Lingkaran

A. Definisi Lingkaran.

Secara definisi lingkaran adalah tempat kedudukam titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Selanjutnya titik tertentu disebut sebagai pusat lingkaran sedangkan jarak yang salalu sama terhadapa titik tertentu tersebut disebut sebagai jari-jari atau radius (r).

Sebagai ilustrasi berikut diberikan gambar berkaitan kedudukan titik-titik tersebut

B. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) .

Persamaan sebuah lingkaran dengan dengan jari-jari  r  dan berpusat di titik pusat koordinat dapat dilustrasikan sebagai berikut

Misalkan sebuah titik  P(x,y)  terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0). Dan titik P(x,0) adalah proyeksi titik  P  pada sumbu-X sehingga  OPP   berupa sebuah segitiga siku-siku di P. Dengan rumus Pythagoras kita mendapatkan
OP2=(OP)2+(PP)2r2=x2+y2r=x2+y2
Untuk lebih memudahkan pemahaman Anda, perhatikanlah ilustrasi berikut
Sehingga dapat disimpulkan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah:
x2+y2=r2.

C.  Persamaan Lingkaran Berpusat di (a,b).

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Pada ilustrasi gambar di atas ditunjukkan sebuah lingkaran berpusat di N(a,b) dengan jari-jari  r, misalkan kita ambil sebuah titik P(x,y) pada keliling lingkaran, maka NP=r.

(xa)2+(yb)2=r2(xa)2+(yb)2=r2persamaan di atas adalahBentuk UmumdariPersamaan Lingkaranyangberpusat di(a,b)

Selanjutnya perhatikanlah rangkuman berikut

Lingkaranx2+y2=r2(xp)2+(yq)2=r2Pusat(0,0)(p,q)Jari-jarirrPesamaan garissinggung melaluititik(x1,y1)pada lingkaranx1x+y1y=r2(x1p)(xp)+(y1q)(yq)=r2Persamaan garissinggung dengangradienmy=mx±rm2+1(yq)=m(xa)±rm2+1.

Kusus untuk yang pusat  (a,b) adalah:

Lingkaranx2+y2+Ax+By+C=0Pusat(12A,12B)Jari-jarir=14(A2+B2)CPesamaan garissinggung melaluititik(x1,y1)pada lingkaranx1x+y1y+A2(x1+x)+B2(y1+y)+C=0Persamaan garissinggung dengangradienmy+12B=m(x+12A)±14(A2+B2)C.m2+1

D. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran .

Kedudukan sebuah titik terhadap sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0) memiliki 3 kemungkinan, yaitu:
  • jika titik A(x,y) di dalam lingkaran, maka berlaku  x2+y2<r2.
  • jika titik A(x,y) pada lingkaran, maka berlaku  x2+y2=r2, dan
  • jika titik A(x,y) di luar lingkaran, maka berlaku  x2+y2>r2.

Demikian juga kedudukan sebuah titik terhadap sebuah lingkaran yang berpusat di (a,b) memiliki 3 kemungkinan, yaitu:

  • jika titik A(x,y) di dalam lingkaran, maka berlaku (xa)2+(yb)2<r2  atau  x2+y2+Ax+By+C<0.
  • jika titik A(x,y) pada lingkaran, maka berlaku (xa)2+(yb)2=r2  atau  x2+y2+Ax+By+C=0.
  • jika titik A(x,y) di luar lingkaran, maka berlaku (xa)2+(yb)2>r2  atau  x2+y2+Ax+By+C>0.

E. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran .

Posisi garis terhadap lingkaran tergantung nilai Diskriminan (D) hasil substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran.

{memotong lingkaran di dua titik(D>0)ada garis dan titik polarmenyinggung lingkaran(D=0)tidak memotong ataupun menyinggung(D<0).

Berikut Ilustrasi gambarnya

F. Jarak Garis ke Pusat Lingkaran.

Jarak titikM(p,q)terhadap pusatlingkaranN(a,b)|MN|=rr=|Ap+Bq+CA2+B2|.

CONTOH SOAL.

1.Sebuah lingkaran yang berpusat pada pangkal koordinata.Tentukanlah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5b.Gambarlah lingkaran (pada soal a.) pada kertas grafiksc.Lukislah titik-titik dari,A(2,3),B(4,3),danC(3,6).d.Nyatakan kedudukan titik-titikA,B,danCterhadap lingkaran. Di dalam, pada, atauberadakah di luar lingkaranJawab:Perhatikanlah ilustrasi berikut.

a.Diketahuir=5x2+y2=52x2+y2=25atauL{(x,y)|x2+y2=25}b.Lihat gambar di atasc.Lihat juga gambar di atasd.Dari gambar jelas bahwa:TitikA(2,3)berada di dalam lingkaranTitikA(4,3)berada pada lingkaranTitikA(3,6)berada di luar lingkaran

a.Diketahuir=5x2+y2=52x2+y2=25atauL{(x,y)|x2+y2=25}b.Lihat gambar di atasc.Lihat juga gambar di atasd.Dari gambar jelas bahwa:TitikA(2,3)berada di dalam lingkaranatau:(2)2+(3)2=4+9=13<25TitikA(4,3)berada pada lingkaranatau:(4)2+(3)2=16+9=25=25TitikA(3,6)berada di luar lingkaranatau:(3)2+(6)2=9+36=45>25.

2.Tentukanlah persamaan lingkaranyang berpusat di pangkal koordinatdan melalui titikP(5,3)Jawab:Diketahuipusat lingkaran di pangkal koordinatO(0,0)serta lingkaranyang melalui titikP(5,3),makar=(xp0)2+(yp0)2=52+(3)2=25+9=34Sehingga ,persamaan lingkarannya adalahLx2+y2=r2x2+y2=34.

3.Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di pangkal koordinat danmenyinggungk2x+y5=0Jawab:Perhatikan ilustrasi berikut.

menjadi


Diketahuibahwa titikOke gariskadalahr=OA=|ax1+by1+ca2+b2|=|2(0)+(0)522+12|=|55|=|5|=(5)=5(ingat, nilai mutlak bilangan negatif adalah bilngan positif)Sehingga persamaan lingkarannya adalah:Lx2+y2=r2x2+y2=5.

4.Tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran berikut?a.L(x+1)2+(y+2)2=9b.L(x+1)2+(y2)2=9c.L(x1)2+(y+2)2=9d.L(x1)2+(y2)2=9e.L(x+3)2+(y3)2=9f.L(x1)2+(y2)2=25g.L(x1)2+y2=27h.Lx2+(y1)2=27Jawab:L(x+1)2+(y+2)2=9,pusat di(1,2)dan jari-jarinya adalah9=3Soal yang belum dibahas silahkan diselesaikan sendiri sebagai latihan.

5.Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat diA(2,1)dan menginggunggaris4y+3x12=0di titikPJawab:Perhatikan ilustrasi berikut.
Sehinggar=AP=|3(2)+4(1)1232+42|=|105|=|2|=2Sehingga persamaan lingkarannya adalah L(x2)2+(y+1)2=4.

6.Tentukanlah pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran L2x2+2y22x+6y3=0Jawab:Persamaan lingkaran L2x2+2y22x+6y3=0x2+y2x+3y32=0{A=1B=3C=32maka{Pusat=(12,32)=(12,32)Jari-jari=r=(1)24+324(32)=14+94+64=4=2Jadi, lingkaran2x2+2y22x+6y3=0 berpusat di(12,32)dan berjari-jari2.

7.Diketahui persamaan lingkaran L2x2+2y24x+3py30=0dan melalui titik(2,1).Tentukanlah persamaan lingkaran baru yangkosentris(sepusat) dan panjang jari-jarinyadua kali panjang jari-jari lingkaran semula?JawabDiketahui persamaan lingkaran2x2+2y24x+3py30=0,melalui(2,1),makakita tentukan hargapdulu, yaitu:2(2)2+2(1)24(2)+3p(1)30=08+2+8+3p30=03p=12p=4Akibatnya persamaan lingkaran menjadi2x2+2y24x+12y30=0x2+y22x+6y15=0{Pusat:(12A,12B)=(12.(2),12,6)=(1,3)Jari-jari :r=(12A)2+(12B)C=12+(3)2(15)=1+9+15=5SelanjutnyaPersamaanlingkaran baru dengan pusat(1,3)dan jari-jarirbaru=2r=2.5=10(x1)2+(y+3)2=(10)2x22x+1+y2+6x+9=100x2+y22x+6y90=0

Berikut ilustrasi gambarnya

8.Tentukanlah nilaipsupaya lingkaranx2+y2px10y+4=0a.menyinggung sumbu xb.memotong sumbu x di dua titikc.tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu xJawab:Persamaan lingkaran:x2+y2px10y+4=0saat menyinggungsumbu x,makay=0adalah garis yang sejajar sumbu x, makay=0x2+y2px10y+4=0x2+02px0+4=0x2px+4SelanjutnyaMenyinggungmemotongTidak keduanyaD=b24ac=0p24.1.4=0p2=16p=±4D>0b24ac>0p216>0(p+4)(p4)>0p<4ataup>4D<0b24ac<0p216<0(p+4)(p4)<04<p<4.

9.Tentukanlah nilaiasupaya lingkaranx2+y2=1dan garisy=ax+2a.bersinggunganb.berpotonganc.tidak berpotongan maupun bersinggunganJawab:Di sini yang kita bahas adalah yang poin b, yaitu untuky=ax+2,makax2+y2=1x2+(ax+2)2=1x2+a2x2+4ax+4=1(1+a2)x2+4ax+3=0syarat berpotonganD=b24ac0(artinya bersinggungan sekaligus berpotongan di 2 titik)(4a)24(1+a2)(3)016a212a21204a2120a230(a+3)(a3)0a3ataua3.

10.Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaranx2+y2=12dan melalui titikP(0,4)Jawab:Diketahui persamaan lingkaranx2+y2=12Persamaan garis singgung lingkaranmelalui titik(x1,y1)adalah:x2+y2=12xx+yy=12x1x+y1y=12garis ini melaluititikP(0,4),makax1.0+y1.4=12y1=3......(1)Karena titik(x1,y1)pada lingkaranmaka,x12+y12=12......(2)Selanjutnya dari persamaan(1)&(2)akan diperolehx12+y12=12y1=3x12+(3)2=12x12+9=12x12=3x1=±3Sehingga persamaan garis singgungnya(x1x+y1y=12)adalah:{di titik(x1,y1)=(3,3)3x+3y=12di titik(x1,y1)=(3,3)3x+3y=12
Berikut ilustrasi gambarnya

DAFTAR PUSTAKA
  1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
  2. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 2. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
  3. Wirodikromo, S. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: ERLANGGA.














Vektor di Dimensi Tiga (Ruang)

 A. Letak Titik Dalam Ruang

Perhatikan titik P dalam ruang berikut


Kita ambil sistem ortogonal ruang yang terdiri atas tiga bidang yang saling berpotongan tegak lurus menurut tiga potong garis sebagaimana ilustrasi gambar di atas.Ketiga garis potong tersebut berturut-turut adalah sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z. 
Letak suatu titik P terhadap bidang OYZ, OXZ, dan OXY. Titik P(a,b,c) berarti P berjarak a  terhadap OYZ  dan berjarak  b terhadap bidang OXZ, serta berjarak  c  terhadap bidang  OXY. Jadi, pasangan tiga buah bilangan riil berurutan menyatakan suatu titik dalam ruang dan demikian sebaliknya.

B. Vektor Dalam Ruang

Sebagaimana halnya vektor dalam bidang (dimensi dua), maka vektor dalam ruang atau R3   juga dapat dinyatakan dengan 3 bilangan riil yang berbeda.

Sebagai misal
P(x,y,z),maka vektor posisiOPdalam ruang adalahOP=(x,y,z)atauOP=(xyz)ataupun juga dengandengan vektor satuannya dalamhal ini adalah:i¯,j¯,&k¯adalah:OP=xi¯+yj¯+zk¯Selanjutnyavektor-vektor satuan di atasdalam ruang adalahi¯=(100)danj¯=(010),sertak¯=(001).

C. Vektor Basis Dalam Ruang

Perhatikan ilustrasi berikut 
Dengan penjelasan hampir kurang lebih sama pada poin B di atas, maka vektor basis suatu titik P adalah vektor yang dinyatakan dengan vektor satuan, yaitu: OP=xi¯+yj¯+zk¯.

Sebagai contoh titik P(3,5,8) jika ilustrasikan adalah sebagai berikut
dan jika dinyakatan dengan vektor basis adalah : OP=3i¯+5j¯+8k¯.

CONTOH SOAL.
Nyatakan vektor berikut dalam bentuk vektor baris, kolom dan basis
Jawab:Diktahui vektor adalahw,boleh jugadisebut sebagai vektor posisi, sehinggadapat tuliskan juga dengan:w=OWDan vektor posisi tersebut dapat dinyatakandengan:a.vektor baris=(8,6,13)b.vektor kolom=(8613)c.vektor basis=8i6j13k

D. Vektor Posisi dan Vektor Bebas dalam Ruang

Vektor posisi suatu titik adalah vektor yang titik pangkalnya terletak dititik pusat koordinat dan titik ujungntya pada titik tersebut. Sedangkan vektor bebas di sini adalah sembarang vektor yang titik pangkalnya tidak berada pada pusat koordinat dan berujung pada suatu titik. Perhatikanlah ilustrasi berikut ini
Pada ilustrasi gambar di atas ada dua vektor posisi yaitu OA=a¯  dan  OB=b¯, sedangkan vektor bebas atau vektor sembarangnya adalah AB.
Perhatikan bahwapada gambar di atasOA+AB=OBa¯+AB=b¯AB=b¯a¯.

E. Modulus Vektor Dalam Ruang

Pengertian modulus vektor dalam ruang memiliki pengertian yang sama dalam bidang cuma yang membedakan adalah kondisinya saja. Karena baik di dalam ruang maupun bidang dalam menentukan modulus/bebsar/panjang suatu vektor adalah sama saja.
Jika suatu titik  A(x1,y1,z1)  dan  B(x2,y2,z2), maka modulus dari dari kedua titik itu adalah jarak antara kedua titik tersebut, yaitu:
|AB|=(x1x2)2+(y1y2)2+(z1z2)2.

CONTOH SOAL
1.Jika diR3diketahui titikA(0,0,0),B(1,2,3),danC(4,5,6)Tentukanlah panjanga.ABb.ACc.BCJawab:a.AB=(102030)=(123)|AB|=12+22+32=1+4+9=14b.AC=(405060)=(456)|AC|=42+52+62=16+25+36=77c.BC=(415263)=(333)|BC|=32+32+32=9+9+9=27.

2.Tentukanlah panjang dari vektorq¯=3i¯j¯7k¯Jawab:q¯=3i¯j¯7k¯=(317)|q¯|=32+(1)2+(7)2=9+1+49=59.

DAFTAR PUSTAKA
  1. Koesmartono, Rawuh (editor). 1973. Matematika Pendahuluan (Seri Matematika). Bandung: ITB












Contoh Soal 4 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

16.Jikafdangadalah fungsi yang mempunyai invers dan memenuhif(2x)=g(x3),makaf1(x)adalah....a.g1(x223)b.g1(x2)23c.g1(2x+6)d.2g1(x)6e.2g1(x)+6(SBMPTN 2016 Mat Das)Jawab:Misalkan bahwaf(2x)=g(x3)=x,maka{f1(x)=2xg1(x)=x3SintakHasilg1(x)=x3x=g1(x)+3f1(x)=2x=2(g1(x)+3)=2g1(x)+6.

17.Jikaf1(x)=x15dang1(x)=3x2,maka(fg)1(6)=....a.1d.2b.0c.1e.3(UMPTN 1995)Jawab:Diketahui bahwa:{f1(x)=x15g1(x)=3x2(fg)1(x)=(g1f1)(x)=3(x15)2(fg)1(6)=3(615)2=312=22=1.

18.Invers darif(x)=125xadalahf1(x)Nilai darif1(55)=....a.1d.35b.12c.16e.12Jawab:Diketahui bahwaf(x)=125x,makaf(x)=y=125xKedua ruas dilogkan masing-masinglogy=log125xlogy=xlog125xlog125=logyx=logylog125x=125logyf1(x)=125logxSelanjutnyaf1(x)=125logxf1(55)=125log(55)f1(55)=53log5.32f1(55)=3235log5f1(55)=12.1f1(55)=12

Contoh Soal 3 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

 11.Diketahui beberapa fungsi memiliki sifat-sifat sebagaimana berikut ini:(i)Φ(x)=Φ(x)untuk setiapx(ii)Φ(x)=Φ(x)untuk setiapxJika diketahui fungsifdangmemiliki sifat(i)dan fungsihdankmemiliki sifat(ii),maka pernyataan berikut yang salah adalah....(1)(f+g)(x)=(f+g)(x)(2)(f.k)(x)=(f.k)(x)(3)(hk)(x)=(hk)(x)(4)(hg)(x)=(hg)(x)a.(1),(2)dan(3)b.(1)dan(3)c.(2)dan(4)d.(4)sajae.semuanya benar(SIMAK UI 2014 Mat Das)Jawab:Diketahuibahwa:{Φ(x)=Φ(x)(fungsi ganjil){f misal f(x)=xg misal g(x)=2xΦ(x)=Φ(x)(fungsi genap){h misal h(x)=x2k misal k(x)=2x2(1)(f+g)(x)=(f+g)(x)benar(2)(f.k)(x)=(f.k)(x)benar(3)(hk)(x)=(hk)(x)benar(4)(hg)(x)=(hg)(x)salah.

12.Jikaf(x)=12x1dan(fg)(x)=x3x2makag(x)=....(UMPTN 1998)a.x+12d.12xb.x12c.21xe.212xJawab:Alternatif 1Diketahui bahwaf(x)=12x1,dan(fg)(x)=x3x2,maka(fg)(x)=f(g(x))=x3x212g(x)1=x3x212g(x)1=1(3x2x)Dari bentuk di atas didapatkan2g(x)1=3x2x2g(x)=1+(32x)2g(x)=42xg(x)=21xAlternatif 2Diketahui bahwaf(x)=12x1,denganf1(x)=x+12x.........(tunjukkan sendiri)serta(fg)(x)=x3x2,makag(x)=(f1fg)(x)=(Ig)(x)=g(x)g(x)=f(g(x))+12(f(g(x)))g(x)=(x3x2)+12(x3x2)g(x)=4x23x22x3x2g(x)=4x22xg(x)=21x.

13.Jikaf(x)=x29dan(fg)(x)=x(x6)rumus fungsig(x)=....a.x+3d.3x+1b.x3c.xe.xJawab:Alternatif 1Diketahui bahwaf(x)=x29,dan(fg)(x)=x(x6)=x26x,maka(fg)(x)=f(g(x))=x26x(g(x))29=x26x(g(x))29=x26x+99(g(x))29=(x3)29Dari bentuk di atas didapatkang(x)=x3Alternatif 2Diketahui bahwaf(x)=x29,denganf1(x)=x+9.......(tunjukkan sendiri)serta(fg)(x)=x26x,makag(x)=(f1fg)(x)=(Ig)(x)=g(x)g(x)=(f(g(x)))+9g(x)=x26x+9g(x)=(x3)2g(x)=x3.

14.Jikaf(x)=1x22dan(fg)(x)=1x2+6x+7,makag(x+2)=....a.1x+3d.x+3b.1x2c.x2e.x+5(UM UGM 2010 Mat Das)Jawab:Alternatif 1(fg)(x)=1x2+6x+7f(g(x))=1x2+6x+71(g(x))22=1x2+6x+7(g(x))22=x2+6x+7(g(x))2=x2+6x+9g(x)=x2+6x+9=(x+3)2g(x)=x+3g(x+2)=(x+2)+3=x+5Alternatif 2Diketahui bahwaf(x)=1x22,denganf1(x)=1x2+2.......(akan ditunjukkan)serta(fg)(x)=1x2+6x+7,makaf(x)=y=1x22y2=1x22x22=1y2x2=1y2+2x=1y2+2f1(y)=1y2+2f1(x)=1x2+2g(x)=(f1fg)(x)=1(1x2+6x+7)2+2=(x2+6x+7)+2=(x2+6x+9)=(x+3)2=x+3g(x+2)=(x+2)+3=x+5.

15.Jikag(x)=2x+4dan(fg)(x)=4x2+8x3,makaf1(x)=....a.x+9b.x+2c.x24x3d.x+1+2e.x+7+2Jawab:Sintak 1 Sintak 2Hasil Inversg(x)=y=2x+4y4=2xx=y42f1(y)=y42f1(x)=x42f(x)=(fgg1)(x)=4(g1(x))2+8(g1(x))3=4(x42)2+8(x42)3=(x28x+16)+4x163=x24x3=x24x+47=(x2)27f(x)=y=(x2)27y+7=(x2)2y+7=(x2)(x2)=y+7x=y+7+2f1(y)=y+7+2f1(x)=x+7+2

Contoh Soal 2 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

6.Fungsig:RRditentukan olehg(x)=x2x+3danf:RRsehingga(fg)(x)=3x23x+4,maka fungsif(x2)=....a.2x11d.3x7b.2x7c.3x+1e.3x11Jawab:Diketahuibahwa:{f(x)=f(x)g(x)=x2x+3(fg)(x)=3x23x+4f(g(x))=3x23x+4f(x2x+3)=3(x2x+3)5Sehinggaf(x)=3x5f(x2)=3(x2)5=3x11

7.Fungsif:RRdang:RRdenganf(x)=x3dang(x)=x2+5.Jika(fg)(x)=(gf)(x)maka nilaixadalah....a.1d.4b.2c.3e.5Jawab:Diketahuibahwa:{f(x)=x3g(x)=x2+5(fg)(x)=(gf)(x)f(g(x))=g(f(x))(x2+5)3=(x3)2+5x2+2=x26x+146x=142x=126x=2.

8.Fungsif:RRdang:RRdenganf(x)=3x10dang(x)=4x+n.Jika(gf)(x)(fg)(x)=0maka nilainadalah....a.15d.10b.10c.5e.15Jawab:Diketahuibahwa:{f(x)=3x10g(x)=4x+n(gf)(x)(fg)(x)=0g(f(x))=f(g(x))3(4x+n)10=4(3x10)+n12x+3n10=12x40+n2n=30x=302x=15.

9.Jikaf(x)=2x+3dang(x)=x2+1,maka(fg)(2)=....a.2,24d.6b.3c.3,61e.6,16(SAT Subject Test)Jawab:c(fg)(x)=f(g(x))=2g(x)+3=2(x2+1)+3(fg)(2)=2(22+1)+3=2(5)+3=133,61

10.Misalkanf(x)=x2,g(x)=2xdanh(x)=1x.Fungsi(fgh)(x)=....a.4x28x+4b.4x2+8x4c.2x24x+1d.x22x+1e.42x+x2Jawab:Diketahui bahwaf(x)=x2g(x)=2xh(x)=1xmaka(fgh)=f(g(h(x)))=(2(1x))2=(22x)2=4x28x+4

Contoh 7 Vektor

31.Jikap=(25),q=(43),maka proyeksi skalar ortogonal vektorppadaqadalah....a.35b.75c.85d.95e.2Jawab|r|=p.q|q|=(25).(43)42+32=8+(15)25=|75|=75

32.Panjang Proyeksi vektora=(51)padab=(04)adalah....a.1b.12c.1d.2e.4Jawab|c|=|a.b|b||=|(51)(04)|02+(4)2||=|044|=|1|=1

33.Proyeksi vektor ortogonala=(24)padab=(12)adalah....a.(21)b.(22)c.(24)d.(12)e.(24)Jawabc=(ab|b|2).b=((24)(12)(1)2+22).(12)=(281+4).(12)=2(12)=(24)

Contoh 6 Vektor

26.Jikap=(24)danq=(84),makasudut yang dibentuk vektorpdanqadalah....a.0b.60c.45d.60e.90Jawabp.q=|p|.|q|.cos(p,q)cos(p,q)=p.q|p|.|q|=(21).(84)(2)2+12.82+42=16+1620.80=040=0cos(p,q)=cos90(p,q)=90

27.JikaOA=(12),OB=(42),danθ=(OA,OB),makatanθ=....a.35b.916c.34d.43e.169Jawabcosθ=a.b|a||b|=(12).(42)12+2242+22=4+45.20=810sinθ=1cos2θ=1(810)2=36100=610Selanjutnyatanθ=sinθcosθ=610810=34

28.Jikaa,bdancadalah vektor satuan dengana+b+c=0.Nilai daria.b+a.c+b.cadalah....a.3b.32c.0d.32e.3JawabKarena{a,b,cadalah vektor satuan, dana+b+c=0.segitiga ABC adalah segitiga sama sisia.b=|a||b|cos1200=1.1.(12)=12a.c=|a||c|cos1200=1.1.(12)=12b.c=|b||c|cos1200=1.1.(12)=12Jadi, nilai daria.b+a.c+b.c=(12)+(12)+(12)=32

.berikut ilustrasinya

29.Jika(a,b)=60,|a|=4dan|b|=3,makaa(ab)adalah....a.2b.4c.6d.8e.10Jawaba(ab)=a.aa.b=|a||a|cos0|a||b|cos60=|a|2|a||b|.12=424.3.12=166=10

30.Diketahui|a|=3,|b|=1,dan|ab|=1maka panjang vektora+badalah....a.3d.22b.5c.7e.3JawabDiketahuisebagaimana pada soal|ab|2=|a|2+|b|22|a||b|cosθ12=(3)2+122.3.1.cosθ23cosθ=3maka panjang vektora+badalah|a+b|=|a|2+|b|2+2|a||b|cosθ=(3)2+12+3=3+1+3=7


Contoh 5 Vektor

 21.Jikag=(3x+y5)danh=(81y+72)sehinggag=hnilai dari4x3y=....a.5b.1c.0d.5e.10JawabDiketahuibahwa:g=h(3x+y5)=(81y+72)3x+y=81=34x+y=4y+72=5y=107=3,sehinggax+y=4x+3=4x=43=1,maka4x3y=4(1)3(3)=49=5

22.Vektorm=(25)searah dengan vektor....a.(25)b.(25)c.(615)d.(45)e.(310)JawabVektormsearah dengan vektork.mk.m=k(25),dengankskalar positifab(25)=(25)(25)=...cd(615)=3(25)(45)=...e(310)=...

23.Jika vektorAC=p,BC=qdanAD:DC=1:2,maka vektorBDbila dinyatakandalampdanqadalah....a.13(3p2q)b.13(3q2p)c.13(p2q)d.(p13q)e.13(pq)JawabAC:CD=3:2CD=23AC=23pmaka,BD=BC+CD=q+(23p)=13(3q2p)

.Gambar berikut untuk soal 24

24.Jika vektorAC=p,BC=qdanAD:DC=1:2,maka vektorBDbila dinyatakan dalampdanqadalah....a.13(3p2q)b.13(3q2p)c.(p13q)d.13(p2q)e.13(pq)JawabAC:CD=3:2CD=23AC=23pmaka,BD=BC+CD=q+(23p)=13(3q2p)

25.Jika titikA(2,6)danB(5,3)demikian juga titikPterletak padaABdenganAP:PB=2:1,maka vektor posisipadalah....a.(44)b.(45)c.(44)d.(42)e.(46)JawabAP:PB=2:1AP=2PBpa=2(bp)p+2p=a+2b3p=a+2bp=13(a+2b)=13(2+2.56+2.3)=13(1212)=(44)



Contoh 4 Vektor

 16.Diketahui titik A(-1,1,0) dan titik B(1,-2,2)maka panjang vektorBAadalah....a.2d.17b.5c.9e.21JawabDiketahuisebagaimana pada soalmaka panjang vektorBAadalah|BA|=(1(1))2+(21)2+(20)2=22+(3)2+22=4+9+4=17

17.Vektor satuan untuk vektora=(2,1,2)=....a.(23,13,23)b.(23,13,23)c.(24,14,24)d.(24,14,24)e.(29,19,29)JawabVektor satuan dari vektoraadalah:a^=a|a|=(2,1,2)22+12+(2)2=(2,1,2)9=(2,1,2)3=(23,13,23)

18.Jika titik A(-2,3,5) dan B(4,1,-3),maka vektor posisi AB adalah....a.(6,2,8)b.(8,2,6)c.(6,2,8)d.(82,6)e.(2,4,2)JawabVektor posisidariABadalah:AB=OBOA=(413)(235)=(4+21335)=(628)atau=(6,2,8).

19.Jikap=(2log8x(2logx)y)danq=(58)sehinggap=qnilai darix.y=....a.6b.12c.18d.24e.30JawabDiketahuibahwa:p=q(2log8x(2logx)y)=(58),maka8x=25=32x=328=4(2log4)y=82y=8=23y=3Sehinggax.y=4×3=12

20.Jikap=(3x4x+y)danq=(2x426)sehinggap=qnilai dari2x+y=....a.12b.0c.8d.9e.19JawabDiketahuibahwa:p=q(3x4x+y)=(2x426)3x=2x426x=2x4x=14(1)+y=64+y=6y=6+4y=10x+y=(1)+10=9


Contoh 3 Vektor

11.Jika vektora=(64)danb=(32),maka3a2badalah....a.(1216)d.(2416)b.(2416)c.(1216)e.(1216)Jawab3a2b=3(64)2(32)=(186124)=(1216)

12.Diketahui jajar genjang ABCD dengan titik E adalah perpotongan diagonal jajar genjang.

.JikaAB=bdanAD=a,makaCEbila dinyatakan dalamadanbadalah....a.12(a+b)b.12(ab)c.12(ba)d.12(a+b)e.12(2a+b)JawabAC=AD+DCCA=CD+DACE=12CA=12(ba)=12(a+b)

13.Pada segi enam beraturan ABCDEF,jikaAB=udanAF=vmaka vektorAB+AC+AD+AE+AF=....a.2u+2vd.6u+6vb.4u+4vc.5u+5ve.8u+8vJawabPerhatikanlah ilustrasi gambar berikut

.AB+AC+AD+AE+AF=AB+(AO+OC)+2AO+(AO+OE)+AF=u+(2u+v)+2(v+u)+(2v+u)+v=6u+6v

14.Perhatikanlah juga ilustrasi gambar berikut

.maka vektorwadalah....a.8i6j13kb.8i13j6kc.6i8j13kd.6i+8j13ke.6i13j+8kJawabKita perhatikan juga ilustrasi gambarnya semisal dengan soal No.1Misalkan titiknya adalah titik W dengan koordinat (8,-6,-13),maka vektor posisi titik W tersebut adalahOW=wdi manaVektorwjika dinyatakan dalam kombinasi linear adalahw=8i6j13k.

15.Jika titik Z(4,-5,2),maka panjang vektor posisi titik Z adalah....a.1d.52b.25c.35e.53JawabVektor posisititik Z tersebut adalahOZ=z=(4,5,2),Dan panjangvektorzini adalah|z|=42+(5)2+22=16+25+4=45=9×5=35.


Contoh 2 Vektor

6.Diketahui titikP(n,2),Q(1,2),n>0dan panjangPQ=5,maka nilainadalah....a.1b.2c.3d.4e.5JawabPQ=5(xQxP)2+(yQyP)2=5(xQxP)2+(yQyP)2=25(1n)2+(22)2=25(1n)2+16=25(1n)232=0(1+3n)(13n)=0n=4ataun=2

7.Diketahui vektoru=(34)danv=(21).Nilai|u+v|adalah....a.28b.30c.34d.44e.50Jawabu+v=(34)+(21)=(3+24+(1))=(53)|u+v|=52+32=25+9=34

8.Vektor satuanu=(512)adalah....a.113(512)b.115(512)c.117(512)d.117(512)e.12(512)Jawabeu=u|u|,makae(512)=(512)|(512)|=(512)(5)2+(12)2=(512)169=113(512)

9.Jika vektorp=(87)danq=(39)Hasil darip+qadalah....a.(614)b.(613)c.(615)d.(516)e.(548)Jawabp+q=(87)+(39)=(837+9)=(516)

10.Jika vektorp=(2log323log181)danq=(921)Hasil darip+qadalah....a.(617)b.(617)c.(417)d.(417)e.(516)Jawabp+q=(2log323log181)+(921)=(59421)=(417)

Contoh 1 Vektor

1.Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut


.maka vektoruadalah....a.3i+5jd.3i5jb.5i+3jc.3i+5je.5i+3jJawabKita perhatikan lagi gambarnyaVektorujika dinyatakan sebagai kombinasi linear adalahu=3i+5j

2.Panjang vektorp=(48)adalah....a.4b.12b.20d.80e.100Jawabp=(48),maka besar dari vektorpadalah=|p|=x2+y2Yaitu|p|=42+(8)2=16+64=80

3.Perhatikanlah gambar berikut.

.Panjang vektorhtersebut di atas adalah....a.5b.7c.10d.12e.15JawabDiketahuih=OH=8i+6jh=xH2+yH2=82+62(ingat tripel Pythagoras)=102=10

4.Vektor satuan dariq=3i4jadalah....a.45i35jb.35i45jc.3i4jd.4i3je.15i20jJawabq=3i4jVektor satuan dari vektorqadalah:e^q=1|q|.qSehinggae^q=132+(4)2.(34)=15(34)atau dalam vektor basis=35i45j

5.Vektor berikut yang memiliki panjang29satuan adalah....a.18i19jb.19i20jc.20i21jd.21i22je.22i23jJawabIngatlah akan tigaan Pythagoras{(3,4,5)32+42=52(5,12,13)52+122=132(8,15,17)(20,21,29)dllSehinggayangpaling mungkin adalah:=202+212=400+441=841=29



Contoh Soal 2 Limit Fungsi Aljabar

6.Diketahui bahwaf(x)=x22,maka nilaiLimh0f(x+h)f(x)h=....a.x22d.xb.x2c.2xe.2x2Jawab:Diketahuibahwaf(x)=x22,maka nilai untukLimh0f(x+h)f(x)h=Limh0((x+h)22)(x22)h=Limh0x2+2xh+h22x2+2h=Limh02xh+h2h=Limh0(2x+h)=2x

7.Diketahuif(x)=x1,maka nilaiLimh0f(2+h)f(2)h=....a.12d.1b.12c.0e.1Jawab:Diketahui bahwaf(x)=x1,makanilai untukLimh0f(2+h)f(2)h=Limh0(2+h)121h=Limh0h+11h=Limh0h+11h×h+1+1h+1+1=Limh0(h+1)1h×(h+1+1)=Limh01(h+1+1)=10+1+1=12

8.(Mat Das SIMAK UI 2013)NilaiLimx5x+2x+1x2x+1=....a.3+2d.5b.526c.26e.5+26Jawab:Limx5x+2x+1x2x+1=5+25+1525+1=5+26526=3+2+23.23+223.2=3+232=3+232×3+23+2=3+2+2632=5+26

9.(Mat IPA SBMPTN 2014)JikaLimxa(f(x)+1g(x))=4danLimxa(f(x)1g(x))=3,maka nilaiLimxaf(x).g(x)=....a.114d.414b.214c.314e.514Jawab:Perhatikan bahwa,Limxa(f(x)+1g(x))=4Limxa(f(x)1g(x))=3+2Limxaf(x)=1Limxaf(x)=12,sehinggaLimxaf(g)=27maka,Limxaf(x).g(x)=12×27=214