PAS MATEMATIKA BLOG

Ukuran Penyebaran Data Berkelompok (Materi Kelas XII Matematika Wajib) (Bagian 2)

B. 2 Data Berkelompok

$\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Data Dispersi}&\textrm{Keterangan}\\\hline 1.&\textrm{Jangkauan}&\begin{aligned}\textrm{a}.\: \: &\textrm{selisih titik tengah}\\ &\textrm{kelas tertinggi dengan}\\ &\textrm{titik tengah kelas}\\ &\textrm{terendah}\\ \textrm{b}.\: \: &\textrm{selisih tepi atas kelas}\\ &\textrm{kelas tertinggi dengan}\\ &\textrm{tepi bawah kelas}\\ &\textrm{terendah} \end{aligned}\\\hline 2.&H&Q_{3}-Q_{1}\\\hline 3.&Q_{d}&\displaystyle \frac{1}{2}\left ( Q_{3}-Q_{1} \right )\\\hline 4.&SR&\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}\left | x_{i}-\overline{x} \right |}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}} \\\hline 5.&S^{2}&\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i} \left (x_{i}-\overline{x} \right )^{2} }{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\\hline 6.&S&\sqrt{\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i} \left (x_{i}-\overline{x} \right )^{2} }{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}}}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Tentukanlah nilai simpangan rata-ratanya}\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \textrm{Nilai}&\colorbox{white}{47-49}&\colorbox{white}{50-52}&\colorbox{white}{53-55}&\colorbox{white}{56-58}&\colorbox{white}{59-61}\\\hline \textrm{Frek}&2&4&6&5&3\\\hline \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textbf{Alternatif 1}\\ &\begin{array}{ll} &\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \textrm{Nilai}&x_{i}&f_{i}&f_{i}.x_{i}&\left | x_{i}-\overline{x} \right |&f_{i}.\left | x_{i}-\overline{x} \right |\\\hline 47-49&48&2&96&6,45&12,49\\\hline 50-52&51&4&204&3,45&13,8\\\hline 53-55&\colorbox{yellow}{54}&6&\colorbox{yellow}{324}&\colorbox{yellow}{0,45}&\colorbox{yellow}{2,7}\\\hline 56-58&57&5&285&2,55&12,75\\\hline 59-61&60&3&180&5,55&16,65\\\hline \textrm{Jumlah}&&20&1089&&58,8\\\hline \end{array}\\ &\textrm{ingat}\: \: x_{i}=\textrm{nilai tengah interval kelas}\\ &\begin{aligned}\overline{x}&=\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}.x_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\ &=54+\displaystyle \frac{1089}{20}=54+0,45=\color{red}54,45 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}SR&=\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}.\left | x_{i}-\overline{x} \right |}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\ &=\displaystyle \frac{58,8}{20}\\ &=\color{red}2,94 \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, simpangan rata-ratanya adalah}\: SR=2,94 \end{array} \\\\ &\textbf{Alternatif 2}\\ &\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \textrm{Nilai}&x_{i}&f_{i}&d_{i}&f_{i}.d_{i}&\left | x_{i}-\overline{x} \right |&f_{i}.\left | x_{i}-\overline{x} \right |\\\hline \colorbox{white}{47-49}&48&2&-6&-12&6,45&12,49\\\hline \colorbox{white}{50-52}&51&4&-3&-12&3,45&13,8\\\hline \colorbox{yellow}{53-55}&\colorbox{yellow}{54}&6&\colorbox{yellow}0&\colorbox{yellow}0&\colorbox{yellow}{0,45}&\colorbox{yellow}{2,7}\\\hline \colorbox{white}{56-58}&57&5&3&15&2,55&12,75\\\hline \colorbox{white}{59-61}&60&3&6&18&5,55&16,65\\\hline \textrm{Jumlah}&&20&&9&&58,8\\\hline \end{array}\\ &\textrm{ingat}\: \: x_{i}=\textrm{nilai tengah interval kelas}\\ &\begin{aligned}\overline{x}&=x_{s}+\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}.d_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\ &=54+\displaystyle \frac{9}{20}=54+0,45=\color{red}54,45 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}SR&=\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}.\left | x_{i}-\overline{x} \right |}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\ &=\displaystyle \frac{58,8}{20}\\ &=\color{red}2,94 \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, simpangan rata-ratanya adalah}\: SR=2,94 \end{array}$.

$\begin{array}{ll} 2.&\textrm{Tentukanlah nilai varian/ragamnya}\\ &\textrm{dari data soal no.1 di atas}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \textrm{Nilai}&x_{i}&f_{i}&\left | x_{i}-\overline{x} \right |& (x_{i}-\overline{x})^{2}&f_{i}. (x_{i}-\overline{x})^{2} \\\hline 47-49&48&2&6,45&41,6025&83,205\\\hline 50-52&51&4&3,45&11,9025&47,61\\\hline 53-55&54&6&324&0,2025&1,215\\\hline 56-58&57&5&285&6,5025&32,5125\\\hline 59-61&60&3&180&30,8025&92,4075\\\hline \textrm{Jumlah}&&20&&&256,95\\\hline \end{array}\\ &\textrm{ingat}\: \: x_{i}=\textrm{nilai tengah interval kelas}\\ &\textrm{dan}\: \: \overline{x}=\color{red}54,45\: (\textrm{lihat soal no.1})\\ &\textrm{maka}\\ &\begin{aligned}S^{2}&=\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}. (x_{i}-\overline{x})^{2} }{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\ &=\displaystyle \frac{256,95}{20}\\ &=\color{red}12,8475 \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, varian/ragamnya adalah}\\ & S^{2}=12,8475 \end{array}$.

$\begin{array}{ll} 3.&\textrm{Tentukanlah nilai simpangan baku dari}\\ &\textrm{dari data soal no.1 di atas}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &S=\sqrt{S^{2}}=\sqrt{12,8475}\approx \color{red}3,58 \end{array}$.

Ukuran Penyebaran Data Tunggal (Materi Kelas XII Matematika Wajib) (Bagian 1)

A. Pengertian

Ukuran penyebaran data adalah nilai dari ukuran yang memberikan gambaran sejauh mana data menyebar atau menyimpang (dispersi/deviasi) dari ukuran pemusatan data. Dalam hal ini bagian yang akan disinggung dalam materi ini adalah: Jangkauan (Range), Jangkauan antar kuartil, Simpangan kuartil, Simpangan rata-rata, Ragam (Variansi), Simpangan baku (Deviasi Standar), Koefisien variansi.

$\begin{array}{|c|l|c|}\hline \textrm{No}&\: \: \: \: \textrm{Data Dispersi}&\textrm{Simbol}\\\hline 1.&\textrm{Jangkauan}&R\: \: \textrm{atau}\: \: J\\\hline 2.&\textrm{Jangkauan}&H\\ &\textrm{antarkuartil}&\\\hline 3.&\textrm{Simpangan}&Q_{d}\\ &\textrm{kuartil}&\\\hline 4.&\textrm{Langkah}&L\\\hline 5.&\textrm{Pagar dalam}&Q_{1}-L\\\hline 6.&\textrm{Pagar luar}&Q_{3}-L\\\hline 7.&\textrm{Simpangan}&SR\\ &\textrm{rata-rata}&\\\hline 8.&\textrm{Ragam/variansi}&S^{2}\\\hline 9&\textrm{Simpangan baku}&S\\\hline 10.&\textrm{Koefisien variansi}&V\\\hline \end{array}$.

Sebagai catatan bahwa $H$ selain disebut jangkauan antarkuartil sebagaian ada yang menyebut dengan istilah rentang antar kuartil dan terkadang pula dengan sebutan jangkauan interkuartil (Inter Quartile Range) dan juga terkadang menyebutnya dengan hamparan. Untuk $Q_{d}$ selanjutnyanya ada yang buku yang menyebutnya dengan istilah simpangan kuartil terkadang juga rentang semi interkuartil atau jangkauan antarkuartil.

Perhatikan gambar distribusi frekuensi suatu data berikut

B. Ukuran Penyebaran Data

B. 1 Data Tunggal

$\begin{array}{|c|l|c|}\hline \textrm{No}&\quad \textrm{Data}&\textrm{Formula}\\\hline 1.&R\: \: \textrm{atau}\: \: J&x_{max}-x_{min}\\\hline 2.&H&Q_{3}-Q_{1}\\\hline 3.&Q_{d}&\displaystyle \frac{1}{2}\left ( Q_{3}-Q_{1} \right )\\\hline 4.&L&\displaystyle \frac{3}{2}\left ( Q_{3}-Q_{1} \right )\\\hline 5.&Q_{1}-L&Q_{1}-L\\\hline 6.&Q_{3}-L&Q_{3}-L\\\hline 7.&SR&\displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left | x_{i}-\overline{x} \right |\\\hline 8.&S^{2}&\displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\overline{x} \right )^{2}\\\hline 9&S&\sqrt{S2}\\\hline 10.&V&\displaystyle \frac{S}{\overline{x}}\times 100 \%\\\hline \end{array}$.

Catata: Data ukuran yang kurang dari pagar dalam dan atau lebih besar dari pagar luar dinamakan pencilan.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Diberikan data berikut}\\ &\color{purple}\begin{array}{lllllll} 30&32&32&43&50&51\\ 53&53&58&58&58&60\\ 63&64&66&67&68&69\\ 70&72&75&78&80&82\\ 84&85&86&86&83&83 \end{array}\\ &\textrm{Tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Jangkauan}\\ &\textrm{b}.\quad Q_{1},\, Q_{2},\, \textrm{dan}\: \: Q_{3}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Jangkauan Antarkuartil}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{Simpangan Kuartil}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{Pagar Dalam}\\ &\textrm{f}.\quad \textrm{Pagar Luar}\\ &\textrm{g}.\quad \textrm{Pencilan}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan sajian data dalam bentuk}\\ &\textrm{diagram}\: \textbf{batang daun}\: \textrm{berikut}\\ &\begin{array}{|c|l|}\hline \textbf{Batang}&\: \quad\quad\textbf{Daun}\\\hline \color{red}3&0\: \: 2\: \: 2\\ \color{red}4&3\\ \color{red}5&0\: \: 1\: \: 3\: \: 3\: \: 8\: \: 8\: \: 8\\ \color{red}6&0\: \: 3\: \: 4\: \: 6\: \: 7\: \: 8\: \: 9\\ \color{red}7&0\: \: 2\: \: 5\: \: 8\\ \color{red}8&0\: \: 2\: \: 3\: \: 3\: \: 4\: \: 5\: \: 6\: \: 6\\\hline \end{array}\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketa}&\textrm{hui}\: \: \color{blue}n=30\\ \textrm{a}.\quad \: J&=x_{max}-x_{min}=86-30=\color{red}56\\ \textrm{b}.\: \: \: Q_{1}&=\left ( x_{._{\frac{1}{4}n+\frac{1}{2}}} \right )=\left ( x_{._{\frac{1}{4}.30+\frac{1}{2}}} \right )=x_{.8}=53\\ Q_{2}&=\left ( x_{._{\frac{2}{4}n+\frac{1}{2}}} \right )=\left ( x_{._{\frac{2}{4}.30+\frac{1}{2}}} \right )\\ &=\displaystyle \frac{x_{.15}+x_{.16}}{2}=\displaystyle \frac{66+67}{2}=66,7\\ Q_{3}&=\left ( x_{._{\frac{3}{4}n+\frac{1}{2}}} \right )=\left ( x_{._{\frac{3}{4}.30+\frac{1}{2}}} \right )=x_{.23}=80\\ \textrm{c}.\: \: \: H&=Q_{3}-Q_{1}\\ &=x_{._{23}}-x_{._{8}}=80-53=27\\ \end{aligned} \end{array}$

$.\qquad\begin{aligned}\textrm{d}.\: \: \: Q_{d}&=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( Q_{3}-Q_{1} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}(H)=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 27 \right )=\color{red}13,5\\ \textrm{e}.\: \quad L&=\displaystyle \frac{3}{2}(H)=\displaystyle \frac{3}{2}(27)=\color{red}40,5\\ \textrm{P}&\textrm{agar dalam}:\\ &=Q_{1}-L=53-40,5=\color{red}12,5\\ \textrm{P}&\textrm{agar luar}:\\ &=Q_{1}-L=80+40,5=\color{red}120,5\\ \textrm{g}.\: \quad \textrm{D}&\textrm{ari fakta yang ada data ukuran}\\ &\textrm{yang besarnya kurang dari}\\ &\textrm{pagar dalam dan lebih besar dari}\\ &\textrm{pagar luar tidak ada, maka} \\ &\textrm{tidak ada}\: \color{red}\textbf{data pencilan} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll} 2.&\textrm{Diberikan data berikut}\\ &\color{purple}\begin{array}{lllllll} 73&74&66&65&68&65\\ 60&64&78&79&81&61\\ 72&74&71&68&75&76\\ 96&56&64&80&84&43\end{array}\\ &\textrm{Tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Jangkauan}\\ &\textrm{b}.\quad Q_{1},\, Q_{2},\, \textrm{dan}\: \: Q_{3}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Jangkauan Antarkuartil}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{Simpangan Kuartil}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{Pagar Dalam}\\ &\textrm{f}.\quad \textrm{Pagar Luar}\\ &\textrm{g}.\quad \textrm{Pencilan}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan sajian data dalam bentuk}\\ &\textrm{diagram}\: \textbf{batang daun}\: \textrm{berikut}\\ &\begin{array}{|c|l|}\hline \textbf{Batang}&\: \quad\quad\textbf{Daun}\\\hline \color{red}4&3\\ \color{red}5&6\\ \color{red}6&0\: \: 1\: \: 4\: \: 4\: \: 5\: \: 5\: \: 6\: \: 8\: \: 8\\ \color{red}7&1\: \: 2\: \: 3\: \: 4\: \: 4\: \: 5\: \: 6\: \: 8\: \: 9\\ \color{red}8&0\: \: 1\: \: 3\\ \color{red}9&6\\\hline \end{array}\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketa}&\textrm{hui}\: \: \color{blue}n=24\\ \textrm{a}.\quad \: J&=x_{max}-x_{min}=96-43=\color{red}53\\ \textrm{b}.\: \: \: Q_{1}&=\left ( x_{._{\frac{1}{4}n+\frac{1}{2}}} \right )=\left ( x_{._{\frac{1}{4}.24+\frac{1}{2}}} \right )=x_{_{6,5}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( x_{._{6}}+x_{._{7}} \right )=\displaystyle \frac{64+65}{2}=\color{red}64,5\\ Q_{2}&=\left ( x_{._{\frac{2}{4}n+\frac{1}{2}}} \right )=\left ( x_{._{\frac{2}{4}.24+\frac{1}{2}}} \right )=x_{_{12,5}}\\ &=\displaystyle \frac{x_{.12}+x_{.13}}{2}=\displaystyle \frac{71+72}{2}=\color{red}71,5\\ Q_{3}&=\left ( x_{._{\frac{3}{4}n+\frac{1}{2}}} \right )=\left ( x_{._{\frac{3}{4}.24+\frac{1}{2}}} \right )=x_{_{18,5}}\\ &=\displaystyle \frac{x_{_{18}}+x_{_{19}}}{2}=\displaystyle \frac{76+78}{2}=\color{red}77\\ \textrm{c}.\: \: \: H&=Q_{3}-Q_{1}\\ &=77-64,5=12,5\\ \end{aligned} \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}\textrm{d}.\: \: \: Q_{d}&=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( Q_{3}-Q_{1} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}(H)=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 12,5 \right )=\color{red}6,26\\ \textrm{e}.\: \quad L&=\displaystyle \frac{3}{2}(H)=\displaystyle \frac{3}{2}(12,5)=\color{red}18,75\\ \textrm{P}&\textrm{agar dalam}:\\ &=Q_{1}-L=64,5-18,75=\color{red}45,75\\ \textrm{P}&\textrm{agar luar}:\\ &=Q_{1}-L=77+18,75=\color{red}95,75\\ \textrm{g}.\: \quad \textrm{D}&\textrm{ari fakta di atas terdapat}\: \textbf{pencilan}\\ &\textrm{yaitu}:\: \color{red}43 \: \color{black}\textrm{dan}\: \: \color{red}96 \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll} 3.&\textrm{Diberikan data berikut}\\ &\color{purple}\begin{array}{lllllll} \color{black}\textrm{a}.&3&4&5&6&7\\ \color{black}\textrm{b}.&1&2&5&8&9\end{array}\\ &\textrm{Tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Simpangan rata-rata}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Ragam}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Simpangan baku}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Untuk data}:3,4,5,6,7\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahu}&\textrm{i}\: \: \color{blue}n=5\\ \textrm{a}.\quad \: \overline{x}=&\displaystyle \frac{3+4+5+6+7}{5}=\frac{25}{5}=\color{red}5\\ \textrm{sel}&\textrm{anjutnya}\\ \textrm{SR}&=\displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left | x_{i}-\overline{x} \right | \\ &=\displaystyle \frac{1}{5}\left (\left | 3-5 \right | +\left | 4-5 \right |+\left | 5-5 \right |+\left |6-5 \right |+\left | 7-5 \right | \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{5}\left ( \left | -2 \right |+\left | -1 \right |+\left | 0 \right |+\left | 1 \right |+\left | 2 \right | \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{5}(2+1+0+1+2)\\ &=\displaystyle \frac{6}{5}=\color{red}1,2 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad \: \textrm{S}^{2}&=\displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\overline{x} \right )^{2} \\ &=\displaystyle \frac{1}{5}\left ((3-5)^{2} +(4-5)^{2}+(5-5)^{2}+(6-5)^{2}+(7-5)^{2} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{5}\left ( 4+1+0+1+4 \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{5}(8)\\ &=\displaystyle \frac{8}{5}=\color{red}1,6\\ \textrm{c}.\quad \: \: \: S&=\sqrt{S^{2}}\\ &=\sqrt{1,6}\approx \color{red}1,26 \end{aligned}\\\\ &\textrm{Dan untuk data}:1,2,5,8,9\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahu}&\textrm{i}\: \: \color{blue}n=5\\ \textrm{a}.\quad \: \overline{x}=&\displaystyle \frac{1+2+5+8+9}{5}=\frac{25}{5}=\color{red}5\\ \textrm{sel}&\textrm{anjutnya}\\ \textrm{SR}&=\displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left | x_{i}-\overline{x} \right | \\ &=\displaystyle \frac{1}{5}\left (\left | 1-5 \right | +\left | 2-5 \right |+\left | 5-5 \right |+\left |8-5 \right |+\left | 9-5 \right | \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{5}\left ( \left | -4 \right |+\left | -3 \right |+\left | 0 \right |+\left | 3 \right |+\left | 4 \right | \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{5}(4+3+0+3+4)\\ &=\displaystyle \frac{14}{5}=\color{red}2,8 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad \: \textrm{S}^{2}&=\displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\overline{x} \right )^{2} \\ &=\displaystyle \frac{1}{5}\left ((1-5)^{2} +(2-5)^{2}+(5-5)^{2}+(8-5)^{2}+(9-5)^{2} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{5}\left ( 16+9+0+9+16 \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{5}(50)\\ &=\displaystyle \frac{50}{5}=\color{red}10\\ \textrm{c}.\quad \: \: \: S&=\sqrt{S^{2}}\\ &=\sqrt{10}\approx \color{red}3,16 \end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Tentukan nilai Jangkauan},Q_{1},Q_{2},Q_{3}\\ &hamparan,\: \textrm{simpangan kuartil, langkah}\\ &\textrm{pagar dalam, pagar luar, dan pencilan}\\ &\textrm{dari data berikut}\\ &\color{red}\begin{array}{llll} \color{black}\textrm{a}.&3,5,7,9,1,2,8,2,3,4,3,5,7\\ \color{black}\textrm{b}.&10,11,12,13,8,9,4,5,7,5\end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll} 2.&\textrm{Tentukan simpangan rata-rata}\\ &\textrm{ragam, dan simpangan baku}\\ &\textrm{dari data berikut}\\ &\color{red}\begin{array}{llll} \color{black}\textrm{a}.&3,5,7,9,1\\ \color{black}\textrm{b}.&10,11,12,13,8,9,4,15,7,5\end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll} 3.&\textrm{Empat buah bilangan memiliki mean,}\\ &\textrm{tentukanlah keempat bilangan tersebut}\\ \end{array}$.

$\begin{array}{ll} 4.&\textrm{Diketahui datum-datum}\\ &:x-4,x-2,x+1,x+2,x+4,x+5\\ &\textrm{tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad\textrm{nilai simpangan baku(nyatakan dalam)\: }x\\ &\textrm{b}.\quad\textrm{nilai}\: \: x\: \: \textrm{dan simpangan baku jika mean}\\ & \: \: \: \: \quad\textrm{dari data di atas adalah 9} \end{array}$.

$\begin{array}{ll} 5.&\textrm{Diketahui simpangan baku}\\ &:2,4,7,11,9-n,9+n\: \: \textrm{adalah}\: \: \sqrt{11}\\ &\textrm{tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad\textrm{mean}\\ &\textrm{b}.\quad\textrm{nilai}\: \: n\: \: \textrm{yang mungkin} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Johanes, Kastolan, Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Alam Kurikulum Berbasis Kompetensi. Jakarta: YUDHISTIRA.
Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI (Wajib). Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
Sharma, S.N., dkk. 2017. Jelajah Matematika 3 SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.

Interpolasi Linear

Sumber ada di sini

materi pendukung untuk desil klik di sini dan

materi persentil klik di sini.

Interpolasi linear adalah sebuah metode yang digunakan untuk penentuan titik di antara dua buah titik yang sudah diketahui dan segaris.

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

dengan proses seperti menentukan persamaan garis lurus diperoleh rumus:

$\begin{aligned}\displaystyle \frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}&=\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}\\ y-y_{0}&=\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}\left ( y_{1}-y_{0} \right )\\ y&=y_{0}+\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}\left ( y_{1}-y_{0} \right ) \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Tentukan taksiran nilai dari}\\ &\textrm{a}.\quad \sqrt{5}\qquad\qquad \textrm{c}.\quad \sqrt{12}\\ &\textrm{b}.\quad \sqrt{7}\qquad\qquad \textrm{d}.\quad \sqrt{22}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad \textrm{Di}&\textrm{ketahui bahwa}\\ &\begin{cases} \sqrt{4} & =2 \\ \sqrt{5} & =\: \: ? \\ \sqrt{9} & =3 \end{cases}\\ y&=y_{0}+\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}\left ( y_{1}-y_{0} \right )\\ &\approx 2+\displaystyle \frac{5-4}{9-4}(3-2)\\ &\approx2+\displaystyle \frac{1}{5}\\ &\approx2+0,2\\ &\approx\color{red}2,2 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad \textrm{Di}&\textrm{ketahui bahwa}\\ &\begin{cases} \sqrt{4} & =2 \\ \sqrt{7} & =\: \: ? \\ \sqrt{9} & =3 \end{cases}\\ y&=y_{0}+\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}\left ( y_{1}-y_{0} \right )\\ &\approx2+\displaystyle \frac{7-4}{9-4}(3-2)\\ &\approx2+\displaystyle \frac{3}{5}\\ &\approx2+0,6\\ &\approx\color{red}2,6 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{c}.\quad \textrm{Di}&\textrm{ketahui bahwa}\\ &\begin{cases} \sqrt{9} & =3 \\ \sqrt{12} & =\: \: ? \\ \sqrt{16} & =4 \end{cases}\\ y&=y_{0}+\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}\left ( y_{1}-y_{0} \right )\\ &\approx3+\displaystyle \frac{12-9}{16-9}(4-3)\\ &\approx3+\displaystyle \frac{3}{7}\\ &\approx3+0,43\\ &\approx\color{red}3,43 \end{aligned} \\ &\begin{aligned}\textrm{d}.\quad \textrm{Di}&\textrm{ketahui bahwa}\\ &\begin{cases} \sqrt{16} & =4 \\ \sqrt{22} & =\: \: ? \\ \sqrt{25} & =5 \end{cases}\\ y&=y_{0}+\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}\left ( y_{1}-y_{0} \right )\\ &\approx4+\displaystyle \frac{22-16}{25-16}(5-4)\\ &\approx4+\displaystyle \frac{6}{9}\\ &\approx4+0,67\\ &\approx\color{red}4,67 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll} 2.&\textrm{Diberikan data berikut berkaitan dengan}\\ &\textrm{penduduk di suatu daerah A}\\ &\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{Tahun}&2015&2020\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Jumlah jiwa}\\ &\textrm{daerah A} \end{aligned}&340.000&600.000\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Tentukan perkiraan jumlah penduduk}\\ &\textrm{daerah A saat tahun 2018}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Di}&\textrm{ketahui bahwa}\\ &\begin{cases} \sqrt{2015} & =340.000 \\ \sqrt{2018} & =\qquad ? \\ \sqrt{2020} & =600.000 \end{cases}\\ y&=y_{0}+\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}\left ( y_{1}-y_{0} \right )\\ &\approx 340.000+\displaystyle \frac{(2018-2015)}{(2020-2015)}(600.000-340.000)\\ &\approx 340.000+\displaystyle \frac{3}{5}\left ( 260.000 \right )\\ &\approx 340.000+156.000\\ &\approx\color{red}496.000 \end{aligned} \end{array}$.

Ukuran Letak Data (Materi Kelas XII Matematika Wajib) Bagian 3

D. Persentil

$\begin{aligned}&\textrm{Dilambangkan dengan}\: \: P_{i}\\ &\textrm{dibaca: persentil ke}-i\\ &\color{red}\textrm{Rumus data tunggal}:\\ &\textbf{Dengan rumus pendekatan interpolasi linear}\\ &P_{i}=\textrm{datum ke}-\displaystyle \frac{i}{100}(n+1)\\ &\textrm{jika}\: \: \displaystyle \frac{i}{100}(n+1)\: \: \textrm{tidak bulat, gunakan rumus}\\ &\textrm{interpolasi linear, yaitu}:\\ &\qquad\quad P_{i}=x_{k}+d\left ( x_{k+1}-x_{k} \right )\\ &\textrm{dengan}\: \: d\: \: \textrm{adalah nilai desimalnya}\\ &\textbf{Dengan tanpa rumus interpolasi linear}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline n\: \: \textrm{ganjil}&n\: \: \textrm{genap}\\\hline P_{1}=x_{._{\frac{1}{100}(n+1)}}&P_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\left (x_{._{\frac{1}{100}n}}+x_{._{\frac{1}{100}n+1}} \right )\\ P_{2}=x_{._{\frac{2}{100}(n+1)}}&P_{2}=\displaystyle \frac{1}{2}\left (x_{._{\frac{2}{100}n}}+x_{._{\frac{2}{100}n+1}} \right )\\ \vdots &\vdots \\ P_{99}=x_{._{\frac{99}{100}(n+1)}}&P_{99}=\displaystyle \frac{1}{2}\left (x_{._{\frac{99}{100}n}}+x_{._{\frac{99}{100}n+1}} \right )\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Catatan: sesuaikan dengan kondisi soal}\\ &\color{red}\textrm{Rumus data berkelompok/berfrekuensi}:\\ &P_{i}=L_{i}+\left ( \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{i}{100}n-f_{k}}{f} \right )\times c\\ &\color{blue}\textrm{Penjelasan}\\ &\qquad \begin{aligned}D_{i}&=\textrm{persentil ke}-i\\ i&=1,2,3\\ L_{i}&=\textrm{tepi bawah kelas persentil ke}-i\\ f_{k}&=\textrm{frekuensi kumulatif sebelum}\\ &\quad\: \, \textrm{sebelum kelas persentil ke}-i\\ f&=\textrm{frekuensi kelas persentil ke}-i\\ c&=\textrm{panjang kelas interval}\\ n&=\textrm{banyak data/kelas interval} \end{aligned} \end{aligned}$.

Catatan :untuk bahasan interpolasi linear ada di sini

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Tentukan persentil ke-29 dan ke-75 dari data berikut}\\ &4,7,5,6,6,7,8,4,9,5,2,3,6,4,8\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Banyak datum}=15\\ &\textbf{dengan rumus pendekatan interpolasi linear}\\ &\textrm{Data mula-mula}\\ &\quad :4,7,5,6,6,7,8,4,9,5,2,3,6,4,8\\ &\textrm{Data setelah diurutkan}\\ &\quad :2,3,4,4,4,5,5,6,6,6,7,7,8,8,9\\ &\begin{aligned}P_{29}&=\displaystyle \frac{29}{100}\left ( 15+1 \right )\\ &=\displaystyle \frac{464}{100}=4,64\\ &=x_{4}+0,64(x_{5}-x_{4})\\ &=4+0,64(5-5)=4+0=\color{red}4\\ P_{75}&=\displaystyle \frac{75}{100}\left ( 15+1 \right )\\ &=\displaystyle \frac{1200}{100}=12\\ &=x_{12}\\ &=\color{red}7\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Persentil ke-32}\: \: \left ( P_{32} \right )\: \: \textrm{dari data berikut adalah}\: ....\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Nilai}&f\\\hline 41-45&7\\ 46-50&12\\ 51-55&9\\ 56-60&8\\ 61-65&4\\\hline \end{array}\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&46\\ \textrm{b}.&47\\ \textrm{c}.&48\\ \textrm{d}.&51\\ \textrm{e}.&52 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{persentil ke}-32=\color{black}P_{32},\\ &\textrm{dengan}\: \: n=\sum f=40\\ P_{i}&=\color{black}L_{i}+c\left ( \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{i\times n}{100}-f_{k}}{f} \right )\\ P_{32}&=\color{black} \textrm{datum ke}-\left ( \displaystyle \frac{32n}{100} \right )\\ &=x_{\frac{32\times 40}{100}}=\color{red}x_{12,8}\\ \textrm{Dan}\: \: \color{red}x_{12}\: \: &\textrm{terletak di kelas interval}\: :\: \color{red}46-50 \\ P_{32}&=\color{black}545,5+5\left ( \displaystyle \frac{12,8-7}{12} \right )\\ &=\color{black}45,5+0,48333...\\ &=\color{red}45.9833... \approx 46 \end{aligned} \end{array}$

Ukuran Letak Data (Materi Kelas XII Matematika Wajib) Bagian 2

C. Desil

$\begin{aligned}&\textrm{Dilambangkan dengan}\: \: D_{i}\\ &\textrm{dibaca: desil ke}-i\\ &\color{red}\textrm{Rumus data tunggal}:\\ &\textbf{Dengan rumus pendekatan interpolasi linear}\\ &D_{i}=\textrm{datum ke}-\displaystyle \frac{i}{10}(n+1)\\ &\textrm{jika}\: \: \displaystyle \frac{i}{10}(n+1)\: \: \textrm{tidak bulat, gunakan rumus}\\ &\textrm{interpolasi linear, yaitu}:\\ &\qquad\quad D_{i}=x_{k}+d\left ( x_{k+1}-x_{k} \right )\\ &\textrm{dengan}\: \: d\: \: \textrm{adalah nilai desimalnya}\\ &\textbf{Dengan tanpa rumus interpolasi linear}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline n\: \: \textrm{ganjil}&n\: \: \textrm{genap}\\\hline D_{1}=x_{._{\frac{1}{10}(n+1)}}&D_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\left (x_{._{\frac{1}{10}n}}+x_{._{\frac{1}{10}n+1}} \right )\\ D_{2}=x_{._{\frac{2}{10}(n+1)}}&D_{2}=\displaystyle \frac{1}{2}\left (x_{._{\frac{2}{10}n}}+x_{._{\frac{2}{10}n+1}} \right )\\ \vdots &\vdots \\ D_{9}=x_{._{\frac{9}{10}(n+1)}}&D_{9}=\displaystyle \frac{1}{2}\left (x_{._{\frac{9}{10}n}}+x_{._{\frac{9}{10}n+1}} \right )\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Catatan: sesuaikan dengan kondisi soal}\\ &\color{red}\textrm{Rumus data berkelompok/berfrekuensi}:\\ &D_{i}=L_{i}+\left ( \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{i}{10}n-f_{k}}{f} \right )\times c\\ &\color{blue}\textrm{Penjelasan}\\ &\qquad \begin{aligned}D_{i}&=\textrm{desil ke}-i\\ i&=1,2,3\\ L_{i}&=\textrm{tepi bawah kelas desil ke}-i\\ f_{k}&=\textrm{frekuensi kumulatif sebelum}\\ &\quad\: \, \textrm{sebelum kelas desil ke}-i\\ f&=\textrm{frekuensi kelas desil ke}-i\\ c&=\textrm{panjang kelas interval}\\ n&=\textrm{banyak data/kelas interval} \end{aligned} \end{aligned}$.

Catatan :untuk bahasan interpolasi linear ada di sini

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Tentukanlah}\: \: \: D_{1},D_{2},D_{3},D_{4},D_{5},D_{6}\\ &D_{7},D_{8},D_{9}\: \: \: \textrm{dari data berikut}\\ & 2,3,8,9,2,4,5,8,9\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Total datum}=9\\ &\textrm{Data mula-mula}:\: 2,3,8,9,2,4,5,8,9\\ &\textrm{Setelah data diurutkan menjadi}\\ &\quad : 2,2,3,4,5,8,8,9,9\\ &D_{i}=\displaystyle \frac{i}{10}(n+1)\: .\: \textrm{Jika hasilnay tidak bulat}\\ &\textrm{maka dihitung dengan}\: \: D_{i}=x_{k}+d.(x_{k+1}-x_{k})\\ &\color{red}\textrm{Sehingga}\\ &\begin{aligned}D_{1}&=\displaystyle \frac{1}{10}(9+1)=\frac{10}{10}=1\\ &=x_{1}=2\\ D_{2}&=\displaystyle \frac{2}{10}(9+1)=\frac{20}{10}=2\\ &=x_{2}=2\\ D_{3}&=\displaystyle \frac{3}{10}(9+1)=\frac{30}{10}=3\\ &=x_{3}=3\\ D_{4}&=\displaystyle \frac{4}{10}(9+1)=\frac{40}{10}=4\\ &=x_{4}=4\\ D_{5}&=\displaystyle \frac{5}{10}(9+1)=\frac{50}{10}=5\\ &=x_{5}=5\\ D_{6}&=\displaystyle \frac{6}{10}(9+1)=\frac{60}{10}=6\\ &=x_{6}=8\\ D_{7}&=\displaystyle \frac{7}{10}(9+1)=\frac{70}{10}=7\\ &=x_{7}=8\\ D_{8}&=\displaystyle \frac{8}{10}(9+1)=\frac{80}{10}=8\\ &=x_{8}=9\\ D_{9}&=\displaystyle \frac{9}{10}(9+1)=\frac{90}{10}=9\\ &=x_{9}=9\\ \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll} 2.&\textrm{Tentukan desil ke-4 dan ke-6 dari data berikut}\\ &4,7,5,6,6,7,8,4,9,5,2,3,6,4,8\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Banyak datum}=15\\ &\textbf{dengan rumus pendekatan interpolasi linear}\\ &\textrm{Data mula-mula}\\ &\quad :4,7,5,6,6,7,8,4,9,5,2,3,6,4,8\\ &\textrm{Data setelah diurutkan}\\ &\quad :2,3,4,4,4,5,5,6,6,6,7,7,8,8,9\\ &\begin{aligned}D_{4}&=\displaystyle \frac{4}{10}\left ( 15+1 \right )\\ &=\displaystyle \frac{64}{10}=6,4\\ &=x_{6}+0,4(x_{7}-x_{6})\\ &=5+0,4(5-5)=\color{red}5\\ D_{6}&=\displaystyle \frac{6}{10}\left ( 15+1 \right )\\ &=\displaystyle \frac{96}{10}=9,6\\ &=x_{9}+0,6(x_{10}-x_{9})\\ &=6+0,6(6-6)=\color{red}6\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Desil ke-8}\: \: \left ( D_{8} \right )\: \: \textrm{dari data berikut adalah}\: ....\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Nilai}&f\\\hline 41-45&7\\ 46-50&12\\ 51-55&9\\ 56-60&8\\ 61-65&4\\\hline \end{array}\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&58\\ \textrm{b}.&57,5\\ \textrm{c}.&57\\ \textrm{d}.&56,75\\ \textrm{e}.&56,25 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{desil ke}-8=\color{black}D_{8},\: \: \textrm{dengan}\: \: n=\sum f=40\\ D_{i}&=\color{black}L_{i}+c\left ( \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{i\times n}{10}-f_{k}}{f} \right )\\ D_{8}&=\color{black} \textrm{datum ke}-\left ( \displaystyle \frac{8n}{10} \right )=x_{\frac{8\times 40}{10}}=\color{red}x_{32}\\ \textrm{Dan}\: \: \color{red}x_{32}\: \: &\textrm{terletak di kelas interval}\: :\: \color{red}56-60 \\ D_{8}&=\color{black}55,5+5\left ( \displaystyle \frac{32-28}{8} \right )\\ &=\color{black}55,5+2,5\\ &=\color{red}58 \end{aligned} \end{array}$

Ukuran Letak Data (Materi Kelas XII Matematika Wajib) Bagian 1

A. Pendahuluan

Sebelumnya telah dipelajari tentang salah satu bentuk ukuran pemusatan data yaitu median yang membagi sebuah data menjadi dua bagian yang sama. Selain median ada juga istilah lain yang dapat membagi sebuah data menjadi beberapa bagian yang sama pula, yaitu kuartl yang membagi sebuah data menjadi 4 bagian yang sama. Kemudian selain kuartil, ada juga desil yang memabgi sebuah data menjadi 10 bagian yang sama serta persentil yang membagi sebuah data menjadi 100 bagian yang sama pula.

B. Kuartil

$\begin{aligned}&\textrm{Dilambangkan dengan}\: \: Q_{i}\\ &\textrm{dibaca: kuartil ke}-i\\ &\color{red}\textrm{Rumus data tunggal}:\\ &\textbf{Dengan rumus pendekatan interpolasi linear}\\ &Q_{i}=\textrm{datum ke}-\displaystyle \frac{i}{4}(n+1)\\ &\textrm{jika}\: \: \displaystyle \frac{i}{4}(n+1)\: \: \textrm{tidak bulat, gunakan rumus}\\ &\textrm{interpolasi linear, yaitu}:\\ &\qquad\quad Q_{i}=x_{k}+d\left ( x_{k+1}-x_{k} \right )\\ &\textrm{dengan}\: \: d\: \: \textrm{adalah nilai desimalnya}\\ &\textbf{Dengan tanpa rumus interpolasi linear}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline n\: \: \textrm{ganjil}&n\: \: \textrm{genap}\\\hline Q_{1}=x_{._{\frac{1}{4}(n+1)}}&Q_{1}=x_{._{\frac{1}{4}n+\frac{1}{2}}}\\ Q_{2}=x_{._{\frac{2}{4}(n+1)}}&Q_{2}=x_{._{\frac{2}{4}n+\frac{1}{2}}}\\ Q_{3}=x_{._{\frac{3}{4}(n+1)}}&Q_{3}=x_{._{\frac{3}{4}n+\frac{1}{2}}}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Catatan: sesuaikan dengan kondisi soal}\\ &\color{red}\textrm{Rumus data berkelompok/berfrekuensi}:\\ &Q_{i}=L_{i}+\left ( \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{i}{4}n-f_{k}}{f} \right )\times c\\ &\color{blue}\textrm{Penjelasan}\\ &\qquad \begin{aligned}Q_{i}&=\textrm{kuartil ke}-i\\ i&=1,2,3\\ L_{i}&=\textrm{tepi bawah kelas kuartil ke}-i\\ f_{k}&=\textrm{frekuensi kumulatif sebelum}\\ &\quad\: \, \textrm{sebelum kelas kuartil ke}-i\\ f&=\textrm{frekuensi kelas kuartil ke}-i\\ c&=\textrm{panjang kelas interval}\\ n&=\textrm{banyak data/kelas interval} \end{aligned} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Tentukanlah}\: \: Q_{1},Q_{2},Q_{3}\: \: \textrm{dari data}\\ &\textrm{berikut}\\ &\textrm{a}.\quad 3,5,7,1,2,4,9,7\\ &\textrm{b}.\quad 2,3,8,9,2,4,5,8,9\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textbf{Dengan rumus pendekatan interpolasi linear}\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Total datum}=8\\ &\textrm{Data mula-mula}:\: 3,5,7,1,2,4,9,7\\ &\textrm{Setelah data diurutkan menjadi}\\ &\quad : 1,2,3,4,5,7,7,9\\ &Q_{i}=\displaystyle \frac{i}{4}(n+1)\begin{cases} Q_{1} &=\displaystyle \frac{1}{4}(8+1)=2\displaystyle \frac{1}{4} \\\\ Q_{2} &=\displaystyle \frac{2}{4}(8+1)=4\displaystyle \frac{1}{2} \\\\ Q_{3} &=\displaystyle \frac{3}{4}(8+1)=6\displaystyle \frac{3}{4} \end{cases}\\ &Q_{1}=x_{2}+\displaystyle \frac{1}{4}(x_{3}-x_{2})=2+\displaystyle \frac{1}{4}=2\displaystyle \frac{1}{4}\\ &Q_{2}=x_{4}+\displaystyle \frac{1}{2}(x_{5}-x_{4})=4+\displaystyle \frac{1}{2}=4\displaystyle \frac{1}{2}\\ &Q_{3}=x_{6}+\displaystyle \frac{3}{4}(x_{7}-x_{6})=7+0=7 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Total datum}=9\\ &\textrm{Data mula-mula}:\: 2,3,8,9,2,4,5,8,9\\ &\textrm{Setelah data diurutkan menjadi}\\ &\quad : 2,2,3,4,5,8,8,9,9\\ &Q_{i}=\displaystyle \frac{i}{4}(n+1)\begin{cases} Q_{1} &=\displaystyle \frac{1}{4}(9+1)=2\displaystyle \frac{1}{2} \\\\ Q_{2} &=\displaystyle \frac{2}{4}(9+1)=5 \\\\ Q_{3} &=\displaystyle \frac{3}{4}(9+1)=7\displaystyle \frac{1}{2} \end{cases}\\ &Q_{1}=x_{2}+\displaystyle \frac{1}{2}(x_{3}-x_{2})=2+\displaystyle \frac{1}{1}=2\displaystyle \frac{1}{2}\\ &Q_{2}=x_{5}=5\\ &Q_{3}=x_{7}+\displaystyle \frac{1}{2}(x_{8}-x_{7})=8+\displaystyle \frac{1}{2}=8\displaystyle \frac{1}{2} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Data penjualan suatu barang setiap bulan}\\ &\textrm{di sebuah toko pada tahun 2019 adalah}:\\ &20,3,9,11,4,12,1,9,9,12,8,10.\\ &\textrm{Median, kuartil bawah, dan kuartil atasnya}\\ &\textrm{berturut-turut adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&6\displaystyle \frac{1}{2},3\frac{1}{2},\: \textrm{dan}\: \: 9\frac{1}{2}\\ \color{red}\textrm{b}.&9,6,\: \textrm{dan}\: \: 11\displaystyle \frac{1}{2}\\ \textrm{c}.&6\displaystyle \frac{1}{2},9,\: \textrm{dan}\: \: 12\\ \textrm{d}.&9,4,\: \textrm{dan}\: \: 12\\ \textrm{e}.&9,3\displaystyle \frac{1}{2},\: \textrm{dan}\: \: 12 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\textbf{Dengan tanpa rumus interpolasi linear}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Data}&\: \textrm{mula-mula}\\ :\: &20,3,9,11,4,12,1,9,9,12,8,10\\ \textrm{Sete}&\textrm{lah data diurutkan}\\ :\: &1,3,4,8,9,9,9,10,11,12,12,20\\ \color{black}\textrm{Dike}&\color{black}\textrm{tahui}\: \: \color{red}n=12\: \: \color{black}\textbf{genap}\\ Q_{1}&=x_{\frac{1}{4}n+\frac{1}{2}}=x_{\frac{1}{4}.12+\frac{1}{2}}=x_{3,5}=\color{red}6\\ Q_{2}&=x_{\frac{2}{4}n+\frac{1}{2}}=x_{\frac{2}{4}.12+\frac{1}{2}}=x_{6,5}=\color{red}9=\color{black}M_{e}\\ Q_{3}&=x_{\frac{3}{4}n+\frac{1}{2}}=x_{\frac{3}{4}.12+\frac{1}{2}}=x_{9,5}=\color{red}11\displaystyle \frac{1}{2}\\ \textrm{Sela}&\textrm{njutnya data dapat dituliskan}\\ &1,3,\underset{\begin{matrix} \Downarrow\\ \color{black}Q_{1} \end{matrix}}{\underbrace{\color{red}4,8}},9,\underset{\begin{matrix} \Downarrow\\ \color{black}Q_{2}=M_{e} \end{matrix}}{\underbrace{\color{red}9,9}},10,\underset{\begin{matrix} \Downarrow\\ \color{black}Q_{3} \end{matrix}}{\underbrace{\color{red}11,12}},12,20\\ \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&(\textbf{UN IPA 2014})\\ &\textrm{Kuartil atas dari data pada tabel berikut}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Data}&f\\\hline 20-25&4\\\hline 26-31&6\\\hline 32-37&6\\\hline 38-43&10\\\hline 44-49&12\\\hline 50-55&8\\\hline 56-61&4\\\hline \end{array}\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&49,25\\ \textrm{b}.&48,75\\ \textrm{c}.&48,25\\ \textrm{d}.&47,75\\ \textrm{e}.&47,25 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\textrm{Kuartil atas}=\color{black}Q_{3},\: \textrm{dengan}\: \: n=\sum f=50\\ &\textrm{Kita sertakan lagi tabel di atas berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \color{black}\textrm{Data}&\color{red}f\\\hline 20-25&4\\\hline 26-31&6\\\hline 32-37&6\\\hline 38-43&10\\\hline \colorbox{white}{44-49}&\colorbox{white}{12}\\\hline 50-55&8\\\hline 56-61&4\\\hline \end{array}\\ &Q_{3}=\textrm{Datum ke}-\left ( \displaystyle \frac{3n}{4} \right )=x_{\frac{3.50}{4}}=x_{37,5}\\ &\textrm{dan}\: \: x_{37,5}\: \: \textrm{terletak di kelas interval}\: \: 44-49\\ &Q_{3}=\color{purple}L_{3}+c\left ( \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3n}{4}-f_{k}}{f} \right )\\ &\: \: \: \, =\color{black}43,5+6\left ( \displaystyle \frac{37,5-26}{12} \right )\\ &\: \: \: \, =\color{black}43,5+\displaystyle \frac{11,5}{2}\\ &\: \: \: \, =\color{black}49,5+5,75\\ &\: \: \: \, =\color{red}49,25 \end{aligned} \end{array}$

Ukuran Pemusatan Data (Materi Kelas XII Matematika Wajib)

A. Pendahuluan

Dalam statistik deskriptif ada nilai yang yang dapat mewakili pengukuran baik dalam pengukuran secara tunggal ataupun berkelompok dan nilai ini selanjutnya dinamakan sebagai ukuran pemusatan data dikarenakan akan memiliki kecenderungan nilai yang sama. Bahasan yang dimasukkan dalam kelompok ukuran pemusatan data ini ada 3 macam, yaitu: mean, median, dan modus.

B. Ukuran Pemusatan Data

Jika diketahui terdapat data dengan datum-datum: $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...,x_{n}$, maka

1. Mean(rata-rata)

$\begin{aligned}&\textrm{Dilambangkan dengan}\: \: \overline{x}\\ &\textrm{dibaca: x bar}.\\ &\color{red}\textrm{Rumus data tunggal}:\\ &\overline{x}=\displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+...+x_{n}}{n}\\ &\textrm{atau}\\ &\overline{x}=\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\\ &\color{red}\textrm{Rumus data berkelompok/berfrekuensi}:\\ &\overline{x}=\displaystyle \frac{f_{1}.x_{1}+f_{2}.x_{2}+f_{3}.x_{3}+...+f_{_{n}}.x_{n}}{f_{1}+f_{2}+f_{3}+...+f_{n}}\\ &\textrm{atau}\\ &\overline{x}=\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f_{i}.x_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f_{i}}\\ &\color{blue}\textrm{Penjelasan}\\ &\qquad \begin{aligned}\overline{x}&=\textrm{mean/rataan hitung}\\ f_{i}&=\textrm{frekuensi kelas interval ke}-i\\ x_{i}&=\textrm{nilai tengah kelas interval ke}-i\\ n&=\textrm{banyak data/kelas interval} \end{aligned} \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Rumus data berkelompok}:\\ &\color{red}\textrm{dengan menggunakan rataan sementara}\\ &\overline{x}=x_{s}+\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f_{i}.d_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f_{i}}\\ &\color{blue}\textrm{Penjelasan}\\ &\qquad \begin{aligned}\overline{x}&=\textrm{mean/rataan hitung}\\ x_{s}&=\textrm{rataan sementara dipilih}\\ x_{i}&=\textrm{nilai tengah kelas interval ke}-i\\ f_{i}&=\textrm{frekuensi kelas interval ke}-i\\ d_{i}&=\textrm{simpangan/deviasi}=x_{i}-x_{s}\\ \end{aligned}\\\\ &\color{red}\textrm{Rumus gabungan}:\\ &\overline{x}_{g}=\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f_{i}.\overline{x}_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f_{i}}\\ &\color{blue}\textrm{Penjelasan}\\ &\qquad \begin{aligned}\overline{x}_{g}&=\textrm{rataan gabungan}\\ f_{i}&=\textrm{frekuensi kelompok ke}-i\\ \overline{x}_{i}&=\textrm{rata-rata kelompok ke}-i\\ \end{aligned} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah rata-rata dari data berikut}\\ &6,8,6,7,8,7,9,7,7,6,7,8,6,5,8,7\\ \\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Data}&\: \textrm{mula-mula}\\ :\: &\color{black}6,8,6,7,8,7,9,7,7,6,7,8,6,5,8,7\\ \textrm{Sete}&\textrm{lah data diurutkan(untuk memudahkan)}\\ :\: &\color{purple}5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,9\\ \color{black}\textrm{Dike}&\color{black}\textrm{tahui}\: \: \color{red}n=16.\: \: \color{black}\textrm{Selanjutnya kita cari}\\ \overline{x}&=\displaystyle \frac{5.1+6.4+7.6+8.4+9.1}{16}\\ &=\color{black}\frac{112}{16}=\color{red}7 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Perhatikan tabel distribusi frekuensi}\\ &\textrm{berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Interval}&f\\\hline 2-6&2\\\hline 7-11&3\\\hline 12-16&3\\\hline 17-21&6\\\hline 22-26&6\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Tentukan rataannya}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \color{black}\textrm{Interval}&\color{black}x_{i}&\color{red}f_{i}&\color{black}x_{i}.f_{i}\\\hline 2-6&4&2&8\\\hline 7-11&9&3&27\\\hline 12-16&14&3&42\\\hline 17-21&19&6&114\\\hline 22-26&24&6&144\\\hline &\color{black}\sum_{i=1}^{5}&\color{red}20&\color{black}335\\\hline \end{array}\\ &\color{black}\textrm{maka rata-ratanya}\\ &\overline{x}=\displaystyle \frac{\sum x_{i}.f_{i}}{\sum f_{i}}=\frac{335}{20}=\color{red}16,75 \end{aligned} \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Dengan rumus rataan sementara},\: \textrm{yaitu}:\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \color{black}\textrm{Interval}&\color{black}x_{i}&d_{i}=x_{i}-x_{s}&\color{red}f_{i}&\color{black}f_{i}.d_{i}\\\hline 2-6&4&-15&2&-30\\\hline 7-11&9&-10&3&-30\\\hline 12-16&14&-5&3&-15\\\hline 17-21&\color{red}19&\color{blue}0&6&0\\\hline 22-26&24&5&6&30\\\hline &&&\color{red}20&-45\\\hline \end{array}\\ &\begin{aligned}\overline{x}&=x_{s}+\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f_{i}.d_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f_{i}}\\ &=19+\displaystyle \frac{-45}{20}\\ &=19-2,25\\ &=\color{red}16,75 \end{aligned} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Nilai rata-rata dari 20 bilangan adalah}\: \: 14,2\\ &\textrm{Jika rata-rata dari 12 bilangan pertama adalah}\\ &\textrm{12,6 dan rata-rata dari 6 bilangan berikutnya}\\ &\textrm{adalah 18,2, tentukan rata-rata 2 bilangan}\\ &\textrm{tersisa}\\ \\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}\overline{x}_{\color{red}gabungan}&=\color{black}\displaystyle \frac{\overline{x}_{12}\times (12)+\overline{x}_{6}\times (6)+\overline{x}_{2}\times (2)}{20}\\ 14,2&=\color{black}\displaystyle \frac{(12,6\times 12)+(18,2\times 6)+\overline{x}_{2}\times (2)}{20}\\ 284&=\color{black}151,2+109,2+2\overline{x}_{2}\\ 2\overline{x}_{2}&=\color{black}284-(151,2+109,2)=\color{red}23,6\\ \overline{x}_{2}&=\displaystyle \frac{23,6}{2}\\ &=\color{red}11,8 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&(\textbf{SPMB 04})\\ &\textrm{Nilai rata-rata tes Matematika dari kelompok}\\ &\textrm{siswa dan kelompok siswi di suatu kelas berturut-}\\ &\textrm{turut adalah 5 dan 7. Jika nilai rata-rata di kelas}\\ &\textrm{tersebut adalah 6,2, maka perbandingan banyaknya}\\ &\textrm{siswa dan siswi adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&2:3\\ \textrm{b}.&3:4\\ \textrm{c}.&2:5\\ \textrm{d}.&3:5\\ \textrm{e}.&4:5 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\overline{x}_{\color{red}gabungan}&=\displaystyle \frac{n_{1}\overline{x}_{1}+n_{2}\overline{x}_{2}}{n_{1}+n_{2}}\\ \color{black}6,2&\color{blue}=\displaystyle \frac{n_{1}(5)+n_{2}(7)}{n_{1}+n_{2}}\\ 6,2(n_{1}+n_{2})&=5n_{1}+7n_{2}\\ 6,2n_{1}-5n_{1}&=7n_{2}-6,2n_{2}\\ 1,2n_{1}&=0,8n_{2}\\ \displaystyle \frac{n_{1}}{n_{2}}&=\displaystyle \frac{0,8}{1,2}=\color{red}\frac{2}{3} \end{aligned} \end{array}$.

2. Median

$\begin{aligned}&\textrm{Dilambangkan dengan}:\: Me\\ &\color{red}\textrm{Rumus data tunggal}\\ &\bullet \: \: \textrm{data ganjil},\: Me=x_{._{\frac{n+1}{2}}}\\ &\bullet \: \: \textrm{data genap},\: Me=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( x_{._{\frac{n}{2}}}+x_{._{\frac{n}{2}+1}} \right )\\ &\color{red}\textrm{Rumus data berkelompok}\\ &Me=L+\left ( \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{n}{2}-f_{k}}{f} \right )\times c \\ &\color{blue}\textrm{Penjelasan}\\ &\begin{aligned}L&=\textrm{tepi bawah kelas median}\\ f_{k}&=\textrm{frekuensi kumulatif sebelum}\\ &\: \, \quad \textrm{kelas median}\\ c&=\textrm{lebar kelas interval}\\ n&=\textrm{total datum} \end{aligned} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah median dari data berikut}\\ &6,8,6,7,8,7,9,7,7,6,7,8,6,5,8,7\\ \\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Data}&\: \textrm{mula-mula}\\ :\: &\color{black}6,8,6,7,8,7,9,7,7,6,7,8,6,5,8,7\\ \textrm{Sete}&\textrm{lah data diurutkan(untuk memudahkan)}\\ :\: &\color{purple}5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,9\\ \color{black}\textrm{Dike}&\color{black}\textrm{tahui}\: \: \color{red}n=16.\: \: \color{black}\textrm{Selanjutnya kita cari}\\ Me&=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( x_{._{\frac{n}{2}}}+x_{._{\frac{n}{2}+1}} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( x_{._{\frac{16}{2}}}+x_{._{\frac{16}{2}+1}} \right )=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( x_{8}+x_{9} \right )\\ &=\displaystyle \frac{7+7}{2}\\ &=\color{black}\frac{14}{2}=\color{red}7 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Dari data berikut yang memiliki}\\ &\textbf{mean}\: \: 7\displaystyle \frac{1}{2}\: \: \textrm{dan}\: \textbf{median}\: 7\: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&2,5,6,9,7,8,5,14,8,11\\ \textrm{b}.&6,3,7,8,6,4,11,8,9,8\\ \textrm{c}.&3,7,10,7,9,5,10,2,14,11\\ \textrm{d}.&4,1,6,12,8,11,4,5,8,2\\ \color{red}\textrm{e}.&2,3,4,3, 10,8,12,6,15,12 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Mean}&\overline{x}=\displaystyle \frac{75}{10}=7,5\\\hline \textrm{Median}&2,5,6,9,7,8,5,14,8,11\\\hline \quad \textrm{a}&\color{blue}2,5,5,6,\color{red}7,8,\color{blue}8,9,11,14\\\hline \textrm{Mean}&\overline{x}=\displaystyle \frac{70}{10}=7\\\hline \textrm{Median}&6,3,7,8,6,4,11,8,9,8\\\hline \quad \textrm{b}&\color{blue}3,4,6,6,\color{red}7,8,\color{blue}8,8,9,11\\\hline \textrm{Mean}&\overline{x}=\displaystyle \frac{78}{10}=7,8\\\hline \textrm{Median}&3,7,10,7,9,5,10,2,14,11\\\hline \quad \textrm{c}&\color{blue}2,3,5,7,\color{red}7,9,\color{blue}10,10,11,14\\\hline \textrm{Mean}&\overline{x}=\displaystyle \frac{61}{10}=6,1\\\hline \textrm{Median}&4,1,6,12,8,11,4,5,8,2\\\hline \quad \textrm{d}&\color{blue}1,2,4,4,\color{red}5,6,\color{blue}8,8,11,12\\\hline \color{blue}\textrm{Mean}&\overline{x}=\displaystyle \frac{75}{10}=7,5\\\hline \color{blue}\textrm{Median}&2,3,4,3, 10,8,12,6,15,12\\\hline \quad \color{red}\textrm{e}&\color{blue}2,3,3,4,\color{red}6,8,\color{blue}10,12,12,15\\\hline \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Perhatikan tabel distribusi frekuensi}\\ &\textrm{berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Interval}&f\\\hline 51-60&5\\\hline 61-70&7\\\hline 71-80&14\\\hline 81-90&8\\\hline 91-100&6\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Tentukanlah mediannya}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\textrm{Diketahui},\: n=\sum f=40,\: \: \textrm{Perhatikan tabel}\\ &\textrm{berikut ini}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline \color{black}\textrm{Interval}&\color{black}f_{i}\\\hline 51-60&\color{red}5\\\hline 61-70&\color{red}7\\\hline 71-80&14\\\hline 81-90&8\\\hline 91-100&6\\\hline &\color{red}40\\\hline \end{array}\\ &\color{red}Median=\textrm{Datum ke}-\left ( \displaystyle \frac{40}{2} \right )=x_{._{20}}\\ &x_{._{20}}\: \: \textrm{terletak pada kelas interval}:\: \: 71-80\\ &\textrm{dengan}\: \: f=14,\: \: f_{k}\: \: \textrm{sebelum}\: \: Me=12,\\ &L=70,5,\: \: \textrm{serta}\: \: c=10\\ &\textrm{maka mediannya}\\ &Q_{2}=\color{purple}L+c\left ( \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{n}{2}-f_{k}}{f} \right )\\ &=\color{black}70,5+10\left ( \displaystyle \frac{20-12}{14} \right )\\ &=\color{black}70,5+5,714=\color{red}76,21 \end{aligned} \end{array}$.

3. Modus

Modus dikatakan ada jika sekelompok data memiliki datum yang paling banyak muncul. Jika frekuensi munculnya datum terjadi kesamaan, maka dikatakan tidak ada modus.

$\begin{aligned}&\textrm{Dilambangkan dengan}:\: Mo\\ &\color{red}\textrm{Rumus data tunggal}\\ &\textrm{hanya untuk datum yang sering muncul}\\ &\color{red}\textrm{Rumus data berkelompok}\\ &Mo=L+\left ( \displaystyle \frac{\triangle _{1}}{\triangle _{1}+\triangle _{2}} \right )\times c \\ &\color{blue}\textrm{Penjelasan}\\ &\begin{aligned}L&=\textrm{tepi bawah kelas modus}\\ \triangle _{1}&=\textrm{frekuensi kelas modus dengan}\\ &\: \, \quad \textrm{frekuensi kelas sebelumnya}\\ \triangle _{2}&=\textrm{frekuensi kelas modus dengan}\\ &\: \, \quad \textrm{frekuensi kelas setelahnya}\\ c&=\textrm{lebar kelas interval} \end{aligned} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah modus dari data berikut}\\ &6,8,6,7,8,7,9,7,7,6,7,8,6,5,8,7\\ \\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Data}&\: \textrm{mula-mula}\\ :\: &\color{black}6,8,6,7,8,7,9,7,7,6,7,8,6,5,8,7\\ \textrm{Sete}&\textrm{lah data diurutkan(untuk memudahkan)}\\ :\: &\color{red}5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,9\\ \color{black}\textrm{Dike}&\color{black}\textrm{tahui}\: \: \color{red}n=16.\: \: \color{black}\textrm{Selanjutnya kita cari}\\ Mo&=\color{black}\textrm{berupa datum yang sering muncul}\\ &=\color{red}7 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Perhatikan tabel distribusi frekuensi}\\ &\textrm{berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Skor}&f\\\hline 40-49&8\\\hline 50-59&9\\\hline 60-69&22\\\hline 70-79&15\\\hline 80-89&6\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Modusnya adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&65,50\\ \color{red}\textrm{b}.&66,00\\ \textrm{c}.&66,50\\ \textrm{d}.&67,00\\ \textrm{e}.&85,50 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: n=\sum f=60,\: \: \color{red}modusnya\\ &\textrm{terdapat pada kelas dengan frekuensi terbanyak}\\ & \textrm{yaitu}:\: 60-69,\: \: \textrm{dengan}\: \: p=10\\ &\begin{cases} \triangle_{1} & =f-f_{1}=22-9=13 \\ \triangle_{2} & =f-f_{2}=22-15=7 \end{cases}\\ &\color{black}\textrm{Sehingga}\\ &M_{0}=\color{purple}L+c\left ( \displaystyle \frac{\triangle_{1}}{\triangle_{1}+\triangle_{2}} \right )\\ &M_{0}=\color{black}59,5+10\left ( \displaystyle \frac{22-9}{(22-9)+(22-15)} \right )\\ &\: \: \: =\color{black}59,5+\displaystyle \frac{10.13}{13+7}\\ &\: \: \: =\color{black}59,5+6,5=\color{red}66,0 \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Johanes, Kastolan, Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Alam KBK. Jakarta: YUDHISTIRA.
Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI (Wajib). Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA

Trik Menyelesaikan Soal Persamaan yang Melibatkan Bentuk Gabungan Eksponen dan Logaritma

Terkadang beberapa soal pada akhir semester gasal dimunculkan soal yang melibatkan bentuk ekponen dan logaritma sekaligus dalam sebuah persamaan. Bentuk soal yang dihadapi para siswa pada suatu waktu tidak hanya fokus pada satu pokok bahasan saja, terkadang tersaji soal yang menuntut siswa untuk mengkombinasikan konsep-konsep yang telah disampaikan dan diajarkan oleh para guru dan pembimbing. Berawal dari sana, di bagian ini dipaparkan beberapa soal yang yang dimaksudkan dengan harapan siswa lebih terbiasa dalam menghadapi tipe soal yang tersaji demikian.

Soal pertama saya pilihkan ada di blog ini, berikut tautannya klik di sini

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textbf{(UMPTN '94)}\\ &\textrm{Hasil kali akar-akar persamaan}\\ &^{3}\log x^{.\left (^{2+\: ^{3}\log x} \right )}=15\\ & \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&\displaystyle \frac{1}{9}\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{1}{3}\\ \textrm{c}.&\displaystyle 1\\ \textrm{d}.&\displaystyle 3\\ \textrm{e}.&\displaystyle 9 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&^{3}\log x^{.\left (^{2+\: ^{3}\log x} \right )}=15\\ &\Leftrightarrow \: \left ({2+\: ^{3}\log x} \right )^{3}\log x-15=0\\ &\Leftrightarrow 2\: ^{3}\log x+\: \left ( ^{3}\log x \right )^{2}-15=0\\ &\Leftrightarrow \: \left ( ^{3}\log x \right )^{2}+2\: ^{3}\log x-15=0\\ &\Leftrightarrow \: \left (^{3}\log x_{1}+5 \right )\left ( ^{3}\log x_{2}-3 \right )=0\\ &\Leftrightarrow \: ^{3}\log x_{1}+5=0\: \: \color{purple}\textrm{atau}\: \: \color{blue}^{3}\log x_{1}-3=0\\ &\Leftrightarrow \: ^{3}\log x_{1}=-5\: \: \color{purple}\textrm{atau}\: \: \color{blue}^{3}\log x_{2}=3\\ &\Leftrightarrow \: x_{1}=3^{-5}\: \: \color{purple}\textrm{atau}\: \: \color{blue}x_{2}=3^{3}\\ &\qquad \color{black}\textrm{maka}\\ &\Leftrightarrow \: x_{1}\times x_{2}=3^{-5}\times 3^{3}=3^{-5+3}=3^{-2}\\ &\Leftrightarrow \qquad =\displaystyle \frac{1}{3^{2}}\\ &\Leftrightarrow \qquad =\color{red}\frac{1}{9} \end{aligned} \end{array}$.

Soal kedua juga saya pilihkan ada di blog ini, tautannya klik di sini

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Persamaan}\\ & 10^{\,^{\, ^{2}}\log x^{2} }-7\left ( 10^{\,^{\, ^{2}}\log x } \right )+10=0\\ & \textrm{mempunyai dua akar yaitu}\: \: x_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: x_{2}\\ &\textrm{Nilai}\: \: x_{1}\times x_{2}=\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&-2\\ \textrm{b}.&-5\\ \color{red}\textrm{c}.&2\\ \textrm{d}.&5\\ \textrm{e}.&10 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&10^{\,^{\, ^{2}}\log x^{2} }-7\left ( 10^{\,^{\, ^{2}}\log x } \right )+10=0\\ &10^{\, 2^{\, ^{2}}\log x }-7\left ( 10^{\,^{\, ^{2}}\log x } \right )+10=0\\ &\color{black}\textrm{adalah persamaan kuadrat dalam}\: \: \color{red}10^{\,^{\, ^{2}}\log x }\\ &\color{black}\textrm{Misalkan}\: \: \color{red}p=10^{\,^{\, ^{2}}\log x },\: \: \color{black}\textrm{maka persamaan}\\ &\color{black}\textrm{menjadi}\: \: \color{purple}p^{2}-7p+10=0\: \begin{cases} a & =1 \\ b & =-7 \\ c & =10 \end{cases}\\ & \color{red}\textrm{Karena nilai}\: \: \color{black}p_{1}\times p_{2}=\displaystyle \frac{c}{a}\: \: \textrm{maka}\\ &10^{\,^{\, ^{2}}\log x_{1} }\times 10^{\,^{\, ^{2}}\log x_{2} }=\displaystyle \frac{10}{1}=10\\ &10^{\,^{\, ^{2}}\log x_{1}\: +\: ^{2}\log x_{2} }=10\\ &10^{\,^{\, ^{2}}\log x_{1}\: +\: ^{2}\log x_{2} }=10^{1}\\ &\Leftrightarrow \: ^{2}\log x_{1}\: +\: ^{2}\log x_{2}=1\\ &\Leftrightarrow \: ^{2}\log x_{1}\times x_{2}=1\\ &\Leftrightarrow \: \color{red}x_{1}\times x_{2}=2^{1}=2\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Hasil kali semua akar real persamaan }\\ &\sqrt{10}\left ( x^{2}-x+4 \right )^{.^{\log \left ( x^{2}-x+4 \right )}}=\left ( x^{2}-x+4 \right )^{\frac{3}{2}}\\ & \textrm{adalah}\: ....\\ &\qquad\qquad\qquad\textrm{UM UGM 2016 Mat IPA}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&-18\\ \color{red}\textrm{b}.&-6\\ \textrm{c}.&1\\ \textrm{d}.&6\\ \textrm{e}.&18 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\begin{aligned}&\sqrt{10}\left ( x^{2}-x+4 \right )^{.^{\color{black}\log \color{blue}\left ( x^{2}-x+4 \right )}}=\left ( x^{2}-x+4 \right )^{\frac{3}{2}}\\ &\Leftrightarrow \color{black}\log \color{red}\sqrt{10}\left ( x^{2}-x+4 \right )^{.^{\color{black}\log \color{blue}\left ( x^{2}-x+4 \right )}}=\color{black}\log \color{red}\left ( x^{2}-x+4 \right )^{\frac{3}{2}}\\ &\Leftrightarrow \log \sqrt{10}+\log \left ( x^{2}-x+4 \right )^{.^{\color{black}\log \color{blue}\left ( x^{2}-x+4 \right )}}=\displaystyle \frac{3}{2}\log \left ( x^{2}-x+4 \right )\\ &\Leftrightarrow \log 10^{.^{\frac{1}{2}}}+\log \left ( x^{2}-x+4 \right )^{.^{\color{black}\log \color{blue}\left ( x^{2}-x+4 \right )}}=\displaystyle \frac{3}{2}\log \left ( x^{2}-x+4 \right )\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}+ \log \left ( x^{2}-x+4 \right )\times \log \left ( x^{2}-x+4 \right )=\displaystyle \frac{3}{2}\log \left ( x^{2}-x+4 \right )\\ &\displaystyle \frac{1}{2}+ \log^{2} \left ( x^{2}-x+4 \right )=\displaystyle \frac{3}{2}\log \left ( x^{2}-x+4 \right )\\ &\color{red}\textrm{misalkan}\: \: \color{black}\log \left ( x^{2}-x+4 \right )=p,\: \: \textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{1}{2}+p^{2}=\displaystyle \frac{3}{2}p\\ &\Leftrightarrow 2p^{2}-3p+1=0\\ &\Leftrightarrow \left ( p-1 \right )\left ( 2p-1 \right )=0\\ &\Leftrightarrow p=1\: \: \textrm{atau}\: \: p=\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\Leftrightarrow \log \left ( x^{2}-x+4 \right )=1\: \: \textrm{atau}\: \: \log \left ( x^{2}-x+4 \right )=\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\Leftrightarrow \left ( x^{2}-x+4 \right )=10^{1}\: \: \textrm{atau}\: \: \left ( x^{2}-x+4 \right )=10^{.^{\frac{1}{2}}}\\ &\Leftrightarrow x^{2}-x+4=10\: \: \textrm{atau}\: \: x^{2}-x+4=\sqrt{10}\\ &\Leftrightarrow x^{2}-x-6=0\: \: \textrm{atau}\: \: x^{2}-x+4-\sqrt{10}=0\\ &\textrm{Jelas bahwa yang ada akar real adalah}\\ &\textrm{persamaan}\: :\: \color{red}x^{2}-x-6=0\\ &\textrm{dan hasil kali semua akarnya adalah}:\: x_{1}.x_{2}.\\ &\Rightarrow x_{1}.x_{2}=\displaystyle \frac{c}{a}=\frac{-6}{1}=\color{red}-6 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Nilai}\: \: x\: \: \textrm{yang memenuhi persamaan}\\ &2x^{.^{^{6}}\log x}+72x^{.^{^{.^{\frac{1}{6}}}}\log x}=24\\ & \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll} \textrm{a}.&18\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{1}{36}\\ \textrm{b}.&24\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle 2\\ \color{red}\textrm{c}.&6\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{1}{6}\\ \textrm{d}.&36\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{1}{6}\\ \textrm{e}.&\displaystyle \frac{1}{6}\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{1}{18} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\begin{aligned}&2x^{.^{^{6}}\log x}+72x^{.^{^{.^{\frac{1}{6}}}}\log x}=24\\ &\Leftrightarrow 2x^{.^{^{6}}\log x}+72x^{-1.\left (^{^{6}}\log x \right )}=24\\ &\Leftrightarrow 2x^{.^{^{6}}\log x}+\displaystyle \frac{72}{x^{.^{^{6}}\log x}}-24=0\\ &\color{red}\textrm{misalkan}\: \: \color{black}p=x^{.^{^{6}}\log x},\: \: \textrm{maka}\\ &2p+\displaystyle \frac{72}{p}-24=0\Leftrightarrow p^{2}-12p+36=0\\ &\Leftrightarrow (p-6)^{2}=0\Leftrightarrow p=\pm 6\\ &\Leftrightarrow x^{.^{^{6}}\log x}=6\: \: \textrm{saja},\\ &\textbf{disebabkan} \: \textrm{syarat numerus}\: \: \color{blue}x^{.^{^{6}}\log x}\color{black}\neq -6.\\ & \textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{untuk}\: \: x^{.^{^{6}}\log x}=6,\: \: \textrm{nilai}\: \: x\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\textrm{ada} \: \: 2,\: \: \textrm{yaitu} :\: \: 6\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{1}{6}\\\\ &\textrm{Karena}\begin{cases} x^{.^{^{6}}\log x} & \Rightarrow 6^{.^{^{6}}\log 6}=6 \\\\ x^{.^{^{6}}\log x} & \Rightarrow \left (\frac{1}{6} \right )^{.^{^{6}}\log \left ( \frac{1}{6} \right )}=6^{-1.^{^{6}}\log 6^{-1}}=6^{.^{^{6}}\log 6^{1}}=6 \end{cases} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Nilai}\: \: x\: \: \textrm{yang memenuhi persamaan}\\ &^{2x-3}\log ^{-1}2.^{x}\log 2-\, ^{x+6}\log ^{-1}x+\displaystyle \frac{1}{^{x+2}\log x}=1\\ & \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll} \textrm{a}.&8\\ \textrm{b}.&9\\ \textrm{c}.&-1\\ \color{red}\textrm{d}.&6\\ \textrm{e}.&5 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\begin{aligned}&^{2x-3}\log ^{-1}2.^{x}\log 2-\, ^{x+6}\log ^{-1}x+\displaystyle \frac{1}{^{x+2}\log x}=1\\ &\Leftrightarrow \: ^{2}\log (2x-3).^{x}\log 2-\, ^{x}\log (x+6)+\, ^{x}\log (x+2)=1\\ &\Leftrightarrow \: ^{x}\log 2.\, ^{2}\log (2x-3)-\, ^{x}\log (x+6)+\, ^{x}\log (x+2)=1\\ &\Leftrightarrow \: ^{x}\log (2x-3)-\, ^{x}\log (x+6)+\, ^{x}\log (x+2)=1\\ &\Leftrightarrow \: ^{x}\log \displaystyle \frac{(2x-3)(x+2)}{(x+6)}=1\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Basis}&\textrm{Numerus}\\\hline \begin{aligned}&(1).\quad x>\displaystyle \frac{3}{2}\\ &(2).\quad x>0\\ &(3).\quad x>-2 &\\ &\color{red}\textrm{dipilih}\\ &\: \: \qquad x>\frac{3}{2} \end{aligned}&\begin{aligned}&\quad x>\displaystyle 0\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{(2x-3)(x+2)}{(x+6)}=x^{1}\\ &\Leftrightarrow (2x-3)(x+2)=x(x+6)\\ &\Leftrightarrow 2x^{2}+x-6=x^{2}+6x\\ &\Leftrightarrow x^{2}-5x-6=0\\ &\Leftrightarrow (x-6)(x+1)=0\\ &\Leftrightarrow x=6\: \: \textrm{atau}\: \: x=-1\\ &\textrm{Jadi, nilai}\: \: x=\color{red}6 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Himpunan penyelesaian untuk}\: \: x,y,z\\ &\textrm{yang memenuhi persamaan berikut}\\ &\begin{cases} (2x+3y)^{\log (x-y+2z)}=1 & \\ 3^{2x+y+z}\times 27^{3z+2y+x}=81 & \\ 5x+3y+8z=2 & \end{cases}\\ & \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll} \textrm{a}.&\left \{ \displaystyle \frac{17}{12},-\frac{1}{12},\frac{7}{6} \right \}\\ \textrm{b}.&\left \{ -\displaystyle \frac{17}{12},\frac{1}{2},\frac{7}{6} \right \}\\ \textrm{c}.&\left \{ -\displaystyle \frac{17}{12},-\frac{1}{2},-\frac{7}{6} \right \}\\ \textrm{d}.&\left \{ \displaystyle \frac{17}{12},\frac{1}{12},\frac{7}{6} \right \}\\ \color{red}\textrm{e}.&\left \{ -\displaystyle \frac{17}{12},-\frac{1}{12},\frac{7}{6} \right \} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\begin{cases} (2x+3y)^{\log (x-y+2z)}=1 & \\ 3^{2x+y+z}\times 27^{3z+2y+x}=81 & \\ 5x+3y+8z=2 & \end{cases}\\ &\textrm{Perhatikan bahwa soal dapat dituliskan ulang}\\ &\textrm{menjadi}\\ &\begin{cases} \log (x-y+2z)=0 & \\ 3^{2x+y+z+3(3z+2y+x)}=3^{4} & \\ 5x+3y+8z=2 & \end{cases}\\ &\textrm{berubah lagi menjadi}\\ &\begin{cases} x-y+2z=1 &----(1) \\ 5x+7y+10z=4 &----(2) \\ 5x+3y+8z=2 &----(3) \end{cases}\\ &\textrm{Dengan eliminasi berikut akan didapatkan}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Persamaan 1&2}&\textbf{Persamaan 2&3}\\\hline \begin{array}{ll} 5x-5y+10z&=5\\ 5x+7y+10z&=4\quad -\\\hline \: \: \quad-12y&=1\\ \qquad\qquad\qquad y&=-\displaystyle \frac{1}{12}\\ &\\ &---(4) \end{array}&\begin{array}{ll} 5x+7y+10z&=4\\ 5x+3y+8z&=2\quad -\\\hline \: \: \qquad 4y+2z&=2\\ &---(5)\\ &\\ & \end{array} \\\hline \end{array}\\ &\textrm{Dari persamaan}\: 4\&5\: \: \textrm{didapatkan}\\ &\textrm{nilai}\: \: z=\displaystyle \frac{7}{6},\: \textrm{selanjutnya juga}\\ &\textrm{akan didapatkan nilai}\: \: x=-\displaystyle \frac{17}{12}.\\ &\textrm{Jadi, HP}=\color{red}\left \{ -\displaystyle \frac{17}{12},-\frac{1}{12},\frac{7}{6} \right \} \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XKelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
Susianto, B. 2011. Olimpiade Matematika dengan Proses Berpikir Aljabar dan Bilangan. Cet. II. Jakarta: GRASINDO

Definit Positif dan Definit Negatif pada Fungsi Kuadrat

Materi Tambahan Persamaan Logaritma 4 d sini dan Pembahasan Soal 4 di sini

dan untuk memahami materi ini Anda harus sudah memahami materi persamaan kuadrat

A. Definit Positif

Perhatikan ilustrasi gambar grafik parabola (fungsi kuadrat) berikut

Pada gambar kurva parabola berkaitan dengan posisinya terhadap sumbu X di atas diberikan 3 model, yaitu:

model pertama $f(x)=x^{2}-1$ di mana kurva memotong sumbu X di dua titik berbeda yaitu di titik (0,-1) dan (0,1). Sedangkan model kurva kedua dengan $f(x)=(x-2)^{2}$ dengan kurva bukan memeotong, tetapi hanya menyinggung sumbu X saja di titik singgungnya (0,2). Sedangkan model gambar yang ketiga adalah kurva $f(x)=x^{2}-4x+5$, di mana kurva sama sekali tidak memotong maupun tidak menyinggung sumbu X., hal inilah yang dinamakan definit positif.

Selanjutnya dapat dijelaskan bahwa suatu kurva parabola dengan $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dengan $a>0$ das $b^{2}-4ac<0$, maka dapat dipastikan seluruh grafiknya akan berada di atas sumbu X.

B. Hungunagn dengan Diskriminan pada Grafik Fungsi Kuadrat

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0,\: \: a\neq 0$. adalah:

$x_{1,2}=\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$.

dengan $D=b^{2}-4ac$ adalah diskriminan dari persamaan kuadrat. Selanjutnya nilai D akan sangat menentukan akar-akar penyelesaian dari persamaan tersebut di atas.

Selain telah disebutkan sebelumnya terkait diskriminan, diskriminan juga akan sangat mempengaruhi kondisi kurva parabola (fungsi kuadrat) berkaitan dengan memotong, menyinggung, ataupun tidak memotong maupun tidak menyinggung terhadap sumbu X, yaitu:

Jika $D>0$, maka kurva akan memotong sumbu X di dua titik yang berbeda
Jika $D=0$, maka kurva akan menyinggung sumbu X di satu titik saja
Jika $D<0$, maka parabola tidak akan pernah memotong maupun menyinggung sumbu X.

C. Definit Negatif

Berlawanan dengan penjelasan pada bagian A, definit negatif adalah kurva parabola seluruhnya berada di bawah sumbu X, dengan $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dengan $a<0$ das $b^{2}-4ac<0$, maka dapat dipastikan seluruh grafiknya akan berada di bawah sumbu X.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: k\: \: \textrm{agar grafik dari fungsiu kuadrat}\\ &y=kx^{2}-2kx+k+1\: \: \textrm{menyinggung sumbu X}\\ 2.&\textrm{Tentukan nilai}\: \: p\: \: \textrm{agar garfik fungsi kuadrat dengan}\\ &\textrm{persamaan kurva}\: \: y=x^{2}+2x+p\: \: \textrm{selalu memotong}\\ &\textrm{sumbu X di dua titik}\\ 3.&\textrm{Tentukan harga} \: \: k\: \: \textrm{agar fungsi}\: \: f(x)=x^{2}-kx+1\\ &\textrm{definit positif} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Kurnianingsih, S., Kuntarti, Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semester 1 KTSP Standar Isi 2006. Jakarta: ESIS.

SUMBER INTERNET

Ahmad Thohir, Contoh Soal Persiapan Semester Gasal. https://ahmadthohir1089.wordpress.com/2017/11/27/insyaallah-76/ pada tanggal 8 November 2021 pukul 5.28 WIB.

Bilangan e pada Logaritma (Bagian 2)

D. Lanjutan penentuan nilai e

Perhatikanlah bentuk

$\begin{aligned}\begin{cases} 1. & =\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{n} \right )^{n} \\\\ 2. & =\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{n} \right )^{-n} \end{cases} \end{aligned}$.

Menurut Binomial Newton,

$\color{blue}\begin{aligned}(a+b)^{n}\color{black}=\, &\color{red}C_{0}^{n}a^{n}b^{0}+C_{1}^{n}a^{n-1}b^{1}+C_{2}^{n}a^{n-2}b^{2}\\ &+C_{3}^{n}a^{n-3}b^{3}+\cdots +C_{n-3}^{n}a^{3}b^{n-3}\\ &+C_{n-2}^{n}a^{2}b^{n-2}+C_{n-1}^{n}a^{1}b^{n-1}+C_{n}^{n}a^{0}b^{n}\\ &\color{black}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{\color{red}n}a^{\color{red}n\color{black}-r}b^{r} \end{aligned}$.

Bentuk perluasannya, ketika a=1 dan b=x

$\color{blue}\begin{aligned}\color{black}\quad(1+x)&^{n}\\ \color{black}=\, &\color{red}C_{0}^{n}1^{n}x^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}x^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}x^{2}\\ &+C_{3}^{n}1^{n-3}x^{3}+\cdots +C_{n-3}^{n}1^{3}x^{n-3}\\ &+C_{n-2}^{n}1^{2}x^{n-2}+C_{n-1}^{n}1^{1}x^{n-1}+C_{n}^{n}1^{0}x^{n}\\ =\, &\color{red}C_{0}^{n}+C_{1}^{n}x+C_{2}^{n}x^{2} +C_{3}^{n}x^{3}+\cdots \\ &+C_{n-3}^{n}x^{n-3} +C_{n-2}^{n}x^{n-2}+C_{n-1}^{n}x^{n-1}\\ &+C_{n}^{n}x^{n}\\ \end{aligned}$

Sehingga

$\begin{aligned}(1+x)^{n}&=1+nx+\displaystyle \frac{n(n-1)}{2!}x^{2}+\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{3}\\ &+... +\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{(r-1)!}x^{r-1}+... \end{aligned}$.

Saat $x=\displaystyle \frac{1}{n}$,

$\begin{aligned}\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{n} \right )^{n}&=1+\displaystyle \frac{n}{1}.\left (\frac{1}{n} \right )^{1}+\displaystyle \frac{n(n-1)}{1.2}\left ( \displaystyle \frac{1}{n} \right )^{2}\\ &+\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3}\left ( \displaystyle \frac{1}{n} \right )^{2}\\ &+...+\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)...1}{1.2.3...n}\left ( \displaystyle \frac{1}{n} \right )^{n} \end{aligned}$.

Jika $U_{n}=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{n} \right )^{n}$, maka didapatkan

$\begin{aligned}U_{n}&=1+1+\displaystyle \frac{1}{2!}\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{n} \right )+\displaystyle \frac{1}{3!}\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{n} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{2}{n} \right )\\ &+\displaystyle \frac{1}{4!}\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{n} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{2}{n} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{3}{n} \right )\\ &+...+\displaystyle \frac{1}{n!}\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{n} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{2}{n} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{3}{n} \right )...\left ( 1-\displaystyle \frac{n-1}{n} \right ) \end{aligned}$.

Karena bentuk di atas $\color{red}\left ( 1-\displaystyle \frac{p}{n} \right )<1$, dengan $p,n\in \mathbb{N}$, maka akan diperoleh

$U_{1}<U_{n}<1+1+\displaystyle \frac{1}{2!}+\displaystyle \frac{1}{3!}+\displaystyle \frac{1}{4!}+...+\displaystyle \frac{1}{n!}$

Serta diketahui bentuk

$\begin{aligned}&\displaystyle \frac{1}{2.3}<\frac{1}{2.2}\\ &\displaystyle \frac{1}{2.3.4}<\frac{1}{2.2.2}\\ &\displaystyle \frac{1}{2.3.4.5}<\frac{1}{2.2.2.2}\\ &...\\ &\displaystyle \frac{1}{2.3.3.4...n}<\frac{1}{2^{n-1}}\\ \end{aligned}$.

Dan diketahui pula dari uraian di atas $U_{1}=2$, maka

$\begin{aligned}&U_{1}<U_{n}<1+1+\displaystyle \frac{1}{2!}+\displaystyle \frac{1}{3!}+\displaystyle \frac{1}{4!}+...+\displaystyle \frac{1}{n!}\\ &\Leftrightarrow \: 2<U_{n}<1+1+\underset{\color{blue}\textrm{deret konvergen}}{\underbrace{\left ( \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n}} \right )}}\\ &\Leftrightarrow \: 2<U_{n}<1+1+\left ( \displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \right )\\ &\Leftrightarrow \: 2<U_{n}<1+1+1\\ &\Leftrightarrow \: 2<U_{n}<3\\ &\Leftrightarrow \: 2<\underset{n\rightarrow \infty }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle U_{n}<3 \end{aligned}$.

Selanjutnya bentuk $\underset{h\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle U_{n}=e$, dengan e adalah bilangan irasional dengan bentuk desimal e = 2,71828....

DAFTAR PUSTAKA

Koesmantoro, Rawuh (Ed.). 2001. Matematika Pendahuluan (Seri Matematika). Cet. VII. Bandung: ITB.

Bilangan e pada Logaritma (Bagian 1)

Materi pendukung pada aplikasi logaritma yang melibatkan penggunaan konstanta e di sini

A. Pendahuluan

Bilangan e (epsilon) yang dimaksud adalah bilangan basis pada logaritma alami yang besarnya dalam bentuk semimal e = 2,71828...

Dalam logaritma basis 10, log e = 0,4343. Sedangkankan dalam logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural (kadang dinamai dengan nama penemunya, yaitu Napier, matematikawan dari Skotlandia) dengan dilambangkan $^{e}\log x=\ln x$.

$\color{blue}^{e}\log x=\, ^{2,7183}\log x=\ln x$.

Bilangan e (epsilon) didapatkan dari bentuk $\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{n} \right )^{n}$ dengan $n$. bilangan asli.

Sebagai ilustrasi prosesnya mendapatkannya adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{|l|l|}\hline n=1&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{1} \right )^{1}\\ &=2 \end{aligned}\\\hline n=2&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}\\ &=2,25 \end{aligned}\\\hline n=3&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{3} \right )^{3}\\ &=2,37... \end{aligned}\\\hline n=30&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{30} \right )^{30}\\ &=2,67... \end{aligned}\\\hline n=105&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{105} \right )^{105}\\ &=2,705... \end{aligned}\\\hline n=1000&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{1000} \right )^{1000}\\ &=2,7169... \end{aligned}\\\hline n=100000&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{100000} \right )^{100000}\\ &=2,7182... \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

B. Sifat-Sifat

$\begin{aligned}1.\quad&\ln a.b=\ln a+\ln b\\ 2.\quad&\ln \left ( \displaystyle \frac{a}{b} \right )=\ln a-\ln b\\ 3.\quad&\ln a^{\textrm{p}}=\textrm{p}\times \ln a\\ 4.\quad&\ln a=\displaystyle \frac{\log a}{\log e}\\ 5.\quad&\ln e=1,\: \: \textrm{karena}\: \: ^{e}\log e=1\\ 6.\quad&\ln \sqrt[\textrm{p}]{n}=\displaystyle \frac{1}{\textrm{p}}\times \ln a\\ \end{aligned}$.

C. Hubungan Antara Logaritma Biasa dengan Logaritma Alami

Perhatikan tabel berikut:

$\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}^{e}\log x&=\ln x,\\ \displaystyle \frac{\log x}{\log e}&=\ln x\\ \log x&=\log e.\ln x\\ &=0,4343.\ln x\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\ln x&=\, ^{e}\log x\\ &=\displaystyle \frac{\log x}{\log e}\\ &=\displaystyle \frac{\log x}{\log 2,71828}\\ &=\displaystyle \frac{\log x}{0,4343}\\ &=2,303\log x \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Sehingga dapat disimpulkan

$\begin{aligned}\bullet\quad &\log x=0,4343\ln x\\ \bullet \quad&\ln x=2,303\log x \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: \log 2=0,301,\: \: \textrm{tentukan nilai}\\ &\textrm{dari}\: \: \ln 2\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\ln 2&=2,303\log 2\\ &=2,303(0,301)\\ &=0,6932 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: \log 3=0,4771\: \: \textrm{dan}\: \: \log 5=0,6990\\ & \textrm{tentukan nilai dari}\: \: \ln 45\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\ln 45&=2,303\log 45\\ &=2,303\log 9.5\\ &=2,303\left ( \log 9+\log 5 \right )\\ &=2,303\left ( \log 3^{2}+\log 5 \right )\\ &=2,303\left ( 2\log 3+\log 5 \right )\\ &=2,303\left ( 2.0,4771+0,6990 \right )\\ &=2,303\left ( 1,6532 \right )\\ &=3,8073 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \ln 345,67^{1.25}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\ln 345,67^{1.25}&=1,25\times \ln 345,67\\ &=1,25\times 2,303\log 345,67\\ &=1,25\times 2,303\times 2,5387\\ &=7,3084 \end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: \log 3=0,4771\: \: \textrm{dan}\: \: \log 5=0,699\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \ln 75 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: \log 2=0,3010\: \: \textrm{dan}\: \: \log 3=0,4771\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \ln 4-\ln 9\end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Jika}\: \: \log 2=0,3010\: \: \textrm{dan}\: \: \log 7=0,8451\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \ln (8\times 49)\end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Jika}\: \: \log 2=0,3010\: \: \textrm{dan}\: \: \log 7=0,8451\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \ln 140-\ln 5\end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \ln 89,75\end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \ln 3,456^{0,75}+\ln 5,678^{0,75}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Tim MGMP Matematika SMK PROV JATENG. 2007. Modul Matematika SMK Kelompok Teknik, Pertanian dan Kesehatan Semester 1 Kelas X.

Rehat Sejenak

Bilangan Kaprekar

Pada tahun 1949 Kaprekar menemukan sebuah bilangan 4 digit dengan sifat menarik yang selanjutnya dinamakan konstanta Kaprekar. Beliau adalah Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905 - 1986) dari daerah Devlali, India.

Bagaimna caranya kita bisa menikmati dan menemukan sendiri bilangan ini, berikut ilustrasi sintak dan contohnya

Pilihlah sebarang bilangan 4 digit yang yang keempat digitnya tidak sama semuanya usahakan berbeda
Dari bilangan 4 digit yang Anda pilih tadi, buatlah menjadi bilangan yang terbesar dan sekaligus terkecil dengan cara menyusun ulang digit-digitnya sesuai perintah tadi.
Kurangkanlah digit terbesar tadi dengandigit yang terkecil
Lakukanlah langkah ketiga di atas, yaitu hasil dari pengurangan pada langkah ketiga menjadi bilangan yang terbesar-dan terkecil kemudian dikurangkan demikian seterusnya sampai Anda memenukan sebuah bilangan yang apabila dikondisikan seperti pada langkah ketiga di atas tetap menghasilnya bilangan yang konstan.

Misalkan bilangan 4 digit itu, pilih saja angkanya sama dengan tahun ini, yaitu: 2021.

Berikut cara proses/sintak mendapatkan konstanta Kaprekar yang dimaksud.

$\begin{aligned}&2021\\ &\color{blue}\textrm{Jadi bilangan terbesar, dan terkecil}\\ &\color{blue}\textrm{sekaligus kemudian dikurangkan}\\ &2210-0122=2088\\ &\color{red}\textrm{kita susun lagi}\\ &8820-0288=8532\\ &8532-2358=6174\\ &7641-1467=6174\\ &7641-1467=6174\\ &7641-1467=6174\\ & \textrm{bentuk terakhir ini}\\ &\textrm{selalu berupa bilangan}\: \: \color{red}6174 \end{aligned}$.

Misalkan dengan bilangan yang lain, misal pilih bilangan 2022, sebuah bilangan yang sama tahun depan.

$\begin{aligned}&2022\\ &\color{blue}\textrm{Jadi bilangan terbesar, dan terkecil}\\ &\color{blue}\textrm{sekaligus kemudian dikurangkan}\\ &2220-0222=1998\\ &9981-1899=8082\\ &8820-0288=8532\\ &8532-2358=6174\\ &7641-1467=6174\\ &7641-1467=6174\\ & \textrm{bentuk terakhir ini}\\ &\textrm{sama dengan proses sebelumnya}\\ &\textrm{kita bahas, selalu konstan}\: \: \color{red}6174 \end{aligned}$

Dan bilangan 6174 ini yang disebut konstanta Kaprekar tadi.

Seandainya Anda menyukainya, atau Anda penasaran, Anda bisa mencobanya dengan bilangan yang lain dan Anda kerjakan diwaktu senggang Anda.

Selamat mencoba.

Aplikasi Fungsi Logaritma

Dalam banyak hal konsep logaritma sering digunakan untuk memudahkan perhitungan, baik kejadian di sekitar kita sehari hari atau lainnya yang dilakukan seseorang yang menekuni bidang tertentu. Sebagai misal dalam bidang ekonomi saat perhitungan bunga majmuk, selain itu juga dalam bidang baik fisika, kimia, biologi, geografi dan lain-lain.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

Dalam bidang ekonomi

Jika modal M dibungakan untuk setiap periode bungan dengan bunga majmuk i = p % , maka besar modal M setelah n periode adalah $M_{n}$ dengan mengikuti rumus:

$M_{n}=M(1+i)^{n}$.

Dalam Bidang Fisika

Misalnya dalam menentukan tingkat kebisingan (Taraf Intensitas) bunyi yang merupakan laju perpindahan energi bunyi persatuan luas yang tegak lurus terhadap arah merambatnya diformulasikan dengan

$TI=10\log \left ( \displaystyle \frac{I}{I_{o}} \right )$.

Satuan dalam penghitungan dia atas adalah seibel (dB).

Jika diketahui nilai ambang intensitas bunyi $\left ( I_{o} \right )$ dalam hal ini adalah intensitas bunyi terendah yang masih bisa diterima oleh manusia, yaitu sekitar $10^{-12}\: \: watt/m^{2}$ pada frekuensi 1000 Hz pada suatu ketika diketahui pula taraf intensitas bunyi sebuah mesin adalah 60 dB, maka berapakah intensitas bunyi mesin tersebut, berikut uraiannya

$\begin{aligned}TI&=10 \log \left ( \displaystyle \frac{I}{I_{o}} \right )\\ 60&=10\log \left ( \displaystyle \frac{I}{10^{-12}} \right )\\ 6&=\log I-\log 10^{-12}\\ 6&=\log I-(-12)\\ 6&=\log I+12\\ \log I&=6-12\\ ^{10}\log I&=-6\\ I&=10^{-6} \end{aligned}$.

Jadi, intensitas bunyi mesin tersebut adalah $10^{-6}\: \: watt/m^{2}$.

Dalam Bidang Kimia

Dalam menentukan tingkat keasamam suatu larutan adalah melihat nilai pH-nya. Nilai pH (power of Hydrogen) ini tergantung dengan tingkat konsentrasi dari ion hidrogen dalam larutan. Misal diketahui konsentrasi ion hidrogen $\left [ \textrm{H}^{+} \right ]$ dalam satuan M (molaritas) adalah $6,6\times 10^{-7}$. Jika formulasi pH adalah $\textrm{pH}=-\log \left [ \textrm{H}^{+} \right ]$, maka pH dari larutan tersebut adalah:

$\begin{aligned}\textrm{pH}&=-\log \left [ \textrm{H}^{+} \right ]\\ &=-\log \left ( 6,6\times 10^{-7} \right )\\ &=-\left ( \log 6,6-7 \right )\\ &=-\left ( 0,8195-7 \right )\\ &=6,1805\\ &\approx 6,2 \end{aligned}$.

Jadi, pH larutan tersebut adalah 6,2.

Masih dalam bidang kimia, dalam hal ini adalah proses peluruhan zat. Misalkan formulasi untuk menentukan jumlah zat pada saat $t$ adalah sebagai berikut:

$N_{t}=N_{0}e^{-rt}$.

dengan:

$\begin{aligned} N_{t}&=\textrm{jumlah setelah}\: \: t\\ N_{0}&=\textrm{jumlah zat semula}\\ e&=\color{blue}2,71828...\\ &\quad\textrm{bilangan pokok logaritma natural}\\ r&=\textrm{laju peluruhan}\\ t&=\textrm{waktu yang dibutuhkan} \end{aligned}$.

untuk materi tentang bilangan logaritma natural silahkan klik di sini.

$\begin{array}{ll} &\textrm{Terdapat sejumlah zat}\: \: N_{0}.\: \textrm{Dalam 3 tahun}\\ &\textrm{Jumlah zat kimia tersebut menjadi}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}N_{0}\\ &\textrm{Tentukan waktu yang dibutuhkan agar}\\ &\textrm{jumlah zat menjadi}\: \: \displaystyle \frac{1}{4}N_{0}\: \: \textrm{nya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: N_{t}=N_{0}e^{-rt}\\ &\textrm{Karena}\: \: N_{t}=\displaystyle \frac{1}{2}N_{0},\: \: \textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{1}{2}N_{0}=N_{0}e^{-rt}\\ &\quad \displaystyle \frac{1}{2} \: =e^{-r(3)}\\ &\ln \displaystyle \frac{1}{2}=\ln e^{-3r}\\ &\ln \displaystyle \frac{1}{2}=-3r\ln e=-3r\\ &\quad r\: \, =-\displaystyle \frac{\ln \displaystyle \frac{1}{2}}{3}\\ &\quad r\: \, =0,23104906\\ &\textrm{Agar menjadi}\: \: \displaystyle \frac{1}{4}N_{0},\: \: \textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{1}{4}N_{0}=N_{0}e^{-rt}=N_{0}e^{-0,23104906t}\\ &\quad \displaystyle \frac{1}{4}=e^{-0,2310490t}\\ &\ln \displaystyle \frac{1}{4}=\ln e^{-0,2310490t}\\ &\ln \displaystyle \frac{1}{4}={-0,2310490t}.\ln e={-0,2310490t}\\ &\quad t\: \: =\displaystyle \frac{\ln \displaystyle \frac{1}{4}}{-0,23104906}\\ &\qquad =6,000000005 \end{aligned} \end{array}$.

Jadi, agar jumlah zat menjadi seperempatnyua dibutuhkan waktu lebih dari 6 tahun.

Catata:

Berikut link materi tentang konstanta e klik di sini dan di sini

Dalam Bidang Pembelajaran Matematika

Misalkan dalam pembelajaran matematika di tingkat SMA/MA ketika membahas mengenai perpangkatan suatu bilangan, jika sesorang diminta menentukan pangkat suatu bilangan yang menghasilkan bilangan bukan bilangan kuadrat pangkat.

$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Seorang siswa Kelas X suatu MA diminta}\\ &\textrm{menentukan pangkat dari sebuah persoalan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{2 dipangkatkan berapa akan sama dengan 8}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{2 dipangkatkan berapa akan sama dengan 7}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Kedua pertanyyan di atas jika dimodel dalam}\\ &\textrm{model matematika menjadi}:\: \: 2^{x}=...\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{dengan cara tidak terlalu sulit seorang siswa}\\ &\textrm{akan segera menemukan jawabannya yaitu 3}\\ &\textrm{berikut prosesnya}\\ &\color{red}2^{x}=8\Leftrightarrow 2^{x}=2^{3}\Leftrightarrow x=3 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Mungkin siswa yang belum pernah mendapatkan}\\ &\textrm{materi logaritma hanya akan mencoba-coba}\\ &\textrm{beberapa bilangan dengan cara menduga-duga}\\ &\textrm{saja. Tetapi bagi yang sudah paham konsep}\\ &\textrm{logaritma tidak akan menenukan banyak kendala}.\\ &\textrm{berikut menurut konsep logaritma}:\\ &2^{x}=7\\ &\textrm{masing-masing ruas di-logkan didepan angkanya}\\ &\Leftrightarrow \, \log 2^{x}=\log 7\\ &\Leftrightarrow \, x.\, \log 2=\log 7\\ &\Leftrightarrow \, x=\displaystyle \frac{\log 7}{\log 2}=\frac{0,8451}{0,301}\approx 2,81\\ &\textrm{Jadi, siswa akan dengan mudah dan terarah menjawab}\\ &\textrm{dengan jawaban}\: \: 2,81\: \: \textrm{dengan angak 2 desimal} \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Budhi, W. S. 2017. Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.