Kombinatorika-Memecahkan soal terkait permasahan kombinasi (Bagian 5)

 Untuk soal berikut masih terkait kombinatorika. Berikut salnya

$\begin{aligned}&\textrm{Bila}\:\: (x+1)^{\displaystyle n}\:\: \textrm{dijabarkan dengan pangkat}\:\:x\:\: \textrm{semakin menurun}\\ &\textrm{dan}\:\: n\:\: \textrm{bilangan bulat positif, maka diperoleh ada  tiga suku berurutan} \\ &\textrm{dengan perbandingan koefisien}:\: 2:15:70.\:\: \textrm{Tentukan nilai}\:\: n\end{aligned}$.

Untuk menuju jawabannya, perhatikan hal berikut

$\begin{aligned}&(x+1)^{\displaystyle n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\left( \begin{matrix} n \\ r \end{matrix} \right)x^{n-r}=x^{n}+\left( \begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix} \right)x^{n-1}+\left( \begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix} \right)x^{n-2}+\cdots +1\\ &\text{Jika 3 suku berurutan yang dimaksud memiliki koefisien}=2:15:70\\ &\end{aligned}$.

Dari langkah di atas, maka langkah berikutnya adalah:

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan koefisien yang dimaksud adalah}:\\ &\left( \begin{matrix} n \\r \end{matrix} \right), \left( \begin{matrix} n \\r+1 \end{matrix} \right),\left( \begin{matrix} n \\ r+2\end{matrix} \right)\:\: \textrm{dengan perbandingan nilai}\\ &\left( \begin{matrix} n \\r \end{matrix} \right): \left( \begin{matrix} n \\r+1 \end{matrix} \right):\left( \begin{matrix} n \\ r+2\end{matrix} \right)=2:15:70\\ &\textrm{Untuk}\\ &\displaystyle \frac{\left( \begin{matrix} n \\r+1 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} n \\r \end{matrix} \right)}=\displaystyle \frac{15}{2}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{n-r}{r+1}=\displaystyle \frac{15}{2}\Leftrightarrow 2n=17r+15\\ &\textrm{Selanjutnya untuk}\\ &\displaystyle \frac{\left( \begin{matrix} n \\r+2 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} n \\r+1 \end{matrix} \right)}=\displaystyle \frac{70}{15}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{n-r-1}{r+2}=\displaystyle \frac{3}{3}\Leftrightarrow 3n=17r+31\\ &\textrm{Sehingga dari dua persamaan di atas, kita akan mendapatkan}\\ &3n-2n=(17r+31)-(17r+15)\Leftrightarrow n=16\end{aligned}$.

Cukup jelas sampai langkah tersebut, kita mendapatkan n=16

Contoh Soal Polinom (Bagian 6)

$\begin{array}{ll}\\ 26.&\textrm{Banyaknya akar rasional bulat}\\ &\textrm{dari}\: \: 4x^{4}-15x^{2}+5x+6=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 0&&\textrm{d}.\quad 3\\ \textrm{b}.\quad  1&\qquad&\textrm{e}.\quad 4\\ \textrm{c}.\quad  \color{red}2\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{4x^{4}-15x^{2}+5x+6}{(x-1)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}4x^{3}+4x^{2}-11x-6&\color{blue}\textbf{hasil}\\ \hline \quad x-1&4x^{4}-15x^{2}+5x+6&\\ &4x^{4}-4x^{3}&-\\\hline &\: \: \:    4x^{3}-15x^{2}+5x+6&\\ &\: \: \: 4x^{3}-4x^{2}&- \\\hline &\: \: \quad\quad -11x^{2}+5x+6\\ &\: \: \quad\quad -11x^{2}+11x&-\\\hline &\quad \quad \qquad\qquad -6x+6\\ &\quad \quad \qquad\qquad -6x+6&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \quad f(x)&=4x^{4}-15x^{2}+5x+6\\ &=\color{red}(x-1)\color{black}(4x^{3}+4x^{2}-11x-6) \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Selanjutnya perhatikan pula }\\ &\displaystyle \frac{4x^{3}+4x^{2}-11x-6}{(x+2)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}4x^{2}-4x-3&\color{blue}\textbf{hasil}\\ \hline \quad x+2&4x^{3}+4x^{2}-11x-6&\\ &4x^{3}+8x^{2}&-\\\hline &\: \: \quad    -4x^{2}-11x-6&\\ &\: \: \quad -4x^{2}-8x&- \\\hline &\: \: \qquad\qquad -3x-6\\ &\: \: \qquad\qquad -3x-6&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad\quad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \quad f(x)&=4x^{3}+4x^{2}-11x-6\\ &=(x+2)(4x^{2}-4x-3)\\ &=\color{red}(x+2)\color{black}(2x-3)(2x+1) \end{aligned}\\\hline \end{array}   \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 27.&\textrm{Salah satu akar dari polinomial}\\ & 2x^{3}+5x^{2}+x-2=0\: \: \textrm{adalah}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{Jumlah dua akar yang lain adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 6&&\textrm{d}.\quad \color{red}-3\\ \textrm{b}.\quad  3&\qquad&\textrm{e}.\quad -6\\ \textrm{c}.\quad  2\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{2x^{3}+5x^{2}+x-2}{(2x-1)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x^{2}+3x+2&\color{blue}\textbf{hasil}\\ \hline \quad 2x-1&2x^{3}+5x^{2}+x-2&\\ &2x^{3}-x^{2}&-\\\hline &\: \: \: \qquad   6x^{2}+x-2&\\ &\: \: \: \qquad 6x^{2}-3x&- \\\hline &\: \: \: \: \: \qquad\qquad 4x-2\\ &\: \: \: \: \: \qquad\qquad 4x-2&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad\quad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \quad f(x)&=2x^{3}+5x^{2}+x-2\\ &=(2x-1)\color{red}(x^{2}+3x+2)\\ &=(2x-1)\color{red}(x+1)(x+2) \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Sehingga}\: \: x_{2}=-1,\: x_{3}=-2,\: \textrm{maka}\\ &x_{2}+x_{3}=-1+(-2)=-3\\ &\color{red}\textrm{atau dapat juga ditentukan dengan rumus}\\ &\textrm{ABC pada persamaan kuadrat, yaitu}\\ &x^{2}+3x+2=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ &\Leftrightarrow x^{2}+3x+2=-\displaystyle \frac{a_{1}}{a_{1}}=-\displaystyle \frac{3}{1}=-3 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 28.&\textrm{Salah satu akar dari polinomial}\\ & x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6=0\\ &\textrm{adalah}\: \: 2\: .\: \textrm{Jumlah akar-akar yang }\\ &\textrm{lain adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 6&&\textrm{d}.\quad \color{red}3\\ \textrm{b}.\quad  5&\qquad&\textrm{e}.\quad 2\\ \textrm{c}.\quad  4\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6}{(x-2)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x^{3}-3x^{2}-x+3&\color{blue}\textbf{hasil}\\ \hline \quad x-2&x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6&\\ &x^{4}-2x^{3}&-\\\hline &\: \:  \quad   -3x^{3}+5x^{2}+5x-6&\\ &\: \:  \quad -3x^{3}+6x^{2}&- \\\hline &\: \:    \qquad\qquad -x^{2}+5x-6\\ &\: \:   \qquad\qquad -x^{2}+2x&-\\\hline &\: \: \quad    \qquad\qquad\qquad 3x-6\\ &\: \: \quad  \qquad\qquad\qquad 3x-6&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\: \: \: \: \qquad\qquad\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \quad f(x)&=x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6\\ &=(x-2)\color{red}(x^{3}-3x^{2}-x+3) \end{aligned}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Sehingga}\\ &x^{3}-3x^{2}-x+3=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ &\Leftrightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\displaystyle \frac{a_{2}}{a_{2}}=-\frac{-3}{1}=3 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 29.&\textrm{Akar-akar dari persamaan polinom}\\ & x^{3}-3x^{2}+4x+5=0\: \: \textrm{adalah}\: \: x_{1},x_{2}\\ &\textrm{dan}\: \: x_{3}.\: \: \textrm{Nilai}\: \: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}1&&\textrm{d}.\quad 17\\ \textrm{b}.\quad  3&\qquad&\textrm{e}.\quad 19\\ \textrm{c}.\quad  9\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&x^{3}-3x^{2}+4x+5=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:\\ &x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\ &=(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-2(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3})\\ &=\left (\displaystyle \frac{-b}{a}  \right )^{2}-2\left ( \displaystyle \frac{c}{a} \right )\\ &=\left ( \displaystyle \frac{-(-3)}{1} \right )^{2}-2\left ( \displaystyle \frac{4}{1} \right )=9-8=1 \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 30.&\textrm{Diketahui persamaan polinom}\\ & x^{3}-4x^{2}+6x-12=0\: \: \textrm{mempunyai}\\ &\textrm{akar-akar}\: \: x_{1},x_{2}\: \: \textrm{dan}\: \: x_{3}.\\ &\textrm{Nilai}\: \: \displaystyle \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}=\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -3&&\textrm{d}.\quad \displaystyle \color{red}\frac{1}{2}\\ \textrm{b}.\quad  -2&\qquad&\textrm{e}.\quad 3\\ \textrm{c}.\quad  \displaystyle \frac{1}{3}\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&x^{3}-4x^{2}+6x-12=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:\\  &\displaystyle \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}\\ &=\displaystyle \frac{x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}x_{3}}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{c}{a}}{-\displaystyle \frac{d}{a}}=-\frac{c}{d}=-\displaystyle \frac{6}{-12}=\frac{1}{2} \end{aligned}  \end{array}$.

Contoh Soal Polinom (Bagian 5)

$\begin{array}{ll}\\ 21.&\textrm{Akar yang mungkin dari persamaan}\\ &4x^{3}-px^{2}+qx-6=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{1}{6}&&\textrm{d}.\quad \color{red}\displaystyle \frac{3}{2}\\ \textrm{b}.\quad  \displaystyle \frac{2}{3}&\qquad&\textrm{e}.\quad 4\\ \textrm{c}.\quad  \displaystyle \frac{4}{3}\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diket}&\textrm{ahui}\: \: \color{red}4x^{3}-px^{2}+qx-6=0\\  \textrm{Deng}&\textrm{an teorema faktor, faktor yang}\\ \textrm{mung}&\textrm{kin adalah}\: \: \displaystyle \frac{6}{4}=\pm 1,\pm \displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned}\\ & \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 22.&\textrm{Akar-akar dari suku banyak berikut}\\ &f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}-2,1\: \: \textrm{dan}\: \: 3&&\\ \textrm{b}.\quad  -2,-1\: \: \textrm{dan}\: \: 3&&\\ \textrm{c}.\quad  -3,1\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ \textrm{d}.\quad  -3,-1\: \: \textrm{dan}\: \: 2\\ \textrm{e}.\quad  \color{red}-2,1\: \: \textrm{dan}\: \: 3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diket}&\textrm{ahui}\: \: f(x)=\color{blue}x^{3}-2x^{2}-5x+6\\  \textrm{Deng}&\textrm{an teorema faktor, faktor yang}\\ \textrm{mung}&\textrm{kin adalah}\: \: 6=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\\ \textrm{Deng}&\textrm{an substitusi akan diperoleh}\\ f(1)&=(1)^{3}-2(1)^{2}-5(1)+6=0\\ \textrm{maka}&\: \: \color{red}x-1\: \: \color{black}\textrm{termasuk faktornya} \end{aligned}\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{x^{3}-2x^{2}-5x+6}{(x-1)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x^{2}-x-6\quad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline \quad x-1&x^{3}-2x^{2}-5x+6&\\ &x^{3}-x^{2}&-\\\hline &\: \: \:   \quad -x^{2}-5x+6&\\ &\: \: \:  \quad -x^{2}+x&- \\\hline &\: \: \qquad\quad\quad -6x+6\\ &\: \: \qquad\quad\quad -6x+6&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=x^{3}-2x^{2}-5x+6\\ &=(x-1)(x^{2}-x-6)\\ &=\color{red}(x-3)\color{black}(x-1)\color{red}(x+2) \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 23.&\textrm{Akar-akar rasional suku banyak dari}\\ &2x^{3}+5x^{2}-4x-3=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 1,\displaystyle \frac{1}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: 3&&\\ \textrm{b}.\quad  1,-\displaystyle \frac{1}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: 3&&\\ \textrm{c}.\quad  \color{red}1,-\displaystyle \frac{1}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: -3\\ \textrm{d}.\quad  -1,-\displaystyle \frac{1}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: -3\\ \textrm{e}.\quad  -1,-\displaystyle \frac{1}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: 3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diket}&\textrm{ahui}\: \: f(x)=\color{blue}2x^{3}+5x^{2}-4x-3\\  \textrm{Deng}&\textrm{an teorema faktor, faktor yang}\\ \textrm{mung}&\textrm{kin adalah}\: \: \displaystyle \frac{3}{2}=\pm 1,\pm \frac{3}{2}\\ \textrm{Deng}&\textrm{an substitusi akan diperoleh}\\ f(1)&=2.(1)^{3}+5.(1)^{2}-4(1)-3=0\\ \textrm{maka}&\: \: \color{red}x-1\: \: \color{black}\textrm{termasuk faktornya} \end{aligned}\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{2x^{3}+5x^{2}-4x-3}{(x-1)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}2x^{2}+7x+3\quad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline \quad x-1&2x^{3}+5x^{2}-4x-3&\\ &2x^{3}-2x^{2}&-\\\hline &\: \: \:   \quad 7x^{2}-4x-3&\\ &\: \: \:  \quad 7x^{2}-7x&- \\\hline &\: \: \qquad\quad\quad 3x-3\\ &\: \: \qquad\quad\quad 3x-3&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=2x^{3}+5x^{2}-4x-3\\ &=(x-1)(2x^{2}+7x+3)\\ &=\color{red}(2x+1)\color{black}(x-1)\color{red}(x+3) \end{aligned}\\\hline \end{array}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 24.&\textrm{Akar-akar rasional suku banyak dari}\\ &f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-2\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 2,1-\sqrt{3}\: \: \textrm{dan}\: \: 1+\sqrt{3}&&\\ \textrm{b}.\quad  1,2-\sqrt{3}\: \: \textrm{dan}\: \: 2+\sqrt{3}&&\\ \textrm{c}.\quad  -1,2-\sqrt{3}\: \: \textrm{dan}\: \: 3+\sqrt{3}\\ \textrm{d}.\quad  \color{red}2,2-\sqrt{3}\: \: \textrm{dan}\: \: 2+\sqrt{3}\\ \textrm{e}.\quad  1,1-\sqrt{3}\: \: \textrm{dan}\: \: 1+\sqrt{3} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diket}&\textrm{ahui}\: \: f(x)=\color{blue}x^{3}-6x^{2}+9x-2\\  \textrm{Deng}&\textrm{an teorema faktor, faktor yang}\\ \textrm{mung}&\textrm{kin adalah}\: \: 2=\pm 1,\pm 2\\ \textrm{Deng}&\textrm{an substitusi akan diperoleh}\\ f(2)&=(2)^{3}-6.(2)^{2}+9(2)-2=0\\ \textrm{maka}&\: \: \color{red}x-1\: \: \color{black}\textrm{termasuk faktornya} \end{aligned}\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{x^{3}-6x^{2}+9x-2}{(x-2)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x^{2}-4x+1\quad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline \quad x-2&x^{3}-6x^{2}+9x-2&\\ &x^{3}-2x^{2}&-\\\hline &\: \: \:   \quad -4x^{2}+9x-2&\\ &\: \: \:  \quad -4x^{2}+8x&- \\\hline &\: \: \qquad\qquad\quad x-2\\ &\: \: \qquad\qquad\quad x-2&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \quad f(x)&=x^{3}-6x^{2}+9x-2\\ &=(x-2)(x^{2}-4x+1)\\ &=\color{red}(x-2-\sqrt{3})\color{black}(x-2)\color{red}(x-2+\sqrt{3}) \end{aligned}\\\hline \end{array}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 25.&\textrm{Banyaknya akar rasional dari}\\ &x^{4}-3x^{2}+2=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}4&&\textrm{d}.\quad 1\\ \textrm{b}.\quad  3&\qquad&\textrm{e}.\quad 0\\ \textrm{c}.\quad  2\\  \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diket}&\textrm{ahui}\: \: \color{blue}x^{4}-3x^{2}+2=0\\  \Leftrightarrow &\: \: \left (x^{2}  \right )^{2}-3\left ( x^{2} \right )+2=0\\ \Leftrightarrow &\: \: \left ( x^{2}-1 \right )\left ( x^{2}-2 \right )=0 \end{aligned}\\ &\textrm{Maka akar-akarnya}\\ &x^{4}-3x^{2}+2\\ &=\left ( x^{2}-1 \right )\left ( x^{2}-2 \right )\\ &=\color{red}(x+1)(x-1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})   \end{array}$.

Kombinatorika-Memecahkan soal terkait permasahan kombinasi (Bagian 4)

 Masih terkait permasalahan kombinatorika, kali ini, saya masih mengulik soal seperti bagian 3 sebelumnya yaitu terkait kombinasi.

Perhatikan soal berikut!

$\begin{aligned}&\textrm{Jika diketahui}\quad \displaystyle \frac{1}{C_{k}^{7}}-\frac{1}{C_{k}^{8}}=\displaystyle \frac{9}{5C_{k}^{9}},\quad \textrm{tentukan nilai}\:\: k\end{aligned}$.

Untuk solusinya perhatikan hla-berikut

$\begin{aligned}&\displaystyle \frac{1}{C_{k}^{7}}-\frac{1}{C_{k}^{8}}=\displaystyle \frac{9}{5C_{k}^{9}}\\ &\textrm{Gunakan rumus}\quad \left( \begin{matrix} 8 \\ k \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 7 \\ k \end{matrix} \right).\displaystyle \frac{8}{8-k}\\&\Leftrightarrow \frac{1}{\left( \begin{matrix} 7 \\ k \end{matrix} \right)}+\frac{1}{\left( \begin{matrix} 8 \\ k \end{matrix} \right)}=\displaystyle \frac{9}{5\left( \begin{matrix} 9 \\ k \end{matrix} \right)}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{8}{8-k.\left( \begin{matrix} 8 \\ k \end{matrix} \right)}+\frac{1}{\left( \begin{matrix} 8 \\ k \end{matrix} \right)}=\displaystyle \frac{9}{5\left( \begin{matrix} 9 \\ k \end{matrix} \right)}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{8-(8-k)}{(8-k)\left( \begin{matrix} 8 \\ k \end{matrix} \right)}=\displaystyle \frac{9}{5\left( \begin{matrix} 9 \\ k \end{matrix} \right)}\\ &\textrm{karena}\:\: \left( \begin{matrix} 9 \\ k \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 8 \\ k \end{matrix} \right)\displaystyle \frac{9}{9-k}\Rightarrow \frac{9}{5.\left( \begin{matrix} 9 \\ k \end{matrix} \right)}=\displaystyle \frac{9-k}{5.\left( \begin{matrix} 8 \\ k \end{matrix} \right)}\\ & \textrm{Sehingga}\\ &\displaystyle \frac{k}{(8-k)\left( \begin{matrix} 8 \\ k \end{matrix} \right)}=\displaystyle \frac{9-k}{5\left( \begin{matrix} 8 \\ k \end{matrix} \right)}\Leftrightarrow 5k=(8-k)(9-k)\\ &\Leftrightarrow 5k=k^{\displaystyle 2}-17k+72\Leftrightarrow k^{\displaystyle 2}-22k+72=0\\ &\Leftrightarrow (k-4)(k-18)=0\Leftrightarrow k=4\quad \textrm{atau}\quad k=18\\ &\textrm{Karena nilai}\:\: 0\le k\le 7,\:\: \textrm{maka}\:\: k=4\end{aligned}$.

Lihat lagi syarat untuk k-nya jangan sampai lupa, dan hanya ada satu solusi saja

Ok, sekian dulu

Kombinatorika-Memecahkan soal terkait permasahan kombinasi (Bagian 3)

Soal ini terkait dengan kombinasi yang di dalamnya disodorkan ada sebuah persamaan dan kita diminta menentukan solusi yang tepat.

berikut soalnya

$\begin{aligned}&\textrm{Tentukan nilai}\:\: r\:\: \textrm{yang memenuhi persamaan}\:\: 11C_{\displaystyle 2r}^{\displaystyle 28}=225C_{\displaystyle 2r-4}^{\displaystyle 24}\end{aligned}$.

Sebelum sampai ke akhir jawaban dalam proses pencarian kita, perhatikan hal berikut

$\begin{aligned}&11C_{\displaystyle 2r}^{\displaystyle 28}=225C_{\displaystyle 2r-4}^{\displaystyle 24}\\ &\Leftrightarrow 11\displaystyle \frac{28!}{2r!.(28-2r)!}=225\displaystyle \frac{24!}{(2r-4)!(24-(2r-4))!}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{11.28!}{2r!.(28-2r)!}=\displaystyle \frac{225.24!}{(2r-4)!(28-2r)!}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{11.28.27.26.25.24!}{(2r)(2r-1)(2r-2)(2r-3)(2r-4)!}=\displaystyle \frac{225.24!}{(2r-4)!}\\ &\Leftrightarrow \frac{11.28.27.26.25}{225}=(2r)(2r-1)(2r-2)(2r-3)\\ &\Leftrightarrow 14.13.12.11=(2r)(2r-1)(2r-2)(2r-3)\\ &\textrm{maka}\\ &2r=14\Leftrightarrow r=7\end{aligned}$

Cukup jelas 

Kombinatorika-Memecahkan soal terkait permasahan kombinasi (Bagian 2)

 Saya sodorkan untuk persamalahan kedua adalah saya terinspirasi dari soal berikut

$\begin{array}{ll}\\&\textrm{Perhatikalah dua ilustrasi gambar berikut} \end{array}$.

untuk gambar 1

untuk gambar 2

Ok, dua permasalahan tersebut sangat bagus untuk menambah wawasan buat yang sedang mempelajari aplikasi dari kombinasi

Ok, untuk pertanyaanny adalah sebagai berikut

$\begin{array}{ll}\\ .\quad\: \, &\textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{jalur terpendek dari titik A ke B}\: \textrm{pada gambar (1)}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{jalur terpendek dari titik P ke Q}\:\textrm{pada gambar (2)}\\\\  \end{array}$.

Solusi dari permasalahan di atas adalah perhatikan uraian berikut

$\begin{array}{ll} &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Perhatikanlah bahwa langkah dari titik A}\\ &\textrm{ke titik B harus terdiri dari 8 langkah, yaitu}\\ &\textrm{3 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atas}\\ &\textrm{Karena yang diinginkan lintasan terpendek}\\ &\textrm{dan tidak ada kekhususn harus dimulai dari}\\ &\textrm{mana, maka banyaknya langkah berbdeda}\\ &\textrm{dan terpendek adalah}:\\ &\begin{pmatrix} 8\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{atau}\: \: \begin{pmatrix} 8\\ 5 \end{pmatrix}.\: \textrm{Misal kita hitung salah}\\ &\textrm{satunya saja}:\\ &\begin{pmatrix} 8\\ 3 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{8!}{3!(8-5)!}=\frac{8!}{3!\times 5!}=\frac{8.7.6.\not{5!}}{6.\not{5!}}=56 \end{aligned} \end{array}$.

Adapaun untuk solusi yang kedua (poin b) perhatikanlah urian dan simulasi berikut

$\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Untuk poin b, perhatikanlah ilustrasi}\\ &\textrm{gambar berikut(untuk memudahkan}\\ &\textrm{perhitungan). Tempatkan titik-titik}\\ &\textrm{bantu A, B, C, D, E, dan F seperti}\\ &\textrm{pada gambar berikut} \end{aligned}$.

$.\qquad\: \, \begin{aligned}.\quad&\textrm{Perhatikanlah untuk setiap lintasan}\\ &\textrm{terpendek dari titik P ke titik Q}\\ &\textrm{dapat dipastikan akan melewati}\\ &\textrm{titik A, B, C, dan D. Sehingga dari}\\ &\textrm{keempat titik itulah akan diperoleh}\\ &\textrm{rute PAQ, PBQ, PCQ, dan PDQ}.\\ &\textrm{Sehingga banyak rute terpendek dari}\\ &\textrm{titik P ke Q yang selanjutnya kita}\\ &\textrm{simbolkan dengan}\: \: \#PQ\: \: \textrm{adalah}:\\ &\begin{aligned}\#PQ&=\#PAQ+\#PBQ+\#PCQ+\#PDQ\\ &=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}+\#PECQ+\#PFCQ+\#PFDQ\\ &=1.1+4.5+\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\\ &=1+20+3.1.3\color{black}+3.3.3+3.1.1\\ &=1+20+9+27+3\\ &=60 \end{aligned} \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Susyanto, N, 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA.

Ketaksamaan Minkowski

SELAMAT HARI RAYA IDUL FITRI 1443 H

 

Kombinatorika-Memecahkan soal terkait permasahan kombinasi (Bagian 1)

Materi kombinatorika ini adalah cabang matematika yang mempelajari cara menghitung, menyusun, memilih objke-objek dalam suatu himpunan dengan tanpa harus mendaftar satu persatu. 

Materi ini gampang-gampang sudah, kalau saya jujur,masih sangat lemah terutama dalam hal ini. Kalau pas lagi bisa, yang itu bagi saya sudah sangat luar biasa

Ok, kita langsung saja terkait permasalahan perama yaitu tentang pembuktian

Misalkan kita diminta membuktikan hal berikut

$\begin{aligned}&\text{Bila didefinisikan}\:\: 0!=1,1!=1,\:\: \text{dan}\:\: n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n\\ &\textrm{untuk}\: n\ge 2. \: \textrm{Sedangkan}\:\sum_{j=1}^{n}a_{j}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n},\\ &\textrm{buktikan bahwa}\\ &\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}(n-k)!(n+k)!=\displaystyle \frac{(n!)^{2}}{2}+\frac{(-1)^{n}(2n+1)!}{2(n+1)}\\ &\textrm{petunjuk}:\:  f(k)=(n+1-k)!(n+k)!,\: \textrm{untuk}\:\: 0\le k\le n+1\\\\   \end{aligned}$.

Perhatikan uraian berikut untuk menuju hasil buktinya

$\begin{aligned} &\begin{aligned}&\textrm{Diberikan petunjuk fungsi}:\: f(x)\:\: \textrm{untuk}\:\: 0\le k\le n+1\\ &\textrm{yaitu}:\quad f(k)=(n+1-k)!(n+k)!\\ &\bullet\quad \textrm{Perhitungan}\:\: f(x)\:\: \textrm{dan}\:\: f(x+1)\\ &\qquad \textrm{Untuk}:\:\:f(x)=(n+1-k)!(n+k)!\\ &\qquad \textrm{Dan untuk}:\:\:f(x+1)=(n-k)!(n+k+1)!\\ &\qquad \textrm{Selanjutnya}\\ &\qquad \textrm{untuk}:\:\: (n+1-k)!=(n+1-k)(n-k)!\\ &\qquad \textrm{Dan untuk}:\:\: (n+k+1)!=(n+k+1)(n+k)!\\ &\bullet\quad \textrm{Perhitungan}\:\: f(x)+f(x+1)\\ &\qquad =\left[\left(n+1-k  \right)+\left(n+k+1  \right) \right](n-k)!(n+k)!\\ &\qquad =(2n+2)(n-k)!(n+k)!\\ &\qquad =2(n+1)(n-k)!(n+k)!\\ &\qquad\textrm{Sehingga}\\ &\qquad (n-k)!(n+k)!=\displaystyle \frac{f(k)+f(k+1)}{2(n+1)}\\ &\bullet\quad \textrm{Substitu ke bagian ruas kiri deret, yaitu}:\\ &\qquad S=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{\displaystyle k}(n-k)!(n+k)!\\ &\qquad\quad=\sum_{k=0}^{ n}(-1)^{\displaystyle k}\displaystyle \frac{f(k)+f(k+1)}{2(n+1)}\\ &\qquad\quad=\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{\displaystyle k}\left( f(k)+f(k+1) \right)\\ &\bullet\quad \textrm{Evaluasi deret teleskopik}:\\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=0\Rightarrow f(0)+f(1)\\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=1\Rightarrow -f(1)-f(2)\\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=2\Rightarrow f(2)+f(3)\\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=3\Rightarrow -f(3)-f(4)\\&\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=4\Rightarrow f(4)+f(5)\\ &\qquad \circ\quad \cdots \\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=n\Rightarrow (-1)^{\displaystyle n}f(n)+(-1)^{\displaystyle n}f(n+1)\\ &\bullet\quad \textrm{Suku yang tersisa akibat jumlah teleskopik}:\\ &\qquad \textrm{yaitu}:k=0\:\: \textrm{yaitu}\:\: f(0)\:\: \textrm{dan}\:\: k=n\:\: \textrm{yaitu}\:\: (-1)^{\displaystyle n}f(n+1)\\ &\bullet\quad \textrm{Evaluasi nilai}:f(0)\:\: \textrm{dan}\:\: f(n+1)\\&\qquad \circ\quad k=0\Rightarrow f(0)=(n+1-0)!(n+0)!=(n+1)!n!=(n+1)(n!)^{\displaystyle 2}\\ &\qquad \circ\quad k=n+1\Rightarrow f(n+1)=(n+1-(n+1))!(n+n+1)!=(2n+1)!\\&\bullet\quad \textrm{Langkah akhir pembuktian}\\ &\qquad S=\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{\displaystyle k}\left( f(k)+f(k+1) \right)\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\left( f(0)+(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! \right)\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\left( (n+1)(n!)^{\displaystyle 2}+(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! \right)\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{(n+1)(n!)^{\displaystyle 2}+(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! }{2(n+1)}\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{(n+1)(n!)^{\displaystyle 2}}{2(n+1)}+\displaystyle \frac{(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! }{2(n+1)}\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{(n!)^{\displaystyle 2}}{2}+\displaystyle \frac{(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! }{2(n+1)}\qquad \textbf{Terbukti} \end{aligned} \end{aligned}$

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan akar (Bagian 2)

 Bentuk berikut adalah sangat diindah dilihat tetapi kita juga akan mungkin bertanya saya memulai soluisnya dari mana. Pas awal lihat soal ini saya hanya bisa senyum sambil bergumam, bakal susah banget ini nanti

berikut soalnya

$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Hitunglah}\:\\\\ &\quad\quad\qquad \displaystyle \sqrt[\displaystyle 8]{2207-\displaystyle \frac{1}{2207-\displaystyle \frac{1}{2207-\displaystyle \frac{1}{2207-\displaystyle \frac{1}{...}}}}}\\\\ &\textrm{nyatakan jawabannya dalam bentuk }\: \displaystyle \frac{a\pm b\sqrt{c}}{d}\\ &\textrm{dengan a, b, c, dan d bilangan-bilangan bulat}\\ \end{array}$.

Tetapi yang bikin semangat mencari solusinya adalah petunjuk yang diberikan, yaitu berupa mirip akar dari sebuah persamaan kuadrat

Ok, kita lanjut saja untuk mendapatkan solusinya

Perhatikan berikut

$\begin{aligned}x^{\displaystyle 8}&=2207-\displaystyle \underset{\displaystyle x^{\displaystyle 8}}{\underbrace{\displaystyle \frac{1}{2207-\displaystyle \frac{1}{2207-\displaystyle \frac{1}{2207-...}}}}}\\ x^{\displaystyle 8}&=2207-\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 8}}\\ &x^{\displaystyle 8}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 8}}=2207\\ &\left ( x^{\displaystyle 4}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 4}} \right )^{\displaystyle 2}=2207+2\\ &\left ( x^{\displaystyle 4}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 4}} \right )=\sqrt{2209}=47 \end{aligned}$

Langkah berikutnya adalah

$\begin{aligned}x^{\displaystyle 4}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 4}}&=47\\ \left ( x^{\displaystyle 2}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 2}} \right )^{\displaystyle 2}&=47+2\\ x^{\displaystyle 2}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 2}}&=\sqrt{49}=7\\ \left ( x+\displaystyle \frac{1}{x} \right )^{\displaystyle 2}&=7+2\\ x+\displaystyle \frac{1}{x}&=\sqrt{9}=3\\ x^{\displaystyle 2}-3x+1&=0,\\ &\textrm{persamaan kuadrat dalam x,}\\ & \textbf{gunakan rumus abc}\\ x_{1,2}=&\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}=\displaystyle \frac{3\pm 1\sqrt{5}}{2}=\displaystyle \frac{a\pm b\sqrt{c}}{d}\\ &\textbf{Sehingga},\quad \begin{cases} & a=3 \\ & b=1 \\ & c=5 \\ & d=2 \end{cases} \end{aligned}$.

Ternyata tepat tak meleset, jatuhnya ke bentuk persamaan kuadrat

Ok, sekian dulu

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan akar (Bagian 1)

 Berikut ada soal unik penjumlahan berulang tetapi mengandul bilangan bentuk akar, yaitu

$\begin{aligned}&\textrm{Nilai dari}\\ &\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{2}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{2}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{2}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}}+\cdots + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{n}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{n}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{n}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}} \end{aligned}$.

Kalau sekilas lihat soalnya jadi terasa banyak ada kendala, bagaimana untuk mendaptakan solusinya. Ada sebuah hal yang menarik, yaitu, kita coba urai bagian perbagian, dan kita akan lihat seperti apa polanya, karena jelas soal ini memiliki pola

$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa bentuk},\\ &\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}}\Rightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{k}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{k}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{k}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}}\\ &\textrm{kita coba tarik polanya, yaitu}\\ &U_{\displaystyle k}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{k}+U_{\displaystyle k}}\Leftrightarrow  U_{\displaystyle k}^{\displaystyle 2}+\sqrt{k}.U_{\displaystyle k}-\displaystyle \frac{1}{4}=0\\ &U_{\displaystyle k}=\displaystyle \frac{-\sqrt{k}\pm \sqrt{k-4.1.\left( -\displaystyle \frac{1}{4} \right)}}{2}\Leftrightarrow  U_{\displaystyle k}=\displaystyle \frac{-\sqrt{k}\pm \sqrt{k+1}}{2}\\ &\textrm{Karena baik penyebut maupun pembilang bernilai positif, maka}\\ &\textrm{kita gunakan akar yang positif saja, yaitu}:\\ &U_{\displaystyle k}=\displaystyle \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{2}\\ &\textrm{Sehingga bisa dipastikan deretnya dalah teleskopik, yaitu}:\\ &S_{\displaystyle n}=\displaystyle \frac{1}{2}\left( \left( \sqrt{2}-\sqrt{1} \right)+\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right) +\cdots +\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)\right)\\ &\:\:\quad=\displaystyle \frac{\sqrt{n+1}-1}{2} \end{aligned}$

Jadi, ternyata barisan bilangan tersebut di atas memiliki pola teleskopik dengan jumlah seperti tertera di atas

Contoh Soal Polinom (Bagian 4)

$\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Jika}\: \: (m-2)\: \: \textrm{adalah faktor dari}\: \: 2m^{3}+3tm+4,\\ &\textrm{maka nilai}\: \: t\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{10}{3}&&\textrm{d}.\quad -\displaystyle \frac{3}{10}\\\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{1}{3}&\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{3}{10}&\textrm{e}.\quad \color{red}-\displaystyle \frac{10}{3} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(m)&=2m^{3}+3tm+4\\ f(2)&=2(2)^{3}+3t(2)+4\\ 0&=16+6t+4\\ -6t&=20\\ t&=\color{red}-\displaystyle \frac{10}{3} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{(KSM MA Kab/Kota 2015)Nilai terkecil}\: \: n\\ & \textrm{yang mengkin sehingga}\: \: n.(n+1).(n+2)\\\ & \textrm{habis dibagi 24 adalah}....\\ &\begin{array}{l}\\ \textrm{a}.\quad 1\\ \textrm{b}.\quad \color{red}2\\ \textrm{c}.\quad 3\\ \textrm{d}.\quad 4 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}k&=\displaystyle \frac{n.(n+1).(n+2)}{24}\\ &=\displaystyle \frac{n.(n+1).(n+2)}{2.(2+1).(2+2)}\\ &\textrm{maka}\: \: n=\color{red}2 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Jika polinom}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\\ &(x-a)(x-b)\: \: \textrm{dan}\: \: a\neq b\: ,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{sisa pembagiannya adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \displaystyle \frac{x-a}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \displaystyle \frac{x-a}{a-b}f(b)+\frac{x-a}{b-a}f(a)\\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \displaystyle \color{red}\frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \displaystyle \frac{x-b}{a-b}f(b)+\frac{x-a}{b-a}f(a)\\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \displaystyle \frac{x-a}{b-a}f(b)+\frac{x-a}{b-a}f(a)\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misal sisa pembagiannya}:\: \color{red}s(x)=px+q\\ &\textrm{Saat}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi}\: \: (x-a)(x-b)\: \: \textrm{berarti}\\ &\bullet \quad x=a\Rightarrow s(a)=f(a)=ap+q\: ....(1)\\ &\bullet \quad x=b\Rightarrow s(b)=f(b)=bp+q\: ......(2)\\ &\textrm{Persamaan}\: \: (1)\: \: \textrm{dan}\: \: (2)\: \: \textrm{dieliminasi}\\ &\color{blue}\begin{array}{llllllll}\\ ap&+&q&=&f(a)\\ bp&+&q&=&f(b)&-\\\hline ap&-&bp&=&f(a)-f(b)\\ &&p&=&\color{purple}\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b}& \end{array}\\ &\textrm{Dari persamaan}\: \: (1),\\ &f(a)=ap+q\\ &f(a)=a\left ( \displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )+q\\ &q=a\left ( \displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )+f(a)\\ &q=a\left ( \displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )+f(a)\left ( \displaystyle \frac{a-b}{a-b} \right )\\ &q=\displaystyle \frac{-bf(a)-af(b)}{a-b}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &s(x)=px+q\\ &\qquad =\left ( \displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )x+\left ( \displaystyle \frac{-bf(a)-af(b)}{a-b} \right )\\ &\qquad =\displaystyle \frac{f(a)x-f(b)x-bf(a)+af(b)}{a-b}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{(x-b)f(a)+(a-x)f(b)}{a-b}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{a-x}{a-b}f(b)\\ &\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Diketahui}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\: \: x-2\: \: \textrm{bersisa 5},\\ &\textrm{dan dibagi}\: \: x-3\: \: \textrm{bersisa 7. Jia}\: \: f(x)\: \: \\ &\textrm{dibagi oleh}\: \: x^{2}-5x+6\: \: \textrm{akan memiliki sisa}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle x-2&&\textrm{d}.\quad \color{red}\displaystyle 2x+1\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle 2x-4&\textrm{c}.\quad \displaystyle x+2&\textrm{e}.\quad 2x+3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}f(x)&=(x-2).h(x)+5\\ f(x)&=(x-3).h(x)+7\\ f(x)&=(x^{2}-5x+6).H(x)+s(x)\\ f(x)&=(x-2)(x-3).H(x)+px+q\\ f(2)&=(2-2)(2-3).H(x)+2p+q=5\\ &\Rightarrow \color{blue}0+2p+q=5\: \color{black}.................(1)\\ f(3)&=(3-2)(3-3).H(x)+3p+q=7\\ &\Rightarrow \color{blue}0+3p+q=7\: \color{black}.................(2)\\ \textrm{Dari}&\: \textrm{persamaan}\: \: (1)\: \: \textrm{dan}\: \: (2)\\ \color{red}\textrm{saat}\: &\color{red}\textrm{persamaan (1) dikurangi persamaan (2)}\\ &\qquad -p=-2\\ &\qquad\: \: \: \: \: \: p=2\\ &\textrm{maka}, \: \: \: q=1\\ &\textrm{Sehingga},\: \: \\ &s(x)=px+q=\color{red}2x+1\end{aligned}\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}&f(x)\: \: \textrm{dibagi}\: \: (x-2)\: \: \textrm{sisa}\: \: 5\: \Rightarrow f(2)=5\\ &f(x)\: \: \textrm{dibagi}\: \: (x-3)\: \: \textrm{sisa}\: \: 7\: \Rightarrow f(3)=7\\ &\textrm{maka},\\ &s(x)=\color{red}\displaystyle \frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\\ &\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{x-3}{2-3}\color{black}(5)\color{red}+\frac{x-2}{3-2}\color{black}(7)\\ &\qquad =\displaystyle \frac{5x-15}{-1}+\frac{7x-14}{1}\\ &\qquad =15-5x+7x-14\\ &\qquad =\color{red}2x+1 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Polinom}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\: \: (2x-4)\: \: \textrm{bersisa 6},\\ &\textrm{dibagi oleh}\: \: (x+4)\: \: \textrm{bersisa 24}.\\ &\textrm{Dan polinom}\: \: g(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\: \: (2x-4)\: \: \textrm{bersisa 5},\\ & \textrm{dibagi oleh}\: \: (x+4)\: \: \textrm{bersisa 2}.\\ &\textrm{Jika}\: \: h(x)=f(x).g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: h(x)\\ &\textrm{dibagi}\: \: (2x^{2}+4x-16)\: \: \textrm{akan sisa}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -3x+24&&\textrm{d}.\quad -6x+36\\ \textrm{b}.\quad \color{red}-3x+36&\textrm{c}.\quad 6x+24&\textrm{e}.\quad 12x+3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\textrm{Langkah pertama}\\ &\begin{aligned}f(x)&=(2x-4).h(x)_{1}+6\\ f(x)&=(x+4).h(x)_{2}+24\\ f(x)&=(2x-4)(x+4).H_{1}(x)+p_{1}x+q_{1}\\ &\textrm{Gunakanlah cara sebagai mana}\\ &\textrm{contoh soal No. 12 di atas yang}\\ \color{magenta}\textrm{Alte}&\color{magenta}\textrm{natif 2}\\ \textrm{mak}&\textrm{a}\quad p_{1}x+q_{1}=-3x+12 \end{aligned} \\ &\color{blue}\textrm{Langkah kedua}\\ &\begin{aligned}g(x)&=(2x-4).h(x)_{3}+5\\ g(x)&=(x+4).h(x)_{4}+2\\ g(x)&=(2x-4)(x+4).H_{2}(x)+p_{2}x+q_{2}\\ &\textrm{Gunakanlah cara sebagai mana}\\ &\textrm{contoh soal No. 12 di atas yang}\\ \color{magenta}\textrm{Alte}&\color{magenta}\textrm{natif 2}\\ \textrm{mak}&\textrm{a}\quad p_{2}x+q_{2}=\displaystyle \frac{1}{2}x+4 \end{aligned} \\ &\color{blue}\textrm{Langkah ketiga}\\ &\begin{aligned}&h(x)=\color{red}f(x)\times g(x)\\ &=\left ( (2x-4)(x+4)H_{1}(x)+(-3x+12) \right )\\ &\qquad\qquad\qquad \times \left ( (2x-4)(x+4)H_{2}(x)+\displaystyle \frac{1}{2}x+4 \right )\\ &\textrm{maka}\\ &\bullet \quad h(2)=\left ( 0+(-3.2+12) \right )\left ( 0+\displaystyle \frac{1}{2}.2+4 \right )=6.5=30\\ &\bullet \quad h(-4)=\left ( 0+(-3.-4+12) \right )\left ( 0+\displaystyle \frac{1}{2}.-4+4 \right )=24.2=48\\ &\textrm{Dengan pembagi}\: \: 2x^{2}+x-16,\: \textrm{maka sisanya}:\: s_{3}(x)=p_{3}x+q_{3}\\ &\textrm{saat}\: \: x=2\qquad \Rightarrow 2p+q=30\\ &\textrm{saat}\: \: x=-4\: \: \Rightarrow -4p+q=48\\ &\textrm{selanjutnya dengan eliminasi-substitusi diperoleh}\: \: p=-3,\: q=36\\ &\textrm{sehingga}\: \: s(x)=px+q=\color{red}-3x+36 \end{aligned} \end{array}$

Contoh Soal Polinom (Bagian 3)

$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Jika polinom}\: \: 2x^{3}+7x^{2}+ax-3\\  &\textrm{mempunyai faktor}\: \: 2x-1,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{faktor linear lainnya adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (x-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (x+1)&&\\ \textrm{b}.\quad  \color{red}(x+3)\: \: \textrm{dan}\: \: (x+1)&&\\ \textrm{c}.\quad  (x+3)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-1)\\ \textrm{d}.\quad  (x-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-1)\\ \textrm{e}.\quad  (x+2)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-6) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{2x^{3}+7x^{2}+2x-3}{(2x-1)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x^{2}+4x+3\quad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline \quad 2x-1&2x^{3}+7x^{2}+2x-3&\\ &2x^{3}-x^{2}&-\\\hline &\: \: \:   \qquad 8x^{2}+2x-3&\\ &\: \: \:  \qquad 8x^{2}-4x&- \\\hline &\: \: \qquad\qquad\quad 6x-3\\ &\: \: \qquad\qquad\quad 6x-3&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=2x^{3}+7x^{2}+2x-3\\ &=(2x-1)(x^{2}+4x+3)\\ &=(2x-1)\color{red}(x+1)(x+3) \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Diketahui}\: \: g(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+6\\  &h(x)=x^{2}+x-6\: \: \textrm{adalah faktor dari}\\ &g(x)\: ,\: \textrm{Nilai}\: \: a\: \: \textrm{yang memenuhi adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -3&&\textrm{d}.\quad 2\\ \textrm{b}.\quad  -1&\textrm{c}.\quad  1&\textrm{e}.\quad \color{red}5 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: g(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+6\\ &\textrm{dengan pembagi}\: \: h(x)=x^{2}+x-6\\ &\Leftrightarrow \: \: h(x)=(x+3)(x-2)\\ &\textrm{Hal ini artinya}\\ &g(-3)=2(-3)^{3}+a(-3)^{2}+b(-3)+6\\ &\: \: \: \qquad =-54+9a-3b+6=0\: ....(1)\\ &g(2)=2(2)^{3}+a(2)^{2}+b(2)+6\\ &\: \: \: \: \quad =16+4a+2b+6=0\: ..........(2)\\ &\textrm{Dengan mengeliminasi persamaan}\\ &(1)\: \: \textrm{dengan persamaan}\: \: (2),\: \textrm{maka}\\ & \end{aligned}\\ &\begin{array}{llllll} g(-3)&=&9a-3b&=&48\\ g(2)&=&4a+2b&=&-22&\\\hline (x2)&&18a-6b&=&96\\ (x3)&&12a+6b&=&-66&+\\\hline &&6a&=&30\\ &&\quad\qquad a&=&5 \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Jika}\: \: f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)\\ &\textrm{maka berikut yang bukan faktor}\\ &f(-x)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (x-1)&&\textrm{d}.\quad (x+2)\\ \textrm{b}.\quad  (x+1)&\textrm{c}.\quad  \color{red}(x-2)&\textrm{e}.\quad (1-x) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)\\ &\Leftrightarrow f(-x)=(-x-1)(-x+1)(-x-2)\\ &\Leftrightarrow f(-x)=(x+1)(-x+1)(x+2)\\ &\textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow f(-x)=(-x-1)(x-1)(x+2)\\ &\textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow f(-x)=(x+1)(x-1)(-x-2)\\ &\textrm{Perhatikan bahwa faktor}\\ &(x-2)\: \: \textrm{tidak akan pernah ada} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Jika}\: \: n\: \: \textrm{merupakan bilangan bulat }\\ &\textrm{positif, pernyataan berikut ini}\\ &\textrm{yang benar adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad x^{n}+1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x+1)&&\\ \textrm{b}.\quad  x^{n}+1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-1)&&\\ \textrm{c}.\quad  x^{n}-1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x+1)\\ \textrm{d}.\quad  \color{red}x^{n}-1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-1)\\ \textrm{e}.\quad  x^{n}+1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x+2) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\bullet \quad x^{n}+1=(x+1)(x^{n-1}+1)-x(x^{n-2}+1)\\ &\bullet \quad x^{n}-1=\color{red}(x-1)\color{black}(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1) \end{aligned}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{|c|c|l|}\hline \textrm{Polinom}&\textrm{Pembagi}&\textrm{Hasil dengan}\: \: n\: \: \textrm{positif}\\\hline x^{n}+1&x+1&f(-1)=(-1)^{n}+1=....\\\hline x^{n}+1&x-1&f(1)=(1)^{n}+1=2\\\hline x^{n}-1&x+1&f(-1)=(-1)^{n}-1=-2\\\hline x^{n}-1&\color{red}x-1&\color{red}f(1)=(1)^{n}-1=0\\\hline x^{n}+1&x+2&f(-2)=(-2)^{n}+1\neq 0\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Sebagai catatan bahwa saat}\: \: \: \displaystyle \frac{x^{n}+1}{x+1}=....\\ &\bullet \quad\textrm{ketika}\: \: n=\textrm{ganjil, maka}\: \displaystyle \frac{x^{n}+1}{x+1}=0,\: \textrm{tetapi}\\ &\bullet \quad \textrm{ketika}\: \: n=\textrm{genap, maka}\: \displaystyle \frac{x^{n}+1}{x+1}\neq 0 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Jika salah satu akar dari polinom}\\ &\: \: x^{3}+4x^{2}+x-6=0\: \: \textrm{adalah}\: \: x=1,\\  &\textrm{maka akar-akar yang lain adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 2\: \: \textrm{dan}\: \: 3&&\\ \textrm{b}.\quad  -3\: \: \textrm{dan}\: \: 2&&\\ \textrm{c}.\quad  -2\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ \textrm{d}.\quad  \color{red}-3\: \: \textrm{dan}\: \: -2\\ \textrm{e}.\quad  1\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{3}{2} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{x^{3}+4x^{2}+x-6}{(x-1)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x^{2}+5x+6\quad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline \quad x-1&x^{3}+4x^{2}+x-6&\\ &x^{3}-x^{2}&-\\\hline &\: \: \:   \qquad 5x^{2}+x-6&\\ &\: \: \:  \qquad 5x^{2}-5x&- \\\hline &\: \: \qquad\qquad\quad 6x-6\\ &\: \: \qquad\qquad\quad 6x-6&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=x^{3}+4x^{2}+x-6\\ &=(x-1)(x^{2}+5x+6)\\ &=(x-1)\color{red}(x+2)(x+3) \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$