Sifat Turunan Pertama dan Aturan Rantai pada Turunan Fungsi Aljabar

Rumus Turunan dan Sifat Turunan Pertama

Untuk:{aRnQckonstantaU=g(x)V=h(x).

Sifat-Sifaty=cy=0y=c.Uy=c.Uy=U±Vy=U±Vy=U.Vy=U.V+U.Vy=UVy=U.VU.VV2Fungsi Aljabary=a.xny=n.a.x(n1)y=a.Uny=n.a.U(n1).UFungsi Trigonometriy=asinUy=(acosU).Uy=acosUy=(asinU).Uy=atanUy=(asec2U).UAturan rantai pada turunan untuky=f(u),jikauntukumerupakan fungsix,maka:y=f(x).uataudydx=dydu.dudx.

CONTOH SOAL.

1.Dengan menggunakan rumus turunanf(x)=Limh0f(x+h)f(x)h,tunjukkan bahwa turunana.f(x)=axnadalahf(x)=n.axn1b.f(x)=u(x)+v(x)adalahf(x)=u(x)+v(x)c.f(x)=u(x).v(x)adalahf(x)=u(x).v(x)+u(x).v(x)d.f(x)=u(x)v(x)adalahf(x)=u(x).v(x)+u(x).v(x)(v(x))2e.f(x)=sinxadalahf(x)=cosxf.f(x)=cosxadalahf(x)=sinxg.f(x)=tanxadalahf(x)=sec2xh.f(x)=cotxadalahf(x)=csc2x.


Bukti1.af(x)=Limh0f(x+h)f(x)hf(x)=Limh0a(x+h)naxnh=Limh0a(xn+(n1)xn1.h+(n2)xn2.h2+(n3)xn3.h3++(nn1)x.hn1+hn)axnh=Limh0a((n1)xn1.h+(n2)xn2.h2+(n3)xn3.h3++(nn1)x.hn1+hn)h=Limh0ah((n1)xn1+(n2)xn2.h+(n3)xn3.h2++(nn1)x.hn2+hn1)h=Limh0a(n1)xn1+a(n2)xn2.h+a(n3)xn3.h2++ahn1=a(n1)xn1+0+0+...+0=a.n!(n1)!.1!xn1=a.n.(n1)!(n1)!xn1=a.n.xn1.

1.bf(x)=Limh0f(x+h)f(x)hf(x)=Limh0(u(x+h)+v(x+h))(u(x)+v(x))h=Limh0(u(x+h)u(x)h+v(x+h)v(x)h)=Limh0u(x+h)u(x)h+Limh0v(x+h)v(x)h=u(x)+v(x).

1.cf(x)=Limh0f(x+h)f(x)hf(x)=Limh0(u(x+h)×v(x+h))(u(x)×v(x))h=Limh0u(x+h)×v(x+h)u(x+h)×v(x)+u(x+h)×v(x)u(x)×v(x)h=Limh0(u(x+h)×v(x+h)v(x)h+v(x)×u(x+h)u(x)h)=Limh0u(x+h)×Limh0v(x+h)v(x)h+Limh0v(x)×Limh0u(x+h)u(x)h=u(x)×v(x)+v(x)×u(x)=u(x)×v(x)+u(x)×v(x).

1.dMisalkanp(x)=u(x)v(x)Sebelumnya telah diketahui dari no. 1. cu(x)=p(x)×v(x)u(x)=p(x)×v(x)+p(x)×v(x)Sekarang kita substitusikan pemisalandi atas, yaitu:p(x)×v(x)=u(x)p(x)×v(x)=u(x)u(x)v(x)×v(x)=u(x)×v(x)u(x)×v(x)v(x)p(x)=u(x)×v(x)u(x)×v(x)v2(x).

1.ef(x)=Limh0f(x+h)f(x)hf(x)=Limh0sin(x+h)sinxh=Limh02cos12(2x+h)sin12hh=Limh02cos12(2x+h).sin12hh=Limh02cos12(2x+h)×12=2cos12(2x+0)×12=cos12(2x)=cosx .

1.ff(x)=Limh0f(x+h)f(x)hf(x)=Limh0cos(x+h)cosxh=Limh02sin12(2x+h)sin12hh=Limh02sin12(2x+h).sin12hh=Limh02sin12(2x+h)×12=2sin12(2x+0)×12=sin12(2x)=sinx.

1.gf(x)=Limh0f(x+h)f(x)hf(x)=Limh0tan(x+h)tanxh=Limh0tanx+tanh1tanx.tanhtanxh=Limh0tanx+tanhtanx+tan2x.tanh1tanx.tanhh=Limh0tanh(1+tan2x)h(1tanx.tanh)=Limh0tanhh×Limh01+tan2x1tanx.tanh=1×1+tan2x10=1+tan2x=sec2x.

2.Tentukanlah turunannyaa.f(x)=x6i.f(x)=(x+1)(x2)q.f(x)=2x3b.f(x)=12x2j.f(x)=(3x)(5x)r.f(x)=12xc.f(x)=2x5k.f(x)=(2x+3)2s.f(x)=13x5d.f(x)=ax3l.f(x)=(x2)3t.f(x)=2x4+12x3e.f(x)=4x4x2+2017m.f(x)=(4x+1)(4x1)u.f(x)=x2+2xf.f(x)=6x3x2n.f(x)=(x1)(x+1)(x+2)v.f(x)=(2x3+1x)2g.f(x)=(x3)2o.f(x)=12x4w.f(x)=x2(1+x)2h.f(x)=(x32)2p.f(x)=x5x.f(x)=2+4xx2y.f(x)=(x+1+1x)(x+11x).

Untuky=f(x)makaabcy=x6y=6x61=6x5y=12x2y=2.12x21=xy=2x5y=5.2x51=10x4defy=ax3y=3.a.x31=3.a.x2y=4x4x2+2017y=4.4x412.x21+0=16x32xy=6x3x2y=01.x112.3x21=16x.

ghy=(x3)2y=2.(x3)21.1=2(x3)y=(x32)2y=2.(x32)21.3x2=6(x32)x2=6x512x2ijy=(x+1)(x2)y=1.(x+2)+(x+1).1=2x+3y=(3x)(5x)y=1.(5x)+(3x).1=2x8 .

klm1m2y=(2x+3)2y=2.(2x+3)21.2=4(2x+3)1=8x+12y=(x2)3y=3(x2)31.1=3(x2)2y=(4x+1)(4x1)cara 1y=4(4x1)+(4x+1).4=16x4+16x+4=32xy=(4x+1)(4x1)cara 2y=16x21y=2.16x210=32x1=32xnopqy=(x1)(x+1)(x+2)=(x21)(x+2)=x3+2x2x2y=3x31+2.2x21x110=3x2+4x1y=12x4y=4.12x41=2x5=2x5y=x5y=5.x51=5x6=5x6y=2x3=2x3y=3.2x31=6x4=6x4.

rstuy=12x=12x12=12x12y=12.12x121=14x32=14x32=14x3y=13x5=13x5y=5.13x51=53x6=53x6y=2x4+12x3=2x4+12x3y=4.2x41+(3).12x31=8x332x4=8x332x4y=x2+2x=12x+2x1y=12x11+(1).2x11=12x02x2=122x2.

vwy=(2x3+1x)2=(2x3+x1)2y=2.(2x3+x1)21.(3.2x31+(1)x11)=2.(2x3+x1)1.(6x2x2)=2(2x3+1x)(6x21x2)=2(12x52x+6x1x3)=24x5+8x2x3y=x2(1+x)2=x2(1+x12)2y=2x.(1+x12)2+x2.2.(1+x12)21.(0+12.x121)=2x(1+x)2+2x2.(1+x).(12x12)=2x(1+x)2+2x2.(12x12).(1+x)=2x(1+x)2+x212.(1+x)=2x(1+x)2+x32(1+x)=2x(1+x)2+(xx+x2).

x1x2y=UVy=U.VU.VV2y=UVy=U.V+U.VU=2+4xU=4V=x2V=2xU=2+4xU=4V=x2V=2xy=2+4xx2y=(4)(x2)(2+4x).(2x)(x2)2=4x24x8x2x4=4x24xx4=4x4x3y=2+4xx2=(2+4x).x2y=(4).x2+(2+4x).2x21=4x2(4+8x).x3=4x24x38x2=4x34x2=4x3+4x2=44xx3=4x4x3.


Pengertian dan Bentuk Umum Turunan Fungsi Aljabar (Materi Lanjutan Turunan Fungsi Aljabar)

A. 2 Pengertian Turunan Fungsi Aljabar

Perhatikan ilustrasi gambar berikut. 

Misalkan diketahui fungsi  y=f(x)  terdefinisi pada semua nilai  x di sekitar   x=k. Jika  Limh0f(k+h)f(k)h  ada, maka bentuk  Limh0f(k+h)f(k)h  disebut sebagai turunan dari fungsi  f(x)  saat  x=k.

A. 3 Notasi
  • Notasi turunan fungsi dilambangkan dengan  f(k)  dengan  f(k)=Limh0f(k+h)f(k)h.
  • Lambang   f(k)  dibaca   f  aksen   k disebut turunan atau derivatif untuk fungsi   f(x) terhadap   x  saat   x=k.
  • Jika limitnya ada, dapat dikatakan fungsi   f(x) diferensiabel (dapat dideferensialkan) saat   x=k  dan bentuk limitnya selanjutnya dilambangkan dengan  f(k).
  • Misalkan fungsi  f(x)  mempunyai turunan  f(x). Jika  f(k)  tidak terdefinisi, maka  f(x)  tidak diferensiabel di  x=k.
A. 4 Bentuk Umum Turunan Pertama Fungsi Aljabar

Bentuk umum turunan pertama fungsi aljabar  untuk fungsi  y terhadap x  dinotasikan sebagaimana berikut
y=dydx=d(f(x))dx=f(x)=Limh0f(x+h)f(x)h

CONTOH SOAL.

1.Jikaf(x)=2x,hitunglah laju perubahan fungsifdix=2Jawab:Diketahui bahwaf(x)=2xCara Pertamaf(x)=2xf(2)=2.2=4f(2)=Limx2f(x)f(2)x2=Limx2(2x)(4)x2=Limx22x4x2=Limx22=2Cara Keduaf(2)=4f(2+h)=2(2+h)=4+2hf(2+h)f(2)=2hf(2)=Limh0f(2+h)f(2)h=Limh02hh=Limh02=2Jadi, laju perubahan fungsifdi x=2adalah2

2.Jikaf(x)=3x5,hitunglah laju perubahan fungsifdix=2Jawab:Diketahui bahwaf(x)=3x5Cara Pertamaf(x)=3x5f(2)=3.25=1f(2)=Limx2f(x)f(2)x2=Limx2(3x5)(1)x2=Limx23x6x2=Limx23=3Cara Keduaf(2)=1f(2+h)=3(2+h)5=3h+1f(2+h)f(2)=3hf(2)=Limh0f(2+h)f(2)h=Limh03hh=Limh03=3Jadi, laju perubahan fungsifdi x=2adalah3.

3.Diketahuif(x)=2022x2,tentukanlahf(x)danf(1)Jawab:f(x)f(1)f(x)=2022x2f(x+h)=2022(x+h)2=2022(x2+2xh+h2)=2022x2+4044xh+2022h2f(x)=Limh0f(x+h)f(x)h=Limh0(2022x2+4044xh+2022h2)(2022x2)h=Limh04044xh+2022h2h=Limh04044x+2022h=4044xf(x)=4044xmaka,f(1)=4044.1=4044.

4.Diketahui bahwa fungsif(x)=1x2dengan daerah asalDf={x|xR,danx0}.a.Tunjukkan bahwaf(a)=2a3b.jelaskanlah mengapaf(0)tidak terdefinisiJawab:f(x)=Limh0f(x+h)f(x)h=Limh01(x+h)21x2h=Limh0x2(x+h)2(x(x+h))2h=Limh0x2(x2+2xh+h2)h(x(x+h))2=Limh02xhh2h(x(x+h))2=Limh02x+h(x(x+h))2=2xx4=2x3Untukjawaban poin a dan b adalah sebagai berikutf(x)=2x3f(a)=2a3maka,f(0)=203=20karena penyebut berupa bilangan0makaf(0)tidak terdefinisi.


Turunan Fungsi Aljabar

 A. Turunan Fungsi Aljabar

A. 1 Laju Perubahasan untuk Nilai Fungsi

Konsep turunan fungsi pada awalnya digunakan dalam bidang kususnya Matematika dan fisika, dalam hal hal ini kita berikan contohnya adalah laju perubahan kecepatan.

Coba perhatikanlah, misal pada kasus gerak jatuh bebas suatu benda yang dinyaatakan dengan  h=12gt2  dengan  h  adalah tinggi benda dengan percepatan grafitasinya adalah  g=10m/s2 dan  t  adalah waktu tempuh.

Misalkan suatu benda jatuh dari ketinggian 125 meter dari permukaan tanah dengan percepatan grafitasinya adalah g=10m/s2, maka waktu yang dibutuhkan benda tersebut untuk sampai ke tanah adalah:

h=12gt2125=12(10)t225=t25=t

Dari kejadian di atas dapat kita dapatkan kecepatan rata-ratanya yaitu: perubahan tinggi dibagi perubahan waktu terjadinya, atau misal dituliskan

v=yt=yny1tnt1

Sehingga kecepatan rata-ratanya adalah :  1255=25m/s2

Misalkan f(t) untuk fungsi yang menujukkan posisi benda yang terjatuh dalam  t dengan f(t)=5t2, maka kecepatan rata-ratanya kita dapat menghitungnya untuk beberapa selang termasuk kita dapat menghitung kecepatan sesaatnya.
Coba perhatikanlah tabel berikut:

{f(4)=5.42=80f(3)=5.32=45v=804543=351=35{f(3,5)=5.(3,5)2=61,25f(3)=5.32=45v=61,25453,53=16,250,5=32,5{f(3,25)=5.(3,25)2=f(3)=5.32=45v=52,8125453,253=7,81250,25=31,25{f(3,1)=5.(3,1)2=48,05f(3)=5.32=45v=48,05453,13=3,050,1=30,5{f(3,1)=5.(3,01)2=45,3005f(3)=5.32=45v=45,3005453,013=0,30050,01=30,05

Dari ilsutrasi tabel di atas jika selisih waktu diperkecil terus menerus sampai mendekati nol, maka kecepatan sesaatnya akan mendekati nilai 30.

Sehingga kecepatan ketika t=3 ditentukan sebagai laju perubahan jarak terhadap waktu yang dibutuhkan dapat dituliskan dengan:

Laju perubahan rata-rataLaju perubahan sesaatΔyΔx=f(x2)f(x1)x2x1Limh0f(a+h)f(a)h.

Selanjutnya jika benda jatuh yang memenuhi kasus di atas, jika dihitung dengan pendekatan ini saat  t=3  adalah:

Limh0f(t+h)f(t)h=Limh05(t+h)25t2h=Limh05(t2+2th+h2)5t2h=Limh05t2+10th+5h25t2h=Limh010th+5h2h=Limh010t+5h=10t

Dari saat  t=3  kecepatan sesaatnya adalah 10t=10(3)=30m/s2.

Secara matematis, perubahan laju terhadap suatu fungsi di  x=a selanjutnya dinotasikan dengan f(x) dan didefiniskan dengan:

f(x)=Limh0f(x+h)f(x)h

Bentuk di atas dinamakan dengan derivatif atau turunan pertama pada fungsi  f(x)  dan dinotasikan dengan  f(x) dan proses pencarian derivatif ini dinamakan differensial.

CONTOH SOAL.

1.Jikag(x)=3x5,hitunglah laju perubahan fungsigdix=2Jawab:Diketahui bahwag(x)=3x5Cara PertamaCara Keduag(x)=3x5g(2)=3.25=1g(2)=Limx2g(x)g(2)x2=Limx2(3x5)(1)x2=Limx23x6x2=Limx23=3g(2)=1g(2+h)=3(2+h)5=3h+1g(2+h)g(2)=3hg(2)=Limh0g(2+h)g(2)h=Limh03hh=Limh03=3Jadi, laju perubahan fungsigdix=2adalah3.

2.Diketahuif(x)=2022x2,tentukanlahf(x)danf(1)Jawab:f(x)f(1)f(x)=2022x2f(x+h)=2022(x+h)2=2022(x2+2xh+h2)=2022x2+4044xh+2022h2f(x)=Limh0f(x+h)f(x)h=Limh0(2022x2+4044xh+2022h2)(2022x2)h=Limh04044xh+2022h2h=Limh04044x+2022h=4044xf(x)=4044xmaka,f(1)=4044.1=4044.

3.Tentukanlah kecepatan jika diketahuif(t)=sintsaattJawab:f(t)=v(t)=Limh0f(t+h)f(t)h=Limh0sin(t+h)sinth=Limh02cos12(2t+h)sin12hh=Limh02cos12(2t+h).sin12hh=Limh02cos12(2t+h)×12=2cos12(2t+0)×12=cos12(2t)=cost

4.Diketahui sebuah bola bergerak melingkar beraturandengan persamaanf(t)=2sin2t.Tentukanlahkecepatan bola saatt=112πJawab:v(t)=Limh0f(t+h)f(t)h=Limh04sin2(t+h)2sin2th=Limh04cos12(4t+2h)sin12(2h)h=Limh04cos12(4t+2h)×Limh0sinhh=4cos12(4t)=4cos2tv(112π)=4cos2(112π)=4cos16π=4(123)=23


DAFTAR PUSTAKA
  1. Noormandiri, B. K. 2004. Matematika SMA Jilid 2A Berdasarkan Kurikulum 2004. Jakarta: ERLANGGA.
  2. Noormandiri, B. K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.




Contoh 4 Soal dan Pembahasan Materi Lingkaran dan Hubungan Dua Lingkaran

 16.Salah satu garis singgung yang bersudut120terhadap sumbu x positif terhadap lingkarandengan ujung diameter titik(7,6)dan(1,2)adalah....a.y=x3+43+12b.y=x343+8c.y=x3+434d.y=x3438e.y=x3+43+22Jawab:Pusat LingkaranGradien Garis Singgung(a,b)=(x1+x22,y1+y22)=(7+12,6+(2)2)=(4,2)m=tan120=tan(18060)=tan60=3Jari-jariGaris Singgungr=jarak titiksinggung ke pusat=(74)2+(62)2=32+42=25=5(yb)=m(xa)±r1+m2(y2)=3(x4)±51+(3)2y2=3x+43±51+4y=3x+43+2±10y={3x+43+2+103x+43+210y={3x+43+123x+438Berikut ilustrasi gambarnya.


Dengan ilustrasi tambahan



17.Salah satu garis singgung lingkaran x2+y2=10yang ditarik darititik(4,2)adalah....a.x+3y=10b.x3y=10c.x3y=10d.2x+y=10e.x+2y=10Jawab:Garis Singgungdi titik(x1,y1)=(4,2)Tahapan menentukanhargamyy1=m(xx1)y2=m(x4)y=mx4m+2x2+y2=10x2+(mx4m+2)2=10x2+m2x2+16m2+48m2x+4mx16m=10x2+m2x2+16m28m2x+4mx16m6=0(1+m2)x2+(4m8m2)x+16m216m6=0{a=1+m2b=4m8m2c=16m216m6Syarat menyinggungD=0b24ac=0(4m8m2)24(1+m2)(16m216m6)=016m264m3+64m464m2+64m+2464m4+64m3+24m2=024m2+64m+24=03m2+8m+3=0(m3)(3m+1)=0m=3ataum=13m={3y=3x103xy=1013y=13x+43+2x+3y=10.
.Berikut ilustrasi gambarnya
18.Diketahui persamaan lingkaranx2+y2=r2dan sebuah titik di luar lingkaranM(a,b)Posisi garisax+by=r2adalah....a.menyinggung lingkaranb.memotong lingkaran di dua titikc.melalui titik pusat lingkarand.tidak memotong lingkarane.tidak ada yang benarJawab:Diketahui bahwaLx2+y2=r2M(a,b)di luar lingkaranLSelanjutnya perhatikan penjelasan berikutKarenaM(a,b)di luar lingkaranL,makamaka salah satu dariaataubatau keduanyaakan lebih besar nilanya dari padar.Misalkan kita piliha>rAmbil posisi saat memotong sumbuX,y=0Untuk lingkaranx2+y2=r2y=0x2+02=r2x=|r|Untuk garisax+by=r2y=0ax=r2x=r2aDari sini tampak posisix=|r|>r2a0Sehingga kesimpulannya adalah:garis tersebut akan selalu memotong lingkaranSebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut.

19.Dua lingkaran dengan persamaanlingkaran-lingkaranx2+y2+6x8y+21=0danx2+y2+10x8y+25=0adalah....a.berpotongan di luar titikb.tidak berpotongan atau bersinggunganc.bersinggungan luard.bersinggungan dalame.sepusatJawab:Perhatikan bahwaLingakaranPusat/rL1x2+y2+6x8y+21=0{P1=(3,4)r1=2L2x2+y2+10x8y+25=0{P2=(5,4)r2=4danJarak kedua pusatJumlah/selisih jari-jari(P1P2)=(3+5)2+(44)2=22+02=4=2{r1+r2=2+4=6|r1r2|=|24|=2Karena nilaiP1P2=|r1r2|=2hal ini menunjukkan keduanya bersinggungandi dalamSebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut .

20.Dua lingkaran dengan persamaanlingkaran-lingkaranx2+y2+2x6y+9=0danx2+y2+8x6y+9=0adalah....a.berpotonganb.bersinggungan di dalamc.bersinggungan luard.tidak berpotongane.sepusatJawab:Perhatikan bahwaLingakaranPusat/rL1x2+y2+2x6y+9=0{P1=(1,3)r1=1L2x2+y2+8x6y+9=0{P2=(4,3)r2=4danJarak kedua pusatJumlah/selisih jari-jari(P1P2)=(1+4)2+(33)2=32+02=9=3{r1+r2=1+4=5|r1r2|=|14|=3Karena nilaiP1P2=|r1r2|=3hal ini menunjukkan keduanya bersinggungandi dalamSebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut.



DAFTAR PUSTAKA
  1. Budi, W. S. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sain Nasional/Internasional Matematika 3. Jakarta: ZAMRUD KEMALA.
  2. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
  3. Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
  4. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
  5. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
  6. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh 3 Soal dan Pembahasan Materi Lingkaran

 11.Lingkaranx2+y2+2ax+2by+c=0menyinggung sumbu Y jikac=....A.abB.ab2C.a2bD.a2E.b2Jawab:Alternatif 1x2+y2+2ax+2by+c=0x=002+y2+2a.0+2by+c=0y2+2by+c=0{a=1b=2bc=cSyarat menyinggungadalah:D=b24ac=0(2b)24.1.c=04c=4b2c=b2Alternatif 2x2+y2+2ax+2by+c=0x2+2ax+a2+y2+2by+b2+ca2b2=0(x+a)2+(y+b)2=a2+b2cKarena menyinggung sumbu-Y, makaR=aSehinggaR2=a2+b2c=a2b2c=0b2=cc=b2.

12.Diketahui pusat lingkaran L terletak dikuadranI dan berada di sepanjang garisy=2x.Jikalingkaran L menyinggung sumbu Y di titik(0,6),maka persamaan lingkaran L adalah....A.x2+y23x6y=0B.x2+y2+6x+12y108=0C.x2+y2+12x+6y72=0D.x2+y212x6y=0E.x2+y26x12y+36=0Jawab:(xa)2+(yb)2=r2,menyinggung titik(0,6)berarti pusat lingkaran L juga terletakpada garisy=6.Hal ini menunjukkan bahwa pusat lingkaranL berpusat di(x,2x)=(y2,y),dengany=6.Dari informasi di atas, didapatlah pusat lingkaran berada di titik(3,6).Sehingga persamaan lingkarannya adalah:(x3)2+(y6)2=32ingatr=absisx=3(x3)2+(y6)2=x26x+9+y2+12x+36=9x2+y26x+12y+36=0Berikut ilustrasi gambarnya.


13.Persamaan garis singgung lingkaranx2+y2+8x3y24=0,di titik(2,4)adalah....A.12x5y44=0B.12x+5y44=0C.12xy50=0D.12x+y50=0E.12x+y+50=0Jawab:x2+y2+8x3y24x2+8x+16+y23y+9424=16+94(x+4)2+(y32)2=16+94+24=4214Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran di titik(x1,y1)adalah:(x1+4)(x+4)+(y132)(y32)=4214,untuk(x1,y1)=(2,4),maka(2+4)(x+4)+(432)(y32)=16946(x+4)+52(y32)=169424(x+4)+5(2y3)=16924x+96+10y15=16924x+10y=16996+15=8812x+5y44=0Berikut ilustrasi gambarnya.

14.Sebuah garis singgunggmenyinggung lingkaran yang berpusat di(2,5)danberjari-jari210di titk(4,3),maka persamaan garis singgunggadalah....A.y=3x+9B.y=3x9C.y=3x+9D.y=3x9E.y=3x+21Jawab:(xa)2+(yb)2=r2{Pusat=(2,5)r=210maka persamaan lingkarannya:(x+2)2+(y5)2=(210)2(x1+2)(x+2)+(y15)(y5)=40,menyingung garisgdi(4,3)(4+2)(x+2)+(35)(y5)=406x+122y+10=406x2y=4012103xy=9y=3x+9y=3x9Berikut ilustrasi gambarnya.

15.Suatu lingkaran dengan titik pusatnya terletak pada kurvay=xdan melalui titik asalO(0,0).Jika diketahui absis titik pusat lingkaran tersebut adalaha,maka persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titikOtersebut adalah....A.y=xB.y=xaC.y=axD.y=2x2E.y=2axJawab:PusatlingkaranGradien garis singgungyang tegak lurus dengan garis yang melalui titikpusat lingkaran yang bergradienmLPersamaan garis singgung yang melalui titik asalO(0,0)(a,b)=(a,a)m.m1=1m.yx=1m=xy=aa=ay=mx,karena melaluititik asaly=ax,y=xa.


Contoh 2 Soal dan Pembahasan Materi Lingkaran

 6.Diketahui lingkaranx2+y2+4x+ky12=0melalui titik(2,8)maka jari-jari lingkarantersebut adalah....A.1B.5C.6D.12E.25Jawab:Diketahui ingkaran berpusat di(2,12k),yaitu:x2+y2+4x+ky12=0melalui(2,8)berarti (2)2+82+4(2)+k.812=04+64812+8k=048+8k=0k=6Sehinggar=424+(6)24(12)=4+9+12=25=5.

7.Persmaan lingkaranx2+y2+px+8y+9=0menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran tersebut adalah....A.(6,4)B.(6,6)C.(3,4)D.(6,4)E.(3,4)Jawab:Lingkaranx2+y2+px+8y+9=0maka,x2+px+y2+8y+9=0(x+12p)214p2+(y+4)216+9=0(x+12p)2+(y+4)2=7+14p2karena menyinggung sumbu-X,R=b=4,sehingga7+14p2=4214p2=167=9p2=36p=±6p=6x2+y26x+8y+9=0pusatnya adalah(A2,B2)=(3,4)p=6x2+y2+6x+8y+9=0pusatnya adalah(A2,B2)=(3,4)dan berikut ilustrasi gambarnya.

8.Titik-titik berikut yang posisinya berada di luar lingkaranx2+y22x+8y32=0adalah....A.(0,0)B.(6,4)C.(3,2)D.(3,1)E.(4,1)Jawab:OpsiTitikLingkaranKeteranganA(0,0)02+022.0+8.032=32dalamB(6,4)(6)2+(4)22(6)+8(4)32=0padaC(3,2)(3)2+(2)22(3)+8(2)32=3di luarD(3,1)32+122.3+8.132=20dalamE(4,1)42+122.4+8.132=15dalamBerikut ilustrasi gambarnya.

9.Diketahui garisx2y=5memotong lingkaranx2+y24y+8y+10=0di titik A dan B.Panjang ruas garis AB adalah....A.42B.25C.10D.5E.4Jawab:Perhatikanlah bahwa garisx2y=5memotong lingkaranx2+y24x+8y+10=0,maka garisx=2y+5disubstitusikan kelingkaran tersebut, yaitu:(2y+5)2+y24(2y+5)+8y+10=04y2+20y+25+y28y20+8y+10=05y2+20y+15=0y2+4y+3=0(y+1)(y+3)=0y=1y=3untuk nilaiy=3x=2(3)+5=1,A(1,3)y=1x=2(1)+5=3,B(3,1)maka,AB=(3(1))2+(1(3))2=42+22=16+4=20=25Berikut ilustrasi gambarnya .
10.Kekhususan persamaan lingkaranx2+y26x6y+6=0adalah....A.menyinggung sumbu XB.menyinggung sumbu YC.berpusat diO(0,0)D.titik pusatnya terletak padaxy=0E.berjari-jari 3Jawab:Diketahui persamaan lingkaranx2+y26x6y+6=0x26x+9+y26y+9+6=9+9(x3)2+(y3)2=186(x3)2+(y3)2=12(x3)2+(y3)2=(23)2lingkaran ini{Pusat=(3,3)Jari-jari=23OpsiPernyataanKeteranganAmenyinggung sumbu Xtidak tepatBmenyinggung sumbu Ytidak tepatCberpusat diO(0,0)tidak tepatDtitik pusatnya terletak pada garisxy=0tepatEberjari-jari 3tidak tepatBerikut ilustrasi gambarnya.


Contoh 1 Soal dan Pembahasan Materi Lingkaran

 1.Jari-jari lingkaran dengan persamaanx2+y2=48adalah....A.35B.43C.52D.63E.7Jawab:r2=48r=48=16.3=43.

2.Titik pusat lingkaran(x7)2+(y+9)2=48adalah....A.(7,9)B.(7,9)C.(7,9)D.(7,6)E.(15,48)Jawab:Jelas bahwa(a,b)=(6,9).

3.Persamaan lingkaran yang berpusat diP(2,5)dan melalui titikT(3,4)adalah....A.(x+2)2+(y5)2=26B.(x3)2+(y+5)2=36C.(x+2)2+(y5)2=82D.(x3)2+(y+5)2=82E.(x+2)2+(y+5)2=82Jawab:Persamaan Lingkaran Berpusat di(a,b)adalah:(xa)2+(yb)2=r2Pusat diP(2,5)Melalui TitikT(3,4)(xa)2+(yb)2=r2(x+2)2+(y5)2=r2(xa)2+(yb)2=r2(3+2)2+(45)2=r252+(1)2=r226=r2Sehinga persamaanlingkarannyaadalah:(x+2)2+(y5)2=r2=26(x+2)2+(y5)2=26.

4.Koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaranx2+y24x+6y+4=0adalah....A.(3,2)dan3B.(3,2)dan3C.(2,3) dan3D.(2,3)dan3E.(2,3)dan3Jawab:Alterntif 1Persamaan Lingkaran Berpusat di(a,b)dan berjari-jariradalah(xa)2+(yb)2=r2x2+y24x+6y+4=0x24x+y2+6y+4=0x24x+44+y2+6y+99+4=0(x2)24+(y+3)29+4=0(x2)2+(y+3)2=4+94(x2)2+(y+3)2=9(x2)2+(y(3))2=32{Pusat=(2,3)danr=3Alterntif 2Diketahuipersamaan lingkaran:x2+y24x+6y+4=0{A=4B=6C=4x2+y2+Ax+By+C=0{Pusat=(12A,12B)=(12,12)=(,)Jari-jari=14A2+14B2C=142+142=.

5.Suatu lingkaranx2+y24x+2y+p=0berjari-jari 3, maka nilaipadalah....A.1B.2C.3D.4E.5Jawab:r=A24+B24C=3(4)24+224p=3164+44p=94+1p=9p=95p=4.

Hubungan Dua Lingkaran

Hubungan Dua Buah Lingkaran

Coba perhatikan ilustrasi beberapa lingkaran berikut

















Sebagai penjelasan dari kondisi di atas adalah:
KedudukanIlustrasiKeterangan|L1L2|>r1+r2Gambar 1kedua lingkaran tidak berpotongandan tidak pula bersinggungandan saling lepas|L1L2|=0Gambar 5Dikarenakan sepusat|L1L2|r1+r2Gambar 6Terletak di dalam lingkaranL1|L1L2|=r1+r2Gambar 2kedua lingkaran tidak berpotongantetapi bersinggungan di luar|L1L2|=r1r2Gambar 3kedua lingkaran tidak berpotongantetapi bersinggungan di dalam{|L1L2|>r1r2|L1L2|<r1+r2Gambar 4kedua lingkaran berpotongan.

KuasaLingkaranPosisi sebuah titik terhadap lingkaranTitik dualingkaranTempat kedudukan titik-titik yang memilikikuasa yang sama terhadap dua lingkaranGaris tigalingkaranTempat kedudukan titik yang memilikikuasa yang sama terhadap tiga buah lingkaran.
Berkas LingkaranIstilahPosisiKeteranganBerkasLingkaranPada garisbusurSejumlah lingkaran yang dapat dibuat melalui titik-titik potong kedua lingakaran itu.
Tali Busur SekutuIstilahPosisiKeteranganTali BusurSekutuKedualingkaranyangberpotonganRuas garis yang menghubungkan titik-titik potong irisan irisan kedua lingkaran tersebutPersamaan Tali Busur Sekutunya adalah:L1L2=0Persamaan yang melalui titik potong dan lingkaran (berkas)itu adalah:L3=L1+p(L1L2),atauL3=L1+pL2denganpadalah suatu parameter (suatu patokan nilai)Luas daerah irisan:(θ1r12+θ2r22)12(r12sinθ1+r22sinθ2).

CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah kedudukan untuk dua buah lingkaranL1x2+y22x4y+1=0danL2x2+y24x2y1=0.Jika kedua lingkaran tersebut bersinggunganatau berpotongan, tentukanlah titik singgung atau potongnyaJawab:L1L2x2+y22x4y+1=0x2+y24x2y1=0{P1:(12(2),12(4))=(1,2)r=14((2)2+(42))1=2{P2:(12(4),12(2))=(2,1)r=14((4)2+(22))(1)=6Jarak kedua pusat lingkarannya adalahP1P2yaitu:P1P2=(21)2+(12)2=2Karena nilaiP1P2=2dan nilaiP1+P2=2+6,sehinggaP1P2<P1+P2maka kedua lingkaran itu berpotongan.

.x2+y22x4y+1=0..................(1)x2+y24x2y1=0..................(2)2x2y+2=0y=x+1........................(3)persamaan(3)(1)x2+(x+1)22x4(x+1)+1=0x2+x2+2x+12x4x4+1=02x24x2=0x22x1=0x1,2=(2)±(2)24.1(1)2=2±82=2±222{x1=1+2.........(4)ataux2=12.........(5)persamaan(4)(3),y1=1+2+1=2+2persamaan(5)(3),y1=12+1=22Sehingga titik potongnya ada 2 yaitu:{(1+2,2+2)dan(12,22)Berikut ilustrasinya.

2Dari contoh soal no.1, tentukanlah persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran itu serta melalui titik pusat koordinatO(0,0)Jawab:Pada jawaban soal no.1 didapatkan persamaan tali busur:L1L2xy+1=0Sehingga persamaan berkas lingkarannya adalah:L3=L1+p(L1L2)=0L3=(x2+y22x4y+1)+p(xy+1)=0Karena melalui titik asalO(0,0),maka(0+000+1)+p(00+1)=0p=1Selanjutnya persamaan berkas lingkarannya akan menjadiL3x2+y22x4y+1(xy+1)=0Jadi,L3x2+y23x3y=0Dan gambar berikut sebagai ilustrasinya.

3Diketahuin dua buah lingkaranL1x2+y215y+32=0danL2x2+y218x+2y+32=0Tunjukkan bahwa kedua lingkaranbersinggungan di luar dan tentukantitik singgungnyaJawab:Akan ditunjukkan kedua lingkaran salingbersinggungan di luar, yaitu:LingakaranPusat/rL1x2+y215y+32=0{P1=(0,8)r1=42L2x2+y218x+2y+32=0{P2=(9,1)r2=52SelanjutnyaHitungan jarak kedua pusatSebagai bandinganPusat 1 lingkaranP1=(0,8)Pusat 2 lingkaranP2=(9,1)maka jarakP1P2adalah=(90)2+(18)2=92+92=2×92=92P1P2=r1+r2=42+52=92Adapun koordinat titik singgungnya:(xy)=5(08)+4(91)5+4=(5×0+4×95×8+4×(1))9=(3636)9=(44)Sehingga koordinat titik potongnya adalah:(4,4)Sebagai gambaran perhatikan ilustrasi berikut.



DAFTAR PUSTAKA
  1. Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
  2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
  3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
  4. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.





Contoh 7 Soal dan Pembahasan Materi Vektor

31.Diketahui|a|=3,|b|=1,dan|ab|=1maka panjang vektora+badalah....a.3d.22b.5c.7e.3JawabDiketahuisebagaimana pada soal|ab|2=|a|2+|b|22|a||b|cosθ12=(3)2+122.3.1.cosθ23cosθ=3maka panjang vektora+badalah|a+b|=|a|2+|b|2+2|a||b|cosθ=(3)2+12+3=3+1+3=7

32.Jika|u|=6,|v|=43,dan|uv|=8tentukanlah nilai daria.uvb.|u+v|c.cosinussudut antaraudanvJawab:a.uv=2.uv=|u|2+|v|2|uv|22.uv=62+(43)2822.uv=36+4864=8464=20uv=202=10b.|u+v|2=|u|2+|v|2+2.uv|u+v|2=62+(43)2+20=84+20=104|u+v|=104c.cos(u,v)=uv|u|.|v|=106.(43)×33=10372=5363Berikut ilustrasi gambarnya.

33.Jikap=(25),q=(43),maka proyeksi skalar ortogonal vektorppadaqadalah....a.35b.75c.85d.95e.2Jawab|r|=p.q|q|=(25).(43)42+32=8+(15)25=|75|=75

34.Panjang Proyeksi vektora=(51)padab=(04)adalah....a.1b.12c.1d.2e.4Jawab|c|=|a.b|b||=|(51)(04)|02+(4)2||=|044|=|1|=1

35.Proyeksi vektor ortogonala=(24)padab=(12)adalah....a.(21)b.(22)c.(24)d.(12)e.(24)Jawabc=(ab|b|2).b=((24)(12)(1)2+22).(12)=(281+4).(12)=2(12)=(24)


DAFTAR PUSTAKA

  1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika Program IPA 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
  2. Kusnandar, Muharman, I., Indrianti, M. 2017. Pendalaman Buku Teks Matematika SMA Kelas X Peminatan MIPA. Jakarta: YUDHISTIRA.
  3. Miyanto, Aksin, N., Suparno. 2021. Buku Interaktif Matematika untuk SMA/MA Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam Kelas X Semester 2. Yogyakarta: INTAN PARIWARA. 
  4. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
  5. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Persektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT TIGA SERANGKAI MANDIRI.

Contoh 6 Soal dan Pembahasan Materi Vektor

 26.Jikap=(24)danq=(84),makasudut yang dibentuk vektorpdanqadalah....a.0b.60c.45d.60e.90Jawabp.q=|p|.|q|.cos(p,q)cos(p,q)=p.q|p|.|q|=(21).(84)(2)2+12.82+42=16+1620.80=040=0cos(p,q)=cos90(p,q)=90

27.JikaOA=(12),OB=(42),danθ=(OA,OB),makatanθ=....a.35b.916c.34d.43e.169Jawabcosθ=a.b|a||b|=(12).(42)12+2242+22=4+45.20=810sinθ=1cos2θ=1(810)2=36100=610Selanjutnyatanθ=sinθcosθ=610810=34

28.Jikaa,bdancadalah vektor satuan dengana+b+c=0.Nilai daria.b+a.c+b.cadalah....a.3b.32c.0d.32e.3JawabKarena{a,b,cadalah vektor satuan, dana+b+c=0.segitiga ABC adalah segitiga sama sisia.b=|a||b|cos1200=1.1.(12)=12a.c=|a||c|cos1200=1.1.(12)=12b.c=|b||c|cos1200=1.1.(12)=12Jadi, nilai daria.b+a.c+b.c=(12)+(12)+(12)=32

.berikut ilustrasinya

29.Jika(a,b)=60,|a|=4dan|b|=3,makaa(ab)adalah....a.2b.4c.6d.8e.10Jawaba(ab)=a.aa.b=|a||a|cos0|a||b|cos60=|a|2|a||b|.12=424.3.12=166=10.

30.Tentukanuv,jika diketahuia.|u|=10,|v|=83,cos(v,u)=253b.|u|=63,|v|=42,cos(v,u)=30Jawab:a.uv=|u|.|v|.cos(v,u)uv=10.(83).253=2.8.2.3=96b.uv=|u|.|v|.cos(v,u)uv=(63).(42).cos30=(63).(42).123=6.4.3.22=362.