Contoh Soal 1 (Segitiga dan Trigonometri)

1.Tunjukkan bahwacot7120=2+3+4+6Bukticotα=cosαsinα=2cos2α2sinαcosα=1+cos2αsin2α=1+cos15sin15cot7120=1+cos(4530)sin(4530)=2+3+4+6=1+146+142146142=4+6+262=(4+6+2)(6+2)62=46+42+6+23+23+24=8+42+43+464=2+2+3+6=2+3+4+6.

2.Tentukan nilai eksak darisin18JawabDiketahui4(18)=72=9018maka kita pilihx=18.Selanjutnyasin4x=sin(90x)=cosx2sin2xcos2x=cosx2(2sinxcosx)(12sin2x)=cosx4sinx(12sin2x)=14sinx8sin3x1=08sin3x4sinx+1=0(sinx1)(4sin2+2sinx1)=02sinx=1atau2sinx=1±52Nilai yang mungkin untuk2sinxdariketiga nilai di atas adalah1+52Sehinga nilai dari2sinx=1+52sinx=1+54karenax=18,akan didapatkannilaisin18=1+54Jadi, nilai eksak darisin18=514.

3.Tunjukkan bahwatan1114=4+2221BuktiLangkah awaltan2212=sin2212cos2212=2sin2212sin22122sin2212cos2212=1cos45sin45=1122122=222=222×22=2222=21Langkah berikutnyaMisalkantan1114=x,makatan2212=2tan11141tan2111421=2x1x2121=1x22xx2+2(2+1)x1=0x1,2=2(2+1)±4(2+1)2+42x1,2=(2+1)±3+22+1x1,2=21±4+22Ambil yang nilai positif sajaSehinggatan1114=21+4+22.

4.Jikaα,β,danγadalah sudutpada segitiga ABC, buktikan bahwatanα2tanβ2+tanβ2tanγ2+tanγ2tanα2=1BuktiDikatahui bahwaα+β=180γatau12(α+β)=12(180γ)=90γ2Makatan(α2+β2)=tan(90γ2)=cotγ2tan(α2+β2)=1tanγ2tanα2+tanβ21tanα2tanβ2=1tanγ2tanα2tanγ2+tanβ2tanγ2=1tanα2tanβ2tanα2tanβ2+tanβ2tanγ2+tanγ2tanα2=1.

5.Jikaα,β,danγadalah sudutpada segitiga ABC, buktikan bahwacosα+cosβ+cosγ=1+4sinα2sinβ2sinγ2BuktiDikatahui bahwaα+β=180γatau12(α+β)=12(180γ)=90γ2Makacosα+cosβ+cosγ=2cos(α+β2)cos(αβ2)+cos(180(α+β))cosα+cosβ+cosγ=2cos(α+β2)cos(αβ2)cos(α+β)cosα+cosβ+cosγ=2cos(α+β2)cos(αβ2)2cos2(α+β2)+1cosα+cosβ+cosγ=2cos(α+β2)(cos(αβ2)cos(α+β2))+1cosα+cosβ+cosγ=2cos(α+β2)(2sinα2sinβ2)+1cosα+cosβ+cosγ=2cos(α+β2)(2sinα2sinβ2)+1cosα+cosβ+cosγ=2cos(α+β2)(2sinα2sinβ2)+1cosα+cosβ+cosγ=2cos(90γ2)(2sinα2sinβ2)+1cosα+cosβ+cosγ=4sinγ2(sinα2sinβ2)+1cosα+cosβ+cosγ=1+4sinα2sinβ2sinγ2



DAFTAR PUSTAKA

  1. Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI



Lanjutan 3 Materi Ketaksamaan : Ketaksamaan Renata (Rearrangement)

1. Ketaksamaan Pengaturan Ulang / Renata (Rearrangement)

Diberikan  a1a2a3an dan c1c2c3cn bilangan real dan sembarang susunan (b1,b2,b3,,bn) dari  (a1,a2,a3,,an), maka akan berlaku:
a1c1+a2c2+a3c3++ancnb1c1+b2c2+b3c3+...+bncnanc1+an1c2+an2c3+...+a1cn.

Perhatikan bentuk a1a2a3an dengan (b1,b2,b3,,bn) adalah sembarang permutasi dari a1a2a3an, maka akan memiliki akibat
1.a12+a22++an2a1b1+a2b2++anbn2.b1a1+b2a2+b3a3++bnann.

Penjelasan akibat no.1
Misalkan a1,a2,a3,,an adalah bilangan real positif asumsikan monoton naik, dengan akibat no. 1 akan diperoleh
a12+a22++an2a1a2+a2a3++ana1a12+a22++an2a1a3+a2a4++ana2a12+a22++an2a1a4+a2a5++ana3a12+a22++an2a1an+a2a1++anan1.
Jika kedua ruas setelah dijumlahkan ditambahkan dengan a12+a22++an2, maka akan didapatkan  bentuk:
n(a12+a22++an2)(a1+a2++an)2n(a12+a22++an2)n2(a1+a2++an)2n2(a12+a22++an2)n(a1+a2++an)2n2(a12+a22++an2)n(a1+a2++an)2n2(a12+a22++an2)n(a1+a2++an)nDan bentuk terakhir di atas adalah bentukQM-AM.

CONTOH SOAL.

1.Diketahuia,bbilangan real positifTunjukkan bahwaa2+b22abBuktiAlternatif 1Perhatikan bahwa(ab)20a22ab+b20a2+b22abAlternatif 2Dengan AM-GM diperoleha2+b22(ab)2a2+b22aba2+b22abAlternatif 3Asumsikan bahwaab,denganketaksamaan Renatadiperoleha.a+b.ba.b+b.aa2+b2ab+aba2+b22ab.

2.Diketahuia,bbilangan real positifTunjukkan bahwaa2b+b2aa+bBuktiAsumsikan bahwaab,makaa2b2dan1b1a.Perhatikan bahwa baik(a2,b2)dan(1b,1a)adalah kumpulan dua barisan yang monotonsama yaitu sama-sama naik. Sehinggadenganketaksamaan Renatadiperoleha2.1b+b2.1aa2.1a+b2.1ba2b+b2aa+b.

3.Buktikan bahwa setiap bilangan realpositifa,bdancberlakua2+b2+c2ab+ac+bcBuktiAlternatif 1Perhatikan bahwa(ab)20(ac)20,dan(bc)20adalah benar, maka(ab)2=a22ab+b20a2+b22ab.....(1)Dengan cara yang kurang lebih samaakan didapatkana2+c22ac.....(2)b2+c22bc.....(1)Jika ketaksamaan(1),(2),&(3)dijumlahkanakan didapatkan bentuk2a2+2b2+2c22ab+2ac+2bca2+b2+c2ab+ac+bcAlternatif 2Dengan ketaksamaanCauchy-Schwarz(a2+b2+c2)(b2+c2+a2)(ab+bc+ca)2a2+b2+c2ab+ac+bcAlternatif 3Untuk barisan(a,b,c),asumsikanabcmaka denganKetaksamaan Renatadiperoleha.a+b.b+c.cab+bc+caa2+b2+c2ab+ac+bc.

4.Diberikana,b,c>0,tunjukkan bahwaabc+bca+caba+b+cBukti:Alternatif 1Dengan AM-GM  diperolehac+ca2ca2acbc+cb2bc2cbab+ba2ab2baSehinggaabc+bca+caba(2cb)+b(2ac)+c(2ba)=2aacb+2babc+2cbcaabc+bca+cab2(a+b+c)(abc+bca+cab)2(abc+bca+cab)2(a+b+c)abc+bca+caba+b+cAlternatif 2Dengan ketaksamaan RenataAsumsikanabc,makaabcabcdan1c1b1a.Perhatikan bahwa(abcabc)dan(1c1b1a)memiliki kemonotonan yang samamaka denganketaksamaan Renatadapat diperoleh bentukab.1c+ac.1b+bc.1aab.1b+ac.1a+bc.1cabc+bca+caba+c+babc+bca+caba+b+c.

5.Diberikana,b,c>0,tunjukkan kebenaranketaksamaan Nesbittberikutab+c+bc+a+ca+b32Bukti:Alternatif 1Dengan AM-GM  diperoleh(a+b)+(b+c)+(c+a)331a+b+1b+c+1c+a((a+b)+(b+c)+(c+a))(1a+b+1b+c+1c+a)92(ab+c+bc+a+ca+b)+692(ab+c+bc+a+ca+b)3(ab+c+bc+a+ca+b)32Alternatif 2Dengan ketaksamaan RenataAsumsikanabc,makaa+ba+cb+cdan1b+c1a+c1a+b.Perhatikan bahwa(abc)dan1b+c1a+c1a+bmemiliki kemonotonan yang samamaka denganketaksamaan Renatadapat diperoleh bentuka.1b+c+b.1a+c+c.1a+bb.1b+c+c.1a+c+a.1a+bdana.1b+c+b.1a+c+c.1a+bc.1b+c+a.1a+c+b.1a+bJika dijumlahkan keduanya, maka2(ab+c+bc+a+ca+b)3(ab+c+bc+a+ca+b)32.

6.(OSN 2015)Diberikana,b,c>0,Buktikan bahwaab+c+bc+a+bc+a+ca+b+ca+b+ab+c3Bukti:Perhatikan bukti soal no. 4 di atasDengankeksamaan Renatadapat diperolehab+c+ba+cbb+c+aa+cMisalkanx=b+c,y=c+a,y=a+b,makaab+c+ba+cbb+c+aa+cab+c+ba+cy+zx2x+x+zy2yab+c+ba+cy+zx2x+x+zy2y=12yx+zx1+xy+zy1dengan AM-GM12zx+zy+2yx.xy2=12zx+zy+2212zx+zy22z2xy=z2xyab+c+ba+cz2xybc+a+ca+bx2yzca+b+ab+cy2xzSelanjutnyaab+c+bc+a+bc+a+ca+b+ca+b+ab+cz2xy+x2yz+y2xzDengan AM-GM lagi3z2xy×x2yz×y2xz33(xyz)2(xyz)233

7.Diberikana,b,c>0,tunjukkan bahwab+ca+c+ab+a+bc6Bukti:Alternatif 1Dengan mengaplikasikan AM-GM-HMpada1a+1b+1ckita dapat menemukan1a+1b+1c3(abc).139a+b+cJika kedua ruas dikalikan dengana+b+c,maka3+b+ca+c+ab+a+bc9(a+b+c)a+b+cb+ca+c+ab+a+bc6Alternatif 2Asumsikanabc,makaa+ba+cb+cdan1c1b1a.Perhatikan bahwa(a+ba+cb+c)dan1c1b1amemiliki kemonotonan yang samamaka denganketaksamaan Renatadapat diperoleh bentuk(b+c).1a+(c+a).1b+(a+b).1c(b+c).1b+(c+a).1c+(a+b).1a1+cb+1+ac+1+ba3+cb+ac+ba3+3(abcabc).133+36.

DAFTAR PUSTAKA

  1. Young, B. 2009. Seri Buku Olimpiade Matematika Strategi Menyelesaikan Soal-Soal Olimpiade Matematika: Ketaksamaan (Inequality). Bandung: PAKAR RAYA.


WEBSITE
  1. https://holdenlee.github.io/high_school/omc/23-rearrange.pdf diakses 18 Januari 2022.
  2. https://www.gotohaggstrom.com/Advanced%20inequality%20manipulations.pdf  diakses 20 Januari 2022



Lanjutan 2 Materi Segitiga dan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz-Engel

3. 2 Ketaksamaan Cauchy-Schwars

Jika diberikan sebarang bilangan real  x1,x2,x3,...,xn dan  y1,y2,y3,...,yn, maka akan berlaku
(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)2(x12+x22+x32+...+xn2)(y12+y22+y32+...+yn2).
Jika dituliskan dengan notasi sigma adalah:
(i=1nxiyi)2(i=1nxi2)(i=1nyi2).
Buktidari ketaksamaan ini adalah:Diberikanα1,α2,α3,,αndanβ1+β2+β3++βnUntuk setiap bilangan realx,pada polinom kuadratdapat berlakuf(x)=i=1n(αx+β)20(i=1nαi2)x2+2(i=1nαiβi)x+(i=1nβi2)0akibatnya diskriminan (D)0,makaD=b24ac0(2(i=1nαiβi))24(i=1nαi2)(i=1nβi2)04(i=1nαiβi)4(i=1nαi2)(i=1nβi2)(i=1nαiβi)(i=1nαi2)(i=1nβi2).
Ada hal yang sangat menarik ketika substitusi bentuk  xi=piqi  dan  yi=qi, yaitu:

Perhatikan bentuk berikut(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)2(x12+x22+x32+...+xn2)(y12+y22+y32+...+yn2).
dengan substitusi{xi=piqiyi=qimaka menjadi bentuk.
(p1+p2+p3+...+pn)2(p12q1+p22q2+p32q3+...+pn2qn)(q1+q2+q3+...+qn)(p1+p2+p3+...+pn)2(q1+q2+q3+...+qn)(p12q1+p22q2+p32q3+...+pn2qn).
Bentuk di atas selanjutnya lebih dikenal dengan sebutan Cauchy-Schwarz Engel, karena bentuk ketaksamaan ini dipopulerkan oleh Arthur Engel dan biasa disebut dengan sebutan CS-Engel.

Perhatikan lemma berikut berkaitan dengan ketaksamaan CS-Engel di atas.
Jika diberikan a,b bilangan real dan x,y real positif akan ditunjukkan berlaku
a2x+b2y(a+b)2x+y.

BuktiPerhatikan bahwa(aybx)20a2y2+b2y22abxy0a2y2+b2y22abxya2xy+a2y2+b2y2+b2xya2xy+2abxy+b2xy(a2y+b2x)(x+y)(a2+2ab+b2)xy(a2y+b2x)xy(a2+2ab+b2)(x+y)a2x+b2y(a+b)2x+y.

CONTOH SOAL.

1.Jikax,ybilangan positif, tunjukkanx2+y2(x+y)22Bukti:Alternatif 1Perhatikan bahwa(xy)20x22xy+y20x2+y22xy2x2+2y2x2+y2+2xy2(x2+y2)(x+y)2x2+y2(x+y)22Alternatif 2Dengan QM-AM kita akan mendapatkanx2+y22x+y2(x2+y22)(x+y2)2(x2+y22)(x+y)24x2+y2(x+y)22Alternatif 3Dengan ketaksamaan CS-Engelkita dapat perolehx21+y21(x+y)22x2+y2(x+y)22.

2.Buktikan bahwa setiap bilangan realpositifa,bdancberlakua2+b2+c2ab+ac+bcBuktiAlternatif 1Perhatikan bahwa(ab)20(ac)20,dan(bc)20adalah benar, maka(ab)2=a22ab+b20a2+b22ab.....(1)Dengan cara yang kurang lebih samaakan didapatkana2+c22ac.....(2)b2+c22bc.....(1)Jika ketaksamaan(1),(2),&(3)dijumlahkanakan didapatkan bentuk2a2+2b2+2c22ab+2ac+2bca2+b2+c2ab+ac+bcAlternatif 2Dengan ketaksamaanCauchy-Schwarz(a2+b2+c2)(b2+c2+a2)(ab+bc+ca)2a2+b2+c2ab+ac+bc.

3.Buktikan bahwa setiap bilangan realpositifa,bdancberlakua2+b2+c23(ab+ac+bc)BuktiLihat jawaban no.2 di atas, yaitua2+b2+c2ab+ac+bckarena nilai dari(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)maka nilaia2+b2+c2=(a+b+c)22(ab+ac+bc)Sehingga nilai untuka2+b2+c2ab+ac+bcmenjadi(a+b+c)22(ab+ac+bc)ab+ac+bc(a+b+c)23(ab+ac+bc)

4.Diketahuix,y,zadalah bilangan real positif. Tunjukkan bahwa(x+y+z)23(x2+y2+z2)BuktiAlternatif 1Dengan ketaksamaan Cauchy-SchwarzKita dapat peroleh(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)untuka=b=c=1,akan diperoleh(ax+by+cz)2(12+12+12)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2(3)(x2+y2+z2).

Alternatif 2Dengan ketaksamaan CS-EngelKita dapat perolehx21+y21+z21(x+y+z)21+1+1x2+y2+z2(x+y+z)233(x2+y2+z2)(x+y+z)2,atau(x+y+z)23(x2+y2+z2).
Alternatif 3Dengan QM-AM kita akan mendapatkanx2+y2+z23x+y+z3(x2+y2+z23)(x+y+z3)2(x2+y2+z23)(x+y+z)29x2+y2+z2(x+y+z)233(x2+y2+z2)(x+y+z)2atau(x+y+z)23(x2+y2+z2).

5.Jikax,y,zadalah bilangan real positifdenganx2+y2+z2=27.Tunjukkanbahwax3+y3+z381BuktiPada contoh soal no.2 terdapat(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)ganti menggantia=b=c=1,maka menjadi(x+y+z)2(12+12+12)(x2+y2+z2)(x+y+z)2(3)(x2+y2+z2)........(1)Selanjutnya dengan mengganti denganx.32,y.32,z.32danx.12,y.12,z.12,pada(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)Kita akan dapatkan(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)(x+y+z)........(2)Jika masing-masing ruas dikuadratkan, maka(x2+y2+z2)4(x3+y3+z3)2(x+y+z)2(x2+y2+z2)43(x3+y3+z3)2(x2+y2+z2)(x2+y2+z2)33(x3+y3+z3)2(27)33(x3+y3+z3)2393(x3+y3+z3)238(x3+y3+z3)2(x3+y3+z3)238(x3+y3+z3)3.82(x3+y3+z3)34=81.

6.Untuka,b,c,dadalah bilangan real positif, tunjukkan bahwa1a+1b+4c+16d64a+b+c+dBuktiDengan ketaksamaan CS-Engel(a+b+c+d)(12a+12b+22c+42d)(1+1+2+4)212a+12b+22c+42d(1+1+2+4)2a+b+c+d1a+1b+4c+16d64a+b+c+d.

7.Diketahuia,bbilangan real positifdana+b=1.Tunjukkan bahwa(a+1a)2+(b+1b)2252BuktiAlternatif 1Diketahui bahwaa+b=1Dengan QM-AM kita akan mendapatkanx2+y22x+y2x2+y22(x+y2)2Kita misalkan{x=a+1ay=b+1bmaka(a+1a)2+(b+1b)22(a+1a+b+1b2)214(a+b+1a+1b)214(1+1a+1b)214(1+a+bab)214(1+1ab)2Dari GM-AM kita akan mendapatkanaba+b2ab(a+b2)2ab(12)2ab14Sehingga(a+1a)2+(b+1b)212(1+1ab)212(1+114)212(1+4)212×25252.
Alternatif 2Dengan AM-GM kita akan mendapatkan1=a+b2ab12ab21ab1ab21ab4Perhatikan soal, dengan QM-AMakandidapatkan(a+1a)2+(b+1b)22(a+1a+b+1b2)2(a+1a)2+(b+1b)212(a+b+1a+1b)2=12(1+a+bab)2=12(1+1ab)2=12(1+4)2=12×25252.
Alternatif 3Dengan AM-GM kita akan mendapatkan1=a+b2ab12ab21ab1ab21ab4Perhatikan soal, dengan CS-Engelakandidapatkan(1+1)((a+1a)21+(b+1b)21)(a+1a+b+1b)22((a+1a)2+(b+1b)2)(a+b+1a+1b)2(a+1a)2+(b+1b)212(1+a+bab)2(a+1a)2+(b+1b)212(1+1ab)2(a+1a)2+(b+1b)212(1+4)2(a+1a)2+(b+1b)212×25(a+1a)2+(b+1b)2252.


8.Jikaa,bbilangan positif, buktikana.2(a2+b2)(a+b)2b.4(a3+b3)(a+b)3c.8(a4+b4)(a+b)4d.16(a5+b5)(a+b)5e.32(a6+b6)(a+b)6f.64(a7+b7)(a+b)7g.128(a8+b8)(a+b)8Bukti:Akan ditunjukkan bukti poin 8.c sajauntuk poin yang lain, silahkan pembacasekalian untuk dibuktikan sendiri sebagaibahan latihan mandiri.Adapun bukti poin 8.c adalah sebagaimanaberikut iniDengan ketaksamaan CS-Engelakandidapatkan(1+1)(a4+b4)(a2+b2)22(a4+b4)(a2+b2)2..........(1)(1+1)(a2+b2)(a+b)22(a2+b2)(a+b)2,(kuadratkan)4(a2+b2)2(a+b)4(a2+b2)2(a+b)44...........(2)Dari (1) dan (2) didapatkan hubungan2(a4+b4)(a2+b2)2(a+b)448(a4+b4)4(a2+b2)2(a+b)48(a4+b4)(a+b)4.


.Mengenal penulisan polaSiklik dan SimetriMisal untukn=3,pada penulisan unsurx,y,danz,makaPola SiklikPola Simetrisiklik.x2=x2+y2+z2sym.x2=x2+x2+y2+y2+z2+z2=2(x2+y2+z2)siklik.x3=x3+y3+z3sym.x3=2(x3+y3+z3)siklik.x2y=x2y+y2z+z2xsym.x2y=x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2ysiklik.xyz=xyz+yzx+zxy=3xyzsym.xyz=xyz+xzy+=6xyz.

9.(IMO 1995)Jikaa,b,cbilangan-bilangan real positifdenganabc=1,maka tunjukkan bahwa1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)32BuktiMisalkanx=1a,y=1b,danz=1c,maka1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=x3yzy+z+y3xzx+z+z3xyx+y,karenaxyz=1=x2y+z+y2x+z+z2x+yDengan ketaksamaanCauchy-Schwarz(2siklik.y+z)(x2y+z+y2x+z+z2x+y)(x+y+z)2(x2y+z+y2x+z+z2x+y)(x+y+z)22(x+y+z)(x2y+z+y2x+z+z2x+y)(a+b+c)2(x2y+z+y2x+z+z2x+y)3xyz32(x2y+z+y2x+z+z2x+y)32.

DAFTAR PUSTAKA

  1. Tung. K.Y. 2013. Ayo Raih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Yogyakarta: ANDI.
  2. Young, B. 2009. Seri Buku Olimpiade Matematika Strategi Menyelesaikan Soal-Soal Olimpiade Matematika: Ketaksamaan (Inequality). Bandung: PAKAR RAYA.

Lanjutan Materi 1 Segitiga dan Ketaksamaan QM-AM-GM-HM

1. Identitas Trigonometri dalam Segitiga

Perhatikan segitiga sembarang berikut


Dalam Sebuah segitiga akan berlakuidentitas berikut1.sinα+sinβ+sinγ=4cosα2cosβ2cosγ22.cosα+cosβ+cosγ=4sinα2sinβ2sinγ2+13.tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ4.sin2α+sin2β+sin2γ=2cosαcosβcosγ+25.sin2α+sin2β+sin2γ=4sinαsinβsinγ6.cotα2+cotβ2+cotγ2=cotα2+cotβ2+cotγ27.cotαcotβ+cotαcotγ+cotβcotγ=1.

2. Segitiga dan Pertidaksamaan Segitiga

Pada sebuah segitiga pengklasifikasiannya dapat berdasarkan berdasarkan panjang sisinya ataupun jenis sudut-sudutnya. Berikut untuk klasifikasi berdasarkan panjang sisinya

a.sembarangb.samakakic.samasisi.

Dan berdasarkan jenis sudutnya sebuah segitiga dapat dikategorikan dengan

a.lancipb.siku-sikuc.tumpul.

Adapun berkaitan dengan segmen garis yang akan menjadi penyusun sebuah segitiga, maka sebuah segitiga hanya bisa dibuat dari ketiga segmen garis yang mana segemen garis yang terpanjang akan selalu lebih pendek dari pada jumlah panjang kedua segmen garis yang lainnya atau segmen garis yang terpendek akan selalu lebih panjang dari pada selisih panjang dari kedua segemn garis yang lainnya. Sifat tersebut lazim dinamkan dengan ketidaksamaan dalam segitiga.

Pertidaksamaan dalam Segitiga{a+b>ca+c>bb+c>aatau{|ab|<c|ac|<b|bc|<a

3. Ketaksamaan (Inequality)

Di sini yang akan dibahas adalah beberapa ketaksamaan secara umum yang tentunya sebagian berlaku pada segitiga untuk membantu para siswa dijenjang SMP atau SMA atau sederajat juga menjadi pengingat buat penulis sendiri, karena materi ini hampir menuntut daya nalar yang lebih dengan prasyarat telah terbiasa dengan soal-soal semisal aljabar dan trigonometri.

3. 1 Ketaksamaan QM-AM-GM-HM

Dalam setiap soal yang melibatkan ketaksamaan biasanya muncul dalam soal berkategori KSN (Kompetisi Sains Nasional) baik tingkat kabupaten, provinsi bahkan nasional maupun juga KSM (Kompetisi Sains Madrasah) dengan jenjang yang sama serta soal-soal dengan kategori kompetisi yang semisal. Model penyelesaian yang digunakan hampir sering akan melibatkan penggunaan ketaksamaan metode ini, yaitu QM-AM-GM-HM. Pada beberapa contoh soal di bawah dapat Anda cermati tentang penggunaan penyelesaian cara ini demikian pula pada halaman-halaman berikutnya pada blog ini akan dibahas beberapa soal dan diselesaikan dengan cara ini.

Pada segitiga akan berlakuQuadratic Mean=QM=a2+b2+c23Arithmetic Mean=AM=a+b+c3Geometric Mean=GM=abc3Harmonic Mean=HM=31a+1b+1c.

Dengan kata lain QM adalah rataan kuadratik, AM adalah rataan aritmetik, dan GM adalah rataan geometri, serta HM rataan harmoni dan besarnya QMAMGMHM.

Misalkan diberikanx1,x2,x3,,xnbilangan real positif, maka hubungan ketaksamaanQM-AM-GM-HMdapat dituliskanx12+x22+x32++xn2n(QM)x1+x2+x3++xnn(AM)x1.x2.x3xnn(GM)n1x1+1x2+1x3++1xn(HM).

Anda juga bisa klik di sini untuk QM, AM, GM, dan HM.

Misalkan untukn=2maka hubungan ketaksamaannya adalahx12+x222x1+x22x1x221x1+1x2.

Dan misalkan untukn=3maka hubungan ketaksamaannya adalahx12+x22+x323x1+x2+x33x1x2x3331x1+1x2+1x3.

Demikian seterusnya.

CONTOH SOAL.

1.Jikaα,β,danγadalah sudutpada segitiga ABC, buktikan bahwasin2α+sin2β+sin2γ=4sinαsinβsinγBuktiDikatahui bahwaα+β=180γMakasin2α+sin2β+sin2γ=2sin(2α+2β2)cos(2α2β2)+2sinγcosγ=2sin(α+β)cos(αβ)+2sinγcosγ=2sinγcos(αβ)+2sinγcosγ=2sinγ(cos(αβ)+cosγ)=2sinγ(cos(αβ)cos(α+β))=2sinγ(2sinαsin(β))=4sinγsinαsinβ=4sinαsinβsinγ.

Catatan: 

Kotak persegi kecil hitam diletakkan diakhir pembuktian menunjukkan pembuktian telah dianggap cukup dan memenuhi

2.Jikaadanbadalah bilangan realpositif, tunjukkan bahwaab+ba2Bukti:Alternatif 1Dengan AM-GMab+ba2ab.baab+ba21ab+ba2Alternatif 2(abba)20ab2+ba0ab+ba2.

3.Untuk sembarangx>0Tunjukkan bahwax21+x412Bukti:Alternatif 1Perhatikan bahwa(x21)20maka(x21)2=x42x2+10x4+12x212x2x4+112x2x2+1ataux2x4+112Alternatif 2Dengan AM-GM1+x421×x41+x42x21+x4x22x21+x412Alternatif 3x21+x4=11x2+x2Dengan AM-GM1x2+x221x2×x21x2+x22111x2+x22121x2+x22111x2+x221211x2+x22=x21+x412.

4.Jikaa,b,cadalah sisi segitiga yangmemenuhia+b+c=1,tunjukkanbahwaab+ac+bc12Bukti:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc2ab+2ac+2bc=1(a2+b2+c2)ab+bac+bc=1212(a2+b2+c2)ab+bac+bc12.

5.Jikaa,b,cadalah bilangan real positifdengana+b+c=1,tunjukkanbahwa(1a1)(1b1)(1c1)8Bukti:Telah diketahui bahwa:a+b+c=1Dengan ketaksamaan AM-GM kitabisa mendapatkana+b2aba+b2abb+c2bcb+c2bcc+a2cac+a2caSelanjutnya kembali kepersoalan, yaitu:(1a1)(1b1)(1c1)=(1aa)(1bb)(1cc)=(b+ca)(a+cb)(a+bc)(2bca)(2acb)(2abc)(8(abc)2abc)8abcabc8.

6.Jikaa,b,cadalah bilangan real positifdengana+b+c=1,tunjukkanbahwa(1a+1)(1b+1)(1c+1)64Bukti:(1a+1)(1b+1)(1c+1)=1abc+(1ab+1bc+1ca)+(1a+1b+1c)+1Dengan AM-GM kita mendapatkan1a+1b+1c31abc31ab+1bc+1ca31(abc)23Kita tulis sintak prosesnya di atas=1+(1a+1b+1c)+(1ab+1bc+1ca)+1abc1+31abc3+31(abc)23+1(abc)331+31abc3+31(abc)23+1(abc)33=(1+1abc3)3Karenaabc3a+b+c3=13,maka(1a+1)(1b+1)(1c+1)(1+1abc3)3(1+1(13))3(1+3)44464.

DAFTAR PUSTAKA

  1. Bintari, N., Gunarto, D. 2007. Panduan Menguasai Soal-Soal Olimpiade Matematika Nasional dan Internasional. Yogyakarta: INDONESIA CERDAS.
  2. Budhi, W.S. 2014. Matematika 4: Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Matematika Sain Nasional/Internasional SMA. Jakarta: TRISULA ADISAKTI.
  3. Young, B. 2009. Seri Buku Olimpiade Matematika Strategi Menyelesaikan Soal-Soal Olimpiade Matematika: Ketaksamaan (Inequality). Bandung: PAKAR RAYA.


Lanjutan Luas Segitiga 2

D. 3 Aturan Sinus

Perhatikan ilustasi berikut

asinA=bsinB=csinC=2R.

1.a=b.sinAsinB=c.sinAsinC=2RsinA2.b=c.sinBsinC=a.sinBsinA=2RsinB3.c=a.sinCsinA=b.sinCsinB=2RsinC.

Sehingga luas segitiga dapat dituliskan sebagai berikut:
1.LABC=12absinC=12a(a.sinBsinA)sinC=12a2sinBsinCsinA2.LABC=12bcsinA=12b(b.sinCsinB)sinA=12b2sinBsinAsinB3.LABC=12acsinB=12(c.sinAsinC)csinB=12c2sinAsinBsinC.

D. 4 Luas segitiga sama sisi

LABC=12absinC,a=b=cdanA=BC=60=12a.asin60=12a2(123)=14a23.

D. 5 Lingkaran Luar Segitiga

Perhatikan lagi lingkaran luar segitiga di atas, dari sana kita akan mendapatkan rumus luas segitiga yang dapat kita munculkan harga R nya, yaitu:

1.LABC=12absinC=12(2RsinA)(2RsinB)sinC=2R2sinAsinBsinC2.LABC=12absinC=12ab(c2R)=abc4R.

D. 6 Lingkaran dalam segitiga

Perhatikanlah gambar berikut

DiketahuiLAOB=12(AB)(OD)=12crLAOC=12(AC)(OF)=12brLBOC=12(BC)(OE)=12arSehinggaLABC=[ABC]=12ar+12br+12cr=12r(a+b+c)=12r(2s)=rs.

D. 7 Lingkaran singgung segitiga

Sebagai ilustrasinya adalah gambar berikut

DiketahuiDO=EO=FO=ramaka1.LABO=12(AB)(OD)=12cra2.LACO=12(AC)(OE)=12bra3.LBCO=12(BC)(OF)=12ara.
SehinggaLABC=[ABC]=[ACO]+[ABO][BCO]=12bra+12cra12ara=12ra(b+ca)=12ra(a+b+c2a)=12ra(2s2a)=ra(sa).

CONTOH SOAL.

1.Diberikan sembarangABC.Jikarmerupakan jari-jari lingkaran singgung dalam padaABCdanra,rb,rcadalah jari-jari singgung luar padABCtunjukkan bahwa:1ra+1rb+1rc=1rBukti:DiketahuiLABC=ra(sa),ra=[ABC]saLABC=rb(sb),rb=[ABC]sbLABC=rc(sc),rc=[ABC]scmaka1ra+1rb+1rc=1[ABC]sa+1[ABC]sb+1[ABC]sc=sa[ABC]+sb[ABC]+sc[ABC]=sa+sb+sc[ABC]=3s(a+b+c)[ABC]=3s2s[ABC]=s[ABC]=1[ABC]s=1r.


Lanjutan Luas Segitiga 1

C. Luas Segitiga dengan Integral Tentu

Misalkan suatu garis linear di sekitar  sumbu-X yang tidak sejajar dan sumbu-X itu sendiri yang membatasi suatu daerah di antara keduanya serta dibatasi pula oleh 2 garis yang sejajar dengan sumbu Y yang keduanya tidak berimpit, maka hasil dari proses integral tentu ini akan menghasilkan luas segitiga.



Secara rumus integral tentu untuk model di atas adalah:
Integral Tentu=pqf(x)dx=[F(x)]pq=F(x)|pq=F(q)F(p).

Diketahuiy=mx,denganm=ba,sehinggay=baxatauf(x)=baxmakaLarea=abf(x)dx=abbaxdx=baabxdx=ba(12x2)a|0=ba(12(a)2)ba(12(0)2)=ba(12(a)2)0=b×a22a=a×b2=12×ab.

D. Luas segitiga dengan Trigonometri

D. 1 Segitiga siku-siku

Perhatikan ilustrasi segitiga siku-siku berikut


1.sinB=badancosC=basehinggab=asinB=acosC2.sinC=cadancosB=casehinggac=asinC=acosB3.tanB=bcdancotC=bcsehinggab=ctanB=ccotC4.tanC=cbdancotB=cbsehinggac=btanC=bcotB5.sinB=hcdansinC=hbsehinggah=csinB=bsinC.

Dari fakta-fakta di atas dapat ditunjukkan beberapa rumus segitiga, yaitu:

1.L12bc12(asinB)(asinC)=12a2sinBsinC12(acosC)(acosB)=12a2cosBcosC12(b)(btanC)=12b2tanC12(ctanB)(c)=12c2tanB12(b)(bcotB)=12b2cotB12(ccotC)(c)=12c2cotC2.L12ha12(csinB)(a)=12acsinB12(bsinC)(a)=12absinC.

D. 2 Segitiga tidak siku-siku

Perhatikan ilustrasi segitiga tidak siku-siku berikut



Jika dari tiap titik sudut ditarik garis tinggi sampai memotong sisi di depannya, misal titik A, maka garis tingginya sebagaimana gambar berikut:

1.L=12hA.a=12csinB.(a)=12acsinBL=12hA.a=12bsinC.(a)=12absinC2.L=12hB.b=12csinA.(b)=12bcsinAL=12hB.b=12asinC.(b)=12absinC3.L=12hC.c=12asinB.(c)=12acsinBL=12hC.c=12bsinA.(c)=12bcsinA.

Jika diringkas menjadi
LuasABC=12bc.sinA=12ac.sinB=12ab.sinC.


Selingan-Luas Segitiga

A. Heron's Formula

Bukti Luas Segitiga dengan sisi a, b, dan c

Bagaimana membuktikan luas suatusegitiga jika diketahui sisinyaa,bdancberupa rumusL=[ABC]=s(sa)(sb)(sc)dengans=12(a+b+c).



Berikut akan dipaparkan buktinya

LABC=12bcsinA=12bcsin2A=12b2c2(sin2A)=12b2c2(1cos2A),ingat bahwa;cosA=b2+c2a22bc=12b2c2(1(b2+c2a22bc)2)=12b2c2(b2+c2a22)2=124b2c2(b2+c2a2)24=12.12(2bc)2(b2+c2a2)2=14(2bc+b2+c2a2)(2bcb2c2+a2)=14{(b+c)2a2}{a2(bc)2}=14(b+c+a)(b+ca)(a+bc)(ab+c),dengan mengingat bahwa2s=a+b+c=14(2s)(2s2a)(2s2b)(2s2c)=14.16.s(sa)(sb)(sc)=14.4s(sa)(sb)(sc)LABC=s(sa)(sb)(sc).

Rumus di atas lebih dikenal dengan istilah rumus Heron lihat Heron's formula di sini.

Sumber tulisan lagi di antara silahkan kunjungi di sini.

B. Luas segitiga

Luas segitiga juga bisa kita dapatkan dengan dengan simulasi berikut

1.Buat suatu segitiga bebas, misal.


2.Perhatikan bahwa luas segitiga samadengan luas dua kali persegi panjangyang terbentuk, perhatikan gambar berikut.

dengan rincian



3.Panjang dari persegi panjang adalahsetengah dari alas segitiga dan lebar persegi panjang adalah setengah daritinggi segitiga.

.Luassegitiga=2×(luas persegi panjang)=2×(panjang×lebar)=2×(12a)×(12t)=12×a×t.

CONTOH SOAL.

1.Diketahui segitiga ABC denganAB=21cmAC=10cm,danBC=17cm.Tentukansegitiga yang ditarik dari titikCJawab:Sebelumnya perhatikan ilustrasi berikut ini.


.L=[ABC]=Luas segitiga=s(sa)(sb)(sc)dengans=12(a+b+c)sehinggas=12(21+10+17)=24makaL=24(2417)(2410)(2421)=24(7)(14)(3)=4.6.7.2.7.3=4.49.36=2.7.6=84L=12(alas di depan sudut)×t84=12.21×tt=8.

2.(OSK 2008)Segitiga sama kaki denganAB=ACdengan keliling32.Jika panjanggaris tinggi dari titikAadalah8,makapanjangACadalah....a.913b.10c.1023d.1113e.12Jawab:Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.


.Diketahui bahwaAB=AC=xdengan kelilingABC=32makax+x+BC=32BC=322x,sedangkanDC=16xDiketahui pula garis tinggi darititikA=8,perhatikanADCdenganAC2=AD2+DC2x2=82+(16x)2x2=82+25632x+x232x=320x=10.

DAFTRA PUSTAKA
  1. Sembiring, S., Sukino. 2020. Super Master KSN Matematika SMA/MA. Bandung: YRAMA WIDYA.
  2. Sobel, M.A., Maletsky, E.M. 2004. Mengajar Matematika: Sebuah Buku Sumber Alat Peraga, Aktivitas, dan Strategi untuk Guru Matematika SD, SMP, SMA. ed. ke-3. Alih Bahasa: Suyono. Jakarta: ERLANGGA.





Latihan Soal 3 Persiapan PAS Gasal Matematika Wajib Kelas XII

  

Jika jarak titik A ke C adalah 8 cm, 

maka jarak titik A ke D adalah ... cm


Jawab : b
Pembahasan diserahkan kepada pembaca yang budiman

Jika jarak K ke Q adalah 9 cm,

maka jarak titik K ke L adalah ... cm


Jawab : b

Pembahasan juga diserahkan kepada pembaca yang budiman


Jika panjang rusuk tegaknya adalah 13 cm, 

serta AB = 8 cm, dan BC = 6 cm, 

maka jarak T ke bidang ABCD (Titik tengah bidang ABCD)


Jawab : e

Pembahasan juga diserahkan kepada pembaca yang budiman


Jika panjang AB = 4 BC = 2 CG = 8 cm,

maka panjang AG adalah ... . cm


Jawab : a



MisalkanPanjang diagonal sisi=s2=4cmAlternatif 1s2=4s=42s=42×22=442=422=22Jadi, panjang sisinya22Alternatif 2dikuadratkan kedua ruasnya, yaitu:(s2)2=(4)2s2.2=18s2=162=8s=8=4.2=4.2=22Jadi, panjang sisinya22.

26.Perhatikan gambar berikut.


Pernyataan yang tepat adalah...a.Titik sudutHpada rusukABb.Titik sudutCpada rusukBDc.Titik sudutApada rusukDCd.Titik sudutDpada rusukBCe.Titik sudutGpada rusukGFJawab:eCukup jelas bahwa TitikGpada ruasgarisGF.

27.Diketahui kubus dengan rusuk 10cm.TitikPdanQberturut-turut adalahtitik tengahABdanDC.TitikOmerupakan perpotongan diagonal bidangalasABCD.Pernyataan yang tepatadalah....a.TitikPterletak di luar garisABb.TitikPterletak padaDCc.TitikQterletak di luar garisDCd.TitikPterletak pada garisABe.TitikPterletak pada garisPQJawab:d,eada 2 jawaban yang tepatperhatikan ilustrasi berikut iniuntuk lebih memahami jawaban di atas.


28.Pada kubusABCD.EFGH,ABCDmerupakan wakil bidangαdanBCGFmerupakan wakil dari bidangβ.Pernyataan yang kurang tepat adalah....a.TitikAterletak pada bidangαsajab.TitikDterletak pada bidangαsajac.TitikFterletak pada bidangβsajad.TitikBterletak pada bidangαsajae.TitikGterletak pada bidangβsajaJawab:dTitikBterletak pada bidangαdanβsekaligus, perhatikan ilustrasi berikut iniuntuk lebih memahami jawaban di atas.


29.Diketahui panjang rusuk kubusABCD.EFGHadalah6cm.Jarak titikEke bidangBDGadalah....a.3cmb.23cmc.33cmd.43cme.63cmJawab:dPerhatikanlah ilustrasi berikut ini.

.Jelasbahwa{AB=BC=CG=QQ=6cm(dari soal)AC=EG=62cm(diagonal sisi kubus)EQ=QG=12(sisi)6=36cmPerhatikanEQGDengan perbandingan luasEQG=EQG12×QG×EE=12×QQ×EG12×(36)×EE=12×6×62EE=12×(62)×612×(36)=43cm.

30.Diketahui panjang rusuk kubusABCD.EFGHadalah8cm.Jarak titikCke bidangBDGadalah....a.43cmb.63cmc.833cmd.83cme.1033cmJawab:cPerhatikanlah ilustrasi.

.Jika gambarnya dipartisi lagi di bagiansegitigaGCGmaka akan tampakseperti ilustrasi berikut.
.Jelasbahwa{GC=8cm(dari soal)BD=AC=82cm(diagonal sisi kubus)CG=12AC=42cmmakadengan rumus Pythagoras dapatpanjangGG,yaitu:(GG)2=(GC)2+CG2GG=(GC)2+CG2=(42)2+82=32+64=96=16.6=46cmPerhatikanGCGDengan perbandingan luasGCG=GCG12×CC×GG=12×CG×CG12×CC×(46)=12×(42)×8CC=12×(42)×812×(46)=83=83×33=833cm.