PAS MATEMATIKA BLOG

Polinom / Suku Banyak (Matematika Peminatan Kelas XI)

$\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

Polinom disebut juga suku banyak. Polinom atau suku banyak adalah suatu bentuk variabel yang berpangkat/berderajat.

Secara definisi suku banyak (polinomial) dalam $x$ berderajat $n$ adalah:

Suatu bentuk

$\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}$

dengan $n$ bilangan cacah serta $a_{0},\: a_{1},\: a_{2},\: ...,\: a_{n}$ koefisien dari suku $x$ dan $a_{n}\neq 0$ dengan $a_{0}$ sebagai suku tetap (konstan)nya.

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut!

$\color{purple}\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}a_{n}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{n}\\ a_{n-1}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{n-1}\\ a_{n-2}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{n-2}\\ \vdots &\\ a_{2}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{2}\\ a_{1}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{1}\\ a_{0}&\: \: \textrm{adalah konstanta} \\ &(\textrm{suku tetap}) \end{aligned}&\begin{aligned}a_{n}\: &\: \neq 0\\ n:&\: \: \textrm{bilangan cacah},\\ :&\: \: \textrm{adalah derajat (pangkat)} \\ &\: \: \textrm{tertinggi dalam suku} \\ &\: \: \textrm{banyak tersebut}&\\ &\\ &\\ &\end{aligned}\\\hline \end{array}$

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 1}$

$\begin{aligned}1.\quad&\textrm{Polinom}\: \: \color{red}2x^{3}-6x^{2}+2020\: \: \color{black}\textrm{dapat dinyatakan}\\ &\textrm{dengan}\: \: \: \color{blue}2x^{3}-6x^{2}+0x^{1}+2020x^{0}\\ &\textrm{Polinom tersebut memiliki suku tetap}\: \: 2020\\ 2.\quad&\textrm{Polinom}\: \: \color{red}5x^{4}-8x^{3}+6x-2021 \: \: \color{black}\textrm{dapat dinyatakan}\\ &\textrm{dengan}\: \: \: \color{blue}5x^{4}-8x^{3}+0x^{2}+6x^{1}-2021x^{0}\\ &\textrm{Polinom tersebut memiliki suku tetap}\: \: -2021\\ 3.\quad&\textrm{Polinom}\: \: \color{red}x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-2\sqrt{x}+1 \: \: \color{black}\textrm{tidak dapat}\\ &\textrm{dinamakan polinom, sebab ada variabel dari}\: \: \: \color{blue}x\\ &\textrm{yang berderajat bukan bilangan cacah}\\ 4.\quad&\textrm{Sedangkan polinom}\: \: \color{red}5-x+(2-x)(1+x+x^{2})\\ &\textrm{adalah bentuk polinom, karena dapat dinayatakan}\\ &\textrm{dengan}\: \: \: \color{blue}-x^{3}+x^{2}+7 \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{B. Nilai Polinom}$

Polinom atau suku banyak yang berderajat $\color{red}n$ yang selanjutnya dinyatakan dengan

$f(x)=\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{1}x^{1}+a_{0}$

Berkaitan dengan kebutuhan penentuan nilai ini, dapat ditentukan dengan dua cara:

$\textbf{a. Substitusi}$

$\begin{aligned}&\textrm{Nilai suku banyak}\: \: \color{red}f(x)\: \: \textrm{berderajat}\\ &n\: \: \textrm{saat}\: \: \color{red}x = k\: \: \color{black}\textrm{adalah}\: \: \color{blue}f(k).\\ &\textrm{Jika}\: \: f(k)=0\: \: \textrm{maka}\: \: x = k\: \: \textrm{akar dari}\: \: f(x),\\ &\textrm{dan}\: \: (x-k)\: \: \textrm{faktor dari}\: \: f(x)\\ &\end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 2}$

Jika suatu polinom dinyatakan dengan $f(x)$, maka nilai polinom itu untuk $x=3$ adalah $f(3)$.

Misalkan diketahui

$\begin{aligned}1.\quad f(x)&=x^{3}-1\\ \textrm{mak}&\textrm{a}\\ f(1)&=1^{3}-1=1-1=0\\ f(3)&=3^{3}-1=27-1=26\\ f(-4)&=(-4)^{2}-1=-64-1=-65 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: h(x)=2x^{3}+5x^{2}-12x-6\\ &\textrm{Tentukanlah nilai untuk}\: \: h(-2),\: h(-1),\\ &h(0),\: h(1),\: \: \textrm{dan}\: \: h(2)\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|l|}\hline \color{red}x=k&\color{red}h(k)&\qquad\qquad\qquad\qquad\color{red}\textrm{Nilai}\\\hline x=-2&h(-2)&\begin{aligned}h(-2)&=2(-2)^{3}+5(-2)^{2}-12(-2)-6\\ &=-16+20+24-6\\ &=22 \end{aligned}\\\hline x=-1&h(-1)&\begin{aligned}h(-1)&=2(-1)^{3}+5(-1)^{2}-12(-1)-6\\ &=-2+5+12-6\\ &=9 \end{aligned}\\\hline x=0&h(0)&\begin{aligned}h(0)&=2(0)^{3}+5(0)^{2}-12(0)-6\\ &=-6 \end{aligned}\\\hline x=1&h(1)&\begin{aligned}h(1)&=2(1)^{3}+5(1)^{2}-12(1)-6\\ &=2+5-12-6\\ &=-11 \end{aligned}\\\hline x=2&h(2)&\begin{aligned}h(2)&=2(2)^{3}+5(2)^{2}-12(2)-6\\ &=16+20-24-6\\ &=6 \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui}\: \: p(x)=x-2019\\ &\textrm{dan}\: \: q(x)=x^{2019}+1.\: \textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{nilai untuk}\: \: p\left ( q(2) \right )\: \: \textrm{dan}\: \: q\left ( p(2) \right )\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Yang dibahas yang bagian}\: \: p\left ( q(2) \right )\\ &q(2)=2^{2019}+1,\: \textrm{maka nilai}\\ &\begin{aligned}p\left ( q(2) \right )&=\left ( 2^{2019}+1 \right )-2019\\ &=2^{2019}-2018 \end{aligned}\\\\ &\textrm{Untuk yang}\: \: q\left ( p(2) \right )\: \: \textrm{adalah}\\ &p(2)=\cdots , \: \textrm{maka nilai}\\ &\begin{aligned}q\left ( p(2) \right )&=\because \cdots ^{2019}+1\\ &=\cdots \end{aligned} \end{array}$

$\textbf{b. Horner/Sintetik}$

Nilai suatu polinom dapat ditentukan dengan pembagian sintesis Horner

Misalkan:

$\begin{aligned}f(x)&=\color{blue}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\: \: \color{black}\textrm{saat akan dibagi}\\ &\color{red}x=h,\: \: \color{black}\textrm{maka pembagian Horner itu}:\\ & \end{aligned}$

Perhatikan bahwa proses ke bawah adalah berup proses penjumlahan.

Proses di atas akan sama saat kita mensubstitusikan $\color{red}x=h$ ke dalam $\color{red}f(x)$, yaitu:

$\begin{aligned}f(x)&=\color{blue}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\: \: \textrm{saat}\\ &\color{red}x=h,\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ f(\color{red}h\color{black})&=a\color{red}h^{3}\color{black}+b\color{red}h^{2}\color{black}+c\color{red}h\color{black}+d\\ &\\ &\textbf{Cukup JELAS bukan}? \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 3}$

$\begin{array}{l}\\ \textrm{Tentukanlah nilai dari}\: \: f(4)\: \: \textrm{jika}\\ \textrm{diketahui}\: \: f(x)=x^{3}-x-5\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{aligned}(1).\quad&\textrm{Cara substitusi langsung}\\ &f(x)=x^{3}-x-5\\ &f(4)=\color{red}4^{3}-4-5\\ &\qquad=\color{red}64-9=\color{blue}55\\ (2).\quad&\textrm{Cara Horner}\\ &\textrm{Karena}\: \: f(x)=x^{3}-x-5\\ &\textrm{dan koefisiennya yang akan}\\ &\textrm{adalah}:\\ & a_{3}=1,\: a_{2}=0,\: a_{1}=-1,\: \&\: a_{0}=-5\\ &\textbf{maka bagan pembagian Hornernya}\\ &\begin{array}{ll|llllllllll}\\ &\color{red}x=4&1&\color{blue}0&\color{magenta}-1&-5&\\ &&&&&&\\ &&&\color{blue}4&\color{magenta}16&60&+\\\hline &&1&\color{blue}4&\color{magenta}15&55 \end{array} \end{aligned} \end{array}$

Lanjutan Materi Vektor Di Ruang Dimensi Dua (Matematika Peminatan Kelas X)

$\color{blue}\textrm{E. Modulus Vektor}$

Modulus suatu vektor adalah ukuran (panjang) suatu vektor. Dalam hal ini modulus suatu vektor adalah besar/panjang suatu vektor.

Lihat pada pembahasan sebelumnya tentang panjang vektor di $\color{red}\textrm{R}^{2}$ di sini.

Dalam menuliskan modulus/panjang vektor ini digunakan notasi $\left | \overline{a} \right |$ jika vektornya $\overline{a}$.

Bila $\color{red}\overline{a}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{pmatrix},\: \: \color{black}\textrm{maka}\: \: \color{red}\left | \overline{a} \right |=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

Tentukanlah modulus/panjang vektor $\overline{u}$ ?

Jawab:

$\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa vektor}\: \: \color{red}\overline{u}=\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka modulus vektor}\: \: \overline{u}\\ &=\left | \overline{u} \right |\\ &=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\\ &=\color{red}2\sqrt{13} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{F. Vektor Posisi dan Vektor Bebas}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Vektor yang titik pangkalnya berada di titik O(0,0), maka vektor tersebut dinamakan vektor posisi. Pada gambar di atas titik A rekatif terhadapa O(0,0), maka $\color{red}\overline{OA}$ disebut vektor posisi A terhadap titik O(0,0) dan vektor yang lainnya dinamakan vektor bebas. Pada gambar di atas $\color{red}\overline{BC}\: \&\: \overline{DF}$ adalah contoh vektor bebasnya.

$\color{blue}\textrm{G. Kesamaan Dua Vektor}$

Perhatikanlah dua vektor bebas pada gambar di atas, cukup jelas secara geometri tampak panjang vektor $\color{red}\overline{BC}\: \&\: \overline{DF}$ sama. Dan secara aljabar dapat ditunjukkan juga bahwa:

$\color{red}\overline{BC}=\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}\: \&\: \color{red}\overline{DF}=\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}$

Secara definisi

$\overline{a}=\overline{b}\: \: \begin{cases} \bullet & \left | \overline{a} \right |=\left | \overline{b} \right | \\\\ \bullet & \textrm{arah}\: \: \overline{a}=\textrm{arah}\: \: \overline{b} \end{cases}$

$\color{blue}\textrm{H. Vektor Negatif}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

$\color{red}\overline{a}=\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}\: \color{black}\&\: \: \color{red}\overline{b}=\color{black}\begin{pmatrix} -4\\ -6 \end{pmatrix}=-\color{red}\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}$

Vektor $\color{red}-\: \overline{a}=\overline{b}$ memiliki ukuran yang sama dengan $\overline{a}$.

Selanjutnya vektor $\color{red}\overline{a}=-\: \overline{b}\: \: \color{black}\textrm{maka}\: \: \color{red}\left | \overline{a} \right |=\left | \overline{b} \right |$

$\color{blue}\textrm{I. Vektor Satuan}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Jika diketahui $\color{red}\overline{a}\: \color{black}\&\: \: \color{red}\overline{b}$ seperti gambar di atas, maka

$\begin{cases} \color{red}\displaystyle \frac{\overline{a}}{\left | \overline{a} \right |} & \color{black}\textrm{adalah vektor satuan dari vektor}\: \: \: \color{red}\overline{a} \\\\ \color{red}\displaystyle \frac{\overline{b}}{\left | \overline{b} \right |} & \color{black}\textrm{adalah vektor satuan dari vektor}\: \: \: \color{red}\overline{b} \end{cases}$

Dan panjang dari vektor satuan ini adalah selalu satu satuan.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

Tentukanlah vektor satuan dari dua vektor pada gambar di atas?

Jawab:

$\begin{cases} \color{red}\displaystyle \frac{\overline{a}}{\left | \overline{a} \right |} & \color{black}=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix}}{\sqrt{(-2)^{2}+5^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{29}}\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{29}\sqrt{29}\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix} \\\\ \color{red}\displaystyle \frac{\overline{b}}{\left | \overline{b} \right |} & \color{black}=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix}}{\sqrt{6^{2}+4^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{52}}\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{26}\sqrt{52}\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix} \end{cases}$

$\color{blue}\textrm{J. Vektor Basis}$

Vektor satuan yang saling tegak lurus. Didalam ruang dimensi dua terdapat dua vektir basis., yaitu:

$\bar{i}=\color{red}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\: \: \color{black}\textrm{dan}\: \: \bar{j}=\color{blue}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan vektor}\: \: \bar{u}=\color{red}\begin{pmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{pmatrix}\\ &\textrm{dapat dinyatakan dalam kombinasi linear}\\ &\textrm{vektor basis}\: \: \bar{i}\: \: \textrm{dan}\: \: \bar{j}\: \: \textrm{di atas, yaitu}\\ &\bar{u}=\begin{pmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{pmatrix}=u_{1}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}+u_{2}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka akan menjadi}\\ &\bar{u}=u_{1}\bar{i}+u_{2}\bar{j}\\ &\textrm{SEBAGAI CONTOH}\\ &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 5\\ 8 \end{pmatrix}\: \: \color{blue}\textrm{dalam vektor basis menjadi}\\ &\overline{AB}=5\bar{i}+8\bar{j}\\ &\textrm{Demikian juga jika}\\ &\overline{CD}=\begin{pmatrix} -3\\ -8 \end{pmatrix}\: \: \color{red}\textrm{dalam vektor basis menjadi}\\ &\overline{AB}=-3\bar{i}-8\bar{j}\\ \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{K. Vektor Nol}$

Jika vektor $\overline{a}=\overline{b}$ , maka $\overline{a}-\overline{b}=0$.

$\textbf{0}$ disebut sebagai vektor ol.

Sebagai tabahan penjelasan vektor $\textbf{0}$ tidak mempunyai besar dan arahnya tak tentu.

Operasi Vektor Di Ruang Dimensi Dua (Matematika Peminatan Kelas X)

$\color{blue}\textrm{D. Operasi Vektor}$

$\color{blue}\textrm{1. Penjumlahan}$

$\color{blue}\textrm{1. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Penjumlahan di atas adalah penjumlahan menurut aturan segitiga,

perhatikan pula pemisalan berikut

$\begin{aligned}&\textrm{Menurut aturan segitiga}\\ &\overline{AB}+\overline{BC}=\bar{a}+\bar{b}=\overline{AC},\quad \color{red}\textrm{Selanjutnya}\\ &\overline{AC}+\overline{CD}=\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}=\overline{AD},\quad \color{red}\textrm{maka}\\ &\overline{AD}+\overline{DE}=\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}+\bar{d}=\overline{AE} \end{aligned}$

Pada penjumlahan dengan vektor adalah tetap (tidak berubah)

$\begin{aligned} &\overline{a}+\overline{0}=\overline{0}+\overline{a}=\overline{a}\\ &\textrm{Sehingga vektor nol disebut sebagai}\\ &\color{red}\textbf{elemen identitas} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{1. 2 Secara Aljabar}$

Misal

$\begin{aligned} &\overline{a}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{b}=\begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka secara aljabar}\\ &\color{red}\overline{a}+\overline{b}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{1}+x_{2}\\ y_{1}+y_{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$

Perhatikan kembali gambar berikut (lihat pada pembahasan sebelumnya)

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

Titik A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{aligned} &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ &\color{red}\overline{AB}+\overline{CD}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+4\\ (-3)+3 \end{pmatrix}=\color{blue}\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Dan untuk contoh yang lain adalah:

$\begin{aligned} &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\: ,\: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{EF}=\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ &\color{red}\overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF}\\ &=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1+4+(-4)\\ (-3)+3+(-2) \end{pmatrix}=\color{blue}\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{2. Pengurangan}$

$\color{blue}\textrm{2. 1 Secara Geometri}$

Pada pengurangan vektor $\overline{a}\: \: \: \color{red}\textrm{oleh}\: \: \: \color{black}\overline{b}$ dapat didefinisikan sebagai:

$\overline{a}-\overline{b}=\overline{a}+\left ( -\overline{b} \right )$. Perhatikanlah ilustrasi secara geometri berikut:

$\color{blue}\textrm{2. 2 Secara Aljabar}$

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\: \: \: \overline{a}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{b}=\begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka}\: \: -\overline{b}=\begin{pmatrix} -x_{2}\\ -y_{2} \end{pmatrix}\\ &\color{red}\textrm{Selanjutnya}\\ &\overline{a}-\overline{b}=\overline{a}+\left ( -\overline{b} \right )=\color{red}\begin{pmatrix} x_{1}-x_{2}\\ y_{1}-y_{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

Pada contoh soal bahasan penjumlahan di atas, perhatikan lagi bahwa

Titik A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{aligned} &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ &\color{red}\overline{AB}-\overline{CD}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4\\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-4\\ (-3)-3 \end{pmatrix}=\color{blue}\begin{pmatrix} -3\\ -6 \end{pmatrix} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{3. Perkalian dengan Skalar}$

$\color{blue}\textrm{3. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut!

$\color{blue}\textrm{3. 2 Secara Aljabar}$

Perkalian suatu skalar dengan suatu vektor tergantung pada skalarnya. Jika suatu skalar k dengan $\color{red}k>0$, maka perkalian ini akan menghasilkan vektor baru yang besarnya sekian k kali dari vektor semula atau $\color{red}k\left | \overline{a} \right |$ dan arahnya searah dengan vektor yang dikalikan. Demikian sebaliknya, jika nilai $\color{red}k<0$, maka besar vektor hasil perkaliannya adalah $\color{red}k\left | \overline{a} \right |$ dengan arah yang berlawanan dari vektor semula.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

Misalkan diketahui vektor-vektor sebagai berikut:

$\begin{aligned} &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\: ,\: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{EF}=\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ &\textrm{dengan muculnya skalar adalah}:\\ &\color{red}3\overline{AB}+4\overline{CD}-5\overline{EF}\\ &=3\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}+4\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}-5\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3.1+4.4+(-5).(-4)\\ 3.(-3)+4.3+(-5).(-2) \end{pmatrix}=\color{blue}\begin{pmatrix} 39\\ 13 \end{pmatrix} \end{aligned}$

DAFTAR PUSTAKA

Kuntarti, Sulistiyono, & Kurnianingsih, S. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama

Vektor (Matematika Peminatan Kelas X)

$\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

Vektor adalah besaran yang memiliki panjang/besar sekaligus memiliki arah. Secara geometri, vektor digambarkan dengan anak panah (ruas garis berarah) yang mana memiliki titik pangkal dan titik ujung.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Perhatikanlah vektor b pada gambar di atas. Vektor tersebut dilambangkan dengan sebuah huruf b kecil tebal yang memiliki titik pangkal pada koordinat kartesius di titik $\left ( \displaystyle -\frac{5}{2},-\frac{3}{2} \right )$ dan berujung di titik $\left ( \displaystyle -1,2 \right )$ . Selain vektor b dituliskan dengan sebuah huruf kecil tercetak tebal dapat juga dituliskan dengan sebuah huruf kecil tanpa tercetak tebal tapi diberi anak panah kecil atau ruas garis di atasnya, yaitu : $\vec{a},\: \bar{a}$.

$\color{red}\textrm{Berikut cara penulisan notasi vektor}$

Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya ada anak panah, misalnya $\overline{PQ},\: \overline{RS},\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{AZ}$
Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya diberikan anak panah, seperti $\overrightarrow{PQ},\: \overrightarrow{RS},\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{AZ}$
Menggunakan sebauah huruf kecil tercetak tebal seperti pembahasan sebelumnya di atas, yaitu : $\textbf{a},\: \textbf{b},\: \textbf{c},\: \textbf{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \textbf{e}$
Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atsnya diberikan anak panah, misalnya: $\vec{a},\: \vec{b},\: \vec{c},\: \vec{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{e}$
Menggunakan sebuah huruf kecil yang bawahnya diberi garis
Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atasnya diberi ruas garis, seperti $\bar{a},\: \bar{b},\: \bar{c},\: \bar{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \bar{e}$

$\color{blue}\textrm{B. Vektor pada}\: \: \textrm{R}^{2}$

Vektor di $\color{blue}\textrm{R}^{2}$ adalah sebuah vektor yang diwakili oleh sebuah garis berarah dalam sebuah bidang datar atau Cartesius.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Misalkan pada salah satu vektor pada gambar di atas, ambil contoh $\overline{AB}$ . Vektor tersebut dilambangkan secara geometri dengan $\overline{AB}$ dan dibaca "vektor AB" yang berarti "vektor dari titik A ke titik B", dengan titik A sebagai titik pangkal dan B sebagai titik ujung. Sedangkan penulisan vektor secara aljabar dapat dinyatakan dalam matriks kolom atau matrik baris.

Pada $\color{blue}\textrm{R}^{2}$ (penulisan vektor pada ruang dimensi dua) penulisan vektor ini dituliskan dengan $\overline{AB}$, dengan

$\overline{AB}=\begin{pmatrix} \textrm{komponen horisontal}\\ \textrm{komponen vertikal} \end{pmatrix}$

Sehingga pada ilustrasi gambar di atas vektor-vektorya dapat dituliskan sebagai:

$\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix},\: \: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix},\: \: \&\: \: \overline{EF}=\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}$

atau

$\overline{AB}=\begin{bmatrix} 1, & -3 \end{bmatrix},\: \: \overline{CD}=\begin{bmatrix} 4, & 3 \end{bmatrix},\: \: \&\: \: \overline{EF}=\begin{bmatrix} -4, & -2 \end{bmatrix}$

$\color{blue}\textrm{C. Panjang Vektor}$

Panjang suatu vektor dilambangkan dengan tanda harga mutlak. Misal pada gambar di atas pada bahasan vekor di $\color{blue}\textrm{R}^{2}$, yaitu:

$\left | \overline{AB} \right |,\: \left | \overline{CD} \right |,\: \: \&\: \: \left | \overline{EF} \right |$.

Misalkan suatu vektor $\bar{u}$ dengan $\bar{u}=\begin{pmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{pmatrix}$, maka panjang dari vektor $\bar{u}$ ini dapat ditentukan dengan

= $\left | \bar{u} \right |=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}$.

Sehingga pada gambar di atas, panjang/besar vektornya dapat kita tentukan, yaitu:

$\begin{aligned}\bullet \: \left | \overline{AB} \right |&=\color{red}\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+9}\\ &=\sqrt{10}\\ \bullet \: \left | \overline{CD} \right |&=\color{red}\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}\\ &=\sqrt{25}=5\\ \bullet \: \left | \overline{EF} \right |&=\color{red}\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}\\ &=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \end{aligned}$

Fungsi (Matematika Wajib Kelas X)

$\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

$\begin{aligned}&\\\textrm{Fungsi}\: &\textrm{atau pemetaan dari A ke B adalah}\\ &\textrm{suatu relasi khusus yang memasangkan}\\ &\textrm{setiap} \: \: x\in A\: \: \textrm{ke tepat satu}\: \: y\in B.\\ & \end{aligned}$

$\color{red}\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Notasi}&\color{black}f:x \rightarrow y\: \: \: \color{red}\textrm{atau}\: \: \: \color{black}f:x \rightarrow f(x) \\\hline \textrm{Dibaca}&\textrm{fungsi}\: \: \color{black}f\: \: \color{red}\textrm{memetakan}\: \: \color{black}x\in A\: \: \color{red}\textrm{ke}\: \: \color{black}y\in B\\\hline \: \: \: \: \color{black}A&\textrm{Domain atau daerah asal fungsi atau}\quad \color{black}D_{f}\\\hline \: \: \: \: \, \color{black}x&\textrm{prapeta(sebelum dipetakan)}\\\hline \: \: \: \: \color{black}B&\textrm{Kodomain atau daerah kawan fungsi atau}\quad \color{black}K_{f}\\\hline \: \: \: \: \, \color{black}y&\textrm{peta(bayangan dari prapeta) adalah Range}\\ &\textrm{atau}\quad \color{black}R_{f}\\\hline \end{array}$

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut!

Sebagai misal, diberikan

$\begin{aligned}&\LARGE\boxed{f:x\rightarrow f(x)=3x+2}\\ &\textit{dibaca}:\\ &\color{red}\textrm{sebuah fungsi}\: \: f\: \: \textrm{memetakan}\: \: x\: \: ke\: \: 3x+2 \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{B. Sifat-Sifat Fungsi}$

$\color{purple}\begin{array}{|c|c|l|}\hline \textrm{Injektif}&\textrm{Surjektif}&\qquad\qquad\textrm{Bijektif}\\ (\textrm{satu-satu})&(\textrm{pada})&(\textrm{korespondensi satu-satu})\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Jika setiap anggota}\\ &\textrm{himpunan A memiliki}\\ &\textrm{bayangan berbeda di}\\ &\textrm{himpunan B} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Jika setiap anggota}\\ &\textrm{himpunan di B}\\ &\textrm{mempunyai prapeta}\\ &\textrm{di himpunan A} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Jika fungsi yang injektif}\\ &\textrm{sekaligus juga surjektif}\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}$

$\color{blue}\textrm{C. Operasi Aljabar Fungsi}$

$\color{purple}\begin{array}{|l|l|}\hline \qquad\color{black}\textrm{Aljabar Fungsi}&\quad\color{black}\textrm{Daerah Asal}\\\hline (f+g)(x)=f(x)+g(x)&D_{_{(f+g)}}=D_{_{f}}\cap D_{_{g}}\\\hline (f-g)(x)=f(x)-g(x)&D_{_{(f-g)}}=D_{_{f}}\cap D_{_{g}}\\\hline (f.g)(x)=f(x).g(x)&D_{_{(f.g)}}=D_{_{f}}\cap D_{_{g}}\\\hline \left ( \displaystyle \frac{f}{g} \right )(x)=\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}&D_{_{\left ( \frac{f}{g} \right )}}=D_{_{f}}\cap D_{_{g}}\: , \\ &\textrm{dengan}\: \: g(x)\neq 0 \\\hline \end{array}$

$\color{blue}\textrm{D. Macam-Macam Fungsi}$

$\color{purple}\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Fungsi Konstan}&\textrm{Berupa konstanta}\\ &f(x)=c\\\hline \textrm{Fungsi Identitas}&\textrm{Nilainya dirinya sendiri}\\ &f(x)=x\\\hline \textrm{Fungsi linear}&\textrm{Fungsi berupa garis lurus}\\ &f(x)=ax+b\\\hline \textrm{Fungsi Kuadrat}&\textrm{Fungsi Kuadrat/parabola}\\ &f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0\\\hline \textrm{Fungsi Rasional}&\textrm{Fungsi Pecahan}\\ &f(x)=\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}\\\hline \textrm{Fungsi Khusus 1}&\textrm{Fungsi Modulus(nilai mutlak)}\\ &f(x)=\left | x \right |\\\hline \textrm{Fungsi Khusus 2} &\textrm{Fungsi tangga}\\ &f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor\\\hline \textrm{Fungsi Khusus 3}&\textrm{Fungsi genap dan ganjil}\\ &\begin{cases} \textrm{Fungsi ganjil} & f(-x)=-f(x) \\ \textrm{Fungsi genap} & f(-x)=f(x) \end{cases}\\\hline \end{array}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui 2 humpuan sebagai berikut}:\\ &\begin{cases} \textrm{P} & =\left \{ -2,-1,0,1,2 \right \} \\ \textrm{Q} & =\left \{ 0,1,2,5,7 \right \} \end{cases}\\ &\textrm{Di antara relasi dari P ke Q berikut manakah }\\ &\textrm{yang merupakan fungsi}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{A}=\left \{ (-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0) \right \}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{B}=\left \{ (-2,1),(-1,2),(0,5),(1,7),(-2,2) \right \}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{C}=\left \{ (-2,0),(-1,1),(0,2),(1,5),(2,7) \right \}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Semuanya Fungsi kecuali}\textbf{ poin b)} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Relasi berikut yang merupakan fungsi adalah}.... \end{array}$

$.\qquad \begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{Poin}&\textrm{Jenis}&\textrm{Keterangan}\\\hline \textrm{a}&\textrm{Fungsi}&\begin{aligned}&\textrm{Sesuai definisi}\\ \end{aligned}\\ &&\begin{aligned}&\textrm{yaitu}:\\ &\textrm{Setiap prepeta}\\ &\textrm{(anggota himpunan A) }\\ &\textrm{memiliki peta di }\\ &\textrm{himpunan B tepat satu}.\\ &\color{blue}\textrm{Tetapi}\\ &\color{blue}\textrm{bukan fungsi injektif}\\ &\color{red}\textrm{bukan pula fungsi}\\ &\color{red}\textrm{surjektif} \end{aligned}\\\hline \textrm{b}&\textrm{Fungsi}&\textrm{Sama di atas}\\\hline \textrm{c}&\textrm{Bukan Fungsi}&\textrm{Tidak sesuai definisi}\\ &&\color{red}\textrm{hanya relasi saja}\\\hline \textrm{d}&\textrm{Fungsi}&\textrm{Sesuai definisi}\\ &&\color{blue}(\textrm{Fungsi bijektif})\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah daerah asal dari fungsi beberapa berikut}:\\ &\begin{array}{lllllllll}\\ \textrm{a}.&f(x)=x-3&\textrm{g}.&f(x)=\displaystyle \frac{\left | x \right |}{x}\\ \textrm{b}.&f(x)=\displaystyle \frac{6}{x^{2}-2x-8}&\textrm{h}.&f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor \\ \textrm{c}.&f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}-3x}{x^{2}-2x-15}&\textrm{i}.&f(x)=\left | x \right |+\left \lfloor x \right \rfloor\\ \textrm{d}.&y+2=x^{2}-5x+5&\textrm{j}.&f(x)=\sqrt{x^{2}-16}\\ \textrm{e}.&f(x)=\left | x-3 \right |&\textrm{k}.&f(x)=\sqrt{2x^{2}-50}\\ \textrm{f}.&f(x)=3-\left | 2x-1 \right |&\textrm{l}.&f(x)=\displaystyle \frac{2\sqrt{x}}{x-3} \end{array}\\\\ \end{array}$.

$.\qquad \begin{aligned}&\textrm{catatan}\: \: \left \lfloor x \right \rfloor\: \: \textrm{adalah }\\ &\textrm{bulat terbesar atau sama dengan}\: \: x \end{aligned}$.

$.\qquad \color{blue}\textrm{Jawab}$.

$.\qquad \begin{array}{|c|c|}\hline (\textrm{a})&(\textrm{b})\\\hline \begin{aligned}f(x)&=x-3\\ \textrm{selu}&\textrm{ruh bilangan real}\\ &x\: \: \textrm{akan terdefinisi}\\ &\textrm{atau tetap bernilai}\\ &\textrm{real}\\ \textrm{sehi}&\textrm{ngga},\\ D_{f}&=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle \frac{6}{x^{2}-2x-8}\\ \textrm{terd}&\textrm{efinisi ketika}\\ &\textrm{penyebut tidak sama}\\ &\textrm{dengan}\: \: 0, \: \: \textrm{yaitu}:\\ &\begin{aligned}x^{2}-2x-8&\neq 0\\ (x-4)(x+2)&\neq 0\\ x\neq 4\: \: \textrm{dan}\: \: x&\neq -2 \end{aligned}\\ D_{f}&=\left \{ x|x\in \mathbb{R},\: x\neq 4\: \: \textrm{dan}\: \: x\neq -2 \right \} \end{aligned}\\\hline \end{array}$

$.\qquad \begin{array}{|c|c|}\hline (\textrm{d})&(\textrm{e})\\\hline \begin{aligned}&y+2=x^{2}-5x+5\\ &y=x^{2}-5x+5-2\\ &f(x)=x^{2}-5x+3\\ &\textrm{Sehingga daerah}\\ &\textrm{asalnya}\\ &D_{f}=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}f(x)&=\left | x-3 \right |\\ D_{f}&=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}\\ \textrm{teta}&\textrm{pi pada \textit{range} fungsinya}\\ &\textrm{hanya akan berupa}\\ &\textrm{bilangan positif saja}.\\ \textrm{yait}&\textrm{u}:\\ R_{f}&=\left \{ y|y\in \mathbb{R},\: y\geq 0 \right \}\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}$

$.\qquad \begin{array}{|c|c|}\hline (\textrm{g})&(\textrm{h})\\\hline \begin{aligned} &f(x)=\displaystyle \frac{\left \lfloor x \right \rfloor}{x}\\ &\textrm{Sehingga daerah}\\ &\textrm{asalnya}\\ &D_{f}=\left \{ x|x\in \mathbb{R},\: x\neq 0 \right \}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor\\ &\textrm{Sehingga daerah}\\ &\textrm{asalnya}\\ &D_{f}=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$.\qquad \begin{array}{|c|c|}\hline (\textrm{i})&(\textrm{l})\\\hline \begin{aligned} &f(x)=\sqrt{x^{2}-16}\\ &\textrm{Sehingga daerah}\\ &\textrm{asalnya yaitu:}\\ &x^{2}-16\geq 0\\ &(x+4)(x-4)\geq 0\\ &x\leq -4\: \: \textrm{atau}\: \: x\geq 4\\ &D_{f}=\left \{ x|x\leq -4\: \: \textrm{atau}\: \: x\geq 4,\: x\in \mathbb{R} \right \}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&f(x)=\displaystyle \frac{2\sqrt{x}}{x-3}\\ &\textrm{Sehingga daerah}\\ &\textrm{asalnya yaitu:}\\ &\begin{cases} \bullet & x\geq 0 \\ \bullet & x-3\neq 0 \end{cases}\\ &D_{f}=\left \{ x|x\geq 0,\: x\neq 3,\: x\in \mathbb{R} \right \}\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Jika}\: \left | x \right |\: \textrm{menyatakan nilai mutlak}\\ &\textrm{dan}\: \left \lfloor x \right \rfloor\: \textrm{menyatakan bilangan bulat terbesarnatau sama dengan}\: x\\ &\textrm{misalkan}\: \: \left \lfloor 1,6 \right \rfloor=1,\: \left \lfloor \pi \right \rfloor=3\\ &\textrm{Jika diberikan}\: \: f(x)=\left | x \right |+\left \lfloor x \right \rfloor,\: \textrm{maka tentukanlah nilai untuk}\\ &\textrm{a}.\quad f\left ( -3,5 \right )+f\left ( 2,5 \right )\\ &\textrm{b}.\quad f\left ( -1,5 \right )+f\left ( 3,5 \right )\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{l}\\ \begin{aligned}\textrm{a}.f\left ( -3,5 \right )+f\left ( 2,5 \right )&=\left | -3,5 \right |+\left \lfloor -3,5 \right \rfloor+\left | 2,5 \right |+\left \lfloor 2,5 \right \rfloor\\ &=3,5+\left ( -4 \right )+2,5+2\\ &=4 \end{aligned}\\ \begin{aligned}\textrm{b}.f\left ( -1,5 \right )+f\left ( 3,5 \right )&=\left | -1,5 \right |+\left \lfloor -1,5 \right \rfloor+\left | 3,5 \right |+\left \lfloor 3,5 \right \rfloor\\ &=1,5+(-2)+3,5+3\\ &=6 \end{aligned} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Jika diketahui relasi}\: \: f\: \: \textrm{dengan kondisi}\\ &\begin{array}{l} (\textrm{a}).\quad f(1)=1\\ (\textrm{b}).\quad f(2x)=4f(x)+6\\ (\textrm{c}).\quad f(x+2)=f(x)+12x+12 \end{array}\\ &\textrm{maka nilai}\: \: f(14)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(1)&=1\\ f(2.1)=f(2)&=4f(1)+6=4.1+6=10\\ f(1+2)=f(3)&=f(1)+12.1+12\\ f(3)&=1+12+12=25\\ f(3+2)=f(5)&=f(3)+12.3+12\\ f(5)&=25+36+12=73\\ f(5+2)=f(7)&= f(5)+12.5+12\\ f(7)&=73+60+12=145\\ f(7.2)=f(14)&=4.f(7)+6\\ f(14)&=4.145+6=580+6\\ &=586 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textbf{(OSK 2013)}\textrm{Fungsi}\: \: f\: \: \textrm{didefinisikan oleh}\\ & f(x)=\displaystyle \frac{kx}{2x+3},\quad x=-\displaystyle \frac{3}{2}.\\ & \textrm{Tentukanlah nilai}\: \: k\: \: \textrm{agar}\: \: f(f(x))=x\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle \frac{kx}{2x+3},\quad x\neq -\frac{2}{3}\\ f\left ( f(x) \right )&=x\\ x&=f\left ( f(x) \right )\\ x&=\displaystyle \frac{k\left ( \displaystyle \frac{kx}{2x+3} \right )}{2\left ( \displaystyle \frac{kx}{2x+3} \right )+3}\\ x&=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{k^{2}x}{2x+3}}{\displaystyle \frac{2kx+3(2x+3)}{2x+3}}\\ x&=\displaystyle \frac{k^{2}x}{2kx+6x+9}\\ 2kx+6x+9&=k^{2}\\ 0&=k^{2}-2xk-6x-9\\ 0&=(k+3)(k-2x-3)\\ &\quad k=-3\: \: \textrm{atau}\: \: k=2x+3 \end{aligned} \end{array}$

$\color{blue}\textrm{E. Menggambar Grafik Fungsi}$

Untuk menggambar suatu fungsi $f(x)$ dengan kondisi rumusnya telah diketahui pada diagram Kartesius adalah sebagai berikut

Menentukan titik-titik berupa pasangan terurut $(x,y)$ dalam tabel dengan $x$ anggota dari daerah asal (domain) dan $y$ adalah anggota dari daerah kawan (kodomain).
mengkonversi titik-titik tadi ke dalam diagram kartesius
menghubungkan titik-titik tersebut sehingga didapatkan grafik mulus

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Gambarlah grafik fungsi}\\ &\textrm{a}.\quad f(x)=2x+5\\ &\textrm{b}.\quad g(x)=2x^{2}\\ &\textrm{c}.\quad h(x)=\displaystyle \frac{1}{x}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ & \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{a. Menggambar grafik}\: \: f(x)=2x+5\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&y=f(x)=2x+5&\textrm{Titik}\: (x,y)\\\hline -3&f(-3)=2(-3)+5=-1&(-3,-1)\\\hline -2&f(-2)=2(-2)+5=3&(-2,1)\\\hline -1&f(-1)=2(-1)+5=3&(-1,3)\\\hline 0&f(0)=2(0)+5=5&(0,5)\\\hline 1&f(1)=2(1)+5=7&(1,7)\\\hline 2&f(2)=2(2)+5=9&(2,9)\\\hline 3&f(3)=2(3)+5=11&(3,11)\\\hline \end{array} \end{aligned}$

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{b. Menggambar grafik}\: \: f(x)=2x^{2}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&y=f(x)=2x^{2}&\textrm{Titik}\: (x,y)\\\hline -3&f(-3)=2(-3)^{2}=18&(-3,18)\\\hline -2&f(-2)=2(-2)^{2}=8&(-2,8)\\\hline -1&f(-1)=2(-1)^{2}=2&(-1,2)\\\hline 0&f(0)=2(0)^{2}=0&(0,0)\\\hline 1&f(1)=2(1)^{2}=2&(1,2)\\\hline 2&f(2)=2(2)^{2}=8&(2,8)\\\hline 3&f(3)=2(3)^{2}=18&(3,18)\\\hline \end{array} \end{aligned}$

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{c. Menggambar grafik}\: \: f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&y=f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}&\textrm{Titik}\: (x,y)\\\hline -3&f(-3)=-\displaystyle \frac{1}{3}&(-3,-\displaystyle \frac{1}{3})\\\hline -2&f(-2)=-\displaystyle \frac{1}{2}&(-2,-\displaystyle \frac{1}{2})\\\hline -1&f(-1)=-1&(-1,-1)\\\hline 0&f(0)\: \: \color{blue}\textrm{tidak ada}&-\\\hline 1&f(1)=1&(1,1)\\\hline 2&f(2)=\displaystyle \frac{1}{2}&(2,\displaystyle \frac{1}{2})\\\hline 3&f(3)=\displaystyle \frac{1}{3}&(3,\displaystyle \frac{1}{3})\\\hline \end{array} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Gambarlah grafik fungsi}\\ &\textrm{a}.\quad f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor\\ &\textrm{b}.\quad g(x)=\left \lfloor x+1 \right \rfloor\\ &\textrm{c}.\quad h(x)=\left \{ x \right \}\\\\ &\textbf{Catatan}:\\ &\left \lfloor x \right \rfloor=\textrm{bilangan bulat terbesar tetapi}\\ &\: \: \: \, \quad\quad \textrm{lebih kecil atau sama dengan}\: \: x\\ &\left \{ x \right \}=\textrm{bagian pecahan dari}\: \: x\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ & \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{a. Menggambar grafik}\: \: f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&y=f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor&\textrm{Titik}\: (x,y)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline -1&f(-1)=\left \lfloor -1 \right \rfloor=-1&(-1,-1)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline -\displaystyle \frac{1}{2}&f(-\displaystyle \frac{1}{2})=\left \lfloor -\displaystyle \frac{1}{2} \right \rfloor=-1&(-\displaystyle \frac{1}{2},-1)\\\hline -\displaystyle \frac{1}{3}&f(-\displaystyle \frac{1}{3})=\left \lfloor -\displaystyle \frac{1}{3} \right \rfloor=-1&(-\displaystyle \frac{1}{3},-1)\\\hline -\displaystyle \frac{1}{4}&f(-\displaystyle \frac{1}{4})=\left \lfloor -\displaystyle \frac{1}{4} \right \rfloor=-1&(\displaystyle \frac{1}{4},-1)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline 0&f(0)=\left \lfloor 0 \right \rfloor=0&(0,0)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline \displaystyle \frac{1}{4}&f(\displaystyle \frac{1}{4})=\left \lfloor \displaystyle \frac{1}{4} \right \rfloor=0&(\displaystyle \frac{1}{4},0)\\\hline \displaystyle \frac{1}{3}&f(\displaystyle \frac{1}{3})=\left \lfloor \displaystyle \frac{1}{3} \right \rfloor=0&(\displaystyle \frac{1}{3},0)\\\hline \displaystyle \frac{1}{2}&f(\displaystyle \frac{1}{2})=\left \lfloor \displaystyle \frac{1}{2} \right \rfloor=0&(-\displaystyle \frac{1}{2},0)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline 1&f(1)=\left \lfloor 1 \right \rfloor=1&(1,1)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline 2\displaystyle \frac{1}{4}&f(2\displaystyle \frac{1}{4})=\left \lfloor 2\displaystyle \frac{1}{4} \right \rfloor=2&(2\displaystyle \frac{1}{4},2)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline 4\displaystyle \frac{1}{3}&f(4\displaystyle \frac{1}{3})=\left \lfloor 4\displaystyle \frac{1}{3} \right \rfloor=4&(4\displaystyle \frac{1}{3},4)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline \end{array} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textbf{(OSK 2003)}\textrm{Jika}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\: \: \textrm{adalah bilangan real }\\ &\textrm{sedemikian sehingga}\: \: \displaystyle \left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor=9\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \left \lfloor \sqrt{y} \right \rfloor=12\: ,\\ &\textrm{maka nilai terkecil dari}\: \: \displaystyle \left \lfloor y-x \right \rfloor=....\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ & \end{array}$.

$.\qquad \begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: \left \lfloor x \right \rfloor\: \: \textrm{adalah bilangan bulat terbesar }\\ &\textrm{yang lebih kecil atau sama dengan}\: \: x\\ &\textrm{Misal}\: \: \left \lfloor 3,2 \right \rfloor=3, \: \left \lfloor -2,47 \right \rfloor=-3,\: \: \left \lfloor 6 \right \rfloor=6,\: \: \textrm{dan lain-lain}.\\ &\textrm{Sehingga}\, \,\left \lfloor x \right \rfloor=a\Rightarrow a\leq x< a+1\: \: (\textrm{dengan}\: \: a\: \: \textrm{bilangan bulat}),\\ & \textrm{maka}\\ &\begin{cases} \left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor=9 & \Rightarrow 9\leq \sqrt{x}< 9+1\\ &\Leftrightarrow 9\leq \sqrt{x}< 10\Leftrightarrow \color{red}81\leq x< 100 \\ \left \lfloor \sqrt{y} \right \rfloor=12 & 12\leq \sqrt{y}< 12+1\\ &\Leftrightarrow 12\leq \sqrt{y}< 13\Leftrightarrow \color{red}144\leq y< 169 \end{cases}\\ \end{aligned}$.

$.\qquad \begin{aligned}&\bullet \: \: 144\leq y< 169\: \: \textrm{dan}\\ &\bullet \: \: \: \: 81\leq x< 100\: ,\: \textrm{dikalikan dengan}\: \: (-1)\\ &\quad \textrm{maka akan menjadi},\\ &\qquad -100< -x\leq -81,\\ &\textrm{sehingga}\: \: -99,\overline{999}\leq -x< -80,\overline{999}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{array}{cll}\\ 144&\leq y< 169&\\ -99,\overline{999}&\leq -x< -80,\overline{999}&+\\\hline\\ 44,...&\leq y-x< 88,...\\ \end{array}\\ &\textrm{Jadi, nilai terkecil}\: \left \lfloor y-x \right \rfloor=\color{red}44 \end{aligned}$

Contoh Soal Distribusi Binomial (2)

$\color{blue}\textbf{Contoh Variabel Acak}$

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Sebuah uang logam ditos sebanyak 3 kali}\\ &\textrm{Jika}\: \: X\: \: \textrm{sebagai variabel acak dari kejadian}\\ &\textrm{munculnya sisi angka (A), maka peluang}\\ &\textrm{a. kejadian terjadi muncul 0 angka}\\ &\textrm{b. kejadian terjadi muncul 1 angka}\\ &\textrm{c. kejadian terjadi muncul 2 angka}\\ &\textrm{d. kejadian terjadi muncul 3 angka}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{aligned} \color{blue}\textrm{Mula}\: \, &\color{red}(1)\quad (2)\quad (3)\quad \color{blue}\textbf{Ruang sampel}\\ \textbf{Mulai}&\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,A,A)\\ G\rightarrow (A,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,G,A)\\ G\rightarrow (A,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,A,A)\\ G\rightarrow (G,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,G,A)\\ G\rightarrow (G,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{aligned}\\ &\begin{aligned}P(X=0)&=P((G,G,G))\\ &=\displaystyle \frac{n(X=0)}{n(S)}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{8}\\ P(X=1)&=P((G,G,A),(G,A,G),(A,G,G))\\ &=\displaystyle \frac{n(X=1)}{n(S)}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{3}{8}\\ P(X=2)&=P((G,A,A),(A,G,A),(A,A,G))\\ &=\displaystyle \frac{n(X=2)}{n(S)}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{3}{8}\\ P(X=3)&=P((A,A,A))\\ &=\displaystyle \frac{n(X=3)}{n(S)}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{8} \end{aligned} \end{array}$

Contoh Soal Distribusi Binomial (1)

$\color{blue}\textbf{Contoh Peluang dan Kombinasi}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Seorang melempar sebuah dadu dengan enam muka}\\ &\textrm{Tentukukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{peluang muncul mata dadu ganjil}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{peluang muncul mata dadu genap}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{peluang muncul mata dadu angka prima}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{peluang muncul mata dadu kurang dari 6}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Mata}&\: \textrm{dadu ada 6, yaitu}:\color{red}1,2,3,4,5,\: \& \: 6\\ \textrm{a}.\quad&\textrm{Raung sampel}\\ &S=\color{red}\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}\: \color{black}\Rightarrow n(S)=6\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{peluang}\: \color{red}\textrm{muncul mata dadu ganjil}\color{black}(J)\\ &\textrm{Mata dadu ganjil}:1,3,5\: \Rightarrow n(J)=3\\ &\textrm{Peluangnya}=\displaystyle \frac{n(J)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{peluang}\: \color{red}\textrm{muncul mata dadu ganap}\color{black}(P)\\ &\textrm{Mata dadu ganap}:2,4,6\: \Rightarrow n(P)=3\\ &\textrm{Peluangnya}=\displaystyle \frac{n(P)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ \textrm{d}.\quad&\textrm{peluang}\: \color{red}\textrm{muncul mata dadu angka prima}\color{black}(R)\\ &\textrm{Mata dadu angka prima}:2,3,5\: \Rightarrow n(R)=3\\ &\textrm{Peluangnya}=\displaystyle \frac{n(R)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ \textrm{e}.\quad&\textrm{peluang}\: \color{red}\textrm{muncul mata dadu kurang dari 6}\color{black}(Z)\\ &\textrm{Mata dadu kurang dari 6}:1,2,3,4,5\: \Rightarrow n(Z)=5\\ &\textrm{Peluangnya}=\displaystyle \frac{n(Z)}{n(S)}=\frac{5}{6} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Andi akan mengambil 4 buah bola dari}\\ &\textrm{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ &\textrm{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ &\textrm{oleh Andi}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}n=10&\: \: \textrm{dan}\: \: r=4\\ C(n,r)&=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\ C(10,4)&=\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}\\ &=\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}\\ &=420\: \: \textrm{kombinasi warna bola berbeda} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Dua kantong berisi bola merah dan biru}\\ &\textrm{Kantong I memuat 4 bola merah dan }\\ &\textrm{6 bola biru. Sedangkan kantong II memuat}\\ &\textrm{5 bola merah dan 3 bola biru. Jika pada}\\ &\textrm{masing-masing kantong diambil 2 bola}\\ &\textrm{sekaligus, maka peluang terambilnya}\\ &\textrm{1 bola merah dan 1 bola biru pada kantong}\\ &\textrm{I serta 2 bola biru pada kantong II}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Kejadian di atas adalah kejadian saling}\\ &\textrm{bebas karena tidak saling mempengaruhi}\\ &\begin{aligned}\textrm{Misal}&\: X=\textrm{kejadian terambil}\: 1M,1B\\ \bullet \quad&\color{red}\textrm{pada kantong I}\\ P(X)&=\displaystyle \frac{C(4,1)\times C(6,1)}{C(10,2)}\\ &=\displaystyle \frac{4\times 6}{\displaystyle \frac{10\times 9}{2}}=\frac{8}{15}\\ \textrm{Misal}&\: Y=\textrm{kejadian terambil}\: 2B\\ \bullet \quad&\color{red}\textrm{pada kantong II}\\ P(Y)&=\displaystyle \frac{C(3,2)}{C(8,2)}\\ &=\displaystyle \frac{3}{\displaystyle \frac{8\times 7}{2}}=\frac{3}{28}\\ \color{magenta}\textrm{maka}&\: \textrm{peluang dari}\: \: X\: \: \textrm{dan}\: \: Y\\ P(X\cap Y)&=P(X)\times P(Y)\\ &=\displaystyle \frac{8}{15}\times \frac{3}{28}\\ &=\displaystyle \frac{2}{35} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ &\textrm{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ &\textrm{kelompok, jika}\\ &\textrm{a. tanpa perlakuan khusus}\\ &\textrm{b. salah seorang harus terpilih}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Dengan tanpa perlakuan}\\ &\textrm{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ &C(10,3)=\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=\color{blue}120\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ &\color{red}(\textrm{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ &\textrm{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ &C(9,2)=\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=\color{blue}36 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ &\textrm{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ &\textrm{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ &\textrm{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ &\textrm{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Banyak}&\: \textrm{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ &=C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ &=\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}\\ &=\color{red}3675375 \end{aligned} \end{array}$

Lanjutan Materi Distribusi Peluang Diskrit (Matematika Peminatan Kelas XII)

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{C. 1}.\quad&\textrm{Distribusi Peluang Diskrit} \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\textrm{Misalkan}\: \: X\: \: \textrm{adalah variabel acak diskrit}\\ &\textrm{dari nilai}\: :\: \: x_{1},\: x_{2},\: x_{3},\: x_{4},\: \cdots \: ,\: x_{k},\: \textrm{dan}\\ &P\: \textrm{adalah seluruh nilai peluang untuk}\: :\\ &p_{1},\: p_{2},\: p_{3},\: p_{4},\: \cdots \: ,p_{k}, \textrm{maka nilai untuk}\\ &\color{blue}p_{1}+ p_{2}+ p_{3}+ p_{4}+ \cdots +p_{k}=1\\ &\textbf{dan}\\ &\textrm{Fungsi}\: \: f(x) =P(X=x)\: \: \textrm{yang mempunyai}\\ &\textrm{nilai}\: \: p_{1},\: p_{2},\: p_{3},\: p_{4},\: \cdots \: ,p_{k},\: \textrm{pada variabel}\\ &X=x_{1},\: x_{2},\: x_{3},\: x_{4},\: \cdots \: ,\: x_{k},\: \textrm{disebut fungsi}\\ &\textrm{kepekatan peluang dari variabel acak}\: \: X.\\ &\textrm{Selanjutnya jika kita gambar grafik}\: \: f(x)\\ &\textrm{terhadap}\: \: x,\: \textrm{maka kita akan grafik yang}\\ &\textrm{dinamakan dengan}\: \: \color{red}\textbf{grafik peluang} \end{aligned}$

Suatu fungsi $f(x)=P(X=x)$ disebut fungsi peluang (probabilitas) dari $X$, jika memenuhi syarat-syarat:

$\color{blue}\begin{matrix} (\textrm{i})\quad f(x)\geq 0\: \: \: \textrm{untuk semua}\: \: x\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: \: \\\\ (\textrm{ii})\quad \sum_{i=1}^{n}f\left ( x_{i} \right )=\color{red}f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})+...+f(x_{n})=\color{black}1 \end{matrix}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Pada percobaan melempar 3 koin identik}\\ &\textrm{sekaligus bersama-sama. Variabel acak}\\ &\textrm{dalam hal ini pada kejadian muncul sisi}\\ &\textrm{gambar, tentukan}\\ &\textrm{a}.\: \: \textrm{distribusi peluangnya}\\ &\textrm{b}.\: \: \textrm{tabel fungsi peluangnya}\\ &\textrm{c}.\: \: \textrm{grafik fungsi peluangnya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui dari soal}\: \: \color{red}\textrm{variabel acak}\\ &\textrm{pada kejadian di atas adalah munculnya}\\ &\textrm{sisi gambar pada pelemparan 3 koin}\\ &\textrm{maka} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Distribusi peluangnya}\\ &\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \textrm{Sampel}&AAA&AA\color{red}G&A\color{red}G\color{black}A&A\color{red}GG&\color{red}G\color{black}AA&\color{red}G\color{black}A\color{red}G&\color{red}GG\color{black}A&\color{red}GGG\\\hline \textrm{Muncul}\: \color{red}(G)&0&1&1&2&1&2&2&3\\\hline \end{array}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Tabel fungsi peluangnya}\\ &x=\textrm{muncul kejadian sisi gambar}\: \: \color{red}(G)\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&1&2&3&\color{red}\textrm{Jumlah}\\\hline f(x)&\displaystyle \frac{1}{8}&\displaystyle \frac{3}{8}&\displaystyle \frac{3}{8}&\displaystyle \frac{1}{8}&\color{red}1\\\hline \end{array}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Grafik fungsi peluangnya adalah}\\ & \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada sebuah kotak terdapat 2 kelereng}\\ &\textrm{biru dan 4 kelereng merah. Tiga kereng}\\ &\textrm{diambil secara acak. Tentukanlah distribusi}\\ &\textrm{peluang}\: \: \color{red}x\: \: \color{black}\textrm{jika}\: \: \color{red}x\: \: \color{black}\textrm{menyatakan banyaknya}\\ &\textrm{terambilnya bola biru}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|c|}\hline \qquad\qquad\textrm{Nama}&\textrm{Perhitungan}\\\hline \textrm{Banyak}&\\ \textrm{titik sampel}&\begin{aligned}C_{3}^{6}&=\displaystyle \frac{6!}{3!(6-3)!}=20 \end{aligned}\\\hline \textrm{Banyak cara}&\\ \textrm{mendapatkan bola biru}&C_{x}^{2}\\\hline \textrm{Banyak cara}&\\ \textrm{mendapatkan bola merah}&C_{3-x}^{4}\\\hline \end{array} \end{array}$

$.\quad \: \begin{array}{|l|l|}\hline \color{red}\textrm{Distribusi peluang}&\qquad\quad\color{red}\textrm{Perhitungan}\\\hline P(X=x)=f(x)&f(x)=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{x}^{2}.C_{3-x}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}},\\ \textrm{untuk}&\begin{aligned}x&=0,1,2 \end{aligned}\\\hline x=0\Rightarrow P(x=0)&f(x)=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{0}^{2}.C_{3-0}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}}\\ &.\: \: \, \quad=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{0}^{2}.C_{3}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2!}{0!2!}\times \frac{4!}{3!1!}}{\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}\\ &.\: \: \, \quad=\displaystyle \frac{2!4!3!3!}{2!3!6!}=0,2\\\hline x=1\Rightarrow P(x=1)&f(x)=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{1}^{2}.C_{3-1}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}}\\ &.\: \: \, \quad=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{1}^{2}.C_{2}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2!}{1!1!}\times \frac{4!}{2!2!}}{\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}\\ &.\: \: \, \quad=\displaystyle \frac{2!4!3!3!}{2!2!6!}=0,6\\\hline x=2\Rightarrow P(x=2)&f(x)=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{2}^{2}.C_{3-2}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}}\\ &.\: \: \, \quad=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{2}^{2}.C_{1}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2!}{2!0!}\times \frac{4!}{1!3!}}{\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}\\ &.\: \: \, \quad=\displaystyle \frac{2!4!3!3!}{2!3!6!}=0,2\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tunjukkan bahwa fungsi}\: \: P(x)=\displaystyle \frac{x+2}{12}\\ &\textrm{untuk}\: \: x=1,2,\: \textrm{dan}\: \: 3\: \: \textrm{merupakan fungsi}\\ &\textrm{peluang}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Perhatik}&\textrm{an bahwa}\\ \bullet \quad P(1)&=\displaystyle \frac{1+2}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\\ \bullet \quad P(2)&=\displaystyle \frac{2+2}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \\ \bullet \quad P(3)&=\displaystyle \frac{5+2}{12}=\frac{5}{12} \\ \textrm{Sehing}&\textrm{ga}\: \: \displaystyle \sum_{i=1}^{3}P(i)=\displaystyle \frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{5}{12}=\color{red}\frac{12}{12}=1\\ &\begin{cases} (\textrm{i}) & \textrm{Peluangnya berada}\: \: \color{red}0\leq P(i)\leq 1 \\ (\textrm{ii}) & \textrm{dan nilai totolnya}=\displaystyle \color{red}\sum_{i=1}^{3}P(i)=1 \end{cases}\\ \textrm{Jadi},\: &\textrm{fungsi}\: \: P(x)=\displaystyle \frac{x+2}{12}\: \: \textrm{untuk}\: \: x=1,2,\: \textrm{dan}\: \: 3\\ &\textbf{merupakan fungsi peluang} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui fungsi peluang adalah}\: \: P(x)=\displaystyle \frac{\color{red}m}{x+1}\\ &\textrm{untuk}\: \: x=0,1,2,\: \textrm{dan}\: \: 3\: .\: \textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\: \: \textrm{nilai}\: \: \color{red}m\\ &\textrm{b}.\: \: \textrm{nilai}\: \: \color{red}P(x\leq 2)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\displaystyle \sum_{i=0}^{3}P(i)=\color{blue}1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\color{red}m}{0+1}+\frac{\color{red}m}{1+1}+\frac{\color{red}m}{2+1}+\frac{\color{red}m}{3+1}=1\\ &\Leftrightarrow \color{red}m\color{black}+\displaystyle \frac{\color{red}m}{2}+\frac{\color{red}m}{3}+\frac{\color{red}m}{4}=1\\ &\Leftrightarrow \left (\displaystyle \frac{12+6+4+3}{12} \right )\color{red}m\color{black}=1\\ &\Leftrightarrow \color{red}m\color{black}=\displaystyle \frac{12}{25}\\ \textrm{b}.\quad&P(x\leq 2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)\\ &\Leftrightarrow \color{red}m\color{black}+\displaystyle \frac{\color{red}m}{2}+\frac{\color{red}m}{3}=1\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \frac{6+3+2}{6} \right )\color{red}m\color{black}=\displaystyle \frac{11}{6}\color{red}m\\ &\Leftrightarrow \quad =\displaystyle \frac{11}{6}\left ( \displaystyle \frac{12}{25} \right )=\frac{22}{25} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Diketahui fungsi}\: \: f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x}{6} &\textrm{untuk}\: \: x=1,2,3 \\\\ 0 &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{cases}\\ &\textrm{adalah suatu fungsi peluang/probabilitas}\\ &\textrm{dari pubah/variabel acak}\: \: X.\: \: \textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{distribusi peluangnya untuk}\: \: X\\ &\textrm{b}.\quad P(X=2),\: P(X< 3),\: \textrm{dan}\: P(X\geq 2)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Distribusi peluangnya adalah}:\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X=x&1&2&3&4&5&\cdots &\textrm{Jumlah}\\\hline P(X=x)&\displaystyle \frac{1}{6}&\displaystyle \frac{2}{6}&\displaystyle \frac{3}{6}&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}0&\color{blue}1\\\hline \end{array}\\ \textrm{b}.\quad &\textrm{Karena}\: \: f(x)=\begin{cases} \color{red}\displaystyle \frac{x}{6} &\textrm{untuk}\: \: x=1,2,3 \\\\ 0 &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{cases}\\ &\textrm{maka}\\ &\bullet P(X=2)=\color{red}\displaystyle \frac{2}{6}\\ &\bullet P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)\\ &\: \quad\qquad \qquad =\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{2}{6}\\ &\: \quad\qquad \qquad =\displaystyle \frac{3}{6}=\color{red}\frac{1}{2}\\ &\bullet P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)\\ &\: \quad\qquad \qquad =\displaystyle \frac{2}{6}+\frac{3}{6}\\ &\: \quad\qquad \qquad =\color{red}\displaystyle \frac{5}{6} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Diketahui fungsi peluang variabel}\: \: X\\ &f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x+2}{14} &\textrm{untuk}\: \: x=0,1,2,\: \: \textrm{dan}\: \: 3 \\\\ \quad 0 &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{cases}\\ &\textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{bahwa}\: \: X\: \: \textrm{merupakan variabel acak diskrit}\\ &\textrm{b}.\quad P(X=4),\: F(2),\: P(1<X\leq 3),\\ &\qquad \textrm{dan}\: P(X\geq 1)\: \: \textrm{serta}\: \: P(\left |X-2 \right |\leq 1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Distribusi peluangnya adalah}:\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c}\hline X=x&0&1&2&3&\textrm{Jumlah}\\\hline P(X=x)&\displaystyle \frac{2}{14}&\displaystyle \frac{3}{14}&\displaystyle \frac{4}{14}&\displaystyle \frac{5}{14}&1\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Karena}\: \: \displaystyle \sum_{x=0}^{3}f(x)=1,\: \textrm{serta}\\ &0\leq \displaystyle \frac{2}{14},\: \frac{3}{14},\: \frac{4}{14},\: \frac{5}{14}<1.\: \textrm{Sehingga syarat}\\ &0\leq f(x)<1\: \: \textrm{dan}\: \: \sum f(x)=1\: \: \: \color{red}\textbf{terpenuhi}\\ &\textrm{Jadi, terbukti}\: \: X\: \: \textrm{adalah variabel acak diskrit}\\ \textrm{b}.\quad&\bullet P(X=4)=f(4)=\color{red}0\\ &\bullet F(2)=P(X\leq 2)\\ &\quad\qquad=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ &\quad\qquad=f(0)+f(1)+f(2)\\ &\quad\qquad=\displaystyle \frac{2}{14}+\frac{3}{14}+\frac{4}{14}=\color{red}\frac{9}{14}\\ &\bullet P(1<X\leq 3)=P(X=2)+P(X=3)\\ &\quad\qquad =f(2)+f(3)=\displaystyle \frac{4}{14}+\frac{5}{14}=\color{red}\displaystyle \frac{9}{14}\\ &\bullet P(X\geq 1)=f(1)+f(2)+f(3)\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{3}{14}+\frac{4}{14}+\frac{5}{14}=\color{red}\displaystyle \frac{12}{14}\\ &\bullet P(\left | X-2 \right |\leq 1)=P(-1\leq X-2\leq 1)\\ &\quad\qquad =P(1\leq X\leq 3)\\ &\quad\qquad =f(1)+f(2)+f(3)\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{3}{14}+\frac{4}{14}+\frac{5}{14}=\color{red}\displaystyle \frac{12}{14} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Distribusipeluang acak X disajikan dalam tabel berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&2&3&4\\\hline f(x)&\displaystyle \frac{1}{8}&k+\displaystyle \frac{1}{8}&2k\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jika X merupakan variabel acak diskret, tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{nilai \textit{k}}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{nilai}\: \: \textrm{P}(\textrm{X}\geq 3)-\textrm{F}(3)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad \sum f(x)&=f(2)+f(3)+f(4)=1\\ \Leftrightarrow \quad &\displaystyle \frac{1}{8}+k+\frac{1}{8}+2k=1\\ \Leftrightarrow \quad &3k=1-\displaystyle \frac{2}{8}=\frac{6}{8}\\ \Leftrightarrow \quad &k=\displaystyle \frac{2}{8}=\color{red}\frac{1}{4}\\ \textrm{b}.\quad \textrm{P}(\textrm{X}\, \geq 3&)-\textrm{F}(3)=\textrm{P}(\textrm{X}\geq 3)-\textrm{P}(\textrm{X}\leq 3)\\ &=f(3)+f(4)-\left ( f(2)+f(3) \right )\\ &=f(4)-f(2)\\ &=2\left ( \displaystyle \frac{1}{4} \right )-\frac{1}{8}\\ &=\displaystyle \frac{4}{8}-\frac{1}{8}=\color{red}\frac{3}{8} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
Kurnia, N., dkk. 2018. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: YUDHISTIRA.

Distribusi Binomial (Matematika Peminatan kelas XII)

$\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

$\begin{aligned}&\left\{\begin{matrix} (1)\: \textrm{Review}\begin{cases} \textrm{Peluang} \begin{cases} \textrm{Populasi} \\ \textrm{Sampel}\begin{cases} \textrm{Acak} \\ \textrm{Bukan Acak}.\quad \end{cases} \end{cases} \\ \textrm{Kombiasi} & \end{cases}\\ (2)\: \textrm{Variabel Acak}\begin{cases} \textrm{Diskrit} & .\qquad\qquad\qquad\qquad \\ \textrm{Kontinue} & \end{cases}\\ (3)\: \textrm{Distribusi}\begin{cases} \textrm{Distribusi Peluang Variabel Acak} & \\ \textrm{Fungsi Distribusi Kumulatif} & \\ \textrm{Variabel Acak Binomial}&\\ \textrm{Distribusi Binomial} \end{cases}\\ \end{matrix}\right. \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{Penjelasan}$

$\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{No}&\quad\textrm{Istilah}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Penjelasan}\\\hline 1&\textrm{Statistika}&\textrm{Ilmu tentang pengumpulan, pengolahan},\\ &&\textrm{penganalisaan serta penarikan kesimpulan}\\ &&\textrm{data. Selanjutnya akan dibagi dua yaitu}\\ &&\color{blue}\textrm{deskriptif dan inferensia}\\\hline 2&\textrm{Statistik}&\color{red}\textrm{Kumpulan data/ukuran sampel}\\\hline 3&\textrm{Parameter}&\textrm{Ukuran populasi}\\\hline 4&\textrm{Populasi}&\color{blue}\textrm{Keseluruhan/semua anggota objek/data}\\\hline 5&\textrm{Sampel}&\color{blue}\textrm{Subjek/Objek yang mewakili populasi}\\\hline 6&\textrm{Sesus}&\textrm{Penelitian seluruh data (populasi)}\\\hline 7&\textrm{Tekik}&\textrm{Cara pengambilan data terbatas pada}\\ &\textrm{Sampling}&\textrm{sebagian saja dari populasi yang diteliti}\\\hline \end{array}$

$\color{blue}\textrm{lanjutan}$

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Istilah}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Penjelasan}\\\hline 8&\textrm{Cara}&\color{blue}\textrm{atau radom}.\: \textrm{yaitu setiap elemen populasi}\\ &\textrm{Acak}&\textrm{memiliki kesempatan yang yang sama}\\ &&\textrm{sehingga bersifat objektif}\\\hline 9&\textrm{Ruang}&\textrm{Himpunan dari semua hasil yang mungkin}\\ &\textrm{Sampel}&\textrm{dari sebuah percobaan}\\\hline 10&\textrm{Variabel}&\textrm{Suatu fungsi (aturan) yang memetakan }\\ &\textrm{Acak}&\textrm{setiap anggota ruang sampel dengan}\\ &(\textrm{VA})&\textrm{sebuah bilangan riil. Biasanya dinotasikan}\\ &&\textrm{dengan huruf besar, sedangkan nilai}\\ &&\textrm{variabel acaknya dinotasikan dengan}\\ &&\textrm{huruf kecil}\\\hline 11&(\textrm{VA})&\textrm{Jika VA tersebut memiliki sejumlah nilai}\\ &\textrm{Diskrit}&\textrm{yang dapat dihitung(berupa bilangan}\\ &&\textrm{bulat positif)}\\\hline 12&\textrm{VA}&\textrm{Sebaliknya yaitu berupa bilangan yang}\\ &\textrm{Kontinu}&\textrm{tidak bulat}\\\hline \end{array}$

$\color{red}\textrm{Sebagai contoh}$

$\begin{aligned}\textbf{a}\quad&\color{blue}\textrm{Variabel Acak Diskrit (Bilangan bulat positif)}\\ &\bullet \: \: \textrm{Jumlah siswa kelas XII MIA MA FUTUHIYAH}\\ &\: \, \quad \textrm{JEKETRO GUBUG}\\ &\bullet \: \: \textrm{Jumlah guru laki-laki di MA FUTUHIYAH}\\ &\: \, \quad \textrm{JEKETRO GUBUG}\\ &\bullet \: \: \textrm{Jumlah guru dan siswa di MA FUTUHIYAH}\\ &\: \, \quad \textrm{JEKETRO GUBUG yang tidak terpapar}\\ &\: \, \quad \textrm{COVID-19}\\ &\bullet \: \: \textrm{Jumlah motor yang terjual dalam sebulan}\\ \textbf{b}\quad&\color{magenta}\textrm{Variabel Acak Kontinu (Bukan bilangan bulat)}\\ &\bullet \: \: \textrm{Jumlah miyak yang tumpah di suatu lantai}\\ &\bullet \: \: \textrm{Ketinggian permukaan air di sebuah waduk}\\ \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{B. Variabel Acak}$

$\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{No}&\quad\textrm{Istilah}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Definisi}\\\hline 13&\textrm{Variabel}&\textrm{Suatu variabel}\: \: X\: \: \textrm{adalah variabel acak jika}\\ &\textrm{Acak}&\textrm{nilai-nilai yang dimiliki oleh}\: \: X\: \: \textrm{merupakan}\\ &&\textrm{suatu kemungkinan atau peristiwa acak}.\\ &&\color{blue}\textrm{Selanjutnya variabel acak dibedakan}\\ &&\color{blue}\textrm{menjadi dua, yaitu variabel acak diskrit dan}\\ &&\color{blue}\textrm{variabel acak kontinu sebagaimana pada}\\ &&\color{blue}\textrm{penjelasan sebelumnya di atas}\\\hline \end{array}$

$\color{blue}\textrm{C. Distribusi Peluang}$

$\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{No}&\quad\textrm{Istilah}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Definisi}\\\hline 14&\textrm{Distribusi}&\textrm{Sebuah daftar yang berisi seluruh hasil}\\ &\textrm{Peluang}&\textrm{yang mungkin dari suatu percobaan dan}\\ &(\textrm{Probabilitas})&\textrm{probabilitas yang berkaitan dengan setiap}\\ &&\textrm{hasil tersebut}.\\ &&\color{red}\textrm{Nilai probabilitas berada di antara 0 dan 1}\\ &&\color{blue}\textrm{Jumlah dari seluruh probabilitas hasil harus}\\ &&\color{blue}\textrm{harus sama dengan 1}\\\hline \end{array}$

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah koin dilempar sebanyak tiga kali}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{tentukan semua titik sampelnya}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{tentukan peluang mendapatkan tepat}\\ &\qquad \textrm{dua gambar}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\: \: \: &\textrm{Sebuah koin hanya memiliki dua muka,}\\ &\textrm{yaitu muka gambar (G) dan muka angka (A)}\\ &\textrm{sehingga setiap pelemparan hanya memiliki}\\ &\textrm{dua kemungkinan, yaitu muncul sisi A atau G}\\ &\textrm{maka ruang sampelnya adalah}:\\ &\begin{aligned} \color{blue}\textrm{Mula}\: \, &(1)\quad (2)\quad (3)\quad \color{blue}\textbf{Ruang sampel}\\ \textbf{Mulai}&\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,A,A)\\ G\rightarrow (A,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,G,A)\\ G\rightarrow (A,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,A,A)\\ G\rightarrow (G,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,G,A)\\ G\rightarrow (G,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{aligned} \\ &\textrm{Jadi, banyaknya ruang sampel adalah }\color{red}8 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\: \: \: &\textrm{Dari ruang sampel yang tepat}\\ &\textrm{ada 2 sisi gambar : AGG,GAG,GGA}\\ &\textrm{sehingga peluangnya}=\displaystyle \frac{3}{\textrm{total ruang sampel}}=\color{red}\frac{3}{8} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Misalkan}\: \: X\: \: \textrm{menyatakan sisi angka (A)}\\ &\textrm{pada soal No.1 di atas, tentukanlah nilai}\\ &X\: \: \textrm{yang mungkin}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi berikut}\\ &\begin{aligned} \color{blue}\textrm{Mula}\: \, &(1)\quad (2)\quad (3)\quad \color{blue}\textbf{Ruang sampel}\quad \textbf{Nilai}\\ \textbf{Mulai}&\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow \color{magenta}(A,A,A)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=3\\ G\rightarrow (A,A,G)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=2 \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,G,A)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=2\\ G\rightarrow (A,G,G)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,A,A)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=2\\ G\rightarrow (G,A,G)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=1 \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,G,A)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=1\\ G\rightarrow \color{red}(G,G,G)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, nilai}\: \: X\: \: \textrm{yang mungkin}=\color{red}0,1,2,\: \color{black}\textrm{atau}\: \color{red}3 \end{aligned} \end{array}$

Perhatikanlah contoh pada No.2 di atas, nilai X ternyata tidak memiliki nilai tunggal. Karena X tidak memiliki nilai tunggal, maka X selanjutnya disebut dengan variabel. Dan variabel seperti ini yang nilainya ditentukan oleh percobaan sehingga akan mendapatkan beberapa kemungkinan selanjutnya disebut dengan variabel acak. Sehingga X pada No.2 di atas adalah salah satu contoh untuk variabel acak.

Download Mapel Agama

Download di sini Fiqih XI MA