Polinom / Suku Banyak (Matematika Peminatan Kelas XI)

$\text{A. Pendahuluan}$

Polinom disebut juga suku banyak. Polinom atau suku banyak adalah suatu bentuk variabel yang berpangkat/berderajat.

Secara definisi suku banyak (polinomial) dalam  $x$  berderajat $n$ adalah:

Suatu bentuk

${\displaystyle a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+...+a_2{x}^2+a_1{x}^1+a_0}$

dengan  $n$  bilangan cacah serta  $a_0,a_1,a_2,...,a_n$  koefisien dari suku  $x$  dan  $a_n\ne 0$  dengan  $a_0$  sebagai suku tetap (konstan)nya.

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut!

$\begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{rl}{a}_n& \text{adalah koefisien dari}{x}^n\\ a_{n-1}& \text{adalah koefisien dari}{x}^{n-1}\\ a_{n-2}& \text{adalah koefisien dari}{x}^{n-2}\\ ⋮& \\ a_2& \text{adalah koefisien dari}{x}^2\\ a_1& \text{adalah koefisien dari}{x}^1\\ a_0& \text{adalah konstanta}\\ & (\text{suku tetap})\end{array}& \begin{array}{rl}{a}_n& \ne 0\\ n:& \text{bilangan cacah},\\ :& \text{adalah derajat (pangkat)}\\ & \text{tertinggi dalam suku}\\ & \text{banyak tersebut}& \\ & \\ & \\ & \end{array}\\ \hline\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL 1}$

$\begin{array}{rl}1.& \text{Polinom}2x^3-6x^2+2020\text{dapat dinyatakan}\\ & \text{dengan}2x^3-6x^2+0x^1+2020x^0\\ & \text{Polinom tersebut memiliki suku tetap}2020\\ 2.& \text{Polinom}5x^4-8x^3+6x-2021\text{dapat dinyatakan}\\ & \text{dengan}5x^4-8x^3+0x^2+6x^1-2021x^0\\ & \text{Polinom tersebut memiliki suku tetap}-2021\\ 3.& \text{Polinom}{x}^4-2x^3+3x^2-2\sqrt{x}+1\text{tidak dapat}\\ & \text{dinamakan polinom, sebab ada variabel dari}x\\ & \text{yang berderajat bukan bilangan cacah}\\ 4.& \text{Sedangkan polinom}5-x+(2-x)(1+x+x^2)\\ & \text{adalah bentuk polinom, karena dapat dinayatakan}\\ & \text{dengan}-x^3+x^2+7\end{array}$

$\text{B. Nilai Polinom}$

Polinom atau suku banyak yang berderajat $n$ yang selanjutnya dinyatakan dengan 

$f(x)={\displaystyle a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+...+a_1{x}^1+a_0}$

Berkaitan dengan kebutuhan penentuan nilai ini, dapat ditentukan dengan dua cara:

$\mathbf{\text{a. Substitusi}}$

$\begin{array}{rl}& \text{Nilai suku banyak}f(x)\text{berderajat}\\ & n\text{saat}x=k\text{adalah}f(k).\\ & \text{Jika}f(k)=0\text{maka}x=k\text{akar dari}f(x),\\ & \text{dan}(x-k)\text{faktor dari}f(x)\\ & \end{array}$

$\text{CONTOH SOAL 2}$

Jika suatu polinom dinyatakan dengan  $f(x)$, maka nilai polinom itu untuk  $x=3$  adalah  $f(3)$.

Misalkan diketahui  

$\begin{array}{rl}1.f(x)& =x^3-1\\ \text{mak}& \text{a}\\ f(1)& =1^3-1=1-1=0\\ f(3)& =3^3-1=27-1=26\\ f(-4)& =(-4{)}^2-1=-64-1=-65\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui}h(x)=2x^3+5x^2-12x-6\\ & \text{Tentukanlah nilai untuk}h(-2),h(-1),\\ & h(0),h(1),\text{dan}h(2)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{|ccl|}\hline x=k& h(k)& \text{Nilai}\\ x=-2& h(-2)& \begin{array}{rl}h(-2)& =2(-2{)}^3+5(-2{)}^2-12(-2)-6\\ & =-16+20+24-6\\ & =22\end{array}\\ x=-1& h(-1)& \begin{array}{rl}h(-1)& =2(-1{)}^3+5(-1{)}^2-12(-1)-6\\ & =-2+5+12-6\\ & =9\end{array}\\ x=0& h(0)& \begin{array}{rl}h(0)& =2(0{)}^3+5(0{)}^2-12(0)-6\\ & =-6\end{array}\\ x=1& h(1)& \begin{array}{rl}h(1)& =2(1{)}^3+5(1{)}^2-12(1)-6\\ & =2+5-12-6\\ & =-11\end{array}\\ x=2& h(2)& \begin{array}{rl}h(2)& =2(2{)}^3+5(2{)}^2-12(2)-6\\ & =16+20-24-6\\ & =6\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Diketahui}p(x)=x-2019\\ & \text{dan}q(x)=x^{2019}+1.\text{Tentukanlah}\\ & \text{nilai untuk}p(q(2))\text{dan}q(p(2))\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Yang dibahas yang bagian}p(q(2))\\ & q(2)=2^{2019}+1,\text{maka nilai}\\ & \begin{array}{rl}p(q(2))& =(2^{2019}+1)-2019\\ & =2^{2019}-2018\end{array}\\ \\ & \text{Untuk yang}q(p(2))\text{adalah}\\ & p(2)=\cdots ,\text{maka nilai}\\ & \begin{array}{rl}q(p(2))& =\because {\cdots }^{2019}+1\\ & =\cdots \end{array}\end{array}$

$\mathbf{\text{b. Horner/Sintetik}}$

Nilai suatu polinom dapat ditentukan dengan pembagian sintesis Horner

Misalkan:

$\begin{array}{rl}f(x)& =a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{saat akan dibagi}\\ & x=h,\text{maka pembagian Horner itu}:\\ & \end{array}$

Perhatikan bahwa proses ke bawah adalah berup proses penjumlahan.

Proses di atas akan sama saat kita mensubstitusikan  $x=h$  ke dalam  $f(x)$, yaitu:

$\begin{array}{rl}f(x)& =a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{saat}\\ & x=h,\text{maka}\\ f(h)& =a{h}^3+b{h}^2+ch+d\\ & \\ & \mathbf{\text{Cukup JELAS bukan}}?\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL 3}$

$\begin{array}{l}\\ \text{Tentukanlah nilai dari}f(4)\text{jika}\\ \text{diketahui}f(x)=x^3-x-5\\ \text{Jawab}:\\ \begin{array}{rl}(1).& \text{Cara substitusi langsung}\\ & f(x)=x^3-x-5\\ & f(4)=4^3-4-5\\ & =64-9=55\\ (2).& \text{Cara Horner}\\ & \text{Karena}f(x)=x^3-x-5\\ & \text{dan koefisiennya yang akan}\\ & \text{adalah}:\\ & a_3=1,a_2=0,a_1=-1,\mathrm{\&}{a}_0=-5\\ & \mathbf{\text{maka bagan pembagian Hornernya}}\\ & \begin{array}{l}\\ & x=4& 1& 0& -1& -5& \\ & & & & & & \\ & & & 4& 16& 60& +\\ & & 1& 4& 15& 55\end{array}\end{array}\end{array}$

Lanjutan Materi Vektor Di Ruang Dimensi Dua (Matematika Peminatan Kelas X)

$\text{E. Modulus Vektor}$

Modulus suatu vektor adalah ukuran (panjang) suatu vektor. Dalam hal ini modulus suatu vektor adalah besar/panjang suatu vektor.

Lihat pada pembahasan sebelumnya tentang panjang vektor di  ${\text{R}}^2$  di sini.

Dalam menuliskan modulus/panjang vektor ini digunakan notasi  $\left|\bar{a}\right|$  jika vektornya $\bar{a}$. 

Bila  $\bar{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right),\text{maka}\left|\bar{a}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

$\text{CONTOH SOAL}$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

Tentukanlah modulus/panjang vektor  $\bar{u}$ ?

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa vektor}\bar{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)\\ & \text{maka modulus vektor}\bar{u}\\ & =\left|\bar{u}\right|\\ & =\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\\ & =2\sqrt{13}\end{array}$

$\text{F. Vektor Posisi dan Vektor Bebas}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Vektor yang titik pangkalnya berada di titik O(0,0), maka vektor tersebut dinamakan vektor posisi. Pada gambar di atas titik A rekatif terhadapa O(0,0), maka  $\overline{OA}$ disebut vektor posisi A terhadap titik O(0,0) dan vektor yang lainnya dinamakan vektor bebas. Pada gambar di atas  $\overline{BC}\mathrm{\&}\overline{DF}$  adalah contoh vektor bebasnya.

$\text{G. Kesamaan Dua Vektor}$

Perhatikanlah dua vektor bebas pada gambar di atas, cukup jelas secara geometri tampak panjang vektor $\overline{BC}\mathrm{\&}\overline{DF}$  sama. Dan secara aljabar dapat ditunjukkan juga bahwa:

$\overline{BC}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)\mathrm{\&}\overline{DF}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$

Secara definisi

$\bar{a}=\bar{b}\{\begin{array}{ll}\bullet & \left|\bar{a}\right|=\left|\bar{b}\right|\\ \\ \bullet & \text{arah}\bar{a}=\text{arah}\bar{b}\end{array}$

$\text{H. Vektor Negatif}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

$\bar{a}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)\mathrm{\&}\bar{b}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$

Vektor  $-\bar{a}=\bar{b}$ memiliki ukuran yang sama dengan   $\bar{a}$.

Selanjutnya vektor  $\bar{a}=-\bar{b}\text{maka}\left|\bar{a}\right|=\left|\bar{b}\right|$

$\text{I. Vektor Satuan}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Jika diketahui  $\bar{a}\mathrm{\&}\bar{b}$ seperti gambar di atas, maka

$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\bar{a}}{\left|\bar{a}\right|}}& \text{adalah vektor satuan dari vektor}\bar{a}\\ \\ {\displaystyle \frac{\bar{b}}{\left|\bar{b}\right|}}& \text{adalah vektor satuan dari vektor}\bar{b}\end{array}$ 

Dan panjang dari vektor satuan ini adalah selalu satu satuan.

$\text{CONTOH SOAL}$

Tentukanlah vektor satuan dari dua vektor pada gambar di atas?

Jawab:

$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\bar{a}}{\left|\bar{a}\right|}}& ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)}{\sqrt{(-2{)}^2+5^2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{29}}\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{29}\sqrt{29}\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)}}\\ \\ {\displaystyle \frac{\bar{b}}{\left|\bar{b}\right|}}& ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)}{\sqrt{6^2+4^2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{52}}\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{26}\sqrt{52}\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)}}\end{array}$

$\text{J. Vektor Basis}$

Vektor satuan yang saling tegak lurus. Didalam ruang dimensi dua terdapat dua vektir basis., yaitu:

$\overline{i}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{dan}\overline{j}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan vektor}\overline{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)\\ & \text{dapat dinyatakan dalam kombinasi linear}\\ & \text{vektor basis}\overline{i}\text{dan}\overline{j}\text{di atas, yaitu}\\ & \overline{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=u_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+u_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\\ & \text{maka akan menjadi}\\ & \overline{u}=u_1\overline{i}+u_2\overline{j}\\ & \text{SEBAGAI CONTOH}\\ & \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)\text{dalam vektor basis menjadi}\\ & \overline{AB}=5\overline{i}+8\overline{j}\\ & \text{Demikian juga jika}\\ & \overline{CD}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -8\end{array}\right)\text{dalam vektor basis menjadi}\\ & \overline{AB}=-3\overline{i}-8\overline{j}\end{array}$

$\text{K. Vektor Nol}$

Jika vektor  $\bar{a}=\bar{b}$ , maka $\bar{a}-\bar{b}=0$.

$\mathbf{\text{0}}$  disebut sebagai vektor ol.

Sebagai tabahan penjelasan vektor  $\mathbf{\text{0}}$  tidak mempunyai besar dan arahnya tak tentu. 

Operasi Vektor Di Ruang Dimensi Dua (Matematika Peminatan Kelas X)

$\text{D. Operasi Vektor}$

$\text{1. Penjumlahan}$

$\text{1. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Penjumlahan di atas adalah penjumlahan menurut aturan segitiga, 

perhatikan pula pemisalan berikut

$\begin{array}{rl}& \text{Menurut aturan segitiga}\\ & \overline{AB}+\overline{BC}=\overline{a}+\overline{b}=\overline{AC},\text{Selanjutnya}\\ & \overline{AC}+\overline{CD}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{AD},\text{maka}\\ & \overline{AD}+\overline{DE}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}+\overline{d}=\overline{AE}\end{array}$

Pada penjumlahan dengan vektor adalah tetap (tidak berubah)

$\begin{array}{rl}& \bar{a}+\bar{0}=\bar{0}+\bar{a}=\bar{a}\\ & \text{Sehingga vektor nol disebut sebagai}\\ & \mathbf{\text{elemen identitas}}\end{array}$

$\text{1. 2 Secara Aljabar}$

Misal  

$\begin{array}{rl}& \bar{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)\text{dan}\bar{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\\ & \text{maka secara aljabar}\\ & \bar{a}+\bar{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\right)\end{array}$

Perhatikan kembali gambar berikut (lihat pada pembahasan sebelumnya) 

$\text{CONTOH SOAL}$

Titik  A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)\text{dan}\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \overline{AB}+\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+4\\ (-3)+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)\end{array}$

Dan untuk contoh yang lain adalah:

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right),\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\text{dan}\overline{EF}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF}\\ & =\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}1+4+(-4)\\ (-3)+3+(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\end{array}$

$\text{2. Pengurangan}$

$\text{2. 1 Secara Geometri}$

Pada pengurangan vektor $\bar{a}\text{oleh}\bar{b}$  dapat didefinisikan sebagai:

$\bar{a}-\bar{b}=\bar{a}+(-\bar{b})$. Perhatikanlah ilustrasi secara geometri berikut:

$\text{2. 2 Secara Aljabar}$

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan}\bar{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)\text{dan}\bar{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\\ & \text{maka}-\bar{b}=\left(\begin{array}{c}-x_2\\ -y_2\end{array}\right)\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \bar{a}-\bar{b}=\bar{a}+(-\bar{b})=\left(\begin{array}{c}{x}_1-x_2\\ y_1-y_2\end{array}\right)\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

Pada contoh soal bahasan penjumlahan di atas, perhatikan lagi bahwa

Titik  A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)\text{dan}\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \overline{AB}-\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-4\\ (-3)-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\end{array}\right)\end{array}$

$\text{3. Perkalian dengan Skalar}$

$\text{3. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut!

$\text{3. 2 Secara Aljabar}$

Perkalian suatu skalar dengan suatu vektor tergantung pada skalarnya. Jika suatu skalar  k  dengan  $k>0$,  maka perkalian ini akan menghasilkan vektor baru yang besarnya sekian  k  kali dari vektor semula  atau  $k\left|\bar{a}\right|$   dan arahnya searah dengan vektor yang dikalikan. Demikian sebaliknya, jika nilai  $k<0$, maka besar vektor hasil perkaliannya adalah  $k\left|\bar{a}\right|$  dengan arah yang berlawanan dari vektor semula.

$\text{CONTOH SOAL}$

Misalkan diketahui vektor-vektor sebagai berikut:

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right),\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\text{dan}\overline{EF}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \text{dengan muculnya skalar adalah}:\\ & 3\overline{AB}+4\overline{CD}-5\overline{EF}\\ & =3\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+4\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)-5\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}3.1+4.4+(-5).(-4)\\ 3.(-3)+4.3+(-5).(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}39\\ 13\end{array}\right)\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kuntarti, Sulistiyono, & Kurnianingsih, S. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama

Vektor (Matematika Peminatan Kelas X)

$\text{A. Pendahuluan}$

Vektor adalah besaran yang memiliki panjang/besar sekaligus memiliki arah. Secara geometri, vektor digambarkan dengan anak panah (ruas garis berarah) yang mana memiliki titik pangkal dan titik ujung.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Perhatikanlah vektor  b  pada gambar di atas. Vektor tersebut dilambangkan dengan sebuah huruf  b  kecil tebal yang memiliki titik pangkal pada koordinat kartesius di titik  $\left({\displaystyle -\frac{5}{2},-\frac{3}{2}}\right)$  dan berujung di titik $\left({\displaystyle -1,2}\right)$ . Selain vektor b dituliskan dengan sebuah huruf kecil tercetak tebal dapat juga dituliskan dengan sebuah huruf kecil tanpa tercetak tebal tapi diberi anak panah kecil  atau ruas garis di atasnya, yaitu :  $\overrightarrow{a},\overline{a}$.

$\text{Berikut cara penulisan notasi vektor}$

1. Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya ada anak panah, misalnya  $\overline{PQ},\overline{RS},\text{dan}\overline{AZ}$
2. Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya diberikan anak panah, seperti  $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{RS},\text{dan}\overrightarrow{AZ}$
3. Menggunakan sebauah huruf kecil tercetak tebal seperti pembahasan sebelumnya di atas, yaitu :  $\mathbf{\text{a}},\mathbf{\text{b}},\mathbf{\text{c}},\mathbf{\text{d}},\text{dan}\mathbf{\text{e}}$
4. Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atsnya diberikan anak panah, misalnya:  $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\text{dan}\overrightarrow{e}$
5. Menggunakan sebuah huruf kecil yang bawahnya diberi garis
6. Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atasnya diberi ruas garis, seperti  $\overline{a},\overline{b},\overline{c},\overline{d},\text{dan}\overline{e}$

$\text{B. Vektor pada}{\text{R}}^2$

Vektor di  ${\text{R}}^2$ adalah sebuah vektor yang diwakili oleh sebuah garis berarah dalam sebuah bidang datar atau Cartesius.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Misalkan pada salah satu vektor pada gambar di atas, ambil contoh $\overline{AB}$ . Vektor tersebut dilambangkan secara geometri dengan $\overline{AB}$  dan dibaca "vektor AB" yang berarti "vektor dari titik A ke titik B", dengan titik A sebagai titik pangkal dan B sebagai titik ujung. Sedangkan penulisan vektor secara aljabar dapat dinyatakan dalam matriks kolom atau matrik baris.

Pada   ${\text{R}}^2$  (penulisan vektor pada ruang dimensi dua) penulisan vektor ini dituliskan dengan  $\overline{AB}$, dengan 

$\overline{AB}=\left(\begin{array}{c}\text{komponen horisontal}\\ \text{komponen vertikal}\end{array}\right)$

Sehingga pada ilustrasi gambar di atas vektor-vektorya dapat dituliskan sebagai:

$\overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right),\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right),\mathrm{\&}\overline{EF}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)$

atau

$\overline{AB}=\left[\begin{array}{cc}1,& -3\end{array}\right],\overline{CD}=\left[\begin{array}{cc}4,& 3\end{array}\right],\mathrm{\&}\overline{EF}=\left[\begin{array}{cc}-4,& -2\end{array}\right]$

$\text{C. Panjang Vektor}$

Panjang suatu vektor dilambangkan dengan tanda harga mutlak. Misal pada gambar di atas pada bahasan vekor di  ${\text{R}}^2$, yaitu:

$\left|\overline{AB}\right|,\left|\overline{CD}\right|,\mathrm{\&}\left|\overline{EF}\right|$.

Misalkan suatu vektor  $\overline{u}$ dengan  $\overline{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$, maka panjang dari vektor  $\overline{u}$  ini dapat ditentukan dengan 

= $\left|\overline{u}\right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$.

Sehingga pada gambar di atas, panjang/besar vektornya dapat kita tentukan, yaitu:

$\begin{array}{rl}\bullet \left|\overline{AB}\right|& =\sqrt{1^2+(-3{)}^2}=\sqrt{1+9}\\ & =\sqrt{10}\\ \bullet \left|\overline{CD}\right|& =\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}\\ & =\sqrt{25}=5\\ \bullet \left|\overline{EF}\right|& =\sqrt{(-4{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{16+4}\\ & =\sqrt{20}=2\sqrt{5}\end{array}$

Fungsi (Matematika Wajib Kelas X)

$\text{A. Pendahuluan}$

$\begin{array}{rl}& \\ \text{Fungsi}& \text{atau pemetaan dari A ke B adalah}\\ & \text{suatu relasi khusus yang memasangkan}\\ & \text{setiap}x\in A\text{ke tepat satu}y\in B.\\ & \end{array}$

$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Notasi}& f:x\to y\text{atau}f:x\to f(x)\\ \text{Dibaca}& \text{fungsi}f\text{memetakan}x\in A\text{ke}y\in B\\ A& \text{Domain atau daerah asal fungsi atau}{D}_f\\ x& \text{prapeta(sebelum dipetakan)}\\ B& \text{Kodomain atau daerah kawan fungsi atau}{K}_f\\ y& \text{peta(bayangan dari prapeta) adalah Range}\\ & \text{atau}{R}_f\\ \hline\end{array}$

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut!

Sebagai misal, diberikan 

$\begin{array}{rl}& \boxed{{\displaystyle f:x\to f(x)=3x+2}}\\ & \mathit{\text{dibaca}}:\\ & \text{sebuah fungsi}f\text{memetakan}xke3x+2\end{array}$

$\text{B. Sifat-Sifat Fungsi}$

$\begin{array}{|ccl|}\hline \text{Injektif}& \text{Surjektif}& \text{Bijektif}\\ (\text{satu-satu})& (\text{pada})& (\text{korespondensi satu-satu})\\ \begin{array}{rl}& \text{Jika setiap anggota}\\ & \text{himpunan A memiliki}\\ & \text{bayangan berbeda di}\\ & \text{himpunan B}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Jika setiap anggota}\\ & \text{himpunan di B}\\ & \text{mempunyai prapeta}\\ & \text{di himpunan A}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Jika fungsi yang injektif}\\ & \text{sekaligus juga surjektif}\\ & \\ & \end{array}\\ \hline\end{array}$

$\text{C. Operasi Aljabar Fungsi}$

$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Aljabar Fungsi}& \text{Daerah Asal}\\ (f+g)(x)=f(x)+g(x)& D_{{}_{(f+g)}}=D_{{}_f}\cap D_{{}_g}\\ (f-g)(x)=f(x)-g(x)& D_{{}_{(f-g)}}=D_{{}_f}\cap D_{{}_g}\\ (f.g)(x)=f(x).g(x)& D_{{}_{(f.g)}}=D_{{}_f}\cap D_{{}_g}\\ \left({\displaystyle \frac{f}{g}}\right)(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}& D_{{}_{\left(\frac{f}{g}\right)}}=D_{{}_f}\cap D_{{}_g},\\ & \text{dengan}g(x)\ne 0\\ \hline\end{array}$

$\text{D. Macam-Macam Fungsi}$

$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Fungsi Konstan}& \text{Berupa konstanta}\\ & f(x)=c\\ \text{Fungsi Identitas}& \text{Nilainya dirinya sendiri}\\ & f(x)=x\\ \text{Fungsi linear}& \text{Fungsi berupa garis lurus}\\ & f(x)=ax+b\\ \text{Fungsi Kuadrat}& \text{Fungsi Kuadrat/parabola}\\ & f(x)=a{x}^2+bx+c,a\ne 0\\ \text{Fungsi Rasional}& \text{Fungsi Pecahan}\\ & f(x)={\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}\\ \text{Fungsi Khusus 1}& \text{Fungsi Modulus(nilai mutlak)}\\ & f(x)=\left|x\right|\\ \text{Fungsi Khusus 2}& \text{Fungsi tangga}\\ & f(x)=\lfloor x\rfloor \\ \text{Fungsi Khusus 3}& \text{Fungsi genap dan ganjil}\\ & \{\begin{array}{ll}\text{Fungsi ganjil}& f(-x)=-f(x)\\ \text{Fungsi genap}& f(-x)=f(x)\end{array}\\ \hline\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Diketahui 2 humpuan sebagai berikut}:\\ & \{\begin{array}{ll}\text{P}& =\{-2,-1,0,1,2\}\\ \text{Q}& =\{0,1,2,5,7\}\end{array}\\ & \text{Di antara relasi dari P ke Q berikut manakah }\\ & \text{yang merupakan fungsi}\\ & \text{a}.\text{A}=\{(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0)\}\\ & \text{b}.\text{B}=\{(-2,1),(-1,2),(0,5),(1,7),(-2,2)\}\\ & \text{c}.\text{C}=\{(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,5),(2,7)\}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Semuanya Fungsi kecuali}\mathbf{\text{ poin b)}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Relasi berikut yang merupakan fungsi adalah}....\end{array}$

$.\begin{array}{|cll|}\hline \text{Poin}& \text{Jenis}& \text{Keterangan}\\ \text{a}& \text{Fungsi}& \begin{array}{rl}& \text{Sesuai definisi}\end{array}\\ & & \begin{array}{rl}& \text{yaitu}:\\ & \text{Setiap prepeta}\\ & \text{(anggota himpunan A) }\\ & \text{memiliki peta di }\\ & \text{himpunan B tepat satu}.\\ & \text{Tetapi}\\ & \text{bukan fungsi injektif}\\ & \text{bukan pula fungsi}\\ & \text{surjektif}\end{array}\\ \text{b}& \text{Fungsi}& \text{Sama di atas}\\ \text{c}& \text{Bukan Fungsi}& \text{Tidak sesuai definisi}\\ & & \text{hanya relasi saja}\\ \text{d}& \text{Fungsi}& \text{Sesuai definisi}\\ & & (\text{Fungsi bijektif})\\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah daerah asal dari fungsi beberapa berikut}:\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& f(x)=x-3& \text{g}.& f(x)={\displaystyle \frac{\left|x\right|}{x}}\\ \text{b}.& f(x)={\displaystyle \frac{6}{x^2-2x-8}}& \text{h}.& f(x)=\lfloor x\rfloor \\ \text{c}.& f(x)={\displaystyle \frac{x^2-3x}{x^2-2x-15}}& \text{i}.& f(x)=\left|x\right|+\lfloor x\rfloor \\ \text{d}.& y+2=x^2-5x+5& \text{j}.& f(x)=\sqrt{x^2-16}\\ \text{e}.& f(x)=|x-3|& \text{k}.& f(x)=\sqrt{2x^2-50}\\ \text{f}.& f(x)=3-|2x-1|& \text{l}.& f(x)={\displaystyle \frac{2\sqrt{x}}{x-3}}\end{array}\\ \end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{catatan}\lfloor x\rfloor \text{adalah }\\ & \text{bulat terbesar atau sama dengan}x\end{array}$.

$.\text{Jawab}$.

$.\begin{array}{|cc|}\hline (\text{a})& (\text{b})\\ \begin{array}{rl}f(x)& =x-3\\ \text{selu}& \text{ruh bilangan real}\\ & x\text{akan terdefinisi}\\ & \text{atau tetap bernilai}\\ & \text{real}\\ \text{sehi}& \text{ngga},\\ D_f& =\{x|x\in \mathbb{R}\}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}f(x)& ={\displaystyle \frac{6}{x^2-2x-8}}\\ \text{terd}& \text{efinisi ketika}\\ & \text{penyebut tidak sama}\\ & \text{dengan}0,\text{yaitu}:\\ & \begin{array}{rl}{x}^2-2x-8& \ne 0\\ (x-4)(x+2)& \ne 0\\ x\ne 4\text{dan}x& \ne -2\end{array}\\ D_f& =\{x|x\in \mathbb{R},x\ne 4\text{dan}x\ne -2\}\end{array}\\ \hline\end{array}$

$.\begin{array}{|cc|}\hline (\text{d})& (\text{e})\\ \begin{array}{rl}& y+2=x^2-5x+5\\ & y=x^2-5x+5-2\\ & f(x)=x^2-5x+3\\ & \text{Sehingga daerah}\\ & \text{asalnya}\\ & D_f=\{x|x\in \mathbb{R}\}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}f(x)& =|x-3|\\ D_f& =\{x|x\in \mathbb{R}\}\\ \text{teta}& \text{pi pada textit{range} fungsinya}\\ & \text{hanya akan berupa}\\ & \text{bilangan positif saja}.\\ \text{yait}& \text{u}:\\ R_f& =\{y|y\in \mathbb{R},y\ge 0\}\\ & \end{array}\\ \hline\end{array}$

$.\begin{array}{|cc|}\hline (\text{g})& (\text{h})\\ \begin{array}{rl}& f(x)={\displaystyle \frac{\lfloor x\rfloor }{x}}\\ & \text{Sehingga daerah}\\ & \text{asalnya}\\ & D_f=\{x|x\in \mathbb{R},x\ne 0\}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& f(x)=\lfloor x\rfloor \\ & \text{Sehingga daerah}\\ & \text{asalnya}\\ & D_f=\{x|x\in \mathbb{R}\}\\ & \end{array}\\ \hline\end{array}$.

$.\begin{array}{|cc|}\hline (\text{i})& (\text{l})\\ \begin{array}{rl}& f(x)=\sqrt{x^2-16}\\ & \text{Sehingga daerah}\\ & \text{asalnya yaitu:}\\ & x^2-16\ge 0\\ & (x+4)(x-4)\ge 0\\ & x\le -4\text{atau}x\ge 4\\ & D_f=\{x|x\le -4\text{atau}x\ge 4,x\in \mathbb{R}\}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& f(x)={\displaystyle \frac{2\sqrt{x}}{x-3}}\\ & \text{Sehingga daerah}\\ & \text{asalnya yaitu:}\\ & \{\begin{array}{ll}\bullet & x\ge 0\\ \bullet & x-3\ne 0\end{array}\\ & D_f=\{x|x\ge 0,x\ne 3,x\in \mathbb{R}\}\\ & \end{array}\\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Jika}\left|x\right|\text{menyatakan nilai mutlak}\\ & \text{dan}\lfloor x\rfloor \text{menyatakan bilangan bulat terbesarnatau sama dengan}x\\ & \text{misalkan}\lfloor 1,6\rfloor =1,\lfloor \pi \rfloor =3\\ & \text{Jika diberikan}f(x)=\left|x\right|+\lfloor x\rfloor ,\text{maka tentukanlah nilai untuk}\\ & \text{a}.f(-3,5)+f(2,5)\\ & \text{b}.f(-1,5)+f(3,5)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{c}\\ \begin{array}{rl}\text{a}.f(-3,5)+f(2,5)& =|-3,5|+\lfloor -3,5\rfloor +|2,5|+\lfloor 2,5\rfloor \\ & =3,5+(-4)+2,5+2\\ & =4\end{array}\\ \begin{array}{rl}\text{b}.f(-1,5)+f(3,5)& =|-1,5|+\lfloor -1,5\rfloor +|3,5|+\lfloor 3,5\rfloor \\ & =1,5+(-2)+3,5+3\\ & =6\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Jika diketahui relasi}f\text{dengan kondisi}\\ & \begin{array}{c}(\text{a}).f(1)=1\\ (\text{b}).f(2x)=4f(x)+6\\ (\text{c}).f(x+2)=f(x)+12x+12\end{array}\\ & \text{maka nilai}f(14)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}f(1)& =1\\ f(2.1)=f(2)& =4f(1)+6=4.1+6=10\\ f(1+2)=f(3)& =f(1)+12.1+12\\ f(3)& =1+12+12=25\\ f(3+2)=f(5)& =f(3)+12.3+12\\ f(5)& =25+36+12=73\\ f(5+2)=f(7)& =f(5)+12.5+12\\ f(7)& =73+60+12=145\\ f(7.2)=f(14)& =4.f(7)+6\\ f(14)& =4.145+6=580+6\\ & =586\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 6.& \mathbf{\text{(OSK 2013)}}\text{Fungsi}f\text{didefinisikan oleh}\\ & f(x)={\displaystyle \frac{kx}{2x+3},x=-{\displaystyle \frac{3}{2}.}}\\ & \text{Tentukanlah nilai}k\text{agar}f(f(x))=x\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}f(x)& ={\displaystyle \frac{kx}{2x+3},x\ne -\frac{2}{3}}\\ f(f(x))& =x\\ x& =f(f(x))\\ x& ={\displaystyle \frac{k\left({\displaystyle \frac{kx}{2x+3}}\right)}{2\left({\displaystyle \frac{kx}{2x+3}}\right)+3}}\\ x& ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{k^{2}x}{2x+3}}}{{\displaystyle \frac{2kx+3(2x+3)}{2x+3}}}}\\ x& ={\displaystyle \frac{k^{2}x}{2kx+6x+9}}\\ 2kx+6x+9& =k^2\\ 0& =k^2-2xk-6x-9\\ 0& =(k+3)(k-2x-3)\\ & k=-3\text{atau}k=2x+3\end{array}\end{array}$

$\text{E. Menggambar Grafik Fungsi}$

Untuk menggambar suatu fungsi  $f(x)$ dengan kondisi rumusnya telah diketahui pada diagram Kartesius adalah sebagai berikut

• Menentukan titik-titik berupa pasangan terurut $(x,y)$ dalam tabel dengan $x$ anggota dari daerah asal (domain) dan $y$ adalah anggota dari daerah kawan (kodomain).
• mengkonversi titik-titik tadi ke dalam diagram kartesius
• menghubungkan titik-titik tersebut sehingga didapatkan grafik mulus

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Gambarlah grafik fungsi}\\ & \text{a}.f(x)=2x+5\\ & \text{b}.g(x)=2x^2\\ & \text{c}.h(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{a. Menggambar grafik}f(x)=2x+5\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline x& y=f(x)=2x+5& \text{Titik}(x,y)\\ -3& f(-3)=2(-3)+5=-1& (-3,-1)\\ -2& f(-2)=2(-2)+5=3& (-2,1)\\ -1& f(-1)=2(-1)+5=3& (-1,3)\\ 0& f(0)=2(0)+5=5& (0,5)\\ 1& f(1)=2(1)+5=7& (1,7)\\ 2& f(2)=2(2)+5=9& (2,9)\\ 3& f(3)=2(3)+5=11& (3,11)\\ \hline\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{b. Menggambar grafik}f(x)=2x^2\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline x& y=f(x)=2x^2& \text{Titik}(x,y)\\ -3& f(-3)=2(-3{)}^2=18& (-3,18)\\ -2& f(-2)=2(-2{)}^2=8& (-2,8)\\ -1& f(-1)=2(-1{)}^2=2& (-1,2)\\ 0& f(0)=2(0{)}^2=0& (0,0)\\ 1& f(1)=2(1{)}^2=2& (1,2)\\ 2& f(2)=2(2{)}^2=8& (2,8)\\ 3& f(3)=2(3{)}^2=18& (3,18)\\ \hline\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{c. Menggambar grafik}f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline x& y=f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}& \text{Titik}(x,y)\\ -3& f(-3)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}& (-3,-{\displaystyle \frac{1}{3})}\\ -2& f(-2)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& (-2,-{\displaystyle \frac{1}{2})}\\ -1& f(-1)=-1& (-1,-1)\\ 0& f(0)\text{tidak ada}& -\\ 1& f(1)=1& (1,1)\\ 2& f(2)={\displaystyle \frac{1}{2}}& (2,{\displaystyle \frac{1}{2})}\\ 3& f(3)={\displaystyle \frac{1}{3}}& (3,{\displaystyle \frac{1}{3})}\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Gambarlah grafik fungsi}\\ & \text{a}.f(x)=\lfloor x\rfloor \\ & \text{b}.g(x)=\lfloor x+1\rfloor \\ & \text{c}.h(x)=\left\{x\right\}\\ \\ & \mathbf{\text{Catatan}}:\\ & \lfloor x\rfloor =\text{bilangan bulat terbesar tetapi}\\ & \text{lebih kecil atau sama dengan}x\\ & \left\{x\right\}=\text{bagian pecahan dari}x\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{a. Menggambar grafik}f(x)=\lfloor x\rfloor \\ & \begin{array}{|ccc|}\hline x& y=f(x)=\lfloor x\rfloor & \text{Titik}(x,y)\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ -1& f(-1)=\lfloor -1\rfloor =-1& (-1,-1)\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& f(-{\displaystyle \frac{1}{2})=\lfloor -{\displaystyle \frac{1}{2}}\rfloor =-1}& (-{\displaystyle \frac{1}{2},-1)}\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}& f(-{\displaystyle \frac{1}{3})=\lfloor -{\displaystyle \frac{1}{3}}\rfloor =-1}& (-{\displaystyle \frac{1}{3},-1)}\\ -{\displaystyle \frac{1}{4}}& f(-{\displaystyle \frac{1}{4})=\lfloor -{\displaystyle \frac{1}{4}}\rfloor =-1}& ({\displaystyle \frac{1}{4},-1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& f(0)=\lfloor 0\rfloor =0& (0,0)\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& f({\displaystyle \frac{1}{4})=\lfloor {\displaystyle \frac{1}{4}}\rfloor =0}& ({\displaystyle \frac{1}{4},0)}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}& f({\displaystyle \frac{1}{3})=\lfloor {\displaystyle \frac{1}{3}}\rfloor =0}& ({\displaystyle \frac{1}{3},0)}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& f({\displaystyle \frac{1}{2})=\lfloor {\displaystyle \frac{1}{2}}\rfloor =0}& (-{\displaystyle \frac{1}{2},0)}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& f(1)=\lfloor 1\rfloor =1& (1,1)\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 2{\displaystyle \frac{1}{4}}& f(2{\displaystyle \frac{1}{4})=\lfloor 2{\displaystyle \frac{1}{4}}\rfloor =2}& (2{\displaystyle \frac{1}{4},2)}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 4{\displaystyle \frac{1}{3}}& f(4{\displaystyle \frac{1}{3})=\lfloor 4{\displaystyle \frac{1}{3}}\rfloor =4}& (4{\displaystyle \frac{1}{3},4)}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \mathbf{\text{(OSK 2003)}}\text{Jika}x\text{dan}y\text{adalah bilangan real }\\ & \text{sedemikian sehingga}{\displaystyle \lfloor \sqrt{x}\rfloor =9\text{dan}{\displaystyle \lfloor \sqrt{y}\rfloor =12,}}\\ & \text{maka nilai terkecil dari}{\displaystyle \lfloor y-x\rfloor =....}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\lfloor x\rfloor \text{adalah bilangan bulat terbesar }\\ & \text{yang lebih kecil atau sama dengan}x\\ & \text{Misal}\lfloor 3,2\rfloor =3,\lfloor -2,47\rfloor =-3,\lfloor 6\rfloor =6,\text{dan lain-lain}.\\ & \text{Sehingga}\lfloor x\rfloor =a\Rightarrow a\le x<a+1(\text{dengan}a\text{bilangan bulat}),\\ & \text{maka}\\ & \{\begin{array}{ll}\lfloor \sqrt{x}\rfloor =9& \Rightarrow 9\le \sqrt{x}<9+1\\ & \iff 9\le \sqrt{x}<10\iff 81\le x<100\\ \lfloor \sqrt{y}\rfloor =12& 12\le \sqrt{y}<12+1\\ & \iff 12\le \sqrt{y}<13\iff 144\le y<169\end{array}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \bullet 144\le y<169\text{dan}\\ & \bullet 81\le x<100,\text{dikalikan dengan}(-1)\\ & \text{maka akan menjadi},\\ & -100<-x\le -81,\\ & \text{sehingga}-99,\overline{999}\le -x<-80,\overline{999}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{c}\\ 144& \le y<169& \\ -99,\overline{999}& \le -x<-80,\overline{999}& +\\ \\ 44,...& \le y-x<88,...\end{array}\\ & \text{Jadi, nilai terkecil}\lfloor y-x\rfloor =44\end{array}$

Contoh Soal Distribusi Binomial (2)

$\mathbf{\text{Contoh Variabel Acak}}$

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Sebuah uang logam ditos sebanyak 3 kali}\\ & \text{Jika}X\text{sebagai variabel acak dari kejadian}\\ & \text{munculnya sisi angka (A), maka peluang}\\ & \text{a. kejadian terjadi muncul 0 angka}\\ & \text{b. kejadian terjadi muncul 1 angka}\\ & \text{c. kejadian terjadi muncul 2 angka}\\ & \text{d. kejadian terjadi muncul 3 angka}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan bahwa}\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\\ G\to (A,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\\ G\to (A,G,G)\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\\ G\to (G,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\\ G\to (G,G,G)\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}P(X=0)& =P((G,G,G))\\ & ={\displaystyle \frac{n(X=0)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}}\\ P(X=1)& =P((G,G,A),(G,A,G),(A,G,G))\\ & ={\displaystyle \frac{n(X=1)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{8}}\\ P(X=2)& =P((G,A,A),(A,G,A),(A,A,G))\\ & ={\displaystyle \frac{n(X=2)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{8}}\\ P(X=3)& =P((A,A,A))\\ & ={\displaystyle \frac{n(X=3)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}\end{array}$

Contoh Soal Distribusi Binomial (1)

$\mathbf{\text{Contoh Peluang dan Kombinasi}}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Seorang melempar sebuah dadu dengan enam muka}\\ & \text{Tentukukanlah}\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & \text{b}.\text{peluang muncul mata dadu ganjil}\\ & \text{c}.\text{peluang muncul mata dadu genap}\\ & \text{d}.\text{peluang muncul mata dadu angka prima}\\ & \text{e}.\text{peluang muncul mata dadu kurang dari 6}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Mata}& \text{dadu ada 6, yaitu}:1,2,3,4,5,\mathrm{\&}6\\ \text{a}.& \text{Raung sampel}\\ & S=\{1,2,3,4,5,6\}\Rightarrow n(S)=6\\ \text{b}.& \text{peluang}\text{muncul mata dadu ganjil}(J)\\ & \text{Mata dadu ganjil}:1,3,5\Rightarrow n(J)=3\\ & \text{Peluangnya}={\displaystyle \frac{n(J)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\\ \text{c}.& \text{peluang}\text{muncul mata dadu ganap}(P)\\ & \text{Mata dadu ganap}:2,4,6\Rightarrow n(P)=3\\ & \text{Peluangnya}={\displaystyle \frac{n(P)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\\ \text{d}.& \text{peluang}\text{muncul mata dadu angka prima}(R)\\ & \text{Mata dadu angka prima}:2,3,5\Rightarrow n(R)=3\\ & \text{Peluangnya}={\displaystyle \frac{n(R)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\\ \text{e}.& \text{peluang}\text{muncul mata dadu kurang dari 6}(Z)\\ & \text{Mata dadu kurang dari 6}:1,2,3,4,5\Rightarrow n(Z)=5\\ & \text{Peluangnya}={\displaystyle \frac{n(Z)}{n(S)}=\frac{5}{6}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Andi akan mengambil 4 buah bola dari}\\ & \text{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ & \text{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ & \text{oleh Andi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}n=10& \text{dan}r=4\\ C(n,r)& ={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ C(10,4)& ={\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}}\\ & =420\text{kombinasi warna bola berbeda}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Dua kantong berisi bola merah dan biru}\\ & \text{Kantong I memuat 4 bola merah dan }\\ & \text{6 bola biru. Sedangkan kantong II memuat}\\ & \text{5 bola merah dan 3 bola biru. Jika pada}\\ & \text{masing-masing kantong diambil 2 bola}\\ & \text{sekaligus, maka peluang terambilnya}\\ & \text{1 bola merah dan 1 bola biru pada kantong}\\ & \text{I serta 2 bola biru pada kantong II}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Kejadian di atas adalah kejadian saling}\\ & \text{bebas karena tidak saling mempengaruhi}\\ & \begin{array}{rl}\text{Misal}& X=\text{kejadian terambil}1M,1B\\ \bullet & \text{pada kantong I}\\ P(X)& ={\displaystyle \frac{C(4,1)\times C(6,1)}{C(10,2)}}\\ & ={\displaystyle \frac{4\times 6}{{\displaystyle \frac{10\times 9}{2}}}=\frac{8}{15}}\\ \text{Misal}& Y=\text{kejadian terambil}2B\\ \bullet & \text{pada kantong II}\\ P(Y)& ={\displaystyle \frac{C(3,2)}{C(8,2)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{{\displaystyle \frac{8\times 7}{2}}}=\frac{3}{28}}\\ \text{maka}& \text{peluang dari}X\text{dan}Y\\ P(X\cap Y)& =P(X)\times P(Y)\\ & ={\displaystyle \frac{8}{15}\times \frac{3}{28}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{35}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ & \text{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ & \text{kelompok, jika}\\ & \text{a. tanpa perlakuan khusus}\\ & \text{b. salah seorang harus terpilih}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tanpa perlakuan}\\ & \text{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ & C(10,3)={\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=120}\\ \text{b}.& \text{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ & (\text{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ & \text{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ & C(9,2)={\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=36}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ & \text{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ & \text{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ & \text{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ & \text{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Banyak}& \text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}}\\ & =3675375\end{array}\end{array}$

Lanjutan Materi Distribusi Peluang Diskrit (Matematika Peminatan Kelas XII)

$\begin{array}{rl}\text{C. 1}.& \text{Distribusi Peluang Diskrit}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan}X\text{adalah variabel acak diskrit}\\ & \text{dari nilai}:x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots ,x_k,\text{dan}\\ & P\text{adalah seluruh nilai peluang untuk}:\\ & p_1,p_2,p_3,p_4,\cdots ,p_k,\text{maka nilai untuk}\\ & p_1+p_2+p_3+p_4+\cdots +p_k=1\\ & \mathbf{\text{dan}}\\ & \text{Fungsi}f(x)=P(X=x)\text{yang mempunyai}\\ & \text{nilai}{p}_1,p_2,p_3,p_4,\cdots ,p_k,\text{pada variabel}\\ & X=x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots ,x_k,\text{disebut fungsi}\\ & \text{kepekatan peluang dari variabel acak}X.\\ & \text{Selanjutnya jika kita gambar grafik}f(x)\\ & \text{terhadap}x,\text{maka kita akan grafik yang}\\ & \text{dinamakan dengan}\mathbf{\text{grafik peluang}}\end{array}$

Suatu fungsi  $f(x)=P(X=x)$  disebut fungsi peluang (probabilitas) dari  $X$, jika memenuhi syarat-syarat:

$\begin{array}{c}(\text{i})f(x)\ge 0\text{untuk semua}x\\ \\ (\text{ii})\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)=f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+...+f(x_n)=1\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Pada percobaan melempar 3 koin identik}\\ & \text{sekaligus bersama-sama. Variabel acak}\\ & \text{dalam hal ini pada kejadian muncul sisi}\\ & \text{gambar, tentukan}\\ & \text{a}.\text{distribusi peluangnya}\\ & \text{b}.\text{tabel fungsi peluangnya}\\ & \text{c}.\text{grafik fungsi peluangnya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui dari soal}\text{variabel acak}\\ & \text{pada kejadian di atas adalah munculnya}\\ & \text{sisi gambar pada pelemparan 3 koin}\\ & \text{maka}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Distribusi peluangnya}\\ & \begin{array}{|lcccccccc|}\hline \text{Sampel}& AAA& AAG& AGA& AGG& GAA& GAG& GGA& GGG\\ \text{Muncul}(G)& 0& 1& 1& 2& 1& 2& 2& 3\\ \hline\end{array}\\ \text{b}.& \text{Tabel fungsi peluangnya}\\ & x=\text{muncul kejadian sisi gambar}(G)\\ & \begin{array}{|cccccc|}\hline x& 0& 1& 2& 3& \text{Jumlah}\\ f(x)& {\displaystyle \frac{1}{8}}& {\displaystyle \frac{3}{8}}& {\displaystyle \frac{3}{8}}& {\displaystyle \frac{1}{8}}& 1\\ \hline\end{array}\\ \text{c}.& \text{Grafik fungsi peluangnya adalah}\\ & \end{array}\end{array}$

 

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Pada sebuah kotak terdapat 2 kelereng}\\ & \text{biru dan 4 kelereng merah. Tiga kereng}\\ & \text{diambil secara acak. Tentukanlah distribusi}\\ & \text{peluang}x\text{jika}x\text{menyatakan banyaknya}\\ & \text{terambilnya bola biru}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{|lc|}\hline \text{Nama}& \text{Perhitungan}\\ \text{Banyak}& \\ \text{titik sampel}& \begin{array}{rl}{C}_3^6& ={\displaystyle \frac{6!}{3!(6-3)!}=20}\end{array}\\ \text{Banyak cara}& \\ \text{mendapatkan bola biru}& C_x^2\\ \text{Banyak cara}& \\ \text{mendapatkan bola merah}& C_{3-x}^4\\ \hline\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{|ll|}\hline \text{Distribusi peluang}& \text{Perhitungan}\\ P(X=x)=f(x)& f(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_x^2.C_{3-x}^4}}{{\displaystyle C_3^6}},}\\ \text{untuk}& \begin{array}{rl}x& =0,1,2\end{array}\\ x=0\Rightarrow P(x=0)& f(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_0^2.C_{3-0}^4}}{{\displaystyle C_3^6}}}\\ & .={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_0^2.C_3^4}}{{\displaystyle C_3^6}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2!}{0!2!}\times \frac{4!}{3!1!}}}{{\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}}}}\\ & .={\displaystyle \frac{2!4!3!3!}{2!3!6!}=0,2}\\ x=1\Rightarrow P(x=1)& f(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_1^2.C_{3-1}^4}}{{\displaystyle C_3^6}}}\\ & .={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_1^2.C_2^4}}{{\displaystyle C_3^6}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2!}{1!1!}\times \frac{4!}{2!2!}}}{{\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}}}}\\ & .={\displaystyle \frac{2!4!3!3!}{2!2!6!}=0,6}\\ x=2\Rightarrow P(x=2)& f(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_2^2.C_{3-2}^4}}{{\displaystyle C_3^6}}}\\ & .={\displaystyle \frac{{\displaystyle C_2^2.C_1^4}}{{\displaystyle C_3^6}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2!}{2!0!}\times \frac{4!}{1!3!}}}{{\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}}}}\\ & .={\displaystyle \frac{2!4!3!3!}{2!3!6!}=0,2}\\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tunjukkan bahwa fungsi}P(x)={\displaystyle \frac{x+2}{12}}\\ & \text{untuk}x=1,2,\text{dan}3\text{merupakan fungsi}\\ & \text{peluang}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Perhatik}& \text{an bahwa}\\ \bullet P(1)& ={\displaystyle \frac{1+2}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}}\\ \bullet P(2)& ={\displaystyle \frac{2+2}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}}\\ \bullet P(3)& ={\displaystyle \frac{5+2}{12}=\frac{5}{12}}\\ \text{Sehing}& \text{ga}{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}P(i)={\displaystyle \frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{5}{12}=\frac{12}{12}=1}}\\ & \{\begin{array}{ll}(\text{i})& \text{Peluangnya berada}0\le P(i)\le 1\\ (\text{ii})& \text{dan nilai totolnya}={\displaystyle \sum _{i=1}^{3}P(i)=1}\end{array}\\ \text{Jadi},& \text{fungsi}P(x)={\displaystyle \frac{x+2}{12}\text{untuk}x=1,2,\text{dan}3}\\ & \mathbf{\text{merupakan fungsi peluang}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Diketahui fungsi peluang adalah}P(x)={\displaystyle \frac{m}{x+1}}\\ & \text{untuk}x=0,1,2,\text{dan}3.\text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{nilai}m\\ & \text{b}.\text{nilai}P(x\le 2)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& {\displaystyle \sum _{i=0}^{3}P(i)=1}\\ & \iff {\displaystyle \frac{m}{0+1}+\frac{m}{1+1}+\frac{m}{2+1}+\frac{m}{3+1}=1}\\ & \iff m+{\displaystyle \frac{m}{2}+\frac{m}{3}+\frac{m}{4}=1}\\ & \iff \left({\displaystyle \frac{12+6+4+3}{12}}\right)m=1\\ & \iff m={\displaystyle \frac{12}{25}}\\ \text{b}.& P(x\le 2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)\\ & \iff m+{\displaystyle \frac{m}{2}+\frac{m}{3}=1}\\ & \iff \left({\displaystyle \frac{6+3+2}{6}}\right)m={\displaystyle \frac{11}{6}m}\\ & \iff ={\displaystyle \frac{11}{6}\left({\displaystyle \frac{12}{25}}\right)=\frac{22}{25}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Diketahui fungsi}f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x}{6}}& \text{untuk}x=1,2,3\\ \\ 0& \text{untuk}x\text{yang lain}\end{array}\\ & \text{adalah suatu fungsi peluang/probabilitas}\\ & \text{dari pubah/variabel acak}X.\text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{distribusi peluangnya untuk}X\\ & \text{b}.P(X=2),P(X<3),\text{dan}P(X\ge 2)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Distribusi peluangnya adalah}:\\ & \begin{array}{|cccccccc|}\hline X=x& 1& 2& 3& 4& 5& \cdots & \text{Jumlah}\\ P(X=x)& {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{2}{6}}& {\displaystyle \frac{3}{6}}& 0& 0& 0& 1\\ \hline\end{array}\\ \text{b}.& \text{Karena}f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x}{6}}& \text{untuk}x=1,2,3\\ \\ 0& \text{untuk}x\text{yang lain}\end{array}\\ & \text{maka}\\ & \bullet P(X=2)={\displaystyle \frac{2}{6}}\\ & \bullet P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{2}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\\ & \bullet P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)\\ & ={\displaystyle \frac{2}{6}+\frac{3}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{6}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Diketahui fungsi peluang variabel}X\\ & f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x+2}{14}}& \text{untuk}x=0,1,2,\text{dan}3\\ \\ 0& \text{untuk}x\text{yang lain}\end{array}\\ & \text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{bahwa}X\text{merupakan variabel acak diskrit}\\ & \text{b}.P(X=4),F(2),P(1<X\le 3),\\ & \text{dan}P(X\ge 1)\text{serta}P(|X-2|\le 1)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Distribusi peluangnya adalah}:\\ & \overline{)\begin{array}{cccccc}X=x& 0& 1& 2& 3& \text{Jumlah}\\ P(X=x)& {\displaystyle \frac{2}{14}}& {\displaystyle \frac{3}{14}}& {\displaystyle \frac{4}{14}}& {\displaystyle \frac{5}{14}}& 1\end{array}}\\ & \text{Karena}{\displaystyle \sum _{x=0}^{3}f(x)=1,\text{serta}}\\ & 0\le {\displaystyle \frac{2}{14},\frac{3}{14},\frac{4}{14},\frac{5}{14}<1.\text{Sehingga syarat}}\\ & 0\le f(x)<1\text{dan}\sum f(x)=1\mathbf{\text{terpenuhi}}\\ & \text{Jadi, terbukti}X\text{adalah variabel acak diskrit}\\ \text{b}.& \bullet P(X=4)=f(4)=0\\ & \bullet F(2)=P(X\le 2)\\ & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ & =f(0)+f(1)+f(2)\\ & ={\displaystyle \frac{2}{14}+\frac{3}{14}+\frac{4}{14}=\frac{9}{14}}\\ & \bullet P(1<X\le 3)=P(X=2)+P(X=3)\\ & =f(2)+f(3)={\displaystyle \frac{4}{14}+\frac{5}{14}={\displaystyle \frac{9}{14}}}\\ & \bullet P(X\ge 1)=f(1)+f(2)+f(3)\\ & ={\displaystyle \frac{3}{14}+\frac{4}{14}+\frac{5}{14}={\displaystyle \frac{12}{14}}}\\ & \bullet P(|X-2|\le 1)=P(-1\le X-2\le 1)\\ & =P(1\le X\le 3)\\ & =f(1)+f(2)+f(3)\\ & ={\displaystyle \frac{3}{14}+\frac{4}{14}+\frac{5}{14}={\displaystyle \frac{12}{14}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Distribusipeluang acak X disajikan dalam tabel berikut}\\ & \begin{array}{|cccc|}\hline x& 2& 3& 4\\ f(x)& {\displaystyle \frac{1}{8}}& k+{\displaystyle \frac{1}{8}}& 2k\\ \hline\end{array}\\ & \text{Jika X merupakan variabel acak diskret, tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{nilai textit{k}}\\ & \text{b}.\text{nilai}\text{P}(\text{X}\ge 3)-\text{F}(3)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.\sum f(x)& =f(2)+f(3)+f(4)=1\\ \iff & {\displaystyle \frac{1}{8}+k+\frac{1}{8}+2k=1}\\ \iff & 3k=1-{\displaystyle \frac{2}{8}=\frac{6}{8}}\\ \iff & k={\displaystyle \frac{2}{8}=\frac{1}{4}}\\ \text{b}.\text{P}(\text{X}\ge 3& )-\text{F}(3)=\text{P}(\text{X}\ge 3)-\text{P}(\text{X}\le 3)\\ & =f(3)+f(4)-(f(2)+f(3))\\ & =f(4)-f(2)\\ & =2\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)-\frac{1}{8}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}}\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
2. Kurnia, N., dkk. 2018. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: YUDHISTIRA.

Distribusi Binomial (Matematika Peminatan kelas XII)

$\text{A. Pendahuluan}$

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}(1)\text{Review}\{\begin{array}{l}\text{Peluang}\{\begin{array}{l}\text{Populasi}\\ \text{Sampel}\{\begin{array}{l}\text{Acak}\\ \text{Bukan Acak}.\end{array}\end{array}\\ \text{Kombiasi}& \end{array}\\ (2)\text{Variabel Acak}\{\begin{array}{ll}\text{Diskrit}& .\\ \text{Kontinue}& \end{array}\\ (3)\text{Distribusi}\{\begin{array}{ll}\text{Distribusi Peluang Variabel Acak}& \\ \text{Fungsi Distribusi Kumulatif}& \\ \text{Variabel Acak Binomial}& \\ \text{Distribusi Binomial}\end{array}\end{array}\end{array}$

$\text{Penjelasan}$

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Penjelasan}\\ 1& \text{Statistika}& \text{Ilmu tentang pengumpulan, pengolahan},\\ & & \text{penganalisaan serta penarikan kesimpulan}\\ & & \text{data. Selanjutnya akan dibagi dua yaitu}\\ & & \text{deskriptif dan inferensia}\\ 2& \text{Statistik}& \text{Kumpulan data/ukuran sampel}\\ 3& \text{Parameter}& \text{Ukuran populasi}\\ 4& \text{Populasi}& \text{Keseluruhan/semua anggota objek/data}\\ 5& \text{Sampel}& \text{Subjek/Objek yang mewakili populasi}\\ 6& \text{Sesus}& \text{Penelitian seluruh data (populasi)}\\ 7& \text{Tekik}& \text{Cara pengambilan data terbatas pada}\\ & \text{Sampling}& \text{sebagian saja dari populasi yang diteliti}\\ \hline\end{array}$

$\text{lanjutan}$

$\begin{array}{|lll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Penjelasan}\\ 8& \text{Cara}& \text{atau radom}.\text{yaitu setiap elemen populasi}\\ & \text{Acak}& \text{memiliki kesempatan yang yang sama}\\ & & \text{sehingga bersifat objektif}\\ 9& \text{Ruang}& \text{Himpunan dari semua hasil yang mungkin}\\ & \text{Sampel}& \text{dari sebuah percobaan}\\ 10& \text{Variabel}& \text{Suatu fungsi (aturan) yang memetakan }\\ & \text{Acak}& \text{setiap anggota ruang sampel dengan}\\ & (\text{VA})& \text{sebuah bilangan riil. Biasanya dinotasikan}\\ & & \text{dengan huruf besar, sedangkan nilai}\\ & & \text{variabel acaknya dinotasikan dengan}\\ & & \text{huruf kecil}\\ 11& (\text{VA})& \text{Jika VA tersebut memiliki sejumlah nilai}\\ & \text{Diskrit}& \text{yang dapat dihitung(berupa bilangan}\\ & & \text{bulat positif)}\\ 12& \text{VA}& \text{Sebaliknya yaitu berupa bilangan yang}\\ & \text{Kontinu}& \text{tidak bulat}\\ \hline\end{array}$

$\text{Sebagai contoh}$

$\begin{array}{rl}\mathbf{\text{a}}& \text{Variabel Acak Diskrit (Bilangan bulat positif)}\\ & \bullet \text{Jumlah siswa kelas XII MIA MA FUTUHIYAH}\\ & \text{JEKETRO GUBUG}\\ & \bullet \text{Jumlah guru laki-laki di MA FUTUHIYAH}\\ & \text{JEKETRO GUBUG}\\ & \bullet \text{Jumlah guru dan siswa di MA FUTUHIYAH}\\ & \text{JEKETRO GUBUG yang tidak terpapar}\\ & \text{COVID-19}\\ & \bullet \text{Jumlah motor yang terjual dalam sebulan}\\ \mathbf{\text{b}}& \text{Variabel Acak Kontinu (Bukan bilangan bulat)}\\ & \bullet \text{Jumlah miyak yang tumpah di suatu lantai}\\ & \bullet \text{Ketinggian permukaan air di sebuah waduk}\end{array}$

$\text{B. Variabel Acak}$

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Definisi}\\ 13& \text{Variabel}& \text{Suatu variabel}X\text{adalah variabel acak jika}\\ & \text{Acak}& \text{nilai-nilai yang dimiliki oleh}X\text{merupakan}\\ & & \text{suatu kemungkinan atau peristiwa acak}.\\ & & \text{Selanjutnya variabel acak dibedakan}\\ & & \text{menjadi dua, yaitu variabel acak diskrit dan}\\ & & \text{variabel acak kontinu sebagaimana pada}\\ & & \text{penjelasan sebelumnya di atas}\\ \hline\end{array}$

$\text{C. Distribusi Peluang}$

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Definisi}\\ 14& \text{Distribusi}& \text{Sebuah daftar yang berisi seluruh hasil}\\ & \text{Peluang}& \text{yang mungkin dari suatu percobaan dan}\\ & (\text{Probabilitas})& \text{probabilitas yang berkaitan dengan setiap}\\ & & \text{hasil tersebut}.\\ & & \text{Nilai probabilitas berada di antara 0 dan 1}\\ & & \text{Jumlah dari seluruh probabilitas hasil harus}\\ & & \text{harus sama dengan 1}\\ \hline\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah koin dilempar sebanyak tiga kali}\\ & \text{a}.\text{tentukan semua titik sampelnya}\\ & \text{b}.\text{tentukan peluang mendapatkan tepat}\\ & \text{dua gambar}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Sebuah koin hanya memiliki dua muka,}\\ & \text{yaitu muka gambar (G) dan muka angka (A)}\\ & \text{sehingga setiap pelemparan hanya memiliki}\\ & \text{dua kemungkinan, yaitu muncul sisi A atau G}\\ & \text{maka ruang sampelnya adalah}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\\ G\to (A,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\\ G\to (A,G,G)\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\\ G\to (G,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\\ G\to (G,G,G)\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\\ & \text{Jadi, banyaknya ruang sampel adalah }8\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{b}.& \text{Dari ruang sampel yang tepat}\\ & \text{ada 2 sisi gambar : AGG,GAG,GGA}\\ & \text{sehingga peluangnya}={\displaystyle \frac{3}{\text{total ruang sampel}}=\frac{3}{8}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Misalkan}X\text{menyatakan sisi angka (A)}\\ & \text{pada soal No.1 di atas, tentukanlah nilai}\\ & X\text{yang mungkin}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah ilustrasi berikut}\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\mathbf{\text{Nilai}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\to \to \to X=3\\ G\to (A,A,G)\to \to \to X=2\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\to \to \to X=2\\ G\to (A,G,G)\to \to \to X=1\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\to \to \to X=2\\ G\to (G,A,G)\to \to \to X=1\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\to \to \to X=1\\ G\to (G,G,G)\to \to \to X=0\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\\ & \text{Jadi, nilai}X\text{yang mungkin}=0,1,2,\text{atau}3\end{array}\end{array}$

Perhatikanlah contoh pada No.2 di atas, nilai  X  ternyata tidak memiliki nilai tunggal. Karena  X  tidak memiliki nilai tunggal, maka  X  selanjutnya disebut dengan variabel. Dan variabel seperti ini yang nilainya ditentukan oleh percobaan sehingga akan mendapatkan beberapa kemungkinan selanjutnya disebut dengan variabel acak. Sehingga  X  pada No.2 di atas adalah salah satu contoh untuk variabel acak. 

Download Mapel Agama

 

Download di sini Fiqih XI MA