Contoh Soal Numerasi Lanjutan 4 Persiapan Asesmen Nasional (AN)

CONTOH SOAL 14.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Jika sesorang ingin bepergian dari kota A ke kota C dengan melewati kota B dan jalur yang bisa dipilih tersedia sebagaimana pada gambar yaitu dari kota A ke kota B tersia 4 jalur berbeda dan dari kota B ke kota C tersedia 3 jalur berbeda, maka berapa jalur yang dapat ditempuh seseorang jika ia bermula dari kota A ke kota C dengan harus melewati kota B

SOLUSI SOAL 14.
Jalur yang dapat ditempuh adalah sebanyak 4 x 3 = 12 jalur dari kota A ke kota C dengan harus melewati kota B sebagaimana gambar pada soal di atas.

CONTOH SOAL 15.
Jika seseorang tadi berangkat dari kota A ke kota C dengan harus melewati kota C kemudian pulangnya dari C ke A dengan melewati kota B juga, berapa banyak jalur yang dapat dipilih jika antara berangkat dan pulang menggunakan jalur yang berbeda?

SOLUSI SOAL 15.
Dengan kondisi seperti pada soal karena saat berangkat semua jalur dapat dipilih semua dari daftar pilihan yang mungkin atau yang ada dan jika ketika pulang disyaratkan harus dengan memilih jalur yang berbeda dari saat berangkat, maka ketika pulang dari kota C akan mau ke B, maka jalur akan berkurang satu (ingat saat berangkat salah satu jalur ini sudah dipilih). Demikian pula saat sampai di B kemudian ingin menuju ke A, maka ia hanya punya 3 pilihan (karena saat berangkat ia punya 4 pilihan dan saat itu ia sudah mengambil satu jalur dari 4 jaur yang ada). Sehingga total jalur yang dapat dipilih ada sebanyak : 4 x 3 x (3-1) x (4-1) = 72 jalur yang berbeda.



Contoh Soal Numerasi Lanjutan 3 Persiapan Asesmen Nasional (AN)

 CONTOH SOAL 13.

Diberikan dua kertas karton A dan B yang sama ukurannya diatur dengan posisi berbeda berikut

Jika lebarnya (bagian seperti tinggi) baik kertas A maupun kertas B bagian tepinya direkatkan jadilah ia sebuah tabung yang tentunya tinggi tabung dari kertas A dan B akan menyesuaikan lebar kertasnya. Tentukanlah volume terbesar dari kedua tabung tersebut dan berilah alasannya

SOLUSI SOAL 13.

Perhatikanlah ilustrasi dari dua kertas yang sama ukurannya di atas yang dikondisikan posisinya berbeda


Lingkaran  di bawah masing-masing hanya menunjukkan bahwa setelah masing-masing kertas bagian lebar tepinya saling direkatkan akan berupa lingkaran karena hasilnya adalah berupa tabung (tentunya kedua tabungnya tanpa alas dan atap)
BagianLingkaran ALingkaran Bkelilingalas3514Jari-Jari2πrA=35rA=352π2πrB=14rB=142πLuasL=πrA2=π(352π)2=12254πL=πrB2=π(142π)2=1964π.

Jelas bahwa pengaruh utama terletak pada panjang jari-jarinya. Karena dalam penghitungan volume jari-jarinya harus dikuadratkan, maka hasil yang didapatkan akan sangat berpengaruh. Dan karena jari-jari didasarkan berasal dari keliling lingkaran (panjang kertas), maka kertas dengan keliling alas terbesar akan memiliki volume yang terbesar pula.


Contoh Soal Numerasi Lanjutan 2 Persiapan Asesmen Nasional (AN)

Materi Pendukung

A. Faktor Pembilang

Misalkan kita ingin mendaftar bilangan keliapatan genap positif  m yang kurang dari atau sama dengan n

Jika n kelipatan dari m, maka akan dapat dituliskan n=k.m. Karena n=k.m selanjutnya  k=nm dan oleh karenanya dapat dituliskan pula m,2m,,km=n.

Akan tetapi, jika n bukan merupakan kelipatan dari m, maka akan terdapat suatu bilangan bulat k dengan  km<n<(k+1)m, dengan  k adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari  nm.

B. Fungsi Bilangan Dasar/Fungsi Tangga

Untuk suatu bilangan asli  x, fungsi dasar  x dinotasikan dengan  x adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan  x.

Contoh:

1,7=1,5=2,dan4=4.

Selanjutnya, untuk menuliskan banyaknya bilangan bulat positif  m yang kurang dari atau sama dengan bilangan bulat n  adalah  nm.

Contoh:

Untuk menuliskan banyaknya bilangan kelipatan 3 yang yang terletak di antara bilangan 5 dan 10 dapat ditentukan dengan 

10353=31=2bukan dituliskan dengan1053=53=1.

Prinsip Inklusi Eksklusi

Hal yang berkaitan dengan jumlah hitungan dan tidaknya.

Jika diberikan N objek, sebagai misal

  • N(α)  banyaknya objek dengan sifat  α
  • N(β)  banyaknya objek dengan sifat  β
  • N(γ)  banyaknya objek dengan sifat  γ
  • dan seterusnya

dan misal

  • N(α,β)  banyaknya objek dengan sifat  α  dan  β
  • N(α,γ)  banyaknya objek dengan sifat  α  dan  γ
  • N(β,γ)  banyaknya objek dengan sifat  β  dan  γ
  • dan seterusnya

serta misalkan juga 

  • N(α,β,γ)  banyaknya objek dengan sifat  αβ serta γ

Maka gabungan objek N dengan sifat αβ serta γ  adalah:

|N(α)N(β)N(γ)|=|N(α)+N(β)+N(γ)+||N(α,β)+N(α,γ)+N(β,γ)+|+|N(α,β,γ)+|.

CONTOH SOAL 11.

Perhatikanlah tabel berikut

Ada berapa banyak bilangan 1 - 500 yang habis dibagi 2 atau 3?

SOLUSI SOAL 11.
S=himpunan bilangan antara1500misalkanA=himpunan bilangan habis dibagi 2B=himpunan bilangan habis dibagi 3AB=himpunan bilangan habis dibagi 2 atau 3AB=himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3maka|AB|=|A|+|B||AB|=5002+50035006=250+16683=333.

CONTOH SOAL 12.
Perhatikan pula tabel berikut
Ada berapa banyak pula bilangan 1 - 500 yang habis dibagi 2 atau 3 atau 5?

SOLUSI SOAL 12.

S=himpunan bilangan antara1500misalkanA=himpunan bilangan habis dibagi 2B=himpunan bilangan habis dibagi 3C=himpunan bilangan habis dibagi 5ABC=himpunan bilangan habis dibagi 2, 3, atau 5AB=himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3AC=himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 5BC=himpunan bilangan habis dibagi 3 dan 5ABC=himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3 serta 5maka|ABC|=|A|+|B|+|C||AB||AC||BC|+|ABC|=5002+5003+500550065001050015+50030=250+166+100835033+16=366.



Contoh Soal Numerasi Lanjutan Persiapan Asesmen Nasional (AN)

CONTOH SOAL 6.
Perhatikan ilustrasi gambar berikut
Sebuah titik (x,y) diambil secara acak dari dalam persegi panjang yang terbentuk dari titik (0,0), (4,0), (4,1) dan (1,0). Probabilitas x<y adalah ... .
A.18D.12B.14C.38E.34.

SOLUSI SOAL 6.
Jika gambar diperjelas dengan kertas berpetak akan tampak dengan jelas luasnya, yaitu
Tampak Jelas bahwa luas daerah yang dibatasi oleh  f(x)=y=x dengan x<y adalah 12.
Perhatikan ilustrasi berikut
Dan jelas juga bahwa total luas persegi pajang di atas adalah 4 satuan luas serta luas daerah. Sehingga probabilitas bahwa titik (x,y) yang dipilih secara acak pada persegi panjang di atas dengan x<y adalah:
Probabilitas=(12)4=18.
Jadi, opsi jawaban di atas adalah A.

CONTOH SOAL 7.
Perhatikan ilustrasi gambar berikut









Sebuah titik P akan dipilih secara acak dari bagian dalam sebuah segilima dengan koordinat titik sudut  A(0,2), B(4,0)C(2π+1,1), C(2π+1,4), dan  E(0,4). Probabilitas bahwa  APB  sebuah sudut tumpul adalah ... .
A.15D.38B.14C.516E.12.

SOLUSI SOAL 7.
Sebelumnya perlu dingat bahwa sudut tumpul adalah sudut yang lebih besar dari  90. Selanjutnya perhatikan gambar berikut
Gambar di atas menunjukkan sebuah titik P dengan  APB=90. Dalam hal ini titik P terletak pada keliling dari setengah lingkaran dengan pusat lingkaran (2,1) terletak pada ruas garis AB dengan jari-jari
r=22+12=5. Dantitik yang berada di luar setengah lingkaran tetapi masih dalam segilima ABCDE tersebut akan memiliki  APB<90 dan titik-tik yang berada di dalam setengah lingkrang ini akan memiliki sudut  APB>90. Sehingga untuk menentukan probabilitas APB tumpul adalah sama saja kita menentukan probabilitas untuk APB>90, yaitu:
Probabilitasnya=Luas setengah lingkaranLuas segilimaABCDE=12π×(5)2(2π+1)×4(12×2×4)=12(5π)8π=516.

CONTOH SOAL 8.
Gambar 0, 1, 2, dan 3 berturut-turut terdiri atas 1, 5, 13, dan 25 persegi satuan sebagaimana ilustrasi gambar berikut
Jika pola di atas berlanjut, maka persegi satuan pada gambar ke-100 adalah ... .
A.10.401D.39.801B.19.801C.20.201E.40.801.

SOLUSI SOAL 8.
Untuk memudahkan penghitungan persegi kecil, ada baiknya kita susun menjadi susunan persegi agak besar dengan melengkapkan persegi-persegi kecil dikeempat pojoknya sebagaimana ilustrasi berikut
Setelah ditambah kotak warna pink, maka perhitungan jumlah kotak warna hijau pada gambar ke-n akan semakin mudah, yaitu:
mulai dari gambar pertama atau suku ke-0, maka 
Un=(2n+1)24.n(n+1)2=4n2+4n+12n22n=2n2+2n+1maka suku ke-100 (gambar ke-100)U100=2.1002+2.100+1=20.201.

CONTOH SOAL 9.
Pada persegi panjang ABCD diketahui AD = 1, Titik P berada di ruas garis AB. Ruas garis DB dan DP membagi tiga sudut ADC, maka keliling BDP adalah ... .
A.3+33D.3+352B.2+433C.2+22E.2+533.

SOLUSI SOAL 9.
Karena DBdanDP membagi sudut ADC menjadi tiga bagian yang sama besar, maka 
CBD=BDP=PDA=30,
maka
AP=ADtanPAD=1.tan30=133DP=ADcos30=1123=23=233AB=ADBDA=1.tan60=1.3=3DB=DA2+AB2=1+(3)2=1+3=4=2.
Sehingga keliling  
BDP=BD+DP+PB=2+233+(3133)=2+433.
Jadi, jawaban yang tepat adalah opsi B.

CONTOH SOAL 10.
Manakah di antara kerucut berikut ini yang terbentuk dari sektor lingkaran bersudut 252 dan jari-jari 10 dengan cara menyambungkan kedua sisinya yang lurus?
A.  
B. 
C. 

 
D. 

E. 


SOLUSI SOAL 10.
Keliling lingkaran yang bagiannya terpotong adalah  2π×10=20π dan bagian dari luas lingkaran yang akan menjadi selimut kerucut adalah:
252360×20π=14π. Perhatikan gambar berikut
Sehingga keliling lingkaran sebagai alas kerucut adalah 14π
Dari fakta ini, maka lingkaran sebagai alas kerucut akan memiliki jari-jari:
Lalas=2πrr=Lalas2π=14π2π=7
Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah gambar opsi C.


DAFTAR PUSTAKA
  1. Faires, J. Douglas. 2006. Langkah Pertama Menuju Olimpiade Matematika Menggunakan Kompetisi Matematika Amerika, ed. ke-3. Terjemahan: Tim Penerjemah. Pakar Raya, Bandung. 307 hal.








Mencoba Lebih Dekat dengan Numerasi AKM untuk Siswa Setingkat SMA/MA atau Sederajat pada Asesmen Nasional (AN)

 A. Apa itu AKM

AKM adalah singkatan dari Asesmen Kompetensi Minimum merupakan penilaian kompetensi mendasar yang diperlukan oleh semua murid untuk mampu mengembangkan kapasitas diri dan berpartisipasi positif  pada masyarakat.

Ada 2 macam kompetensi mendasar yang akan diukur pada AKM ini, yaitu: literasi membaca dan literasi matematika (numerasi). Baik literasi membaca maupun literasi matematika/numerasi, kompetensi mendasar yang akan dinilai mencakup

  • keterampilan berpikir logis-sistematis
  • keterampilan bernalar dengan konsep yang ada
  • keterampilan mengolah data dan fakta dari informasi yang ada.
AKM ini dimaksudkan untuk mengukur kompetensi secara mendalam, tidak sekedar penguasaan konten 

B. Numerasi

Numerasi adalah kemampuan berpikir menggunakan konsep, prosedur, fakta, dan alat matematika untuk menyelesaikan masalah sehari-hari pada berbagai jenis konteks yang relevan untuk individu sebagai warga negara Indonesia dan dunia. Selanjutnya yang masuk kategori numerasi di sini adalah: bilangan, geometri dan pengukuran, aljabar, data, ketidakpastian.

C. Karakter Soal Numerasi

Sebagaimana telah diketahui di atas, dalam penyelesaian permasalahan (problem solving) dari soal numerasi dibutuhkan kecermatan dalam menemukan konsep, prosedur serta fakta dari permasalahan kontektual yang diberikan sehingga proses penyelesesaian dengan konsep dan prosedur akan lebih efektif tentunya dengan ditunjang tidak mudah apriori ketika menemukan permasalah matematis.

D. Perbedaan Soal UN dan AKM

AspekUNAKMFormatsoalPG dan isiansingkatPG, PG kompleks,menjodohkan, isiansingkat, dan uraian


AspekUNAKMTeksuntukstimulussoalPanjang 2-3 paragraf(100kata),sedikitilustrasi. Hanya 1teks untukmenjawab satu soalPanjang bergradasisesuai kelas. Di kelas11 panjang tekssampai 700 kata.Teks disertai ilustrasidan infografis,terdapat soal-soalyang memerlukanpemahaman multiteksFormatjawabanSemua jawabantunggalDisediakan soaldengan jawabanterbuka.

CONTOH SOAL NUMERASI.

Berikut akan diberiakan 2 contoh soal beserta cara penyelesaiannya 
sumber soal diperoleh dari tangkapan layar kumpulan soal saat simulasi untuk siswa setingkat SMA/MA

CONTOH SOAL 1.
SOLUSI SOAL 1.
Jika dari ilustrasi gambar pada soal kita ilustrasikan dengan gambar secara geometri akan membantu kita dalam menentukan langkah penyelesaian selanjutnya, berikut ilustrasi geometrisnya
Dari gambar di atas, jika kita lengkapi fakta-fakta, maka ilustrasi geometris di atas dapat diperjelas dengan bentuk sebagaimana berikut
Setelah kita tandai kedua sisi pengapit siku-sikunya adalah Y  dan  ( X + 2460) m, maka
Y=Y2460×tan60=(x+2460)×tan302460×(3)=(x+2460)×(133)2460×3=x+24607380=x+2460x=73802460=4920.
Maka tinggi letusan awan panas gunung tersebut adalah 4920 atau pilihan jawaban yang sesuai adalah opsi E.

CONTOH SOAL 2.
SOLUSI SOAL 2.
Ilustrasi berupa susunan lingkaran seperti terlihat pada soal di atas jika di modelkan secara matematis adalah sebagaimana susunan bilangan berikut
Tampak bahwa susunan bilangan di atas berpola meningkat dengan selisih tetap pada tingkat ke-2, maka kita dapat menggunakan barisan aritmetika tingkat dua, yaitu dengan rumus suku ke-n adalah  Un=an2+bn+c.
Diketahu bahwa:U1=3U2=6U3=10U4=15.
Selanjutnya kita uraikanU1=a.12+b.1+c=a+b+c=3U2=a.22+b.2+c=4a+2b+c=6U3=a.32+b.3+c=9a+3b+c=10U4=a.42+b.4+c=16a+4b+c=15.
Selanjutnya kita gunakan teknik eliminasi karena bentuk persamaan di atas berbentuk persamaan linier tiga variabel, a, b, dan c, yaitu:
U2=4a+2b+c=6U1=a+b+c=3U2U1=3a+b=3.........(1).
dan
U3=9a+3b+c=10U2=4a+2b+c=6U3U2=5a+b=4.........(2).
sehingga
(2)5a+b=4(1)3a+b=3(2)(1)2a=1makaa=12.........(3).
(2)5a+b=4|×2|10a+2b=8(3)2a=1|×5|10a=52b=3b=32.........(4).
Selanjutnya dengan metode substitusi dari persamaan (3) dan (4), maka
a+b+c=3(12)+(32)+c=31+32+c=32+c=3c=32c=1.
Dari persamaan-persamaan di atas didapatUn=an2+bn+c=12n2+32n+1Sehingga suku ke-7, cukup denganU7,yaituU7=12(7)2+32(7)+1=492+212+1=702+1=35+1=36.
Jadi, jumlah bola pada susunan ke-7 adalah 36 buah.

CONTOH SOAL 3.
Perhatikalah dua ilustrasi gambar berikut
Gambar (1)


Gambar (2)
.Tentukanlaha.jalur terpendek dari titik A ke Bpada gambar (1)b.jalur terpendek dari titik P ke Qpada gambar (2)SOLUSI SOAL 3a.Perhatikanlah bahwa langkah dari titik Ake titik B harus terdiri dari 8 langkah, yaitu3 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atasKarena yang diinginkan lintasan terpendekdan tidak ada kekhususn harus dimulai darimana, maka banyaknya langkah berbdedadan terpendek adalah:(83)atau(85).Misal kita hitung salahsatunya saja:(83)=8!3!(85)!=8!3!×5!=8.7.6.5!6.5!=56
.b.Untuk poin b, perhatikanlah ilustrasigambar berikut(untuk memudahkanperhitungan). Tempatkan titik-titikbantu A, B, C, D, E, dan F sepertipada gambar berikut

..Perhatikanlah untuk setiap lintasanterpendek dari titik P ke titik Qdapat dipastikan akan melewatititik A, B, C, dan D. Sehingga darikeempat titik itulah akan diperolehrute PAQ, PBQ, PCQ, dan PDQ.Sehingga banyak rute terpendek darititik P ke Q yang selanjutnya kitasimbolkan dengan#PQadalah:#PQ=#PAQ+#PBQ+#PCQ+#PDQ=(40)(50)+(43)(51)+#PECQ+#PFCQ+#PFDQ=1.1+4.5+(32)(30)(32)+(31)(31)(32)+(31)(30)(30)=1+20+3.1.3+3.3.3+3.1.1=1+20+9+27+3=60.

CONTOH SOAL 4.
Perhatikanlah gambar berikut
Tentukanlah banyak segitiga yang dapat dibuat dari melalui 6 titik tersebut?

SOLUSI SOAL 4.
Karena setiap segitiga dapat dibuat dari 3 buah titik yang tidak segaris/berbeda dan total titik yang tersedia adalah 6 buah, maka untuk mempermudah menentukan banyak segitiga yang terbuat dapat digunakan kombinasi, yaitu:
Banyaksegitiga=(63)=6!3!(63)!=6!3!×3!=6×5×4×3!3×2×1×3!=20.

CONTOH SOAL 5.
Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH berikut
Diketahui bahwa kubus tersebut di atas memiliki rusuk 1 cm tanpa tanpa alas dan tutup. Jika seekor semut berjalan dari titik A ke titik E melalui seluruh sisi kubus, maka tentukan panjang lintasan terpendek yang dapat ditempuh semut tersebut.

SOLUSI SOAL 5.
Jika gambar kubus ABCD.EFGH di atas dibuat jaring-jaringnya, maka akan tampak sebagai berikut
dengan fakta bahwa bentuk jaring-jaring kubus berbentuk dua dimensi dengan jenis persegi panjang serta memiliki ukuran 4 cm x 1 cm, maka dengan mudah kita tarik sebuah garis yang menghubungkan titik A ke titik E', yaitu berupa segitiga siku-siku di A'. Sehingga panjang garis ini dapat dengan mudah kita tentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu:
AE=(AA)2+(AE)2=42+12=16+1=17.
Jadi, lintasan terpendek yang dapat dilalui semut dari titik A ke titik E melalui seluruh sisi kubus adalah sepanjang  17  cm.




DAFTAR PUSTAKA
  1. Azis, A., Budi, D. S. 2013. Kupas Tuntas Olimpiade Matematika Tingkat SD. Yogyakarta: ANDI.
  2. Pusat Asesmen dan Pembelajaran Balitbang dan Perbukuan. 2021. Kebijakan Asesmen Nasional 2021. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
  3. Pusat Asesmen dan Pembelajaran: Asesmen Kompetensi Minimum. http://pusmenjar.kemdikbud.go.id/AKM
  4. Susyanto, N. 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA.
  5. Thohir, Ahmad, 2013. Materi Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika MA/SMA. Grobogan: MA FUTUHIYAH.

Lanjutan 4 Persamaan Trigonometri

B. 2 Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat

Persamaan trigonometri terkadang juga terdapat dalam bentuk kuadrat, sehingga penyelesaiannya menyesuaikan dengan persamaan kuadrat tersebut yaitu proses faktorisasi, atau melengkapkan kudrat sempurna,dan atau dengan rumus ABC.

CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah himpunan penyelesaian darisinx2sin2x=0untuk0x360Jawab:sinx2sin2x=0(lalu difaktorkan)sinx(12sinx)=0sinx=0atau12sinx=0selanjutnyasinx=0sinx=sin0x=0+k.360ataux=180+k.360saatk=0x=0dan180saatk=1x=360dan540sinx=12sinx=sin30x=30+k.360ataux=(18030)+k.360=150+k.360saatk=0x=30dan150saatk=1x=390dan510HP={0,30,150,180,360}

2.Tentukanlah himpunan penyelesaian dari2tan2θsecθ+1=0untuk0θ360Jawab:tan2θsecθ+1=02(sec2θ1)secθ+1=02sec2θsecθ1=0(lalu difaktorkan)(2secθ+1)(secθ1)=0(2secθ+1)=0atau(secθ1)=0secθ=12atausecθ=11cosθ=12atau1cosθ=1cosθ=2(tidak mungkin)ataucosθ=1selanjutnyacosθ=1cosθ=cos0θ=±0+k.360θ=k.360k=0x=0k=1x=360k=2x=720tidak memenuhiHP={0,360}.

3.Tentukanlah himpunan penyelesaian dari5cos2β+3cosβ=2untuk0β360Jawab:5cos2β+3cosβ=25cos2β+3cosβ2=0(lalu difaktorkan)(5cosβ2)(cosβ+1)=0(5cosβ2)=0atau(cosβ+1)=05cosβ2=0ataucosβ+1=0cosβ=25ataucosβ=1cosβ=cos66,4ataucosβ=180selanjutnyaβ=±66,4+k.360k=0β=66,4atauβ=66,4(tm)k=1β=426,4(tm)atauβ=293,6k=2βtidak ada yang memenuhiβ=±180+k.360k=0β=180atauβ=180(tm)k=1β=540(tm)atauβ=180k=2βtidak ada yang memenuhiHP={66,4,180,293,6}.

4.Tentukanlah himpunan penyelesaian dari2sin2γ+3cosγ=3untuk0γ360Jawab:2sin2γ+3cosγ=32(1cos2γ)+3cosγ3=022cos2γ+3cosγ3=02cos2γ+3cosγ1=02cos2γ3cosγ+1=0(lalu difaktorkan)(2cosγ1)(cosγ1)=0(2cosγ1)=0 atau(cosγ1)=0cosγ=12ataucosγ=1cosγ=cos60ataucosγ=0selanjutnyaγ=±60+k.360k=0γ=60atauγ=60(tm)k=1γ=420(tm)atauγ=300k=2γtidak ada yang memenuhiγ=±0+k.360γ=0+k.360k=0γ=0k=1γ=360k=2γtidak adayang memenuhiHP={0,60,300,360}

B. 3 Persamaan Trigonometri Bentuk a sin x + b cos x 

Selain bentuk sederhana seperti yang telah diuraikan pada materi sebelumnya (lihat di sini), terdapat persamaan trigonometri bentuk  asinx+bcosx. Bentuk asinx+bcosx ini dalam penyelesaiannya diubah ke dalam bentuk  kcos(xα). Adapun untuk menemukan pembuktian dari kesamaan rumus ini, Anda harus mempelajari materi rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.

asinx+bcosx=kcos(xθ)dengan:k=a2+b2tanθ=ab(a>0danb>0,makaθdi kuadran I)(a>0danb<0,makaθdi kuadran II)(a<0danb<0,makaθdi kuadran III)(a<0danb>0,makaθdi kuadran IV)denganapada sumbu Y danbpada sumbu X

Dan ingat juga tabel nilai tangenberikutθ030456090tanθ013313TDθ120135150180tanθ311330.

θ180210225240270tanθ013313TDθ300315345360tanθ311330.

Untuk lebih lanjut tentang bukti dan lain sebagainya akan dipelajari di subbab berikutnya setelah materi persamaan trigonometri ini.

CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah himpunan penyelesaian darisinx+3cosx=2untuk0θ360Jawab:sinx+3cosx=2(ingat:a=1,b=3)sinx+3cosx=kcos(xθ)=2{k=12+(3)2=4=2tanθ=ab=13=133θ=30sudutθdi kuadran I, karenaa,b>0selanjutnyasinx+3cosx=kcos(xθ)=22cos(x30)=2cos(x30)=1cos(x30)=cos0x30=±0+k.360x=30±0+k.360x=30+k.360k=0x=30(memenuhi)k=1x=390(tm)HP={30}.

2.Tentukanlah himpunan penyelesaian darisinx3cosx=2untuk0θ360Jawab:sinx3cosx=2(ingat:a=1,b=3)sinx3cosx=kcos(xθ)=2{k=12+(3)2=4=2tanθ=ab=13=133θ=150sudutθdi kuadran II, karenaa>0,b<0selanjutnyasinx3cosx=kcos(xθ)=22cos(x150)=2cos(x150)=22=122cos(x150)=cos45x150=±45+k.360x=150±45+k.360k=0x=150+45=195(mm)ataux=15045=105(mm)k=1x=150±45+360(tm)HP={105,195}.

3.Tentukanlah himpunan penyelesaian dari6sinx+2cosx=2untuk0θ360Jawab:6sinx+2cosx=2(ingat:a=6,b=2)6sinx+2cosx=kcos(xθ)=2{k=(6)2+(2)2=8=22tanθ=ab=62=3θ=60sudutθdi kuadran I, karenaa>0,b>0selanjutnya6sinx+2cosx=kcos(xθ)=222cos(x60)=2cos(x60)=222=12=122cos(x60)=cos45x60=±45+k.360x=60±45+k.360k=0x=60+45=105(mm)ataux=6045=15(mm)k=1x=60±45+360(tm)HP={15,105}.

4.Tentukanlah himpunan penyelesaian daricosx3sinx=1untuk0θ360Jawab:3sinx+cosx=1(ingat:a=3,b=1)3sinx+cosx=kcos(xθ)=1{k=(3)2+(1)2=4=2tanθ=ab=31=3θ=300sudutθdi kuadran IV, karenaa<0,b>0selanjutnya3sinx+cosx=kcos(xθ)=12cos(x300)=1cos(x300)=12cos(x300)=cos60x300=±60+k.360x=300±60+k.360k=0x=300+60=360=0(mm)ataux=30060=240(mm)k=1x=300±60+360(tm)HP={0,240,360}


DAFTAR PUSTAKA

  1. Kanginan, M., Nurdiasyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
  2. Noormandiri, B. K. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
  3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
  4. Sukino. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Lanjutan Materi : Persamaan Eksponen

A. Persamaan Eksponen

Berikut bentuk persamaan eksponen yang sering digunakan terangkum dalam tabel berikut beserta cara penyelesaiannya

NoPersamaan EksponenPenyelesaian1af(x)=1,a>0,a1f(x)=02af(x)=ap,a>0,a1f(x)=p3af(x)=ag(x),a>0,a1f(x)=g(x)4af(x)=bf(x),a>0,a1f(x)=0danb>0,b15h(x)f(x)=h(x)g(x)(1)f(x)=g(x)(2)h(x)=1(3)h(x)=0dengan syaratf(x)>0dang(x)>0(4)h(x)=1dengan syaratf(x)dang(x)keduanyagenap ataukeduanyaganjilataudapat jugaditunjukkan(1)f(x)=(1)g(x)6g(x)f(x)=h(x)f(x)(1)g(x)=h(x)(2)f(x)=0dengan syaratg(x)0danh(x)07f(x)g(x)=1(1)f(x)=1(2)f(x)=1dengan syaratg(x)genap(3)g(x)=0dengan syaratf(x)08A(af(x))2+B(af(x))+C=0ubahaf(x)=ysehinggaAy2+By+C=0selanjutnyasubstitusikannilaiykepersamaanaf(x)=y.

CONTOH SOAL.

1.Tentukan himpunan penyelesaian daria.22x2021=1b.(12)2x2021=1c.22x2021=1Jawab:abc22x2021=122x2021=202x2021=02x=2021x=20212(12)2x2021=1(12)2x2021=(12)02x2021=02x=2021x=2021222x2021=122x2021=202x2021=02x=2021x=20212HP={20212}HP={20212}HP={20212}.

2.Tentukan himpunan penyelesaian daria.22x2021=128b.(12)2x2021=128c.22x2021=128Jawab:abc22x2021=12822x2021=272x2021=72x=7+2021x=20282=1014(12)2x2021=128(12)2x2021=(12)72x2021=72x=20217x=20142=100722x2021=12822x2021=22562x2021=2562x=2021+256x=22772HP={1014}HP={1007}HP={22772}.

3.(SPMB 04)Nilaixyang memenuhi2732x1=810,125adalah... .Jawab:2732x1=810,12533(2x1)=34(18)32x+1=122x+4=12x+2=14x=214x=214x=214.

4.(UMPTN 00)Bentuk(12433)3x=(33x2)2193Jikax0memenuhi persamaan, maka nilai134x0=....Jawab:(12433)3x=(33x2)219335x=32(1(x2)).3235x=2(1(x2))+(23),dikali315x=6(3x)+(2)15x=186x26x15x=169x=16x=169x0=169,selanjutnya134x0=134×(169)=1+43=1+113=213.

5.Jumlah akar-akar persamaan5x+1+52x30=0adalah....Jawab:5x+1+52x30=0(5x).51+525x30=05(5x)2+2530(5x)=0Persamaan kuadratdalam5x,maka5(5x)230(5x)+25=0{a=5b=30c=25(5x1).(5x2)=ca5x1+x2=255=55x1+x2=51x1+x2=1.

6.Jumlah akar-akar persamaan2023x27x+7=2024x27x+7adalah....Jawab:2023x27x+7=2024x27x+7Karena basistidak sama,maka haruslah pangkatnya=0,x27x+7=0dan jumlahakar-akarnya adalah:x1+x2=ba,dari persamaanx27x+7=0{a=1b=7c=7makax1+x2=ba=71=7.

7.Tentukan himpunan penyelesaian dari(x2)x27x+6=1adalah....Jawab:Ingat bentukf(x)g(x)=1{f(x)=x2g(x)=x27x+5f(x)=1f(x)=1g(x)=0Syaratg(x)genapSyaratf(x)0x2=1x=3x2=1x=21=1x27x+6=0(x1)(x6)x=1ataux=6Syaratnyaxuntukx=1g(1)=127+6=0(memenuhi)f(1)=12=10f(6)=62=40Catatan:0paritasnya genapHP={1,3,6}.

8.Tentukan himpunan penyelesaian dari(x29x+19)2x+3=(x29x+19)x1adalah....Jawab:Ingat bentukh(x)f(x)=h(x)g(x){h(x)=x29x+19f(x)=2x+3g(x)=x1Syarat-syaratnyaf(x)=g(x)2x+3=x1x=4h(x)=1x29x+19=1x29x+18=0(x3)(x6)=0x=3ataux=6h(x)=0x29x+19=0x1,2=9±52gunakan rumus ABCSetelah diuji keduanyapositif, makax=9±52merupakanpenyelesaianlanjutannyah(x)=1x29x+19=1x29x+20=0(x4)(x5)=0x=4ataux=5Uji nilanyauntukx=4f(4)=2(4)+3ganjilg(4)=41ganjilkarenaf(4),g(4)keduanya ganjil, makax=4adalahpenyelesaianuntukx=5f(5)=2(5)+3ganjilg(5)=51genaplkarenaf(4)g(4),makax=5adalahbukan penyelesaianHP={4,3,4,6,952,9+52}.


DAFTAR PUSTAKA

  1. Kurnia, N, dkk. 2016. Jelajah Matematika I SMA Kelas X Peminatan MIPA. Jakarta: YUDHISTIRA.


Lanjutan 4 Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

C. Menentukan Besar dan Nilai Sudut dalam Dimensi Tiga

C. 1 Sudut antara Garis dengan Bidang

Secara definisi jika garis g menembus bidang α secara tidak tegak lurus, maka sudut antara garis g dan bidang α adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis g dan proyeksi garis g pada bidang α.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Pada bidang di atas 
(g,α)=(g,g)=θθ=sudut antara garisgdan bidangα.θ=huruf yunani kuno dan bacaTheta.

Selanjutnya beberapa singkatan akan digunakan dalam pembicaraan geometri dimensi tiga, yaitu:
Titik(a,b)=titik potong garisadan garisbTitik(g,α)=titik tembus garisgterhadapbidangαgaris(α,β)=garis potong antara bidangαdanbidangβBidang(ABC)=bidang melalui titik A, B, CBidang(g,A)=bidang yang dilalui garisgdantitik ABidang(g,h)=bidang melalui garisgdanh.

C. 2 Sudut antara Bidang dengan Bidang

Sudut antara bidang dua yang berpotongan adalah sudut yang terbentuk oleh dua garis pada masing-masing bidang tersebut di mana setiap garis itu tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut di satu titik.
garis(α,β)=garis potong antara bidangαdanbidangβGaris TQpada bidangαdenganTQgaris(α,β)dan garisSTpada bidangβjugaSTgaris(α,β)QSTadalahsudut tumpuanBidangγadalahbidang tumpuan(bidang yang memuat sudut tumpuan).
Sudut tumpuan sebuah sudut bidang dua menunjukkan besar kecilnya sudut bidang dua itu dan sudut bidang dua itu lancip, siku-siku, atau tumpul jika  sudut tumpuannya lancip, siku-siku, atau tumpul.

CONTOH SOAL.

14.Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk12cm,titik M adalah perpotongan diagonalbidang alas. Tentukanlah besar sudut antaragaris MH dan bidang ADHEJawab:Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut.

.LihatHMM,denganHMM=90denganM=proyeksi titik M ke bidang ADHESudut antara garis MH dan bidang ADHEadalahMHM(bidang ADHE di wakili oleh garis HM)SehinggasinMHM=MMHM=12(sisi)12(sisi)6=16=16×66=166MHM=arcsin(166)24,1Jadi,MHM24,1.

15.Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk10cm.Tentukanlah besar sudut yang terbentukantara garis BH dan bidang ADHEJawab:Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut.

.LihatHBA,denganHAB=90denganA=proyeksi titik B ke bidang ADHESudut antara garis BH dan bidang ADHEadalahAHB(bidang ADHE di wakili oleh garis AH)SehinggatanAHB=ABHA=sisidiagonal sisi=(sisi)(sisi)2=12×22=122AHB=arctan(122)35,26Jadi,AHB35,26.


DAFTAR PUSTAKA
  1. Rasiman. 2000. Diktat Geometri. Semarang: IKIP Semarang
  2. Tampomas, H. 1999. Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Jakarta: ERLANGGA.




Lanjutan 3 Persamaan Trigonometri

 B. 1 Persamaan Trigonometri Sederhana

Dalam penyelesaian persamaan trigonometri sederhana dapat digunakan salah satu rumus berikut, yaitu:

(1).sinx=sinα{x=α+k.360ataux=(180α)+k.360(2).cosx=cosα{x=α+k.360ataux=α+k.360(3).tanx=tanαx=α+k.180.

Jika sudutnya dinyatakan dalam phi radian (πdibaca:phi), maka persamaan trigonometri sederhananya adalah:

(1).sinx=sinα{x=α+k.2πataux=(πα)+k.2π(2).cosx=cosα{x=α+k.2πataux=α+k.2π(3).tanx=tanαx=α+k.π.

CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah akar-akar persamaan trigonometriberikut dan tentukan pula himpunanpenyelesaiannya untuk0x360a.sinx=sin50b.cosx=cos50c.tanx=tan50Jawab:.a.sinx=sin50x={50+k.360(18050)+k.360k=0diperoleh:x={50(memenuhi)130(memenuhi)k=1tidak ada yang memenuhiHP={50,130}.b.cosx=cos50x={50+k.36050+k.360k=0diperoleh:x={50(memenuhi)50(tidak memenuhi)k=1x={50+360=410(tidak memenuhi)50+360=310(memenuhi)HP={50,310}.c.tanx=tan50x=50+k.180k=0diperoleh:x=50memenuhik=1x=50+180=230memenuhik=2x=50+360=410tidak memenuhiHP={50,230}.

2.Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikutini untuk0x360a.sinx=12f.tanx=133k.sin2x=12b.cosx=123g2cosx=3l.cos2x=123c.tanx=3h3tanx=3m.tan2x=3d.sinx=1i.sinx=sin46n.sin(2x30)=sin45e.cosx=122j.cosx=cos93o.sin(2x+60)=sin90

.Jawab:

.a.sinx=12sinx=sin30x={30+k.360(18030)+k.360k=0diperoleh:x={30(memenuhi)150(memenuhi)k=1tidak ada yang memenuhiHP={30,150}

.b.cosx=123cosx=cos30x={30+k.36030+k.360k=0diperoleh:x={30(memenuhi)30(tidak memenuhi)k=1x={30+360=390(tidak memenuhi)30+360=330(memenuhi)HP={30,330}

.c.tanx=3tanx=tan60x=60+k.180k=0diperoleh:x=60memenuhik=1x=60+180=240memenuhik=2x=60+360=420tidak memenuhiHP={60,240}

.d.sinx=1sinx=sin270x={270+k.360(180270)+k.360k=0diperolehx={270memenuhi90tidak memenuhik=1tidak memenuhi semuanyaHP={270}.

.k.sin2x=12sin2x=sin302x={30+k.360(18030)+k.360sehinggax={15+k.180(9015)+k.180k=0diperoleh:x={15(memenuhi)75(memenuhi)k=1diperoleh:x={15+180=195(memenuhi)75+180=255(memenuhi)k=2tidak ada yang memenuhiHP={15,75,195,255}.

.l.cos2x=123cos2x=cos30=cos(18030)=cos1502x={150+k.360150+k.360sehinggax={75+k.18075+k.180k=0diperoleh:x={75(memenuhi)75(tidak memenuhi)k=1x={75+180=255(memenuhi)75+180=105(memenuhi)k=2x={75+360=435(tidak memenuhi)75+360=285(memenuhi)k=3tidak ada yang memenuhiHP={75,105,255,285}.

.m.tan2x=3tan2x=tan602x=60+k.180sehinggax=30+k.90k=0diperoleh:x=30memenuhik=1x=30+90=120memenuhik=2x=30+180=210memenuhik=3x=30+270=300memenuhik=4x=30+360=390tidak memenuhiHP={30,120,210,300}.

.n.sin(2x30)=sin45(2x30)={45+k.360(18045)+k.3602x={45+30+k.360135+30+k.360x={37,5+k.18082,5+k.180k=0diperolehx={37,582,5k=1diperolehx={37,5+180=217,582,5+180=262,5k=2tidak ada yang memenuhiHP={37,5,82,5,217,5,262,5}.

.o.sin(2x+60)=sin90(2x+60)={90+k.360(18090)+k.3602x={9060+k.3609060+k.360x=15+k.180k=0diperolehx=15k=1diperolehx=15+180=195k=2tidak ada yang memenuhiHP={15,195}