Lanjutan : Fungsi Eksponensial

1. Pengertian Fungsi Eksponen

Sebuah fungsi adalah relasi khusus dengan aturan tertentu. Fungsi adalah sebuah pemetaan yang memetakan setiap anggota domoain dengan tepat satu anggota kodomain. Jika suatu himpunan A sebagai domain yang setiap anggota himpunannya dipetakan ke tepat satu anggota himpunan B sebagai kodomain selanjutnya disebut fungsi dari himpunan A ke B atau  f:AB.

Perhatikanlah gambar berikut

Pada gambar di atas terlihat jelas bahwa setiap bilangan riil  x dipetakan dengan tepat ke bilangan riil  y. Sehingga fungsi f  memtakan  xA  ke  y  atau  f:xy dan aturan dari fungsi  f ini sendiri ini biasanya sering dituliskan dalam notasi  y=f(x). Selanjutnya untuk ilustrasi fungsi eksponensial adalah sebagai berikut:
Tampak jelas bahwa  yB  adalah  y=f(x)=k.ax,  dengan  k konstanta,  x sebagai variabel bebas, serta  a adalah bilangan basis atau bilangan pokok, dengan  a>0  dan   a1.

2. Garfik Fungsi Eksponen

a. Grafik fungsi eksponen  y=f(x)=k.ax, dengan  a>1  dan   xR.

Perhatikan ilustrasi berikut


a. Grafik fungsi eksponen  y=f(x)=k.ax, dengan  0<a<1aQ  dan   xR.


Ilustrasi lain dari garfik fungsi eksponen adalah sebagai berikut



CONTOH SOAL.

1.Lengkapilah tabel berikutfungsi32101234f(x)=2xf(x)=2xf(x)=3xf(x)=3xJawabfungsi32101234f(x)=2x181412124816f(x)=2x8421121418116f(x)=3x12719131392781f(x)=3x279311319127181.

2.Gambarlah grafik fungsi eksponen berikuta.f(x)=3x+1b.f(x)=3x+1Jawaba. Untuk fungsif(x)=3x+1sebagai berikut:fungsi/titik3210123f(x)=3x0127191313927TDf(x)=3x+1019131392781TD(x,f(x))(,0)(3,19)(2,13)(1,1)(0,3)(1,9)(2,27)(3,81)b. Dan untuk fungsif(x)=3x+1sebagai berikut:fungsi/titik3210123f(x)=3x0127191313927TDf(x)=3x+111127119113241028TD(x,f(x))(,1)(3,1127)(2,119)(1,113)(0,2)(1,4)(2,10)(3,28)

.

Lanjutan 2 Limit Fungsi Trigonometri

 A. Teorema Apit

Misalkan  fg, dan   h  adalah fungsi yang memenuhi  f(x)g(x)h(x) untuk seluruh titik di sekitar  c.  

Jika  limxcf(x)=limxcg(x)=L,  maka   limxcg(x)=L.

B. Penentuan nilai  limx0xsinx  dan  limx0sinxx.

Untuk bukti dari 

1.limx0sinxx=limx0xsinx=12.limx0sinxx=limx0xsinx=1.

Berikut penjabaran buktinya

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini


NoNamaLuas Bangun1AOCLAOC=12.OA.CD=12.OA.OC.sinx=12.r.r.sinx=12r2sinx2Juring AOCLJuring AOC=x2π.πr2=x2π.π.r2=12x.r23AOBLAOB=12.OA.AB=12.OA.OA.tanx=12.r.r.tanx=12r2tanx.

Selanjutnya perhatikan pula bahwa dari fakta di atas dapat dituliskan sebagai berikut, yaitu:
Bagian PertamaBagian Kedua12r2sinx12xr212r2tanxsinxxsinxcosx1xsinx1cosx1sinxxcosxcosxsinxx112r2sinx12xr212r2tanxsinxxtanxsinxtanxxtanx1cosxxtanx11cosxtanxx11tanxx1cosx

Dan untuk mendapatkan nilai  yang diinginkan adalah:
Bagian pertama:limx0cosxlimx0sinxxlimx011limx0sinxx1Dengan teorema apit,makalimx0sinxx=1.Bagian kedua:limx01limx0tanxxlimx01cosx1limx0sinxx1Dengan teorema apit,makalimx0sinxx=1..

Selanjutnya untuk mendapatkan nilai limx0tanxx dan  limx0xtanx dapat diperoleh dari bagian pertama dan kedua di atas, yaitu:

limx0tanxx=limx0sinxx×1cosx=limx0sinxx×limx01cosx=1×1=1Demikian jugalimx0xtanx=limx01cosx×xsinx=limx01cosx×limx0xsinx=1×1=1.

Dari uraian panjang di atas telah ditunjukkan dengan bukti-buktinya bahwa
1.limx0sinxx=limx0xsinx=12.limx0sinxx=limx0xsinx=1

DAFTAR PUSTAKA
  1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
  2. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.




Lanjutan 2 Fungsi Eksponen

 C. 2. 2  Merasionalkan penyebut

Jika suatu pecahan penyebutnya mengandung bilangan irasional atau bentuk akar, maka penyebut ini dapat dibuat menjadi bilangan rasional. Perhatikanlah langkah berikut
1.ab=ab×bb=ab(b2)=abb2.ab3=ab3×b23b23=ab23(b33)=abb233.ab35=ab35×b25b25=ab25b55=abb25

Merasionalkan di atas adalah contoh bebrapa contoh model merasionalkan jika berjenis tunggal tetapi jika nanti jenisnya lebih dari itu, maka perhatikanlah simulasi contoh berikut
1.ca+b=ca+b.abab=c(ab)a2b2.cab=cab.a+ba+b=c(a+b)a2b3.ca+b=ca+b.abab=c(ab)ab

Perhatikanlah simulasi contoh di atas, bentuk a+b memiliki bentuk sekawan (irasional juga) ab, demikian juga bentuk a+b memiliki sekawan ab. Disamping itu ada bentuk khusus yatu bentuk  a3+b3 memiliki bentuk sekawan a23ab3+b23.

 CONTOH SOAL.

1.Rasionalkanlah penyebut pecahan berikutdan serderhankanlah hasilnyaa.25d.25b.252e.pqc.635Jawab:a.25=25×55=2525=255b.252=252×22=2254=225.2=152c.635=635×55=65325=653.5=255d.25=25×55=1025=105=1510e.pq=pq×qq=pqq2=pqq=pqq.

2.Rasionalkanlah penyebut pecahan berikutdan serderhankanlah hasilnyaa.365f.36+5b.36+5g.365c.365h.36+5d.36+5i.3625e.365j.36+25Jawab:a.365=365×6+56+5=3(6+5)6252=18+35365=18+3531=131(18+35)b.36+5=36+5×6565=3(65)6252=1835365=183531=131(1835)c.365=365×6+56+5=3(6+5)6252=63+15365=63+1531=131(63+15)d.36+5=36+5×6565=3(65)6252=6315365=631531=131(6315)e.365=365×6+56+5=3(6+5)6252=3(6+5)65=3(6+5)1=3(6+5)f.36+5=36+5×6565=3(65)6252=3(65)65=3(65)1=3(65)g.365=365×6+56+5=3(6+5)6252=18+1565=9.2+151=(32+15)h.36+5=36+5×6565=3(65)6252=181565=9.2151=(3215)i.3625=35+125.1=351=351=351×5+15+1=3.5+3.15212=15+351=14(15+3)j.36+25=35+1+25.1=35+1=35+1=35+1×5151=3.53.15212=15351=14(153).

3Rasionalkan penyebut dan sederhanakanlaha.12+5+7b.12+35Jawab:a.12+5+7=12+5+7×2+572+57=2+57(2+5)2(7)2=2+57(2+210+5)7=2+57210=2+57210×1010=20+50702×10=25+52+7020b.12+35=12+35×2+3+52+3+5=2+3+5(2+3)2(5)2=2+3+5(2+26+3)5=2+3+526=2+3+526×66=12+18+302×6=23+32+3012

Lanjutan Fungsi Eksponen

C.2  Operasi Bilangan Bentuk Akar.

C. 2. 1  Sifat-sifat yang berlaku pada operasi bilangan bentuk akar
1.acn+bcn=(a+b)cn2.acnbcn=(ab)cn3.an.bn=abn4.ann=a5.acnxbdn=abcdn6.acnbdn=ab.cdn7.(a+b)+2ab=a+b8.(a+b)2ab=ab.

 CONTOH SOAL.

1.Sederhanakanlah bentuk akar berikuta.8f.163k.8x5,x0b.12g.323l.48x6y11,y0c.27h.543m.28×3d.28i.813n.36×22e.32j.6253o.263×693Jawab:a.8=4×2=22×2=22b.12=4×3=22×3=23c.27=9×3=32×3=33d.28=4×7=22×7=27e.32=16×2=42×2=42f.163=8×23=233×23=223g.323=8×43=233×43=243h.543=27×23=333×23=323i.813=27×33=333×33=333j.6253=125×53=533×53=553k.8x5=4.2.x4.x1=22×2×x4×x=2.2.x2.x=2x22x,x0l.48x6y11=16.3.x6.y10.y1=42×3×x6×y10×y=43.x3.y5.y=4x3y53y,0m.28×3=24×2×3=222×2×3=2.2.2.3=46n.36×22=32×3×22=3×2×22×3=6×22×3=6×2×3=1236o.263×693=2.6.6×93=12×2.3.3.33=12×2.333=12×23×333=12×23×3=3623.

2.Tentukanlah pangkat rasional daria.yx2y3b.x3x3x353c.x2xx253d.xyzxyz53xzy53yzx53Jawab:a.yx2y3=y(x2y)13=(y(x2y)13)12=y.12.x.23.12.y.13.12=y.12+16x.13=x.13.y.46=x.13.y.23b.x3x3x353=x3x3.x.3253=x3.x.35x.32.53=x.33.x.35.3.x.32.5.3=x1+x.15.x.110=x.1+15+110=x.10+2+110=x.1310c.x2xx253=x2x.x.253=x2.x.12.x.25.23=x.23.x.12.3.x.25.2.3=x.23.x.16.x.115=x.20+5+230=x.2730=x.910d.xyzxyz53xzy53yzx53=xyzx2y2z2x5y5z53=xyz1x(52)y(52)z(52)3=xyz1x3y3z33=xyz1(xyz)33=xyz.1xyz=xyzxyz=1.

3.Jikaa,bbilangan positif dana2bab2ab3=ax.by,tentukan nilaixyJawab:a2bab2ab3=ax.byperhatikan cara menguraikannyaa2bab2ab3=a2bab2.a.12b.123=a2ba.1+12b.2+123=a2ba.32b.523=a2b.a.32.3b.52.3=a2b.a.12b.56=a.2+12.b.1+56=a.52b.116=a.52.2b.116.2=a.54b.1112=axbymakax=54,dany=1112xy=541112=151112=412=13.

4.(Matematika Dasar UM UGM 2008)Bentuk sederhana darix26x2x+13xx+16Jawab:x26x2x+13xx+16=x26.(x2.x+1)23.2x66.x+16=x26.x4.(x+1)6x6(x+1)6=x(2+4)(x+1)6x6(x+1)6=x6(x+1)6x6(x+1)6=1.

5.Nilai dari1+21+31+41+...=....Jawab:1+21+31+41+...berikut uraiannyaMisalkanx2=x2,makax2=1+(x21)x2=1+(x1)(x+1)x2=1+(x1)(x+1)2x2=1+(x1)1+((x+1)21)x2=1+(x1)1+(x+11)(x+1+1)x2=1+(x1)1+x(x+2)x2=1+(x1)1+x(x+2)2x2=1+(x1)1+x1+((x+2)21)x2=1+(x1)1+x1+(x+21)(x+2+1)x2=1+(x1)1+x1+(x+1)(x+3)x2=1+(x1)1+x1+(x+1)(x+3)2x2=1+(x1)1+x1+(x+1)1+((x+3)21)x2=1+(x1)1+x1+(x+1)1+(x+31)(x+3+1)x2=1+(x1)1+x1+(x+1)1+(x+2)(x+4)x2=1+(x1)1+x1+(x+1)1+(x+2)(x+4)2x2=1+(x1)1+x1+(x+1)1+(x+2)1+((x+4)21)x2=1+(x1)1+x1+(x+1)1+(x+2)1+(x+41)(x+4+1)x2=1+(x1)1+x1+(x+1)1+(x+2)1+(x+3)(x+5)x2=1+(x1)1+x1+(x+1)1+(x+2)1+(x+3)...x=1+(x1)1+x1+(x+1)1+(x+2)1+(x+3)maka=1+21+31+41+...Jelas tampak bahwa nilaixyang memenuhi adalahx=3.

6.Sederhanakanlah bentuka.3+22d.2145b.632e.628c.7+43f.5+24Jawab:Ingat bahwa:a+b±2ab=a±b,aba.3+22=2+1+22.1=2+1b.632=64.4.2=4+224.2=42=22c.7+43=4+3+2.23=4+3+24.3=4+3=2+3d.2145=20+12.25=20+124.5=20+1220.1=201=4.51=251e.628=4+224.2=42=22f.5+24=3+2+4.3.2=3+2+23.2=3+2.

7.Sederhanakan bentuk berikuta.0,3+0,08b.94+22013c.17+415=a3+b5,tentukanbaJawab:Ingat bahwa:p+q±2pq=p±q,pqa.0,3+0,08=0,3+4.(0,02)=0,3+20,02=0,2+0,1+2(0,2).(0,1)=0,2+0,1b.94+22013=61+33+261.33=61+33c.17+415=17+2.215=17+24.15=17+260=12+5+212.5=12+5=4.3+1.5=23+15=a3+b5{a=2b=1makaba=12=1.

8.Bentuk paling sederhana dari492064Jawab:492064=492.106=492100.6=492600=25+24225.24=2524=524=54.6=526=3+223.2=32.

9.Bentuk paling sederhana dari(52+643)3(52643)3Jawab:Ingatlah bentuk:(AB)3=A3B33AB(AB)A3B3=(AB)3+3AB(AB)52+643=52+2.343=52+243.9=43+9+243.9=43+9=43+352643=522.343=52243.9=43+9243.9=439=433misalkan{A=43+3B=433A3B3=(AB)3+3AB(AB)=(43+3(433))3+3(43+3)(433)(43+3(433))=(6)3+3(43232)(6)=216+18(439)=216+18.34=216+612=828.

10.Sederhanakanlah bentuk akar berikuta.32+5832b.53+527275c.3504322d.(2+2)(42)e.(32+3)(223)f.(4335)(23+5)Jawab:a.32+5832=32+54.216.2=32+5.2242=(3+104)2=92b.53+527275=53+59.3225.3=53+5.332.53=(5+1510)3=103c.3504322=325.2416.21.2=3.524.4212=(15161)2=22d.(2+2)(42)=2.42.2+4.22.2=8+(42)22=6+22e.(32+3)(223)=32.23.2.2.3+3.223.3=3.266+163.2=66+(16)6=56f.(4335)(23+5)=4.2.3.3+43.53.2.5.335.5=8.3+4156153.5=2415+(46)15=9215

DAFTAR PUSTAKA
  1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
  2. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.

Lanjutan 3 Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

B. 3 Kedudukan Garis Terhadap Garis dalam Ruang

Pada bangun sebuah kubus di mana bangun ruang ini dibatasi oleh tiga pasang bidang persegi. Setiap daerah persegi membatasi kubus yang disebut sebagai sisi kubus. Setiap dua sisi yang tidak sejajar  akan saling berpotongan pada sebuah garis yang disebut rusuk, yaitu AB, BC, AE, dan lain-lainnya. Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut

Sehingga sebuah kubus memiliki 12 rusuk yang sama panjang. Jika Anda perhatikan susunan dan struktur dari rusuk-rusk kubus kubus di atas, maka 12 di atas dapat dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu:
  • kelompok pertama : AB, DC, HG, dan EF
  • kelompok kedua : AD, BC, FG, dan EH
  • kelompok ketiga : AE, BF, CG, dan DH
Selanjutnya Anda juga dapat menemukan atau melihat bahwa setiap tiga rusuk bertemu di suatu titik yang selanjutnya disebut titik sudut kubus. Sebuah kubus memiliki 8 titik sudut. Terdapat pasangan-pasangan titik sudut yang tidak terletak pada sebuah bidang sisi, yaitu titik A dengan G, B dengan H, C dengan E, serta D dengan F, pasangan titik yang demikian disebut dengan pasangan titik yang berhadapan.
Ruas garis yang menghubungkan dua buah titik yang berhadapan disebut diagonal ruang kubus. Karena terdapat empat pasang titik berhadapan, maka terdapat 4 buah diagonal ruang, yaitu: AB, BH, CE, dan DF. Selain itu juga karena sisi kubus ada 6 buah dan masing-masing memiliki dua diagonal, sehingga terdapat 12 diagonal sisi, yaitu: AC, BD, AF, BE, EG, FH, AH, DE, BG, dan CF.
Anda juga dapat menemukan pasangan rusuk yang sejajar tetapi tidak terletak pada sebuah bidang sisi, misalnya AB dengan HG, dan lain-lainnya. Dari sana Anda akan menemukan 6 pasang rusuk yang yang berhadapan. Bidang yang melalui dua rusuk yang berhadapan disebut bidang diagonal. Sehingga dalam sebuah kubus terdapat 6 buah bidang diagonal.
Perhatikan letak rusuk AB dan DH, kedua rusuk itu tidak terletak pada sebuah bidang, maka dikatakan AB dan DH dua rusuk saling bersilangan demikian juga garis yang lain dengan kondisi semisal. Selain itu hubungan dua garis adalah saling sejajar dan saling tegak lurus.

B. 4 Kedudukan Garis terhadap Bidang yang Sejajar

Jarak anatar suatu garis  g  dan bidang  α yang saling sejajar adalah jarak antara sebarang titik A pada  g  dengan bidang  α. Jika proyeksi titik A pada garis g ke bidang α yang saling sejajar adalah A', maka AA' adalah jarak antara garis  g  dan bidang  α yang saling sejajar.

Berikut ilustrasinya

CONTOH SOAL.

9.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cmTentukanlah jarak titik A ke bidangaBCGFbBCHEJawab:Perhatikan ilustrasi berikut ini


.a.titikAkeBCGF=AkeB=AB=8cmb.titikAkeBCHE=Ake tengah-tenganBE=12diagonal sisi kubus=12(82)=42cm.

10.Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk6cm,titik S dan R berturut turut adalah pusatbidang EFGH dan ABCD. Tentukanlah jarakantara garis RF dan DSJawab:Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut.


.Diketahui bahwa:BD=62cm(diagonal sisi kubus)RD=12BD=12(62)=32cmDS=12(sisi)6=12(6)6=36cmLangkah selanjutnya[DSR]=[DSR]12×DS×RM=12×DR×RSRM=12×DR×RS12×DS=DR×RSDS=32×636=18236×66=181218=12=4.3=23cmJadi,jarak garis RF ke DS=23m

B. 5 Kedudukan antara Dua Bidang yang Sejajar

Jarak antara dua bidang α dan β yang saling sejajar adalah sama dengan jarak antara sebarang titik A pada bidang  α  dan A' pada bidang  β  dengan A' adalah proyeksi titik A pada bidang  β.
Berikut ilustrasinya
CONTOH SOAL.

11.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cmTentukanlah jarak bidang ABCD ke bidangaBCGFbEFGHJawab:a.bidangABCDkeBCGF=tidak terdefinisialasan:karena saling tegak lurusb.bidangABCDkeEFGH=Ake E=8cm.

12.Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk8cm,titik P, Q, R, dan S berturut turut beradadi pertengahan rusuk BC, CG, DH, dan AD.Tentukanlah jarak antara bidang ABGH danbidang PQRSJawab:Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut.


.Diketahui bahwa:BP=12BC=128=4cm(rusuk kubus)sinPBP=PPBPPP=BP×sinPBP=4×sin45=4×122=22cmDS=12(sisi)6=12(6)6=36cmJadi, jarak bidang ABGH ke PQRS adalah22cm.

13.Pada sebuah kubus ABCD.EFGH, tunjukkanbahwa bidang AFH sejajar dengan bidang BDGBukti:Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut

.Untuk menunjukkan bidang AFH dan BDGitu sejajar, maka harus ditunjukkan bahwakedua bidang itu masing-masing memuatdua garis berpotongan yang sepasang-sepasang.Bidang ADHE//bidang BCGF,sedang bidangABGH memotong kedua bidang yang sejajar ituberupa garis AH dan BG, maka AH//BG.Demikian pula bidang ABCD dan EFGH yangdipotong oleh bidang BDHF, masing-masingberupa garis BD dan FH, maka BD//FHBerdasarkan fakta di atas, yaitu:garis AH//BG dan BD//FH, maka sudahcukup menunjukkan bahwabidang AFHbidang BDG sejajar.


DAFTAR PUSTAKA
  1. Rasiman. 2000. Diktat Geometri. Semarang: IKIP Semarang
  2. Tampomas, H. 1999. Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Jakarta: ERLANGGA.





Lanjutan 2 Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

 B. 3. Kedudukan Titik terhadap Bidang.

Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut

Pandang titik A terhadap bidang EFGH. Tampak bahwa titik A terletak tidak pada bidang EFGH termasuk juga titik-titik yang lain yang tidak terletak pada bidang EFGH tersebut yaitu: titik B, C, dan D. Walaupun demikian pada kubus ABCD.EFGH tersebut terdapat beberapa titik yang terletak pada bidang EFGH, yaitu: titik E, F, G, G, dan P. Selanjutnya hubungan kedudukan suatu titik terhadap bidang dapat kita tuliskan sebagaimana dalam tabel berikut:

NoKedudukanKeterangan1.pada bidangtitik terletak pada bidang2.di luar bidangtitik berada di luar bidang

Sebagai tambahan penjelasan perhatikan pula gambar limas D.ABC berikut


Pada limas D.ABC di atas terlihat jelas bagwa titik D terletak di luar bidan ABC, tetapi titik A atau titik B ataupun titik C, semuanya terletak pada bidang ABC pada bangun limas D.ABC di atas.

Selanjutnya dalam penentuan jarak antar titik dengan suatu bidang adalah panjang ruas garis secara tegak lurus yang menghungkan titik tersebut dengan bidang yang dimaksud.

Sebagai ilustrasi adalah gambar berikut

Pada ilsutrasi gambar di atas jarak titik A ke bidang V adalah sepanjang ruas garis AB yang mana ruas garis AB tegak lurus dengan bidang V.

CONTOH SOAL.

7.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm.Tentukanlah jarak titik C ke bidang BDGJawab:Perhatikanlah ilustrasi.

Jika gambarnya dipartisi lagi di bagian segitiga GCG' maka akan tampak seperti ilustrasi berikut
.Jelasbahwa{GC=8cm(dari soal)BD=AC=82cm(diagonal sisi kubus)CG=12AC=42cmmakadengan rumus Pythagoras dapatpanjangGG,yaitu:(GG)2=(GC)2+CG2GG=(GC)2+CG2=(42)2+82=32+64=96=16.6=46cmPerhatikanGCGDengan perbandingan luasGCG=GCG12×CC×GG=12×CG×CG12×CC×(46)=12×(42)×8CC=12×(42)×812×(46)=83=83×33=833cm.

8.Diketahui rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cmTentukanlah jarak titik E ke bidang BDGJawab:Perhatikanlah ilustrasi berikut ini.
.Jelasbahwa{AB=BC=CG=QQ=6cm(dari soal)AC=EG=62cm(diagonal sisi kubus)EQ=QG=12(sisi)6=36cmPerhatikanEQGDengan perbandingan luasEQG=EQG12×QG×EE=12×QQ×EG12×(36)×EE=12×6×62EE=12×(62)×612×(36)=43cm









Lanjutan Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

 B. 2. Kedudukan Titik terhadap Garis.

NoKedudukanKeterangan1.pada garistitik berimpit pada garis2.di luar garistitik berada di luar garis.

Pada contoh kubus ABCD.EFGH di atas adalah :

  • terletak pada garis : Titik A terletak pada tiga garis yaitu ruas garis AB, AD, dan AE
  • terletak di luar garis : Titik A di luar rus garis BC, CD, BF, CG, DH, EF, ED, FG, dan GH.

Secara definisi jarak antara suatu titik dengan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut ke garis tersebut secara tegak lurus.

CONTOH SOAL.

4.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk.10 cm. Tentukanlah jarak titik F ke garis ACJawab:Perhatikanlah gambar kubus berikut.

.perhatikan pula gambar kedua berikut

.Tampakbahwa jakak titik F ke garis ACadalah sama dengan jarak titik F ke Pdenganpanjang rusuk 10cm,yaitu:Alternatif 1Denganmemandang segitiga BFP kitagunakanrumus Pythagoras, yaitu:PF2=PB2+BF2PF=PB2+BF2=(52)2+102ingatPB setengah diagonal sisi=50+100=150=25.6=56cmAlternatif 2Gunakan rumus luas segitiga, yaitu:LuasPBF=LuasPBF, atau[PBF]=[PBF]karenaPBF segitiga sama sisimaka AC=CF=FA=102dan ketigasudutnya masing-masing6012×AC×FP=12×AF×FC×sinAFC12×AC×FP=12×AC×AC×sinAFCFP=AC×sinAFC=102×sin60=102×(123)=56cmAlternatif 3Perhatikan gambar berikut.

.Tampakbahwa jakak titik F ke garis ACsepertijarak titik B ke Q=12a6makaPF=BQ=12a6PF=12(sisi)6=12(10)6=56cm.

5.Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjangrusuk alasnya 8 cm dan panjang rusuk tegaknya12 cm. Tentukanlah jarak B ke TDJawab:Perhatikanlah gambar limas beraturan T.ABCDberikut.

.perhatikan pula gambar kedua berikut


.Gunakan rumus luas segitiga, yaitu:LuasTBD=LuasTBD atau[TBD]=[TBD]karenaTBD segitiga sama kakimaka TB=TD=12cmdan BDadalah diagonal sisi alas=82cmdengan menghitung tinggiTBDdengan alas TD dengan tinggi ditarik dariB ke arak rusuk TD, maka akan ketemujarak titik B ke garis TD.Berikut perhitungannya12×TD×Tinggi=12×TP×DB12×TD×Tinggi=12×(TB2PB2)×DB12×12×Tinggi=12×(122(42)2)×82ingat bahwaPB=12BDTinggi=12×(122(42)2)×826=12×14432×826=112×426=16×7×426=47×223=837.2=8314cm.

6.Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjangrusuk alasnya52cmdan panjang rusuktegaknya 13 cm. Tentukanlah jarak A ke TCJawab:Perhatikanlah gambar limas beraturan T.ABCDberikut.
.Gunakan rumus luas segitiga, yaitu:[TAC]=[TAC]denganproses pengerjaaan sama semisalno.5 di atas, maka12×TC×Tinggi=12×TT×AC12×TC×Tinggi=12×(TA2AT2)×AC12×13×Tinggi=12×(132(102)2)×1013×Tinggi=12×10Tinggi=12013

Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

 A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang

Perhatikanlah gambar bangunan gedung MA Futuhiyah Jeketro (gambar diambil sekitar awal tahun 2020) berikut


Jika tiang-tiang yang ada pada gambar di atas diasumsikan sebagai garis lurus dan tembok atau lantai atau pun halaman madrasah diasumsikan sebagai luasan maka dari kedua hal tersebut kita dapat melihat kedudukan antara garis dengan garis atau antara garis dengan bidang yang akhirnya mendasari bagaimana hubungan sebuah titik dengan titik yang lain yang tidak berimpit.

Dan perhatikanlah pula gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini

Semakin jelas bahwa kedudukan 3 unsur utama yaitu titik, garis an bidang sangat dominan dalam pembahasan selanjutnya

Selanjutnya tempat kedudukan dalam hal ini akan terbagi dalam beberapa bagian dalam bangun ruang dimensi tiga yang lebih detil yaitu:

  • hubungan titik dengan titik
  • hubungan titik dengan garis 
  • hubungan titik dengan bidang 
  • hubungan garis dengan garis
  • hubungan garis dengan bidang, dan
  • hubungan bidang dengan bidang

B. Menghitung Jarak.

B.1 Kedudukan Suatu Titik Terhadap Titik Lain.

Jarak antara suatu titik dengan dengan suatu titik yang lain adalah panjang garis yang menghubungkan kedua titik itu

Selanjutnya untuk menentukan jarak antara titik beberapa pemecahan masalah dibutuihkan dalil Pythagoras.

Perhatikanlah ilustrasi gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini yang telah disertakan jaraknya berbantuan dalil Pythagoras

Pada ilustrasi gambar di atas sudah dimunculkan jarak antar titik di antaranya sebagai berikut

NoKedudukanBesar jarak1A ke BAB=AE=a2A ke CAC=AF=a23A ke GAG=CE=a34A ke QAQ=BQ=12a65A ke PAP=EP=32a6C ke RCR=BR=12a5.

B. 1. 1 Penamaan Bangun Ruang.

perhatikanlah gambar kubus di atas. Penamaan bangun ruang model kubus itu dinamakan dengan istilah kubus ABCD.EFGH atau  EFGHABCD. Dan penulisan ABCD posisi di depan atau di bawah menunjukkan posisi bidang alas dan EFGH dituliskan setelah ABCD atau EFGH posisi di atas menunjukkan bahwa bidang EFGH adalah bidang atas. Urutan penyebutan titik pada bangun ruang itupun harus mengikuti arah putar jarum jam atau sebaliknya, sebagi misal pada bidang alas kubus tidak boleh disebutkan bidang ABDC tetapi ditulis dengan arah putar berkebalikan arah putar jarum jam yaitu ABCD. Jika Bagian alas dituliskan menggunakan kebalikan arah putar jarum jam, maka bidang alasnyapun mengikuti dengan diikuti peletakaan tanda titik yang menunjukkan perbedaan posisi bidangnya, sehingga bangun ruang kubus biasa disebutkan dengan istilah ABCD.EFGH. Hal penamaan tersebut akan berlaku pula pada bangun ruang seperti: Balok, Prisma dan semacamnya. Khusus untuk Limas penamaan di awali dengan posisi puncaknya terlebih dahulu sebagai contoh limas D.ABC berikut

B. 1. 2  Proyeksi Titik.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Ilustrasi di atas adalah suasana ketika tengah hari dan posisi matahari tepat di atas sehingga posisi matahari tepat memebentuk sudut 90 terhadap permukaan bumi, maka bayangan benda akan tepat tegak lurus sebagaimana ilustrasi di atas. 

Ilustrasi di atas adalah sebagai gambaran proyeksi suatu benda pada benda lain. Proyeksi adalah bayangan yang terbentuk dari suatu bangun pada bidang datar dengan arah bayangan dengan bidang datar tersebut sebagai bidang proyeksi membentuk sudut 90 jika dilukiskan.  

a. Proyeksi titik pada garis.

b. Proyeksi titik pada bidang.

c. Proyeksi garis pada bidang.

B. 1. 3  Alat Bantu Hitung Bangun Ruang.

a. Luas bangun datar beraturan.

NoBangun DatarLuas1Segitigaalas×tinggi2ataus(sa)(sb)(sc)dengansadalah keliling segitigaataus=a+b+catau[ABC]=12absinC[ABC]=12acsinB[ABC]=12bcsinAdengan[ABC]=luas segitiga ABC2Persegisisi×sisiataudiagonal 1×diagonal 223Persegi panjangpanjang×lebar4Belah ketupatdiagonal 1×diagonal 225Layang-Layangdiagonal 1×diagonal 226Trapesiumjumlah sisi sejajar×tinggi27Lingkaranπ×jari-jari2atau14×π×diagonal2

b. Dalil Pythagoras untuk segitiga siku-siku.


Dalil/rumus Pythagorasa2+b2=c2atauc=a2+b2sinACB=accosACB=bctanACB=ab=sinACBcosACBcscACB=casecACB=cbcotACB=ba=cosACBsinACB

c. Identitas trigonometri pada segitiga siku-siku.

Dalil/rumus Pythagorasa2+b2=c2Perhatikan lagi gambar di poin c di atas1.Rumus saat dibagi denganc2a2c2+b2c2=c2c2a2c2+b2c2=1menjadi(ac)2+(bc)2=1sin2ACB+cos2ACB=12Rumus saat dibagi denganb2a2b2+b2b2=c2b2a2b2+1=c2b2menjadi(ab)2+1=(cb)2tan2ACB+1=sec2ACB3Rumus saat dibagi dengana2a2a2+b2a2=c2a21+b2a2=c2a2menjadi1+(ba)2=(ca)21+cot2ACB=csc2ACB

d. Tabel trigonometri nilai sudut istimewa.

α030456090180sinα01212212310cosα11231221201tanα013313TD0.

e. Aturan sinus pada segitiga sebarang.

BCsinA=ACsinB=ABsinC

f. Aturan cosinus pada segitiga sebarang.

Perhatikanlah gmabar pada poin e di atas, aturan cosinusnya adalah:

cosA=b2+c2a22bccosB=a2+c2a22accosC=a2+b2a22ab

CONTOH SOAL.

1.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm.Jika titik P, Q dan R berturut-turut terletak padapertengahan garis AB, BC, dan bidang ADHE,tentukanlah jarak antaraa.titik P ke titik Rb.titik Q ke titik RJawab:Perhatikanlah gambar kubus berikut.

.a.PR=...(gunakan rumus Pythagoraspada segitiga PAR, yaitu:)PR2=PA2+AR2dengan PA=12sisi=12.8=4cmAR=12.diagonal sisi kubus=12(82)=42sehingga panjang PR dapat dihitung, yaitu:PR2=PA2+AR2PR=PA2+AR2=42+(42)2=16+16.2=48=16.3=43cmbQR=.....perhatikanlah gambar berikut.

.QR=...(gunakan rumus Pythagoraspada segitiga qR'R, yaitu:)QR2=(QR')2+(R'R)2dengan QR'=sisikubus=8cmR'R=12.sisi kubus=12(8)=4cmsehingga panjang QR dapat dihitung, yaitu:QR2=(QR')2+(R'R)2QR=(QR')2+(R'R)2=82+(4)2=64+16=80=16.5=45cm.

2.Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan .panjang semua rusuknya adalah sama yaitu 8 cm. Jika titik P terletak pada pada rusuk tegak TB, tentukanlah jarak titik A ke titik PJawab:Perhatikanlah gambar kubus berikut.


Kita gambarkan posisi titik P yang berada di rusuk tegak TB, yaitu

Selanjutnya gambar kita partisi lagi supaya kita lebih fokus menjadi

Tampak bahwa dengan memandang sebuah segitiga ABP dalam segitiga besar ABT kita akan dengan mudah menentukan jarak titik A ke titik P dengan aturan cosinus.

Perhatikanlah gambar berikut

AturanCosinus:cosB=AB2+BP2AP22.AB.APcos60=82+42x22.8.412=64+16x26432=80x2x2=8032x=8032=48=16.3=43cm.
Jadi, jarak titik A ke titik P adalah sebesar  43   cm.

3.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusukacm.Jika titik P merupakan proyeksi titik C padabidang AFH, tentukanlah jarak dari titik A ke titik SJawab:Perhatikanlah gambar kubus berikut.

.Dikethui bahwa:proyeksi titik C pada bidang AFH adalah SKetika dilukiskan tampak sebagaimana ilustrasigambar di atas. Dan diketahui pula, masih terkaitpembahasan materi ini beberapa komponen ruasgaristelah diketahui panjangnya, yaitu:AP=PC=12a6cmAC=a2cmPQ=acmCS=...cm(belum diketahui, demikian pula)AS=...cm(juga belum diketahui).
.PandanglahAPCdenganmenghitung luasAPC,kita akanmenentukan jarak titik C ke S, yaitu:[APC]=[APC]alas×t2=alas×t2alas×t=alas×tmisalkantCSadalah jarak titik C ke SalasAP×tCS=alasAC×tPQtCS=alasAC×tPQalasAPtCS=AC×PQAP=a2×a12a6=2a3=2a3×33=2a33cmJelas juga bahwa:APCS,makaASCsiku-sikukarena semua ini efek proyeksi, akibatnyaberlakurumus Pythagoras, yaitu:AC2=AS2+SC2AS2=AC2SC2AS=AC2SC2=(a2)2(2a3)2=2a24a23=6a24a23=2a23=2a23×33=a36cm

DAFTAR PUSTAKA

  1. Sharma, S.N., dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
  2. Thohir, Ahmad. 2020. Geometri Ruang. http:https://ahmadthohir1089.wordpress.com/2020/07/25/geometri-ruang-xii-matematika-wajib/