Lanjutan Bilangan Kompleks: Operasi Aljabar Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

D. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|cll|}\hline \mathbf{\text{No}}& \mathbf{\text{Jenis Operasi}}& \mathbf{\text{Keterangan}}\\ 1.& \text{Penjumlahan}& \begin{array}{rl}& \text{Jumlahkan dua bilangan kompleks}\\ & \text{dengan cara bagian riil dan tidak riil}\\ & \text{(khayal murni) dilakukan secara}\\ & \text{terpisah}\\ & \mathbf{\text{Misalkan}}\\ & {\text{z}}_1=a+ib,\text{dan}{\text{z}}_2=c+id,\text{maka}\\ & {\text{z}}_1+{\text{z}}_2=(a+c)+(b+d)i\end{array}\\ 2.& \text{Pengurangan}& \begin{array}{rl}& \text{Pengurangan dua bilangan kompleks}\\ & \text{dengan cara bagian riil dan tidak riil}\\ & \text{(khayal murni) dilakukan secara}\\ & \text{terpisah}\\ & \mathbf{\text{Misalkan}}\\ & {\text{z}}_1=a+ib,\text{dan}{\text{z}}_2=c+id,\text{maka}\\ & {\text{z}}_1-{\text{z}}_2=(a-c)+(b-d)i\end{array}\\ 3.& \text{Perkalian}& \begin{array}{rl}& \text{Cara mengalikan dua bilangan }\\ & \text{kompleks yaitu lakukan dengan cara }\\ & \text{seperti binomial biasa dan ganti}\\ & i^2\text{dengan}\sqrt{-1}\\ & \text{Misalkan}\\ & {\text{z}}_1=a+ib,\text{dan}{\text{z}}_2=c+id,\text{maka}\\ & {\text{z}}_1\times {\text{z}}_2=(a+ib)\times (c+id)\\ & =ac+adi+bci+bd{i}^2\\ & =ac+bd{i}^2+(ad+bc)i\\ & =ac-bd+(ad+bc)i\\ & \mathbf{\text{Untuk perkalian dengan skalar}}\\ & \text{kalikan masing-masing bagian dengan}\\ & \text{skalarnya saja}\end{array}\\ 4.& \text{Pembagian}& \begin{array}{rl}& \text{cara membagi dua bilangan kompleks}\\ & \text{kalikan pembilang dan penyebut dengan}\\ & \text{sekawan dari penyebutnya serta ganti}\\ & \text{hasilnya yang mengandung}{i}^2\text{dengan}\\ & -1\\ & \text{Misalkan diketahui penyebutnya berupa}\\ & a+ib,\text{maka sekawannya adalah}:a-ib\\ & \text{atau}\\ & {\displaystyle \frac{{\text{z}}_1}{{\text{z}}_2}={\text{z}}_1{\text{z}}_2^{-1}\text{dengan}{\text{z}}_2\ne 0}\\ & \text{Jika}{\text{z}}_2=a+ib,\text{maka}\\ & {\text{z}}_2^{-1}={\displaystyle \frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Diketahui bahwa}{\text{z}}_1=2+3i\text{dan}\\ & {\text{z}}_2=6-9i,\text{tentukan}\\ & \text{a}.{\text{z}}_1+{\text{z}}_2\text{c}.{\text{z}}_1\times {\text{z}}_2\\ & \text{b}.{\text{z}}_1-{\text{z}}_2\text{d}.{\text{z}}_1:{\text{z}}_2\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{|cl|}\hline \mathbf{\text{No}}& \mathbf{\text{Uraian jawaban}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \{\begin{array}{c}{\text{z}}_1=2+3i\\ {\text{z}}_2=6-9i\end{array}\end{array}\\ 1.& \begin{array}{rl}{\text{z}}_1+{\text{z}}_2& =(2+3i)+(6-9i)\\ & =(2+6)+(3-9)i\\ & =8-6i\end{array}\\ 2.& \begin{array}{rl}{\text{z}}_1-{\text{z}}_2& =(2+3i)-(6-9i)\\ & =(2-6)+(3+9)i\\ & =-8+12i\end{array}\\ 3.& \begin{array}{rl}{\text{z}}_1\times {\text{z}}_2& =(2+3i)\times (6-9i)\\ & =(2\times 6-3\times (-9))+(2\times (-9)+3\times 6)i\\ & =(12+27)+(-18+18)i\\ & =39\end{array}\\ 4.& \begin{array}{rl}{\text{z}}_1:{\text{z}}_2& ={\displaystyle \frac{{\text{z}}_1}{{\text{z}}_2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2+3i}{6-9i}\times \frac{6+9i}{6+9i}}\\ & ={\displaystyle \frac{12+18i+18i+27i^2}{6^2+9^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{12-27+(18+18)i}{36+81}}\\ & ={\displaystyle \frac{-15}{117}+\frac{36}{117}i=-{\displaystyle \frac{5}{39}+\frac{4}{13}i}}\\ \mathbf{\text{atau}}& \text{Anda dapat menggunakan invers}\\ & \text{hasilnyapun akan sama dengan yang}\\ & \text{di atas, yaitu}\\ & {\text{z}}_2^{-1}={\displaystyle \frac{6+9i}{6^2+9^2},\text{maka}}\\ & ={\text{z}}_1\times {\text{z}}_2^{-1}\\ & =(2+3i)\times {\displaystyle \frac{6+9i}{6^2+9^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{12+18i+18i+27i^2}{36+81}}\\ & ={\displaystyle \frac{12-27+(18+18)i}{117}}\\ & ={\displaystyle \frac{-15}{117}+\frac{36}{117}i=-\frac{5}{39}+\frac{4}{13}i}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

Lanjutan Bilangan Kompleks: Kesamaan Dua Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

C. Kesamaan Dua Bilangan Kompleks

Dua buah bilangan kompleks  $z_1=a_1+i{b}_1$  dan  $z_2=a_2+i{b}_2$ dikatakan  $z_1=z_2$ jika dan hanya jika  $a_1=a_2$  dan  $b_1=b_2$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Diketahui}{\text{z}}_1=1+3\sqrt{2}i\text{dan}{\text{z}}_2=1+\sqrt{-18}\\ & \text{apakah}{\text{z}}_1={\text{z}}_2\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}{\text{z}}_1=1+3\sqrt{2}i\text{dan}{\text{z}}_2=1+\sqrt{-18}\\ & \text{Untuk}\\ & {\text{z}}_2=1+\sqrt{-18}=1+\sqrt{18}\sqrt{-1}=1+3\sqrt{2}i\\ & \text{Karena}{a}_1=a_2=1,\text{dan}{b}_1=b_2=3\sqrt{2},\\ & \text{maka dapat dikatakan bahwa}{\text{z}}_1={\text{z}}_2\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui}x-yi=i-3\sqrt{2}\text{tentukan nilai}\\ & \text{dari}x\text{dan }y\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}x-yi=i-3\sqrt{2},\text{maka}\\ & x-yi=-3\sqrt{2}+i,\text{ini artinya}\\ & \{\begin{array}{c}x=-3\sqrt{2}.\\ -y=1\Rightarrow y=-1\end{array}\\ & \text{Jadi, nilai}x=-3\sqrt{2}\text{dan}y=-1\end{array}\end{array}$.

Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

A. Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri atas bagian riil (nyata) dan bagian tidak riil / imajiner (khayal) dan dituliskan dengan $\begin{array}{r}\text{z}=a+ib\end{array}$  atau $\begin{array}{r}\text{z}=a+bi\end{array}$. Bagian riil dari bilangan kompleks adalah bagian yang berupa bilangan riil, sementara untukbagian tidak riil dari bilangan kompleks adalah bagian yang berupa bilangan imajiner

1. Satuan Bilangan Imajiner / Khayal

Dalam hal ini, satuan bilangan khayal adalah $\begin{array}{r}i\end{array}$ dengan  $\begin{array}{r}i=\sqrt{-1}\end{array}$.

2. Bilangan Kompleks

Dinyatakan dengan  $\begin{array}{r}\text{z}=a+ib\end{array}$  atau  $\begin{array}{r}\text{z}=a+bi\end{array}$, dengan

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}a& =\text{Re}(\text{z})=\text{bagian riil}\\ b& =\text{Im}(\text{z})=\text{ bagian imajiner /khayal}\end{array}\end{array}$.

Jika  $\begin{array}{r}a=0\end{array}$, maka bilangan kompleks disebut khayal murni dan jika $\begin{array}{r}b=0\end{array}$, maka bilangan kompleks menjadi bilangan riil. Sehingga semua bilangan nyata dan semua bilangan khayal murni semuanya termasuk bilangan kompleks.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Bilangan}\sqrt{-4}\text{jika dinyatakan dalam}\\ & i=\sqrt{-1}\text{adalah}\\ & \begin{array}{rl}\sqrt{-4}& =\sqrt{(4).(-1)}=\sqrt{4}.\sqrt{-1}=2i\end{array}\\ 2.& i^3=i^2.i=(-1)i=-i\\ 3.& i^4=(i^2{)}^2=(-1{)}^2=1\\ 4.& \text{z}=1-\sqrt{3}i\\ & \text{Re}(\text{z})=1\text{atau bagian riilnya adalah 1, dan}\\ & \text{Im}(\text{z})=-\sqrt{3}\text{atau bagian imajinernya adalah}-\sqrt{3}\\ 5.& \text{z}=2+\sqrt{5}i\\ & \text{Re}(\text{z})=2\text{atau bagian riilnya adalah 2, dan}\\ & \text{Im}(\text{z})=\sqrt{5}\text{atau bagian imajinernya adalah}\sqrt{5}\end{array}$.

B. Bentuk Bilangan Kompleks

1. Bentuk Diagram. 

Bentuk diagram pada bidang gambar bilangan kompleks dinamakan bidang Argand, sesuai nama penemunya Jean Robert Argand.

Titik (x,y) pada bidang Argand

2. Bentuk Polar

Bilangan kompleks  $\begin{array}{r}\text{z}=a+ib\end{array}$  dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu menjadi  

$.\begin{array}{rl}\text{z}& =r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ \text{d}& \text{engan}\\ r& =\sqrt{x^2+y^2}\\ x& =r\cos \theta ,\\ y& =r\sin \theta ,\text{dan}\\ \theta & =\text{dibaca}theta\end{array}$.

3. Bentuk Eksponen 

Dengan rumus Euler berupa $\begin{array}{r}{e}^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \end{array}$, bentuk pangkat dari bilangan ini adalah :  

$\begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \text{bahwa}\text{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ \text{dengan}& \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta },\text{maka}\\ \text{z}& =r{e}^{i\theta }\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ & \text{berikut}\\ & \text{a}.\text{z}=\sqrt{2}\\ & \text{b}.\text{z}=-\sqrt{3}i\\ & \text{c}.\text{z}=-1+\sqrt{5}i\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{z}=\sqrt{2}=\sqrt{2}+0i\\ & \text{Re(z)}=\sqrt{2}\\ & \text{Im(z)}=0\\ \text{b}.& \text{z}=-\sqrt{3}i=0+(-\sqrt{3})i\\ & \text{Re(z)}=0\\ & \text{Im(z)}=-\sqrt{3}\\ \text{c}.& \text{z}=-1+\sqrt{5}i\\ & \text{Re(z)}=-1\\ & \text{Im(z)}=\sqrt{5}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ & \text{berikut}\\ & \text{a}.\text{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i\\ & \text{b}.\text{z}=1-\sqrt{3}i\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i,\text{dengan}x=-\sqrt{2},y=\sqrt{2}\\ & r=\sqrt{(-\sqrt{2}{)}^2+{\sqrt{2}}^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ & \sin \theta ={\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sin {45}^0\Rightarrow \theta ={45}^0}\\ & \cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\ & \text{Karena titiknya}(-x,y),\text{maka titik berada di}\\ & \text{kuadran II, sehingga}\theta ={180}^0-{45}^0={135}^0\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \text{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =2(\cos {135}^0+i\sin {135}^0)\\ & \text{Jadi, bentuk polar dari}\\ & \text{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i=2(\cos {135}^0+i\sin {135}^0)\\ \text{b}.& \text{z}=1-\sqrt{3}i,\text{dengan}x=1,y=-\sqrt{3}\\ & r=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\\ & \sin \theta ={\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}}\\ & \cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{1}{2}=\cos {60}^0\Rightarrow \theta ={60}^0}\\ & \text{Karena titiknya}(x,-y),\text{maka titik berada di}\\ & \text{kuadran IV, sehingga}\theta ={360}^0-{60}^0={300}^0\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \text{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =2(\cos {300}^0+i\sin {300}^0)\\ & \text{Jadi, bentuk polar dari}\\ & \text{z}=1-\sqrt{3}i=2(\cos {300}^0+i\sin {300}^0)\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ & \text{berikut}\\ & \text{a}.\text{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\\ & \text{b}.\text{z}=-1-\sqrt{3}i\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i,\text{dengan}x=\sqrt{2},y=\sqrt{2}\\ & r=\sqrt{{\sqrt{2}}^2+{\sqrt{2}}^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ & \sin \theta ={\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sin {45}^0\Rightarrow \theta ={45}^0}\\ & \cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\ & \text{Karena titiknya}(x,y),\text{maka titik berada di}\\ & \text{kuadran I, sehingga tetap utuh}\theta ={45}^0\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \text{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =2(\cos {45}^0+i\sin {45}^0)\\ & \text{Jadi, bentuk polar dari}\\ & \text{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i=2(\cos {45}^0+i\sin {45}^0)\\ \text{b}.& \text{z}=-1-\sqrt{3}i,\text{dengan}x=-1,y=-\sqrt{3}\\ & r=\sqrt{(-1{)}^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\\ & \sin \theta ={\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}=-\sin {60}^0\Rightarrow \theta ={60}^0}\\ & \text{tanda negatif hanya menunjukkan posisi kuadran}\\ & \cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-1}{2}}\\ & \text{Karena titiknya}(-x,-y),\text{maka titik berada di}\\ & \text{kuadran III, sehingga}\theta ={180}^0+{60}^0={240}^0\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \text{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =2(\cos {240}^0+i\sin {240}^0)\\ & \text{Jadi, bentuk polar dari}\\ & \text{z}=-1-\sqrt{3}i=2(\cos {240}^0+i\sin {240}^0)\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Ubahlah bilangan kompleks berikut dalam}\\ & \text{bentuk eksponen}\\ & \text{a}.\text{z}=2(\cos {45}^0+i\sin {45}^0)\\ & \text{b}.\text{z}=-1-\sqrt{3}i\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{z}=2(\cos {45}^0+i\sin {45}^0),\text{dengan}\\ & r=2\text{dan}\theta ={45}^0.\text{Sehingga}\\ & \text{z}=r{e}^{i\theta }=2e^{i{45}^0}\\ \text{b}.& \text{z}=-1-\sqrt{3}i,\text{dengan}\\ & r=\sqrt{(-1{)}^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}\\ & =\sqrt{4}=2\text{dan}\theta ={45}^0.\text{Sehingga}\\ & \sin \theta ={\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}=-\sin {60}^0\Rightarrow \theta ={60}^0}\\ & \text{tanda negatif hanya menunjukkan posisi kuadran}\\ & \cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-1}{2}}\\ & \text{Karena titiknya}(-x,-y),\text{maka titik berada di}\\ & \text{kuadran III, sehingga}\theta ={180}^0+{60}^0={240}^0\\ & \text{z}=r{e}^{i\theta }=2e^{i{240}^0}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}\mathbf{\text{Cata}}& \mathbf{\text{tan}}\\ \text{Anda}& \text{juga bisa menggunakan nilai}\tan \theta \\ \text{untu}& \text{k menentukan besar sudut}\theta -\text{nya, yaitu}:\\ \tan \theta & ={\displaystyle \frac{y}{x}}\\ \text{Perh}& \text{atikan}\text{Contoh Soal pada nomor 3a dan 3b}\\ & \begin{array}{|cc|}\hline 3\mathbf{\text{a}}& 3\mathbf{\text{b}}\\ \text{z}=(-\sqrt{2},\sqrt{2})& \text{z}=(1,-\sqrt{3})\\ \text{Kuadran II}& \text{kuadran IV}\\ ({180}^0-\theta )& ({360}^0-\theta )\\ \begin{array}{rl}\tan \theta & ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=-1}\\ \tan \theta & =-\tan {45}^0\\ & =\tan ({180}^0-{45}^0)\\ & =\tan {135}^0\\ \theta & ={135}^0\end{array}& \begin{array}{rl}\tan \theta & ={\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}}\\ \theta & =-\tan {60}^0\\ & =\tan ({360}^0-{60}^0)\\ & =\tan {300}^0\\ \theta & ={300}^0\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Ngapiningsih, Suparno. 2023. Matematika Tingkat Lanjut untuk SMA/MA Kelas 11A. Yogyakarta: INTAN PARIWARA
2. Purwosetiyono, Didik. 2012. Pengantar Analisis Kompleks. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press
3. Spiegel, Murray, S., Iskandar, K. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-Soal Matematika Dasar. Jakarta: ERLANGGA
4. Thohir, Ahmad. 2013. Materi Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika MA/SMA. Grobogan

Statistika (Lanjutan)

Statistika

 A. Pendahuluan 

Metode statistika banyak dijumpai dalam kehidupan kita sehari-hari. Pernyataan-pernyataan berikut terkait dengan statistika:rRata-rata nilai ulangan matematika siswa kelas XI SMA Ceria adalah 7,8; Jenis mobil yang banyak dibeli masyarakat triwulan tahun 2024 ini adalah jenis MPV, dan lain-lain.

B. Statitik dan Statistika

B. 1 Pengertian Statistika dan Statistik

Statistika adalah ilmu yang mempelajari metode-metode ilmiah terkait pengumpulan data, pengorganisasian dat, penyajian data, pengolahan data, serta interpretasi dan penarikan kesimpulan. Metode yang berkaitan dengan pengumpulan, pengorganisasian, penyajian serta pengolahan data disebut statistika deskriptif, sedangkan metode yang berkaitan dengan pengujian hipotesis, penarikan kesimpulan, pendugaan dan lain-lainnya yang semisal disebut statistika inferensia.

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melihat atau membaca berbagai macam laporan baik dalam bentuk angka maupun diagram. Laporan dalam bentuk diagram atau angka ini selanjutnya diamakan statistik.

B. 2 Populasi dan Sampel

Misalkan suatu hari tertentu seorang karyawan dari sebuah pabrik lampu ingin mengetahui berapa persen produksi lampu yang mengalami cacat produksi. Untuk keperluan tersebut tentunya karyawan tersebut tidak akan mengecek seluruh lampu yang telah diproduksi tersebut, tetapi cukup mengambil secara acak/random untuk diteliti. Dalam hal ini bagian dari total produksi yang diambil secara acak tadi disebut sebagai sampel dari keselurhan produksi lampu tadi yang selanjutnya disebut sebagai contoh populasi.

C. Penyajian Data

Data yang telah dikumpulkan semuanya dapat disajikan dalam bentuk daftar atau tabel. Untuk data yang besar biasanya akan disusun dalam suatu daftar atau tabel yang disebut daftar distriusi frekuensi atau daftar sebaran frekuensi. Adapun dafar distribusi dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu daftar distribusi frekuensi tunggal dan satunya daftar distribusi frekuensi berkelompok.

D. Ukuran Pemusatan Data

D.1 Data Tunggal

$\begin{array}{|cl|}\hline 1.& \text{Mean}\left(\bar{X}\right)\\ & \begin{array}{rl}\bar{x}& ={\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n}{n}}\end{array}\\ 2.& \text{Median}\left(M_e\right)\\ & \begin{array}{rl}& \text{Nilai datum tengah}\\ & \begin{array}{rl}{M}_e& =x_{\text{ganjil}}=x_{\frac{n+1}{2}}\\ M_e& =x_{\text{genap}}={\displaystyle \frac{1}{2}(x_{\frac{1}{2}}+x_{\frac{1}{2}+1})}\end{array}\end{array}\\ 3.& \text{Modus}\left(M_o\right)\\ & \text{Datum dengan frekuensi terbesar}\\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan rata-rata dari}75,60,62,87,83,65\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\bar{x}& ={\displaystyle \frac{75+60+62+87+83+65}{6}}\\ & =\frac{432}{6}=72\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui nilai rata-rata 10 siswa adalah }7,0\\ & \text{Jika ditambah sejumlah siswa dengan nilai 8,}\\ & \text{nilai rata-ratanya menjadi}7{\displaystyle \frac{1}{3}.\text{Berapakah }}\\ & \text{banyak siswa yang ditambahkan}?\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}{\bar{x}}_{baru}& ={\displaystyle \frac{{\bar{x}}_{lama}\times 10+8\times n}{10+n}}\\ 7{\displaystyle \frac{1}{3}}& ={\displaystyle \frac{7\times 10+8\times n}{10+n}}\\ {\displaystyle \frac{22}{3}}& ={\displaystyle \frac{70+8n}{10+n}}\\ & \begin{array}{rl}\iff & 220+22n=210+24n\\ \iff & 22n-24n=210-220\\ \iff & -2n=-10\\ \iff & n={\displaystyle \frac{-10}{-2}=5}\end{array}\\ & \text{Jadi, banyak siswa yang ditambahkan sebanyak 5 orang}\end{array}\end{array}$

D. 2 Data Berkelompok

$\begin{array}{|cl|}\hline 1.& \text{Mean}\left(\bar{X}\right)\\ & \begin{array}{rl}\bar{x}& ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{f}_i{x}_i}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{f}_i}}\mathbf{\text{atau}}\bar{X}={\bar{x}}_s+{\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{d}_i{x}_i}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{f}_i}}}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{Keter}& \text{angan}:\\ \bar{x}& =\text{rataan sementara}\\ x_i& =\text{titik tengah interval kelas ke}-i\\ d_i& =x_i-{\bar{x}}_s\\ f_i& =\text{frekuensi kelas ke}-i\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\begin{array}{|cl|}\hline 2.& \text{Median}(M_e=Q_2)\\ & \begin{array}{rl}{M}_e& =L_2+c\left({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}n-F_2}}{f_3}}\right)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{Keter}& \text{angan}:\\ L_2& =\text{tepi bawah kelas kuartil tengah}\left(Q_2\right)\\ n& =\text{ukuran data=total datum=total frekuensi}\\ f_2& =\text{frekuensi pada kelas kuartil tengah}\left(Q_2\right)\\ F_2& =\text{frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil tengah}\\ c& =\text{panjang kelas}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\begin{array}{|cl|}\hline 3.& \text{Modus}\left(M_o\right)\\ & \begin{array}{rl}{M}_o& =L+c\left({\displaystyle \frac{d_1}{d_1+d_2}}\right)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{Keter}& \text{angan}:\\ L& =\text{tepi bawah kelas modus}\\ d_1& =\text{frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya}\\ d_2& =\text{frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya}\\ c& =\text{panjang kelas}\end{array}\\ \hline\end{array}$

E. Ukuran Letak Data

$\begin{array}{|cl|}\hline 1.& \text{Kuartil}\left(Q_i\right)\\ & \begin{array}{rl}{Q}_i& =L_i+c\left({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{i}{4}n-F_i}}{f_i}}\right)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{Keter}& \text{angan}:\\ L_i& =\text{tepi bawah kelas kuartil ke}-i\\ n& =\text{ukuran data=total datum=total frekuensi}\\ f_i& =\text{frekuensi pada kelas kuartil ke}-i\\ F_i& =\text{frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke}-i\\ c& =\text{panjang kelas}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\begin{array}{|cl|}\hline 2.& \text{Desil}\left(D_i\right)\\ & \begin{array}{rl}{D}_i& =L_i+c\left({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{i}{10}n-F_i}}{f_i}}\right)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{Keter}& \text{angan}:\\ L_i& =\text{tepi bawah kelas desil ke}-i\\ n& =\text{ukuran data=total datum=total frekuensi}\\ f_i& =\text{frekuensi pada kelas desil ke}-i\\ F_i& =\text{frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke}-i\\ c& =\text{panjang kelas}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\begin{array}{|cl|}\hline 3.& \text{Persentil}\left(P_i\right)\\ & \begin{array}{rl}{P}_i& =L_i+c\left({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{i}{100}n-F_i}}{f_i}}\right)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{Keter}& \text{angan}:\\ L_i& =\text{tepi bawah kelas persentil ke}-i\\ n& =\text{ukuran data=total datum=total frekuensi}\\ f_i& =\text{frekuensi pada kelas persentil ke}-i\\ F_i& =\text{frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke}-i\\ c& =\text{panjang kelas}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

F. Ukuran Penyebaran Data

$\begin{array}{|clc|}\hline \text{No}& \text{Data Dispersi}& \text{Simbol}\\ 1.& \text{Jangkauan}& R\text{atau}J\\ 2.& \text{Jangkauan}& H\\ & \text{antarkuartil}& \\ 3.& \text{Simpangan}& Q_d\\ & \text{kuartil}& \\ 4.& \text{Langkah}& L\\ 5.& \text{Pagar dalam}& Q_1-L\\ 6.& \text{Pagar luar}& Q_3-L\\ 7.& \text{Simpangan}& SR\\ & \text{rata-rata}& \\ 8.& \text{Ragam/variansi}& S^2\\ 9& \text{Simpangan baku}& S\\ 10.& \text{Koefisien variansi}& V\\ \hline\end{array}$.

G. Histogram

1. Diagram batang
2. Diagram garis
3. Line plot
4. Histogram dan poligon 

H. Frekuensi Relatif

Daftar Pustaka

1. Johanes, Kastolan, & Sulasim. 2005. Kompetensi Matematika Program Basaha SMA Kelas XI. JAkarta: YUDHISTIRA.
2. Muklis. Ngapiningsih, & Astuti, A.Y. 2022. Buku Interaktif Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X. Yogyakarta:PENERBIT INTAN PARIWARA.
3. Noormandiri. 2022. Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kurikulum Merdeka. Jakarta: ERLANGGA.
4. Tim Penyusun. ....... Belajar Praktis Matematika Mata Pelajaran Wajib untuk SMA/MA Kelas XII. Klaten. VIVA PAKARINDO

Contoh Soal 8 Materi Hubungan Dua Lingkaran

 $\begin{array}{l}\\ 36.& \text{Persamaan lingkaran yang menyinggung}\\ & \text{sumbu X serta melalui titik potong}\\ & \text{lingkaran}(x+1{)}^2+(y+2{)}^2=1\text{dan}\\ & x^2+y^2+3x+3y+4=0\text{adalah}....\\ & \text{a}.x^2+y^2-4x+2y+4=0\\ & \text{b}.x^2+y^2-4x+2y-4=0\\ & \text{c}.x^2+y^2-4x-2y-4=0\\ & \text{d}.x^2+y^2+4x+2y+4=0\\ & \text{e}.x^2+y^2+4x+2y-4=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}:L_3=L_1+p(L_1-L_2)=0\\ & \text{dengan}\\ & \bullet L_1=(x+1{)}^2+(y+2{)}^2=1\\ & \iff x^2+y^2+2x+4y+4=0\\ & \bullet L_2=x^2+y^2+3x+3y+4=0\\ & \text{Untuk}{L}_1-L_2=-x+y=0\iff y=x\\ & \text{Dengan cara coba-coba, maka}\\ & \begin{array}{rl}{L}_3& =L_1+p(L_1-L_2)=0\\ & =x^2+y^2+2x+4y+4+p(-x+y)=0\\ & \text{Untuk}p=1\\ & \iff x^2+y^2+2x+4y+4+(-x+y)=0\\ & \iff x^2+y^2+x+5y+4=0\\ & \text{Untuk}p=-1\\ & \iff x^2+y^2+2x+4y+4-(-x+y)=0\\ & \iff x^2+y^2+3x+3y+4=0\\ & \text{Dan untuk}p=-2\\ & \iff x^2+y^2+2x+4y+4-2(-x+y)=0\\ & \iff x^2+y^2+4x+2y+4=0\end{array}\end{array}\\ & \mathbf{\text{Berikut ilustrasi gambarnyanya}}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
4. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
5. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal 7 Materi Hubungan Dua Lingkaran

 $\begin{array}{l}\\ 31.& \text{Persamaan lingkaran yang melalui titik}\\ & (0,0)\text{dan titik potong kedua lingkaran}\\ & x^2+y^2-6x-8y-11=0\text{dan}\\ & x^2+y^2-4x-6y-22=0\text{adalah}....\\ & \text{a}.x^2+y^2-12x+10y=0\\ & \text{b}.x^2+y^2+8x-10y=0\\ & \text{c}.x^2+y^2-8x+12y=0\\ & \text{d}.x^2+y^2-8x-10y=0\\ & \text{e}.x^2+y^2+12x-8y=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}:L_3=L_1+p(L_1-L_2)=0\\ & \text{dengan}\\ & \bullet L_1=x^2+y^2-6x-8y-11=0\\ & \bullet L_2=x^2+y^2-4x-6y-22=0\\ & \text{Untuk}{L}_1-L_2=-2x-2y+11=0\\ & \text{Karena}{L}_3\text{melalui}(0,0),\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}{L}_3& =L_1+p(L_1-L_2)=0\\ & =x^2+y^2-6x-8y-11+p(-2x-2y+11)=0\\ & \iff 0^2+0^2-0-0-11+p(0+11)=0\\ & \iff p=1\end{array}\\ & \text{Sehingga}\\ & L_3=x^2+y^2-6x-8y-11+(-2x-2y+11)=0\\ & \iff L_3=x^2+y^2-8x-10y=0\end{array}\end{array}$.

Berikut ilustrasi gambarnya

$\begin{array}{l}\\ 32.& \text{Persamaan lingkaran yang melalui titik}\\ & (8,4)\text{dan titik potong lingkaran}{x}^2+y^2=16\\ & \text{dan}{x}^2+y^2-4x-4y=0\text{adalah}....\\ & \text{a}.x^2+y^2-8x-8y-16=0\\ & \text{b}.x^2+y^2-8x+8y+16=0\\ & \text{c}.x^2+y^2-8x-8y+16=0\\ & \text{d}.x^2+y^2+8x+8y-16=0\\ & \text{e}.x^2+y^2+8x+8y+16=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}:L_3=L_1+p(L_1-L_2)=0\\ & \text{dengan}\\ & \bullet L_1=x^2+y^2-16=0\\ & \bullet L_2=x^2+y^2-4x-4y=0\\ & \text{Untuk}{L}_1-L_2=4x+4y-16=0\\ & \iff x+y=4\\ & \text{Karena}{L}_3\text{melalui}(8,4),\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}{L}_3& =L_1+p(L_1-L_2)=0\\ & =x^2+y^2-16+p(x+y-4)=0\\ & \iff 8^2+4^2-16+p(8+4-4)=0\\ & \iff -8p=64\iff p=-8\end{array}\\ & \text{Sehingga}\\ & L_3=x^2+y^2-16-8(x+y-4)=0\\ & \iff L_3=x^2+y^2-8x-8y+16=0\end{array}\\ & \mathbf{\text{Berikut ilustrasi gambarnyanya}}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 33.& \text{Persamaan lingkaran yang melalui titik}\\ & (7,-4)\text{dan titik potong kedua lingkaran}\\ & x^2+y^2-6x+8y-27=0\text{dan}\\ & x^2+y^2-26x+4y+121=0\text{adalah}....\\ & \text{a}.x^2+y^2-36x-2y+121=0\\ & \text{b}.x^2+y^2+24x-4y-222=0\\ & \text{c}.3x^2+3y^2-18x+2y-121=0\\ & \text{d}.x^2+y^2-36x+2y+195=0\\ & \text{e}.x^2+y^2+24x+2y+195=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}:L_3=L_1+p(L_1-L_2)=0\\ & \text{dengan}\\ & \bullet L_1=x^2+y^2-6x+8y-27=0\\ & \bullet L_2=x^2+y^2-26x+4y+121=0\\ & \text{Untuk}{L}_1-L_2=20x+4y-148=0\\ & \text{Karena}{L}_3\text{melalui}(7,-4),\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}{L}_3& =L_1+p(L_1-L_2)=0\\ & =x^2+y^2-6x+8y-27\\ & +p(20x+4y-148)=0\\ & \iff 7^2+(-4{)}^2-42-32-27\\ & +p(140-16-148)=0\\ & \iff -24p=36\iff p=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\\ & \text{Sehingga}\\ & L_3=x^2+y^2-6x+8y-27\\ & -{\displaystyle \frac{3}{2}(20x+4y-148)=0}\\ & \iff L_3=x^2+y^2-36x+2y+195=0\end{array}\end{array}$.

Berikut ilustrasi gambarnya

Jika dimensi gambar diperkecil menjadi

$\begin{array}{l}\\ 34.& \text{Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan}\\ & \text{lingkaran}{x}^2+y^2-12x+6y+20=0\text{dan}\\ & x^2+y^2-16x-14y+64=0\text{serta pusatnya}\\ & \text{terletak pada garis}8x-3y-19=0\text{adalah}....\\ & \text{a}.x^2+y^2-20x-34y+108=0\\ & \text{b}.x^2+y^2-16x+12y+96=0\\ & \text{c}.x^2+y^2-12x+20y+88=0\\ & \text{d}.x^2+y^2+16x-24y+108=0\\ & \text{e}.x^2+y^2+22x-34y+96=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa persamaan lingkaran}:\\ & \bullet L_1=x^2+y^2-12x+6y+20=0\\ & \bullet L_2=x^2+y^2-16x-14y+64=0\\ & \text{Persamaan tali busurnya (garis kuasa)}\\ & \text{adalah}:\\ & L_1(x,y)-L_2(x,y)\\ & =4x+20y-44=0\iff x=11-5y\\ & \text{Selanjutnya dengan substitusi }\\ & \begin{array}{rl}& x^2+y^2-12x+6y+20=0\\ & \iff (x-6{)}^2+(y+3{)}^2=25\\ & \iff (11-5y-6{)}^2+(y+3{)}^2=25\\ & \iff (y-5y{)}^2+(y+3{)}^2=25\\ & \iff 26y^2-44y+9=0\end{array}\\ & \text{Sehingga dengan}\text{memodifikasi}\\ & \begin{array}{rl}& 26y^2-44y+9=0\\ & \iff 25y^2-44y+y^2+9=0\\ & \text{arahkan ke bentuk kuadrat sempurna}\\ & \iff 25y^2-10y+1+y^2-34y+8=0\\ & \iff 25y^2-10y+1+y^2-34y+{17}^2-{17}^2+8=0\\ & \iff (5y-1{)}^2+(y-17{)}^2-281=0\\ & \text{ingat bahwa ada tali busur}5y=11-x\\ & \iff (11-x-1{)}^2+(y-17{)}^2-281=0\\ & \iff (10-x{)}^2+(y-17{)}^2-281=0\\ & \iff x^2-20x+100+y^2-34y+289-281=0\\ & \iff x^2+y^2-20x-34y+108=0\end{array}\end{array}\\ & \mathbf{\text{Berikut ilustrasi gambarnya}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 35.& \text{Persamaan lingkaran dengan titik pusat}\\ & \text{pada garis}x+2y-3=0\text{dan melalui}\\ & \text{titik potong dua lingkaran}\\ & x^2+y^2-2x-4y+1=0\text{dan}\\ & x^2+y^2-4x-2y+4=0\text{adalah}....\\ & \text{a}.x^2+y^2-6x+7=0\\ & \text{b}.x^2+y^2-3y+4=0\\ & \text{c}.x^2+y^2-2x-2y+1=0\\ & \text{d}.x^2+y^2-2x-4y+4=0\\ & \text{e}.x^2+y^2-3x-2y+7=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \mathbf{\text{Alternatif 1}}\\ & \text{Gunakan cara pembahasan sebagaimana pada}\\ & \text{nomor-nomor sebelumnya}\\ & \mathbf{\text{Alternatif 2}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\\ & L_1\equiv x^2+y^2-2x-4y+1=0,\text{dan}\\ & L_2\equiv x^2+y^2-4x-2y+4=0\\ & \text{Persamaan}\text{tali busur}\text{dari kedua}\\ & \text{lingkaran tersebut adalah}:\\ & L_1(x,y)-L_2(x,y)=0\\ & \iff x^2+y^2-2x-4y+1\\ & -(x^2+y^2-4x-2y+4)=0\\ & \iff 2x-2y-3=0\\ & \text{Selanjutnya perlu ditentukan juga}\\ & \text{Persamaan}\text{berkas lingkaran}\text{melalui}\\ & \text{titik-titik potong kedua lingkaran}\\ & \text{di atas adalah}:\\ & L_1+\lambda L_2=0\\ & x^2+y^2-2x-4y+1\\ & +\lambda (x^2+y^2-4x-2y+4)=0\\ & \iff (1+\lambda )x^2+(1+\lambda )y^2-(2+4\lambda )x\\ & -(4+2\lambda )y+1+4\lambda =0\\ & \text{Saat}\lambda =-1,\text{maka persamaan berkas}\\ & \text{lingkarannya adalah}:2x-2y-3=0\\ & \text{Hal ini hasilnya sama persis saat kita}\\ & \text{menentukan persamaan}\text{tali busur}\text{di atas}\\ & \text{Selanjutnya kita ambil}\\ & L_2-(L_1+\lambda L_2)=0\\ & \iff x^2+y^2-4x-2y+4-(2x-2y-3)=0\\ & \iff x^2+y^2-6x+7=0\end{array}\end{array}$.

Gambar mula-mula

Lingkaran baru yang berpusat di (3,0) 

Contoh Soal 6 Materi Hubungan Dua Lingkaran

 $\begin{array}{l}\\ 26.& \text{Diketahui lingkaran-lingkaran}\\ & x^2+y^2-2x+3y+k=0\text{dan}\\ & x^2+y^2+8x-6y-7=0\text{saling}\\ & \text{berpotongan ortogonal saat}k=....\\ & \text{a}.-10\\ & \text{b}.-3\\ & \text{c}.1\\ & \text{d}.5\\ & \text{e}.8\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan tabel berikut}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \text{Lingakaran}& \text{Pusat/r}\\ L_1\equiv x^2+y^2-2x+3y+k=0& \{\begin{array}{ll}{P}_1& =(1,-{\displaystyle \frac{3}{2}})\\ r_1& =\sqrt{{\displaystyle \frac{13-4k}{4}}}\end{array}\\ \begin{array}{rl}{L}_2& \equiv x^2+y^2+8x-6y-7=0\end{array}& \{\begin{array}{ll}{P}_2& =(-4,3)\\ r_2& =\sqrt{32}\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Syarat dua lingkaran berpotongan ortogonal}\\ & \begin{array}{rl}& {\left(P_1{P}_2\right)}^2=r_1^2+r_2^2\\ & \iff {(1+4)}^2+{(-{\displaystyle \frac{3}{2}-3})}^2={\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{13-4k}{4}}}\right)}^2+{\sqrt{32}}^2\\ & \iff 25+{\displaystyle \frac{81}{4}={\displaystyle \frac{13-4k}{4}+32}}\\ & \iff 100+81=13-4k+128\\ & \iff k=-10\end{array}\\ & \mathbf{\text{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 27.& \text{Persamaan lingkaran yang berpotongan}\\ & \text{lingkaran lain}{x}^2+y^2+2x+y-11=0\\ & \text{secara tegak lurus dan melalui}(4,3)\text{serta}\\ & \text{pusatnya pada}9x+4y=37\text{adalah}....\\ & \text{a}.x^2+y^2-10x+4y+3=0\\ & \text{b}.x^2+y^2-8x+10y+6=0\\ & \text{c}.x^2+y^2+4x-8y+7=0\\ & \text{d}.x^2+y^2+6x+y+5=0\\ & \text{e}.x^2+y^2+12x+6y+5=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan tabel berikut}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \text{Lingakaran}& \text{Pusat/r}\\ L_1\equiv x^2+y^2+2x+y-11=0& \{\begin{array}{ll}{P}_1& =(-1,-{\displaystyle \frac{1}{2}})\\ r_1& =\sqrt{{\displaystyle \frac{49}{4}}}={\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}\\ \begin{array}{rl}{L}_2& \equiv (x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2\end{array}& \{\begin{array}{ll}{P}_2& =(a,b)\\ r_2& =r\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Karena berpotongan tegak lurus, maka}\\ & \begin{array}{rl}& {\left(P_1{P}_2\right)}^2=r_1^2+r_2^2\\ & \iff {(-1-a)}^2+{(-{\displaystyle \frac{1}{2}-b})}^2={\displaystyle \frac{49}{4}+r^2}\\ & \iff a^2+2a+1+b^2+b+{\displaystyle \frac{1}{4}={\displaystyle \frac{49}{4}+r^2}}\\ & \iff a^2+b^2+2a+b+{\displaystyle \frac{5}{4}={\displaystyle \frac{49}{4}+r^2}}\\ & \iff a^2+b^2+2a+b-11=r^2.......(1)\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Lingkaran}{L}_2\text{melalui titik}(4,3),\text{artinya}\\ & \text{bahwa}:(4-a{)}^2+(3-b{)}^2=r^2\\ & \iff a^2-8a+16+b^2-6b+9=r^2\\ & \iff a^2+b^2-8a-6b+25=r^2.......(2)\\ & \text{Pusat lingkaran}{L}_2\text{melalui garis}9x+4y=37\\ & \text{artinya}:9a+4b=37...............(3)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Dengan eliminasi}1\mathrm{\&}2\text{dapat diperoleh}:\\ & \begin{array}{rll}{a}^2+b^2-8a-6b+25& =r^2& \\ a^2+b^2+2a+b-11& =r^2& -\\ -10a-7b+36& =0& \text{atau}\\ 10a+7b& =36& ......(4)\end{array}\\ & \text{Dari persamaan}3\mathrm{\&}4\text{dapat diperoleh}:\\ & \end{array}\\ & \begin{array}{rll}10a+7b& =36& (\times 4)\\ 9a+4b& =37& (\times 7)\\ 40a+28b& =144& \\ 63a+28b& =259& \\ -23a& =-115& \\ a& ={\displaystyle \frac{-115}{-23}}& =5\\ 10(5)+7b& =36& \\ 7b& =-14\\ b& =-2\end{array}\\ & \text{Adapun langkah berikutnya}\\ & \begin{array}{rl}& L_2\equiv (4-a{)}^2+(3-b{)}^2=r^2\\ & L_2\equiv (4-5{)}^2+(3+2{)}^2=r^2\\ & L_2\equiv r^2=25+1=26\\ & \text{Sehingga},L_2\equiv (x-5{)}^2+(y+2{)}^2=26\\ & \iff x^2+y^2-10x+4y+25+4-26=0\\ & \iff x^2+y^2-10x+4y+3=0\end{array}\\ & \mathbf{\text{Berikut ilustrasi gambarnya}}\end{array}$.

Jika diperjelas dengan tambahan garis 9x+4y=37

$\begin{array}{l}\\ 28.& \text{Diketahui lingkaran pertama berpusat di}(1,2)\\ & \text{dan menyinggung garis}3x-4y+10=0.\\ & \text{Jika ada lingkaran kedua dengan pusat}(4,6)\\ & \text{dan menyinggung lingkaran yang pertama},\\ & \text{maka persamaan lingkaran yang kedua}\\ & \text{tersebut adalah}....\\ & \text{a}.x^2+y^2-8x-12y+48=0\\ & \text{b}.x^2+y^2-8x-12y+43=0\\ & \text{c}.x^2+y^2-8x-12y+36=0\\ & \text{d}.x^2+y^2-8x-12y+27=0\\ & \text{e}.x^2+y^2-8x-12y+16=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa kedua lingkaran saling}\\ & \text{bersinggungan di luar},\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}{r}_1+r_2& =P_1{P}_2\\ & =\sqrt{(y_2-y_1{)}^2+(x_2-x_1{)}^2}\\ & =\sqrt{(1-4{)}^2+(2-6{)}^2}\\ & =\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{5^2}=5\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}{r}_{\text{pertama}}& =\left|{\displaystyle \frac{3(1)-4(2)+10}{\sqrt{3^2+4^2}}}\right|\\ & =\left|{\displaystyle \frac{3-8+10}{\sqrt{5^2}}}\right|=\left|{\displaystyle \frac{5}{5}}\right|=\left|1\right|=1\\ \text{sehingga}& \\ r_{\text{kedua}}& =5-r_{\text{pertama}}=5-1=4\end{array}\\ & \text{maka persamaan lingkaran keduanya adalah}:\\ & \begin{array}{rl}& (x-4{)}^2+(y-6{)}^2=4^2\\ & \iff x^2-8x+16+y^2-12y+36=16\\ & \iff x^2+y^2-8x-12y+36=0\end{array}\\ & \mathbf{\text{Berikut ilustrasi gambarnya}}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 29.& \text{Garis kuasa (tali busur sekutu)}\\ & \text{dari lingkaran}\\ & L_1\equiv x^2+y^2+6x-4y-12=0\\ & \text{dan}{L}_2\equiv x^2+y^2-12y=0\text{adalah}....\\ & \text{a}.3x+4y+9=0\\ & \text{b}.3x-4y-8=0\\ & \text{c}.3x-4y+7=0\\ & \text{d}.3x+4y-7=0\\ & \text{e}.3x+4y-6=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\\ & L_1\equiv x^2+y^2+6x-4y-12=0,\\ & \text{dan}{L}_2\equiv x^2+y^2-12y=0\\ & \text{Persamaan}\text{garis kuasa}\text{dari kedua}\\ & \text{lingkaran tersebut adalah}:\\ & L_1(x,y)-L_2(x,y)=0\\ & \iff x^2+y^2+6x-4y-12\\ & -(x^2+y^2-12y)=0\\ & \iff 6x+8y-12=0\\ & \iff 3x+4y-6=0\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 30.& \text{Jika dua lingkaran}\\ & x^2+y^2=9\text{dan}\\ & x^2+y^2-4y+2y+3=0\text{yang}\\ & \text{berpotongan di}(x_1,y_1)\text{dan}(x_2,y_2),\\ & \text{maka nilai}5(x_1+x_2)\text{adalah}....\\ & \text{a}.24\\ & \text{b}.26\\ & \text{c}.28\\ & \text{d}.30\\ & \text{e}.32\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\\ & L_1\equiv x^2+y^2-9=0\text{dan}\\ & L_2\equiv x^2+y^2-4x+2y+3\\ & \text{Persamaan}\text{garis kuasa}\text{dari kedua}\\ & \text{lingkaran tersebut adalah}:\\ & L_1(x,y)-L_2(x,y)=0\\ & \iff x^2+y^2-9\\ & -(x^2+y^2-4y+2y+3)=0\\ & \iff 4x-2y-12=0\\ & \iff 2x-y-6=0\\ & \iff y=6-2x\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}& x^2+y^2-9=0\\ & \iff x^2+(6-2x{)}^2-9=0\\ & \iff x^2+36-24x+4x^2-9=0\\ & \iff 5x^2-24x+27=0\\ & \iff x_{1,2}={\displaystyle \frac{24\pm \sqrt{576-540}}{10}}\\ & \iff x_{1,2}={\displaystyle \frac{24\pm \sqrt{36}}{10}=\frac{24\pm 6}{10}}\\ & \iff x_{1,2}={\displaystyle \frac{24\pm \sqrt{36}}{10}=\frac{24\pm 6}{10}}\\ & \iff x_1=3\text{atau}{x}_2=1,8\\ & \text{maka}5(x_1+x_2)=5(3+1,8)=24\end{array}\end{array}$.

Contoh Soal 5 Materi Hubungan Dua Lingkaran

 $\begin{array}{l}\\ 21.& \text{Titik Kuasa dari lingkaran-lingkaran}\\ & \text{berikut}\\ & L_1\equiv x^2+y^2+x+y-14=0\\ & L_2\equiv x^2+y^2=13\\ & L_3\equiv x^2+y^2+3x-2y-26=0\text{adalah}....\\ & \text{a}.(3,-2)\\ & \text{b}.(2,-3)\\ & \text{c}.(-3,2)\\ & \text{d}.(-2,3)\\ & \text{e}.(3,2)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Dengan eliminasi, kita mendapatkan}\\ & \begin{array}{rl}& \begin{array}{lrll}(L_1)& x^2+y^2+x+y& =& 14\\ (L_2)& x^2+y^2& =& 13& -\\ & x+y& =& 1& ....(1)\end{array}\\ & \text{dan}\\ & \begin{array}{lrll}(L_3)& x^2+y^2+3x-2y& =& 26\\ (L_2)& x^2+y^2& =& 13& -\\ & 3x-2y& =& 13& ....(2)\end{array}\\ & \text{Selanjutnya kita eliminasi}(1)\mathrm{\&}(2)\\ & \text{dan hasilnya adalah}:\\ & \begin{array}{rrlr}(2)& 3x-2y& =& 13\\ (1)& 3x+3y& =& 3& -(\times 3)\\ & -5y& =& 10& \\ & y& =& -2& \Rightarrow x=3\end{array}\\ & \text{Jadi, titik kuasa ketiganya}:(3,-2)\end{array}\\ & \mathbf{\text{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 22.& \text{Titik-titik potong dari persekutuan dua}\\ & \text{lingkaran}{L}_1\equiv (x-2{)}^2+y^2=10\text{dan}\\ & L_2\equiv x^2+(y-2{)}^2=10\text{adalah}....\\ & \text{a}.(3,3)\text{dan}(1,1)\\ & \text{b}.(3,3)\text{dan}(-1,-1)\\ & \text{c}.(3,-3)\text{dan}(1,1)\\ & \text{d}.(-3,3)\text{dan}(1,1)\\ & \text{e}.(-3,-3)\text{dan}(-1,-1)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Alternatif 1}\\ & \text{Dengan substitusi opsi pilihan jawaban}\\ & \text{maka akan ketemu jawabannya langsung}\\ & \text{Alternatif 2}\\ & \text{Dengan eliminasi dan ilustrasi gambar}\\ & \begin{array}{lrll}(L_1)& (x-2{)}^2+y^2& =& 10\\ (L_2)& x^2+(y-2{)}^2& =& 10& \\ & \text{menjadi}\\ (L_1)& x^2+y^2-4x& =& 6\\ (L_2)& x^2+y^2-4y& =& 6& -\\ & -4x+4y& =& 0& \\ & \text{maka hasilnya}\\ & y& =& x\end{array}\\ & \text{Jelas opsi jawaban c, d salah}\\ & \text{karena}y=x,\\ & \mathbf{\text{Dengan bantuan ilustrasi, pilihan jawaban}}\\ & \mathbf{\text{akan tampak dengan jelas}}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 23.& \text{Persamaan tali busur persekutuan dua}\\ & \text{lingkaran}{L}_1\equiv (x-3{)}^2+y^2=16\text{dan}\\ & L_2\equiv x^2+(y-3{)}^2=16\text{adalah}....\\ & \text{a}.y=-2x\\ & \text{b}.y=-x\\ & \text{c}.y=x\\ & \text{d}.y=2x\\ & \text{e}.y={\displaystyle \frac{1}{2}x}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Dengan eliminasi, kita mendapatkan}\\ & \begin{array}{lrll}(L_1)& (x-3{)}^2+y^2& =& 16\\ (L_2)& x^2+(y-3{)}^2& =& 16& \\ & \text{menjadi}\\ (L_1)& x^2+y^2-6x& =& 9\\ (L_2)& x^2+y^2-6y& =& 9& -\\ & -6x+6y& =& 0& \\ & \text{maka hasilnya}\\ & y& =& x\end{array}\\ & \mathbf{\text{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 24.& \text{Banyaknya garis singgung persekutuan}\\ & \text{lingkaran-lingkaran}{x}^2+y^2+2x-6y+9=0\\ & \text{dan}{x}^2+y^2+8x-6y+9=0\text{adalah}....\\ & \text{a}.0\\ & \text{b}.1\\ & \text{c}.2\\ & \text{d}.3\\ & \text{e}.4\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan bahwa}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \text{Lingakaran}& \text{Pusat/r}\\ L_1\equiv x^2+y^2+2x-6y+9=0& \{\begin{array}{ll}{P}_1& =(-1,3)\\ r_1& =1\end{array}\\ L_2\equiv x^2+y^2+8x-6y+9=0& \{\begin{array}{ll}{P}_2& =(-4,3)\\ r_2& =4\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Perhatikan pula bahwa}{r}_2-r_1=4-1=3\\ & \begin{array}{rl}& \text{Karena}{P}_1{P}_2=r_2-r_1,\text{hal ini berarti lingkaran}\\ & L_1\text{bersinggungan di dalam dengan lingkaran}{L}_2\\ & \text{Sehingga kedua lingkaran ini hanya akan }\\ & \text{memiliki}\text{satu}\text{garis singgung persekutuan}\end{array}\\ & \mathbf{\text{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 25.& \text{Persamaan lingkaran dengan jari-jari}5\\ & \text{dan menyinggung lingkaran lain}\\ & x^2+y^2-2x-4y-20=0\text{di titik}\\ & (5,5)\text{adalah}....\\ & \text{a}.x^2+y^2-2x-4y-120=0\\ & \text{b}.x^2+y^2-2x-4y-120=0\\ & \text{c}.x^2+y^2-2x-4y-120=0\\ & \text{d}.x^2+y^2-2x-4y-120=0\\ & \text{e}.x^2+y^2-2x-4y-120=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahi bahwa}\\ & \begin{array}{rl}& \begin{array}{rrll}(L_1)& (x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =& 5^2\\ (L_2)& x^2+y^2-2x-4y& =& 20& \end{array}\\ & \text{Titik singgung dua lingkaran}\\ & \text{di titik}(5,5),\text{artinya}\\ & \left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)}{2}}\\ & \iff \left(\begin{array}{c}10\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\\ & \iff \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10-1\\ 10-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 8\end{array}\right)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{maka persamaan lingkarannya adalah}:\\ & \iff (x-9{)}^2+(y-8{)}^2=5^2\\ & \iff x^2+y^2-18x-16y+120=0\end{array}\\ & \mathbf{\text{Berikut ilustrasi gambarnya}}\end{array}$.

Contoh Soal 4 Materi Lingkaran dan Hubungan Dua Lingkaran

 $\begin{array}{l}\\ 16.& \text{Salah satu garis singgung yang bersudut}{120}^{\circ }\\ & \text{terhadap sumbu x positif terhadap lingkaran}\\ & \text{dengan ujung diameter titik}(7,6)\text{dan}(1,-2)\\ & \text{adalah}....\\ & \text{a}.y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}+12\\ & \text{b}.y=-x\sqrt{3}-4\sqrt{3}+8\\ & \text{c}.y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}-4\\ & \text{d}.y=-x\sqrt{3}-4\sqrt{3}-8\\ & \text{e}.y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}+22\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{|cc|}\hline \text{Pusat Lingkaran}& \text{Gradien Garis Singgung}\\ \begin{array}{rl}& (a,b)\\ & =\left({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}}\right)\\ & =\left({\displaystyle \frac{7+1}{2},\frac{6+(-2)}{2}}\right)\\ & =(4,2)\end{array}& \begin{array}{rl}m& =\tan {120}^{\circ }\\ & =-\tan ({180}^{\circ }-{60}^{\circ })\\ & =-\tan {60}^{\circ }\\ & =-\sqrt{3}\\ & \end{array}\\ \text{Jari-jari}& \text{Garis Singgung}\\ \begin{array}{rl}r& =\text{jarak titik}\\ & \text{singgung ke pusat}\\ & =\sqrt{(7-4{)}^2+(6-2{)}^2}\\ & =\sqrt{3^2+4^2}\\ & =\sqrt{25}\\ & =5\\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& (y-b)=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^2}\\ & \iff (y-2)=-\sqrt{3}(x-4)\pm 5\sqrt{1+(-\sqrt{3}{)}^2}\\ & \iff y-2=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}\pm 5\sqrt{1+4}\\ & \iff y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2\pm 10\\ & \iff y=\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2+10\\ -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2-10\end{array}\\ & \iff y=\{\begin{array}{ll}-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+12& \\ -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}-8& \end{array}\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}$.

Dengan ilustrasi tambahan

$\begin{array}{l}\\ 17.& \text{Salah satu garis singgung lingkaran}\\ & x^2+y^2=10\text{yang ditarik dari}\\ & \text{titik}(4,2)\text{adalah}....\\ & \text{a}.x+3y=10\\ & \text{b}.x-3y=10\\ & \text{c}.-x-3y=10\\ & \text{d}.2x+y=10\\ & \text{e}.x+2y=10\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{|cc|}\hline \begin{array}{rl}& \text{Garis Singgung}\\ & \text{di titik}\\ & (x_1,y_1)=(4,2)\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Tahapan menentukan}\\ & \text{harga}m\\ & \end{array}\\ \begin{array}{rl}& y-y_1=m(x-x_1)\\ & y-2=m(x-4)\\ & y=mx-4m+2\\ & \\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& x^2+y^2=10\\ & x^2+{(mx-4m+2)}^2=10\\ & x^2+m^2{x}^2+16m^2+4-8m^{2}x+4mx-16m=10\\ & x^2+m^2{x}^2+16m^2-8m^{2}x+4mx-16m-6=0\\ & (1+m^2)x^2+(4m-8m^2)x+16m^2-16m-6=0\\ & \{\begin{array}{ll}a& =1+m^2\\ b& =4m-8m^2\\ c& =16m^2-16m-6\end{array}\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Syarat menyinggung}D=0\\ & b^2-4ac=0\\ & {(4m-8m^2)}^2-4(1+m^2)(16m^2-16m-6)=0\\ & 16m^2-64m^3+64m^4-64m^2+64m+24-64m^4+64m^3+24m^2=0\\ & -24m^2+64m+24=0\\ & -3m^2+8m+3=0\\ & (m-3)(3m+1)=0\\ & m=3\text{atau}m=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & m=\{\begin{array}{ll}3& \Rightarrow y=3x-10\\ & \Rightarrow 3x-y=10\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}& \Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{4}{3}+2}\\ & \Rightarrow x+3y=10\end{array}\end{array}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 18.& \text{Diketahui persamaan lingkaran}{x}^2+y^2=r^2\\ & \text{dan sebuah titik di luar lingkaran}M(a,b)\\ & \text{Posisi garis}ax+by=r^2\text{adalah}....\\ & \text{a}.\text{menyinggung lingkaran}\\ & \text{b}.\text{memotong lingkaran di dua titik}\\ & \text{c}.\text{melalui titik pusat lingkaran}\\ & \text{d}.\text{tidak memotong lingkaran}\\ & \text{e}.\text{tidak ada yang benar}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & \bullet L\equiv x^2+y^2=r^2\\ & \bullet M(a,b)\text{di luar lingkaran}L\\ & \text{Selanjutnya perhatikan penjelasan berikut}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Karena}M(a,b)\text{di luar lingkaran}L,\text{maka}\\ & \text{maka salah satu dari}a\text{atau}b\text{atau keduanya}\\ & \text{akan lebih besar nilanya dari pada}r.\\ & \text{Misalkan kita pilih}a>r\\ & \text{Ambil posisi saat memotong sumbu}-X,y=0\\ & \begin{array}{rl}& \text{Untuk lingkaran}{x}^2+y^2=r^2\\ & \bullet y=0\Rightarrow x^2+0^2=r^2\Rightarrow x=\left|r\right|\\ & \text{Untuk garis}ax+by=r^2\\ & \bullet y=0\Rightarrow ax=r^2\Rightarrow x={\displaystyle \frac{r^2}{a}}\\ & \text{Dari sini tampak posisi}x=\left|r\right|>{\displaystyle \frac{r^2}{a}\ge 0}\end{array}\\ & \text{Sehingga kesimpulannya adalah}:\\ & \text{garis tersebut akan selalu memotong lingkaran}\end{array}\\ & \mathbf{\text{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 19.& \text{Dua lingkaran dengan persamaan}\\ & \text{lingkaran-lingkaran}{x}^2+y^2+6x-8y+21=0\\ & \text{dan}{x}^2+y^2+10x-8y+25=0\text{adalah}....\\ & \text{a}.\text{berpotongan di luar titik}\\ & \text{b}.\text{tidak berpotongan atau bersinggungan}\\ & \text{c}.\text{bersinggungan luar}\\ & \text{d}.\text{bersinggungan dalam}\\ & \text{e}.\text{sepusat}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan bahwa}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \text{Lingakaran}& \text{Pusat/r}\\ L_1\equiv x^2+y^2+6x-8y+21=0& \{\begin{array}{ll}{P}_1& =(-3,4)\\ r_1& =2\end{array}\\ L_2\equiv x^2+y^2+10x-8y+25=0& \{\begin{array}{ll}{P}_2& =(-5,4)\\ r_2& =4\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{dan}\\ & \begin{array}{|cc|}\hline \text{Jarak kedua pusat}& \text{Jumlah/selisih jari-jari}\\ \begin{array}{rl}& \left(P_1{P}_2\right)\\ & =\sqrt{(-3+5{)}^2+(4-4{)}^2}\\ & =\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4}=2\end{array}& \begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}{r}_1+r_2& =2+4=6\\ |r_1-r_2|& =|2-4|=2\end{array}\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Karena nilai}{P}_1{P}_2=|r_1-r_2|=2\\ & \text{hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan}\\ & \text{di dalam}\\ & \mathbf{\text{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}}\end{array}$ .

$\begin{array}{l}\\ 20.& \text{Dua lingkaran dengan persamaan}\\ & \text{lingkaran-lingkaran}{x}^2+y^2+2x-6y+9=0\\ & \text{dan}{x}^2+y^2+8x-6y+9=0\text{adalah}....\\ & \text{a}.\text{berpotongan}\\ & \text{b}.\text{bersinggungan di dalam}\\ & \text{c}.\text{bersinggungan luar}\\ & \text{d}.\text{tidak berpotongan}\\ & \text{e}.\text{sepusat}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan bahwa}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \text{Lingakaran}& \text{Pusat/r}\\ L_1\equiv x^2+y^2+2x-6y+9=0& \{\begin{array}{ll}{P}_1& =(-1,3)\\ r_1& =1\end{array}\\ L_2\equiv x^2+y^2+8x-6y+9=0& \{\begin{array}{ll}{P}_2& =(-4,3)\\ r_2& =4\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{dan}\\ & \begin{array}{|cc|}\hline \text{Jarak kedua pusat}& \text{Jumlah/selisih jari-jari}\\ \begin{array}{rl}& \left(P_1{P}_2\right)\\ & =\sqrt{(-1+4{)}^2+(3-3{)}^2}\\ & =\sqrt{3^2+0^2}=\sqrt{9}=3\end{array}& \begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}{r}_1+r_2& =1+4=5\\ |r_1-r_2|& =|1-4|=3\end{array}\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Karena nilai}{P}_1{P}_2=|r_1-r_2|=3\\ & \text{hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan}\\ & \text{di dalam}\\ & \mathbf{\text{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Budi, W. S. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sain Nasional/Internasional Matematika 3. Jakarta: ZAMRUD KEMALA.
2. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
3. Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
4. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
5. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
6. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal 3 Materi Lingkaran

 $\begin{array}{l}\\ 11.& \text{Lingkaran}{x}^2+y^2+2ax+2by+c=0\\ & \text{menyinggung sumbu Y jika}c=....\\ & \text{A}.ab\\ & \text{B}.a{b}^2\\ & \text{C}.a^{2}b\\ & \text{D}.a^2\\ & \text{E}.b^2\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \mathbf{\text{Alternatif 1}}\\ & \begin{array}{rl}& x^2+y^2+2ax+2by+c=0\\ & x=0\Rightarrow 0^2+y^2+2a.0+2by+c=0\\ & y^2+2by+c=0\{\begin{array}{ll}a& =1\\ b& =2b\\ c& =c\end{array}\\ & \text{Syarat menyinggung}\text{adalah}:\\ & D=b^2-4ac=0\\ & \iff (2b{)}^2-4.1.c=0\\ & \iff 4c=4b^2\\ & \iff c=b^2\end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Alternatif 2}}\\ & \begin{array}{rl}& x^2+y^2+2ax+2by+c=0\\ & \iff x^2+2ax+a^2+y^2+2by+b^2+c-a^2-b^2=0\\ & \iff (x+a{)}^2+(y+b{)}^2=a^2+b^2-c\\ & \text{Karena menyinggung sumbu-Y, maka}R=a\\ & \text{Sehingga}{R}^2=a^2+b^2-c=a^2\\ & \iff b^2-c=0\\ & \iff b^2=c\\ & \iff c=b^2\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 12.& \text{Diketahui pusat lingkaran L terletak dikuadran}\\ & \text{I dan berada di sepanjang garis}y=2x.\text{Jika}\\ & \text{lingkaran L menyinggung sumbu Y di titik}\\ & (0,6),\text{maka persamaan lingkaran L adalah}....\\ & \text{A}.x^2+y^2-3x-6y=0\\ & \text{B}.x^2+y^2+6x+12y-108=0\\ & \text{C}.x^2+y^2+12x+6y-72=0\\ & \text{D}.x^2+y^2-12x-6y=0\\ & \text{E}.x^2+y^2-6x-12y+36=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& (x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2,\\ & \text{menyinggung titik}(0,6)\\ & \text{berarti pusat lingkaran L juga terletak}\\ & \text{pada garis}y=6.\text{Hal ini menunjukkan bahwa }\\ & \text{pusat lingkaran}\text{L berpusat di}(x,2x)=(\frac{y}{2},y),\\ & \text{dengan}y=6.\text{Dari informasi di atas, }\\ & \text{didapatlah pusat lingkaran berada di titik}(3,6).\\ & \text{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}:\\ & (x-3{)}^2+(y-6{)}^2=3^2\text{ingat}r=\text{absis}x=3\\ & \iff (x-3{)}^2+(y-6{)}^2=x^2-6x+9+y^2+12x+36=9\\ & \iff x^2+y^2-6x+12y+36=0\\ & \text{Berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 13.& \text{Persamaan garis singgung lingkaran}\\ & x^2+y^2+8x-3y-24=0,\text{di titik}\\ & (2,4)\text{adalah}....\\ & \text{A}.12x-5y-44=0\\ & \text{B}.12x+5y-44=0\\ & \text{C}.12x-y-50=0\\ & \text{D}.12x+y-50=0\\ & \text{E}.12x+y+50=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& x^2+y^2+8x-3y-24\\ & \iff x^2+8x+16+y^2-3y+{\displaystyle \frac{9}{4}-24=16+\frac{9}{4}}\\ & \iff (x+4{)}^2+(y-\frac{3}{2}{)}^2=16+\frac{9}{4}+24=42\frac{1}{4}\\ & \text{Persamaan garis singgung lingkar}\text{an lingkaran }\\ & \text{di titik}(x_1,y_1)\text{adalah}:\\ & (x_1+4)(x+4)+(y_1-\frac{3}{2})(y-\frac{3}{2})=42\frac{1}{4},\\ & \text{untuk}(x_1,y_1)=(2,4),\text{maka}\\ & (2+4)(x+4)+(4-\frac{3}{2})(y-\frac{3}{2})=\frac{169}{4}\\ & \iff 6(x+4)+\frac{5}{2}(y-\frac{3}{2})=\frac{169}{4}\\ & \iff 24(x+4)+5(2y-3)=169\\ & \iff 24x+96+10y-15=169\\ & \iff 24x+10y=169-96+15=88\\ & \iff 12x+5y-44=0\\ & \text{Berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 14.& \text{Sebuah garis singgung}g\text{menyinggung }\\ & \text{lingkaran yang berpusat di}(-2,5)\text{dan}\\ & \text{berjari-jari}2\sqrt{10}\text{di titk}(4,3),\text{maka }\\ & \text{persamaan garis singgung}g\text{adalah}....\\ & \text{A}.y=3x+9\\ & \text{B}.y=3x-9\\ & \text{C}.y=-3x+9\\ & \text{D}.y=-3x-9\\ & \text{E}.y=3x+21\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& (x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2\\ & \{\begin{array}{ll}\text{Pusat}& =(-2,5)\\ \text{r}& =2\sqrt{10}\end{array}\\ & \text{maka persamaan lingkarannya}:\\ & (x+2{)}^2+(y-5{)}^2=(2\sqrt{10}{)}^2\\ & \iff (x_1+2)(x+2)+(y_1-5)(y-5)=40,\\ & \text{menyingung garis}g\text{di}(4,3)\\ & (4+2)(x+2)+(3-5)(y-5)=40\\ & \iff 6x+12-2y+10=40\\ & \iff 6x-2y=40-12-10\\ & \iff 3x-y=9\\ & \iff -y=-3x+9\\ & \iff y=3x-9\\ & \text{Berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 15.& \text{Suatu lingkaran dengan titik pusatnya terletak }\\ & \text{pada kurva}y=\sqrt{x}\text{dan melalui titik asal}O(0,0).\\ & \text{Jika diketahui absis titik pusat lingkaran tersebut }\\ & \text{adalah}a,\text{maka persamaan garis singgung }\\ & \text{lingkaran yang melalui titik}O\text{tersebut adalah}....\\ & \text{A}.y=-x\\ & \text{B}.y=-x\sqrt{a}\\ & \text{C}.y=-ax\\ & \text{D}.y=-2x\sqrt{2}\\ & \text{E}.y=-2ax\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{|lcl|}\hline \begin{array}{rl}& \text{Pusat}\\ & \text{lingkaran}\\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Gradien garis singgung}\\ & \text{yang tegak lurus dengan }\\ & \text{garis yang melalui titik}\\ & \text{pusat lingkaran yang }\\ & \text{bergradien}{m}_L\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Persamaan garis }\\ & \text{singgung yang }\\ & \text{melalui titik asal}\\ & O(0,0)\\ & \end{array}\\ \begin{array}{rl}& (a,b)\\ & =(a,\sqrt{a})\\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& m.m_1=-1\\ & m.\frac{y}{x}=-1\\ & m=-\frac{x}{y}=-{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}}\\ & =-\sqrt{a}\end{array}& \begin{array}{rl}y& =mx,\\ & \text{karena melalui}\\ & \text{titik asal}\\ y& =-\sqrt{a}x,\\ y& =-x\sqrt{a}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

Contoh Soal 2 Materi Lingkaran

 $\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Diketahui lingkaran}{x}^2+y^2+4x+ky-12=0\\ & \text{melalui titik}(-2,8)\text{maka jari-jari lingkaran}\\ & \text{tersebut adalah}....\\ & \text{A}.1\\ & \text{B}.5\\ & \text{C}.6\\ & \text{D}.12\\ & \text{E}.25\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui ingkaran berpusat di}(-2,-{\displaystyle \frac{1}{2}k}),\\ & \text{yaitu}:\\ & x^2+y^2+4x+ky-12=0\\ & \text{melalui}(-2,8)\text{berarti }\\ & (-2{)}^2+8^2+4(-2)+k.8-12=0\\ & 4+64-8-12+8k=0\\ & 48+8k=0\\ & k=-6\\ & \text{Sehingga}r=\sqrt{{\displaystyle \frac{4^2}{4}+\frac{(-6{)}^2}{4}-(-12)}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle 4+9+12}}=\sqrt{25}=5\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Persmaan lingkaran}{x}^2+y^2+px+8y+9=0\\ & \text{menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran tersebut }\\ & \text{adalah}....\\ & \text{A}.(6,-4)\\ & \text{B}.(6,6)\\ & \text{C}.(3,-4)\\ & \text{D}.(-6,-4)\\ & \text{E}.(3,4)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Lingkaran}}{x}^2+y^2+px+8y+9=0\\ & \text{maka,}\\ & x^2+px+y^2+8y+9=0\\ & {(x+{\displaystyle \frac{1}{2}p})}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}{p}^2+(y+4{)}^2-16+9=0}\\ & \iff {(x+{\displaystyle \frac{1}{2}p})}^2+(y+4{)}^2=7+{\displaystyle \frac{1}{4}{p}^2}\\ & \text{karena menyinggung sumbu-X,}R=b=4,\\ & \text{sehingga}\\ & 7+{\displaystyle \frac{1}{4}{p}^2=4^2}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1}{4}{p}^2=16-7=9\iff p^2=36\iff p=\pm 6}\\ & p=-6\Rightarrow x^2+y^2-6x+8y+9=0\\ & \Rightarrow \text{pusatnya adalah}(-{\displaystyle \frac{A}{2},-\frac{B}{2}})=(3,-4)\\ & p=6\Rightarrow x^2+y^2+6x+8y+9=0\\ & \Rightarrow \text{pusatnya adalah}(-{\displaystyle \frac{A}{2},-\frac{B}{2}})=(-3,-4)\\ & \text{dan berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Titik-titik berikut yang posisinya berada di luar }\\ & \text{lingkaran}{x}^2+y^2-2x+8y-32=0\text{adalah}....\\ & \text{A}.(0,0)\\ & \text{B}.(-6,-4)\\ & \text{C}.(-3,2)\\ & \text{D}.(3,1)\\ & \text{E}.(4,1)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \begin{array}{|cclc|}\hline \text{Opsi}& \text{Titik}& \text{Lingkaran}& \text{Keterangan}\\ \text{A}& (0,0)& 0^2+0^2-2.0+8.0-32=-32& \text{dalam}\\ \text{B}& (-6,-4)& (-6{)}^2+(-4{)}^2-2(-6)+8(-4)-32=0& \text{pada}\\ \text{C}& (-3,2)& (-3{)}^2+(2{)}^2-2(-3)+8(2)-32=3& \mathbf{\text{di luar}}\\ \text{D}& (3,1)& 3^2+1^2-2.3+8.1-32=-20& \text{dalam}\\ \text{E}& (4,1)& 4^2+1^2-2.4+8.1-32=-15& \text{dalam}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Diketahui garis}x-2y=5\text{memotong lingkaran}\\ & x^2+y^2-4y+8y+10=0\text{di titik A dan B}.\\ & \text{Panjang ruas garis AB adalah}....\\ & \text{A}.4\sqrt{2}\\ & \text{B}.2\sqrt{5}\\ & \text{C}.\sqrt{10}\\ & \text{D}.5\\ & \text{E}.4\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah bahwa garis}x-2y=5\\ & \text{memotong lingkaran}\\ & x^2+y^2-4x+8y+10=0,\\ & \text{maka garis}x=2y+5\text{disubstitusikan ke}\\ & \text{lingkaran tersebut, yaitu}:\\ & (2y+5{)}^2+y^2-4(2y+5)+8y+10=0\\ & 4y^2+20y+25+y^2-8y-20+8y+10=0\\ & 5y^2+20y+15=0\\ & y^2+4y+3=0\\ & (y+1)(y+3)=0\\ & y=-1\vee y=-3\\ & \text{untuk nilai}\\ & y=-3\Rightarrow x=2(-3)+5=-1,A(-1,-3)\\ & y=-1\Rightarrow x=2(-1)+5=3,B(3,-1)\\ & \text{maka},\text{AB}=\sqrt{(3-(-1){)}^2+(-1-(-3){)}^2}\\ & =\sqrt{4^2+2^2}\\ & =\sqrt{16+4}\\ & =\sqrt{20}\\ & =2\sqrt{5}\end{array}\\ & \text{Berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}\end{array}$ .

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Kekhususan persamaan lingkaran}\\ & x^2+y^2-6x-6y+6=0\text{adalah}....\\ & \text{A}.\text{menyinggung sumbu X}\\ & \text{B}.\text{menyinggung sumbu Y}\\ & \text{C}.\text{berpusat di}O(0,0)\\ & \text{D}.\text{titik pusatnya terletak pada}x-y=0\\ & \text{E}.\text{berjari-jari 3}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & x^2+y^2-6x-6y+6=0\\ & x^2-6x+9+y^2-6y+9+6=9+9\\ & (x-3{)}^2+(y-3{)}^2=18-6\\ & (x-3{)}^2+(y-3{)}^2=12\\ & (x-3{)}^2+(y-3{)}^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2\\ & \text{lingkaran ini}\{\begin{array}{ll}\text{Pusat}& =(3,3)\\ \text{Jari-jari}& =2\sqrt{3}\end{array}\\ & \begin{array}{|clc|}\hline \text{Opsi}& \text{Pernyataan}& \text{Keterangan}\\ \text{A}& \text{menyinggung sumbu X}& \text{tidak tepat}\\ \text{B}& \text{menyinggung sumbu Y}& \text{tidak tepat}\\ \text{C}& \text{berpusat di}O(0,0)& \text{tidak tepat}\\ \text{D}& \text{titik pusatnya terletak pada garis}x-y=0& \mathbf{\text{tepat}}\\ \text{E}& \text{berjari-jari 3}& \text{tidak tepat}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}\end{array}$.