Operasi Vektor Di Ruang Dimensi Dua (Matematika Peminatan Kelas X)

$\text{D. Operasi Vektor}$

$\text{1. Penjumlahan}$

$\text{1. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Penjumlahan di atas adalah penjumlahan menurut aturan segitiga, 

perhatikan pula pemisalan berikut

$\begin{array}{rl}& \text{Menurut aturan segitiga}\\ & \overline{AB}+\overline{BC}=\overline{a}+\overline{b}=\overline{AC},\text{Selanjutnya}\\ & \overline{AC}+\overline{CD}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{AD},\text{maka}\\ & \overline{AD}+\overline{DE}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}+\overline{d}=\overline{AE}\end{array}$

Pada penjumlahan dengan vektor adalah tetap (tidak berubah)

$\begin{array}{rl}& \bar{a}+\bar{0}=\bar{0}+\bar{a}=\bar{a}\\ & \text{Sehingga vektor nol disebut sebagai}\\ & \mathbf{\text{elemen identitas}}\end{array}$

$\text{1. 2 Secara Aljabar}$

Misal  

$\begin{array}{rl}& \bar{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)\text{dan}\bar{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\\ & \text{maka secara aljabar}\\ & \bar{a}+\bar{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\right)\end{array}$

Perhatikan kembali gambar berikut (lihat pada pembahasan sebelumnya) 

$\text{CONTOH SOAL}$

Titik  A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)\text{dan}\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \overline{AB}+\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+4\\ (-3)+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)\end{array}$

Dan untuk contoh yang lain adalah:

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right),\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\text{dan}\overline{EF}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF}\\ & =\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}1+4+(-4)\\ (-3)+3+(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\end{array}$

$\text{2. Pengurangan}$

$\text{2. 1 Secara Geometri}$

Pada pengurangan vektor $\bar{a}\text{oleh}\bar{b}$  dapat didefinisikan sebagai:

$\bar{a}-\bar{b}=\bar{a}+(-\bar{b})$. Perhatikanlah ilustrasi secara geometri berikut:

$\text{2. 2 Secara Aljabar}$

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan}\bar{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)\text{dan}\bar{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\\ & \text{maka}-\bar{b}=\left(\begin{array}{c}-x_2\\ -y_2\end{array}\right)\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \bar{a}-\bar{b}=\bar{a}+(-\bar{b})=\left(\begin{array}{c}{x}_1-x_2\\ y_1-y_2\end{array}\right)\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

Pada contoh soal bahasan penjumlahan di atas, perhatikan lagi bahwa

Titik  A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)\text{dan}\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \overline{AB}-\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-4\\ (-3)-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\end{array}\right)\end{array}$

$\text{3. Perkalian dengan Skalar}$

$\text{3. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut!

$\text{3. 2 Secara Aljabar}$

Perkalian suatu skalar dengan suatu vektor tergantung pada skalarnya. Jika suatu skalar  k  dengan  $k>0$,  maka perkalian ini akan menghasilkan vektor baru yang besarnya sekian  k  kali dari vektor semula  atau  $k\left|\bar{a}\right|$   dan arahnya searah dengan vektor yang dikalikan. Demikian sebaliknya, jika nilai  $k<0$, maka besar vektor hasil perkaliannya adalah  $k\left|\bar{a}\right|$  dengan arah yang berlawanan dari vektor semula.

$\text{CONTOH SOAL}$

Misalkan diketahui vektor-vektor sebagai berikut:

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right),\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\text{dan}\overline{EF}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \text{dengan muculnya skalar adalah}:\\ & 3\overline{AB}+4\overline{CD}-5\overline{EF}\\ & =3\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+4\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)-5\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}3.1+4.4+(-5).(-4)\\ 3.(-3)+4.3+(-5).(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}39\\ 13\end{array}\right)\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kuntarti, Sulistiyono, & Kurnianingsih, S. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama

Vektor (Matematika Peminatan Kelas X)

$\text{A. Pendahuluan}$

Vektor adalah besaran yang memiliki panjang/besar sekaligus memiliki arah. Secara geometri, vektor digambarkan dengan anak panah (ruas garis berarah) yang mana memiliki titik pangkal dan titik ujung.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Perhatikanlah vektor  b  pada gambar di atas. Vektor tersebut dilambangkan dengan sebuah huruf  b  kecil tebal yang memiliki titik pangkal pada koordinat kartesius di titik  $\left({\displaystyle -\frac{5}{2},-\frac{3}{2}}\right)$  dan berujung di titik $\left({\displaystyle -1,2}\right)$ . Selain vektor b dituliskan dengan sebuah huruf kecil tercetak tebal dapat juga dituliskan dengan sebuah huruf kecil tanpa tercetak tebal tapi diberi anak panah kecil  atau ruas garis di atasnya, yaitu :  $\overrightarrow{a},\overline{a}$.

$\text{Berikut cara penulisan notasi vektor}$

1. Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya ada anak panah, misalnya  $\overline{PQ},\overline{RS},\text{dan}\overline{AZ}$
2. Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya diberikan anak panah, seperti  $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{RS},\text{dan}\overrightarrow{AZ}$
3. Menggunakan sebauah huruf kecil tercetak tebal seperti pembahasan sebelumnya di atas, yaitu :  $\mathbf{\text{a}},\mathbf{\text{b}},\mathbf{\text{c}},\mathbf{\text{d}},\text{dan}\mathbf{\text{e}}$
4. Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atsnya diberikan anak panah, misalnya:  $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\text{dan}\overrightarrow{e}$
5. Menggunakan sebuah huruf kecil yang bawahnya diberi garis
6. Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atasnya diberi ruas garis, seperti  $\overline{a},\overline{b},\overline{c},\overline{d},\text{dan}\overline{e}$

$\text{B. Vektor pada}{\text{R}}^2$

Vektor di  ${\text{R}}^2$ adalah sebuah vektor yang diwakili oleh sebuah garis berarah dalam sebuah bidang datar atau Cartesius.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Misalkan pada salah satu vektor pada gambar di atas, ambil contoh $\overline{AB}$ . Vektor tersebut dilambangkan secara geometri dengan $\overline{AB}$  dan dibaca "vektor AB" yang berarti "vektor dari titik A ke titik B", dengan titik A sebagai titik pangkal dan B sebagai titik ujung. Sedangkan penulisan vektor secara aljabar dapat dinyatakan dalam matriks kolom atau matrik baris.

Pada   ${\text{R}}^2$  (penulisan vektor pada ruang dimensi dua) penulisan vektor ini dituliskan dengan  $\overline{AB}$, dengan 

$\overline{AB}=\left(\begin{array}{c}\text{komponen horisontal}\\ \text{komponen vertikal}\end{array}\right)$

Sehingga pada ilustrasi gambar di atas vektor-vektorya dapat dituliskan sebagai:

$\overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right),\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right),\mathrm{\&}\overline{EF}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)$

atau

$\overline{AB}=\left[\begin{array}{cc}1,& -3\end{array}\right],\overline{CD}=\left[\begin{array}{cc}4,& 3\end{array}\right],\mathrm{\&}\overline{EF}=\left[\begin{array}{cc}-4,& -2\end{array}\right]$

$\text{C. Panjang Vektor}$

Panjang suatu vektor dilambangkan dengan tanda harga mutlak. Misal pada gambar di atas pada bahasan vekor di  ${\text{R}}^2$, yaitu:

$\left|\overline{AB}\right|,\left|\overline{CD}\right|,\mathrm{\&}\left|\overline{EF}\right|$.

Misalkan suatu vektor  $\overline{u}$ dengan  $\overline{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$, maka panjang dari vektor  $\overline{u}$  ini dapat ditentukan dengan 

= $\left|\overline{u}\right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$.

Sehingga pada gambar di atas, panjang/besar vektornya dapat kita tentukan, yaitu:

$\begin{array}{rl}\bullet \left|\overline{AB}\right|& =\sqrt{1^2+(-3{)}^2}=\sqrt{1+9}\\ & =\sqrt{10}\\ \bullet \left|\overline{CD}\right|& =\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}\\ & =\sqrt{25}=5\\ \bullet \left|\overline{EF}\right|& =\sqrt{(-4{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{16+4}\\ & =\sqrt{20}=2\sqrt{5}\end{array}$

Fungsi (Matematika Wajib Kelas X)

$\text{A. Pendahuluan}$

$\begin{array}{rl}& \\ \text{Fungsi}& \text{atau pemetaan dari A ke B adalah}\\ & \text{suatu relasi khusus yang memasangkan}\\ & \text{setiap}x\in A\text{ke tepat satu}y\in B.\\ & \end{array}$

$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Notasi}& f:x\to y\text{atau}f:x\to f(x)\\ \text{Dibaca}& \text{fungsi}f\text{memetakan}x\in A\text{ke}y\in B\\ A& \text{Domain atau daerah asal fungsi atau}{D}_f\\ x& \text{prapeta(sebelum dipetakan)}\\ B& \text{Kodomain atau daerah kawan fungsi atau}{K}_f\\ y& \text{peta(bayangan dari prapeta) adalah Range}\\ & \text{atau}{R}_f\\ \hline\end{array}$

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut!

Sebagai misal, diberikan 

$\begin{array}{rl}& \boxed{{\displaystyle f:x\to f(x)=3x+2}}\\ & \mathit{\text{dibaca}}:\\ & \text{sebuah fungsi}f\text{memetakan}xke3x+2\end{array}$

$\text{B. Sifat-Sifat Fungsi}$

$\begin{array}{|ccl|}\hline \text{Injektif}& \text{Surjektif}& \text{Bijektif}\\ (\text{satu-satu})& (\text{pada})& (\text{korespondensi satu-satu})\\ \begin{array}{rl}& \text{Jika setiap anggota}\\ & \text{himpunan A memiliki}\\ & \text{bayangan berbeda di}\\ & \text{himpunan B}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Jika setiap anggota}\\ & \text{himpunan di B}\\ & \text{mempunyai prapeta}\\ & \text{di himpunan A}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Jika fungsi yang injektif}\\ & \text{sekaligus juga surjektif}\\ & \\ & \end{array}\\ \hline\end{array}$

$\text{C. Operasi Aljabar Fungsi}$

$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Aljabar Fungsi}& \text{Daerah Asal}\\ (f+g)(x)=f(x)+g(x)& D_{{}_{(f+g)}}=D_{{}_f}\cap D_{{}_g}\\ (f-g)(x)=f(x)-g(x)& D_{{}_{(f-g)}}=D_{{}_f}\cap D_{{}_g}\\ (f.g)(x)=f(x).g(x)& D_{{}_{(f.g)}}=D_{{}_f}\cap D_{{}_g}\\ \left({\displaystyle \frac{f}{g}}\right)(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}& D_{{}_{\left(\frac{f}{g}\right)}}=D_{{}_f}\cap D_{{}_g},\\ & \text{dengan}g(x)\ne 0\\ \hline\end{array}$

$\text{D. Macam-Macam Fungsi}$

$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Fungsi Konstan}& \text{Berupa konstanta}\\ & f(x)=c\\ \text{Fungsi Identitas}& \text{Nilainya dirinya sendiri}\\ & f(x)=x\\ \text{Fungsi linear}& \text{Fungsi berupa garis lurus}\\ & f(x)=ax+b\\ \text{Fungsi Kuadrat}& \text{Fungsi Kuadrat/parabola}\\ & f(x)=a{x}^2+bx+c,a\ne 0\\ \text{Fungsi Rasional}& \text{Fungsi Pecahan}\\ & f(x)={\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\\ \text{Fungsi Khusus 1}& \text{Fungsi Modulus(nilai mutlak)}\\ & f(x)=\left|x\right|\\ \text{Fungsi Khusus 2}& \text{Fungsi tangga}\\ & f(x)=\lfloor x\rfloor \\ \text{Fungsi Khusus 3}& \text{Fungsi genap dan ganjil}\\ & \{\begin{array}{ll}\text{Fungsi ganjil}& f(-x)=-f(x)\\ \text{Fungsi genap}& f(-x)=f(x)\end{array}\\ \hline\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Diketahui 2 humpuan sebagai berikut}:\\ & \{\begin{array}{ll}\text{P}& =\{-2,-1,0,1,2\}\\ \text{Q}& =\{0,1,2,5,7\}\end{array}\\ & \text{Di antara relasi dari P ke Q berikut manakah }\\ & \text{yang merupakan fungsi}\\ & \text{a}.\text{A}=\{(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0)\}\\ & \text{b}.\text{B}=\{(-2,1),(-1,2),(0,5),(1,7),(-2,2)\}\\ & \text{c}.\text{C}=\{(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,5),(2,7)\}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Semuanya Fungsi kecuali}\mathbf{\text{ poin b)}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Relasi berikut yang merupakan fungsi adalah}....\end{array}$

$.\begin{array}{|cll|}\hline \text{Poin}& \text{Jenis}& \text{Keterangan}\\ \text{a}& \text{Fungsi}& \begin{array}{rl}& \text{Sesuai definisi}\end{array}\\ & & \begin{array}{rl}& \text{yaitu}:\\ & \text{Setiap prepeta}\\ & \text{(anggota himpunan A) }\\ & \text{memiliki peta di }\\ & \text{himpunan B tepat satu}.\\ & \text{Tetapi}\\ & \text{bukan fungsi injektif}\\ & \text{bukan pula fungsi}\\ & \text{surjektif}\end{array}\\ \text{b}& \text{Fungsi}& \text{Sama di atas}\\ \text{c}& \text{Bukan Fungsi}& \text{Tidak sesuai definisi}\\ & & \text{hanya relasi saja}\\ \text{d}& \text{Fungsi}& \text{Sesuai definisi}\\ & & (\text{Fungsi bijektif})\\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah daerah asal dari fungsi beberapa berikut}:\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& f(x)=x-3& \text{g}.& f(x)={\displaystyle \frac{\left|x\right|}{x}}\\ \text{b}.& f(x)={\displaystyle \frac{6}{x^2-2x-8}}& \text{h}.& f(x)=\lfloor x\rfloor \\ \text{c}.& f(x)={\displaystyle \frac{x^2-3x}{x^2-2x-15}}& \text{i}.& f(x)=\left|x\right|+\lfloor x\rfloor \\ \text{d}.& y+2=x^2-5x+5& \text{j}.& f(x)=\sqrt{x^2-16}\\ \text{e}.& f(x)=|x-3|& \text{k}.& f(x)=\sqrt{2x^2-50}\\ \text{f}.& f(x)=3-|2x-1|& \text{l}.& f(x)={\displaystyle \frac{2\sqrt{x}}{x-3}}\end{array}\\ \end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{catatan}\lfloor x\rfloor \text{adalah }\\ & \text{bulat terbesar atau sama dengan}x\end{array}$.

$.\text{Jawab}$.

$.\begin{array}{|cc|}\hline (\text{a})& (\text{b})\\ \begin{array}{rl}f(x)& =x-3\\ \text{selu}& \text{ruh bilangan real}\\ & x\text{akan terdefinisi}\\ & \text{atau tetap bernilai}\\ & \text{real}\\ \text{sehi}& \text{ngga},\\ D_f& =\{x|x\in \mathbb{R}\}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}f(x)& ={\displaystyle \frac{6}{x^2-2x-8}}\\ \text{terd}& \text{efinisi ketika}\\ & \text{penyebut tidak sama}\\ & \text{dengan}0,\text{yaitu}:\\ & \begin{array}{rl}{x}^2-2x-8& \ne 0\\ (x-4)(x+2)& \ne 0\\ x\ne 4\text{dan}x& \ne -2\end{array}\\ D_f& =\{x|x\in \mathbb{R},x\ne 4\text{dan}x\ne -2\}\end{array}\\ \hline\end{array}$

$.\begin{array}{|cc|}\hline (\text{d})& (\text{e})\\ \begin{array}{rl}& y+2=x^2-5x+5\\ & y=x^2-5x+5-2\\ & f(x)=x^2-5x+3\\ & \text{Sehingga daerah}\\ & \text{asalnya}\\ & D_f=\{x|x\in \mathbb{R}\}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}f(x)& =|x-3|\\ D_f& =\{x|x\in \mathbb{R}\}\\ \text{teta}& \text{pi pada textit{range} fungsinya}\\ & \text{hanya akan berupa}\\ & \text{bilangan positif saja}.\\ \text{yait}& \text{u}:\\ R_f& =\{y|y\in \mathbb{R},y\ge 0\}\\ & \end{array}\\ \hline\end{array}$

$.\begin{array}{|cc|}\hline (\text{g})& (\text{h})\\ \begin{array}{rl}& f(x)={\displaystyle \frac{\lfloor x\rfloor }{x}}\\ & \text{Sehingga daerah}\\ & \text{asalnya}\\ & D_f=\{x|x\in \mathbb{R},x\ne 0\}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& f(x)=\lfloor x\rfloor \\ & \text{Sehingga daerah}\\ & \text{asalnya}\\ & D_f=\{x|x\in \mathbb{R}\}\\ & \end{array}\\ \hline\end{array}$.

$.\begin{array}{|cc|}\hline (\text{i})& (\text{l})\\ \begin{array}{rl}& f(x)=\sqrt{x^2-16}\\ & \text{Sehingga daerah}\\ & \text{asalnya yaitu:}\\ & x^2-16\ge 0\\ & (x+4)(x-4)\ge 0\\ & x\le -4\text{atau}x\ge 4\\ & D_f=\{x|x\le -4\text{atau}x\ge 4,x\in \mathbb{R}\}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& f(x)={\displaystyle \frac{2\sqrt{x}}{x-3}}\\ & \text{Sehingga daerah}\\ & \text{asalnya yaitu:}\\ & \{\begin{array}{ll}\bullet & x\ge 0\\ \bullet & x-3\ne 0\end{array}\\ & D_f=\{x|x\ge 0,x\ne 3,x\in \mathbb{R}\}\\ & \end{array}\\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Jika}\left|x\right|\text{menyatakan nilai mutlak}\\ & \text{dan}\lfloor x\rfloor \text{menyatakan bilangan bulat terbesarnatau sama dengan}x\\ & \text{misalkan}\lfloor 1,6\rfloor =1,\lfloor \pi \rfloor =3\\ & \text{Jika diberikan}f(x)=\left|x\right|+\lfloor x\rfloor ,\text{maka tentukanlah nilai untuk}\\ & \text{a}.f(-3,5)+f(2,5)\\ & \text{b}.f(-1,5)+f(3,5)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{c}\\ \begin{array}{rl}\text{a}.f(-3,5)+f(2,5)& =|-3,5|+\lfloor -3,5\rfloor +|2,5|+\lfloor 2,5\rfloor \\ & =3,5+(-4)+2,5+2\\ & =4\end{array}\\ \begin{array}{rl}\text{b}.f(-1,5)+f(3,5)& =|-1,5|+\lfloor -1,5\rfloor +|3,5|+\lfloor 3,5\rfloor \\ & =1,5+(-2)+3,5+3\\ & =6\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Jika diketahui relasi}f\text{dengan kondisi}\\ & \begin{array}{c}(\text{a}).f(1)=1\\ (\text{b}).f(2x)=4f(x)+6\\ (\text{c}).f(x+2)=f(x)+12x+12\end{array}\\ & \text{maka nilai}f(14)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}f(1)& =1\\ f(2.1)=f(2)& =4f(1)+6=4.1+6=10\\ f(1+2)=f(3)& =f(1)+12.1+12\\ f(3)& =1+12+12=25\\ f(3+2)=f(5)& =f(3)+12.3+12\\ f(5)& =25+36+12=73\\ f(5+2)=f(7)& =f(5)+12.5+12\\ f(7)& =73+60+12=145\\ f(7.2)=f(14)& =4.f(7)+6\\ f(14)& =4.145+6=580+6\\ & =586\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 6.& \mathbf{\text{(OSK 2013)}}\text{Fungsi}f\text{didefinisikan oleh}\\ & f(x)={\displaystyle \frac{kx}{2x+3},x=-{\displaystyle \frac{3}{2}.}}\\ & \text{Tentukanlah nilai}k\text{agar}f(f(x))=x\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}f(x)& ={\displaystyle \frac{kx}{2x+3},x\ne -\frac{2}{3}}\\ f(f(x))& =x\\ x& =f(f(x))\\ x& ={\displaystyle \frac{k\left({\displaystyle \frac{kx}{2x+3}}\right)}{2\left({\displaystyle \frac{kx}{2x+3}}\right)+3}}\\ x& ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{k^{2}x}{2x+3}}}{{\displaystyle \frac{2kx+3(2x+3)}{2x+3}}}}\\ x& ={\displaystyle \frac{k^{2}x}{2kx+6x+9}}\\ 2kx+6x+9& =k^2\\ 0& =k^2-2xk-6x-9\\ 0& =(k+3)(k-2x-3)\\ & k=-3\text{atau}k=2x+3\end{array}\end{array}$

$\text{E. Menggambar Grafik Fungsi}$

Untuk menggambar suatu fungsi  $f(x)$ dengan kondisi rumusnya telah diketahui pada diagram Kartesius adalah sebagai berikut

• Menentukan titik-titik berupa pasangan terurut $(x,y)$ dalam tabel dengan $x$ anggota dari daerah asal (domain) dan $y$ adalah anggota dari daerah kawan (kodomain).
• mengkonversi titik-titik tadi ke dalam diagram kartesius
• menghubungkan titik-titik tersebut sehingga didapatkan grafik mulus

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Gambarlah grafik fungsi}\\ & \text{a}.f(x)=2x+5\\ & \text{b}.g(x)=2x^2\\ & \text{c}.h(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{a. Menggambar grafik}f(x)=2x+5\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline x& y=f(x)=2x+5& \text{Titik}(x,y)\\ -3& f(-3)=2(-3)+5=-1& (-3,-1)\\ -2& f(-2)=2(-2)+5=3& (-2,1)\\ -1& f(-1)=2(-1)+5=3& (-1,3)\\ 0& f(0)=2(0)+5=5& (0,5)\\ 1& f(1)=2(1)+5=7& (1,7)\\ 2& f(2)=2(2)+5=9& (2,9)\\ 3& f(3)=2(3)+5=11& (3,11)\\ \hline\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{b. Menggambar grafik}f(x)=2x^2\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline x& y=f(x)=2x^2& \text{Titik}(x,y)\\ -3& f(-3)=2(-3{)}^2=18& (-3,18)\\ -2& f(-2)=2(-2{)}^2=8& (-2,8)\\ -1& f(-1)=2(-1{)}^2=2& (-1,2)\\ 0& f(0)=2(0{)}^2=0& (0,0)\\ 1& f(1)=2(1{)}^2=2& (1,2)\\ 2& f(2)=2(2{)}^2=8& (2,8)\\ 3& f(3)=2(3{)}^2=18& (3,18)\\ \hline\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{c. Menggambar grafik}f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline x& y=f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}& \text{Titik}(x,y)\\ -3& f(-3)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}& (-3,-{\displaystyle \frac{1}{3})}\\ -2& f(-2)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& (-2,-{\displaystyle \frac{1}{2})}\\ -1& f(-1)=-1& (-1,-1)\\ 0& f(0)\text{tidak ada}& -\\ 1& f(1)=1& (1,1)\\ 2& f(2)={\displaystyle \frac{1}{2}}& (2,{\displaystyle \frac{1}{2})}\\ 3& f(3)={\displaystyle \frac{1}{3}}& (3,{\displaystyle \frac{1}{3})}\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Gambarlah grafik fungsi}\\ & \text{a}.f(x)=\lfloor x\rfloor \\ & \text{b}.g(x)=\lfloor x+1\rfloor \\ & \text{c}.h(x)=\left\{x\right\}\\ \\ & \mathbf{\text{Catatan}}:\\ & \lfloor x\rfloor =\text{bilangan bulat terbesar tetapi}\\ & \text{lebih kecil atau sama dengan}x\\ & \left\{x\right\}=\text{bagian pecahan dari}x\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{a. Menggambar grafik}f(x)=\lfloor x\rfloor \\ & \begin{array}{|ccc|}\hline x& y=f(x)=\lfloor x\rfloor & \text{Titik}(x,y)\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ -1& f(-1)=\lfloor -1\rfloor =-1& (-1,-1)\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& f(-{\displaystyle \frac{1}{2})=\lfloor -{\displaystyle \frac{1}{2}}\rfloor =-1}& (-{\displaystyle \frac{1}{2},-1)}\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}& f(-{\displaystyle \frac{1}{3})=\lfloor -{\displaystyle \frac{1}{3}}\rfloor =-1}& (-{\displaystyle \frac{1}{3},-1)}\\ -{\displaystyle \frac{1}{4}}& f(-{\displaystyle \frac{1}{4})=\lfloor -{\displaystyle \frac{1}{4}}\rfloor =-1}& ({\displaystyle \frac{1}{4},-1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& f(0)=\lfloor 0\rfloor =0& (0,0)\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& f({\displaystyle \frac{1}{4})=\lfloor {\displaystyle \frac{1}{4}}\rfloor =0}& ({\displaystyle \frac{1}{4},0)}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}& f({\displaystyle \frac{1}{3})=\lfloor {\displaystyle \frac{1}{3}}\rfloor =0}& ({\displaystyle \frac{1}{3},0)}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& f({\displaystyle \frac{1}{2})=\lfloor {\displaystyle \frac{1}{2}}\rfloor =0}& (-{\displaystyle \frac{1}{2},0)}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& f(1)=\lfloor 1\rfloor =1& (1,1)\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 2{\displaystyle \frac{1}{4}}& f(2{\displaystyle \frac{1}{4})=\lfloor 2{\displaystyle \frac{1}{4}}\rfloor =2}& (2{\displaystyle \frac{1}{4},2)}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 4{\displaystyle \frac{1}{3}}& f(4{\displaystyle \frac{1}{3})=\lfloor 4{\displaystyle \frac{1}{3}}\rfloor =4}& (4{\displaystyle \frac{1}{3},4)}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \mathbf{\text{(OSK 2003)}}\text{Jika}x\text{dan}y\text{adalah bilangan real }\\ & \text{sedemikian sehingga}{\displaystyle \lfloor \sqrt{x}\rfloor =9\text{dan}{\displaystyle \lfloor \sqrt{y}\rfloor =12,}}\\ & \text{maka nilai terkecil dari}{\displaystyle \lfloor y-x\rfloor =....}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\lfloor x\rfloor \text{adalah bilangan bulat terbesar }\\ & \text{yang lebih kecil atau sama dengan}x\\ & \text{Misal}\lfloor 3,2\rfloor =3,\lfloor -2,47\rfloor =-3,\lfloor 6\rfloor =6,\text{dan lain-lain}.\\ & \text{Sehingga}\lfloor x\rfloor =a\Rightarrow a\le x<a+1(\text{dengan}a\text{bilangan bulat}),\\ & \text{maka}\\ & \{\begin{array}{ll}\lfloor \sqrt{x}\rfloor =9& \Rightarrow 9\le \sqrt{x}<9+1\\ & \iff 9\le \sqrt{x}<10\iff 81\le x<100\\ \lfloor \sqrt{y}\rfloor =12& 12\le \sqrt{y}<12+1\\ & \iff 12\le \sqrt{y}<13\iff 144\le y<169\end{array}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \bullet 144\le y<169\text{dan}\\ & \bullet 81\le x<100,\text{dikalikan dengan}(-1)\\ & \text{maka akan menjadi},\\ & -100<-x\le -81,\\ & \text{sehingga}-99,\overline{999}\le -x<-80,\overline{999}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{c}\\ 144& \le y<169& \\ -99,\overline{999}& \le -x<-80,\overline{999}& +\\ \\ 44,...& \le y-x<88,...\end{array}\\ & \text{Jadi, nilai terkecil}\lfloor y-x\rfloor =44\end{array}$

Contoh Soal Distribusi Binomial (2)

$\mathbf{\text{Contoh Variabel Acak}}$

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Sebuah uang logam ditos sebanyak 3 kali}\\ & \text{Jika}X\text{sebagai variabel acak dari kejadian}\\ & \text{munculnya sisi angka (A), maka peluang}\\ & \text{a. kejadian terjadi muncul 0 angka}\\ & \text{b. kejadian terjadi muncul 1 angka}\\ & \text{c. kejadian terjadi muncul 2 angka}\\ & \text{d. kejadian terjadi muncul 3 angka}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan bahwa}\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\\ G\to (A,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\\ G\to (A,G,G)\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\\ G\to (G,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\\ G\to (G,G,G)\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}P(X=0)& =P((G,G,G))\\ & ={\displaystyle \frac{n(X=0)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}}\\ P(X=1)& =P((G,G,A),(G,A,G),(A,G,G))\\ & ={\displaystyle \frac{n(X=1)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{8}}\\ P(X=2)& =P((G,A,A),(A,G,A),(A,A,G))\\ & ={\displaystyle \frac{n(X=2)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{8}}\\ P(X=3)& =P((A,A,A))\\ & ={\displaystyle \frac{n(X=3)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}\end{array}$

Contoh Soal Distribusi Binomial (1)

$\mathbf{\text{Contoh Peluang dan Kombinasi}}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Seorang melempar sebuah dadu dengan enam muka}\\ & \text{Tentukukanlah}\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & \text{b}.\text{peluang muncul mata dadu ganjil}\\ & \text{c}.\text{peluang muncul mata dadu genap}\\ & \text{d}.\text{peluang muncul mata dadu angka prima}\\ & \text{e}.\text{peluang muncul mata dadu kurang dari 6}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Mata}& \text{dadu ada 6, yaitu}:1,2,3,4,5,\mathrm{\&}6\\ \text{a}.& \text{Raung sampel}\\ & S=\{1,2,3,4,5,6\}\Rightarrow n(S)=6\\ \text{b}.& \text{peluang}\text{muncul mata dadu ganjil}(J)\\ & \text{Mata dadu ganjil}:1,3,5\Rightarrow n(J)=3\\ & \text{Peluangnya}={\displaystyle \frac{n(J)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\\ \text{c}.& \text{peluang}\text{muncul mata dadu ganap}(P)\\ & \text{Mata dadu ganap}:2,4,6\Rightarrow n(P)=3\\ & \text{Peluangnya}={\displaystyle \frac{n(P)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\\ \text{d}.& \text{peluang}\text{muncul mata dadu angka prima}(R)\\ & \text{Mata dadu angka prima}:2,3,5\Rightarrow n(R)=3\\ & \text{Peluangnya}={\displaystyle \frac{n(R)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\\ \text{e}.& \text{peluang}\text{muncul mata dadu kurang dari 6}(Z)\\ & \text{Mata dadu kurang dari 6}:1,2,3,4,5\Rightarrow n(Z)=5\\ & \text{Peluangnya}={\displaystyle \frac{n(Z)}{n(S)}=\frac{5}{6}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Andi akan mengambil 4 buah bola dari}\\ & \text{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ & \text{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ & \text{oleh Andi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}n=10& \text{dan}r=4\\ C(n,r)& ={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ C(10,4)& ={\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}}\\ & =420\text{kombinasi warna bola berbeda}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Dua kantong berisi bola merah dan biru}\\ & \text{Kantong I memuat 4 bola merah dan }\\ & \text{6 bola biru. Sedangkan kantong II memuat}\\ & \text{5 bola merah dan 3 bola biru. Jika pada}\\ & \text{masing-masing kantong diambil 2 bola}\\ & \text{sekaligus, maka peluang terambilnya}\\ & \text{1 bola merah dan 1 bola biru pada kantong}\\ & \text{I serta 2 bola biru pada kantong II}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Kejadian di atas adalah kejadian saling}\\ & \text{bebas karena tidak saling mempengaruhi}\\ & \begin{array}{rl}\text{Misal}& X=\text{kejadian terambil}1M,1B\\ \bullet & \text{pada kantong I}\\ P(X)& ={\displaystyle \frac{C(4,1)\times C(6,1)}{C(10,2)}}\\ & ={\displaystyle \frac{4\times 6}{{\displaystyle \frac{10\times 9}{2}}}=\frac{8}{15}}\\ \text{Misal}& Y=\text{kejadian terambil}2B\\ \bullet & \text{pada kantong II}\\ P(Y)& ={\displaystyle \frac{C(3,2)}{C(8,2)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{{\displaystyle \frac{8\times 7}{2}}}=\frac{3}{28}}\\ \text{maka}& \text{peluang dari}X\text{dan}Y\\ P(X\cap Y)& =P(X)\times P(Y)\\ & ={\displaystyle \frac{8}{15}\times \frac{3}{28}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{35}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ & \text{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ & \text{kelompok, jika}\\ & \text{a. tanpa perlakuan khusus}\\ & \text{b. salah seorang harus terpilih}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tanpa perlakuan}\\ & \text{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ & C(10,3)={\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=120}\\ \text{b}.& \text{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ & (\text{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ & \text{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ & C(9,2)={\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=36}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ & \text{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ & \text{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ & \text{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ & \text{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Banyak}& \text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}}\\ & =3675375\end{array}\end{array}$

Lanjutan Materi Distribusi Peluang Diskrit (Matematika Peminatan Kelas XII)

$\begin{array}{rl}\text{C. 1}.& \text{Distribusi Peluang Diskrit}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan}X\text{adalah variabel acak diskrit}\\ & \text{dari nilai}:x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots ,x_k,\text{dan}\\ & P\text{adalah seluruh nilai peluang untuk}:\\ & p_1,p_2,p_3,p_4,\cdots ,p_k,\text{maka nilai untuk}\\ & p_1+p_2+p_3+p_4+\cdots +p_k=1\\ & \mathbf{\text{dan}}\\ & \text{Fungsi}f(x)=P(X=x)\text{yang mempunyai}\\ & \text{nilai}{p}_1,p_2,p_3,p_4,\cdots ,p_k,\text{pada variabel}\\ & X=x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots ,x_k,\text{disebut fungsi}\\ & \text{kepekatan peluang dari variabel acak}X.\\ & \text{Selanjutnya jika kita gambar grafik}f(x)\\ & \text{terhadap}x,\text{maka kita akan grafik yang}\\ & \text{dinamakan dengan}\mathbf{\text{grafik peluang}}\end{array}$

Suatu fungsi  $f(x)=P(X=x)$  disebut fungsi peluang (probabilitas) dari  $X$, jika memenuhi syarat-syarat:

$\begin{array}{c}(\text{i})f(x)\ge 0\text{untuk semua}x\\ \\ (\text{ii})\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)=f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+...+f(x_n)=1\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Pada percobaan melempar 3 koin identik}\\ & \text{sekaligus bersama-sama. Variabel acak}\\ & \text{dalam hal ini pada kejadian muncul sisi}\\ & \text{gambar, tentukan}\\ & \text{a}.\text{distribusi peluangnya}\\ & \text{b}.\text{tabel fungsi peluangnya}\\ & \text{c}.\text{grafik fungsi peluangnya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui dari soal}\text{variabel acak}\\ & \text{pada kejadian di atas adalah munculnya}\\ & \text{sisi gambar pada pelemparan 3 koin}\\ & \text{maka}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Distribusi peluangnya}\\ & \begin{array}{|lcccccccc|}\hline \text{Sampel}& AAA& AAG& AGA& AGG& GAA& GAG& GGA& GGG\\ \text{Muncul}(G)& 0& 1& 1& 2& 1& 2& 2& 3\\ \hline\end{array}\\ \text{b}.& \text{Tabel fungsi peluangnya}\\ & x=\text{muncul kejadian sisi gambar}(G)\\ & \begin{array}{|cccccc|}\hline x& 0& 1& 2& 3& \text{Jumlah}\\ f(x)& {\displaystyle \frac{1}{8}}& {\displaystyle \frac{3}{8}}& {\displaystyle \frac{3}{8}}& {\displaystyle \frac{1}{8}}& 1\\ \hline\end{array}\\ \text{c}.& \text{Grafik fungsi peluangnya adalah}\\ & \end{array}\end{array}$

 

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Pada sebuah kotak terdapat 2 kelereng}\\ & \text{biru dan 4 kelereng merah. Tiga kereng}\\ & \text{diambil secara acak. Tentukanlah distribusi}\\ & \text{peluang}x\text{jika}x\text{menyatakan banyaknya}\\ & \text{terambilnya bola biru}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{|lc|}\hline \text{Nama}& \text{Perhitungan}\\ \text{Banyak}& \\ \text{titik sampel}& \begin{array}{rl}{C}_3^6& ={\displaystyle \frac{6!}{3!(6-3)!}=20}\end{array}\\ \text{Banyak cara}& \\ \text{mendapatkan bola biru}& C_x^2\\ \text{Banyak cara}& \\ \text{mendapatkan bola merah}& C_{3-x}^4\\ \hline\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{|ll|}\hline \text{Distribusi peluang}& \text{Perhitungan}\\ P(X=x)=f(x)& f(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_x^2.C_{3-x}^4}}{{\displaystyle C_3^6}},}\\ \text{untuk}& \begin{array}{rl}x& =0,1,2\end{array}\\ x=0\Rightarrow P(x=0)& f(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_0^2.C_{3-0}^4}}{{\displaystyle C_3^6}}}\\ & .={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_0^2.C_3^4}}{{\displaystyle C_3^6}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2!}{0!2!}\times \frac{4!}{3!1!}}}{{\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}}}}\\ & .={\displaystyle \frac{2!4!3!3!}{2!3!6!}=0,2}\\ x=1\Rightarrow P(x=1)& f(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_1^2.C_{3-1}^4}}{{\displaystyle C_3^6}}}\\ & .={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_1^2.C_2^4}}{{\displaystyle C_3^6}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2!}{1!1!}\times \frac{4!}{2!2!}}}{{\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}}}}\\ & .={\displaystyle \frac{2!4!3!3!}{2!2!6!}=0,6}\\ x=2\Rightarrow P(x=2)& f(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_2^2.C_{3-2}^4}}{{\displaystyle C_3^6}}}\\ & .={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_2^2.C_1^4}}{{\displaystyle C_3^6}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2!}{2!0!}\times \frac{4!}{1!3!}}}{{\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}}}}\\ & .={\displaystyle \frac{2!4!3!3!}{2!3!6!}=0,2}\\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tunjukkan bahwa fungsi}P(x)={\displaystyle \frac{x+2}{12}}\\ & \text{untuk}x=1,2,\text{dan}3\text{merupakan fungsi}\\ & \text{peluang}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Perhatik}& \text{an bahwa}\\ \bullet P(1)& ={\displaystyle \frac{1+2}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}}\\ \bullet P(2)& ={\displaystyle \frac{2+2}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}}\\ \bullet P(3)& ={\displaystyle \frac{5+2}{12}=\frac{5}{12}}\\ \text{Sehing}& \text{ga}{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}P(i)={\displaystyle \frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{5}{12}=\frac{12}{12}=1}}\\ & \{\begin{array}{ll}(\text{i})& \text{Peluangnya berada}0\le P(i)\le 1\\ (\text{ii})& \text{dan nilai totolnya}={\displaystyle \sum _{i=1}^{3}P(i)=1}\end{array}\\ \text{Jadi},& \text{fungsi}P(x)={\displaystyle \frac{x+2}{12}\text{untuk}x=1,2,\text{dan}3}\\ & \mathbf{\text{merupakan fungsi peluang}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Diketahui fungsi peluang adalah}P(x)={\displaystyle \frac{m}{x+1}}\\ & \text{untuk}x=0,1,2,\text{dan}3.\text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{nilai}m\\ & \text{b}.\text{nilai}P(x\le 2)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& {\displaystyle \sum _{i=0}^{3}P(i)=1}\\ & \iff {\displaystyle \frac{m}{0+1}+\frac{m}{1+1}+\frac{m}{2+1}+\frac{m}{3+1}=1}\\ & \iff m+{\displaystyle \frac{m}{2}+\frac{m}{3}+\frac{m}{4}=1}\\ & \iff \left({\displaystyle \frac{12+6+4+3}{12}}\right)m=1\\ & \iff m={\displaystyle \frac{12}{25}}\\ \text{b}.& P(x\le 2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)\\ & \iff m+{\displaystyle \frac{m}{2}+\frac{m}{3}=1}\\ & \iff \left({\displaystyle \frac{6+3+2}{6}}\right)m={\displaystyle \frac{11}{6}m}\\ & \iff ={\displaystyle \frac{11}{6}\left({\displaystyle \frac{12}{25}}\right)=\frac{22}{25}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Diketahui fungsi}f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x}{6}}& \text{untuk}x=1,2,3\\ \\ 0& \text{untuk}x\text{yang lain}\end{array}\\ & \text{adalah suatu fungsi peluang/probabilitas}\\ & \text{dari pubah/variabel acak}X.\text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{distribusi peluangnya untuk}X\\ & \text{b}.P(X=2),P(X<3),\text{dan}P(X\ge 2)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Distribusi peluangnya adalah}:\\ & \begin{array}{|cccccccc|}\hline X=x& 1& 2& 3& 4& 5& \cdots & \text{Jumlah}\\ P(X=x)& {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{2}{6}}& {\displaystyle \frac{3}{6}}& 0& 0& 0& 1\\ \hline\end{array}\\ \text{b}.& \text{Karena}f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x}{6}}& \text{untuk}x=1,2,3\\ \\ 0& \text{untuk}x\text{yang lain}\end{array}\\ & \text{maka}\\ & \bullet P(X=2)={\displaystyle \frac{2}{6}}\\ & \bullet P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{2}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\\ & \bullet P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)\\ & ={\displaystyle \frac{2}{6}+\frac{3}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{6}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Diketahui fungsi peluang variabel}X\\ & f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x+2}{14}}& \text{untuk}x=0,1,2,\text{dan}3\\ \\ 0& \text{untuk}x\text{yang lain}\end{array}\\ & \text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{bahwa}X\text{merupakan variabel acak diskrit}\\ & \text{b}.P(X=4),F(2),P(1<X\le 3),\\ & \text{dan}P(X\ge 1)\text{serta}P(|X-2|\le 1)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Distribusi peluangnya adalah}:\\ & \overline{)\begin{array}{cccccc}X=x& 0& 1& 2& 3& \text{Jumlah}\\ P(X=x)& {\displaystyle \frac{2}{14}}& {\displaystyle \frac{3}{14}}& {\displaystyle \frac{4}{14}}& {\displaystyle \frac{5}{14}}& 1\end{array}}\\ & \text{Karena}{\displaystyle \sum _{x=0}^{3}f(x)=1,\text{serta}}\\ & 0\le {\displaystyle \frac{2}{14},\frac{3}{14},\frac{4}{14},\frac{5}{14}<1.\text{Sehingga syarat}}\\ & 0\le f(x)<1\text{dan}\sum f(x)=1\mathbf{\text{terpenuhi}}\\ & \text{Jadi, terbukti}X\text{adalah variabel acak diskrit}\\ \text{b}.& \bullet P(X=4)=f(4)=0\\ & \bullet F(2)=P(X\le 2)\\ & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ & =f(0)+f(1)+f(2)\\ & ={\displaystyle \frac{2}{14}+\frac{3}{14}+\frac{4}{14}=\frac{9}{14}}\\ & \bullet P(1<X\le 3)=P(X=2)+P(X=3)\\ & =f(2)+f(3)={\displaystyle \frac{4}{14}+\frac{5}{14}={\displaystyle \frac{9}{14}}}\\ & \bullet P(X\ge 1)=f(1)+f(2)+f(3)\\ & ={\displaystyle \frac{3}{14}+\frac{4}{14}+\frac{5}{14}={\displaystyle \frac{12}{14}}}\\ & \bullet P(|X-2|\le 1)=P(-1\le X-2\le 1)\\ & =P(1\le X\le 3)\\ & =f(1)+f(2)+f(3)\\ & ={\displaystyle \frac{3}{14}+\frac{4}{14}+\frac{5}{14}={\displaystyle \frac{12}{14}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Distribusipeluang acak X disajikan dalam tabel berikut}\\ & \begin{array}{|cccc|}\hline x& 2& 3& 4\\ f(x)& {\displaystyle \frac{1}{8}}& k+{\displaystyle \frac{1}{8}}& 2k\\ \hline\end{array}\\ & \text{Jika X merupakan variabel acak diskret, tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{nilai textit{k}}\\ & \text{b}.\text{nilai}\text{P}(\text{X}\ge 3)-\text{F}(3)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.\sum f(x)& =f(2)+f(3)+f(4)=1\\ \iff & {\displaystyle \frac{1}{8}+k+\frac{1}{8}+2k=1}\\ \iff & 3k=1-{\displaystyle \frac{2}{8}=\frac{6}{8}}\\ \iff & k={\displaystyle \frac{2}{8}=\frac{1}{4}}\\ \text{b}.\text{P}(\text{X}\ge 3& )-\text{F}(3)=\text{P}(\text{X}\ge 3)-\text{P}(\text{X}\le 3)\\ & =f(3)+f(4)-(f(2)+f(3))\\ & =f(4)-f(2)\\ & =2\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)-\frac{1}{8}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}}\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
2. Kurnia, N., dkk. 2018. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: YUDHISTIRA.

Distribusi Binomial (Matematika Peminatan kelas XII)

$\text{A. Pendahuluan}$

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}(1)\text{Review}\{\begin{array}{l}\text{Peluang}\{\begin{array}{l}\text{Populasi}\\ \text{Sampel}\{\begin{array}{l}\text{Acak}\\ \text{Bukan Acak}.\end{array}\end{array}\\ \text{Kombiasi}& \end{array}\\ (2)\text{Variabel Acak}\{\begin{array}{ll}\text{Diskrit}& .\\ \text{Kontinue}& \end{array}\\ (3)\text{Distribusi}\{\begin{array}{ll}\text{Distribusi Peluang Variabel Acak}& \\ \text{Fungsi Distribusi Kumulatif}& \\ \text{Variabel Acak Binomial}& \\ \text{Distribusi Binomial}\end{array}\end{array}\end{array}$

$\text{Penjelasan}$

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Penjelasan}\\ 1& \text{Statistika}& \text{Ilmu tentang pengumpulan, pengolahan},\\ & & \text{penganalisaan serta penarikan kesimpulan}\\ & & \text{data. Selanjutnya akan dibagi dua yaitu}\\ & & \text{deskriptif dan inferensia}\\ 2& \text{Statistik}& \text{Kumpulan data/ukuran sampel}\\ 3& \text{Parameter}& \text{Ukuran populasi}\\ 4& \text{Populasi}& \text{Keseluruhan/semua anggota objek/data}\\ 5& \text{Sampel}& \text{Subjek/Objek yang mewakili populasi}\\ 6& \text{Sesus}& \text{Penelitian seluruh data (populasi)}\\ 7& \text{Tekik}& \text{Cara pengambilan data terbatas pada}\\ & \text{Sampling}& \text{sebagian saja dari populasi yang diteliti}\\ \hline\end{array}$

$\text{lanjutan}$

$\begin{array}{|lll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Penjelasan}\\ 8& \text{Cara}& \text{atau radom}.\text{yaitu setiap elemen populasi}\\ & \text{Acak}& \text{memiliki kesempatan yang yang sama}\\ & & \text{sehingga bersifat objektif}\\ 9& \text{Ruang}& \text{Himpunan dari semua hasil yang mungkin}\\ & \text{Sampel}& \text{dari sebuah percobaan}\\ 10& \text{Variabel}& \text{Suatu fungsi (aturan) yang memetakan }\\ & \text{Acak}& \text{setiap anggota ruang sampel dengan}\\ & (\text{VA})& \text{sebuah bilangan riil. Biasanya dinotasikan}\\ & & \text{dengan huruf besar, sedangkan nilai}\\ & & \text{variabel acaknya dinotasikan dengan}\\ & & \text{huruf kecil}\\ 11& (\text{VA})& \text{Jika VA tersebut memiliki sejumlah nilai}\\ & \text{Diskrit}& \text{yang dapat dihitung(berupa bilangan}\\ & & \text{bulat positif)}\\ 12& \text{VA}& \text{Sebaliknya yaitu berupa bilangan yang}\\ & \text{Kontinu}& \text{tidak bulat}\\ \hline\end{array}$

$\text{Sebagai contoh}$

$\begin{array}{rl}\mathbf{\text{a}}& \text{Variabel Acak Diskrit (Bilangan bulat positif)}\\ & \bullet \text{Jumlah siswa kelas XII MIA MA FUTUHIYAH}\\ & \text{JEKETRO GUBUG}\\ & \bullet \text{Jumlah guru laki-laki di MA FUTUHIYAH}\\ & \text{JEKETRO GUBUG}\\ & \bullet \text{Jumlah guru dan siswa di MA FUTUHIYAH}\\ & \text{JEKETRO GUBUG yang tidak terpapar}\\ & \text{COVID-19}\\ & \bullet \text{Jumlah motor yang terjual dalam sebulan}\\ \mathbf{\text{b}}& \text{Variabel Acak Kontinu (Bukan bilangan bulat)}\\ & \bullet \text{Jumlah miyak yang tumpah di suatu lantai}\\ & \bullet \text{Ketinggian permukaan air di sebuah waduk}\end{array}$

$\text{B. Variabel Acak}$

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Definisi}\\ 13& \text{Variabel}& \text{Suatu variabel}X\text{adalah variabel acak jika}\\ & \text{Acak}& \text{nilai-nilai yang dimiliki oleh}X\text{merupakan}\\ & & \text{suatu kemungkinan atau peristiwa acak}.\\ & & \text{Selanjutnya variabel acak dibedakan}\\ & & \text{menjadi dua, yaitu variabel acak diskrit dan}\\ & & \text{variabel acak kontinu sebagaimana pada}\\ & & \text{penjelasan sebelumnya di atas}\\ \hline\end{array}$

$\text{C. Distribusi Peluang}$

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Definisi}\\ 14& \text{Distribusi}& \text{Sebuah daftar yang berisi seluruh hasil}\\ & \text{Peluang}& \text{yang mungkin dari suatu percobaan dan}\\ & (\text{Probabilitas})& \text{probabilitas yang berkaitan dengan setiap}\\ & & \text{hasil tersebut}.\\ & & \text{Nilai probabilitas berada di antara 0 dan 1}\\ & & \text{Jumlah dari seluruh probabilitas hasil harus}\\ & & \text{harus sama dengan 1}\\ \hline\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah koin dilempar sebanyak tiga kali}\\ & \text{a}.\text{tentukan semua titik sampelnya}\\ & \text{b}.\text{tentukan peluang mendapatkan tepat}\\ & \text{dua gambar}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Sebuah koin hanya memiliki dua muka,}\\ & \text{yaitu muka gambar (G) dan muka angka (A)}\\ & \text{sehingga setiap pelemparan hanya memiliki}\\ & \text{dua kemungkinan, yaitu muncul sisi A atau G}\\ & \text{maka ruang sampelnya adalah}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\\ G\to (A,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\\ G\to (A,G,G)\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\\ G\to (G,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\\ G\to (G,G,G)\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\\ & \text{Jadi, banyaknya ruang sampel adalah }8\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{b}.& \text{Dari ruang sampel yang tepat}\\ & \text{ada 2 sisi gambar : AGG,GAG,GGA}\\ & \text{sehingga peluangnya}={\displaystyle \frac{3}{\text{total ruang sampel}}=\frac{3}{8}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Misalkan}X\text{menyatakan sisi angka (A)}\\ & \text{pada soal No.1 di atas, tentukanlah nilai}\\ & X\text{yang mungkin}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah ilustrasi berikut}\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\mathbf{\text{Nilai}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\to \to \to X=3\\ G\to (A,A,G)\to \to \to X=2\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\to \to \to X=2\\ G\to (A,G,G)\to \to \to X=1\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\to \to \to X=2\\ G\to (G,A,G)\to \to \to X=1\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\to \to \to X=1\\ G\to (G,G,G)\to \to \to X=0\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\\ & \text{Jadi, nilai}X\text{yang mungkin}=0,1,2,\text{atau}3\end{array}\end{array}$

Perhatikanlah contoh pada No.2 di atas, nilai  X  ternyata tidak memiliki nilai tunggal. Karena  X  tidak memiliki nilai tunggal, maka  X  selanjutnya disebut dengan variabel. Dan variabel seperti ini yang nilainya ditentukan oleh percobaan sehingga akan mendapatkan beberapa kemungkinan selanjutnya disebut dengan variabel acak. Sehingga  X  pada No.2 di atas adalah salah satu contoh untuk variabel acak. 

Download Mapel Agama

 

Download di sini Fiqih XI MA

Aturan Sinus dan Aturan Cosinus

A. Pendahuluan

Aturan sinus maupun aturan cosinus keduanya sangat bermanfaat berkaitan dengan unsur segitiga baik siku-siku maupun segitiga bebas dalam penentuan besar sudut dalam segitiga tersebut maupun panjang sisi yang diingin. Dalam hal penentuan besar sudut atau menentukan permasalahan panjang salah satu sisi segitiga jika nantinya sudut diketahui, terkadang besar sudutnya tidak cuma lancip, dibanyak soal dimunculkan sudut tumpul. Oleh karenanya ada baiknya pembaca mengetahui nilai perbandingan trigonometri diberbagai kuadran dan nilai sudut-sudut istimewa dalam trigonometri serta tak lupa juga beberapa identitas trigonometri.

$\begin{array}{c}\sin \alpha ={\displaystyle \frac{BC}{AB}\iff \csc \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}={\displaystyle \frac{1}{\sin \alpha }}}}\\ \\ \cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}\iff \sec \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}}}\\ \\ \tan \alpha ={\displaystyle \frac{BC}{AC}\iff \cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}={\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha }}}}\end{array}$.

$\begin{array}{|ccccccccc|}\hline {\alpha }^0& 0^0& {30}^0& {45}^0& {60}^0& {90}^0& {180}^0& {270}^0& {360}^0\\ \sin {\alpha }^0& 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}& 1& 0& -1& 0\\ \cos {\alpha }^0& 1& {\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}& {\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0& -1& 0& 1\\ \tan {\alpha }^0& 0& {\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}& 1& \sqrt{3}& TD& 0& TD& 0\\ \hline\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Macam-Macam Identitas Trigonometri Dasar}\\ & 1.\csc \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sin \alpha }5.\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}}\\ & 2.\sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }6.{\tan }^2\alpha +1={\sec }^2\alpha }\\ & 3.\cot \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha }7.{\cot }^2\alpha +1={\csc }^2\alpha }\\ & 4.\cot \alpha ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }8.{\sin }^2\alpha +{\cos }^2=1}\end{array}$.

B. Aturan Sinus

$\begin{array}{|c|}\hline {\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R}\\ \hline\end{array}$.

C. Aturan Cosinus

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{array}{rl}\bullet & \cos \mathrm{\angle }A={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\\ \bullet & \cos \mathrm{\angle }B={\displaystyle \frac{a^2+c^2-a^2}{2ac}}\\ \bullet & \cos \mathrm{\angle }C={\displaystyle \frac{a^2+b^2-a^2}{2ab}}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

D. Luas Segitiga

$\begin{array}{rl}\mathbf{\text{Luas}}\mathrm{△}ABC& =\frac{1}{2}bc.\sin \mathrm{\angle }A\\ & =\frac{1}{2}ac.\sin \mathrm{\angle }B\\ & =\frac{1}{2}ab.\sin \mathrm{\angle }C\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Diketahui}\mathrm{△}ABC\text{dengan panjang sisi}\\ & AC=10cm\text{dan}BC=16cm\text{serta luas}\\ & \mathrm{△}ABC=40c{m}^2,\text{maka besar}\mathrm{\angle }ACB\\ & \text{jika sudutnya lancip adalah}\cdots \\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\{\begin{array}{c}AC=10cm\\ BC=16cm\\ L_{\mathrm{△}}=40c{m}^2\end{array},\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}{L}_{\mathrm{△}ABC}& =\frac{1}{2}.AC.BC.\sin \mathrm{\angle }ACB\\ 40& =\frac{1}{2}.10.16.\sin \mathrm{\angle }ACB\\ 40& =80.\sin \mathrm{\angle }ACB\\ \frac{40}{80}& =\sin \mathrm{\angle }ACB\\ \sin \mathrm{\angle }ACB& =\frac{1}{2}\\ \sin \mathrm{\angle }ACB& =\sin {30}^0\\ \mathrm{\angle }ACB& ={30}^0\end{array}.\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Perhatikanlah gambar berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{l}\\ & \text{Jika }\\ & AB+3=BC+2=CD+1=AD=4cm,\\ & \text{maka}\cos \mathrm{\angle }BAD\text{adalah}\cdots \\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan kembali ilustrasi berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Langkah awal kita gunakan garis bantu BD}\\ & \text{untuk nantinya kita mendapatkan nilai}cos\\ & \text{dari sudut A, yaitu}:\\ & \begin{array}{rl}B{D}^2& =B{A}^2+D{A}^2-2.BA.DA.\cos \mathrm{\angle }A\\ & =1^2+4^2-2.1.4.\cos \mathrm{\angle }A\\ & =17-8\cos \mathrm{\angle }A\\ B{D}^2& =B{C}^2+D{C}^2-2.BC.DC.\cos \mathrm{\angle }C\\ & =2^2+3^2-2.2.3.\cos \mathrm{\angle }C\\ & =13-12\cos \mathrm{\angle }C\end{array}\\ & \text{Perlu diketahui bahwa}\\ & \mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C={180}^0\\ & \text{karena ABCD segiempat talibusur, sehingga}\\ & \mathrm{\angle }C={180}^0-\mathrm{\angle }A\\ & \begin{array}{rl}B{D}^2& =B{D}^2\\ 17-8\cos \mathrm{\angle }A& =13-12\cos \mathrm{\angle }C\\ 12\cos \mathrm{\angle }C-8\cos \mathrm{\angle }A& =13-17\\ 12(\cos ({180}^0-\mathrm{\angle }A))-8\cos \mathrm{\angle }A& =-4\\ 12(-\cos \mathrm{\angle }A)-8\cos \mathrm{\angle }A& =-4\\ -12\cos \mathrm{\angle }A-8\cos \mathrm{\angle }A& =-4\\ -20\cos \mathrm{\angle }A& =-4\\ \cos \mathrm{\angle }A& =\frac{-4}{-20}\\ \cos \mathrm{\angle }A& =\frac{1}{5}\end{array}\end{array}$.

Ketidaksamaan

 Pada sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi AB = c , AC = b,  dan BC = a, dari ketiga sisi ini maka akan berlaku pertidaksamaan umum yang melibatkan ketiga sisinya sebagai berikut:

$\begin{array}{rl}& a+b>c\\ & a+c>b\\ & b+c>a\end{array}$

Identitas-Identitas Aljabar yang Menakjubkan

 Banyak sekali keunikan-keunikan saat kita mencoba melihat identitas-identitas aljabar yang sudah ditemukan sampai saat ini. Tentu semuanya sangat membantu ketika kita menyelesaikan suatu problem yang mengarah ke sana. Kadang sebagian ada yang menyebutkan dengan manipulasi aljabar.

Berikut bentuk dasar dari identitas-identitas aljabar tersebut

$\begin{array}{rl}& a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\ & a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\ & a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\ & (a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\\ & (a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2\\ & (a+b{)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ & (a-b{)}^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\\ & (a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)\\ & (a+b+c{)}^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)\\ & a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\\ & a^3+b^3+c^3-3abc={\displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c)((a-b{)}^2+(a-c{)}^2+(b-c{)}^2)}\\ & abc=(a+b+c)(ab+ac+bc)-(a+b)(a+c)(b+c)\\ & \mathit{\text{Sophie Germain}}:a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)\end{array}$

Contoh Soal 13 Turunan Fungsi Trigonometri (Bagian 3)

 $\begin{array}{l}\\ 61.& \text{(UM UNBRAW)}\\ & \text{Nilai maksimum dari fungsi}\\ & f(x)=4{\cos }^{2}x+14{\sin }^{2}x+24\sin x\cos x+10\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 6\\ \text{b}.& 24\\ \text{c}.& 26\\ \text{d}.& 32\\ \text{e}.& 92\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \begin{array}{rl}& f(x)=4{\cos }^{2}x+14{\sin }^{2}x+24\sin x\cos x+10\\ & f(x)=4{\cos }^{2}x+4{\sin }^{2}x+10{\sin }^{2}x+12\sin 2x+10\\ & f(x)=4+5(1-\cos 2x)+12\sin 2x+10\\ & f(x)=19-5\cos 2x+12\sin 2x\\ & f(x)=19+12\sin 2x-5\cos 2x\\ & f(x)=19+\sqrt{{12}^2+(-5{)}^2}\cos (2x-\theta )\\ & f(x)=19+13\cos (2x-\theta )\\ & \text{Karena nilai}\cos (2x-\theta )=\pm 1,\text{maka}\\ & f(x{)}_{maks}=19+13=32\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 12 Turunan Fungsi Trigonometri (Bagian 3)

$\begin{array}{l}\\ 56.& \text{Diketahui fungsi}f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}\sin 2x\text{dengan}}\\ & 0^{\circ }<x<{360}^{\circ }.\text{Kurva akan cekung}\\ & \text{ke atas pada interval}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 0^{\circ }<x<{90}^{\circ }\\ \text{b}.& 0^{\circ }<x<{90}^{\circ }\text{atau}{180}^{\circ }<x<{270}^{\circ }\\ \text{c}.& {45}^{\circ }<x<{225}^{\circ }\\ \text{d}.& {90}^{\circ }<x<{180}^{\circ }\text{atau}{270}^{\circ }<x<{360}^{\circ }\\ \text{e}.& {180}^{\circ }<x<{225}^{\circ }\text{atau}{225}^{\circ }<x<{360}^{\circ }\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \begin{array}{rl}& f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}\sin 2x}\\ & f^{\prime }(x)=\cos 2x\Rightarrow f^{″}(x)=-2\sin 2x\\ & \text{Syarat belok}{f}^{″}(x)=0\\ & -2\sin 2x=0\iff \sin 2x=0\\ & \iff \sin 2x=\sin 0^{\circ }\\ & \iff 2x=0^{\circ }+k{.360}^{\circ }\text{atau}2x={180}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & \iff x=0^{\circ }+k{.180}^{\circ }\text{atau}x={90}^{\circ }+k{.180}^{\circ }\\ & \iff x=0^{\circ },x={90}^{\circ },x={180}^{\circ }\text{dan}x={270}^{\circ }\\ & \text{serta}x={360}^{\circ }\\ & \bullet \text{Selang}{0}^{\circ }<x<{90}^{\circ },\text{misal}x={45}^{\circ }\\ & \Rightarrow \Rightarrow f^{″}=-2\sin 2\left({45}^{\circ }\right)=-2<0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke bawah}\\ & \bullet \text{Selang}{90}^{\circ }<x<{180}^{\circ },\text{misal}x={135}^{\circ }\\ & \Rightarrow \Rightarrow f^{″}=-2\sin 2\left({135}^{\circ }\right)=2>0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke atas}\\ & \bullet \text{Selang}{180}^{\circ }<x<{270}^{\circ },\text{misal}x={225}^{\circ }\\ & \Rightarrow \Rightarrow f^{″}=-2\sin 2\left({225}^{\circ }\right)=-2<0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke bawah}\\ & \bullet \text{Selang}{270}^{\circ }<x<{360}^{\circ },\text{misal}x={315}^{\circ }\\ & \Rightarrow \Rightarrow f^{″}=-2\sin 2\left({315}^{\circ }\right)=2>0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke atas}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 57.& \text{Diketahui fungsi}f(x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\text{dengan}\\ & 0<x<2\pi .\text{Kurva akan cekung ke bawah}\\ & \text{pada interval}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{\pi }{4}<x<\frac{3\pi }{4}\text{atau}{\displaystyle \frac{5\pi }{4}<x<\frac{7\pi }{4}}}\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{3\pi }{4}<x<\frac{5\pi }{4}\text{atau}{\displaystyle \frac{7\pi }{4}<x<2\pi }}\\ \text{d}.& {\displaystyle \frac{7\pi }{4}<x<2\pi }\\ \text{e}.& {\displaystyle \frac{5\pi }{4}<x<2\pi }\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \begin{array}{rl}& f(x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x\\ & f^{\prime }(x)=-2\sin 2x\Rightarrow f^{″}(x)=-4\cos 2x\\ & \text{Syarat belok}{f}^{″}(x)=0\\ & -4\cos 2x=0\iff \cos 2x=0\\ & \iff \cos 2x=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\\ & \iff 2x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}+k.2\pi \iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4}+k.\pi }}\\ & \iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4},x=\frac{3\pi }{4},x=\frac{5\pi }{4}\text{dan}x=\frac{7\pi }{4}}\\ & \text{Ingat bahwa domain}0<x<2\pi \text{saja}\\ & \bullet \text{Selang}0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4},\text{misal}x={30}^{\circ }=\frac{\pi }{6}}\\ & \Rightarrow f^{″}({30}^{\circ })=-4\cos 2\left({30}^{\circ }\right)=-2<0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke bawah}\\ & \bullet \text{Selang}{\displaystyle \frac{\pi }{4}<x<{\displaystyle \frac{3\pi }{4},\text{misal}x={120}^{\circ }={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}}}\\ & \Rightarrow f^{″}({120}^{\circ })=-4\cos 2\left({90}^{\circ }\right)=2>0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke atas}\\ & \bullet \text{Selang}{\displaystyle \frac{3\pi }{4}<x<\frac{5\pi }{4},\text{misal}x={210}^{\circ }=\frac{7\pi }{6}}\\ & \Rightarrow f^{″}({210}^{\circ })=-4\cos 2\left({210}^{\circ }\right)=-2<0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke bawah}\\ & \bullet \text{Selang}{\displaystyle \frac{5\pi }{4}<x<\frac{7\pi }{4},\text{misal}x={300}^{\circ }={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}}\\ & \Rightarrow f^{″}({300}^{\circ })=-4\cos 2\left({300}^{\circ }\right)=2>0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke atas}\\ & \bullet \text{Selang}{\displaystyle \frac{7\pi }{4}<x<2\pi ,\text{misal}x={330}^{\circ }=\frac{11\pi }{6}}\\ & \Rightarrow f^{″}=-4\cos 2\left({330}^{\circ }\right)=-2<0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke bawah}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 58.& \text{Diketahui fungsi}f(x)={\sin }^{2}x\text{dengan}\\ & 0<x<2\pi .\text{Kurva fungsi tersebut akan}\\ & \text{cekung ke bawah pada interval}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{\pi }{4}<x<\frac{3\pi }{4}\text{atau}\frac{5\pi }{4}<x<\frac{7\pi }{4}}\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{\pi }{4}<x<\frac{3\pi }{4}\text{atau}\frac{7\pi }{4}<x<2\pi }\\ \text{c}.& {\displaystyle 0<x<\frac{\pi }{2}\text{atau}\frac{3\pi }{4}<x<\frac{5\pi }{4}}\\ \text{d}.& {\displaystyle \frac{\pi }{4}<x<\frac{3\pi }{4}}\\ \text{e}.& {\displaystyle 0<x<\frac{\pi }{4}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \begin{array}{rl}& f(x)={\sin }^{2}x\\ & f^{\prime }(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x\\ & f^{″}(x)=2\cos 2x\\ & \text{Syarat belok}{f}^{″}(x)=0\\ & 2\cos 2x=0\iff \cos 2x=0\\ & \iff \cos 2x=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\\ & \iff 2x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}+k.2\pi \iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4}+k.\pi }}\\ & \iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4},x=\frac{3\pi }{4},x=\frac{5\pi }{4}\text{dan}x=\frac{7\pi }{4}}\\ & \text{Ingat bahwa domain}0<x<2\pi \text{saja}\\ & \bullet \text{Selang}0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4},\text{misal}x={30}^{\circ }=\frac{\pi }{6}}\\ & \Rightarrow f^{″}({30}^{\circ })=2\cos 2\left({30}^{\circ }\right)=2>0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke atas}\\ & \bullet \text{Selang}{\displaystyle \frac{\pi }{4}<x<{\displaystyle \frac{3\pi }{4},\text{misal}x={120}^{\circ }={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}}}\\ & \Rightarrow f^{″}({120}^{\circ })=2\cos 2\left({90}^{\circ }\right)=-2<0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke bawah}\\ & \bullet \text{Selang}{\displaystyle \frac{3\pi }{4}<x<\frac{5\pi }{4},\text{misal}x={210}^{\circ }=\frac{7\pi }{6}}\\ & \Rightarrow f^{″}({210}^{\circ })=2\cos 2\left({210}^{\circ }\right)=2>0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke atas}\\ & \bullet \text{Selang}{\displaystyle \frac{5\pi }{4}<x<\frac{7\pi }{4},\text{misal}x={300}^{\circ }={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}}\\ & \Rightarrow f^{″}({300}^{\circ })=2\cos 2\left({300}^{\circ }\right)=-2<0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke bawah}\\ & \bullet \text{Selang}{\displaystyle \frac{7\pi }{4}<x<2\pi ,\text{misal}x={330}^{\circ }=\frac{11\pi }{6}}\\ & \Rightarrow f^{″}=2\cos 2\left({330}^{\circ }\right)=2>0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke atas}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 59.& \text{Diketahui fungsi}f(x)=2\sin x-2\cos x\text{dengan}\\ & 0<x<2\pi .\text{Kurva akan cekung ke atas}\\ & \text{pada interval}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 0<x<{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{\pi }{4}<x<{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}}\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{3\pi }{4}<x<2\pi }\\ \text{d}.& 0<x<\frac{\pi }{4}\text{atau}{\displaystyle \frac{3\pi }{4}<x<\frac{5\pi }{4}}\\ \text{e}.& 0<x<\frac{\pi }{4}\text{atau}{\displaystyle \frac{5\pi }{4}<x<2\pi }\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{e}}\\ & \begin{array}{rl}& f(x)=2\sin x-2\cos x\\ & f^{\prime }(x)=2\cos x+2\sin x\\ & f^{″}(x)=-2\sin x+2\cos x\\ & \text{Syarat belok}{f}^{″}(x)=0\\ & -2\sin x+2\cos x=0\iff \sin x=\cos x\\ & \iff \tan x=1\\ & \iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4}+k.\pi }\\ & \iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4},x=\frac{5\pi }{4}}\\ & \text{Ingat bahwa domain}0<x<2\pi \text{saja}\\ & \text{Sebagai gambaran saja}\\ & \bullet \text{Selang}{\displaystyle \frac{\pi }{4}<x<{\displaystyle \frac{3\pi }{4},\text{misal}x={90}^{\circ }={\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}\\ & \Rightarrow f^{″}({90}^{\circ })=-2\sin {90}^{\circ }+2\cos {90}^{\circ }=-2<0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke bawah}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 60.& \text{Diketahui fungsi}f(x)=\sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\\ & \text{dengan}0<x<2\pi .\text{Kurva fungsi tersebut}\\ & \text{akan cekung ke atas pada interval}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 0<x<\frac{\pi }{6}\text{atau}\frac{\pi }{2}<x<\frac{5\pi }{6}}\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{\pi }{6}<x<\frac{\pi }{2}\text{atau}\frac{5\pi }{6}<x<\pi }\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{\pi }{6}<x<\frac{\pi }{2}\text{atau}\frac{3\pi }{4}<x<\frac{5\pi }{6}}\\ \text{d}.& {\displaystyle \frac{\pi }{6}<x<\frac{\pi }{4}\text{atau}\frac{3\pi }{4}<x<\frac{5\pi }{6}}\\ \text{e}.& {\displaystyle \frac{\pi }{6}<x<\frac{\pi }{4}\text{atau}\frac{5\pi }{6}<x<\pi }\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \begin{array}{rl}& f(x)=\sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\\ & f^{\prime }(x)=3\cos (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\\ & f^{″}(x)=-9\sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\\ & \text{Syarat belok}{f}^{″}(x)=0\\ & -9\sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=0\iff \sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=0\\ & \iff \sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\sin 0\\ & \iff (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=0+k.2\pi \iff (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})={\displaystyle \pi +k.2\pi }\\ & \iff 3x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}+k.2\pi \iff 3x={\displaystyle \frac{\pi }{2}+k.2\pi }}\\ & \iff x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}+k.\frac{2\pi }{3}\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{6}+k.{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}}}\\ & \iff x={\displaystyle \frac{\pi }{6},x={\displaystyle \frac{\pi }{2},x=\frac{5\pi }{6},x=\frac{7\pi }{6},}}\\ & \text{dan}x=\frac{3\pi }{2},\text{serta}x=\frac{11\pi }{6}\\ & \text{Ingat bahwa domain}0\le x\le 2\pi \text{saja}\\ & \text{Sebagai GAMBARAN saja, diberikan 2 nilai selang}\\ & \bullet \text{Selang}0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{6},\text{misal}x={15}^{\circ }=\frac{\pi }{12}}\\ & \Rightarrow f^{″}({15}^{\circ })=-9\sin (3\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-{\displaystyle \frac{9}{2}\sqrt{2}<0}\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke bawah}\\ & \bullet \text{Selang}{\displaystyle \frac{\pi }{6}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2},\text{misal}x={60}^{\circ }={\displaystyle \frac{\pi }{3}}}}\\ & \Rightarrow f^{″}({60}^{\circ })=-9\sin (3\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=9>0\\ & \text{pada selang ini kurva cekung ke atas}\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan MAtematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
2. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten. PT. INTAN PARIWARA.