \quad a^{2}+c^{2}\geq 2ac\: .....(2)\\ &\bullet \quad b^{2}+c^{2}\geq 2bc\: .....(1)\\ &\textrm{Jika ketaksamaan}\quad (1),(2), \& \: (3)\: \: \textrm{dijumlahkan}\\ &\textrm{akan didapatkan bentuk}\\ &2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}\geq 2ab+2ac+2bc\\ &\Leftrightarrow \: a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc\quad \blacksquare\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\textrm{Dengan ketaksamaan}\: \: \color{red}\textbf{Cauchy-Schwarz}\\ &(a^{2}+b^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}+a^{2})\geq (ab+bc+ca)^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc\qquad \blacksquare\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 3}\\  &\textrm{Untuk barisan}\: \: (a,b,c),\: \textrm{asumsikan}\: a\geq b\geq c\\ &\textrm{maka dengan}\: \: \color{red}\textbf{Ketaksamaan Renata}\: \: \color{black}\textrm{diperoleh}\\ &a.a+b.b+c.c\geq ab+bc+ca\\ &a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc\qquad \blacksquare \\  &\color{blue}\textrm{Alternatif 4}\\ &\textrm{Dengan}\: \: \color{red}\textbf{Ketaksamaan Schur}\: \: \color{black}\textrm{saat}\: \: \color{red}r=0\color{black},\\ &\textrm{yaitu}\\ &a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-a)(b-c)+c^{r}(c-a)(c-b)\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{0}(a-b)(a-c)+b^{0}(b-a)(b-c)+c^{0}(c-a)(c-b)\geq 0\\ &\Leftrightarrow (a-b)(a-c)+(b-a)(b-c)+(c-a)(c-b)\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc\qquad \blacksquare    \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textbf{(IMO 1964)}\\ &\textrm{Jika}\: \: a,b,c\: \: \textrm{adalah panjang sisi-sisi segitiga}\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\quad a^{2}(b+c-a)+b^{2}(a+c-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{Ketaksamaan Schur}\: \: \textrm{saat}\: \: \color{red}r=1.\\ &a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\\ &\Leftrightarrow 3abc\geq ab(a+b)-a^{3}+bc(b+c)-b^{3}+ca(c+a)-c^{3}\\ &\Leftrightarrow 3abc\geq a^{2}b+ab^{2}-c^{3}+b^{2}c+bc^{2}-b^{3}+c^{2}a+ca^{2}-c^{3}\\ &\Leftrightarrow 3abc\geq a^{2}b+ca^{2}-a^{3}+ab^{2}+b^{2}c-b^{3}+c^{2}a+bc^{2}-c^{3}\\ &\Leftrightarrow  3abc\geq a^{2}(b+c-a)+b^{2}(a+c-b)+c^{2}(a+b-c)\\ &\textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow a^{2}(b+c-a)+b^{2}(a+c-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc\quad \blacksquare   \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textbf{(IMO 2000)}\\ &\textrm{Jika}\: \: a,b,c\: \: \textrm{bilangan real positif dengan}\\ &abc=1,\: \: \textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\quad \left (a+1- \displaystyle \frac{1}{b} \right )\left (b+1- \displaystyle \frac{1}{c} \right )\left (c+1- \displaystyle \frac{1}{a} \right )\leq 1\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\textrm{Misalkan}\: \: a=\displaystyle \frac{x}{y},\: b=\frac{y}{z},\: \: \textrm{dan}\: \: c=\displaystyle \frac{z}{x},\: \: \textrm{maka}\\ &\left ( \displaystyle \frac{x}{y}+1-\frac{z}{y} \right )\left ( \displaystyle \frac{y}{z}+1-\frac{x}{z} \right )\left ( \displaystyle \frac{z}{x}+1-\frac{y}{x} \right ) \leq 1\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \frac{x+y-z}{y} \right )\left ( \displaystyle \frac{y+z-x}{z} \right )\left ( \displaystyle \frac{z+x-y}{x} \right )\leq 1\\ &\Leftrightarrow (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz,\: \: \textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow \color{red}xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\\ &\textrm{Bentuk terakhir memenuhi bentuk kedua dari}\\ &\textbf{Ketaksamaan Schur}\: \: \textrm{saat}\: \: \color{red}r=1.\\ &\textrm{Jadi},\\ &\: \: \left (a+1- \displaystyle \frac{1}{b} \right )\left (b+1- \displaystyle \frac{1}{c} \right )\left (c+1- \displaystyle \frac{1}{a} \right )\leq 1\quad \blacksquare   \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textbf{(IMO 1983)}\\ &\textrm{Jika}\: \: a,b,c\: \: \textrm{adalah panjang sisi-sisi segitiga}\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\quad a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\textrm{Pada sebuah segitiga dengan sisi}\: \: a,b,c\\ &\textrm{berlaku}\: \: \begin{cases} a+b>c & \Rightarrow  a>c-b\\  a+c>b & \Rightarrow  c>b-c\\  b+c>a & \Rightarrow  b>a-c \end{cases}\\ &\textrm{Sehingga untuk ketaksamaan pada soal}\\ &\color{red}a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(x-a)\\ &\geq a^{2}(a-c)(a-b)+b^{2}(b-c)(b-c)+c^{2}(c-b)(c-a)\color{red}\geq 0\\ &\textrm{Bentuk terakhir memenuhi bentuk dari}\\ &\textbf{Ketaksamaan Schur}\: \: \textrm{saat}\: \: \color{red}r=2.\\ &\textrm{Jadi},\\ &\quad a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0\quad \blacksquare    \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Misalkan}\: \: a,b,c\: \: \textrm{bilangan real positif dengan}\\ &a+b+c=2\: ,\: \textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\quad a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{Ketaksamaan Schur}\: \textrm{saat}\: \: \color{red}r=2\\ &\textrm{kita memiliki}\\ &a^{2}(a-b)(a-c)+b^{2}(b-a)(b-c)+c^{2}(c-a)(c-b)\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)-a^{3}(b+c)-b^{3}(a+c)-c^{3}(a+b)\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq a^{3}(b+c)+b^{3}(a+c)+c^{3}(a+b)\\ &\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\ &\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})+abc(a+b+c)\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\\ &\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})+abc(2)\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})(2)\\ &\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}\qquad \blacksquare \\\\ &\color{blue}\textrm{Bentuk di atas kadang dituliskan dengan bentuk}\\ &\color{blue}\textrm{berikut}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dengan}\: \: \textbf{Ketaksamaan Schur}\: \textrm{saat}\: \: \color{red}r=2\\ &\textrm{kita memiliki}\\ &\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{2}(a-b)(a-c)\geq 0\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{4}+abc\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a-\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3}(b+c)\geq 0\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{4}+abc\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a\geq \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3}(b+c)\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{4}+abc\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a\geq \left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3} \right )\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a \right )-\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{4} \right )\\ &\Leftrightarrow 2\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{4}+abc\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a\geq \left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3} \right )\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a \right )\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{4}+abc\geq \left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3} \right )\qquad \blacksquare \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&(\textbf{APMO 2004})\\ &\textrm{Misalkan}\: \: x,y,x\: \: \textrm{bilangan real positif dengan}\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\quad (x^{2}+2)(y^{2}+2)(z^{2}+2)\geq 9(xy+yz+zx)\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\textrm{Dengan menjabarkan akan didapatkan}\\ &x^{2}y^{2}z^{2}+2\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}x^{2}y^{2}+4\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}x^{2}+8\geq 9\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}xy\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\bullet \quad\color{red}2\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}x^{2}y^{2}-4\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}xy+6=2\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}(xy-1)^{2}\geq 0\\ &\bullet  \quad \color{red}\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}x^{2}\geq \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}xy\: \: \color{black}\textrm{atau}\: \: \color{red}x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+xz+yz\\ &\textrm{Kita cukup membuktikan bahwa}\\ & x^{2}y^{2}z^{2}+\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}x^{2}+2\geq 2\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}xy\\ &\Leftrightarrow  x^{2}y^{2}z^{2}+2\geq \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}xy\\ &\begin{aligned}&\textrm{Untuk}\: \: a,b,c\: \: \textrm{bilangan real positif},\\ &\textbf{Ketaksamaan Schur}\: \textrm{saat}\: \: \color{red}r=1\\ &\textrm{memberikan}\\ &\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3}+3abc\geq \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{2}b+\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}ab^{2}\\ &\qquad\qquad\qquad =ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{Ketaksamaan AM-GM}\: \: \textrm{didapakan}\\ &\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3}+3abc\geq 2\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}(ab)^{\frac{3}{2}}\\ &\textrm{Pilih}\: \: a=x^{\frac{2}{3}},\: b=y^{\frac{2}{3}},\: c=z^{\frac{2}{3}},\: \textrm{maka didapatkan}\\ &(x^{\frac{2}{3}})^{3}+(y^{\frac{2}{3}})^{3}+(z^{\frac{2}{3}})^{3}+3(xyz)^{\frac{2}{3}}\geq 2(xy+yz+zx)\\ &\textrm{Selanjutnya kita selesaikan ini}\: ,\: x^{2}y^{2}z^{2}+2\geq \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}xy\\ &\Leftrightarrow  x^{2}y^{2}z^{2}+2 \geq 3(xyz)^{\frac{2}{3}}\\ &\textrm{Misalkan}\: \: (xyz)^{\frac{2}{3}}=t,\: \textrm{maka}\\ &t^{3}+2\geq 3t\Leftrightarrow t^{3}-3t+2\geq 0\\ &(t-1)^{2}(t+2)\geq 0\: \: \textrm{adalah hal benar} \end{aligned}   \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tung. K.Y. 2013. Ayo Raih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Yogyakarta: ANDI.
2. Venkatachala, B.J. 2009. Inequalities An Approach Through Problems (2nd). India: SPRINGER.
3. Young, B. 2009. Seri Buku Olimpiade Matematika Strategi Menyelesaikan Soal-Soal Olimpiade Matematika: Ketaksamaan (Inequality). Bandung: PAKAR RAYA.

Peluang Kejadian Majmuk (Lanjutan Materi 1 Kelas XII Matematika Wajib)

 $\color{blue}\begin{aligned}\textrm{C}.\quad&\textrm{Peluang Kejadian Tunggal} \end{aligned}$

Jika A adalah suatu kejadian dengan  $A\subset S$  dan S suatu ruang sampel, maka peluang kejadian A didefinisikan dengan

$\begin{aligned}&\qquad P(A)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\\ \textbf{Keterangan}&:\\ &\\ P(A)&=\textrm{Peluang kejadian}\: \: A\\ n(A)&=\textrm{Banyak elemen pada suatu}\\ &\: \: \quad \textrm{kejadian}\: \: A\\ n(S)&=\textrm{Banyak titik sampel pada}\\ &\: \: \quad \textrm{ruang sampel} \: \: S \end{aligned}$

$\begin{aligned} \textrm{Dari}\: \: \textrm{k}&\textrm{emungkinan di atas}\\ \textrm{dapat}\: &\textrm{disimpulkan}\\ \textrm{a}\quad &\textrm{Kisaran nilai peluangnya, yaitu}\\ &0\leq P(A)\leq 1\\ \textrm{b}\quad&\textrm{Jika}\: \: A=\varnothing ,\: \textrm{maka}\: \: \color{red}P(A)=0\\ &\textrm{dan ini dinamakan kejadian}\\ &\textbf{yang mustahil}\\ \textrm{c}\quad&\textrm{Jika}\: \: A=S,\: \textrm{maka}\: \: \color{blue}P(A)=1\\ &\textrm{dan kejadian ini dinamakan}\\ &\textrm{kejadian yang}\: \: \textbf{pasti terjadi} \end{aligned}$

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{D}.\quad&\textrm{Frekuensi Harapan Suatu Kejadian} \end{aligned}$

Frekuensi harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang suatu kejadian dengan dengan banyaknya percobaan dan dirumuskan dengan

$\begin{aligned}f_{h}(A)&=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times n \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah dadu dilempar sekali. Berapakah}\\ &\textrm{peluang munculnya mata dadu lebih}\\ &\textrm{dari 3}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Misalkan}\: \: A\: \: \textrm{kejadian muncul mata dadu}\\ &\textrm{lebih dari 3, maka}\\ &S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \},\: \: \textrm{dan}\\ &A=\left \{ 4,5,6 \right \}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &P(A)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ &\textrm{Jadi, peluang kejadian ini adalah}\: \: \displaystyle \frac{1}{2} \end{array}$

Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)

 Masih ingat konsep materi peluang pada saat Amda duduk di SMP? 

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{A}.\quad&\textrm{Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian} \end{aligned}$

Mari lakukan aktivitas berikut

$\begin{array}{|c|l|c|c|}\hline \textrm{No}.&\: \: \qquad\textrm{Percobaan}&\textrm{Titik}&\textrm{Notasi}\\ &&\textrm{Sampel}&\textrm{Himpunan}\\\hline 1&\textrm{Pelemparan sekeping}&&\\ &\textrm{uang logam}&\textrm{A}\: ,\: \textrm{G}&\left \{ A,G \right \}\\\hline 2&\textrm{Pelemparan dua keping}&AA,&\\ &\textrm{mata uang logam}&AG,&\\ &\textrm{secara bersamaan}&GA,&\cdots \\ &&GG&\\\hline 3&\textrm{Pelemparan sebuah}&&\\ &\textrm{dadu}&\cdots &\cdots \\\hline 4&\textrm{Pelemparan dua buah}&&\\ &\textrm{dadu secara bersamaan}&\cdots &\cdots \\\hline \end{array}$

$\begin{aligned}&\textrm{Sebagai penjelasan istilah di atas adalah}:\\ &\textbf{Percobaan}:\: \textrm{proses berupa tindakan yang}\\ &\textrm{bisa diamati atau dapat juga dikatakan}\\ &\textrm{suatu tindakan untuk mendapatkan hasil}\\ &\textrm{tertentu}\\ &\textbf{Ruang sampel}:\: \textrm{kumpulan dari semua}\\ &\textrm{hasil yang mungkin dari sebuah percobaan}\\ &\textbf{Titik Sampel}:\: \textrm{tiap hasil yang mungkin}\\ &\textbf{Kejadian}\: \textrm{atau}\: \textbf{peristiwa (event)}:\\ &\textrm{hasil-hasil (titik-titik sampel) tertentu}\\ & \textrm{dari ruang sampel}. \end{aligned}$

Selanjutnya ruang sampel dilambangkan dengan S dan kejadian/event dilambangkan dengan E.

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{B}.\quad&\textrm{Penentuan Ruang Sampel} \end{aligned}$

Ada 2 macam penentuan ruang sampel, yaitu tabel dan diagram pohon

Sebagai misal pada pelemparan 3 buah uang koin sebanyak tiga kali, maka akan didapatkan ruang sampel sebagai berikut

$\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Dengan tabel}\\ &\textrm{Mula-mula (pelemparan)}\: 1\&2\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline &A&G\\\hline A&AA&AG\\\hline G&GA&GG\\\hline \end{array}\\ &\textrm{selanjutnya pada pelemparan ke-3}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline &A&G\\\hline AA&AAA&AAG\\\hline AG&AGA&AGG\\\hline GA&GAA&GAG\\\hline GG&GGA&GGG\\\hline \end{array}\\ \textrm{b}\quad&\textrm{Dengan Diagram Pohon}\\ &\begin{aligned} \color{blue}\textrm{Mula}\: \, &(1)\quad (2)\quad (3)\quad \color{blue}\textbf{Ruang sampel}\\ \textbf{Mulai}&\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,A,A)\\ G\rightarrow (A,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,G,A)\\ G\rightarrow (A,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,A,A)\\ G\rightarrow (G,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,G,A)\\ G\rightarrow (G,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{aligned} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Pada percobaan pelemparan sebuah dadu},\\ &\textrm{tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul mata dadu 6}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul mata dadu ganjil}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\: \color{red}S\color{black}=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}:1,2,3,4,5\: \: \textrm{dan}\: \: 6\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}:n(S)=6\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{kejadian muncul mata dadu 6},\: E=\left \{ 6 \right \}\\ &\qquad n(E)=1\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{kejadian muncul mata dadu ganjil},\\ &\qquad E=\left \{ 1,3,5 \right \},\: \: n(E)=3 \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada percobaan pelemparan sekeping uang}\\ &\textrm{logam, tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul sisi angka}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul sisi gambar}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\: \color{red}S\color{black}=\left \{ A,G \right \}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}:A\: \: \textrm{dan}\: \: G\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}:n(S)=2\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{kejadian muncul sisi angka},\: E=\left \{ A \right \}\\ &\qquad n(E)=1\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{kejadian muncul sisi gambar},\: E=\left \{ G \right \}\\ &\qquad n(E)=1 \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Pada percobaan pelemparan 2 keping uang}\\ &\textrm{logam, tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul 2 angka}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul minimal}\\ &\quad \textrm{sebuah sisi gambar}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\qquad \color{red}S\color{black}=\left \{ AA,AG, GA, GG \right \}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}:AA,AG,GA\: \: \textrm{dan}\: \: GG\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}:n(S)=4\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{kejadian muncul 2 sisi angka},\: E=\left \{ AA \right \}\\ &\qquad n(E)=1\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{kejadian muncul minimal}\\ &\qquad \textrm{sebuah sisi gambar}\: E=\left \{ AG,GA,GG \right \}\\ &\qquad n(E)=3 \end{array}$

Binomial Newton pada Kombinasi (Matematika Wajib Kelas XII)

 Pengayaan:

$\color{blue}\textrm{E. Binomial Newton}$

$\color{blue}\textrm{E. 1 Binomial Newton}$

$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah susunan bilangan berikut}\\\\ &\begin{array}{|c|l|}\hline &\\ 1=C_{0}^{\color{red}1}\quad 1=C_{1}^{\color{red}1}&(a+b)^{\color{red}1}\\ &\\ 1=C_{0}^{\color{red}2}\quad 2=C_{1}^{\color{red}2}\quad 1=C_{2}^{\color{red}2}&(a+b)^{\color{red}2}\\ &\\ 1=C_{0}^{\color{red}3}\quad 3=C_{1}^{\color{red}3}\quad 3=C_{2}^{\color{red}3}\quad 1=C_{3}^{\color{red}3}&(a+b)^{\color{red}3}\\ &\\ 1=C_{0}^{\color{red}4}\quad 4=C_{1}^{\color{red}4}\quad 6=C_{2}^{\color{red}4}\quad 4=C_{3}^{\color{red}4}\quad 1=C_{4}^{\color{red}4}&(a+b)^{\color{red}4}\\ \vdots &\: \: \quad\vdots \\ dst&(a+b)^{\color{red}\cdots }\\ &\\ \vdots&\: \: \quad\vdots \\ &(a+b)^{\color{red}n}\\\hline \end{array}\\\\ &\textrm{Susunan bilangan-bilangan di atas selanjutnya}\\ &\textrm{dinamakan}\: \: \: \textbf{Segitiga Pascal}\\ & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&\textrm{Bilangan}\: \: C_{r}^{n}=\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}\: \: \textrm{merupakan koefisien}\\ &\textrm{dari binomial}\: \: (a+b)^{n}\\ &\textrm{Selanjutnya perhatikanlah bahwa untuk}\\ &n=1,2,3,4,\cdots \: \: \: \textrm{berlaku}\\ &\color{red}\begin{aligned}(a+b)^{n}\color{black}=\, &\color{red}C_{0}^{n}a^{n}b^{0}+C_{1}^{n}a^{n-1}b^{1}+C_{2}^{n}a^{n-2}b^{2}\\ &+C_{3}^{n}a^{n-3}b^{3}+\cdots +C_{n-3}^{n}a^{3}b^{n-3}\\ &+C_{n-2}^{n}a^{2}b^{n-2}+C_{n-1}^{n}a^{1}b^{n-1}+C_{n}^{n}a^{0}b^{n}\\ &\color{black}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{\color{red}n}a^{\color{red}n\color{black}-r}b^{r} \end{aligned}\\ & \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{E. 2 Perluasan Binomial Newton}$

$\begin{aligned}&\textrm{Untuk bilangan real}\: \: n\: \: \textrm{dan bilangan}\\ &\textrm{non negatif}\: \: r,\: \: \textrm{serta}\: \: \left | A \right |<1,\: \textrm{berlaku}:\\ &(1+A)^{n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{n}A^{r} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{E. 3 Teorema Multinomial}$

Pada bentuk multinomial dengan ekspresi  $(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{r})^{n}$  dengan n dan r bilangan bulat positif, maka koefisien dari  $\color{red}x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}x_{3}^{n_{3}}\cdots x_{r}^{n_{r}}$   adalah  $\displaystyle \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!\cdots n_{r}!}$  dinotasikan dengan  $\begin{pmatrix} n\\\\ n_{1},n_{2},n_{3},\cdots ,n_{r} \end{pmatrix}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Misalkan untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan bulat}\\ &\textrm{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ &\textrm{a}.\quad (1+x)^{n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{n}x^{r}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}x^{r}\\ &\textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}=2^{n}\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\color{red}\begin{aligned}\color{black}\textrm{a}.\quad(1+x)&^{n}\\ \color{black}=\, &\color{red}C_{0}^{n}1^{n}x^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}x^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}x^{2}\\ &+C_{3}^{n}1^{n-3}x^{3}+\cdots +C_{n-3}^{n}1^{3}x^{n-3}\\ &+C_{n-2}^{n}1^{2}x^{n-2}+C_{n-1}^{n}1^{1}x^{n-1}+C_{n}^{n}1^{0}x^{n}\\ =\, &\color{red}C_{0}^{n}+C_{1}^{n}x+C_{2}^{n}x^{2} +C_{3}^{n}x^{3}+\cdots \\ &+C_{n-3}^{n}x^{n-3} +C_{n-2}^{n}x^{n-2}+C_{n-1}^{n}x^{n-1}\\ &+C_{n}^{n}x^{n}\\ \color{black}\textrm{atau}&\: \color{black}\textrm{dengan bentuk lain}\\ =\, &\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}x^{2}+\begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix}x^{3}\\ &+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n-3 \end{pmatrix}x^{n-3}+\begin{pmatrix} n\\ n-2 \end{pmatrix}x^{n-2}\\ &+\begin{pmatrix} n\\ n-1 \end{pmatrix}x^{n-1}+\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}x^{n}\\ \color{black}=&\color{black}\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} \color{red}n\\ r \end{pmatrix}x^{r} \end{aligned}\\ &\color{red}\begin{aligned}\color{black}\textrm{b}.\quad(1+x)&^{n}\: \: \color{black}\textrm{lihat jawaban poin}\: \: a,\: \: \textrm{saat}\: \: \color{blue}x=1\\ \color{black}(1+1)&^{n}\color{red} \color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}1+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}1^{2}+\begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix}1^{3}\\ &+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n-3 \end{pmatrix}1^{n-3}+\begin{pmatrix} n\\ n-2 \end{pmatrix}1^{n-2}\\ &+\begin{pmatrix} n\\ n-1 \end{pmatrix}1^{n-1}+\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}1^{n}\\ \color{black}(2)&^{n}\color{red} \color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix}\\ &+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}\\ \color{black}=&\color{black}\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}\\ \color{black}\textrm{Sehing}&\color{black}\textrm{ga}\\ 2^{n}&=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Misalkan untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan bulat}\\ &\textrm{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ & \begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}-\cdots +(-1)^{n}\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}=0\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\textrm{Sebelumnya diketahui bahwa}\\ &\begin{aligned}&(a+b)^{n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}a^{n-r}b^{r}\\ &\qquad\qquad\qquad \color{blue}\textrm{atau}\\ &\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}a^{n-r}b^{r}=(a+b)^{n}\\ &\blacklozenge \quad \textrm{saat}\: \: \color{blue}a=b=1,\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ &\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}1^{n-r}1^{r}=(1+1)^{n}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}=2^{n}\: ...\: (\color{red}\textrm{bukti no. 1.b})\\ &\blacklozenge \quad \textrm{saat}\: \: \color{blue}a=1\: \&\: b=-1\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ &\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}1^{n-r}(-1)^{r}=(1-1)^{n}=0\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}-\cdots +(-1)^{n}\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}=0\quad \blacksquare \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Untuk}\: n,r\geq 0,\: \textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n\\ n-r \end{pmatrix}\\ &\textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{n}{r}\begin{pmatrix} n-1\\ r-1 \end{pmatrix}\\ &\textrm{c}.\quad \begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{n-r+1}{r}\begin{pmatrix} n\\ r-1 \end{pmatrix}\\ &\textrm{d}.\quad\begin{pmatrix} -n\\ r \end{pmatrix}=(-1)^{k}\begin{pmatrix} n+r-1\\ r \end{pmatrix}\\ &\textrm{e}.\quad\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ r+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1\\ r+1 \end{pmatrix}\\ &\textrm{f}.\quad \begin{pmatrix} n\\ m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m\\ r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n-r\\ m-r \end{pmatrix}\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}&=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\ &=\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!(n-(n-r))!}\\ &=\frac{n!}{(n-r)!r!}=\begin{pmatrix} n\\ n-r \end{pmatrix} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}&=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\ &=\displaystyle \frac{n.(n-1)!}{r.(r-1)!\left ((n-1)-(r-1) \right )!}\\ &=\displaystyle \frac{n}{r}\frac{(n-1)!}{(r-1)!\left ( (n-1)-(r-1) \right )!}\\ &=\displaystyle \frac{n}{r}\begin{pmatrix} n-1\\ r-1 \end{pmatrix} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{c}.\quad\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}&=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\ &=\displaystyle \frac{n!}{r.(r-1)!(n-r)!}\times \frac{((n-r)+1)}{((n-r)+1)}\\ &=\displaystyle \frac{n-r+1}{r}\times \frac{n!}{(r-1)!((n-r)+1)!}\\ &=\displaystyle \frac{n-r+1}{r}\times \frac{n!}{(r-1)!(n-(r-1))!}\\ &=\displaystyle \frac{n-r+1}{r}\begin{pmatrix} n\\ r-1 \end{pmatrix} \end{aligned}\\ &\textrm{d}.\quad\textrm{Silahkan dicoba buat latihan}\\ &\textrm{e}.\quad\textrm{Silahkan dicoba buat latihan}\\ &\textrm{f}.\quad\textrm{Silahkan dicoba buat latihan} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan nilai dari}\\ &\textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} 100\\ 1 \end{pmatrix}\\ &\textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} 100\\ 100 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 101\\ 100 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 102\\ 100 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} 200\\ 100 \end{pmatrix}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} 100\\ 1 \end{pmatrix}\\ &\color{red}\textrm{Sebelumnya perhatikan}\\ &=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Karena}\\ &\begin{pmatrix} n\\ r-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1\\ r \end{pmatrix}\\ &\textrm{Saat}\\ &\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\underset{\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix}}{\underbrace{\underset{\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}}{\underbrace{\underset{\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}}{\underbrace{\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}}}+\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix} }}+\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}}}\\ &\textrm{maka}\\ &=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1\\ 2 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Jadi},\\ &\color{black}\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} 100\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 101\\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}\\ &\textrm{b}\quad \textrm{Silahkan coba sendiri}\\ &\: \: \quad\textrm{sebagai latihan} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukanlah nilai dari}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sum_{r=0}^{1000}\begin{pmatrix} 1000\\ r \end{pmatrix}\\ &\textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} 2009\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2009\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2009\\ 3 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} 2009\\ 2004 \end{pmatrix}\\\\ &\: \: \qquad (\textbf{OSK 2009})\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sum_{r=0}^{1000}\begin{pmatrix} 1000\\ r \end{pmatrix}=\displaystyle \sum_{r=0}^{1000}\begin{pmatrix} 1000\\ r \end{pmatrix}1^{1000-r}1^{r}\\\\ &\: \: \qquad=(1+1)^{1000}=2^{1000}\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \sum_{r=0}^{2009}\begin{pmatrix} 2009\\ r \end{pmatrix}=2^{2009}\\ &\: \: \qquad \textrm{karena}\: \: \color{blue}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}\color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ n-r \end{pmatrix},\: \color{black}\textrm{maka}\\ &\: \: \qquad \begin{pmatrix} 2009\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2009\\ 2009 \end{pmatrix},\: \begin{pmatrix} 2009\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2009\\ 2008 \end{pmatrix},\\ &\: \: \qquad \cdots ,\: \begin{pmatrix} 2009\\ 1004 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2009\\ 1005 \end{pmatrix}\\ &\: \: \qquad \textrm{Sehingga}\\ &\: \: \qquad \begin{pmatrix} 2009\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2009\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2009\\ 2 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} 2009\\ 2009 \end{pmatrix}=\color{red}2^{2009}\\ &\: \: \qquad \Leftrightarrow \: \begin{pmatrix} 2009\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2009\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2009\\ 2 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} 2009\\ 1004 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{2^{2009}}{2}=2^{2008}\\ &\: \: \qquad \Leftrightarrow \: 1+\begin{pmatrix} 2009\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2009\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2009\\ 3 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} 2009\\ 1004 \end{pmatrix}=2^{2008}\\ &\: \: \qquad \Leftrightarrow \: \begin{pmatrix} 2009\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2009\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2009\\ 3 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} 2009\\ 1004 \end{pmatrix}=2^{2008}-1 \end{array}$

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
2. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung: SEWU.
3. Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.
4. Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.

Contoh Soal 14 (Segitiga dan Ketaksamaan)

$\begin{array}{ll}\\ 66.&\textrm{Jika}\: \: x,y\: \: \textrm{bilangan positif, tunjukkan}\\ &x^{2}+y^{2}\geq \displaystyle \frac{(x+y)^{2}}{2}\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &(x-y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow x^{2}-2xy+y^{2}\geq 0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq 2xy\\ &\Leftrightarrow 2x^{2}+2y^{2}\geq x^{2}+y^{2}+2xy\\ &\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \displaystyle \frac{(x+y)^{2}}{2}\qquad \blacksquare  \end{aligned}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\textrm{Dengan Ketaksamaan Holder pilih}\\ &\color{red}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\displaystyle \frac{1}{2}\: \left ( \displaystyle \sum_{i=1}^{2}\lambda _{i}=1 \right )\: \: \color{black}\textrm{akan diperoleh}\\ &\begin{aligned}&\left ( \displaystyle \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{1} \right )^{\frac{1}{2}}(1+1)^{\frac{1}{2}}\geq x+y\\ &\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})(1+1)\geq (x+y)^{2}\\ &\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})\geq \displaystyle \frac{(x+y)^{2}}{2}\qquad \blacksquare   \end{aligned}   \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 67.&\textrm{Untuk}\: \: x,y\: \: \textrm{bilangan positif, tunjukkan}\\ &\textrm{kebenaran ketaksamaan Cauchy-Schwarz}\\ &\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}}+\frac{x_{2}^{2}}{y_{2}}+\frac{x_{3}^{2}}{y_{3}}+\cdots +\frac{x_{n}^{2}}{y_{n}}\geq \displaystyle \frac{(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{2}}{y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}}\\\\ &\textbf{Bukti}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Dengan Ketaksamaan Holder pilih}\\ &\color{red}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\displaystyle \frac{1}{2}\: \left ( \displaystyle \sum_{i=1}^{2}\lambda _{i}=1 \right )\: \: \color{black}\textrm{akan diperoleh}\\ &\left ( \displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}}+\frac{x_{2}^{2}}{y_{2}}+\cdots +\frac{x_{n}^{2}}{y_{n}} \right )^{\frac{1}{2}}(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n})^{\frac{1}{2}}\geq (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})\\ &\left ( \displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}}+\frac{x_{2}^{2}}{y_{2}}+\cdots +\frac{x_{n}^{2}}{y_{n}} \right )(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n})\geq (\sqrt{x_{1}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}}+\cdots +\sqrt{x_{n}^{2}})^{2}\\ &\left ( \displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}}+\frac{x_{2}^{2}}{y_{2}}+\cdots +\frac{x_{n}^{2}}{y_{n}} \right )(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n})\geq (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{2}\\ &\left ( \displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}}+\frac{x_{2}^{2}}{y_{2}}+\cdots +\frac{x_{n}^{2}}{y_{n}} \right )\geq \displaystyle \frac{(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{2}}{(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n})}\qquad \blacksquare  \end{aligned}     \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 68.&(\textbf{National Mathematical Contest, Belarus-2000})\\ &\textrm{Jika}\: \: a,b,c,x,y\: \: \textrm{dan}\: \: z\: \: \textrm{bilangan real positif, tunjukkan}\\ &\displaystyle \frac{a^{3}}{x}+\frac{b^{3}}{y}+\frac{c^{3}}{z}\geq \displaystyle \frac{(a+b+c)^{3}}{3(x+y+z)}\\\\ &\textbf{Bukti}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Dengan Ketaksamaan Holder pilih}\\ &\color{red}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\displaystyle \frac{1}{3}\: \left ( \displaystyle \sum_{i=1}^{3}\lambda _{i}=1 \right )\: \: \color{black}\textrm{akan diperoleh}\\ &\left ( \displaystyle \frac{a^{3}}{x}+\frac{b^{3}}{y}+\frac{c^{3}}{z} \right )^{\frac{1}{3}}(1+1+1)^{\frac{1}{3}}(x+y+z)^{\frac{1}{3}}\geq (a+b+c)\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \frac{a^{3}}{x}+\frac{b^{3}}{y}+\frac{c^{3}}{z} \right )(3)(x+y+z)\geq (a+b+c)^{3}\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \frac{a^{3}}{x}+\frac{b^{3}}{y}+\frac{c^{3}}{z} \right )\geq \displaystyle \frac{(a+b+c)^{3}}{3(x+y+z)}\qquad \blacksquare   \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 69.&\textrm{Jika}\: \: a,b,c,x,y\: \: \textrm{dan}\: \: z\: \: \textrm{bilangan real positif}\\ &\textrm{dengan}\: \: a+b+c=x+y+z\: \: \textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\displaystyle \frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{y^{2}}+\frac{c^{3}}{z^{2}}\geq a+b+c\\\\ &\textbf{Bukti}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Dengan Ketaksamaan Holder pilih}\\ &\color{red}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\displaystyle \frac{1}{3}\: \left ( \displaystyle \sum_{i=1}^{3}\lambda _{i}=1 \right )\: \: \color{black}\textrm{akan diperoleh}\\ &\left ( \displaystyle \frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{y^{2}}+\frac{c^{3}}{z^{2}} \right )^{\frac{1}{3}}(x+y+z)^{\frac{1}{3}}(x+y+z)^{\frac{1}{3}}\geq (a+b+c)\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{y^{2}}+\frac{c^{3}}{z^{2}} \right )(x+y+z)^{2}\geq (a+b+c)^{3}\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{y^{2}}+\frac{c^{3}}{z^{2}} \right )(a+b+c)^{2}\geq (a+b+c)^{3}\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \frac{a^{3}}{x}+\frac{b^{3}}{y}+\frac{c^{3}}{z} \right )\geq \displaystyle \frac{(a+b+c)^{3}}{(a+b+c)^{2}}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{y^{2}}+\frac{c^{3}}{z^{2}}\geq a+b+c\qquad \blacksquare   \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 70.&\textrm{Jika}\: \: a,b,c\: \: \textrm{adalah bilangan real positif}\\  &\textrm{dengan}\: \: a+b+c=1,\: \textrm{tunjukkan}\\ &\textrm{bahwa}\: \: \left ( \displaystyle \frac{1}{a}+1 \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{b}+1 \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{c}+1 \right )\geq 64\\\\  &\textbf{Bukti}:\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned} &\left ( \displaystyle \frac{1}{a}+1 \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{b}+1 \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{c}+1 \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{abc}+\left (\displaystyle \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}  \right )+\left (\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}  \right )+1\\ &\textrm{Dengan AM-GM kita mendapatkan}\\ &\bullet \: \: \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3\sqrt[3]{\displaystyle \frac{1}{abc}}\\ &\bullet \: \: \displaystyle \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 3\sqrt[3]{\displaystyle \frac{1}{(abc)^{2}}}\\ &\textrm{Kita tulis sintak prosesnya di atas}\\ &=1+\left (\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}  \right )+\left (\displaystyle \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}  \right )+\displaystyle \frac{1}{abc}\\ &\geq 1+3\sqrt[3]{\displaystyle \frac{1}{abc}}+3\sqrt[3]{\displaystyle \frac{1}{(abc)^{2}}}+\sqrt[3]{\displaystyle \frac{1}{(abc)^{3}}}\\ &\geq 1+3\sqrt[3]{\displaystyle \frac{1}{abc}}+3\sqrt[3]{\displaystyle \frac{1}{(abc)^{2}}}+\sqrt[3]{\displaystyle \frac{1}{(abc)^{3}}}\\ &=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{abc}} \right )^{3}\\ &\textrm{Karena}\: \: \sqrt[3]{abc}\leq \displaystyle \frac{a+b+c}{3}=\displaystyle \frac{1}{3},\: \textrm{maka}\\ &\left ( \displaystyle \frac{1}{a}+1 \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{b}+1 \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{c}+1 \right )\geq \left ( 1+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{abc}} \right )^{3}\\ &\: \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad \geq  \left ( 1+\displaystyle \frac{1}{\left (\frac{1}{3}  \right )} \right )^{3}\\ &\: \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad \geq \left ( 1+3 \right )^{4}\\ &\: \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad \geq  4^{4}\\ &\: \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad \geq 64\qquad \blacksquare  \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\textrm{Dengan Ketaksamaan Holder diperoleh}\\ &\left ( \displaystyle \frac{1}{a}+1 \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{b}+1 \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{c}+1 \right )\geq  \left ( \sqrt[3]{\displaystyle \frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}+\sqrt[3]{1.1.1} \right )^{3}\\ &\qquad\qquad\qquad\: \qquad\qquad\qquad \geq \left ( \sqrt[3]{\displaystyle \frac{1}{(abc)}}+1 \right )^{3}\\ &\qquad\qquad\qquad\: \qquad\qquad\qquad \geq \left ( \displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+1 \right )^{3}\\ &\qquad\qquad\qquad\: \qquad\qquad\qquad \geq \left ( 3+1 \right )^{3}\\ &\qquad\qquad\qquad\: \qquad\qquad\qquad \geq 64\qquad \blacksquare  \end{aligned} \end{array}$.

Contoh 3 Soal Permutasi dan Kombinasi (Matematika Wajib Kelas XII)

 $\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Dalam suatu rapat mengelilingi meja bundar}\\ &\textrm{yang dihadiri sebanyak 7 orang}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ada berapa susunan yang terjadi}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Jika A dan B bagian dari 7 orang ini}\\ &\qquad \textrm{duduknya selalu berdampingan, maka}\\ &\qquad \textrm{posisi duduk yang terbentuk sejumlah}?\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Jika seperti poin b, tetapi yang}\\ &\qquad \textrm{duduk berdampingan atau saling berdekatan}\\ &\qquad \textrm{adalah A, B, dan C}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\: \: n=7\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Posisi duduk melingkarnya}\\ &=(7-1)!=6!=\color{red}720\\ &\textbf{atau}\\ &n=r=7\: \: \textrm{orang, maka}\\ &=\displaystyle \frac{P(7,7)}{7}=6!=\color{red}720\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Ada syarat A dan B berdampingan, maka}\\ &\textrm{A dan B dihitung 1 objek dulu, sehingga total}\\ &\textrm{objek ada 1 objek ditambah sisanya = 6 objek}.\\ &\textrm{Dari 6 objek ini yang dianggap duduk melingkar}\\ &\textrm{dengan 2 orang (A dan B) bisa gantian posisi}.\\ &\textrm{sehingga}\\ &(6-1)!\times 2!=5!\times 2!=\color{red}240\\ &\textbf{atau}\\ &=\displaystyle \frac{P(6,6)}{6}\times P(2,2)\\ &=5!\times 2!=120\times 2=\color{red}240\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{3 orang (A, B, dan C) dianggap 1 objek}\\ &\textrm{dulu sehigga yang duduk posisi melingkar}\\ &\textrm{dianggap 5 orang, sehingga perhitungannya}\\ &=\displaystyle \frac{P(5,5)}{5}\times P(3,3)\\ &=24\times 6=\color{red}144 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Suatu kelompok yang terdiri dari 20 remaja}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Jika mereka saling berjabat tangan}\\ &\qquad \textrm{seseorang dengan lainnya hanya satu kali}\\ &\qquad \textrm{maka banyak jabat tangan yang terjadi}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Jika mereka membentuk regu voly, maka}\\ &\qquad \textrm{berapa banyak regu voly yang terbentuk}?\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Jika mereka membentuk regu sepak bola},\\ &\qquad \textrm{maka banyak regu sepak bola yang terbentuk}?\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\: \: n=20\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Karena jabat tangan dilakukan hanya hanya}\\ &\textrm{pada dua remaja yang berbeda dan urutan}\\ &\textrm{tidak diperlukan, maka hal ini persoalan}\\ &\textrm{kombinasi. Sehingga banyaknya jabat tangan}\\ &\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 20\\ 2 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20!}{2!(20-2)!}=\frac{20!}{2!\times 18!}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 20\\ 2 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20.19.\not{18!}}{2.\not{18!}}=\color{red}190\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Karena satu regu voli ada 6 orang, maka}\\ &\begin{pmatrix} 20\\ 6 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20!}{6!(20-6)!}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 20\\ 6 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20!}{6!\times 14!}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 20\\ 6 \end{pmatrix}=\color{red}\displaystyle \frac{20.19.18.17.16.15.\not{14!}}{720\times \not{14!}}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Karena satu regu terdiri dari 11 orang},\\ &\textrm{maka}\\ &\begin{pmatrix} 20\\ 11 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20!}{11!(20-11)!}=\color{red}\frac{20!}{11!\times 9!} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Jajargenjang yang dapat dibuat oleh}\\ &\textrm{himpunan empat garis sejajar yang}\\ &\textrm{berpotongan dengan garis yang terhimpun}\\ &\textrm{dalam 7 garis sejajar adalah}\: ....\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa kombinasi dari dua himpunan}\\ &\textrm{garis sejajar yang masing-masing berjumlah}\\ &\textrm{4 dan 7 garis, maka}\: \color{red}\textrm{banyak jajar genjang}\\ &\begin{aligned}&=\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 7\\ 2 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{4!}{2!(4-2)!}\times \frac{7!}{2!\times (7-2)!}\\ &=\displaystyle \frac{4\times 3\times \not{2!}}{2\times \not{2!}}\times \frac{7\times 6\times \not{5!}}{2\times \not{5!}}\\ &=6\times 21\\ &=\color{red}126\: \: \color{black}\textrm{jajar genjang} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Diketahui segi enam beraturan. Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Banyak diagonal dapat dibentuk}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Banyak segi tiga di dalamnya}?\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Banyak perpotongan diagonal-diagonal}\\ &\qquad \textrm{jika tidak ada titik-titik perpotongan}\\ &\qquad \textrm{yang sama}?\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui segi}-n\: \: \textrm{dengan}\: \: n=6\\ &\textrm{Dan perlu diingat bahwa di sini tidak diperlukan}\\ &\textrm{urutan mana yang perlu didahulukan, maka}\\ &\textrm{rumus kombinasi yang perlu digunakan, yaitu}\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Banyak diagonalnya adalah}:\\ &\begin{pmatrix} n\\ 2\end{pmatrix}-n=\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}\\ &\Leftrightarrow \qquad\quad=\displaystyle \frac{6.(6-3)}{2}=\frac{6.3}{2}=\color{red}9\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Banyaknya segi tiga, berarti melibatkan}\\ &\textrm{tiga garis, maka}\\ &\begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{6!}{3!\times (6-3)!}=\frac{6\times 5\times 4\times \not{3!}}{6\times \not{3!}}=\color{red}20\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Satu buah titik potong dapat dibentuk}\\ &\textrm{dengan dua garis ekuivalen dengan empat}\\ &\textrm{buah titik sudut, maka banyaknya titik}\\ &\textrm{potong adalah}:\\ &\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{6!}{4!\times (6-4)!}=\frac{6!}{4!\times 2!}=\color{red}15 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Perhatikalah dua ilustrasi gambar berikut} \end{array}$

Gambar (1)

Gambar (2)

$\begin{array}{ll}\\ .\quad\: \, &\textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{jalur terpendek dari titik A ke B}\\ &\qquad \textrm{pada gambar (1)}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{jalur terpendek dari titik P ke Q}\\ &\qquad \textrm{pada gambar (2)}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Perhatikanlah bahwa langkah dari titik A}\\ &\textrm{ke titik B harus terdiri dari 8 langkah, yaitu}\\ &\textrm{3 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atas}\\ &\textrm{Karena yang diinginkan lintasan terpendek}\\ &\textrm{dan tidak ada kekhususn harus dimulai dari}\\ &\textrm{mana, maka banyaknya langkah berbdeda}\\ &\textrm{dan terpendek adalah}:\\ &\begin{pmatrix} 8\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \color{red}\textrm{atau}\: \: \color{black}\begin{pmatrix} 8\\ 5 \end{pmatrix}.\: \textrm{Misal kita hitung salah}\\ &\textrm{satunya saja}:\\ &\begin{pmatrix} 8\\ 3 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{8!}{3!(8-5)!}=\frac{8!}{3!\times 5!}=\frac{8.7.6.\not{5!}}{6.\not{5!}}=\color{red}56 \end{aligned} \end{array}$

$.\qquad\: \, \begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Untuk poin b, perhatikanlah ilustrasi}\\ &\textrm{gambar berikut(untuk memudahkan}\\ &\textrm{perhitungan). Tempatkan titik-titik}\\ &\textrm{bantu A, B, C, D, E, dan F seperti}\\ &\textrm{pada gambar berikut} \end{aligned}$

$.\qquad\: \, \begin{aligned}.\quad&\textrm{Perhatikanlah untuk setiap lintasan}\\ &\textrm{terpendek dari titik P ke titik Q}\\ &\textrm{dapat dipastikan akan melewati}\\ &\textrm{titik A, B, C, dan D. Sehingga dari}\\ &\textrm{keempat titik itulah akan diperoleh}\\ &\textrm{rute PAQ, PBQ, PCQ, dan PDQ}.\\ &\textrm{Sehingga banyak rute terpendek dari}\\ &\textrm{titik P ke Q yang selanjutnya kita}\\ &\textrm{simbolkan dengan}\: \: \color{red}\#PQ\: \: \color{black}\textrm{adalah}:\\ &\begin{aligned}\color{red}\#PQ&=\#PAQ+\#PBQ+\#PCQ+\#PDQ\\ &=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}+\color{magenta}\#PECQ+\#PFCQ+\#PFDQ\\ &=1.1+4.5+\color{magenta}\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}\color{black}+\color{magenta}\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}\color{black}+\color{magenta}\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\\ &=1+20+\color{magenta}3.1.3\color{black}+\color{magenta}3.3.3\color{black}+\color{magenta}3.1.1\\ &=1+20+9+27+3\\ &=\color{red}60 \end{aligned} \end{aligned}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
2. Ibrahim, Mussafi, N, S, M. 2013. Pengantar Kombinatorika dan Teori Graf. Yogyakarta: GRAHA ILMU.
3. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
4. Sobirin. 2006. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika (SMA Kelas XI IPA). Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
5. Sukino. 2011. Maestro Olimpiade Matematika SMP Seri B. Jakarta: ERLANGGA.
6. Susyanto, N, 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA.
7. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 2 Kelas 2 Berdasarkan Kurikulum 1994 Suplemen CBPP 1999. Jakarta: ERLANGGA.