Operasi Vektor di Ruang (Lanjutan Materi Vektor di Ruang)

Sebelumnya silahkan lihat di sini

 A. Operasi Vektor Dalam Ruang

Operasi vektor pada dimensi tiga kurang lebih sama dengan operasi pada vektor berdimensi dua.

A.  Penjumlahan dan Pengurangan.

Jikadiketahui sebagai misalu¯=ai¯+bj¯+ck¯danv¯=pi¯+qj¯+rk¯makaPenjumlahan dua vektor di atas adalahu¯+v¯=(a+p)i¯+(b+q)j¯+(c+r)k¯demikian juga untuk penguranganu¯v¯=(ap)i¯+(bq)j¯+(cr)k¯.

CONTOH SOAL.

1.Jika diketahuia¯=(137)danb¯=(820)Tentukanlah hasil daria.a¯+b¯b.a¯b¯JawabDiketahui bahwaa¯=(137)danb¯=(820),makaa¯+b¯=(137)+(820)=(1+83+(2)7+0)=(917)Dan untuka¯b¯adalah:a¯b¯=(137)(820)=(183(2)70)=(757).

B. 1. Perkalian Skalar dengan Vektor.

Misalkan suatu skalar   m  dan suatu vektor  u¯=ai¯+bj¯+ck¯, maka perkalian m  dengan vektor  u¯ tersebut adalah  u¯=mai¯+mbj¯+mck¯.

CONTOH SOAL.

2.Jikaa¯=(202220212020),tentukanlah nilaidari2a¯dan3a¯Jawab2a¯=2(202220212020)=(404440424040),dan3a¯=3(202220212020)=(606660636060)

F. 2. Perkalian Skalar Dua Vektor.

Hasil dari perkalian skalar dua vektor a¯  dan  b¯ adalah :  a¯b¯.

Dengan

a¯b¯=|a¯||b¯|cosθ.  sehingga

Tanda dari hasil skalar ini adalahBesar sudutθTandaBentuk0θ<90PositifLancipθ=90NolSiku-siku90<θ180NegatifTumpulUntukθberupa sudut istimewa:θ030456090180cosθ11231221201

Adapun secara rumus untuk menentukan besar sudutnya adalah:

cosθ=a¯b¯|a¯||b¯|.

Sebagai ilustrasinya perhatikanlah gambar berikut

Selain hasil di atas ada cara lain menyelesaikan perkalian skalar dua vektor, yaitu:

Jikadiketahui sebagai misalu¯=ai¯+bj¯+ck¯danv¯=pi¯+qj¯+rk¯makaPerkalian skalar dua vektor adalah:u¯v¯=(ai¯+bj¯+ck¯)(pi¯+qj¯+rk¯)=ap.i¯i¯+aq.i¯j¯+ar.i¯k¯+bp.j¯i¯+bq.j¯j¯+br.j¯k¯+cp.k¯i¯+cq.k¯j¯+cr.k¯k¯=ap+0+0+0+bq+0+0+0+cr=ap+bq+cr

Sebagai penjelasannya adalah:i¯i¯=|i¯||i¯|cos0=1.1.1=1i¯j¯=|i¯||j¯|cos90=1.1.0=0i¯k¯=|i¯||k¯|cos90=1.1.0=0j¯i¯=i¯j¯=0j¯j¯=|j¯||j¯|cos0=1.1.1=1j¯k¯=|j¯||k¯|cos90=1.1.0=0k¯i¯=i¯k¯=0k¯j¯=j¯k¯=0k¯k¯=|k¯||k¯|cos90=1.1.1=1

Atau jika ditabelkan nilainyau¯v¯pi¯qj¯rk¯ak¯ap00bj¯0bq0ck¯00cr

CONTOH SOAL.

3.Jikaa=(124),danb=(540) tentukanlah nilaidariabJawabab=1.5+2.4+4.0=5+8+0=13

4.Jika diketahuia=i2j+3k,danb=3i4j+mkserta nilaiab=4,maka tentukannilaimJawabDiketahui bahwaa=i2j+3k=(123),danb=3i4j+mk=(34m)ab=1.3+3.(4)+3.m4=3+8+3m3m=11+4m=153=5

5.Diketahui|a|=10,|b|=6.Jikaadanbmembentuk sudut60.Tentukanlah nilaiabJawabab=|a||b|cosθ=10.6.cos60=60.(12)=30Jadihasil kali skalarnya adalah 30.




Contoh Soal 3 Distribusi Normal

 11.Tersiar kabar bahwa harga beras di pasar diwilayah B adalahRp8.000,00/Kg dengansimpangan bakuRp1.500,00.Berdasar kabartersebut dilakukan penelitian dengan mengambilsampel secara acak sebanyak60kios yang dandiperoleh rata-rata harga berasRp7.800,00/KgJika penghitungan menggunakan tingkatsignifikansi5%,maka kesimpulan berikut yang tepat adalah....a.harga beras di pasar lebih dariRp7.800,00/Kgb.harga beras di pasar lebih dariRp8.000,00/Kgc.harga beras di pasar kurang dariRp0.000,00/Kgd.harga beras di pasarRp7.800,00/Kge.harga beras di pasarRp8.000,00/KgJawab:eHipotesisRata-rata harga beras dipasarRp8.000,00/KgH0:μ=8.000H0:μ8.000Daerah KritisTaraf nyata yang dipilih adalah=α=0,05=5%α2=2,5%=0,025z0,025=1,96maka daerah kritis/penolakannya adalahz<1,96atauz>1,96.

.Nilai Satistik UjiDihitung dengan rumus:z=xμ0σnz=7.8008.0001.50060=200601.500=1,03Keputusan UjiKarena nilai1,96<z<1,96,makaH0diterimaKesimpulanRata-rata harga beras dipasarRp8.000,00/Kg .

Contoh Soal 2 Distribusi Normal

6.Luas daerah yang diarsir di bawahkurva normal baku berikut adalah....a.0,4861b.0,4878c.0,4881d.0,4938e.0,4946.

.Jawab:Perhatikan tabeldistribusi normalberikutz01234567892,20,4878Sehingga nilaiz=2,25luasnya=0,4878.

7.Luas daerah yang diarsir di bawahkurva normal baku berikut adalah....a.0,1138b.0,3810c.0,3862d.0,4948e.0,5000.
.Jawab:Perhatikan tabeldistribusi normalberikutz01234567891,10,38102,50,4948Sehingga nilaiz=1,18luasnya=0,3810Dan nilaiz=2,56luasnya=0,4948maka luas arsiran=P(1,18<Z<2,56)=P(0<Z<2,56)P(0<Z<1,18)=0,49480,3810=0,1138.

8.Luas daerah yang diarsir pada gambardi bawah adalah 0,9332, maka nilaiz=.....
.a.1,05b.1,06c.1,16d.1,50e.1,60Jawab:Luas arsiran adalah=P(Z<z)=0,9332=0,5+0,4332=0,5+P(0<Z<z)lihat/konfirmasi ke tabelz=1,50Perhatikan tabeldistribusi normalberikutz01234567891,50,4332Sehingga luasnya=0,4878,batas z=1,50.

9.Pada suatu kelas seorang guru matematikamenyatakan bahwa nilai ulangan mapel yang diampunya tidak kurang dari68Untuk menentukan uji tersebut, maka guruyang bersangkutan memilih 10 anak secaraacak untuk ditanyai nilai hasil ulangannyaHipotesisH0danH1yang tepat dari kondisikondisi di atas adalah....a.H0:μ=68H1:μ68b.H0:μ=68H1:μ>68c.H0:μ68H1:μ<68d.H0:μ68H1:μ>q68e.H0:μ>68H1:μ68Jawab:cCukup jelasDan ini contoh uji satu pihak, yaitu kiri.

10.Seorang petugascustomerservicemenyatakanbahwa di dealer A dapat mensevis rata-rata sebanyak75unit sepeda motor perhari.Untukmengecek kebenaran pernyataan di atas diambilsampel beberapa hari secara random sebanyak 20 hari. Dari penelitian ini diperoleh rata-rata78 unit dengan simpangan bakunya 5. Hasilperhitunganz0nya adalah....a.2,35b.2,43c.2,55d.2,68e.2,75Jawab:dDiketahui data dianggap berdistribusinormal bakuN(0,1)denganRata-rata sampel=x=78unit sepeda motorRata-rata populasinya yang diuji=μ0=75Simpangan bakunya=σ=5unitdengan banyak data sampel=n=20hariPenghitungan nilainyaznya=xμ0σn=7875520=3525=65=62,236=2,683.


Contoh Soal 1 Distribusi Normal

 1.Fungsi distribusi normal variabel acak Xdenganμ=8danσ=2adalah....a.f(x)=12πe.(x8)22b.f(x)=12πe.(x8)24c.f(x)=12πe.(x8)22d.f(x)=18πe.(x8)24e.f(x)=18πe.(x8)28Jawab:ef(x)=1σ2πe.12(xμσ)2,dengan{μ=8σ=2=122πe.12(x82)2=18πe.(x8)28.

2.Jika variabel acakZberdistribusi normalN(0,1),nilaiP(Z<2)adalah....a.0212πe.12z2dzb.212πe.12z2dzc.212πe.12z2dzd.021σ2πe.12(xμσ)2dze.021σ2πe.12(xμσ)2dzJawab:cP(Z<2),ZN(0,1)=P(<Z<0)+P(0<Z<2)=212πe.12z2dz.

3.Jika luas daerah di bawah kurvaberdistribusi normal pada intervalZ>zadalahL,nilaiP(z<Z<z)adalah....a.0,5+Lb.0,5Lc.1Ld.12Le.2LJawab:dP(z<Z<z)=0,5L+0,5L=12LBerikut ilustrasi kurva beserta luasnya.

4.DiketahuiXN(20,4)danZN(0,1)JikaP(0<Z<1)=0,3413,maka nilaiP(X<24)adalah....a.0,1587b.0,3174c.0,3413d.0,6826e.0,8413Jawab:eDiketahui bahwaXN(20,4){μ=20σ=4Dan diketahui pulaP(0<Z<1)=0,3413JikaZN(0,1),maka untukP(X<24)transformasix=24menjadiz=xμσ=24204=44=1SelanjutnyaP(X<24)=P(Z<1)=0,5+P(0<Z<1)=0,5+0,3413=0,8413.

5.Nilai kuartil atas dari databerdistribusi normal baku=qPernyataan berikut yang tepat adalah....a.Luas daerah pada(Z<q)=0,25b.Luas daerah pada(Z>q)=0,25c.Luas daerah pada(0<Z<q)=0,25d.Luas daerah pada(Z<0,25)=qe.Luas daerah pada(0<Z<0,25)=qJawab:aPembahasan diserahkan kepada pembacayang budiman.




Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub serta Kuadran

C. Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub/Polar

Perhatikan ilustrasi berikut

KartesiusKutubKutubKartesiusP(x,y)P(r,α0)P(r,α0)P(x,y)r=x2+y2,tanα0=yx,α0=arctanyx{x=r.cosα0y=r.sinα0.

D. Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

D. 1 Untuk Sudut 0 sampai dengan 360 derajat.

Kuadran IIKuadran I(180α)Semua nilai trigonpositifKuadran IIIKuadran IV(180+α)(360α).

(1).Perbandingan Trigonometri untuk Sudut(900α)a.sinαsin(900θ)=cosθb.cosαcos(900θ)=sinθc.tanαtan(900θ)=cotθd.cotαcot(900θ)=tanθ.

(2).Perbandingan Trigonometri untuk Sudut(1800α)a.sinαsin(1800θ)=sinθb.cosαcos(1800θ)=cosθc.tanαtan(1800θ)=tanθd.cotαcot(1800θ)=cotθ.

(3).Perbandingan Trigonometri untuk Sudut(1800+α)a.sinαsin(1800+θ)=sinθb.cosαcos(1800+θ)=cosθc.tanαtan(1800+θ)=tanθd.cotαcot(1800+θ)=cotθ.

(4).Perbandingan Trigonometri untuk Sudut(3600α)a.sinαsin(3600θ)=sinθb.cosαcos(3600θ)=cosθc.tanαtan(3600θ)=tanθd.cotαcot(3600θ)=cotθ.

D. 2 Untuk Sudut yang Lain

a.{sin(A)=sinAcos(A)=cosAtan(A)=tanAb.{csc(A)=cscAsec(A)=secAcot(A)=cotAc.{sin(n.360+A)=sinAcos(n.360+A)=cosAtan(n.360+A)=tanA,nN.

Dengan catata: 0=360=720=1080=n.360

CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah nilaia.sin120b.cos240c.tan315Jawab:a.sin120=sin(18060)=sin60=123,atau=sin(90+30)=cos30=123b.cos240=cos(180+60)=cos60=12,atau=cos(27030)=sin30=12c.tan315=tan(36045)=tan45=1,atau=tan(270+45)=cot45=1.

2.Buktikan bahwaa.cos(90B)secB+sin(90B)cscB=2sinBcosBb.tanC+tan(90C)=secC.sec(90C)Bukti:a.cos(90B)secB+sin(90B)cscB=sinBsecB+cosBcscB=sinB1cosB+cosB1sinB=sinBcosB+sinBcosB=2sinBcosBb.tanC+tan(90C)=tanC+cotC=sinCcosC+cosCsinC=sin2C+cos2CsinCcosC=1sinCcosC=1cosC.1sinC=secC.cscC=secC.sec(90C).

3.Tentukanlah nilaia.tan(A90)sin(A)b.cos540+sin690c.sin2021+cos2021Jawab:a.tan(A90)sin(A)=tan((90A))(sinA)=tan(90A)(sinA)=tan(90A)(sinA)=cotA.sinA=cosAsinA.sinA=cosAb.cos540+sin690=cos(360+180)+sin(72030)=cos(0+180)+sin(030)=cos180+sin(30)=cos180sin30=112=32c.sin2021+cos2021=sin(5.360+221)+cos(5.360+221)=sin(0+221)+cos(0+221)=sin221+cos221=sin(180+41)+cos(180+41)=sin41cos41


Perbandingan Trigonometri Sudut dalam Segitiga Siku-Siku

B. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut

B. 1 Perbandingan Trigonometri pada Segitiha Siku-Siku

Perhatikanlah ilustrasi  dari segitiga ABC siku-siku di C berikut


sinα=BCABcscα=ABBC=1sinαcosα=ACABsecα=ABAC=1cosαtanα=BCACcotα=ACBC=1tanα.

B. 2 Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Istimewa.

α000300450600900180027003600sinα00121221231010cosα01123122120101tanα0013313TD0TD0.

B. 3. Tripel Pythagoras pada Segitiga Siku-Siku

abc=a2+b2Tripel345(3,4,5)51213(5,12,13)72425(7,24,25)81517(8,15,17)94041(9,40,41)116061(11,60,61)123537(12,35,37)15112113(15,112,113)166365(16,63,65)17144145(17,144,145)19180181(19,180,181)202129(20,21,29)21220221(21,220,221)29420421(29,420,421)30224226(30,224,226)31480481(31,480,481)33544545(33,544,545)35612613(35,612,613)37684685(37,684,685)39760761(39,760,761)41840841(41,840,841)43924925(43,924,925)4510121013(45,1012,1013)4711041105(47,1104,1105)485573(48,55,73)4912001201(49,1200,1201)5113001301(51,1300,1301)606387(60,63,87).


CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah nilai perbandingansinαcosα,tanαuntuk segitiga berikut.

.Jawab:a.Untuk sisi miringnya adalahSisi  miring=32+42=9+16=25=5Sehinggasinα=35,cosα=45dantanα=34Dengan langkah samab.Untuk sisi miringnya adalahSisi  miring=52+122=25+144=169=13Sehinggasinα=1213cosα=513dantanα=125..

2.Tentukanlah nilai daria.(tan300+sin300)cos300b.(tan600)2+4(sin600)2c.tan600sin600tan300d.1+sin300sin300+cos3001+sin300e.2tan3001+tan2300Jawab:.

.a.(tan300+sin300)cos300=(133+12).123=12+143b.(tan600)2+4(sin600)2=(3)2+4(123)2=3+3=6c.tan600sin600tan300=3123133=3563=163d.1+sin300sin300+cos3001+sin300=1+1212+1231+12=3+133.e.2tan3001+tan2300=2×1331+(133)2=2331+13=23343=123..

3.Perhatikanlah ilustrasi berikut

.Jika Jarak antara kucing seorang pencatatdan kucing adalah 100 m, maka jarakPencatat tersebut dengan seorang tentarasebagaimana gambar tersebut di atas adalah?Jawab:Perhatikan gambar di atas dengan diberikantambahan keterangan sebagai berikut.
.Ditanya berpakah  panjang jarak (x+100)?Pilih:y=yx.tan600=(x+100).tan300x.3=(x+100)1333x=x+1002x=100x=50Jadix+100=50+100=150meter..

4.Tentukanlah perbandingan trigonometriXOAjikaA(3,5)Jawab:Perhatikan ilustrasi berikut.

Dengan memandang ilustrasi gambar di ataskita mendapatkanOAA,dengan menggunakanteorema pythagoras kita mendapatkanOA2=(OA)2+(AA)2=32+52=9+25=34OA=34.Sehingga akan didapatkana.sinAOA=534=53434b.cosAOA=334=33434c.tanAOA=53..

LATIHAN SOAL.

1.Tentukanlah nilai daria.(tan600+sin450)cos00b.(tan300)2+4(sin300)2c.tan600+sin600+tan300d.1+sin450sin300+cos3001+sin450e.2tan6001+tan2600.

2.Tentukan nilai perbandingan trigonometrinyadari gambar segitiga berikut.



3.Diketahuitanα=0,75.Tentukan nilaiperbandingan trigonometri berikuta.sinαb.cosαc.cscαd.secαe.cotαf.sin2α+cos2α.

4.Jika1cosβ=925(1+cosβ)Tentukannilai daritanβ.


DAFTAR PUSTAKA
  1. Kurnianingsih, S., Kuntarti, Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semester 2 Standar Isi 2006. Jakarta: ESIS.
  2. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: YUDHISTIRA.
  3. Yuana. R.A., Indriyastuti. 2017. Persepktif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Matematika Wajib. Solo: TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.





Trigonometri

 A. Ukuran Sudut

Sudut itu sendiri adalah suatu bangun yang dibatasi oleh dua buah sinar atau garis yang berpotongan di sekitar titik potongnya. Sebagai ilustrasinya perhatikanlah gambar berikut


Ada dua buah sinar yaitu  OA  dan  OB yang bertemu atau berpotongan di titik O den terbentuklah  AOB.

Sedangkan berkaitan dengan pengukuran sudut nantinya minimal kita mengenal 3 jenis, yaitu: derajat, radian, dan gone atau grade. Berikut hubungan ketiga jenis ikuran sudut yang dimaksud beserta lambang/notasi penulisannya. Untuk anak ditingkat MA/SMA ukuran sudut yang dikenalkan biasanya derajat dan radian, akan tetapi untuk anak SMK ada satu lagi yaitu satuan gone atau grade.

1keliling=3600=2πradian=400gatau12keliling=1800=πradian=2009boleh juga14keliling=900=12πradian=1009Jika ingin diperkecil lagi18keliling=450=14πradian=509.

Perhatikan ilustrasi berikut

Sebagai catatan, terkadang sudut dalam satuan derajat dipresentasikan dalam bentuk seksagesimal, yaitu: diubah dalam satuan menit dan detik.
1=60=36001=60.

CONTOH SOAL.

1.Ubahlah sudut berikut ke satuanyang dimintaa.1=....radb.1rad=....0Jawab:a.3600=2πrad360×10=2πrad10=2π360=π180radb.2πrad=36002π×1rad=36001rad=(3602π)0=(180π)0.

2.Ubahlah sudut berikut ke satuan yang dimintaa.53,24=....(dalam sexagesimal)b.231224=....0Jawab:a.53,240=530+0,240=530+0,24×10=530+0,24×60=530+14,4=530+14+0,4=530+14+0,4×1=530+14+0,4×60=530+14+2453,240=5301424b.2301224=230+12×1+24×1=230+12×(160)0+24×(13600)0=230+0,20+0,006660=23,206660.

3.Ubahlah ke dalam sudut-sudut berikut dalam radiana.30e.900i.2100m.3000b.150f.1200j.2250n.3150c.300g.1350k.24000.12024d.600h.1500l.2700p.3001230Jawab:Ingat bahwa:1800=180×10=πrad10=π180rada.30=πrad30=3180πrad=160πradm.3000=πrad3000=300180πrad=53πradc.300=πrad300=30180πrad=16πrado.12024=πrad12024=12+(2460)180πrad=12+0,4180πrad=12,4180πrad=31450πradf.1200=πrad1200=120180πrad=23πrad.

4.Ubahlah ke dalam sudut-sudut berikut dalam derajata.12πrade.43πradb.35πradf.2radc.29πradg.12radd.712πradh.15πradJawab:Ingat bahwa:πrad=18001rad=1800πa.12πrad=12π×1800π=900b.35πrad=35π×1800π=1080d.712πrad=712π×1800π=1050f.2rad=2×1800π=2×1800227=1260011=114,540.

LATIHAN SOAL.

1.Ubahlah sudut berikut ke satuan yang dimintaa.270=.....radb.28rad=....0c.31,35=....(dalam sexagesimal)d.302412=....0.

2.Ubahlah sudut berikut ke satuan yang dimintaa.1350=.....radb.6rad=....0c.23,45=....(dalam sexagesimal)d.455036=....0.

3.Silahkan dicoba sendiri soal yang belumdibahas.

Vektor pada Ruang

 A. Vektor Di Ruang

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

NamaR3Vektor SatuanRuang (Bidang XYZ)e^a¯=a¯|a¯|{i=vektor satuanyang searah sumbu Xj=Vektor satuanyang searah sumbu Yk=Vektor satuansearah sumbu ZVektor nolO=(000)Vektor posisiOP=p=(p1p2p3)=p1i¯+p2j¯+p3j¯Besar VektorOP=p12+p22+p32

B. Operasi Vektor

1. Sifat-Sifat Aljabar Vektor

1.Komutatif penjumlahana+b=b+a2.Asosiatif penjumlahan(a+b)+c=a+(b+c)3.Elemen Identitasa+0=0+a=a4.Invers Penjumlahana+(a)=(a)+a=05.Perkalian dengan skalark(la)=(kl)ak(a+b)=ka+kbk(ab)=kakb6.Jika A, B, dan C segaris (Kolinear){AB=kBCAC=kABdll.
VektorContohz=ai+bj+ckdiketahuip=i2j+2kmaka pangjang vektorpadalah|p|=12+(2)2+22=1+4+4=9=3Vektor satuan daripadalahep=p|p|=(122)3=13(122)=(132323).

CONTOH SOAL.

1.Diketahui vektor-vektora=(214)b=(352),danc=(704),tentukanlah hasil daria.a+bb.6a+2bc.2ab+cd.12ca+34bJawab:aa+b=(214)+(352)=(2+(3)1+(5)(4)+2)=(23154+2)=(142)b.6a+2b=6(214)+2(352)=(18661024+4)=(12420)c.2ab+c2(214)(352)+(704)=(4+3+72+5+082+4)=(1776)d.12ca+34b=.
2.Diketahui vektor-vektora=(214)tentukanlah|a|Jawab:|a|=22+12+(4)2=4+1+16=21

2. Perkalian Skalar Dua Vektor

Konsep perkalian skalar dua buah vektor di ruang sama persis dengan konsep di bidang, yaitu:
ab=|a||b|cosθ.
Misalkan diketahui
a=(a1a2a3),b=(b1b2b3),makaab=(a1a2a3)(b1b2b3)=a1b1+a2b2+a3b3

CONTOH SOAL
1.Diketahui vektor-vektora=(214)b=(352),danc=(704),tentukanlah hasil daria.abb.acc.bcJawab:aab=(214)(352)=(2)(3)+(1)(5)+(4)(2)=658=19bac=(214)(704)=(2)(7)+(1)(0)+(4)(4)=14+016=2cbc=(352)(704)=(3)(7)+(5)(0)+(2)(4)=21+0+8=13.
2.Tentukanlah nilaitjikap=3i¯+tj¯+k¯danpp=13Jawab:pp=13pp=|p||p|cos0=13,ingat bahwa(p,p)=0dan nilaicos0=1,makapp=|p|2.1=13|p|2=13(32+t2+12)2=1332+t2+12=139+t2+1=13t2=1391=10t2=3t=±3
3.Diketahuip=(213)danq=(41t)Jikaptegak lurusqmakatentukanlah nilaitJawab:Diketahui bahwap=(213)danq=(41t)denganpdanqtegak lurusartinya(p,q)=90.Sehingganilaicos90=0makapq=|p||q|cosθpq=|p||q|0=0(213)(41t)=0(2)(4)+(1)(1)+(3)(t)=081+3t=03t=9t=3.

4.Jika|u|=6,|v|=43,dan|uv|=8tentukanlah nilai daria.uvb.|u+v|c.cosinussudut antaraudanvJawab:a.uv=2.uv=|u|2+|v|2|uv|22.uv=62+(43)2822.uv=36+4864=8464=20uv=202=10b.|u+v|2=|u|2+|v|2+2.uv|u+v|2=62+(43)2+20=84+20=104|u+v|=104c.cos(u,v)=uv|u|.|v|=106.(43)×33=10372=5363Berikut ilustrasi gambarnya.

5.Diketahui|a|=3,|b|=1,dan|ab|=1maka panjang vektora+badalah....a.3d.22b.5c.7e.3JawabDiketahuisebagaimana pada soal|ab|2=|a|2+|b|22|a||b|cosθ12=(3)2+122.3.1.cosθ23cosθ=3maka panjang vektora+badalah|a+b|=|a|2+|b|2+2|a||b|cosθ=(3)2+12+3=3+1+3=7

RANGKUMAN 

DAFTAR PUSTAKA

  1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika Program IPA 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
  2. Miyanto, Aksin, N., Suparno. 2021. Buku Interaktif Matematika untuk SMA/MA Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam Kelas X Semester 2. Yogyakarta: INTAN PARIWARA. 
  3. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Persektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT TIGA SERANGKAI MANDIRI.

Contoh Soal 8 Materi Integral Tentu Fungsi Aljabar

 36.Jika[x]menyatakan bilangan bulatterbesar yangx,maka nilai dari0n2[x]dx=....a.(n+1)n(n+1)6b.n(n1)(n2)6c.n(n+1)(2n+1)6d.n(n1)(3n+1)6e.n(n1)(4n+1)6Jawab:.

.0n2[x]dx=01[0]dx+122[1]dx+2232[22]dx+3242[32]dx++(n1)2n2[(n1)2]dx=010dx+141dx+492dx+9163dx++(n1)2n2(n1)dx=0+x|14+2x|49+3x|916++(n1)x|(n1)2n2=0+(41)+2(94)+3(169)++(n1)(2n1)=3+2.5+3.7+4.9+5.11++(n1)(2n1)=3+10+21+36+55++(n1)(2n1)(Deretnya berupa barisan aritmetika tingkat 2)=n(n1)(4n+1)6.


DAFTAR PUSTAKA

  1. Hutahaean. 1980. Kalkulus Diferensial dan Integral I. Jakarta: GRAMEDIA.
  2. Kuntarti, Sulistiyono, Kurnianingsih, S. 2007.  Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA Standar ISI 2006. Jakarta: ESIS.
  3. Nugroho, P.A., Gunarto, D. 2013. Big Bank Soal + Bahas Matematika SMA/MA Kelas 1,2,3. Jakarta: WAHYUMEDIA.
  4. Sukino. 2015. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
  5. Suparmin, S., Malau, A. 2014. Seri Kinomatika: Mainstream Matematika Dasar & Matematika IPA untuk Siswa SMA/MA Kelompok MIA. Bandung: YRAMA WIDYA.
Youtube:
Calculus | Find the Integral of the Floor Function of x
https://www.youtube.com/watch?v=CMme8XgfEJI 

Contoh Soal 7 Materi Integral Tentu Fungsi Aljabar

31.Jika[x]menyatakan bilangan bulatterbesar yangx,maka nilai dari13[x+12]dx=....a.3b.312c.4d.412e.5Jawab:.

.13[x+12]dx=1121dx+12120dx+12321dx+32522dx+5233dx=1|112+0|1212+x|1232+2x|3252+3x|523=(12+1)+0+(3212)+2(5232)+3(352)=12+0+1+2+32=4Perhatikan tabel berikut.

32.Jika[x]menyatakan bilangan bulatterbesar yangx,maka nilai dari13[x+13]dx=....a.3b.313c.423d.513e.613Jawab:.

.13[x+13]dx=1131dx+13230dx+23531dx+53832dx+8333dx=1|113+0|1323+x|2353+2x|5383+3x|833=(13+1)+0+(5323)+2(8353)+3(383)=23+0+1+2+33=313.

33.Jika[x]menyatakan bilangan bulatterbesar yangx,maka nilai dari0n[x]dx=....a.n2b.n(n1)2c.n(n+1)2d.(n+1)(n+2)2e.n2+12Jawab:.

.0nf(x)dx=0n[x]dx=010dx+121dx+232dx++n1n(n1)dx=0+x|12+2x|23++(n1)x|n1n=0+(21)+2(32)++(n1)(n(n1))=0+1+2+(n1)=(n1)((n1)+1)2=n(n1)2Perhatikan tabel berikut.

34.Jika[x]menyatakan bilangan bulatterbesar yangx,maka nilai dari20222022[x]dx=....a.2022b.202022[x]dxc.0d.202022[x]dxe.2022Jawab:20222022[x]dx=20222021[x]dx+20212020[x]dx++20212022[x]dx=2022+(2021)++2020+2021=2022.

35.Jika[x]menyatakan bilangan bulatterbesar yangx,maka nilai dari20222022(x[x])dx=....a.2022b.202022[x]dxc.0d.202022[x]dxe.2022Jawab:20222022(x[x])dx=20222022xdx(20222021[x]dx++20212022[x]dx)Sebelumnya perlu diingat bahwa20222022xdxadalahfungsi ganjil, maka=0Sehingga nilai akhirnya adalah=0(2022)lihat pembahasan sebelumnya=2022.



Contoh Soal 6 Materi Integral Tentu Fungsi Aljabar

26.(SBMPTN Mat IPA 2013)Diketahui sebuah lingkaran berjari-jari2sebagaimana ilustrasi dibawah. Jika talibusur pada gambar berjarak 1 dari garistengah, maka luas daerah di atas tali busuradalah....a.201(4x21)dxb.203(4x21)dxc.01(4x21)dxd.2014x2dxe.2034x2dx.
.Jawab:Diketahui bahwa sebuah lingkarandenganr=2,artinyax2+y2=r2=22=4Diketahui pula persamaan garisy=1,makax2+12=4x2=41=3x=±3

.Sehingga luas daerah di atas tali busuryaitu berupatemberangadalah=33(f2(x)f1(x))dx=33(4x21)dxingat fungsi genap pada pembahasansebelumnya, karenaf(x)=4x2=f(x)=203(4x21)dx.

27.(SBMPTN Mat IPA 2013)Diketahui sebuah lingkaran berjari-jari2sebagaimana ilustrasi dibawah. Jika talibusur pada gambar berjarak 1 dari garistengah, maka luas daerah di bawah tali busuradalah....a.2π201(4x21)dxb.2π203(4x21)dxc.4π01(4x21)dxd.4π203(4x21)dxe.4π2034x2dxJawab:Dengan ilustrasi sama dengan no.24 di atasKita dapat tentukan luas wilayah di bawahtembereng,yaitu:=Luas lingkaran penuh itutembereng=π.r2203(4x21)dx=π.(2)2203(4x21)dx=4π203(4x21)dx.

28.(SBMPTN Mat IPA 2013)Luas daerah yang dibatasi oleh kurvay=2x2dany=|x|adalah....a.210(x2+x+2)dxb.210(x2x+2)dxc.210(x2+x2)dxd.11(x2x+2)dxe.01(x2+x+2)dx.

.Jawab:Kita tentukan poin batas-batasnya, yaitu:Titik potong kurva dengan sumbu-X,y=0y=2x2=0(2+x)(2x)=0x=2ataux=2Titik potong kurva dengan garis, yaitu:2x2=|x|x2+|x|2=0x0,|x|=xx2+x2=(x+2)(x1)=0x=2(TM)ataux=1x<0,|x|=xx2x2=(x2)(x+1)=0x=2(TM)ataux=1Perhatikanlah ilustrasi berikut.


.Misalkanf1(x)=2x2danf2(x)=|x|maka luas arsirannya adalah:Luas arsiran=210(f1(x)f2(x))dx=210(2x2|x|)dx=210(2x2(x))dx=210(x2+x+2)dx.

29.Jika[x]menyatakan bilangan bulatterbesar yangx,maka nilai dari13[x]dx=....a.2b.4c.6d.8e.10Jawab:Perhatikan ilustrasi berikut.

Jika diperjelas lagi

.13f(x)dx=13[x]dx=101dx+010dx+121dx+232dx=(x)|10+0+x|12+2x|23=(0((1)))+0+(21)+2(32)=1+0+1+2=2.

30.Jika[x]menyatakan bilangan bulatterbesar yangx,maka nilai dariab[x]dx+ab[x]dx=....a.a+bb.0c.abd.2ae.2bJawab:Perhatikan tabel berikutMisalkanf(x)=[x],g(x)=[x],danh(x)=f(x)+g(x)=[x]+[x]..
.Intervalcf(x)<c+1cg(x)<c+1[h(x)]=c3x<23x<22<x33+2=12x<12x<11x<22+1=11x<01x<00x<11+0=10x<10x<11x<00+1=11x<21x<22x<11+2=12x<32x<33x<22+3=1ax<bax<bbx<aab.