Lanjutan Materi Fungsi Logaritma

 $\color{blue}\textrm{B. Sifat-Sifat Logaritma}$

Jika syarat logaritma memenuhi untuk bilangan yang diposisikan sebagai basis dan numerus, maka akan berlaku sifat-sifat loaritma berikut:

$\color{purple}\begin{aligned}(1)\quad&a^{{^{a}}\textrm{log b}}=b\\ (2)\quad&^{a}\log (b.c)=\: ^{a}\log b+\: ^{a}\log c\\ (3)\quad&^{a}\log \left ( \displaystyle \frac{b}{c} \right )=\: ^{a}\log b-\: ^{a}\log c\\ (4)\quad&^{a}\log b=\: \displaystyle \frac{^{x}\log b}{^{x}\log c}\\ (5)\quad&^{a}\log b=\: \displaystyle \frac{1}{^{b}\log a}\\ (6)\quad&^{a}\log b=n\Rightarrow \: ^{b}\log a=\displaystyle \frac{1}{n}\\ (7)\quad&^{a^{m}}\log b^{n}=\displaystyle \frac{n}{m}\times \: ^{a}\log b\\ (8)\quad&^{a}\log b\times \: ^{b}\log c\times \: ^{c}\log p=\: ^{a}\log p\\ (9)\quad&^{a}\log a=1\\ (10)\quad&^{a}\log a^{n}=\: n\\ (11)\quad&^{a}\log 1=\: 0\\ (12)\quad&^{.}\log b=\: ^{10}\log b\\ \end{aligned}$

ada yang tak kalah penting untuk diketahui walaupun kadang sebagian orang menganggap tidak perlu dituliskan, di sini saya tuliskan, yaitu:

$\color{blue}\begin{aligned}(\textrm{a})\quad&\log 2=0,3010\\ (\textrm{b})\quad&\log 3=0,4771\\ (\textrm{c})\quad&\log 5=0,6990\\ (\textrm{d})\quad&\log 7=0,8451\\ \end{aligned}$

$\LARGE\color{blue}\fbox{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&^{2}\log 3+\: ^{2}\log 8-\: ^{2}\log 24=...\: .\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}^{2}\log 3+\: ^{2}\log 8-\: ^{2}\log 24&=\: ^{2}\log \left ( \displaystyle \frac{3\times 8}{24} \right )\\ &=\: ^{2}\log 1\\ &=\: ^{2}\log 2^{0}\\ &=0 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&^{2}\log 12+\: ^{2}\log 8-\: ^{2}\log 24=...\: .\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}^{2}\log 12+\: ^{2}\log 8-\: ^{2}\log 24&=\: ^{2}\log \left ( \displaystyle \frac{12\times 8}{24} \right )\\ &=\: ^{2}\log 4\\ &=\: ^{2}\log 2^{2}\\ &=2 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui}\: \: ^{3}\log 7=a,\: \: ^{5}\log 2=b,\: \: \textrm{dan}\: \: ^{2}\log 3=c\\ &\textrm{Nyatakanlah logaritma berikut dalam bentuk}\: \: a,\: b,\: \textrm{dan}\: \: c,\: \: \textrm{yaitu}:\\ &\textrm{a}.\quad ^{7}\log 3\\ &\textrm{b}.\quad ^{4}\log 5\\ &\textrm{c}.\quad ^{21}\log 5\\ &\textrm{d}.\quad ^{6}\log 7\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}&\\ ^{7}\log 3&=\displaystyle \frac{1}{^{3}\log 7}\\ &=\displaystyle \frac{1}{a}\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}^{4}\log 5&=\displaystyle \frac{1}{^{5}\log 4}\\ &=\displaystyle \frac{1}{^{5}\log 2^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2\: ^{5}\log 2}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2b} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\\ ^{21}\log 5&=\displaystyle \frac{^{...}\log 5}{^{...}\log 21}\\ &=\displaystyle \frac{^{2}\log 5}{^{2}\log 21}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{^{5}\log 2}}{\displaystyle \frac{^{3}\log 21}{^{3}\log 2}}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{^{5}\log 2}}{\displaystyle \frac{^{3}\log 3\times 7}{^{3}\log 2}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{bc(1+a)} \end{aligned}&\begin{aligned}&\\ ^{6}\log 7&=\displaystyle \frac{^{3}\log 7}{^{3}\log 6}\\ &=\displaystyle \frac{^{3}\log 7}{^{3}\log 2\times 3}\\ &=\displaystyle \frac{^{3}\log 7}{^{3}\log 2+\: ^{3}\log 3}\\ &=\displaystyle \frac{^{3}\log 7}{\displaystyle \frac{1}{^{2}\log 3}+\: ^{3}\log 3}\\ &=\displaystyle \frac{a}{\displaystyle \frac{1}{c}+1}\\ &=\displaystyle \frac{ac}{1+c}\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: \: ^{4}\log 5=a\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Carilah nilai}\: \: \: ^{4}\log 10\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Tunjukkan bahwa}\: \: \: ^{0,1}\log 1,25=\displaystyle \frac{2-2a}{2a+1}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}&\\ ^{4}\log 10&=\: ^{4}\log (2\times 5)\\ &=\: ^{4}\log 2+\: ^{4}\log 5\\ &=\: ^{2^{2}}\log 2+\: a\\ &=\: \displaystyle \frac{1}{2}.\: ^{2}\log 2+\: a\\ &=\: \displaystyle \frac{1}{2}+a\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\\ &^{0,1}\log 1,25\\ &=\displaystyle \frac{^{4}\log 1,25}{^{4}\log 0,1}\\ &=\displaystyle \frac{^{4}\log \displaystyle \frac{125}{100}}{^{4}\log \displaystyle \frac{1}{10}}\\ &=\displaystyle \frac{^{4}\log 125-\: ^{4}\log 100}{^{4}\log 10^{-1}}\\ &=\displaystyle \frac{^{4}\log 5^{3}-\: ^{4}\log 10^{2}}{-\: ^{4}\log 10}\\ &=\displaystyle \frac{3.\: ^{4}\log 5-\: 2.\: ^{4}\log 10}{-\: ^{4}\log 10}\\ &=\displaystyle \frac{3a-2\left ( \displaystyle \frac{1}{2}+a \right )}{-\left ( \displaystyle \frac{1}{2}+a \right )}\\ &=\displaystyle \frac{a-1}{-a-\displaystyle \frac{1}{2}}\times \displaystyle \frac{-2}{-2}\\ &=\displaystyle \frac{2-2a}{2a+1}\qquad \blacksquare \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Jika}\: \: ^{2017}\log \displaystyle \frac{1}{x}=\: ^{x}\log \displaystyle \frac{1}{y}=\: ^{y}\log \displaystyle \frac{1}{2017}\\ &\textrm{maka hasil dari}\: \: \left ( 2x-3y \right )\\\\ &\textrm{Jawab}:\\\\ &\color{blue}\begin{aligned}^{2017}\log \displaystyle \frac{1}{x}&=\: ^{x}\log \displaystyle \frac{1}{y}=\: ^{y}\log \displaystyle \frac{1}{2017}\\ ^{2017}\log \displaystyle \frac{1}{x}&=\: ^{y}\log \displaystyle \frac{1}{2017}\\ ^{2017}\log \displaystyle x^{-1}&=\: ^{y}\log \displaystyle (2017)^{-1}\\ -\:\: ^{2017}\log x&=-\: \: ^{y}\log 2017\\ ^{2017}\log x&=\: ^{y}\log 2017\\ &\textrm{dipenuhi saat}\\ x&=y=2017 \end{aligned}\\\\ &(2x-3y)=2x-3x=-x=-2017 \end{array}$

Fungsi Logaritma

$\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

Logaritma merupakan invers(balikan) dari perpangkatan

Secara definisi:

$\LARGE\color{purple}\boxed{a^{c}=b\Rightarrow ^{a}\log b=c}$, tetapi di sini diberikan syarat bahwa bilangan basis/dasar perpangkatannya harus berupa bilangan real positif dan tidak sama dengan satu serta bilangan pangkatnya(ekponen) harus berupa bilangan real positif juga.

Perhatikanlah ringkasannya

$^{a}\log b=c\: \: \: \begin{cases} a & \textrm{syaratnya}:a> 0,\: a\neq 1 \\ &\color{magenta}\textrm{selanjutnya disebut basis}\\ b & \textrm{syaratnya}:b>0 \\ & \color{magenta}\textrm{selanjutnya disebut}\: \: \color{blue}\textbf{numerus}\\ c&\textrm{tidak ada syarat apapun}\\ &\color{magenta}\textrm{selanjutnya disebut hasil logaritma} \end{cases}$

Contoh berikut adalah mengubah bentuk perpangkatan ke dalam logaritma yang memenuhi persyaratan

$\color{purple}\begin{aligned} (1)\quad&2^{4}=16\Rightarrow \: ^{2}\log 16=4\\ (2)\quad&2^{3}=8\Rightarrow \: ^{2}\log 8=3\\ (3)\quad&2^{2}=4\Rightarrow \: ^{2}\log 4=2\\ (4)\quad&2^{1}=2\Rightarrow \: ^{2}\log 2=1\\ (5)\quad&2^{0}=1\Rightarrow \: ^{2}\log 1=0\\ (6)\quad&2^{-1}=\displaystyle \frac{1}{2}=0,5\Rightarrow \: ^{2}\log \displaystyle \frac{1}{2}=-1\\ (7)\quad&2^{-2}=\displaystyle \frac{1}{4}=0,25\Rightarrow \: ^{2}\log \displaystyle \frac{1}{4}=-2\\ (8)\quad&2^{-3}=\displaystyle \frac{1}{8}=0,125\Rightarrow \: ^{2}\log \displaystyle \frac{1}{8}=-3\\ (9)\quad&2^{-4}=\displaystyle \frac{1}{16}=0,0625\Rightarrow \: ^{2}\log \displaystyle \frac{1}{16}=-4\\ \end{aligned}$

Berikut contoh kebalikan di atas yang tidak memenuhi definisi logaritma yang ada, yaitu:

$\color{blue}\begin{aligned} (1)\quad&(-2)^{4}=16\Rightarrow \: ^{(-2)}\log 16=\cdots \\ (2)\quad&(-2)^{3}=-8\Rightarrow \: ^{(-2)}\log (-8)=\cdots \\ (3)\quad&(-2)^{2}=4\Rightarrow \: ^{(-2)}\log 4=\cdots \\ (4)\quad&(-2)^{1}=-2\Rightarrow \: ^{(-2)}\log (-2)=\cdots \\ (5)\quad&(-2)^{0}=1\Rightarrow \: ^{(-2)}\log 1=\cdots \\ (6)\quad&(-2)^{-1}=-\displaystyle \frac{1}{2}\Rightarrow \: ^{(-2)}\log \left (-\displaystyle \frac{1}{2} \right )=\cdots \\ (7)\quad&(-2)^{-2}=\displaystyle \frac{1}{4}\Rightarrow \: ^{(-2)}\log \displaystyle \frac{1}{4}=\cdots \\ (8)\quad&(-2)^{-3}=-\displaystyle \frac{1}{8}\Rightarrow \: ^{(-2)}\log \left (-\displaystyle \frac{1}{8} \right )=\cdots \\ (9)\quad&(-2)^{-4}=\displaystyle \frac{1}{16}\Rightarrow \: ^{(-2)}\log \displaystyle \frac{1}{16}=\cdots \\ \end{aligned}$

Statistika (Matematika Wajib kelas XII)

 $\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

$\color{purple}\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{No}&\: \: \: \textrm{Istilah}&\textrm{Pengertian}\\\hline 1.&\textrm{Statistika}&\textrm{Cabang ilmu tentang cara mengumpulkan,} \\ &&\textrm{menyusun, penyajian, dan}\\ &&\textrm{penganalisaan dari suatu data}\\\hline 2.&\textrm{Statistik}&\textrm{Data yang telah tersusun ke dalam}\\ &&\textrm{daftar atau diagram}\\\hline 3.&\textrm{Populasi}&\textrm{Keseluruhan objek dari hasil penelitian}\\ &&\textrm{yang memenuhi syarat tertentu}\\\hline 4.&\textrm{Sampel}&\textrm{Bagian dari populasi yang dapat mewakili}\\ &&\textrm{seluruh populasi}\\\hline \end{array}$

Sebagai tambahan penjelasan

$\color{purple}\begin{array}{|l|l|}\hline .\: \: \: \: \: \qquad \textrm{Istilah}&\textrm{Pengertian dan atau Penjelasan}\\\hline \textrm{Statistika}&\textrm{Lihat pengertian di atas}\\ \textrm{Statistik}&\textrm{Hasil pengolahan data}\\ \textrm{Statistika deskriptif}&\textrm{Statistika baik yang berkenaan dengan}\\ &\textrm{kegiatan pengumpulan, penyajian},\\ & \textrm{penyederhanaan atau penganalisaan},\\ & \textrm{serta penentuan khusus dari suatu data}\\ & \textrm{tanpa penarikan suatu kesimpulan}\\ \textrm{populasi}&\textrm{Keseluruhan objek yang akan diteliti}\\ \color{magenta}\textrm{Sampel (Contoh)}&\color{magenta}\textrm{Bagian dari populasi yang diamati}\\ \textrm{Data}&\textrm{Kumpulan dari datum}\\ \textrm{Datum}&\textrm{Informasi atau catatan keterangan dari}\\ & \textrm{penelitian}\\ \textrm{Data kualitatif}&\textrm{Data yang menunjukkan sifat atau}\\ & \textrm{kondisi objek}\\ \textrm{Data kuantitatif}&\textrm{Data yang menunjukkan jumlah objek}\\ \textrm{Data ukuran}&\textrm{Data yang diperoleh dengan cara}\\ \textrm{(Data kontinu)}& \textrm{mengukur besaran objek}\\ \textrm{Data cacahan}&\textrm{Data yang diperoleh dengan cara}\\ \textrm{(Data diskrit)}& \textrm{mencacah, membilang atau menghitung}\\ &\textrm{banyak objek}\\\hline \end{array}$

$\color{blue}\textrm{B. Penyajian Data}$

$\color{purple}\begin{cases} 1.&\textrm{Daftar bilangan} \\ 2.&\textrm{Tabel distribusi frekuensi} \\ 3.&\textrm{Diagram batang} \\ 4.&\textrm{Diagram garis} \\ 5.&\textrm{Diagram lingkaran} \\ 6.&\textrm{Piktogram} \\ 7.&\textrm{Histogram} \\ 8.&\textrm{Poligon distribusi frekuensi} \\ 9.&\textrm{Ogive} \end{cases}$

$\color{blue}\textrm{C. Data Tunggal}$

$\color{blue}\textrm{C. 1 Ukuran Pemusatan Data (Tendesi Sentral)}$

$\color{purple}\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Nilai}&\textrm{Ukuran Pemusatan Data}\\\hline 1.&\textrm{Mean}\: \: \left ( \bar{x} \right )&\bar{x}=\displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}}{n}\\\hline 2.&\textrm{Median}\: \: \left (M_{e} \right )&\begin{cases} \textrm{Ganjil} & M_{e}=x_{\frac{n+1}{2}} \\ \textrm{Genap} & M_{e}=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1} \right ) \end{cases}\\\hline 3.&\textrm{Modus}\: \: \left ( M_{o} \right )&\textrm{Nilai yang sering muncul}\\\hline 4.&\textrm{Kuartil}\: \: \left ( Q \right )&\begin{cases} \textrm{Ganjil} &\begin{cases} Q_{1}= & x_{\frac{1}{4}(n+1)}\\ Q_{2}= & x_{\frac{2}{4}(n+1)}\\ Q_{3}= & x_{\frac{3}{4}(n+1)} \end{cases} \\\\ \textrm{Genap} & \begin{cases} Q_{1}= & x_{\frac{1}{4}n+\frac{1}{2}}\\ Q_{2}= & x_{\frac{2}{4}n+\frac{1}{2}}\\ Q_{3}= & x_{\frac{3}{4}n+\frac{1}{2}} \end{cases} \end{cases}\\\hline \end{array}$

$\color{blue}\textrm{C. 2 Ukuran Penyebaran Data (Dispersi)}$

$\color{purple}\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Nilai}&\textrm{Ukuran Penyebaran Data}\\\hline 1.&\textrm{Jangkauan}\: \: \left ( J \right )&J=R\\ &\textrm{atau Rentang}\: \: (R)&=x_{datum\: max}-x_{datum\: min}\\\hline 2.&\textrm{Hamparan}\: \: (H)&\\ &\textrm{Atau Jangkauan}&H=Q_{3}-Q_{1}\\ &\textrm{antar kuartil}&\\\hline 3.&\textrm{Simpangan}&Q_{d}=\displaystyle \frac{1}{2}H\\ &\textrm{Kuartil}\: \: \left (Q_{d} \right )&\\\hline 4.&\textrm{Langkah}\: \: \left ( L \right )&L=\displaystyle \frac{3}{2}H\\\hline 5.&\textrm{Pagar}&\begin{cases} \textrm{Dalam} &=Q_{1}-L \\ \textrm{Luar} &=Q_{3}+L \end{cases}\\\hline 6&\textrm{Data}&\begin{cases} &\textrm{Normal} \\ &:Q_{1}-L\leq x_{i}\leq Q_{3}+L \\ &\textrm{Tidak Normal} \\ &:\begin{cases} x_{i}<Q_{1}-L \\ x_{i}>Q_{3}+L \end{cases} \end{cases}\\\hline 7.&\textrm{Simpangan}&SR=\displaystyle \frac{\sum \left | x_{i}-\bar{x} \right |}{n}\\ &\textrm{Rata-rata}\: \: (SR)&\\\hline 8.&\textrm{Ragam}\: \: \left ( s^{2} \right )&s^{2}=\displaystyle \frac{\sum \left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n}\\ &\textrm{atau Varian}&\\\hline 9.&\textrm{Simpangan}&s=\sqrt{s^{2}}\\ &\textrm{Baku}\: \: (s)&\\\hline \end{array}$

$\color{blue}\textrm{D. Data Berkelompok}$

Untuk tipe ini antara lain

$\begin{cases} \textrm{(1) Mean},& \bar{\textrm{x}}=\bar{x}_{s}+\displaystyle \frac{\sum f_{i}.d_{i}}{\sum f_{i}} \\\\ \textrm{(2) Modus},& \textrm{M}_{o}=t_{p}+\displaystyle p\left ( \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right ) \\\\ \textrm{(3) Kuartil},& \textrm{Q}_{i}=t_{p}+\displaystyle p\left ( \frac{\displaystyle \frac{i.n}{4}-\sum f_{i}}{f_{b}} \right ) \end{cases}$

Berikut keterangannya untuk beberapa istilah pada formula di atas baik poin 1, poin 2, maupun poin 3

$\begin{cases} \begin{aligned}&(1)\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{array}{|l|}\hline \begin{aligned}\bar{x}_{s}=&\textrm{rataan sementara}\\ x_{i}=&\textrm{titik tengahinterval}\\ &\textrm{kelas ke}-i\\ d_{i}=&x_{i}-\bar{x}_{s}\\ f_{i}=&\textrm{frekuensi kelas ke}-i\\ \end{aligned}\\\hline \end{array} \\\\ \begin{aligned}&(2)\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{array}{|l|}\hline \begin{aligned}t_{p}=&\textrm{tepi bawah kelas modus}\\ p=&\textrm{panjang interval kelas}\\ d_{1}=&f_{0}-f_{-1}\\ d_{2}=&f_{0}-f_{+1}\\ f_{0}=&\textrm{frekuensi kelas modus}\\ f_{-1}=&\textrm{frekuensi sebelum kelas modus}\\ f_{+1}=&\textrm{frekuensi setelah kelas modus} \end{aligned}\\\hline \end{array} \\\\ \begin{aligned}&(3)\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{array}{|l|}\hline \begin{aligned}tp=&\textrm{tepi bawah kuartil ke}-i\\ p=&\textrm{panjang interval kelas}\\ n=&\textrm{banyaknya data}\\ \sum f_{i}=&\textrm{jumlah semua frekuensi}\\ &\textrm{sebelum kelas kurtil ke}-i\\ f_{q}=&\textrm{frekuensi kelas kuartil ke}-i\\ Q_{i}=&\textrm{kuartil ke}-i\\ Q_{1}=&\textrm{kuartil bawah}\\ Q_{2}=&\textrm{kuatil tengah/median}\\ Q_{3}=&\textrm{kuatil atas} \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{cases}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Johanes, Kastolan, dan Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial Kurikulum Berbasis Kompetensi 2004. Jakarta: Yudistira
2. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung SEWU.
3. Sobirin. 2006. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 2 IPA. Jakarta: Kawan Pustaka.
4. Tampomas, H. 1999. Seribu Pena Matematika SMU Jilid 2 Kelas 2. Jakarta: Erlangga.
5. Wirodikromo, S. 2007. Matematika untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga.

Lanjutan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (Matematika Wajib Kelas X)

 $\color{blue}\textrm{2. Metode determinan Matriks}$

Perhatikan kemabil bentuk SPLDV dan SPLTV berikut:

$\color{blue}\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{cases}$ 

dan

$\color{blue}\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\ a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} \\ a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} \end{cases}$

Metode determinat matriks adalah penyelesaian nilai tidap variabel dengan menggunakan determinan berikut:

Misalkan saja diberikan:

$\color{purple}\begin{aligned}&\color{blue}\begin{aligned}ax+by&=p\\ cx+dy&=q \end{aligned}\\\\ &\textrm{dan}\\\\ &\color{blue}\begin{aligned}ax+by+cz&=r\\ dx+ey+fz&=s\\ gx+hy+iz&=t \end{aligned}\\ \end{aligned}$

maka penyelesaian dengan model matriks adalah:

$\color{purple}\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Metode}&\textbf{SPLDV}&\textbf{SPLTV}\\\hline \textrm{Determinan}&\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} p & b\\ q & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}}\\ &\textrm{dan}\\ y&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} a & p\\ c & q \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} r & b & c\\ s & e & f\\ t & h & i \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}}\\ &\textrm{dan}\\ y&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} a & r & c\\ d & s & f\\ g & t & i \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}}\\ &\textrm{serta}\\ z&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} a & b & r\\ d & e & s\\ g & h & t \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}} \end{aligned}\\\hline \end{array}$

Sebagai catatan:

$\color{purple}\begin{aligned}&\color{blue}\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=\color{black}ad-bc\\ &\textrm{dan}\\ &\color{blue}\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}=\color{red}a\color{black}\begin{vmatrix} e & f\\ h & i \end{vmatrix}-\color{red}b\color{black}\begin{vmatrix} d & f\\ g & i \end{vmatrix}+\color{red}c\color{black}\begin{vmatrix} d & e\\ g & h \end{vmatrix} \end{aligned}$

$\LARGE\color{magenta}\fbox{CONTOH SOAL}$

Mari kita buka lagi contoh sebelumnya dengan soal yang sama di SINI

dan kearang penyelesaian dari soal tersebut akan diselesaikan dengan cara determinan matriks (cara Cramer sesuai nama penemunya) berikut:

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(cara Cramer) SPLDV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x-y & =7 \\ x-y & =-1 \end{cases}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\color{black}\begin{aligned}\color{red}x&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 7 & -1\\ -1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{7(-1)-(-1).(-1)}{2.(-1)-(-1).1}\\ &=\displaystyle \frac{-7-1}{-2+1}=\frac{-8}{-1}=8\\ \color{red}y&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 7\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{2(-1)-(7).1}{2.(-1)-(-1).1}\\ &=\displaystyle \frac{-2-7}{-2+1}=\frac{-9}{-1}=9\\ \textrm{J}&\textrm{adi}\: \: \color{red}(x,y)=(8,9) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(cara Cramer) SPLTV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x-y+z & =-4 \\ 2x-y-2z & =-3\\ x+3y-z&=0 \end{cases}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\color{black}\begin{aligned}\color{red}x&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} -4 & -1&1\\ -3 & -1&-2\\ 0&3&-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1&1\\ 2 & -1&-2\\ 1&3&-1 \end{vmatrix}}\\ \color{red}x&=\displaystyle \frac{-4\begin{vmatrix} -1&-2\\ 3&-1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} -3 & -2\\ 0 & -1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} -3 & -1\\ 0 & 3 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} -1 & -2\\ 3 & -1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 2 & -2\\ 1 & -1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 3 \end{vmatrix}} \\ &=\displaystyle \frac{-4(1+6)+1(3-0)+1(-9-0)}{2(1+6)+1(-2+2)+1(6+1)}\\ &=\displaystyle \frac{-28+3-9}{14+0+7}\\ &=\frac{-34}{21}\\ \color{red}y&=.... \\ \color{red}z&=....\\ \textrm{J}&\textrm{adi}\: \: \color{red}(x,y,y)=\left ( -\displaystyle \frac{34}{21},\frac{3}{7},-\frac{1}{3} \right ) \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Johanes, Kastola & Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (Matematika Wajib Kelas X)

$\color{blue}\textrm{A. Sistem Persamaan Linear}$

Sistem persamaan linear adalah adalah kumpulan dari beberapa persamaan linear di mana koefisien-koefisien persamaannya berupa bilangan real dan anatar variabel saling ada keterkaitan

$\color{black}\textrm{1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel}$

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel yang selanjutnya disingkat dengan SPLDV memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\color{blue}\begin{aligned}&\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{matrix}\right. \end{aligned}$

Keterangan:

• $\color{red}x,y\: \: \color{blue}\textrm{adalah variabel}$.
• $\color{red}a_{1},a_{2}\: \: \color{blue}\textrm{koefisien}\: \: x$
• $\color{red}b_{1},b_{2}\: \: \color{blue}\textrm{koefisien}\: \: y$.
• $\color{red}c_{1},c_{2}\: \: \color{blue}\textrm{adalah konstanta}$.
• $\color{red}a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c_{1},\: \: \color{blue}\textrm{dan}\: \: \color{red}c_{2}\: \: \color{blue}\textrm{adalah bilangan riil}$.

$\color{black}\textrm{2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel}$

$\begin{array}{l}\\ \underline{\color{blue}\textbf{Bentuk Umum}}&:\\ &\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2} \\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3} \end{cases}\\\\ \qquad \quad \textbf{Keterangan}&\bullet \quad \color{red}a_{1},\: a_{2},\: a_{3},\\ &\, \: \: \quad \color{red}b_{1},\: b_{2},\: b_{3},\\ &\, \: \: \quad \color{red}c_{1},\: c_{2},\: c_{3},\\ &\, \: \: \quad \color{red}d_{1},\: d_{2},\: d_{3}\\ &\: \: \quad \color{blue}\textrm{semuanya adalah bilangan real} \end{array}$

$\color{blue}\textrm{B. Penyelesaian Sistem persamaan Linear}$

Menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan linear baik yang terdiri dari dua variabel ataupun tiga variabel adalah menentukan pasangan koordinat yang memenuhi sistem persamaan tersebut di bilangan riil. Adapun cara menyelesaikan sistem persamaan linear ini

• Metode Substitusi
• Metode Eliminasi
• Metode Eliminasi-Substitusi 
• Metode Determinan Matrik
• Metode Invers Matrik (Matrik Persegi minimal ordo 2x2)

$\color{blue}\textrm{1. Metode Eliminasi-Substitusi}$

Adapun langkah-langkah dalam penyelesaian model tipe ini (Metode Substitusi dan Metode Eliminasi mengikuti karena prosesnya terangkum di langkah gabungan ini) adalah:

• buatlah dua buah kelompok persamaan yang memungkinkan dapat disederhanakan (kalau bisa ambil yang termudah dan sederhana menurut Anda)
• Salah satu variabel dihilangkan dengan cara menyamakan koefisien variabel yang bersangkutan kemudian mengeliminasikan dengan persamaan linear yang dipilih pada langkat pertama tadi.
• Nilai variabel yang didapatkan disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan pada langkah pertama tadi juga.
• Jika diperlukan lagi, prinsipnya kembali pada poin pertama tadi

$\LARGE\color{magenta}\fbox{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah penyelesaian SPLDV dari}\\ &\begin{cases} 2x-y=7 \\ x-y=-1 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Mis}&\textrm{alkan}\\ &\begin{cases} 2x-y=7&.....(1) \\ x-y=-1&.....(2) \end{cases}\\ &\color{red}\begin{aligned}&\textrm{dari persamaan}\: (2)\: \textrm{didapatkan}\\ &\color{blue}x=y-1.\: \color{red}\textrm{Bentuk ini kemudian}\\ &\textrm{kita substitusikan ke}\\ &\textrm{persamaan}\: \: (1). \end{aligned}\\ &\color{blue}\begin{aligned}2x-y&=7\\ 2\left ( y-1 \right )-y&=7\\ 2y-2-y&=7\\ y&=9\quad .....(3)\\ \color{red}\textrm{Selanjutnya}&\: \color{red}\textrm{nilainya kita}\\ \color{red}\textrm{substitusikan ke}&\: \color{red}\textrm{persamaan}\: \: (2)\\ x&=y-1\\ x&=9-1\\ x&=8 \end{aligned} \\ &\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Sehingga},\\ &\begin{cases} x =8 \\ y =9 \end{cases}\\ &\color{blue}\textrm{Jadi, HP}=\left \{ (8,9) \right \} \end{aligned}\\ \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah penyelesaian SPLDV dari}\\ &\begin{cases} 2x-y+z=-4 \\ 2x-y-2z=-3\\ x+3y-z=0 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Per}&\textrm{hatikan misal}\\ &\color{blue}\begin{cases} 2x-y+z=-4..........(1) \\ 2x-y-2z=-3........(2)\\ x+3y-z=0.............(3) \end{cases}\\ &\color{red}\begin{aligned}&\textrm{dari persamaan}\: (2)\: \textrm{didapatkan}\\ &\color{blue}2x-y=2z-3.\: \color{red}\textrm{Bentuk ini}\\ &\textrm{kita substitusikan ke}\\ &\textrm{persamaan}\: \: (1). \end{aligned} \\ &\color{blue}\begin{aligned}2x-y+z&=-4\\ (2z-3)+z&=-4\\ 3z&=-1\\ z&=-\frac{1}{3}\quad .....(4)\\ \color{red}\textrm{Selanjutnya}&\: \color{red}\textrm{nilai tersebut kita}\\ \color{red}\textrm{substitusikan ke}&\: \color{red}\textrm{pers.}\: \: (2)\: \textrm{dan}\: (3)\\ \end{aligned}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{cases} 6x-3y=-11.....(2) \\ x+3y=-\frac{1}{3}.....(3) \end{cases} \end{aligned}\\ &\color{red}\begin{aligned}&\textrm{dengan cara seperti}\\ &\textrm{poin 1.a kita akan}\\ &\textrm{mendapatkan nilai}\\ \color{blue}x&\color{blue}=-\frac{34}{21}\: \color{red}\textrm{dan}\\ \color{blue}y&\color{blue}=\frac{3}{7} \end{aligned} \\ &\color{blue}\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Sehingga},\\ &\begin{cases} x =-\frac{34}{21} \\ y =\frac{3}{7}\\ z=-\frac{1}{3} \end{cases}\\ &\textrm{HP}=\left \{ \left ( -\frac{34}{21},\frac{3}{7},-\frac{1}{3} \right ) \right \} \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

SUMBER BELAJAR MATEMATIKA Tingkat SMA/MA atau Sederajat

Matematika wajib kelas X revisi 2017 .pdf

Matematika wajib kelas XI revisi 2017. pdf

Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonomometri (Bagian 1)

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah partikel bergerak menurut}\: \: f(t)=3\sin \displaystyle \frac{1}{6}t\\ &\textrm{(dalam cm)}.\: \textrm{Posisi partikel saat}\: \: t=5\pi \: \: \textrm{detik adalah}\\ &....\: \: \textrm{cm}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&-\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{3}\\ \textrm{b}.&-\displaystyle \frac{3}{2}\\ \color{red}\textrm{c}.&\displaystyle \frac{3}{2}\\ \textrm{d}.&\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{2}\\ \textrm{e}.&\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{3} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}f(t)&=3\sin \displaystyle \frac{1}{6}t\\ \textrm{posi}&\textrm{si benda saat}\: \: t=5\pi\: \: \textrm{detik adalah}:\\ f(5\pi)&=3\sin \displaystyle \frac{1}{6}(5\pi)\\ &=3\sin \displaystyle \frac{5}{6}\pi\\ &=3\sin 150^{\circ}\\ &=3\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )\\ &=\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Sebuah objek bergerak melingkar mengikuti rumus}\\ &f(t)=-2\sin t\: \: \textrm{pada waktu}\: \: t.\: \textrm{Fungsi kecepatan}\\ &\textrm{dari benda tersebut adalah}....\: \: \textrm{cm}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&-2\cos 2t\\ \color{red}\textrm{b}.&-2\cos t\\ \textrm{c}.&-\cos 2t\\ \textrm{d}.&\cos t\\ \textrm{e}.&2\cos t \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\begin{aligned}f(t)&=-2\sin t\\ \textrm{fun}&\textrm{gsi kecepatannya adalah}:\\ v(t)&=f'(t)=-2\cos t \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Kedudukan sebuah partikel yang bergerak}\\ &\textrm{mengikuti model}\: \: f(t)=\cos 5t\: \: \textrm{(dalam cm)}\\ &\textrm{pada saat}\: \: t=\pi \: \: \textrm{detik adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&\textrm{1 cm di bawah sumbu horizontal}\\ \textrm{b}.&\textrm{1 cm di atas sumbu horizontal}\\ \textrm{c}.&\textrm{5 cm di bawah sumbu horizontal}\\ \textrm{d}.&\textrm{5 cm di atas sumbu horizontal}\\ \textrm{e}.&\textrm{tepat pada sumbu horizontal} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\begin{aligned}f(t)&=\cos 5t\\ \textrm{kedu}&\textrm{dukannya adalah}:\\ f\left ( \pi \right )&=\cos 5(\pi )\\ &=\cos \pi \\ &=-1 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Kedudukan sebuah partikel yang bergerak}\\ &\textrm{mengikuti rumus}\: \: f(t)=2\sin t+\cos \displaystyle \frac{1}{2}t\\ &\textrm{Selang waktu berikut yang menunjukkan}\\ &\textrm{posisi partikel di bawah sumbu X dan}\\ &\textrm{bergerak naik adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&0<t<\displaystyle \frac{1}{2}\pi \\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{1}{2}\pi <t<\pi \\ \textrm{c}.&\displaystyle \frac{1}{2}\pi <t<\displaystyle \frac{3}{2}\pi \\ \color{red}\textrm{d}.&\pi <t<\displaystyle \frac{3}{2}\pi \\ \textrm{e}.&\displaystyle \frac{3}{2}\pi <t<2\pi \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\begin{aligned}f(t)&=2\sin t+\cos \displaystyle \frac{1}{2}t\\ \textrm{kedu}&\textrm{dukannya adalah}:\\ \end{aligned} \end{array}$

Lanjutan Materi Turunan Fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui suatu gelombang bergerak teratur}\\ &\textrm{sebagaimana gambar berikut} \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{l}\\ &\textrm{Gelombang tersebut pada waktu}\: \: t\: \: \textrm{detik mengikuti}\\ &\textrm{rumus}\: \: \: y=f(t)=2\sin \displaystyle \frac{1}{2}\pi t.\: \textrm{Dan diketahui pula cepat}\\ &\textrm{rambat gelomnya dapat dinyatakan dalam}\\ &v_{t}=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}\: \: \textrm{dengan}\: \: h\neq 0,\: \textrm{tentukanlah}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{posisi gelombang pada ketika}\: \: t=1,5\: \: \textrm{detik}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{rumus cepat rambat gelombang pada saat}\: \: t\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{cepat rambat gelombang saat}\: \: t=2\displaystyle \frac{1}{2}\: \: \textrm{detik} \end{array}$

$.\: \: \: \: \color{purple}\quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.\quad&\textrm{Posisi gelombang saat}\: \: t=1,5=\displaystyle \frac{3}{2}\: \: \textrm{detik}\\ &f(1,5)=2\sin \displaystyle \frac{1}{2}\pi \left ( \frac{3}{2} \right )\\ &f(1,5)=2\sin \displaystyle \frac{3}{4}\pi =2\sin 135^{\circ}=2\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )=\sqrt{2}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Cepat rambat gelombang saat}\: \: t\: \: \textrm{detik}\\ &v_{t}=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}\\ &\quad =\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{2\sin \displaystyle \frac{1}{2}\pi (t+h)-2\sin \displaystyle \frac{1}{2}\pi t}{h}\\ &\quad =\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{2.2\cos\left ( \displaystyle \frac{1}{2}t+\frac{1}{4}h \right ).\sin \displaystyle \frac{1}{4}\pi h}{h}\\ &\quad =4\times \displaystyle \frac{1}{4}\pi \times \cos \displaystyle \frac{1}{2}\pi t\\ &\quad =\pi \cos \displaystyle \frac{1}{2}\pi t\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Cepat rambat saat}\: \: t=2\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{5}{2}\: \: \textrm{detik}\\ &v_{t}=\pi \cos \displaystyle \frac{1}{2}\pi t\\ &\quad =\pi \cos \displaystyle \frac{1}{2}\pi \left ( \displaystyle \frac{5}{2} \right )\\ &\quad =\pi \cos \displaystyle \frac{5}{4}\pi \\ &\quad = \pi \left ( -\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )\\ &\quad =-\displaystyle \frac{1}{2}\pi \sqrt{2} \end{array} \end{aligned}$

Turunan Fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

 $\color{blue}\textbf{A. Pendahuluan}$

Konsep turunan fungsi pada awalnya digunakan dalam bidang kususnya Matematika dan fisika, dalam hal hal ini kita berikan contohnya adalah laju perubahan kecepatan.

Coba perhatikanlah, misal pada kasus gerak jatuh bebas suatu benda yang dinyaatakan dengan  $\color{magenta}h=\color{black}\displaystyle \frac{1}{2}gt^{2}$  dengan  $\color{red}h$  adalah tinggi benda dengan percepatan grafitasinya adalah  $\color{red}g=\color{black}10\: \: m/s^{2}$ dan  $\color{red}t$  adalah waktu tempuh.

Misalkan suatu benda jatuh dari ketinggian 125 meter dari permukaan tanah dengan percepatan grafitasinya adalah $g=10\: \: m/s^{2}$, maka waktu yang dibutuhkan benda tersebut untuk sampai ke tanah adalah:

$\begin{aligned}h&=\displaystyle \frac{1}{2}gt^{2}\\ 125&= \frac{1}{2}(10)t^{2}\\ 25&=t^{2}\\ 5&=t \end{aligned}$

Dari kejadian di atas dapat kita dapatkan kecepatan rata-ratanya yaitu: perubahan tinggi dibagi perubahan waktu terjadinya, atau misal dituliskan

$\bigtriangleup v=\displaystyle \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup t}=\displaystyle \frac{y_{n}-y_{1}}{t_{n}-t_{1}}$

Sehingga kecepatan rata-ratanya adalah :  $\color{cyan}\displaystyle \frac{125}{5}=25\: \: m/s^{2}$

Misalkan $\color{blue}f(t)$ untuk fungsi yang menujukkan posisi benda yang terjatuh dalam  $\color{blue}t$ dengan $\color{blue}f(t)=5t^{2}$, maka kecepatan rata-ratanya kita dapat menghitungnya untuk beberapa selang termasuk kita dapat menghitung kecepatan sesaatnya.

Coba perhatikanlah tabel berikut:

$\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{cases} f(4) &=5.4^{2}=80 \\ f(3) &= 5.3^{2}=45 \end{cases}&\color{cyan}\begin{aligned}\bigtriangleup v&=\displaystyle \frac{80-45}{4-3}\\ &=\displaystyle \frac{35}{1}=35 \end{aligned}\\\hline \begin{cases} f(3,5) &=5.(3,5)^{2}=61,25 \\ f(3) &= 5.3^{2}=45 \end{cases}&\color{cyan}\begin{aligned}\bigtriangleup v&=\displaystyle \frac{61,25-45}{3,5-3}\\ &=\displaystyle \frac{16,25}{0,5}=32,5 \end{aligned}\\\hline \begin{cases} f(3,25) &=5.(3,25)^{2}= \\ f(3) &= 5.3^{2}=45 \end{cases}&\color{cyan}\begin{aligned}\bigtriangleup v&=\displaystyle \frac{52,8125-45}{3,25-3}\\ &=\displaystyle \frac{7,8125}{0,25}=31,25 \end{aligned}\\\hline \begin{cases} f(3,1) &=5.(3,1)^{2}=48,05 \\ f(3) &= 5.3^{2}=45 \end{cases}&\color{cyan}\begin{aligned}\bigtriangleup v&=\displaystyle \frac{48,05-45}{3,1-3}\\ &=\displaystyle \frac{3,05}{0,1}=30,5 \end{aligned}\\\hline \begin{cases} f(3,1) &=5.(3,01)^{2}=45,3005 \\ f(3) &= 5.3^{2}=45 \end{cases}&\color{cyan}\begin{aligned}\bigtriangleup v&=\displaystyle \frac{45,3005-45}{3,01-3}\\ &=\displaystyle \frac{0,3005}{0,01}=30,05 \end{aligned}\\\hline \end{array}$

Dari ilsutrasi tabel di atas jika selisih waktu diperkecil terus menerus sampai mendekati nol, maka kecepatan sesaatnya akan mendekati nilai 30.

Sehingga kecepatan ketika $t=3$ ditentukan sebagai laju perubahan jarak terhadap waktu yang dibutuhkan dapat dituliskan dengan:

$\color{cyan}\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Selanjutnya jika benda jatuh yang memenuhi kasus di atas, jika dihitung dengan pendekatan ini saat  $t=3$  adalah:

$\color{cyan}\begin{aligned}\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}&=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{5(t+h)^{2}-5t^{2}}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{5\left ( t^{2}+2th+h^{2} \right )-5t^{2}}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{5t^{2}+10th+5h^{2}-5t^{2}}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{10th+5h^{2}}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: 10t+5h\\ &=10t \end{aligned}$

Dari saat  $t=3$  kecepatan sesaatnya adalah $10t=10(3)=30\: \: m/s^{2}$.

Secara matematis, perubahan laju terhadap suatu fungsi di  $x=a$ selanjutnya dinotasikan dengan $f'(x)$ dan didefiniskan dengan:

$\LARGE\color{purple}\boxed{f'(x)=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

Bentuk di atas dinamakan dengan derivatif atau turunan pertama pada fungsi  $f(x)$  dan dinotasikan dengan  $f'(x)$ dan proses pencarian derivatif ini dinamakan differensial.

$\LARGE\color{purple}\fbox{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah kecepatan jika diketahui}\: \: f(t)=\sin t\\ &\textrm{saat}\: \: t\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{purple}\begin{aligned}f'(t)=v(t)&=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin (t+h)-\sin t}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{2\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2t+h)\sin \displaystyle \frac{1}{2}h}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: 2\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2t+h).\displaystyle \frac{\sin \displaystyle \frac{1}{2}h}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle 2\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2t+h)\times \displaystyle \frac{1}{2}\\ &=2\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2t+0)\times \displaystyle \frac{1}{2}\\ &=\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2t)\\ &=\cos t \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui sebuah bola bergerak melingkar beraturan}\\ &\textrm{dengan persamaan}\: \: f(t)=2\sin 2t.\: \textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{kecepatan bola saat}\: \: t=\displaystyle \frac{1}{12}\pi \\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{purple}\begin{aligned}v(t)&=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{4\sin 2(t+h)-2\sin 2t}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{4\cos \displaystyle \frac{1}{2}(4t+2h)\sin \displaystyle \frac{1}{2}(2h)}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: 4\cos \displaystyle \frac{1}{2}(4t+2h)\times \underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin h}{h}\\ &=4\cos \displaystyle \frac{1}{2}(4t)\\ &=4\cos 2t\\ v\left ( \displaystyle \frac{1}{12}\pi \right )&=4\cos 2\left ( \displaystyle \frac{1}{12}\pi \right )\\ &=4\cos \displaystyle \frac{1}{6}\pi\\ &=4\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right ) \\ &=2\sqrt{3} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Noormandiri, B. K. 2004. Matematika SMA Jilid $2^{A}$ Berdasarkan Kurikulum 2004. Jakarta: ERLANGGA.
2. Noormandiri, B. K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal 5 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{ll}\\ 21.&\textrm{Jika daerah yang diarsir pada daerah penyelesaian}\\ &\textrm{untuk program linear dengan fungsi sasaran}\\ &f(x,y)=x-y,\: \: \textrm{maka nilai maksimum}\: \: f(x,y)\\ &\textrm{adalah}\: ...\\ & \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \color{red}\textrm{a}.&f(3,1)\\ \textrm{b}.&f(4,1)\\ \textrm{c}.&f\left ( 2,\displaystyle \frac{5}{3} \right )\\ \textrm{d}.&f(3,2)\\ \textrm{e}.&f\left ( 4,\displaystyle \frac{5}{2} \right )\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\textrm{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=x-y\\ &\color{blue}\textrm{dan kendala-kendalanya}\\ &\begin{cases} x-y &\leq 2 \\ x-2y &\geq -2 \\ x\geq 2 & \\ y\geq 0 & \end{cases}\\ &\color{blue}\textrm{Dan garis dari kendala-kendala di atas adalah}: \end{aligned}$

Contoh Soal 4 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Pada pertidaksamaan}\\ & 2y\geq x\: ;\: y\leq 2x\: ;\: 2y+x\leq 20\: ;\: x+y\geq 9\\ &\textrm{Nilai maksimum untuk}\: \: \color{red}3y-x\: \: \color{black}\textrm{dicapai saat}\: ....\\\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\textrm{P}\\ \textrm{b}.&\textrm{Q}\\ \color{red}\textrm{c}.&\textrm{R}\\ \textrm{d}.&\textrm{S}\\ \textrm{e}.&\textrm{T}\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Dengan membuat garis(selidik)}:f(x,y)=3y-x\\ &\color{blue}\textrm{digeser dari bawah ke atas, maka akan didapatkan}\\ &\color{blue}\textrm{titik sudut(verteks) yang diinginkan}\\ & \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Nilai minimum dari}\: \: -2x+4y+6\\ &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\begin{cases} 2x+y-20 &\leq 0 \\ 2x-y+10&\geq 0 \\ x+y-5 &\geq 0 \\ x-2y-5 &\leq 0 \\ x\geq 0 & \\ y\geq 0 & \end{cases}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&-14\\ \textrm{b}.&-11\\ \textrm{c}.&-9\\ \textrm{d}.&-6\\ \color{red}\textrm{e}.&-4\\ \end{array}\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\color{blue}\textrm{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=-2x+4y+6\\ &\color{blue}\textrm{dan kendala-kendalanya}\\ &\begin{cases} 2x+y-20 &\leq 0 \\ 2x-y+10&\geq 0 \\ x+y-5 &\geq 0 \\ x-2y-5 &\leq 0 \\ x\geq 0 & \\ y\geq 0 & \end{cases}\\ &\color{blue}\textrm{maka daerah penyelesaiannya adalah}: \end{aligned}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Dan persamaan garisnya adalah}\\ &\begin{cases} \textrm{L}_{1}\equiv &2x+y=20 \\ \textrm{L}_{2}\equiv &2x-y=-10\\ \textrm{L}_{3}\equiv &x+y=5 \\\textrm{L}_{4} \equiv &x-2y=5 \end{cases}\\ &\color{blue}\textrm{Perpotongan untuk garis}\: \: \textrm{L}_{1}\&\textrm{L}_{2}\\ &\textrm{akan didapatkan titik C}\: \left ( \displaystyle \frac{5}{2},15 \right )\\ &\color{blue}\textrm{Perpotongan untuk garis}\: \: \textrm{L}_{1}\&\textrm{L}_{4}\\ &\textrm{akan didapatkan titik B}\: \left ( \displaystyle 9,2 \right )\\ \end{aligned}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{|l|}\hline \begin{aligned}\color{magenta}\textrm{untuk}\: &\color{magenta}\textrm{mendapatkan titik potong}\\ \textrm{garis}:\: &\color{blue}\textrm{L}_{1}\&\textrm{L}_{2}\: \: \color{black}\textrm{adalah sebagai berikut}:\\ &\begin{cases} 2x+y & =20 \\ 2x-y & =-10 \end{cases}\\ &-------\: \: .^{-}\\ &\: \: \: \quad\quad\quad2y=30\\ &\: \qquad\qquad y=15\Rightarrow x=\displaystyle \frac{5}{2}\\ \textrm{Sehing}&\textrm{ga didapatkan titik}\: \: \left ( \displaystyle \frac{5}{2},15 \right ) \end{aligned} \\\hline \begin{aligned}\color{magenta}\textrm{untuk}\: &\color{magenta}\textrm{mendapatkan titik potong}\\ \textrm{garis}:\: &\color{blue}\textrm{L}_{1}\&\textrm{L}_{4}\: \: \color{black}\textrm{adalah sebagai berikut}:\\ &\begin{cases} 2x+y & =20 \\ x-2y & =5 \end{cases}\\ &\begin{cases} 4x+2y & =40 \\ x-2y & =5 \end{cases}\\ &-------\: \: .^{+}\\ &\qquad\quad\quad5x=45\\ &\: \: \qquad\qquad x=9\Rightarrow y=2\\ \textrm{Sehing}&\textrm{ga didapatkan titik}\: \: \left ( 9,2 \right ) \end{aligned}\\\hline \end{array}$

$.\: \: \: \quad\textrm{Selanjutnya}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Verteks}&\color{magenta}\textrm{Nilai}:& \textrm{Keterangan}\\ &-2x+4y+6&\\\hline \textrm{A}(5,0)&-2(5)+4.0+6=-4&\color{blue}\textrm{Minimum}\\\hline \textrm{B}(9,2)&-2(9)+4.2+6=-4&\color{blue}\textrm{Minimum}\\\hline \textrm{C}\left ( \displaystyle \frac{5}{2},15 \right )&-2\left ( \displaystyle \frac{5}{2} \right )+4.15+6=61&\color{red}\textrm{Maksimum}\\\hline \textrm{D}(0,10)&-2.0+4.10+6=46&\\\hline \textrm{E}(0,5)&-2.0+4.5+6=26&\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Nilai minimum}\: \: f(x,y)=3+4x-5y\\ &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\begin{cases} -x+y &\leq 1 \\ x+2y&\geq 5 \\ 2x+y &\leq 10 \\ \end{cases}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&-19\\ \textrm{b}.&-6\\ \color{red}\textrm{c}.&-5\\ \textrm{d}.&-3\\ \textrm{e}.&23\\ \end{array} \\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=3+4x-5y\\ &\color{blue}\textrm{dan kendala-kendalanya}\\ &\begin{cases} -x+y &\leq 1 \\ x+2y&\geq 5 \\ 2x+y &\leq 10 \\ \end{cases}\\ &\color{blue}\textrm{maka daerah penyelesaiannya adalah}: \end{aligned}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Verteks}&\color{magenta}\textrm{Nilai}:& \textrm{Keterangan}\\ &3+4x-5y&\\\hline \textrm{A}(1,2)&3+4.1-5.2=-3&\\\hline \textrm{B}(3,4)&3+4.3-5.4=-5&\color{blue}\textrm{Minimum}\\\hline \textrm{C}(5,0)&3+4.5-5.0=23&\color{red}\textrm{Maksimum}\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Fungsi}\: \: f(x,y)=10x+15y\\ &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\begin{cases} x &\geq 0 \\ y&\geq 0 \\ x &\leq 800 \\ x&+\: \: y\: \: \leq 1000\\ \end{cases}\\ &\textrm{mempunyai nilai maksimum}\: ....\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&9.000\\ \textrm{b}.&11.000\\ \color{red}\textrm{c}.&13.000\\ \textrm{d}.&15.000\\ \textrm{e}.&16.000\\ \end{array} \\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=10x+15y\\ &\color{blue}\textrm{dan kendala-kendalanya}\\ &\begin{cases} x &\geq 0 \\ y&\geq 0 \\ x &\leq 800 \\ x&+\: \: y\: \: \leq 1000\\ \end{cases}\\ &\color{blue}\textrm{maka daerah penyelesaiannya adalah}: \end{aligned}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Verteks}&\color{magenta}\textrm{Nilai}:& \textrm{Keterangan}\\ &f(x,y)=10x+15y&\\\hline \textrm{A}(800,0)&800.10+0=8000&\color{red}\textrm{Minimum}\\\hline \textrm{B}(800,200)&800.10+15.200=11.000&\\\hline \textrm{C}(400,600)&10.400+15.600=13.000&\color{blue}\textrm{Maksimum}\\\hline \textrm{D}(0,600)&3+0+15.600=9.000&\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Nilai maksimum fungsi sasaran}\\ & f(x,y)=4x+5y\\ &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\begin{cases} x&\geq 0 \\ y&\geq 0 \\ (&2x+y-4\: )(\: 2x+3y-6\: )\: \: \leq 0\\ \end{cases}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&11\\ \textrm{b}.&12\\ \textrm{c}.&16\\ \color{red}\textrm{d}.&20\\ \textrm{e}.&24\\ \end{array} \\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\textrm{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=4x+5y\\ &\color{blue}\textrm{dan kendala-kendalanya}\\ &\begin{cases} x&\geq 0 \\ y&\geq 0 \\ (&2x+y-4\: )(\: 2x+3y-6\: )\: \: \leq 0\\ \end{cases}\\ &\color{blue}\textrm{maka daerah penyelesaiannya adalah}: \end{aligned}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}\textrm{untuk}\: &\textrm{mendapatkan titik potongnya}\\ &\begin{cases} 2x+y & =4 \\ 2x+3y & =6 \end{cases}\\ &-------\: \: .^{-}\\ &\: \, \qquad-2y=-2\\ &\qquad\qquad y=1\Rightarrow x=\displaystyle \frac{3}{2}\\ \textrm{sehing}&\textrm{ga akan didapatkan}\\ \color{blue}\textrm{titik p}&\color{blue}\textrm{otongnya adalah}:\: \: \left ( \displaystyle \frac{3}{2},1 \right )\\ \textrm{Selanj}&\textrm{utnya, kita dapat menentukan}\\ \textrm{nilai}\: \: \: \: &\textrm{maksimunya dengan bantuan tabel berikut} \end{aligned}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Verteks}&\color{magenta}\textrm{Nilai}:& \textrm{Keterangan}\\ &f(x,y)=4x+5y&\\\hline (2,0)&4.2+0=8&\color{red}\textrm{Minimum}\\\hline (3,0)&4.3+0=12&\\\hline \left ( \displaystyle \frac{3}{2},1 \right )&4.\left ( \displaystyle \frac{3}{2} \right )+5.1=11&\\\hline (0,2)&0+52=10&\\\hline (0,4)&0+5.4=20&\color{blue}\textrm{Maksimum}\\\hline \end{array}$

Contoh Soal 3 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Pada gambar berikut ini, pertidaksamaan}\\ &\textrm{yang memenuhi adalah}\\\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&2x+y-4\leq 0,\: 2x+3y-6\geq 0,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{b}.&2x+y-4\geq 0,\: 2x+3y-6\leq 0,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{c}.&2x+y-4\leq 0,\: 2x+3y-6\leq 0,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \color{red}\textrm{d}.&\left (2x+y-4 \right )\left (2x+3y-6 \right )\leq 0,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{e}.&\left (2x+y-4 \right )\left (2x+3y-6 \right )\geq 0,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\textrm{Misalkan titik potong kedua garis adalah M}\\ &\color{magenta}\textrm{Persamaan garisnya sebelah kiri M}:\\ &(1)\: 4x+2y-8=0\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendala}:2x+y-4\leq 0\\ &(2)\: 2x+3y=6\\ &\: \: \: \quad \textrm{kendala}:2x+3y-6\geq 0\\ &(3)\: y=0,\: \: \textrm{kendala}:y\geq 0 \\ &(4)\: x=0,\: \: \textrm{kendala}:x\geq 0\\ &\color{blue}\textrm{Persamaan garisnya sebelah kanan M}:\\ &(5)\: 4x+2y-8=0\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendala}:2x+y-4\geq 0\\ &(6)\: 2x+3y=6\\ &\: \: \: \quad \textrm{kendala}:2x+3y-6\leq 0\\ &(7)\: y=0,\: \: \textrm{kendala}:y\geq 0 \\ &(8)\: x=0,\: \: \textrm{kendala}:x\geq 0 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Pada gambar berikut ini, pertidaksamaan}\\ &\textrm{yang memenuhi adalah}\\\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \color{red}\textrm{a}.&2x-y-4\leq 0,\: x-y-3\leq 0,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{b}.&2x-y-4\geq 0,\: x-y-3\geq 0,\: x\geq 0,\: y\leq 0\\ \textrm{c}.&2x-y-4\leq 0,\: x-y-3\geq 0,\: x\geq 0,\: y\leq 0\\ \textrm{d}.&\left (2x-y-4 \right )\left (x-y-3 \right )\geq 0,\: x\geq 0,\: y\leq 0\\ \textrm{e}.&\left (2x-y-4 \right )\left (x-y-3 \right )\leq 0,\: x\geq 0,\: y\leq 0\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\textrm{Misalkan titik potong kedua garis adalah M}\\ &\color{magenta}\textrm{Persamaan garisnya di atas M dan model}\\ &\color{magenta}\textrm{matematikanya adalah sebagai berikut}:\\ &(1)\: -3x+3y=-9\\ &\: \: \: \quad\textrm{garisnya menjadi}:\: -3x+3y+9=0\\ &\: \: \: \quad\textrm{maka}:\: -x+y+3=0\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendala}:-x+y+3\geq 0,\: \: \textrm{atau}\\ &\: \: \: \quad\color{blue}\textrm{kendala}:x-y-3\leq 0\\ &(2)\: -4x+2y=-8\\ &\: \: \: \quad\textrm{garisnya menjadi}:\: -4x+2y+8=0\\ &\: \: \: \quad\textrm{maka}:\: -2x+y+4=0\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendala}:-2x+y+4\geq 0,\: \: \textrm{atau}\\ &\: \: \: \quad \quad\color{blue}\textrm{kendala}:2x-y-4\leq 0\\ &(3)\: y=0,\: \: \textrm{kendala}:y\geq 0 \\ &(4)\: x=0,\: \: \textrm{kendala}:x\geq 0\\ \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Seorang penjual hewan kurban memiliki}\\ &\textrm{15 kandang ternak untuk memelihara sapi}\\ &\textrm{dan kambing. Setiap kandang hanya berisi}\\ &\textrm{kambing saja atau sapi saja. Setiap kandang}\\ &\textrm{dapat menampung sapi sebanyak 20 ekor}\\ &\textrm{atau kambing sebanyak 38 ekor. Penjual}\\ &\textrm{hewan kurban tersebut menaksir biaya}\\ &\textrm{perawatan yang dikeluarkan untuk setiap}\\ &\textrm{kandang sapi setiap bulannya sebesar}\\ &Rp500.000,00\: \: \textrm{dan kambing}\: \: Rp300.000,00.\\ &\textrm{Sementara itu, jumlah hewan yang}\\ &\textrm{direncanakan tidak lebih dari 300 ekor}.\\ &\textrm{Jika banyak kandang yang berisi sapi}\\ &\textrm{disebut}\: \: x\: \: \textrm{dan banyak kandang yang berisi}\\ &\textrm{kambing disebut}\: \: y,\: \: \textrm{sistem pertidaksamaan}\\ &\textrm{yang harus dipenuhi oleh}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\: \: \textrm{serta}\\ &\textrm{fungsi objektif untuk meminimumkan biaya}\\ &\textrm{perawatan hewan kurban adalah}.... \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: 20x+38y\leq 15,\: x+y\leq 300\\ &\textrm{minimum}\: \: f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \textrm{b}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: 38x+20y\leq 15,\:x+y\leq 300 \\ &\textrm{minimum}\: \: f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \textrm{c}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: 28x+30y\leq 300,\:x+y\leq 15 \\ &\textrm{minimum}\: \: f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \textrm{d}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: 38x+20y\leq 300,\:x+y\leq 15 \\ &\textrm{minimum}\: \: f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \color{red}\textrm{e}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: 20x+38y\leq 300,\:x+y\leq 15 \\ &\textrm{minimum}\: \: f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\color{blue}\textrm{Misalkan titik potong kedua garis adalah M}\\ &\color{magenta}\textrm{Misalkan sapi}=x,\: \: \textrm{kambing}=y,\: \: \textrm{maka}\\ &(1)\: \textrm{Sapi}+\textrm{Kambing}= 15\: \: \textrm{ekor}\\ &\: \: \: \quad \textrm{persamaan garisnya}:\\ &\: \: \: \quad x+y= 15,\: \: \textrm{dan}\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendalanya}:x+y\leq 15\\ &(2)\: \textrm{Daya tampung kandang}\\ &\: \: \: \quad \textrm{persamaan garisnya}:\\ &\: \: \: \quad20x+38y=300\\ &\: \: \: \quad \textrm{kendala}:20x+38y\leq 300\\ &(3)\: y=0,\: \: \textrm{kendala}:y\geq 0 \\ &(4)\: x=0,\: \: \textrm{kendala}:x\geq 0\\ &(5)\: \color{red}\textrm{Fungsi optimumnya adalah}:\\ &\: \: \: \color{blue}\quad f(x,y)=500.000x+300.000y \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Suatu perusahaan bangunan merencanakan}\\ &\textrm{pembangunan paling banyak 150 unit rumah}\\ &\textrm{untuk disewakan kepada 500 orang. Ada dua}\\ &\textrm{jenis rumah, yaitu rumah jenis A dengan}\\ &\textrm{kapasitas 4 orang yang akan disewakan dengan}\\ &\textrm{harga}\: \: Rp2.000.000,00\: \: \textrm{per tahun dan rumah}\\ &\textrm{jenis B dengan kapasitas 6 orang yang disewakan}\\ &Rp2.500.000,00\: \: \textrm{per tahun. Jika rumah jenis}\\ &\textrm{A dibuat sebanyak}\: \: x\: \: \textrm{unit dan jenis B sebanyak}\\ &y\: \: \textrm{unit},\: \color{blue}\textbf{model matematika}\: \color{black}\textrm{dari masalah tersebut}\\ &\textrm{adalah}\:.... \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: x+y\leq 100,\: 4x+6y\leq 500\\ \color{red}\textrm{b}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: x+y\leq 150,\:4x+6y\leq 500 \\ \textrm{c}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: x+y\leq 200,\:4x+6y\leq 250 \\ \textrm{d}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: x+y\leq 200,\:6x+4y\leq 250 \\ \textrm{e}.&x\geq 0,\: y\geq 0,\: x+y\leq 500,\:6x+4y\leq 250 \\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\textrm{Model matematikanya adalah}:\\ &\color{magenta}\textrm{Misalkan rumah jenis A}=x,\: \: \textrm{jenis B}=y,\: \: \textrm{maka}\\ &(1)\: \textrm{Jenis A}+\textrm{Jenis B}= 150\: \: \textrm{unit}\\ &\: \: \: \quad \textrm{persamaan garisnya}:\\ &\: \: \: \quad x+y= 150,\: \: \textrm{dan}\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendalanya}:x+y\leq 150\\ &(2)\: \textrm{Kapasitas atau daya tampung}\\ &\: \: \: \quad \textrm{Rumah jenis A muat 4 orang dan jenis B}\\ &\: \: \: \quad \textrm{6 orang sedangkan targetnya 500 orang, maka}\\ &\: \: \: \quad \textrm{persamaan garisnya}:\\ &\: \: \: \quad 4x+6y=500\\ &\: \: \: \quad \textrm{kendala}:4x+6y\leq 500\\ &(3)\: y=0,\: \: \textrm{kendala}:y\geq 0 \\ &(4)\: x=0,\: \: \textrm{kendala}:x\geq 0\\ &(5)\: \color{red}\textrm{Fungsi optimumnya adalah}:\\ &\: \: \: \color{blue}\quad f(x,y)=2.000.000x+2.500.000y \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Pedagang teh mempunyai lemari yang hanya}\\ &\textrm{cukup ditempati 40 boks teh. Teh A dibeli}\\ &\textrm{dengan harga}\: \: Rp6.000,00\: \: \textrm{setiap boks dan teh B}\\ &\textrm{dibeli dengan harga}\: \: Rp8.000,00\: \: \textrm{setiap boks}\\ &\textrm{Jika pedang tersebut mempunyai modal sebesar}\\ &Rp300.000,00\: \: \textrm{untuk membeli}\: \: x\: \: \textrm{boks teh A dan}\\ &y\: \: \textrm{boks teh B, maka sistem pertidaksamaan dari}\\ &\textrm{permasalahan tersebut adalah}\: .... \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&3x+4y\geq 150,\: x+y\geq 40,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \color{red}\textrm{b}.&3x+4y\leq 150,\: x+y\leq 40,\:x\geq 0,y\geq 0 \\ \textrm{c}.&3x+4y\geq 150,\: x+y\leq 40,\:x\geq 0,\: y\geq 0 \\ \textrm{d}.&6x+8y\leq 300,\: x+y\geq 40,\:x\geq 0,\: y\geq 0 \\ \textrm{e}.&8x+4y\leq 300,\: x+y\leq 40,\:x\geq 0,\: y\geq 0 \\ \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\textrm{Pembahasan diserahkan kepada pembaca} \end{aligned}$

Contoh Soal 2 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ &\textrm{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\\\ &\color{magenta}\begin{cases} -x+2y & \leq 2 \\ 4x+3y &\leq 12 \\ x \geq 0&\\ y\geq 0& \end{cases}\\\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ \end{array}$

$.\: \: \: \begin{array}{ll}\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&\textrm{I}\\ \textrm{b}.&\textrm{II}\\ \textrm{c}.&\textrm{III}\\ \textrm{d}.&\textrm{I}\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{IV}\\ \textrm{e}.&\textrm{II}\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{II} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\textrm{Pembahasan diserahkan kepada pembaca} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ &\textrm{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\\\ &\color{magenta}\begin{cases} 5x+y & \geq 10\\ 2x+y &\leq 8 \\ y\geq 2& \end{cases}\\\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ \end{array}$

$.\: \: \: \begin{array}{ll}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\textrm{I}\\ \textrm{b}.&\textrm{II}\\ \color{red}\textrm{c}.&\textrm{III}\\ \textrm{d}.&\textrm{IV}\\ \textrm{e}.&\textrm{V} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Pembahasan diserahkan kepada pembaca} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ &\textrm{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\\\ &\color{magenta}\begin{cases} x+y & \geq 4\\ x+2y &\leq 6 \\ y\geq 1& \end{cases}\\\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ \end{array}$

$.\: \: \: \begin{array}{ll}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\textrm{I}\\ \textrm{b}.&\textrm{II}\\ \color{red}\textrm{c}.&\textrm{III}\\ \textrm{d}.&\textrm{IV}\\ \textrm{e}.&\textrm{V} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Pembahasan juga diserahkan kepada pembaca} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 9.&(\textrm{SPMB 2003})\\ &\textrm{Daerah yang diarsir pada ilustrasi gambar berikut}\\ &\textrm{adalah himpunan semua}\: \: (x,y)\: \: \textrm{yang memenuhi} \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \color{red}\textrm{a}.&2x+y\leq 30,\: 3x+4y\leq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{b}.&2x+y\geq 30,\: 3x+4y\geq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{c}.&x+2y\geq 30,\: 3x+4y\geq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{d}.&x+2y\leq 30,\: 4x+3y\leq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{e}.&2x+y\geq 30,\: 4x+3y\leq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0 \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\textrm{Persamaan garisnya adalah}:\\ &(1)\: 15x+20y=300\\ &\: \: \: \quad\textrm{kendala}:3x+4y\leq 60\\ &(2)\: 30x+15y=450\\ &\: \: \: \quad \textrm{kendala}:2x+y\leq 30\\ &(3)\: y=0,\: \: \textrm{kendala}:y\geq 0 \\ &(4)\: x=0,\: \: \textrm{kendala}:x\geq 0 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 10.&(\textrm{SPMB 2004})\\ &\textrm{Daerah yang diarsir pada ilustrasi gambar berikut}\\ &\textrm{adalah himpunan penyelesaian yang dipenuhi oleh} \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&6x+5y-30\leq 0,\: x+6y-6\leq 0,\: x-y\leq 0\\ \textrm{b}.&6x+5y-30\geq 0,\: x+6y-6\leq 0,\: x-y\leq 0\\ \color{red}\textrm{c}.&6+5y-30\leq 0,\: x+6y-6\geq 0,\: x-y\geq 0\\ \textrm{d}.&6x+5y-30\leq 0,\: x+6y-6\geq 0,\: x-y\leq 0\\ \textrm{e}.&6x+5y-30\geq 0,\: x+6y-6\geq 0,x-y\geq 0 \end{array}$

$.\: \: \: \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\textrm{Perhatikan bahwa kendala-kendalanya}:\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline \begin{aligned}6x+5y&=6\times 5\\ 6x+5y&=30 \end{aligned}&\begin{aligned}x+6y&=1\times 6\\ x+6y&=6 \end{aligned}&\begin{aligned}x&=y\\ \end{aligned}\\\hline \textbf{Sebelah kiri}&\textbf{Sebelah kanan}&\\\hline \begin{aligned}6x+5y&\leq 30\\ 6x+5y-30&\leq 0 \end{aligned}&\begin{aligned}x+6y&\geq 6\\ x+6y-6&\geq 0 \end{aligned}&\begin{aligned}x&\geq y\\ x-y&\geq 0 \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{aligned}$